Esercizi sull'aritmetica di macchina e la rappresentazione

ESERCIZI CAPITOLO 1
Esercizio 1 Calcolare il minimo e il massimo numero rappresentabile e la cardinalità
dell’insieme di numeri macchina F(2, 4, −2, 3). Quanto vale la distanza relativa
massima tra due numeri consecutivi ɛM e quanto la precisione di macchina
u?
Esercizio 2 Supponendo di avere a disposizione 3 bit per l’esponente e 5 bit per la
mantissa, e usando lo standard IEEE-754r
1. Si dica qual è l’insieme dei numeri macchina.
2. Si determini il minimo e il massimo numero rappresentabile, la distanza relativa
massima tra due numeri consecutivi ɛM e la precisione di macchina
u.
3. Si dica quale numero rappresenta la configurazione di bit 0 101 1011.
4. Si dia la rappresentazione binaria in virgola mobile normalizzata dei seguenti
numeri reali: (a) 6.5 (b) -7.3 (c) 16
5. Quantificare gli errori di rappresentazione commessi ai punti 4.a) e 4.b).
6. Quanto vale la distanza assoluta tra x = 6.5 e il suo successivo numero
macchina x+?
Soluzioni:
2. realmin= 2 −2 = 0.25 con rappresentazione binaria 0 001 0000
realmax = (2 − 2 −4 ) · 2 3 = 15.5 con rappresentazione binaria 0 110 1111
ɛM = 2 1−t = 2 1−5 = 2 −4
u = ɛM/2 = 2 −5 .
3. 6.75
4.a. 0 101 1010, 4.b. 1 101 1101, 4.c. 0 111 0000 (Inf).
Esercizio 3 Cosa sucede se si prova a calcolare a 2 − b 2 con a = 1.4 · 10 154 e b =
1.3 · 10 154 in un calcolatore con aritmetica IEEE-754r in doppia precisione? Come
si potrebbe realizzare questo calcolo in maniera stabile?
Esercizio 4 Si dimostri con un esempio che la proprietà associativa del prodotto
non è verificata in aritmetica di macchina. (Suggerimento: ricordare che in
F(2, 53, −1022, 1023) il numero più grande rappresentabile è ≈ 1.7977 · 10 308 ).

CALCOLO NUMERICO LT INFORMATICA AA.2011–2012 2
Esercizio 5 Si faccia un esempio in cui la proprietà associativa della somma in
aritmetica di macchina non sia verificata per effetto di cancellazione numerica in
F(10, 6, L, U).
√n
Esercizio 6 Si definisca an = n 2 + 1 − n . Sapendo che lim
n→∞ an = 1
, quale
2
sarà il valore fornito da MATLAB/OCTAVE per an quando n = 10 8 ? Rispondere al
quesito senza calcolare an, e quantificare gli errori assoluto e relativo commessi
assumendo come valore vero quello del limite.
Esercizio 7 Sia x = 10 −15 . Si calcoli l’espressione
(1 + x) − 1
.
x
Perché il risultato è meno accurato che prendendo x = 8.88178419700125 · 10 −16
(x = 4ɛM) ?
Esercizio 8
exp(x) − 1
1. Se si calcola il valore della funzione ϕ(x) = nei punti x = 10
x
−i , i =
5, · · · , 16 in aritmetica in doppia precisione (per esempio usando MATLAB/OC-
TAVE ) si ottengono i seguenti risultati:
x valore calcolato valore vero errore relativo
con 15 cifre significative
1e − 05 1.00000500000696 1.00000500001667 9.7017e-12
1e − 06 1.00000049996218 1.00000050000017 3.7983e-11
1e − 07 1.00000004943368 1.00000005000000 5.6632e-10
1e − 08 0.999999993922529 1.00000000500000 1.1077e-08
1e − 09 1.00000008274037 1.00000000050000 8.2240e-08
1e − 10 1.00000008274037 1.00000000005000 8.2690e-08
1e − 11 1.00000008274037 1.00000000000500 8.2735e-08
1e − 12 1.00008890058234 1.00000000000050 8.8900e-05
1e − 13 0.999200722162641 1.00000000000005 7.9927e-04
1e − 14 0.999200722162641 1.00000000000001 7.9927e-04
1e − 15 1.11022302462516 1.00000000000000 1.1022e-01
1e − 16 0 1.00000000000000 1.0000e+00
Perché i risultati sono inaccurati?
Suggerimento: Quanto vale exp(x) per x ≈ 0?

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2. Usando l’espansione in serie di Taylor exp(x) = ∞ x
i=0
i
si ha che ϕ(x) =
i!
∞ x
i=1
i−1
. Usare questo risultato per ricavare una formula stabile per il
i!
calcolo di ϕ(x) negli stessi punti di prima.
Esercizio 9 Implementare in MATLAB/OCTAVE il calcolo di sin x mediante la serie:
per x = π
2 (4k + 1), k = 0, · · · , 8.
sin x = x − x3
3!
+ x5
5!
− x7
7!
Si può usare, ad esempio, l’algoritmo seguente:
s =0;t=x;n=1;
while abs(t) > 2^-53
s=s+t; t=-x.^2/((n+1)*(n+2))*t;
n=n+2;
end
+ · · ·
dove s è il valore accumulato approssimante sin x, t è il valore del termine n-esimo.
Il procedimento si arresta quando il termine n + 1-esimo è inferiore in modulo alla
precisione di macchina. Calcolare l’errore relativo dei risultati ottenuti rispetto al
valore vero sin x = 1.
Un esempio di output è il seguente:
k : 0 n : 23 s : 1.000000000000000 ERR : 2.22e − 16
k : 1 n : 47 s : 0.999999999999999 ERR : 9.99e − 16
k : 2 n : 65 s : 0.999999999993139 ERR : 6.86e − 12
k : 3 n : 85 s : 1.000000002337549 ERR : 2.34e − 09
k : 4 n : 103 s : 1.000000916919246 ERR : 9.17e − 07
k : 5 n : 119 s : 0.999866764041850 ERR : 1.33e − 04
k : 6 n : 137 s : 0.365329077658930 ERR : 6.35e − 01
k : 7 n : 155 s : 128.376726646796300 ERR : 1.27e + 02
k : 8 n : 173 s : 105749.827986279837205 ERR : 1.06e + 05
Si dia una interpretazione dei risultati ottenuti.
Esercizio 10 Data la seguente successione di integrali definiti
In =
1
0
x n
x + 5 dx,

CALCOLO NUMERICO LT INFORMATICA AA.2011–2012 4
1. Si calcoli I0.
2. Si calcoli I1 sapendo che
x
a
= 1 −
x + a x + a .
3. Si consideri la seguente formula ricorsiva per il calcolo di In:
s0 = ln(1.2)
sn = 1
n − 5sn−1
n
> 0
Si studi la stabilità di tale formula esprimendo l’errore al passo n, |en| in
funzione dell’errore iniziale |e0|.
4. Si ricavi una formula stabile per il calcolo della successione In giustificando
la risposta.
Esercizio 11 Date le funzioni
f1(x) = 1 − 1 − x 2 , f2(x) = 1 − x
se ne calcoli analiticamente il condizionamento
Ki(fi, x) = |x|
|fi(x)| |f ′ i(x)|, i = 1, 2.
• Per quali valori di x le rispettive funzioni saranno malcondizionate?
• Per quali valori di x la funzione f1 presenta invece problemi di cancellazione
numerica?