Calcolo Numerico Calogero Vetro 10/02/2010 Es.1. Data la funzione ...

Calcolo Numerico
10/02/2010
Es.1. Data la funzione
( , , ) ( 0,1, 2)
x x x = applicando:
1 2 3
Calogero Vetro
3 2
f ( x) = 3x − 2x + 6x − 1,
si chiede di interpolarla sui nodi
1. il metodo di Lagrange;
2. il metodo di Newton;
3. la tecnica dei minimi quadrati con modello lineare ( y = ax + b ).
Es.2. Calcolare
0
(3
2
− 2 + 6)
−1
x x dx
applicando:
1. la formula dei trapezi su due sottointervalli;
2. la formula di Simpson semplice;
3. la formula di Gauss-Legendre a tre punti;
Calcolare inoltre gli errori commessi nei tre casi.
Es.3. Data la famiglia di numeri macchina F(10,5,-3,2), individuare:
1. il più piccolo numero rappresentabile;
2. il più grande numero rappresentabile;
3. la precisione di macchina;
4. la distanza fra due numeri consecutivi della famiglia aventi esponente della base p=2.
Es.4. Dati i numeri x1 = − 0,1 e x2
= 0, 2,
dire se l’operazione di somma è ben condizionta.
Es.5. Data la funzione
1 5
f ( x)
= − , si chiede di:
x 9
1. individuare un intervallo [a,b], di ampiezza unitaria, che soddisfi le condizioni per
l’applicazione del metodo di bisezione per la ricerca della radice della funzione f(x);
2. stabilire, senza applicare il metodo, il numero di iterazioni necessarie all’approssimazione
della radice con un errore non superiore a 2 -10 ;
3. stimare l’errore commesso dopo 8 iterazioni del metodo usando quattro cifre decimali.

Soluzione.
Es.1.
1. Applicando il metodo di Lagrange
2. Applicando il metodo di Newton
2 2
x − 3x + 2
2 x − x
L1( x) = L2 ( x) = 2 x − x L3 ( x)
=
2 2
P x L x L x L x x
2
2( ) = −1 ⋅ 1( ) + 6 ⋅ 2( ) + 27 ⋅ 3(
) = 7 −1
0 −1
1 6 7
2 27 21 7
P x x x x x
2
2(
) = − 1+ 7( − 0) + 7( − 0)( − 1) = 7 −1
3. Applicando la tecnica dei minimi quadrati con modello lineare a partire dal sistema
si ha
Es.2.
0a + b = −1 0 1 −1
¢¥£
a
1a + b = 6 ovvero 1 1 = 6
b
2a + b = 27 2 1 27
¢ £ ¢¤£
¡
§ ¨ § ¨
¦
§¨ § ¨ § ¨
©
¦ § ¨ § ¨ ¥
¤
a = 14
5a + 3b = 60
10 .
3a + 3b = 32 b = −
3
1. la formula dei trapezi su due sottointervalli:
1
h
31 65
= ( − 1) + 2 ( − 1 ) + ( 0) = 2 11+ 2 + 6 =
2 2
2 2 8
IT f f
f
2. la formula di Simpson semplice:
;
1
h
31
= ( − 1) + 4 ( − 1 ) + ( 0) = 2 11+ 4 + 6 = 8
3 2
3 2
IS f f
f
3. la formula di Gauss-Legendre a tre punti:
;
b − a 5 b + a b − a
IG = f + −
2 9 2 2
3 8 b + a b − a 5 b + a b − a
+ f + 0 + f +
5 9 2 2 9 2 2
3
=
5
1 5 8 5
f ( − 0,8873) + f ( − 0,5000) + f ( − 0,1127) = 8.
2 9 9 9

Si ha inoltre:
E = 0,1250 e E = E = 0.
T S G
Es.3. Data la famiglia di numeri macchina F(10,5,-3,2)
1. il più piccolo numero rappresentabile è
2. il più grande numero rappresentabile è
3. la precisione di macchina è
ε m
1
10
2
−4
= ⋅ ;
m
−3
= 0,10000 ⋅ 10 ;
2
M = 0,99999 ⋅ 10 ;
4. la distanza fra due numeri consecutivi della famiglia aventi esponente della base p=2 è
d = 0,001 .
Es.4. L’operazione di somma è mal condizionata essendo
Es.5.
4
9
1. Risulta f ( 1) = > 0 e ( )
c
x 0,2
=2>1.
+ − 0,1+ 0, 2
2
2 = =
x1 x2
1
f 2 = − < 0 . Essendo inoltre la f(x) continua nell’intervallo
18
[ 1,2 ] , tale intervallo soddisfa le condizioni per l’applicazione del metodo di bisezione;
a + b 1+ 2
2. Ponendo x1
= = , dalla formula di stima dell’errore dopo n bisezioni, si ricava:
2 2
2 −1 1
≤ cioè n = 10;
n 10
2 2
3. Dopo 8 iterazioni si stima un errore pari a
E
b − a 2 −1
2 2
−8
8 = = = 2 = 0,0039 .
8 8