CAPITOLO 3 - Dimeca

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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CAPITOLO 3
DINAMICA DEI SISTEMI FLUIDI
I sistemi idraulici a flusso incompressibile
Come noto un flusso si definisce incompressibile se la densità non varia con la pressione.
Tale comportamento che è tipico dei fluidi incomprimibili come i liquidi, può essere esteso
anche ai gas, che per loro natura sono dei fluidi comprimibili, solo se non si verificano dei
forti gradienti di pressione.
3.1 Reti idrauliche
La trasmissione di energia mediante dei circuiti idraulici piò o meno complessi comporta
l’interconnessione di differenti componenti. Poiché il comportamento dei componenti
idraulici viene descritto da relazioni che legano i segnali di ingresso con quelli in uscita come
la portata e la pressione, la presenza di tali interconnessioni, introdurrà dei legami fra le
diverse variabili. Molte di queste relazioni richiamano per analogia le leggi delle reti
elettriche se si associa alla corrente elettrica la portata volumetrica e al potenziale elettrico la
pressione.
Il principio di conservazione della massa, applicato alle reti idrauliche ovvero ai punti in cui
confluiscono più rami o linee del circuito (nodi del circuito idraulico), ha la stessa importanza
attribuita alla legge di Newton per i sistemi meccanici e si esprime con la seguente relazione:
dM
dt
.
.
= min
− mout
= 0
dove M è la massa di fluido nella connessione ed m in ed mout
sono le portate massiche di
fluido che complessivamente si presentano in ingresso ed in uscita dalla connessione. Tale
relazione in fondo stabilisce che tutta la portata entrante si ritrova in uscita dal nodo.
Nell'ipotesi di un nodo verso il quale confluiscono più rami, l'equazione 3.1) può essere
espressa come
m1
m2
nodo
m3
δp4
23
A
D
.
.
δp1
maglia
Figura 3.1a Configurazione di un nodo Figura 3.1b Configurazione di un maglia chiusa
N .
∑ i
i=
1
∑
δp3
B
3.1)
m = 0
δ = 0 ⇒ δp
− δp
− δp
+ δp
= 0 3.2)
pi 1 2 3 4
δp2
C

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Per la convenzione sui segni, se si assumono positive le portate entranti, quelle uscenti
risulteranno negative. Questa relazione richiama la prima legge di Kirchoff ai nodi per un
circuito elettrico. Nel caso di flusso incomprimibile, al posto della portata massica si può
sostituire quella volumetrica.
Per una interconnessione fra linee idrauliche che realizzano una maglia chiusa (figura 3.1b) si
può applicare l’analoga equazione della seconda legge di Kirchoff per le maglie elettriche. In
questo caso la caduta di tensione verrà sostituita dalla caduta di pressione lungo la linea.
Un altro aspetto di cui bisogna tener conto quando si opera con i liquidi è la presenza della
forza peso come contributo non trascurabile nelle equazione di equilibrio delle forze esterne
applicate al componente. Inoltre la pressione idrostatica che è presente in un generico punto
del fluido determina la stessa risultante in tutte le direzioni ed agisce perpendicolarmente alla
superficie.
3.2 Relazioni di perdita
Con il termine di perdita si intende quella condizione di resistenza al flusso che si genera
durante il movimento del fluido. Pertanto ad una resistenza idraulica si deve sempre associare
una caduta di pressione totale. Tale fenomeno è particolarmente evidente negli elementi
porosi e in tutti quei sistemi impiegati per la filtrazione dei liquidi.
• Setti porosi
Un fluido incomprimibile che attraversa un setto poroso soddisfa la legge di Darcy dedotta
dai risultati delle osservazioni sperimentali su un flusso d'acqua che attraversa un letto
filtrante di sabbia. Tale legge stabilisce:
Q k dP
= −
3.3)
A µ dl
dove Q è la portata volumetrica di liquido attraverso la sezione complessiva del condotto di
area A, µ è la viscosità del fluido e k è la permeabilità del mezzo poroso. Il termine dP/dl
rappresenta il gradiente di pressione attraverso il setto nella direzione del flusso. In relazione
alla geometria del setto poroso rappresentato in figura 3.2, l'equazione 3.3) diviene:
Q
P1
L
24
setto poroso
Figura 3.2 Configurazione del setto poroso
Q1− 2 k P2
− P
= − 1
A µ L
Pertanto la caduta di pressione attraverso il setto diventa:
P2
Q

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µ L
k A
1 2 1−
2 1−2
=
= − Q R Q
P P
f
Il setto poroso è caratterizzato pertanto da una resistenza idraulica Rf costante che definisce
questo elemento come componente statico e la relazione algebrica 3.4) che ne stabilisce il
comportamento è analoga alla legge di Ohm valida per le resistenze elettriche.
• Perdite concentrate
Un altro elemento di perdita idraulica è costituito dalle perdite concentrate introdotte
localmente dalla presenza di curve, valvole, variazioni brusche di sezione ecc. Pur essendo
degli elementi completamente diversi fra loro, essi hanno la medesima caratteristica di
introdurre una perdita di carico che viene valutata sperimentalmente. Poiché una perdita
concentrata non comporta un apprezzabile accumulo di fluido e si estende per una lunghezza
limitata, ne consegue che la presenza delle forze di massa e di superficie sono trascurabili.
Tali componenti possono allora essere assimilati a componenti statici la cui equazione
rappresentativa è simile all'equazione 1.2) introdotta per le valvole
Q1-2 = K sign(P1-P2) (⏐P1-P2⏐) 1/α 3.5)
dove α è definito sperimentalmente ed è prossimo a 2 mentre K è una quantità caratteristica
dell'ostruzione e dipende dalla sezione di passaggio e dai dettagli costruttivi del componente.
Da notare che l'equazione 3.5) è una relazione di tipo generale per valutare la perdita idraulica
perché essa è applicabile anche al caso del setto poroso ponendo α=1. Occorre tuttavia
sottolineare che tale relazione è non lineare e quindi è necessario linearizzarla nell'intorno del
punto di funzionamento se si vuole svolgere un'analisi lineare.
• Perdite distribuite
Le perdite distribuite sono rilevanti nelle lunghe condotte. Se si ipotizza nulla la capacità di
accumulo e si trascura la forza peso, i fattori che influenzano le perdite sono legate alla
scabrezza della tubazione, alle sue dimensioni, alla velocità del flusso e alla viscosità del
fluido. In particolare risulta determinante definire l'entità delle forze viscose rispetto a quelle
inerziali, ovvero occorre conoscere il valore del numero di Reynolds definito come Re= ρ V
Rh/µ con Rh raggio idraulico della condotta.
Q1-2
P1
1
d
L
Figura 3.3 Perdite distribuite in un condotto
Quando Re>2000 il flusso è turbolento, mentre per valori inferiori esso è laminare. La
resistenza offerta al passaggio del fluido in un condotto di elevata lunghezza, intesa come
forza d'attrito è espressa dalla seguente relazione:
Ff = B sign(V) ⏐V⏐ α
25
Ff
2
P2
Q1-2
3.4)
⎧1
flusso la min are
α = ⎨
3.6)
⎩2
flusso turbolento

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B è una costante che dipende dalla geometria del condotto, dalle proprietà del fluido e dalla
sua velocità media V=Q/A. Inoltre se si assume il flusso uniforme e unidirezionale, si può
legare la forza d'attrito alla caduta di pressione, Ff=A(P1-P2) essendo A la sezione netta
oppure si può far riferimento alla perdita di carico hL=(P1-P2)/(ρg).
La formula di Darcy-Weisbach,, dedotta dalle rilevazioni sperimentali sui condotti a sezione
circolare, stabilisce che hL= f L/d V 2 /(2g) dove f è il coefficiente d'attrito che dipende dal
numero di Reynolds e dalla scabrezza del tubo e si ricava dal diagramma di Moody o dalle
corrispondenti tabelle. Per un flusso laminare la perdita di carico è espressa dalla legge di
Hagen-Poiseuille hL=32 µ L V/(ρ g d 2 ), pertanto il fattore d'attrito diventa: f = 64 µ / (ρVd)
ovvero f = 64/Re.
Poiché Ff = A(P1-P2) =B (Q/A) α e tendo conto delle definizioni precedenti si ottiene:
ρ f L 2
Ff = ρ g AhL
= Q
3.7)
2Ad
Nel caso di flusso turbolento ponendo α=2 si ha:
Invece nel caso di flusso laminare per α=1 si ha:
26
2
⎛ Q ⎞ ρ f L 2
B⎜
⎟ = Q
⎝ A ⎠ 2Ad
Q
B
A
⇒
ρ f L A
B =
2d
32µ
L Q 32µ
L A
= ρ g A ⇒ B =
2 A
2
ρ g d
d
3.3 Induttanza o inertanza idraulica di una condotta
Un segmento di condotta è considerato un elemento inerziale se la massa di fluido è
sufficientemente rilevante da richiedere una forza significativa per accelerarla. Questo
comportamento è tipico dei condotti lunghi per i quali, come visto, diventa importante anche
la perdita di carico distribuita. La portata volumica del liquido è tuttavia costante in quanto si
ritiene che non si possa realizzare un significativo accumulo di fluido.
Q, C
P1A
1
z1
Mg
Ff
L
2
z2
P2A
Figura 3.4 Inertanza di una condotta a sezione costante
Considerando lo schema di figura 3.4 si può applicare l'equazione di equilibrio delle forze
esterne agenti sul volume di controllo, e considerando quindi la sua proiezione nella direzione
del moto.
ϑ
Q, C

