Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

1ξ(2)2(2)ξ(2)j+1ξ(2)nξ j−1ξ(2)n−1ξ(2)1ξ(2)jx x x x x x x x x x x1 2 3 j−2 j−1 j j+1 j+2 n−2 n−1 nFigura5:Comportamentodellefunzionibasiquadratiche.3.2 ElementifinitilagrangianiL’interpolazioneconpolinomicontinuiatrattiutilizzataperdefinireglielementifinitimonodimensionalipuòesserefacilmenteestesaaproblemiin2opiùdimensioni.Siau(x,y)lasoluzionedell’equazionedifferenziale(17)concondizionialcontorno(18)definitasuundominioRquadrangolare:R={(x,y):a≤x≤b,c≤y≤d} (57)Si selezionino n punti x 1 ,x 2 ,...,x n nell’intervallo [a,b], con x 1 = a e x n = b, ed m puntiy 1 ,y 2 ,...,y m nell’intervallo[c,d],cony 1 =cey m =d(Figura6). Sipensioradifissarelacoordinatay,inmodochelafunzioneu(x,y)dipendadallasolavariabilexesipossapertantoapplicarel’interpolazionelineareatratti(44):û n =n∑j=1ξ (1)j(x)u(x j ,y) (58)dove le funzioni base ξ (1)j(x) sono quelle definite in (45)-(47). Consideriamo ora il termineu(x j ,y)nella(58). Quest’ultimopuòasuavoltaessereinterpretatocomeunafunzionedellasolacoordinatayavendofissatox=x j epertantovenireanch’essointerpolatomediantela(44):u(x j ,y)≃m∑k=1ξ (1)k(y)u(x j ,y k ) (59)dove le funzioni base ξ (1)k(y) sono sempre quelle definite in (45)-(47) in cui la coordinata yèutilizzatainluogodellax.Introducendola(59)nella(58)eponendoperdefinizioneu(x j ,y k )=u jk ,siricavalaseguenteapprossimazionedellafunzioneu(x,y)inR:û nm =n∑m∑j=1k=1ξ (1)j (x)ξ (1)k(y)u jk =n∑m∑j=1k=1ξ (1)jk u jk (60)dovelen×mfunzionibaseξ (1)jk sonodatedalprodottodellefunzionibaselineari(45)-(47)inxey.Pertaleragioneessevengonochiamateanchetensor-productbasisfunctions.Lefunzionibaseξ (1)jk13