1 FORMULARIO DI CINEMATICA DEL PUNTO 1. CALCOLO ...

1. CALCOLO VETTORIALE
x
FORMULARIO DI CINEMATICA DEL PUNTO
i
z
O
+
k
+
Terna cartesiana levogira con versori
⎧Ax
⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪
A = Ax i + Ay
j + Azk
; A = { i j k}
⋅ ⎨Ay
⎬;
(1)
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
Az
⎪⎭
⎧Ax
⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨Ay
⎬=
componenti del vettore A secondo gli assi x, y, z rispettivamente
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩Az
⎭
i j k = versori degli assi x, y, z rispettivamente
Prodotto scalare
A
α
B
( α)
= A T ⋅ B = AxBx
+ Ay
By
+ AzBz
C = A × B = A ⋅ B cos
(C quantità scalare) (2)
A
j
y
1

con: A T = { A A A }
Prodotto vettoriale
C
α
x
y
A
z
⎧B
⎪
⎪
B = ⎨B
⎪
⎪
⎪⎩
B
B
x
y
z
⎡ i j k ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
C = A ∧ B = det ⎢Ax
Ay
A ⎥
z = i(
Ay
Bz
− AzBy
) − j(
AxBz
− AzBx
) + k(
AxBy
− Ay
Bx
) (3)
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢Bx
By
B ⎥
⎣
z ⎦
⎧ Ay
Bz
− AzBy
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨−
AxBz
+ AzBx
⎬ = componenti lungo gli assi x, y, z del vettore prodotto vettoriale
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
AxBy
− AyB
⎭
C = A ⋅ B sin
( α)
Prodotto misto: ( A ∧ B)
× C = ( A × B)
∧ C
Doppio prodotto vettore: A ∧ ( B ∧ C)
= ( A × C)
⋅ B - ( A × B)
⋅ C
Vettore velocità angolare: = { i j k}
⋅ ω = ω ⋅ i ω ⋅ j + ω ⋅ k
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪⎭
⎧ωx
⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪
ω ⎨ y ⎬ x + y z
(4)
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
ωz
⎪⎭
2

Formule di Poisson (Velocità dei versori)
⎡ i
⎢
⎢
di
= ω ∧ i = det⎢ωx
dt
⎢
⎢
⎢
⎣
1
j
ωy
0
k ⎤
⎥
⎥
ω ⎥
z = ωz
⋅ j − ωy
⋅ k
⎥
⎥
0
⎥
⎦
(5)
⎡ i
⎢
⎢
dj
= ω ∧ j = det⎢ωx
dt
⎢
⎢
⎢
⎣
0
j
ωy
1
k ⎤
⎥
⎥
ω ⎥
z = −ωz
⋅ i + ωx
⋅ k
⎥
⎥
0
⎥
⎦
(6)
⎡ i
⎢
⎢
dk
= ω ∧k
= det⎢ωx
dt
⎢
⎢
⎢
⎣
0
j
ωy
0
k ⎤
⎥
⎥
ω ⎥
z = ωy
⋅ i − ωx
⋅ j
⎥
⎥
1
⎥
⎦
(7)
Derivata di un vettore rispetto al tempo
Vettore A come descritto in eq. (1); vettore ω con descritto in eq. (4). Uso delle formule di
Poisson.
1° caso – terna fissa, versori fissi
dA dA dAy
dA
= i x + j + k z
dt dt dt dt
2° caso – terna mobile, versori mobili
dA
dA dA
x y dAz
di
dj
= i + j + k + Ax
+ Ay
+ A
dt dt dt dt dt dt
dA
&
= A + ω ∧ A
dt
z
dk
dt
⎧ &
dA dAy
dA
⎪A
= i x + j + k z
⎪ dt dt dt
essendo: ⎨
⎪
di
dj
⎪
ω ∧ A = Ax
+ Ay
+ A
⎩
dt dt
z
dk
dt
3