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dC
M gsinϑ
+ p1A
− p2
A − F f = M
3.8)
dt
Poiché M=ρAL e sinϑ=(z1-z2)/L si ottiene:
L dQ
p p F
1 − 2 f
= gz ( 1 − z2)
+ −
A dt
ρ ρ A
3.9)
dove compare l’induttanza o inertanza della condotta I=L/A.
3.4 Capacità idraulica
La capacità idraulica è la caratteristica che contraddistingue tutti i componenti che sono in
grado di realizzare considerevoli accumuli di massa.
Q1
h
Figura 3.5 Serbatoio a pelo libero
27
Volume di
controllo
Il classico elemento idraulico con queste caratteristiche è rappresentato dal serbatoio a pelo
libero di figura 3.5. Se si applica la relazione generale di conservazione della massa in regime
non stazionario al volume di controllo che è stato scelto coincidente con il serbatoio
medesimo, si ottiene:
N .
∑ mi
=
i=1
dM
dt
Q2
3.10)
Nel caso rappresentato in figura 3.5 in cui è presente un solo ingresso e una sola uscita,
l’equazione si semplifica notevolmente tenendo conto anche dell’incomprimibilità del fluido
e dell’indeformabilità del serbatoio:
m m A dh
. .
1− 2 =ρ 3.11)
dt
La quantità ρA=C rappresenta la capacità idraulica del serbatoio ed indica la massa di
liquido necessaria per determinare la variazione unitaria della quota del pelo libero.
Se invece si vuole tenere conto anche della comprimibilità del fluido e della deformabilità
delle pareti, come ad esempio nel caso di un serbatoio in pressione, occorre:
a) introdurre il coefficiente di comprimibilità del liquido:
dρdp = 3.12)
ρ β
b) considerare l'elasticità dei materiali: un aumento della pressione del fluido determina il
proporzionale incremento del volume iniziale V del serbatoio:
dV dp
=
3.13)
V K
1

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Per analizzare il comportamento del sistema in queste condizioni è possibile introdurre le
precedenti definizioni nella relazione generale della conservazione della massa secondo gli
sviluppi matematici riportati nelle relazioni 3.14) e 3.15)
dM dρ
dV ⎛ 1 1 ⎞ dp
= V + ρ = ρV
dt dt dt
⎜ +
K
⎟
3.14)
⎝ β 1 ⎠ dt
Se il termine dentro parentesi viene interpretato come il coefficiente di comprimibilità
equivalente del serbatoio in pressione (1/β+1/K1)=1/β’, allora nell’equazione 3.10) la
derivata temporale della massa di liquido contenuta nel serbatoio diviene:
dM M dp dp
= = C
3.15)
dt '
β dt dt
dove C=M/β’ rappresenta la capacità equivalente del serbatoio in pressione. Nel caso di un
serbatoio in pressione di diametro D e spessore s realizzato con un materiale avente modulo di
elasticità E il coefficiente di elasticità del serbatoio si valuta come:
Es
K1
= 3.16)
D
Per un serbatoio in acciaio E=200 GN/m 2 , mentre il coefficiente di comprimibilità dell’acqua
è di 2 GN/m 2 pertanto il coefficiente di comprimibilità equivalente del serbatoio in pressione
è, prossimo al coefficiente di comprimibilità del liquido.
Inoltre confrontando la capacità idraulica per un recipiente in pressione con quella per un
serbatoio a pelo libero, si evince che la prima risulta molto più piccola della seconda a parità
di massa di liquido M contenuta nei serbatoi.
3.5 I modelli matematici di alcuni impianti idraulici
Il tempo di svuotamento di un serbatoio
Si consideri il sistema di figura 3.6 composto da un serbatoio a pelo libero e da una valvola
che ne regola l'efflusso. Per determinare il tempo di svuotamento del serbatoio occorre
definire le relazioni caratteristiche di ciascun componente partendo sempre dalle equazione
espresse nella forma generale non stazionaria.
h 1 2
Figura 3.6 Svuotamento di un serbatoio a pelo libero
Per definire il comportamento non stazionario del serbatoio si è detto che si deve applicare
l'equazione di conservazione della massa. Nel caso specifico essa assume la forma
dell'equazione 3.17) che rappresenta pertanto l'equazione caratteristica del serbatoio, dove si è
ancora una volta indicato con C la sua capacità idraulica.
d
dh dh
− = ( ρ Ah)
= ρA
= C
3.17)
dt
dt dt
m .
28
m

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Per quanto riguarda il comportamento della valvola esso viene rappresentato da un'equazione
algebrica avente la forma seguente:
.
m = K P − P
3.18)
1
1
2
Da notare che il termine K1, che tiene conto sia delle perdita di carico attraverso la valvola sia
della sezione di passaggio, viene per il momento considerato costante. Se ora si ipotizza che
lo scarico avvenga in atmosfera, allora P2=0, e poiché P1=ρgh si ottiene l'equazione della
valvola in funzione della quota h:
.
m 2 d
= K h con K = ρ A C 2g
3.19)
Questa relazione è non lineare in h pertanto pone dei problemi nella determinazione della
funzione di trasferimento del sistema con la metodologia classica valida per i sistemi lineari.
Il problema si può superare effettuando la linearizzazione di tutte le relazioni non lineari che
caratterizzano il comportamento del sistema. La validità del metodo lineare è però limitata a
piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio. L'equazione linearizzata della valvola
in funzione delle piccole variazioni δh e δm è la seguente:
.
δ h = Rδ
m
3.20)
L'equazione del serbatoio in funzione delle piccole variazioni diventa:
( h)
− δ
d
= C
dt
3.21)
Combinando le relazioni 3.20) e 3.21) si ottiene:
m . δ
( δ h)
d
−
δ h
=
1
RC
dt
29
3.22)
Integrando la 3.22) e assumendo come condizione iniziale quella che al tempo t=0 sia h=ho si
ottiene:
−
t
RC
h = hoe
3.23)
La quantità RC=τ rappresenta la costante di tempo del sistema serbatoio-valvola e definisce il
tempo di svuotamento del serbatoio nel caso di portata costante e caratteristica R della valvola
indipendente da h. Infatti ricordando le definizioni di C ed R si ottiene:
h M
τ = RC = ρ A =
3.24)
. .
m m
Se invece si mantiene l'equazione generale non lineare della valvola si ottiene:
− K
dh
h = C
dt
⇒
dh K
= − dt
h C
3.25)
Integrando la 3.25) con la stessa condizione iniziale usata per l'equazione lineare si ottiene:

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K
. . 2
K
h = ho
− t ⇒ m = mo
− t
3.26)
2C
2C
Pertanto si osserva che il livello diminuisce parabolicamente al trascorrere del tempo mentre
la portata diminuisce anch'essa ma linearmente. In tal caso il tempo di svuotamento si ricava
imponendo h=0 nella 3.26) ottenendo:
* 2C
ho
t = 3.27)
K
Il risultato ottenuto con l'analisi non lineare è sostanzialmente diverso da quello ottenuto
precedentemente con l'analisi lineare che tuttavia mantiene la sua validità quando è necessario
studiare il sistema di controllo del livello del serbatoio. In quel caso poiché si deve operare
intorno al valore di set-point è pienamente giustificata l'analisi lineare.
La regolazione di livello di un serbatoio a pelo libero
Si vuole considerare l'impianto di figura 3.7 per analizzare il problema della regolazione di
livello del serbatoio a pelo libero tramite una valvola in uscita. Le equazioni che
caratterizzano il serbatoio e la valvola sono rispettivamente:
. . dh dh
m1
− m2
= ρ A = C
3.28)
dt dt
.
m2 1 2
d 2
= K P − P con K = C A 2ρ
3.29)
m1
h 1 2
Figura 3.7 Regolazione di livello di un serbatoio a pelo libero
Poiché la valvola opera in modulazione, la portata in uscita m2 dipende non solo dalla
differenza di pressione ma anche dalla sezione di passaggio A2 che varia durante la
regolazione. In questa modalità di funzionamento è possibile operare la linearizzazione delle
equazioni. Inoltre si tiene conto che p1-p2 = ρgh.
.
2
m
.
.
. . ⎛
m
⎞ ⎛
m
⎞
2
2
f ( A , h)
m m
⎜ ∂
2
2 2
δA
⎜ ∂
= ⇒ =
⎛ ⎞ ⎟
⎟
⎜ ⎟ +
⎜
2 + δh
⎝ ⎠o
∂A
⎟ ⎜
2 ∂h
⎟
3.30)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Le derivate parziali sono valutate nel punto di equilibrio attorno al quale avviene la
regolazione di livello e possono essere determinate a partire dall'equazione della valvola.
.
.
⎛
m
⎞ ⎛
2 m
⎞
⎜ ∂ ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎜
=
∂A
⎟ ⎜
2 A ⎟
2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o
o
30
o
.
⎛
m
⎞
⎜ ∂ 2 ⎟
⎜ ∂h
⎟
⎝ ⎠
o
A2
.
⎛
m
⎞
2 =
⎜ ⎟
⎜ 2h
⎟
⎝ ⎠
o
o
m2
3.31)

