Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

ovelasommacambiatadisegnodellaprimaeterzarigadàlasecondariga. QuestasituazioneècoerenteconilfattochenonsonoancorastateimposteinalcunmodolecondizionidiDirichletinx=0(equazione(78))eche,quindi,amenoditalicondizionil’equazionedifferenziale(77)ammetteun’infinitàdisoluzioni.Persoddisfarela(78)inx=0ènecessarioimporre:u 1 =0 (96)Questosieffettuafacilmentemodificandolaprimaequazionedelsistema(93)inmododafarlacoincidereconla(96).AtalfineèsufficientemodificarelaprimarigadellamatriceHannullandoiltermineextra-diagonaleeponendob 1 =0:⎡ ⎤⎛1 0 0 0 ··· ··· 0−1 2 −1 0 ··· ··· 00 −1 2 −1 ··· ··· 0. . . ... .0 ··· ··· −1 2 −1 0⎢⎣0 ··· ··· 0 −1 2 −1 ⎥⎜⎦⎝0 ··· ··· 0 0 −1 1⎞ ⎛u 1u 2u 3..=⎟ ⎜⎠ ⎝u nu n−2u n−1⎞0b 2b 3 . .⎟⎠b nb 1 evitandolastimadelladerivatadellafunzioneû n (equazione(94)). PertantoaterminenotoLamatriceH èoranonsingolareedilsistema(97)puòessererisolto. Siosservichel’imposizionedellacondizionediDirichletalnodo1semplificanotevolmenteilcalcolodelterminenotosaràsufficienteconsiderareilsoloeffettodellecondizioniditiponaturaleodiNeumann,trascurandoqualsiasicontributodatolungolaporzionedifrontierasullaqualesonoimpostecondizioniprincipaliodiDirichlet. Siosservi,infine,cheincorrispondenzadeinodidibordosuiqualisiaassegnataunacondizionediNeumannnullailterminenotorisultantedalleequazioni(80)nonvab n−2b n−1modificato.Talecondizionealcontornorisulta,pertanto,naturalmentesoddisfatta.(97)4.2 Caso2-DSiconsideril’equazionediPoissonin2-DdefinitainungenericodominioRsottoinsiemechiusodiR 2 :∂ 2 u u∂x 2+∂2 ∂y2=f(x,y) (x,y)∈R (98)concondizionialcontornoditipoprincipalelungolaporzionedifrontiera∂R u editiponaturalelungolaporzione∂R q :⎧⎨⎩u(x,y)=u(x,y) ∀(x,y)∈∂R u∂u∂n =q(x,y) ∀(x,y)∈∂R q(99)23