Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

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incui∂R u ∪∂R q =∂R.Siaû n un’approssimazioneinRdellasoluzionealla(98)concondizionialcontorno(99):û n =n∑α j ξ j (x,y) (100)j=1doveξ j ,j=1,...,n,sonodelleopportunefunzionibase. LeequazionivariazionalidiGalerkinapplicatealproblemaconsideratooffrono:∫ ( ) ∫ ∂2û n û n∂x 2 +∂2 ∂y 2 ξ i dxdy= fξ i dxdy i=1,...,n (101)RRUtilizzandounaformulazionedeboleperl’integraleaprimomembrosiricava:∫ ( ) ∫ ( ) ∫∂2û n û n ∂ûn ∂ξ iR ∂x 2 +∂2 ∂y 2 ξ i dxdy=−R ∂x ∂x +∂û n∂ξ i ∂û ndxdy+∂y ∂y ∂R ∂n ξ ids (102)ComeosservatonelcasodelproblemadiPoissonin1-D,ilcontributocalcolatosullafrontieradiRin(102)puòessereristrettoallaporzionedi∂RsucuisonoimpostecondizionidiNeumannnonnulle.Introducendola(102)in(101)ericordandoladefinizione(100)diû n siottieneilseguentesistemadiequazionialgebrichenelleincogniteα j :n∑[∫j=1R( ∂ξi ∂ξ j∂x ∂x +∂ξ i∂y) ] ∫ ∫∂ξ jdxdy α j =− fξ i dxdy+ qξ i ds i=1,...,n (103)∂y R ∂R qLeequazioni(103)mostranochelefunzionibaseξ i devonoesserederivabilialmenounavolta.Èpertantopossibileutilizzareunadiscretizzazioneconelementifinititriangolaria3nodilecuifunzionibasesonocaratterizzatedall’espressioneanaliticalocale(72)edalcomportamentoriportatoinFigura11.Avendotalifunzionibasevaloreunitariosuunnododellagrigliadicalcoloenullosututtiglialtri,icoefficientiincognitiα j coincidonoconivaloridellasoluzioneapprossimatasulnodoj. Connotazionecompatta,ilsistemadiequazioni(103)sipuòesprimerecomein(85)incuiglielementih ij dellamatriceHrisultano:∫h ij =R( ∂ξi ∂ξ j∂x ∂x +∂ξ i∂y)∂ξ jdxdy (104)∂yDatoilsupportolocaledellefunzionibaseprescelte,costituitodall’unione<strong>degli</strong>elementitriangolarichehannoincomuneundeterminatonododellagrigliadicalcolo,ilcalcolodell’integralein(104)sipuòscomporrenellasommatoriadeicontributilocalivalutatisuisingolitriangoli:h ij = ∑ e∫∆ e(∂ξ (e)i∂x∂ξ (e)j∂x +∂ξ(e) i∂y∂ξ (e) )jdxdy (105)∂yIn particolare, analogamente alcaso 1-D, nel calcolo deltermine h ii la sommatoria in (105)saràestesaatuttiglielementichehannoincomuneilnodoi; nelcalcolodih ij ,coni≠j,lasommatoriasaràestesaatuttiglielementichehannoincomunesiailnodoicheilnodoj.Inaltritermini,sitrattadeidueelementichecondividonoillatoi−j. Seinodiiejnonsi24
iferisconoanessunlatodellagrigliadicalcoloilcorrispondentevaloredih ij sarànulloinquantononesistealcunaporzionedeldominioRincuiξ i cheξ j sianocontemporaneamentenonnulle.Diconseguenza,lamatriceHsaràsparsainquantoperlarigai-esimagliunicitermininonnullisonoilcoefficientediagonaleediterminiextra-diagonalicorrispondentiailatichehannoalmenounestremoini.<strong>Il</strong>contributolocalesull’elementoealcoefficienteh ij sipuòcalcolareassaiagevolmente. Ricordando,infatti,la(72)siottiene:∫∆ e(∂ξ (e)i∂x∂ξ (e)j∂x +∂ξ(e) i∂y∂ξ (e) )jdxdy= b ib j +c i c j(106)∂y 4∆ edoveb i ,b j ,c i ec j sonofunzionedellecoordinatedeiverticideltriangoloemediantele(73)e(74).Icontributiaterminenotodipendono,infine,dallaformaanaliticaassuntadallefunzionif(x,y)eq(x,y),perilcalcolodeiqualiègeneralmenteconvenientericorrereaformulediintegrazionenumericaditipogaussiano.DopoaverottenutolamatriceHedilvettorebèsemprenecessarioimporrelecondizionidiDirichlet(99)modificandoleequazionicorrispondentiainodichecadonosulbordo∂R u :u i =u(x i ,y i ) ∀(x i ,y i )∈∂R u (107)ContalimodifichelamatriceHrisultanonsingolareedilsistemalinearealgebricocorrispondentepuòessererisolto.25
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