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Tenendo conto della 3.31) la 3.30) diviene:
. .
. .
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜
δA2
δh
m − ⎜ ⎟ = =
+ ⎟
2 . m2
δ m2
m2
3.32)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ o o ⎟
o
o ⎝
A 2 h
2 ⎠
La relazione 3.32) permette la rappresentazione grafica del diagramma di flusso della valvola
che è riportata in figura 3.8.
δA 2
.
o
m2
o
A2
+
+
31
δm 2
.
o
m2
o
2h
Figura 3.8 Diagramma a blocchi della valvola
E possibile definire la sezione di passaggio della valvola in funzione della posizione
dell'otturatore con una relazione lineare anche nei casi in cui il loro legame sia non lineare, in
seguito ad un’operazione di linearizzazione intorno alla posizione di equilibrio: δA2=Kv xv.
Per quanto riguarda il diagramma di flusso del serbatoio esso può essere rappresentato in
modo semplice dopo aver effettuato la trasformata di Laplace della 3.28) e aver ricavato la
funzione di trasferimento:
. .
. .
δ m1−
δ m2
δ m1−
δ m2
= ρ A sδh
⇒ δh
=
3.33)
ρ A s
δm1
+
-
δm2
1
ρ A
Figura 3.9 Diagramma a blocchi del serbatoio
Riunendo i due diagrammi a blocchi si ottiene il flusso di informazioni per l'intero sistema
(figura 3.10) in cui δh è la variabile di uscita, δm1 è il disturbo, mentre xv è la variabile di
controllo da determinare attraverso il sistema di controllo e da applicare mediante un attuatore
composto da un servomotore e da un convertitore elettropneumatico (figura 3.11).
δx v
kv
δA 2
.
o
m2
o
A2
+
+
Figura 3.10 Diagramma a blocchi del sistema completo serbatoio-valvola
δm 2
s
δm 1
-
.
o
m2
o
2h
δh
+
δh
δh
1
ρ A
s
δh

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Riferendosi allo schema di figura 3.11 si nota che il regolatore effettua la correzione (ad
esempio proporzionale), dell'errore esistente fra il valore di riferimento o set-point h o ed il
valore attuale misurato dal trasduttore di livello. Il diagramma a blocchi corrispondente al
sistema di regolazione riportato in figura 3.11, è rappresentato in figura 3.12.
m1
h 1 2
misuratore di
livello
-
h o
set-point
+
32
A2
regolatore
m2
servomotore
convertitore
elettropneumatico
Figura 3.11 Sistema di regolazione del livello di un serbatoio a pelo libero
δxv
Valvola
kv
GCM
δA2
.
o
m 2
o
A 2
GR
Convertitore Regolatore
Servomotore h o
+
+
δm2
-
+
.
o
m2
o
2h
δm1
-
GT
+
δh
Trasduttore
di livello
Figura 3.12 Diagramma a blocchi del sistema di regolazione serbatoio-valvola
La regolazione di livello di un serbatoio con pompa aspirante
Nel caso in esame rappresentato in figura 3.13, la regolazione di livello avviene mediante una
pompa aspirante ed il sistema di controllo interviene sulla velocità di rotazione della pompa
per variare la portata elaborata m2.
Rispetto al sistema di controllo precedente che prevedeva la regolazione sulla valvola in
uscita, ora occorre definire il legame fra la variabile di controllo costituita dalla velocità
angolare Ω della pompa e la variabile controllata h. Per tale ragione è necessario definire la
caratteristica della pompa, intesa come relazione fra la portata m2 e la sua velocità angolare
Ω. Si ipotizza che questa possa essere espressa da una relazione lineare del tipo m2=Kp Ω.
Tale ipotesi è accettabile in quanto, operando in regolazione intorno al punto di equilibrio, è
possibile ricorrere eventualmente alla linearizzazione di tutte le relazioni non lineari che
descrivono il comportamento del sistema. Per una descrizione del comportamento del sistema
più aderente alla realtà, occorre includere anche la natura dinamica del motore e della pompa.
Infatti una loro caratterizzazione statica non tiene conto dei ritardi nella risposta susseguenti
1
ρ A
s
δh

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ad una variazione dell’ingresso. Pertanto si può pensare di introdurre una o due costanti di
tempo significative che definiscono un blocco di ritardo del motore GM.
In figura 3.14 è riportato il corrispondente diagramma di flusso del sistema di regolazione con
pompa aspirante rappresentato in figura 3.13.
h o
+
h
misuratore di
livello
m1
-
h o
set-point
m2
+
33
pompa
Ω
regolatore
motore
Figura 3.13 Regolazione del livello del serbatoio con una pompa aspirante
−
Regolatore
Ritardo
motore
Trasduttore
di livello
Pompa
GR GM KP
GT
Ω
−
+
Serbatoio
1/ρAs
Figura 3.14 Diagramma a blocchi del sistema di regolazione serbatoio-pompa aspirante
Il modello matematico di due serbatoi collegati in serie
Un sistema idraulico leggermente più complesso è quello rappresentato in figura 3.15 in cui
due serbatoi sono collegati in serie da una lunga tubazione e le condizioni verso l’utilizzatore
sono regolate da una valvola posta allo scarico del secondo serbatoio. Il sistema si compone
pertanto di due serbatoi, di una valvola di regolazione e di una tubazione.
h1
1
m0
m1
R1
Figura 3.15 Impianto con due serbatoi collegati in serie
2
h2
m2
m1
Rv
xv
m2
h

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Per quanto riguarda il comportamento dinamico del sistema, tenendo conto della caratteristica
capacitiva dei serbatoi e di quella resistiva della tubazione 1 e della valvola, è possibile
assimilare l’impianto idraulico di figura 3.15 al circuito elettrico equivalente di figura 3.16
applicando le regole dell’analogia elettrica ai sistemi idraulici. Le relazioni matematiche che
definiscono il comportamento dei 4 componenti il circuito idraulico sono le seguenti:
1. serbatoio 1 m m A dh
.
.
1
0− 1 =ρ 1
3.34)
dt
2. serbatoio 2 m m A dh
. .
2
1− 2 =ρ 2
3.35)
dt
δAδhm δ
3. valvola δ m m
δ
A h A A
. . ⎛ ⎞
v 2 2 h2
2 = 2⎜
+ ⎟ = v + 3.36)
⎝ v 2 2 ⎠ v R2
.
4. tubazione δh − δh = Rδm 3.37)
1 2 1 1
Come si può notare le equazioni della valvola e della tubazione sono state riportate nella
forma linearizzata facendo comparire le caratteristiche resistive dei componenti definite
rispettivamente con R2 ed R1.
ρA1
R1
m0 m1
34
ρA2
.
δAv2h o 2/A o v
Figura 3.16 Schema elettrico equivalente all’impianto idraulico con due serbatoi posti in serie
Proseguendo nell’analisi linearizzata ed operando la trasformata di Laplace delle equazioni
differenziali si ottiene il seguente sistema di equazioni lineari:
. .
δ m0
− δ m1
= ρA1sδh1
. .
δ m1−
δ m2
= ρA
sδh
1
2
.
o
2
o
v
. m δh2
δ m2
= δAv
+
A Rv
.
δh
− δh
= R δ m1
1
2
2
m2
Rv
3.38)
Le equazioni linearizzate 3.38) del sistema possono essere rappresentate nel diagramma di
flusso di figura 3.17. La sezione di passaggio della valvola viene variata agendo sulla
posizione del suo otturatore alla quale è legata da una relazione lineare.
Se si considera il contributo relativo alla sola inertanza della tubazione di lunghezza L e
sezione costante At, allora secondo la relazione 3.9) si ha:
1
Nell’ipotesi di trascurare la caratteristica induttiva della tubazione e di considerare solo le perdite di carico
distribuite lungo la linea.

