Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

Esplicitandonella(37)l’ultimointegraleedintroducendoledefinizioni(38)segueimmediatamentela(34),chiudendoquindiladimostrazione.Atitolodiesempio, applichiamoillemmadiGreenalcasoincuisiconsideril’operatorelaplacianoA=∇ 2 conduefunzioniu(x,y)ev(x,y)definiteinR:∫ ( ∂ 2 ) ∫ ( ) ∫ (u u ∂u ∂v∂x 2+∂2 ∂y 2 vdxdy=−R ∂x ∂x +∂u ∂v ∂udxdy+ v∂y ∂y ∂R ∂x n x+ ∂u )∂y n y ds (39)RÈfacileosservarechenell’integraledibordodella(39)compareladerivatanormaledellafunzioneu(x,y):∂u∂x n x+ ∂u∂y n y= ∂u∂nComevedremopiùavanti,questorendeagevoleeconvenienteilcalcoloditaleintegraleinquantoèpossibilesfruttarelecondizionialcontornodiNeumann.L’utilizzodiunaformulazionedebole,quindi,consentedifacilitareancheiltrattamentodellecondizionialcontornoditiponaturale.(40)3 IlmetododeglielementifinitiAsecondadellasceltaoperataperlefunzionibaseξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n sipossonoottenerediversimetodivariazionali.Ilmetododeglielementifinitiècaratterizzatodalladefinizionediξ i comeunpolinomiodiinterpolazioneasupportolocalecontinuoatratti. Questoconsentedueimportantivantaggi:1.icoefficientiα j dellacombinazionelineare(15)chedescrivelasoluzioneapprossimatasonodirettamenteivaloridellafunzioneincognitasuglinnodiindividuatineldominiodicalcoloR;2.lascritturadelleequazionidiGalerkin(32)conduceadunsistemaalgebricodiequazionicherisultaassaisparso,consentendoquindiunimportanterisparmiodimemoriacomputazionaleconlapossibileselezionediungrandenumerodinodisucuicalcolarelasoluzionenumericadelproblemaconsiderato.3.1 Elementifinitimono-dimensionaliSiau(x)unafunzionedefinitanell’intervalloreale[a,b]cherisolveundeterminatoproblemadifferenzialedeltipo(17)-(18)esianou1 ,u 2 ,...,u n ivaloripuntualicheessaassumeneglinpuntix 1 ,x 2 ,...,x n ,conx 1 =aex n =b.Unsemplicemodoperapprossimareu(x)in[a,b]consistenelcollegareciascunacoppiadipunticonunsegmentodiretta(Figura3). Èintuitivonotarecomealcresceredinlacurvaspezzatatendaallafunzioneesatta,assicurandocosìlaconvergenzadiû nadu.9