Bilanciamento di Rotori

Capitolo 5
Bilanciamento di Rotori
Im molte applicazioni sono presenti rotori di dimensioni considerevoli posti in
rotazione a velocità costante. Basti pensare a turbine, ventilatori, le ruote
stesse di automobili. Se i rotori non sono perfettamente bilanciati, lo squilibrio
introduce delle forze inerziali centrifughe che si scaricano sui supporti. Tali forze
sono fonte di vibrazione e determinano una sollecitazione arminica che riduce
lavitadeisostegni(perfatica). Siparladisbilanciamento statico quando il
baricentro del rotore non passa per l’asse di rotazione. In questo caso, il rotore,
lasciato libero di ruotare, si comporterà come un pendolo, oscillando …ntantochè
il baricentro non sarà sul piano verticale passante per l’asse di rotazione.
Supponiamo di inserire una massa aggiuntiva appropriata in qualunque piano
normale all’asse di rotazione in maniera tale da riportare il baricentro sull’asse
di rotazione. In qualunque posizione angolare si ponga ora il rotore, esso rimarrà
in tale posizione. Si dice che il rotore è equilibrato staticamente. Ma se il rotore
viene posto in rotazione, la dissimetria delle masse introduce delle forze inerziali
51

52 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORI
che tendono a sbilanciare il rotore come in …gura. In questo caso il rotore viene
detto sbilanciato dinamicamente.
Solitamente ci si accontenta di equilibrare staticamente il rotore quando si
ha a che fare con rotori molto corti rispetto al diametro del rotore. Per alberi
lunghi è richiesto in ogni caso il bilanciamento dinamico.
5.1 Bilanciamento statico
Poniamoci nel piano perpendicolare all’asse di rotazione. Supponiamo che sul
rotore di massa uniforme (quindi con baricentro nell’asse di rotazione) siano
presenti delle masse sbilancianti. Non si conoscono ne le masse ne la loro posizione.
L’obiettivo è quello di calettare una ulteriore massa in maniera tale da
bilanciare staticamente il sistema.
m ri
2
1ω
α i
ϑ

5.1. BILANCIAMENTO STATICO 53
Ogni massa sbilanciante introduce una forza centrifuga in modulo pari ad
2 , dove èilvaloredellamassa, = _ è la velocità di rotazione (il rotore
ruota a velocità costante) ed èladistanzadellamassadalcentro. èla
posizione angolare della massa sbilanciante rispetto ad un riferimento noto del
rotore. Nel problema del bilanciamento non interessa conoscere queste masse,
anche perchè in realtà non si hanno masse puntiformi, ma distribuzioni di massa.
Ciò che importa è l’e¤etto complessivo di tutte le masse. Consideriamo quindi
unamassaequivalente(chetienecontodituttiicontributidatidaognisingola
massa sbilanciante) posizionata nel baricentro delle masse sbilancianti. Il suo
contributo di forza centrifuga deve essere pari alla somma dei contributi delle
singole masse sbilancianti
dove = X
½
¾
= X
2
= 2
½ ¾
cos ( + )
=
sin ( + )
½ ¾
cos ( + )
sin ( + )
ed è la distanza del baricentro del sistema delle masse
sbilancianti dal centro di rotazione. è la posizione angolare del baricentro
rispetto al riferimento.
In notazione complessa
= 2
Perciò = 2 è una forza che ruota con l’angolo ,proporzionale
al quadrato della velocità angolare. Questa forza si scarica a terra
attraverso i supporti. Solitamente in un bilanciamento statico si misura la
componente y delle forze scaricate a terra dal rotore attraverso i supporti .
() = 2 Im ¡
¢ = (5.1)
() = 2 sin( + )
Il gra…co dell’andamento della forza registrata è rappresentato nella …gura
sottostante