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
________________________________________________________________________________________________________________
p
1
.
L d m1
L d m1
− p2
= ⇒ h1
− h2
=
3.39)
A dt
ρ gA dt
t
Tale contributo se sommato al termine di perdita considerato precedentemente fornirà
complessivamente l’impedenza induttiva della tubazione.
Ls .
δh1 δh2
R1
δ m1
ρ gA ⎟
t
⎟
⎛ ⎞
− = ⎜ +
3.40)
⎝ ⎠
Il termine fra parentesi rappresenta proprio l'impedenza Zc della condotta e rappresenta
pertanto un numero immaginario.
δxv
Valvola
kv
.
L s
δ h1
− δh2
= Z c δ m1
⇒ Z c = R1
+
3.41)
ρ gA
δAv
.
o
m2 o
Av
δm0
+
+
+
δm1
δm2
-
Figura 3.17 Diagramma di flusso dell’impianto idraulico con due serbatoi collegati in serie
Impianto idraulico con serbatoio - condotta forzata - valvola
Un sistema che raggruppa i tre elementi idraulici aventi caratteristiche elastiche, inerziali e
dissipative è rappresentato in figura 3.18. Il sistema di alimentazione mediante condotta
forzata può essere studiato mediante l’analisi linearizzata facendo riferimento alle relazioni
riportate precedentemente per i tre componenti.
serbatoio m m A dH
. .
0− 1 =ρ 3.42)
dt
tubazione δhI − δhII = Zcδm1 3.43)
valvola δm
δ δ
m A
.
2
.
o v hII
= 2 + o
A R
3.44)
v
35
1/Rv
t
δm1
.
-
v
+
1
ρ A1 1/R1
s
.
δh2
δh1
+
t
1
ρ A2 s
-
δh2

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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m0
H
m1
zI
I
Figura 3.18 Impianto con serbatoio - condotta forzata - valvola
Tenendo presente che il carico totale nella sezione I vale hI = zI + pI/(ρg) + CI 2 /2g = H e
trasformando l’equazione differenziale del serbatoio con la trasformata di Laplace, si ottiene:
.
0
.
1
δ m − δ m = ρ AsδH
v
o
v
.
1
δH
− δhII
= Zcδ
m
.
δ m2
.
o δA
= m2
A
δh
+
R
36
II
v
II
Rv
xv
m2
3.45)
Combinando le equazioni e risolvendo rispetto alla variazione della quota δH del serbatoio si
ottiene dopo alcuni passaggi la seguente espressione:
.
⎡ .
o
⎤
Rv
m2
= ⎢ Z 2 δ m0
δAv
δ H
− ⎥
. o
+ ⎢ o ⎥
3.46)
1 ρ A Z 2 s Rv
Av
⎣ m2
⎦
Dove con Z2=Rv+Zc si è indicata l’impedenza equivalente del sistema condotta-valvola.
Il corrispondente diagramma di flusso di tale sistema viene schematizzato in figura 3.19.
δm0
+
δm2
-
1/(ρAs)
1/(Rv+Zc)
+
δH
+
m o 2 Rv/A o v
Figura 3.19 Diagramma di flusso dell’impianto serbatoio-condotta-valvola
Impianto idraulico con serbatoio - galleria - condotta forzata – valvola
Il circuito idraulico di figura 3.20 ricorda il sistema di alimentazione di una centrale
idroelettrica per la presenza di un bacino di raccolta, cha alimenta tramite la galleria e un
pozzo piezometrico la condotta forzata il cui efflusso è regolata dalla valvola di regolazione.
Adottando ancora l’analisi linearizzata le equazioni dei diversi componenti sono:
δAv
kv
xv

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serbatoio
galleria δh − δh = Z δm
vaso di espansione
. . dh1
m0
− m1
= ρA1
3.47)
dt
1 2 g 1
37
.
3.48
. . dh2
m1−
m2
= ρA2
3.49)
dt
condotta forzata δhI − δhII = Zcδm2 3.50)
valvola δm
δ δ
m A
.
2
.
o v hII
= 2 + o
A R
3.51)
m0
h1
m1
Zg
h2
Figura 3.20 Impianto con serbatoio – galleria - condotta forzata - valvola
Passando dal dominio del tempo a quello della variabile complessa s, si può ottenere
facilmente il diagramma dell’informazione che viene rappresentato in figura 3.21
xv
δmo
+
δm1
δm2
-
+
-
v
I
1/(ρA1s)
1/Zg
.
1/(ρA2s)
1/(Zc+Rv)
δAv
kv m o 2 Rv/A o v
Figura 3.21 Diagramma di flusso dell’impianto serbatoio-galleria-
vaso di espansione-condotta forzata-valvola di regolazione
v
ZC
+
-
δh1
δh2
+
+
II
Rv
xv
m2

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3.6 Analisi lineare del comportamento dinamico di un impianto idroelettrico
Come noto fra gli impianti di generazione dell’energia elettrica, quelli idroelettrici hanno il
compito di soddisfare le richieste di punta dell’utenza attraverso la regolazione del carico
elettrico.
Per tutti gli impianti idroelettrici sia per quelli a bacino che ad acqua fluente, è possibile
definire uno schema a blocchi di tipo generale come quello rappresentato in figura 3.22 che
definisce il flusso delle informazioni presenti fra i vari sottosistemi. In esso sono rappresentati
3 sistemi fondamentali corrispondenti al sistema idraulico, al distributore con la turbina e al
servoposizionatore, in genere di tipo idraulico, che aziona il distributore.
Dall'esame della figura 3.22 si può ricavare il legame fra l’uscita del regolatore (β) e la
potenza meccanica netta Pm,, sapendo che β rappresenta l’angolo di rotazione dell’albero di
regolazione che comanda il distributore della turbina attraverso un servoposizionatore di
potenza adeguata.
β
Sistema di
comando del
distributore
Sistema di
comando dei
tegoli
A
38
H
Sistema
idraulico
Distributore
e
Turbina
Q
Legge di
parzializzazione
Figura 3.22 Diagramma a blocchi di un impianto idroelettrico
Dal punto di vista del controllo della potenza meccanica e della regolazione della frequenza
risultano più interessanti gli impianti idroelettrici ad alta caduta con turbina Pelton. In questo
caso il distributore è costituito da un ugello e dalla rispettiva spina Double comandata
attraverso i servoposizionatori dall’albero di regolazione. Per un’analisi più completa
occorrerebbe tener conto sia del comando dei tegoli deviatori (azionati direttamente
dall’albero di regolazione per evitare i ritardi di risposta) sia della legge di parzializzazione
della potenza meccanica nel caso in cui i tegoli intercettino i rispettivi getti (figura 3.23).
Le condizioni di funzionamento dell’impianto dipendono ovviamente dai livelli dei bacini di
alimento e di scarico, anche se si può ipotizzare che eventuali variazioni di quota risultino
trascurabili con la portata 2 . Inoltre si indica con A l’apertura del distributore, intesa come
sezione utile della vena fluida in arrivo alla ruota Pelton, con Q la portata volumetrica inviata
dal distributore e con H l’energia specifica del fluido all’ingresso del distributore.
La funzione di trasferimento del servoposizionatore, che stabilisce il legane fra la rotazione β
dell'albero di regolazione e l’apertura A del distributore, può essere rappresentata dalla
seguente relazione.
β
=
K v
Gv
( s ) =
1 + T s
A v
Pm
Ω
3.52)
2 Si ipotizza che i bacini di alimentazione e di scarico possiedano una quota costante durante la fase di
regolazione, ovvero che siano caratterizzati da una capacità infinita. Questa ipotesi di lavoro tuttavia non
penalizza lo studio della regolazione dell’impianto idraulico perché le lievi variazioni che possono presentarsi
nella realtà non sono tali da influenzarne significativamente il comportamento.

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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Kv è il guadagno statico del servoposizionatore che dipende dalla caratteristica statica del
servoposizionatore A(β) e varia con il punto di lavoro se essa è non lineare mentre Tv è la
costante di tempo del servomeccanismo idraulico che può variare fra 0.1-0.3 s.
Una caratteristica statica non lineare del servoposizionatore potrebbe essere appositamente
prescritta in modo da presentare una bassa sensibilità nella condizione di funzionamento a
vuoto. Inoltre la legge di variazione di A con β potrebbe presentare una insensibilità non
trascurabile con valori pari a 0.2-0.5% del valore di massima apertura.
Figura 3.23 Schema del distributore regolatore della portata di una turbina Pelton
Turbina-distributore
Dal diagramma a blocchi di figura 3.22 si può osservare che le uscite del blocco turbina –
distributore, ovvero la potenza meccanica Pm e la portata volumetrica Q, sono dipendenti dai
valori che assumono gli ingressi, ossia la velocità angolare Ω, il salto netto H e la sezione di
passaggio del distributore A. Ipotizzando che tale legame possa essere espresso mediante
delle relazioni di tipo algebrico e quindi senza alcun ritardo dinamico, si potrà in generale
scrivere che Pm = f(Ω, A, H) e Q=f((Ω, A, H). Inoltre nel caso di piccole variazioni delle
grandezze in ingresso rispetto al punto di equilibrio anche le grandezze in uscita subiranno
delle piccole variazioni esprimibili con le seguenti relazioni:
δP
P
m
o
m
= K
δQ
= K
o
Q
PA
QA
δA
+ K
o
A
δA
+ K
o
A
PΩ
QΩ
δΩ
+ K
o
Ω
δΩ
+ K
o
Ω
39
PH
QH
δH
H
H
o
o
δH
3.53)
Inoltre poiché la potenza meccanica è espressa come Pm=η ρ g H Q, espandendo tale
relazione in serie di Taylor e trascurando i termini di ordine superiore al primo e
considerando η, ρ e g costanti, si ottiene:

