Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

ξ iiyFigura11:Funzionebaserelativaadunnodoconelementifinititriangolaria3nodi.xottengonocosìdeglielementia6nodineiqualilafunzionebaseξ q,ei relativaalnodoieristrettaall’elementoerisulta:ξ q,ei =c 0 +c 1 x+c 2 y+c 3 xy+c 4 x 2 +c 5 y 2 (76)cioèunpolinomiodigrado2completoinxey.Èimmediato,tuttavia,osservareche,purutilizzandopolinomidigradosuperiorealcasodielementitriangolaria3nodi,lafunzioneûn basatasulleξ q j ,conj=1,...,nottenutedalla(76)nonpossiedederivateprimecontinuesuilatideglielementi. Globalmente,quindi,larappresentazionesaràsemplicementecontinuaseppurconunamaggioreaccuratezzalocalerispettoaglielementitriangolaria3nodi.4 Soluzioneaglielementifinitidell’equazionediPoisson4.1 Caso1-DSiconsideril’equazionediPoissonin1-DdefinitaneldominioRcostituitodall’intervallo[0,L]:d 2 udx2=f(x) 0≤x≤L (77)conleseguenticondizionialcontorno:⎧⎪⎨⎪⎩x(0)=0( ) dudxDefiniamounasoluzioneapprossimataû n come:x=L=q(78)û n =n∑α j ξ j (x) (79)j=1essendoξ j (x),j=1,...,n,delleopportunefunzionibaseindipendenti.Icoefficientiincognitiα jvengonocalcolatimedianteilmetodovariazionalediGalerkin,risolvendocioèilseguentesistemadiequazioni:∫ L0d 2 û ndx 2ξ idx=∫ L0fξ i dx i=1,...,n (80)19