Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

(a)(b)ξ iξ i−1ξ iξ i+1i−1 i i+1(c)i−2 i−1 i i+1 i+2ξ iξ ji−1 i i+1 j−1 j j+1Figura12: Assemblaggiodeicontributilocalisuelementifinitilineari: (a)terminediagonale;(b)nodiadiacenti;(c)nodinonadiacenti.incuilafunzionebaseξ i èquellariportatainFigura12a. Poichéξ i ènonnullasolamentenell’intervallo[xi−1 ,x i+1 ],valeadireneidueelementifinitichecondividonoilnodoi,èpossibilerestringereilcalcolodell’integrale(86)escomporlonellasommadidueaddendi:∫ xi( ) 2 ∫ xi+1( ) 2 dξi dξih ii = dx+ dx (87)x i−1dx dxInaltreparole, ilcoefficienteh ii vienecalcolatomediantel’assemblaggio deicontributilocalivalutatisuglielementifinitichecondividonoilnodoi.DallaFigura12aedall’espressioneanalitica(46)sivedeimmediatamentecheladerivatadiξ i vale1/l nell’intervallo[x i−1 ,x i ]e−1/l in[x i ,x i+1 ].Pertantodalla(87)h ii vale:h ii = 1 ∫ xil 2 dx+ 1 ∫ xi+1x i−1l 2 dxx ix i= 2 l(88)Consideriamoorailcasoj=i+1. Leduefunzionibaseξ i eξ i+1 sonoriportateinFigura12b. Lafunzioneintegrandanelladefinizione(84)dih ij risultanonnullasolodoveξ i eξ j sonocontemporaneamentenonnulle,valeadirenell’elementofinitochecollegailnodoialnodoi+1.L’integralein(84)puòquindiessereristrettoalsolointervallo[x i ,x i+1 ]doveladerivatadiξ i vale−1/leladerivatadiξ i+1 vale1/l,ottenendo:h i,i+1 = − 1 ∫ xi+1l 2 dxx i= − 1 l(89)Ancheinquestocaso,ilcoefficienteh i,i+1 èstatoottenutoassemblandoicontributilocalicalcolatisututtiglielementifinitichecondividonoinodiiedi+1,cioèilsoloelementodefinito21