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
________________________________________________________________________________________________________________
dove:
o
o
o ⎛ ∂P
P
P P m ⎞ ⎛ ∂
Q m ⎞
m = m + ⎜ ⎟ δ + + ⎜ ⎟ δH
+ H . O.
T .
3.54)
⎝ ∂Q
⎠H
⎝ ∂H
⎠Q
o
⎛ ∂Pm
⎞
⎜ ⎟ = ρη g H
⎝ ∂Q
⎠
H
o m
40
o
⎛ ∂P
⎞
o
⎜ ⎟ = ρη g Q
3.55)
⎝ ∂H
⎠
Sostituendo le 3.55) nella 3.54) e riordinando si ottiene:
δPm δQ δH
≈ + 3.56)
o o o
P Q H
m
Nel caso di una turbina Pelton tutta l’energia specifica H presente a monte del distributore si
trasforma integralmente in energia cinetica se si trascura l’energia potenziale del getto e
quella di pressione perché riferita alle condizioni atmosferiche. In tal caso la portata
volumetrica attraverso il distributore si può esprimere come:
Q
Q= AC1= A 2 gH
3.57)
Questa relazione, che definisce un legame non lineare fra la portata volumetrica Q e l’energia
specifica H disponibile per il distributore, può essere linearizzata utilizzando il medesimo
procedimento applicato precedentemente per l’espressione della potenza.
dove:
o
o Q Q
Q= Q + A H H O T
A H
⎛ ⎞
⎜ ⎟ +
⎝ ⎠
⎛ ∂ ∂ ⎞
δ ⎜ ⎟ δ + . . . 3.58)
∂ ⎝ ∂ ⎠
o
⎛ ∂Q⎞
o Q
⎜ ⎟ = 2gH
=
⎝ ∂A⎠
A
H
H
o
o
o
A
o o
⎛ ∂Q
⎞ 2gA
⎜ ⎟ = =
⎝ ∂H
⎠
o
A 2 2gH
1
2
Q
H
o
o
3.59)
Sostituendo le 3.59) nella 3.58) e trascurando i termini di ordine superiore al primo si ottiene:
δQ δA δH
≈ +
Q A 2H
o o o
⎧K
⎪
Confrontando la seconda delle 3.53) con la 3.60) si osserva che ⎨K
⎪
⎩
K
sostituendo la 3.60) nella 3.56) si ottiene:
δPm δA δH
= + o o o
P A H
3
2
Pertanto confrontando la 3.61) con la seconda della 3.53) si osserva che:
m
⎧K
⎪
⎨K
⎪
⎩K
PA
PΩ
PH
QA
QΩ
QH
3.60)
= 1
= 0 Inoltre
= 1/ 2
= 1
= 0
= 3/ 2
3.61)

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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Sistema idraulico
Per quanto concerne il sistema idraulico la figura 3.22 mette in evidenza un legame tra le due
variabili: la portata Q e l'energia specifica H. Tale relazione che evidenzia il comportamento
dinamico del sistema, può essere espressa introducendo il concetto di impedenza complessiva
Zw del sistema idraulico:
δ H = ZW
( s ) δQ
3.62)
Esprimendo la 3.62) in funzione delle variazioni relative delle grandezze coinvolte si ottiene:
e sostituendo nella 3.60 si ottiene:
0
δH
Q δQ
= Z
o o W ( s )
o
H H Q
⎛
⎞
⎜
⎟
0
δQ
δA
1 Q δQ
δQ
⎜ 1 ⎟ δA
= + Z
o o o W ( s ) ⇒ =
o o ⎜
o ⎟ o
Q A 2 H Q Q
⎜
ZW
Q
⎟
A
⎜1
−
o ⎟
⎝ 2 H ⎠
quest'ultima se viene sostituita nella 3.63 porge:
⎛ ⎞
o
δHZ Q
⎜
W 1
⎟
δA
= ⎜ ⎟
o o
o o
H H ⎜ ZW Q ⎟ A
⎜ 1 − ⎟
⎝
o
2 H ⎠
41
3.63)
3.64)
3.65)
Sostituendo infine la relazione 3.65) nella 3.61) si può ottenere la funzione di trasferimento
Ga(s) del sistema complessivo turbina e sistema adduttore:
Z
δP δAZ Q
δAδ P A H Z Q A
H
Q
o
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
o ⎜ ⎟ ⎜ 1 +
m 3 W 1
W o ⎟
H A
= + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
o o
o
o o
o o
m 2 ⎜ W ⎟ ⎜ ZW Q ⎟ A
⎜ 1 − ⎟ ⎜ 1 − ⎟
⎝
o ⎠ ⎝
o
2
2 H ⎠
Z
P P
G s
A A
Q ⎛
o ⎜ 1 +
δ
W
m m H
a(
)= = ⎜
o
δ ⎜ ZW Q
⎜ 1 −
⎝ 2 H
o
o
o
o
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
3.66)
3.67)
L’espressione dell’impedenza equivalente del sistema idraulico Zw, si determina seguendo il
procedimento utilizzato nello studio dei diversi componenti idraulici esaminati. Nel caso
specifico dell’impianto idroelettrico con turbina Pelton, si considera, per semplicità e per
separare i diversi contributi, che il sistema idraulico sia composto dalla sola condotta forzata
alimentata da un serbatoio con livello costante. Si trascurano inoltre le perdite di carico in
condotta e si assume il fluido incomprimibile e le pareti della condotta indeformabili. In tal
caso l’equazione caratteristica della condotta forzata risulta:

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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H H I dQ
Lc
v − = c Ic
= 3.68)
dt
gA
dove si è indicato con Hv il valore del carico totale all’ingresso della condotta forzata
supposto costante e con H quello alla sua uscita mentre Ic rappresenta l’inertanza idraulica
della condotta e Q la portata che l’attraversa.
In condizioni di funzionamento stazionarie risulta evidentemente Hv=H o . Pertanto esprimendo
la 3.68) in funzione delle piccole variazioni e effettuando la trasformata di Laplace si ottiene:
H H I dQ
o δ
− = c
dt
⇒ − δH = Icsδ Q
3.69)
che quest'ultima relazione viene confrontata con la 3.62) si ottiene che l'impedenza Zw = -Ic s.
Sostituendo la 3.69) nella 3.67) si ottiene la seguente forma generale della funzione di
trasferimento:
1 − W s
Ga( s)= Ka
1 + W s
1
τ
τ
2
3.70)
con K
a
P
I
A
Q
o
o
m = τ o W = c rappresentano rispettivamente il guadagno statico e il tempo di
o
H
avviamento della condotta.
Si può notare infatti che essendo la potenza proporzionale al prodotto QH e la portata per la
3.57) dipendente dalla sezione A e dalla radice quadrata di H, si può concludere che in
definitiva Pm è proporzionale ad AH 3/2 . Pertanto con le ipotesi fatte (H ed η costanti) il
guadagno statico risulta costante ed indipendente anche dal punto di lavoro. In realtà se al
variare del punto di lavoro il rendimento subisse delle variazioni considerevoli allora anche
Ka dovrebbe variare.
Il tempo di avviamento della condotta τW risulta, per H=cost., direttamente proporzionale alla
portata volumetrica Q. Pertanto, definite le condizioni di funzionamento nominali, per gli altri
punti di lavoro il tempo di avviamento sarà dato da:
o
Q
τW= τ
Q
( )
o
n om
W n om
42
c
3.71)
Per gli impianti idroelettrici con turbina Pelton il tempo di avviamento della condotta, in
condizioni operative nominali, può variare tra 0.5-1.5 secondi. Si può inoltre notare che
poiché
τ
W
o
ρLA
o
c c
Q Lc
c
o
o o
H gA ρ
Q ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ A ⎠
= =
gH Q
c
2
3.72)
esso rappresenta il rapporto fra il doppio dell’energia cinetica della massa d’acqua contenuta
nella condotta che assume la velocità Q o /A o e la potenza del getto. In definitiva τW
rappresenta il tempo che impiega la massa d’acqua a percorrere la condotta in assenza di
attriti.

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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Si può allora studiare il comportamento della funzione di trasferimento del sistema Ga(s) nel
dominio della frequenza, fornendone una rappresentazione grafica attraverso il diagramma di
Bode di figura 3.24), per due differenti valori del tempo di avviamento della condotta τW.
15
Gain dB
10
5
0
-90
-180
10 -1
0
Phase deg
10 -1
τW=1 s
10 0
10 0
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
43
10 1
10 1
Figura 3.24 Diagramma di Bode della f.d.t. Ga(s)
τW=0.5 s
Il comportamento del sistema può però essere influenzato da alcuni fattori che in questa
analisi preliminare sono stati trascurati. Infatti si può esaminare l’influenza sulla funzione di
trasferimento determinati da:
• perdite di carico per attrito nella condotta forzata
• elasticità delle pareti della condotta e del fluido (comprimibilità)
• presenza della galleria in pressione e del pozzo piezometrico
Influenza delle perdite di carico
Per tener conto delle perdite di carico nella condotta occorre modificare la relazione 3.68)
aggiungendo il termine di perdita che, nel caso di flusso turbolento, ha la forma RcQ 2 .
H H I dQ 2
v − = c + RQ c
3.73)
dt
Il termine non lineare introdotto richiede l'applicazione del processo di linearizzazione ed
esprimendo la 3.73) in funzione delle piccole variazioni si ottiene:
o ( c c )
H H I dQ
o δ
o
− = c + 2RQ c δQ⇒ − δH= 2 RQ + IsδQ3.74) dt
In questo caso l’impedenza equivalente della condotta risulta: Zw = -(2RcQ o +Ic s).
L’equazione 3.70), che rappresenta la funzione di trasferimento del sistema, mantiene la
stessa struttura in cui al termine τw s si sostituisce la quantità (2RcQ o2 /H o +τw s). L’entità delle
perdite di carico in corrispondenza delle condizioni di funzionamento nominale è in genere
pari a pochi punti percentuali, pertanto gli effetti sulla funzione di trasferimento possono
ritenersi trascurabili.
10 2
10 2