Rappresentazione di un vettore nel piano complesso
Im
iθ
O
z
θ
Re
z = Z e
i= numero immaginario = − 1
formula di Eulero: ei θ = cosθ
+ isinθ
z
velocità: z& d
= = iθ&
Z eiθ
= iθ&
z
dt
( θ = θ(
t ) = coordianta di rotazione)
Rotazione di un vettore di modulo costante in un sistema fisso
e 1 θ i
e θ i
z 1 = Z
z = Z 2
2
θ2 = θ1
+ δ
iθ
i(
θ + δ)
iθ
z = Z e 2 = Z e 1 = Z ⋅e
1⋅
eiδ
= z ⋅ eiδ
2
1
e cos 1 sin 1
1 iθ
z 1 = Z = Z ⋅ θ + iZ
⋅ θ
Z1x = Z ⋅ cosθ1; Z1y
= Z ⋅ sinθ1
( + iZ
) ⋅ ( cosδ
+ i⋅
sinδ)
= ( cosδ
⋅ Z − sinδ
⋅ Z ) + ( sinδ
⋅ Z + cosδ
Z )
z = ⋅ eiδ 2 z1
= Z1x 1y
1x
1y
i 1x
⋅ 1y
in forma matriciale:
z 2
⎧Z2x
⎫ ⎡cosδ
⎪ ⎪
= =
⎢
⎨ ⎬ ⎢
⎪ ⎪
⎩
Z2y
⎭
⎢⎣
sinδ
Matrice di rotazione: [ R
]
− sinδ⎤
⎧Z1x
⎫
⎥ ⎪ ⎪
⎥
⋅ ⎨ ⎬
cosδ
⎥ ⎪ ⎪
⎦ ⎩
Z1y
⎭
⎡cosδ
=
⎢
⎢
⎢⎣
sinδ
− sinδ⎤
⎥
⎥
cosδ
⎥⎦
Im
O
z2
θ1
δ
θ2
z1
Re
4

2. CINEMATICA DEL PUNTO
2.1. MOTO NELLO SPAZIO
Coordinate parametriche di moto di un punto nello spazio:
t = tempo, variabile indipendente
⎧x
= x
⎪
⎨y
= y
⎪
⎪⎩
z = z
Velocità del punto (sottintesa la dipendenza dalla variabile indipendente tempo)
( t )
⎧ dx
⎪x&
=
dt
⎪
⎪ dy
⎨y&
=
⎪ dt
⎪ dz
⎪z&
=
⎩ dt
() t
() t
in forma vettoriale v = { i j k}
⎧v
⎪
⎪
⋅ ⎨v
⎪
⎪
⎩v
x
y
z
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
( t )
() t
() t
(simbologia alternativa: = x&
; v = y&
; v = z&
)
v x y z
2 2 2
v = v x + v x + v z
Modulo (=lunghezza =norma) del vettore velocità
Accelerazione del punto (sottintesa la dipendenza dalla variabile indipendente tempo)
⎧ d 2x
⎪x&
& =
⎪ dt 2
⎪ d 2y
⎨y&
& =
2
⎪ dt
⎪ d 2z
⎪z&
& =
⎪ 2
⎩ dt
( t )
() t
() t
in forma vettoriale a = { i j k}
(simbologia alternativa: = x&
& ; a = y&
& ; a = z&
& )
⎧ax
⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪
⋅ ⎨ay
⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
az
⎪⎭
ax y z
2 2 2
a = a x + ax
+ az
Modulo (=lunghezza =norma) del vettore accelerazione)
a = at
+ an
a t = vettore accelerazione tangenziale alla traiettoria
a = vettore accelerazione normale alla traiettoria
n
(8)
5

Parametri della TRAIETTORIA nello spazio
⎧v
x ⎫
⎪ ⎪
⎪
v
⎪
⎪v
y ⎪
Versore tangente: t()
t = { i j k}
⋅ ⎨ ⎬
(9)
⎪ v ⎪
⎪v
z ⎪
⎪ ⎪
⎩ v ⎭
v ∧ a
Versore binormale: b()
t =
(10)
v ∧ a
Versore normale principale: n() t = b()
t ∧ t(
t )
(11)
Curvatura: () t =
3
k
v ∧ a
v
(12)
3
1 v
Raggio di curvatura: ρ()
t = =
(13)
k()
t v ∧ a
2.2. MOTO NEL PIANO
Stesse espressioni del moto nello spazio con l’ovvia esclusione dei parametri cinematici relativi
all’asse z. Eccezione moto rotatorio nel piano:
⎧ 0 ⎫
⎪ ⎪
ωx = ωy
= 0; ωz
≠ 0;
ω = { i j k}
⋅ ⎨ 0 ⎬ = ωz
⋅ k
⎪ ⎪
⎩ωz
⎭
Parametri della TRAIETTORIA nel PIANO
Versore tangente: t()
t = { j}
Versore normale: n()
t = { j}
⎧v
x ⎫
⎪ ⎪
⎪ v ⎪
i ⋅ ⎨ ⎬
(14)
v
⎪ y ⎪
⎪
⎩ v ⎪
⎭
⎧ v y ⎫
⎪−
⎪
⎪ v ⎪
i ⋅ ⎨ ⎬
(15)
⎪
v x ⎪
⎪
⎩ v ⎪
⎭
v x ⋅ ay
Curvatura: k()
t =
− v y ⋅ ax
(16)
v 2 + v 2
( ) 3
x
y
6