54 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORI
α G
m
eq
2
ω r
G
α G
Fy
ϑ
Dal gra…co di () si ricava il valore della forza massima . Dalla
equazione 5.1 si ricava
=
2 dato che viene misurata e la velocità angolare è nota. Il passo successivo
consiste nel determinare la posizione angolare di questa massa equivalente
sbilanciante. Ipotizziamo che la posizione angolare della massa equivalente valga
=0In questo caso il gra…co della forza sbilanciante passerebbe per
l’origine, nel senso che quando è nullo anche la forza registrata sarebbe nulla.
Si dice che la massa sbilanciante è in fase con il passaggo del riferimento sul
rotore per l’orizzontale. Come si può notare dal gra…co sopra, quando 0
il diagramma della forza è in anticipo di fase. La lettura dell’anticipo di fase
nel gra…co fornisce la posizione angolare della massa sbilanciante, cioè il
valore
Introduciamo ora una massa nota per equilibrare il sistema. Il suo
contributo centrifugo è
= 2 ½ ¾
cos ( + )
=
sin ( + )
2
dove è la posizione angolare della massa equilibratrice rispetto al sistema
di riferimento
ϑ

5.2. BILANCIAMENTO DINAMICO 55
A¢nchè la massa equilibri l’azione delle masse sbilancianti, è neccessario che
per cui
+ =0
2 + 2 =
)
0
= ¡
Risolvendo l’equazione sopra (i moduli e le fasi dei due vettori devono essere
uguali ) si riesce a ricavare la distanza dal centro di rotazione della massa
equilibratrice
=
e la posizione angolare rispetto al riferimento
= ¡
)
= +
(5.2)
infatti i due vettori devono essere uno orientato in maniera opposta all’altro
e quindi sfasati di 180 ± Si poteva alternativamente bilanciare il rotore introducendo
una massa di valore non noto posta ad una distanza nota dal centro.
In questo caso la posizione angolare si calcolava come sopra e bisognava calcolare
il valore della massa rimaneggiando l’eq. 5.2
=
5.2 Bilanciamento dinamico
Nella …gura sottostante è rappresentato un rotore con asse di rotazione coincidente
con l’asse z del sistema di riferimento assoluto e supportato nei punti A e
B. Supponiamo che vi siano delle masse sbilancianti. In …gura è rappresentata
solo una di queste. Vediamo come sia possibile equilibrare dinamicamente il
rotore vincolando due masse 1 ed 2 al rotore.

56 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORI
y
z
x
RA
A
m1
m r
2
ω
Come nel caso statico è possibile misurare le forze trasmesse dai supporti a
terra nei punti A e B. Supponiamo esse abbiano un andamento dato da
8
9
< cos () =
= sin ()
:
;
0
8
9
< cos () =
= sin ()
:
;
0
se espresse rispetto al sistema di riferimento assoluto
E’ più conveniente esprimere solamente le componenti lungo x ed y usando
una notazione complessa (asse x reale; asse y immaginario). Per cui
= = (5.3)
Questi valori sono misurati quando il riferimento passa per lo zero, cioè
quando la posizione del rotore è =0+2Figurativamente si tratta di fare
una istantanea delle forze in gioco quando il riferimento del rotore transita per
uno stesso punto dopo aver compiuto un giro. Si è già visto nel caso satatico
come sia possibile ricavare dal gra…co delle forze scaricate a terra in funzione
dell’angolo di rotazione del rotore, il valore del modulo della forza scaricata ai
supporti ed , come pure gli sfasamenti ed . Le forze ed
non sono altro che l’e¤etto dei contributi delle masse sbilancianti.
Qual’è la relazione tra le reazioni e le forze centrofughe prodotte dalle masse
sbilancianti?
E’ neccessario calcolare i momenti delle forze di reazione. Calcoliamo come
esempio il momento della forza di reazione rispetto all’origine del sistema di
riferimento. Esso è dato dal prodotto vettoriale del vettore ¡!
per . Esso
ha modulo pari al modulo di ¡!
per il modulo di . Inoltre ha direzione
i
m2
i
α i
B
RB