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
________________________________________________________________________________________________________________
Influenza dell’elasticità della condotta
Per tener conto dell’elasticità della condotta e della comprimibilità del fluido, occorre
effettuare una discretizzazione del sistema e costruire un modello a parametri distribuiti.
Infatti nella modellazione a parametri concentrati, l’ipotesi di fluido incomprimibile e sezione
costante della condotta ha permesso di trattare il sistema nella sua globalità come un elemento
caratterizzato in ogni punto dai medesimi valori delle proprietà termofluidodinamiche. Nel
caso di una modellazione a parametri distribuiti invece le equazioni generali devono essere
applicate tenendo conto che le diverse grandezze fisiche sono funzione non solo del tempo t
ma anche della posizione x lungo la condotta.
Con riferimento alla figura 3.25 le equazioni di conservazione verranno applicate ad un
elemento di condotta di lunghezza infinitesima dx.
h
p/ρg
z
z=0
x
44
x+dx
Figura 3.25 Schema a parametri distribuiti della condotta forzata
L’equazione di conservazione della massa applicata all’elemento di lunghezza dx diviene:
⎡ qxt ( , ) ⎤
qxt ( , ) − qxt ( , ) + dx
⎣
⎢
x ⎦
⎥ =
∂
∂
∂
Ac
( Adx)
c
∂t
3.75)
Se si tiene conto dell’elasticità della condotta, dopo aver semplificato l’espressione, si ottiene:
∂qxt
( , ) ∂A
− =
∂x
∂t
c
3.76)
In un impianto ad alta caduta il carico totale h(x,t) è pari alla quota piezometrica se il
contributo cinetico è trascurabile, pertanto h(x,t) = z + p(x,t)/ρg. La sua dipendenza dal tempo
può essere espressa con la seguente relazione:
⎛ p(
x,
t ) ⎞
∂ ⎜ ⎟
∂h(
x,
t ) ρg
=
⎝ ⎠
3.77)
∂t
∂t
Moltiplicando e dividendo il secondo membro della 3.76) per la 3.77) si ottiene:

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
________________________________________________________________________________________________________________
( gA )
∂qxt
∂ρ ∂hxt
∂
− = = C
∂x
∂p
∂t
∂
hxt
( , ) c ( , ) ( , )
c
3.78)
t
La costante Cc rappresenta la capacità equivalente della condotta e contiene il contributo
derivante dall’elasticità della condotta e dalla comprimibilità del fluido.
∂
( ρ )
∂p
∂ρ ∂A
= gAc
+ ρ g
3.79)
∂p
∂p
gAc c
Se ora si applica l’equazione di conservazione della quantità di moto, nella forma semplificata
espressa dalla 3.68), all’elemento di condotta di lunghezza dx si ottiene:
⎡ hxt ( , ) ⎤ dx qxt ( , )
hxt ( , ) − hxt ( , ) + dx
⎣
⎢
x ⎦
⎥ gAc
t
=
∂
∂
∂
∂
Semplificando i termini della 3.80) si ottiene la seguente espressione finale:
∂hxt
( , ) 1 ∂qxt
( , )
− =
∂x
gA ∂t
c
45
3.80)
3.81)
Le due equazioni differenziali alla derivate parziali 3.78) e 3.81) definiscono completamente
il comportamento non stazionario della condotta forzata che è pertanto caratterizzata da una
induttanza 1/(gAc) e da una capacità Cc. Il sistema di equazioni, dopo aver applicato la
trasformata di Laplace, diviene:
⎧ ∂Q(
x, s)
⎪
− = CsH c ( xs , )
⎪ ∂x
⎨
∂H(
x, s)
s
⎪−
= Q( x, s)
⎩⎪
∂x
gAc Derivando rispetto a x la prima delle 3.82) si ottiene:
∂H(
x, s)
∂ Q( x, s)
=−
∂x
C s ∂x
1
2
e sostituendo nella seconda delle 3.82) si ha:
∂
2
c
3.82)
2 3.83)
2
Q( x, s)
Cs c − Q( x, s)
= 0
2
3.84)
∂x
gA
La 3.84) costituisce la ben nota equazione delle onde elastiche la cui soluzione risulta:
Q(
x,
s )
H(
x,
s )
c
−λx
λx
= A1e
+ A2e
=
1
gAcCc
λ =
Cc
s
gAc
−λx
λx
( A e − A e )
1
2
3.85)

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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La determinazione delle costanti di integrazione si ottiene ponendo le seguenti condizioni al
contorno: H(x=0,s)=Hv e Q(x=Lc,s)=Q(s). L’espressione del carico totale presente alla base
della condotta ovvero per x=Lc è pari a:
Hv( s)
H( s)
= −Zoc
tanh( ϑ c ) Q( s)
cosh( ϑ )
c
Cc
1
ϑc = sLc
Zoc
= Zw = Zoc
tanh( ϑc
)
gA
gA C
c
46
c c
3.86)
La quantità Zw rappresenta l’impedenza complessa della condotta e insieme alle altre
relazioni 3.86) consente di mettere in evidenza i fenomeni di propagazione delle perturbazioni
di pressione in condotta che avvengono alla velocità ac.
a
c
gAc
= 3.87)
C
Sostituendo l’espressione così ottenuta per l’impedenza complessa Zw nella funzione di
trasferimento del sistema espressa dalla relazione 3.67) si trova:
c
o ⎛ Q a ⎛ sL ⎞ ⎞
c
c
⎜ 1 + tanh
o
o ⎜ ⎟ ⎟
δP
P H gA a
m m ⎜
c ⎝ c ⎠ ⎟
Ga( s)
= = o
o
δA
A ⎜
Q ac
⎛ sLc
⎞ ⎟
⎜ 1 − tanh
o ⎜ ⎟ ⎟
⎝ H gA ⎝ a ⎠
⎟
⎠
1
2
c
c
3.88)
La relazione 3.88) sostituisce la 3.67) e definisce pertanto la funzione di trasferimento del
sistema condotta - turbina con l’introduzione dell’elasticità della condotta.
6
Gain dB
4
2
0
10 -1
0
Phase deg.
-500
-1000
-1500
10 -1
10 0
frequency [rad/s]
10 0
frequency [rad/s]
Figura 3.25 Diagramma di Bode della f.d.t. Ga(s) in presenza dell’elasticità della condotta
ω
r
10 1
10 1

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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L'andamento oscillante della funzione di trasferimento dipende dal valore assunto dalla
funzione trascendente il cui argomento ha periodo pari a π/2. Per ωLc/ac =π/2 la tanh diviene
infinita e il modulo della funzione di trasferimento diventa pari al doppio del guadagno statico
mentre quando ωLc/ac = π la tanh è pari a zero e il modulo della funzione di trasferimento è
uguale al guadagno statico.
La presenza delle perdite di carico non modifica sostanzialmente l'andamento della funzione
di trasferimento anche se possono aversi piccole variazioni del guadagno statico. Occorre
inoltre notare che la quantità 2Lc/ac rappresenta il tempo necessario alla generica
perturbazione di pressione per percorre nei due sensi l'intera condotta. Tale tempo τe è
denominato durata di fase e assume valori compresi fra 0.3 e 3 s. Per evitare eccessive
variazioni di pressione in condotta occorre, in base alla teoria del colpo d'ariete, che i tempi di
completa chiusura o apertura del distributore siano sufficientemente superiori a τe.
Un altro parametro caratteristico è rappresentato dal parametro dell'Allievi:
τ
Q
a
o
o
ρ all
w
c
c
= = I o c = o
τ e H 2Lc
2H
gAc
3.89)
Il valore di questo parametro permette di definire il tipo di transitorio che si viene a realizzare
in seguito ad una variazione a gradino dell'apertura del distributore δA. Se ρall1 allora il transitorio è di tipo aperiodico
Effetti della galleria e del pozzo piezometrico
La galleria in pressione e il pozzo piezometrico producono degli effetti generalmente modesti
e limitati al campo delle basse frequenze (ω≈0.1 Hz) con scarse conseguenze sulla funzione di
trasferimento. Si può però intuire che con i normali valori della sezione del pozzo, il carico
piezometrico all'imbocco della condotta può subire variazioni relativamente lente, mentre le
variazioni rapide risulteranno di ridotta entità. Le oscillazioni lente del carico possono non
essere trascurabili benché caratterizzate da periodi compresi fra 150 - 250 s. Occorre inoltre
verificare che durante le manovre di regolazione o di disservizio temporaneo del regolatore
non si verifichino oscillazioni eccessive da causare lo svuotamento del pozzo con gravi danni
per l'impianto in seguito all'immissione di aria in galleria e in condotta.
Negli impianti ad alta caduta la sezione del pozzo non deve essere troppo ridotta perché può
provocare effetti rilevanti sulla funzione di trasferimento del sistema e addirittura
pregiudicare la stabilità della regolazione.
Se si trascurano l'elasticità della condotta forzata e della galleria, anche in considerazione
delle frequenze relative basse che caratterizzano i fenomeni che li coinvolgono, è possibile
stabilire un criterio per determinare il minimo valore della sezione del vaso di espansione che
garantisce la stabilità del sistema. Infatti tenendo conto delle impedenze dei vari componenti
si ha:
− z
c
− z
− z
g
p
= I s + 2R
Q
c
= I s + 2R
Q
g
1
=
A s
v
c
g
0
0
47
Q
a
condotta
galleria
forzata
vaso di espansione
3.90)
Inoltre le tre impedenze possono essere assimilate ad una unica impedenza complessiva
tenendo conto della loro reciproca disposizione secondo il circuito elettrico equivalente di