1
Raggio di curvatura: ρ()
t =
k t
()
=
v
Componenti del vettore accelerazione
t = at
× t
t
x
( v 2 + v 2 )
⋅ a
a = a = componente della accelerazione tangente alla traiettoria
a = a = componente della accelerazione normale alla traiettoria
an
n = an
× n
2
n
x
y
− v
y
y
3
⋅ a
x
v
= relazione tra accelerazione normale, velocità e raggio di curvatura della traiettoria
ρ
(17)
7

3. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO
posizione
velocità
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
w
f
= ρ = + [ R]
⋅
P + w
&
P = ρ&
+ w&
= ρ&
+ ω ∧ w
f yP
O f
f
⎧x
⎪
⎨
⎪
⎩y
P
P
m yP
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
O m
f
⎧x
⎪
⎨
⎪
⎩y
Om
Om
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
f xP
m
f f
⎧x&
⎫ ⎧ ⎫
⎪
P x&
Om
⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⎬=
⎨ ⎬ + θ&
f
⋅m
⎪
⎩y&
P ⎪
⎭
⎪
⎩y&
Om ⎪
⎭
m xP
[ R]
⋅
m
⎧x
⎪
⎨
⎪
⎩y
P
P
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
m
⎧− y ⎫
⎪
P
⎪
⎨ ⎬
⎪
⎩ xP
⎪
⎭
segue
1

2
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
accelerazione
( )
( ) normale
accel.
e
tangenzial
accel.
=
∧
∧
=
∧
∧
∧
+
∧
+
=
w
w
w
w
P
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ρ
&
&
&
&
&
&
[ ] [ ]
[ ]
[ ] normale
accel.
e
tangenzial
accel.
2
2
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
θ
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
θ
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
Om
Om
f
P
P
f
y
x
R
x
y
R
y
x
R
x
y
R
y
x
y
x
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&

4. CINEMATICA DEL MOTO RELATIVO DEL CORPO RIGIDO
posizione
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
w1
w2
⎧xP
⎫ ⎧xOm
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f
= ⎨ ⎬=
⎨ ⎬+
m [ R]
⋅
⎪
⎩y
P ⎪
⎭
⎪
⎩yOm
⎪
⎭
1 2 w w P +
w1
f
f
w2
m
⎧x
⎪
⎨
⎪
⎩y
P
P
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
segue
3

4
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
velocità
relativa
velocità
nto
trasciname
velocità
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
=
=
+
+
=
∧
+
+
+
+
∧
+
=
+
=
rel
m
z
m
y
m
x
m
z
m
y
m
x
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
P
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
k
j
i
k
j
i
α
α
[ ] [ ]
[ ]
[ ] relativa
velocità
nto
trasciname
velocità
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
Om
Om
f
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
Om
Om
f
P
P
f
y
x
R
x
y
R
y
x
y
x
R
x
y
R
y
x
y
x
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
segue

5
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
accelerazione
( )
( )
Coriolis
accel.
2
relativa
accel.
nto
trasciname
accel.
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
=
∧
=
=
∧
∧
+
∧
+
∧
+
+
∧
∧
+
∧
+
=
rel
rel
rel
rel
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
P
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
α
α
α
α
α
α
α
α
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] Coriolis
accel.
2
relativa
accel.
nto
trasciname
accel.
2
2
2
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
θ
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
+
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
θ
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧−
⋅
⋅
θ
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
Om
Om
f
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
P
P
m
f
m
Om
Om
f
P
P
f
x
y
R
y
x
R
y
x
R
x
y
R
y
x
x
y
R
y
x
R
y
x
R
x
y
R
y
x
y
x
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&