Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

2.2 FormulazionideboliGliintegralidiGalerkin(25)possonoessereriscritticomesegue:∫ ∫(Aû n )ξ i dR= fξ i dR i=1,...,n (31)RRdoveilmembroadestradelsegnodiuguaglianza,nonessendofunzionediû n ,costituisceunterminenoto.Evidenziamoladipendenzadalleincognitenell’integraleaprimomembrointroducendoin(31)ladefinizione(15)diû n esfruttandolalinearitàdiA:n∑[∫ ] ∫(Aξ j )ξ i dR α j =Rj=1Rfξ i dR i=1,...,n (32)Leequazioni(32)mostranochelefunzionibaseξ i devonoesserederivabiliunnumerodivoltealmenopariall’ordinedell’operatoredifferenzialeA.Adesempio,seA=∇ 2 lefunzioniξ i dovrannoesserederivabilialmenoduevolterispettoadxeyaffinchél’integraleaprimomembronelle(32)sianonnullo.Se,tuttavia,siapplicaopportunamentelaformuladiintegrazioneperpartièpossibileridurrel’ordinemassimodiderivabilitàrichiestoperlefunzionibase.Mostriamoquestorisultatoconunesempioinunproblemadifferenzialemono-dimensionale.SiaA=d 2 /dx 2 conu(x)ev(x)duefunzionidefinitenell’intervallo[0,L]. L’integraleaprimomembrodelleequazioni(32)applicatoadu(x)ev(x)vienesviluppatoperparti,ottenendo:∫ L0d 2 ] L ∫u du Ldx2vdx= dx v −0 0dudvdx (33)dx dxAffinchéiltermineasecondomembrodella(33)esistaèorasufficienteassicurarecheu(x)ev(x)sianoentrambederivabiliunasolavolta,mentrelaformainizialedell’integralenecessitavadiunafunzioneu(x)derivabilealmenoduevolte.Quandou(x)=v(x),comenelcasodelmetodovariazionalediGalerkin,l’applicazionedella(33)consentediabbassareilgradodiregolaritàrichiestoperlafunzionebaseprescelta.Inaltritermini,lefunzionibasepossonoesseresceltedaunsottospazioFn diordineinferiore,nelsensochecontienefunzionimenoregolari,equindipiù“semplici”.Adesempio,nelcasoappenaesaminatodiventasufficienteutilizzarefunzionibaselinearianzichéparaboliche.OgniqualvoltasiapplichiunaintegrazioneperpartiagliintegralivariazionalidiGalerkinsiottieneunacosiddettaformulazionedeboleacuicorrispondeunasoluzionedeboleû n .Comeprecedentementechiarito,lasoluzioneèdebolenelsensochepossiedecaratteristichediregolaritàinferioriaquellerichiestedalproblemadifferenzialedipartenza.Sipuò,tuttavia,dimostrarechealcresceredelladimensionendelsottospaziocontenenteûn lasoluzionedeboleconvergeadunasoluzionegeneralizzatachecoincideconlasoluzioneesattadell’equazionedifferenzialedata.L’integrazioneperpartipuòesserefacilmenteestesaaproblemibi-dimensionali.Dateu(x,y),v(x,y)ew(x,y),funzionisufficientementeregolaridefiniteinundominiopianoR,valelaseguente7