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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figura 3.26. Le impedenze della galleria e del pozzo piezometrico sono in parallelo mentre
quella della galleria si presenta in serie rispetto all'impedenza somma delle precedenti.
Pertanto tenendo conto delle regole dei circuiti elettrici che permettono di effettuare la somma
di impedenze in serie ed in parallelo si ottiene l'impedenza complessiva Zw:
z
z
z
+ z
z
c g c p p g
w = 3.91)
z p + zg
Zg
Zp
Figura 3.26 Circuito elettrico equivalente delle impedenze dell’impianto idroelettrico
Inoltre se si trascura l'impedenza della condotta forzata rispetto a quella della galleria e si
sostituisce nella 3.91 le espressioni delle impedenze riportaste nelle 3.90 si ottiene:
z
w
48
+ z
z
0
z pz
g I gs
+ 2RgQ
= = −
3.92)
z + z 1+
A s
p
g
v
Zc
( I s + 2R
Q)
Se ora si sostituisce tale espressione dell'impedenza equivalente nella relazione 3.67
esprimente la funzione di trasferimento del sistema idraulico, si possono determinare sia gli
zeri che i poli di tale funzione. Come noto ai fini della stabilità del sistema a ciclo chiuso sono
d'interesse solo gli zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto in quanto essi ne
rappresentano i poli della corrispondente funzione di trasferimento a ciclo chiuso. Pertanto
solo essi devono essere considerati ai fini dell'analisi della stabilità del sistema. Infatti un
sistema a ciclo chiuso è stabile se e solo se gli zeri della funzione di trasferimento a ciclo
aperto presentano parte reale negativa.
Tale condizione comporta che siano verificate le seguenti relazioni:
H
0
≥ 2R
g
g
I g
Av
≥
2R
H
g
0 ( Q )
0
2
g
3.93)
Mentre la prima relazione della 3.93 può senz'altro considerarsi verificata soprattutto nel caso
di impianti ad alta caduta, la seconda stabilisce la condizione di Thoma per la stabilità del
sistema 3 . Questa relazione stabilisce la dimensione minima che deve assumere il pozzo
piezometrico o vaso di espansione per garantire la stabilità del sistema.
3 La prima relazione dell'equazione 3.93 deriva dall'imporre che la frequenza naturale del sistema abbia
significato fisico ovvero risulti reale e positiva, mentre la condizione di Thoma scaturisce dall'imporre per la
stabilità del sistema un valore positivo per il coefficiente di smorzamento di un sistema del secondo ordine.

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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3.7 La regolazione delle centrali idroelettriche
Le utenze connesse ad una rete elettrica richiedono, com’è noto, che frequenza e tensione
elettrica assumano determinati valori e siano ammessi scostamenti solo di modesta entità.
Le variazioni di carico attivo e reattivo, che le stesse utenze impongono alla rete, hanno
l’effetto di modificare sia la frequenza sia la tensione della corrente elettrica prodotta dai
valori nominali: tali variazioni costituiscono quindi una fonte di disturbo per il servizio
fornito.
Poiché, come noto, le turbine idrauliche hanno la caratteristica di eseguire delle rapide
variazioni di carico, le centrali idroelettriche sono particolarmente adatte a realizzare la
regolazione della frequenza elettrica che quindi per questi impianti riveste un’importanza
particolare. La regolazione coinvolge oltre che le apparecchiature di regolazione, anche tutto
il macchinario e le opere idrauliche dell’impianto. In un gruppo idroelettrico l’equilibrio
dinamico è rispettato finché la potenza fornita dalla turbina idraulica, decurtata delle
inevitabili perdite organiche, non è uguale alla potenza assorbita dal carico che viene
alimentato dall’alternatore. In questa condizione la coppia motrice netta è uguale a quella
resistente e la velocità del gruppo si mantiene costante e pari alla frequenza prestabilita per
l’alimentazione della rete elettrica. La coppia resistente subisce però delle continue variazioni
in funzione delle mutevoli esigenze dell’utenza, pertanto è necessario adeguare istante per
istante la coppia motrice alle richieste dell’utenza agendo sul distributore della turbina.
Questo intervento dovrà essere tale da modificare la portata in turbina in modo da ristabilire
l’uguaglianza delle coppie. L’organo che agisce sul distributore è chiamato regolatore di
velocità ed il suo intervento è determinato dalla variazione di velocità del gruppo, il quale
inizialmente sopperisce alla improvvisa variazione di carico della rete con la variazione
dell’energia cinetica delle proprie masse rotanti.
Regolazione di velocità di una turbina idraulica
La variazione del carico può essere di tipo diretto se determinata da una modifica della
richiesta della rete, oppure di tipo indiretto, se dovuta a variazione del salto idraulico
utilizzato dalla turbina. In entrambi i casi nasce uno squilibrio di coppia che porta il gruppo
ad accelerare o a rallentare, in contrasto con la necessità di mantenere costante la velocità di
rotazione dei generatori elettrici. Le variazioni del carico elettrico richiesto dall’utenza
all’alternatore sono normalmente brusche e frequenti, per cui si rende necessario un
regolatore a funzionamento automatico e rapido che ristabilisca prontamente l’equilibrio di
coppia. Le variazioni del salto idraulico sono invece più graduali e lente per cui esse possono
essere compensate anche con la regolazione manuale. Ovviamente se si usa ancora un
regolatore automatico che è perfettamente in grado di svolgere questo compito, esso dovrà
essere un regolatore di livello, nel senso che la portata in turbina dovrà essere regolata per
mantenere costante il livello nel bacino di carico. Il regolatore agisce chiudendo o aprendo il
distributore della turbina in modo da adeguare la portata e quindi la potenza motrice della
turbina alla potenza richiesta dalla rete. Lo strumento che misura la variazione della velocità
di rotazione è l’elemento sensibile che agisce sul regolatore e quindi provoca il suo
intervento. Ne consegue che uno scarto di velocità all’inizio della regolazione è
indispensabile per determinare il funzionamento del regolatore.
Una buona regolazione deve soddisfare alle seguenti esigenze:
mantenere costante la velocità in condizioni di regime stazionario,
mantenere gli scarti transitori di velocità entro limiti tollerabili,
riportare aperiodicamente o con oscillazioni rapidamente smorzate il gruppo alla velocità
nominale.
49

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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Un regolatore di velocità è essenzialmente costituito da tre elementi:
1. un elemento sensibile alla velocità di rotazione della macchina;
2. un servomotore che, agendo per comando del sensore di velocità, apre o chiude il
distributore della turbina;
3. un dispositivo di asservimento, collegato alla posizione di apertura della turbina, che,
quando questa ha raggiunto la nuova posizione di equilibrio, riporta il servomotore alla
posizione di riposo.
m
a
T
r
m
b
C
V
50
S
c
A
CHIUDE
Figura 3.27 Schema elementare di un regolatore di velocità
Uno schema elementare di un semplice regolatore di velocità è rappresentato in figura 3.27.
L’organo sensibile alla velocità di rotazione della macchina è costituito in questo caso dal
pendolo tachimetrico T. Se ad esempio la velocità aumenta, le masse rotanti m tendono ad
allontanarsi per effetto della forza centrifuga. Benché questo movimento venga contrastato
dall’azione della molla r, si produce uno spostamento verso l’alto del collare a che comanda
l’asta principale ac del regolatore. Si verifica in questo modo uno spostamento del punto b e
quindi del distributore a cassetto C che comanda il movimento del servomotore S.
Quest’ultimo, che conferisce al sistema di regolazione un’azione integrale 4 , provoca la
chiusura del distributore della turbina. Infatti ad ogni posizione dell’asta del servomotore
corrisponde un determinato grado di apertura della turbina e quindi un preciso valore della
potenza fornita dalla macchina. Il dispositivo di asservimento A (che introduce nella
regolazione l’azione proporzionale 5 serve ad assicurare la stabilità della regolazione; la sua
azione ha inizio solo quando l’asta del servomotore comincia il movimento di chiusura del
distributore e si esercita sul cassetto di distribuzione in senso opposto all’azione che aveva
ricevuto dal tachimetro. Esso quindi abbassa l’estremità c e quindi il punto b quando il collare
a si è sollevato.
Al fine di conseguire maggiore prontezza nella regolazione, si introduce nel sistema un
elemento derivativo 6 costituito da un dispositivo sensibile all’accelerazione, ossia alla
derivata della velocità.
4 Nell’azione integrale la velocità di variazione dell’organo regolante è proporzionale alla grandezza regolata.
L’azione integrale si annulla al ritorno della grandezza regolata al valore di riferimento (set-point). Il regolatore
integrale è astatico.
5 Nell’azione proporzionale la posizione dell’organo regolante è proporzionale allo scostamento della grandezza
regolata dal valore di set-point. Il regolatore proporzionale è statico, ma a fine variazione permane uno
scostamento tra grandezza regolata e set-point.
6 Nell’azione derivativa la posizione dell’organo regolante è proporzionale alla velocità di variazione della
grandezza regolata. Tale azione anticipa l’intervento dell’organo regolante immediatamente all’inizio della
variazione
APRE