5.2. BILANCIAMENTO DINAMICO 57
perpendicolare sia all’asse di rotazione che al vettore (applicare la regola
della mano desta) che all’asse di rotazione. Se indichiamo con la distanza
di A da O, seguendo le indicazioni sopradette, si ottiene ¡!
^ =
2 (Si ricorda che si stanno considerando le forze all’istante in cui il
riferimento del rotore passa per lo zero). Facendo l’equilibrio delle forze lungo
x, y e l’equilibrio ai momenti, si ottiene un sistema di due equazioni complesse.
2 +
+
X
+ 2 = 0(5.4)
2 + X
2
2 = 0
cioè forze sbilancianti e reazioni devono equilibrarsi. Sono state introdotte
le quantità: è la distanza del supporto A dall’origine del sistema, èla
distanza del supporto B dall’origine del sistema e è la distanza della massa
i-esima dall’origine lungo l’asse z.
Posto in forma matriciale il sistema ?? fornisce
·
1 1
2
2
¸½
8 X
¾ ><
= ¡ X
>:
2
2
2
Elaborando la matrice si ottiene che le forze di reazione sono
½
¾
1
= ¡
( ¡ ) 2
· 2 ¡1
¡ 2 1
¸ 8 > <
>:
X
X
9
>=
>;
2
2 2
Dalla relazione sopra si vede come il contributo delle masse sbilancianti genera
due reazioni vincolari che agiscono perpendicolarmente all’asse di rotazione
e ruotano in fase con il rotore.
In realtà le forze sbilancianti non sono note e ciò che si conosce sono semplicemente
i valori misurati ed . Per come sono stati introdotti, ed
sono i valori delle reazioni che il telaio esercita sul rotore. Il problema del
bilanciamento consiste nel leggere le reazioni vincolari ed inserire un sistema di
masse in maniera tale da annullare le reazioni vincolari stesse.
Per equilibrare il sistema, introduciamo due masse rispettivamente ad una
distanza 1 e 2 dall’origine. Le distanze 1 e 2 individuano quindi i piani
di equilibratura. Tali masse devono dare un contributo uguale alle reazioni
vincolari registrate nei supporti in maniera tale da compensarle. In altre parole,
ed sono le forza che il telaio deve esercitare sul rotore per mantenerlo in
sede, le stesse forze devono essere prodotte dalle masse equilibratrici in maniera
9
>=
>;

58 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORI
tale da scaricare il telaio. Per cui, facendo l’equilibrio delle forze si ottiene
(considerare come polo l’origine del sistema di riferimento)
+ = 1 2 1 1 + 2 2 2 2
2 +
2 = 1 2 1 1 1
2 + 2 2 2 2 2
2
Solitamente si …ssano ad arbitrio i valori delle distanze dall’asse di rotazione
delle due masse bilancianti, cioè 1 ed 2Le incognite del sistema sono 1
21 e 2
Poniamo il sistema in forma matriciale ed introduciamo le due incognite
ausiliarie 1 = 1 1 ed 2 = 2 2
·
1 2
1 1 2
2 2 2
¸½ 1
2
¾
= 1
2 ½
+ 2 + 2
Il sistema è risolvibile e fornisce la posizione angolare delle masse bilancianti
e la loro distanza dal centro di rotazione.
½ 1
2
¾
=
Daivettoricalcolatisiottiene
1
2 (2 ¡ 1) 1 2
½
2
·
2 2 2 ¡2
¡1 1 2 1
+ 2 + 2
1 = k1k 2 = k2k
dato che 1 = 1 1 °
)k1k = 1 °1 ° = 1. Per quanto riguarda le
posizioni angolari rispetto a cui posizionare le masse sbilancianti basta osservare
che Re (1) =1 cos (1) ed Im (1) =1 sin (1). Combinando le due relazioni
si ottiene
1 = arctan 2 (Im (1) Re (1))
2 = arctan 2 (Im (2) Re (2))
¾
¸
¾