Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

estenderedalla(2)come:∫= u(x)v(x)dx (3)RInmodoanalogoèpossibiledefinireunanozionedinormaintesacomemisuradellagrandezzadiunafunzione.Adesempio,comeinR n lanormaeuclideadiunvettoreusidefiniscecome:‖u‖ 2 = ( u T u ) 1/2(4)cosìinunospaziofunzionalelanormaeuclideadiu(x)risulta:[∫ 1/2‖u‖ 2 = u(x)dx] 2 (5)RUnospaziofunzionaleincuisiapossibiledefinireunanormacomein(5)èdettonormato.Inoltre,quandoilprodottoscalare(3)èfinitoperognicoppiadifunzioni,lospaziofunzionaleèdettomisurabile.DatiduesottoinsiemiS 1 eS 2 diunospaziolineareS,èpossibiledefinireunatrasformazionechecolleghiognielementodelprimoinsieme,dettodominio,adunsoloelementodelsecondoinsieme,dettocodominio.Chiamiamooperatorelarappresentazionesimbolicaditaletrasformazione:Ax=y (6)dovex∈S 1 ,y∈S 2 eAdenotalaregolachetrasformaxiny. L’operatoreAèdettolineareseperogniαeβrealivaleche:A(αx+βy)=αAx+βAy (7)Adesempio,nellospaziovettorialeR n l’operatoreApuòessererappresentatodaunamatricequadratadidimensionenconlatrasformazionedaessoattuatadefinitadaunprodottomatricevettore.Inmanieraanalogainunospaziofunzionalesipossonodefiniredeglioperatorilineariditipodifferenziale,contenenticioèoperazionididerivazioneparziale. Adesempio,l’operatoredifferenziale:A= ∂2 ∂2∂x2+ ∂y 2 (8)ènormalmenteindicatocomeoperatorelaplacianoedesegueunatrasformazionelinearesuunafunzioneu(x,y)inf(x,y).L’equazionedifferenzialediPoisson:∂ 2 u u∂x 2+∂2 ∂y2=f (9)sipuòpertantointerpretarecomel’applicazionedell’operatorelaplacianoaduperotteneref.Illaplacianoin(8)èfrequentementeindicatoancheconilsimbolo∇ 2 .L’equazionedifferenziale(9),pertanto,siscriveanchecome:∇ 2 u=f (10)2