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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Tale apparecchio, detto accelerometro, è affiancato al tachimetro e sviluppa un’azione
stabilizzante che è concorde durante la fase di regolazione e contraria nella fase di
surregolazione. La caratteristica di regolazione, che si ottiene da un regolatore del tipo
descritto, è indicata nella figura 3.28: ad ogni apertura della turbina (e quindi ad ogni valore
della potenza) corrisponde una determinata posizione del collare a e quindi una determinata
velocità del gruppo. Nel funzionamento a vuoto corrisponde la frequenza f1; mentre a pieno
carico PM corrisponde la frequenza f2 minore di f1.
Si definisce statismo s del regolatore il rapporto tra la differenza delle frequenze estreme (f1f2)
e la frequenza media fm=(f1+f2)/2.
f
f
1
f2
arctg k
∆ P
∆f
Figura 3.28 Caratteristica di
regolazione di un regolatore
P
M
s
f
−
f
1 2 = 3.94)
f m
Agendo sul variagiri V del regolatore, la caratteristica di
regolazione può essere spostata parallelamente a se
stessa; modificando i valori f1 e f2 della frequenza a
vuoto e a pieno carico, ovvero il valore della potenza
prodotta per un certo valore della frequenza. La
regolazione di frequenza o di potenza ottenuta
attraverso gli organi sensibili alle variazioni di velocità
della macchina e secondo la caratteristica dello statismo
si chiama regolazione primaria 7 , mentre si chiama
regolazione secondaria 8 quella ottenuta agendo sul
variagiri.
Dalla caratteristica di regolazione deriva che ad una
variazione di frequenza f segue, per azione del
regolatore, una variazione P della potenza fornita dalla
macchina:
∆P = −k∆f
3.95)
Il coefficiente k (esprimibile in MW/Hz) si chiama energia regolante della macchina e
rappresenta la variazione della potenza fornita dal gruppo per una variazione unitaria di
frequenza. Se si indica con PM la potenza massima a pieno carico, risulta immediatamente
7 La regolazione primaria viene eseguita automaticamente ed in maniera autonoma dai regolatori di velocità dei
singoli gruppi di produzione. Se, ad esempio, la frequenza di rete diminuisce, ciascun regolatore reagisce
aumentando gradualmente la potenza generata dal rispettivo motore primo. La potenza complessiva immessa in
rete dai gruppi rimasti in servizio viene quindi aumentata, compensando man mano quella perduta. L’azione
autonoma dei regolatori cessa quando l’equilibrio di potenza in rete si è ristabilito e la diminuzione di frequenza
si è conseguentemente arrestata. La rete si trova ora in una nuova situazione di regime, in cui la frequenza ha un
valore inferiore a quello di programma e la riserva complessiva di regolazione primaria è stata parzialmente
consumata.
8 La regolazione secondaria ha lo scopo di riportare la frequenza di rete al valore nominale. Anche la
regolazione secondaria, come quella primaria, viene effettuata dai regolatori di velocità dei gruppi, ma sotto il
controllo di un dispositivo automatico (regolatore secondario). Tale regolatore, sensibile all’errore f di frequenza
e all’errore Ps sulla potenza importata dall’estero, modifica i set-point dei singoli regolatori di velocità e, se la
frequenza è inferiore a 50 Hz, aumenta ulteriormente la potenza erogata dai gruppi fino ad annullare f e Ps
(regolazione frequenza-potenza).
51

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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P
k =
M M
= 3.96)
f1
− f 2 s fm
L’energia regolante, per una data macchina, è inversamente proporzionale allo statismo del
suo regolatore. Un regolatore di questo tipo, con statismo diverso da zero, si chiama statico e
la regolazione di frequenza che si ottiene si chiama pure statica. Si tratta di una regolazione
stabile perché il dispositivo di asservimento, esercitando sul servomotore un’azione
antagonista a quella della variazione di velocità, tende a riportare il cassetto di distribuzione
nella sua posizione di riposo e a far assumere al distributore la nuova posizione di equilibrio
senza oscillazioni. La caratteristica del regolatore statico è infatti decrescente nel passare dal
funzionamento a vuoto a quello di pieno carico. La stabilità cresce con lo statismo, ma la
variazione di frequenza da vuoto a pieno carico, che si accompagna ad un elevato statismo,
non è tollerabile. Oggi si richiede che le variazioni di frequenza siano contenute entro limiti
ristrettissimi. Per soddisfare questa esigenza la regolazione deve essere a frequenza pressoché
costante o isodromica. Una tale regolazione si potrebbe ottenere con un regolatore astatico (a
statismo nullo) che può essere realizzato in modo semplice rendendo fisso il punto c, ossia
sopprimendo il dispositivo di asservimento A: in tal caso il cassetto di distribuzione C può
stare in equilibrio solo se il collare a, dopo il periodo transitorio, va a rioccupare sempre la
stessa posizione, alla quale corrisponde un’unica velocità. Tale regolazione, che si può
chiamare astatica, è a velocità costante e la sua caratteristica è una retta parallela all’asse delle
ascisse. Questa regolazione non è però stabile, perché nel regolatore non nasce nessuna
azione antagonista a quella dovuta alla variazione di velocità.
v
v
0
P 1
P 2
P
Regolazione isodromica
v
t t 1 t 2 t 3
0 t
Figura 3.29 Regolazione isodromica
senza stabilizzatori.
P
52
P
Essa dà luogo a permanenti oscillazioni di
velocità e di apertura e chiusura del distributore
della turbina attorno ai valori corrispondenti alle
nuove condizioni di regime. Infatti, riferendosi
alla figura 3.29, se in un certo istante t0 la
potenza erogata dall’alternatore si riduce
improvvisamente, resta disponibile sull’asse
della turbina un eccesso di potenza ∆P=P1-P2 (e
un corrispondente eccesso di coppia motrice), la
velocità aumenta e il regolatore interviene a
chiudere il distributore della turbina. Quando
nell’istante t1 l’eccesso di potenza ∆P si è ridotto
a zero, la velocità ha raggiunto il massimo e il
cassetto di distribuzione continua a comandare la
chiusura della turbina; ciò dà luogo ad
un’ulteriore diminuzione della potenza erogata
(∆P diviene negativo), cui corrisponde una
decelerazione e una diminuzione di velocità del
gruppo. Ma quando nell’istante t2 la velocità riassume il suo valore nominale e quindi si
ripristina l’equilibrio del cassetto di distribuzione, il valore negativo di ∆P ha raggiunto un
massimo (uguale al massimo ∆P positivo) e la velocità continua a diminuire. Il cassetto di
distribuzione interviene allora a comandare l’apertura del distributore; si riduce il ∆P negativo
fino a diventare zero nell’istante t3 (equilibrio delle potenze), ma la velocità ha raggiunto un
minimo, e il cassetto di distribuzione continua a comandare l’apertura del distributore; si
riforma così un ∆P positivo e il fenomeno continua indefinitamente con oscillazioni
persistenti di tutti gli organi interessati, che rivelano l’incapacità del regolatore a raggiungere

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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in modo stabile la nuova posizione di regime. In pratica poi, per l’inerzia delle masse in moto,
che determina ritardi nei movimenti dei diversi organi del regolatore, i fenomeni di
surregolazione si esaltano, per cui le oscillazioni si amplificano e la stabilità ne risulta
ulteriormente peggiorata. Se invece la regolazione è statica (figura 3.30), con statismo
positivo, le oscillazioni della velocità e del cassetto di distribuzione vanno gradualmente
smorzandosi, con smorzamento tanto più forte quanto più elevato è lo statismo. Infatti il
dispositivo di asservimento, interviene non appena si inizia la manovra di apertura o di
chiusura della turbina, spostando il punto c in senso contrario allo spostamento del collare a,
contrastando il comando precedentemente impartito al cassetto di distribuzione e facilitando il
suo ritorno allo stato di equilibrio.
Da un punto di vista energetico si può osservare che, nella regolazione statica, la variazione di
energia cinetica delle masse rotanti, nel passare da una situazione di regime ad una nuova, ha
l’effetto di ridurre lo squilibrio di potenza durante il regime transitorio, compensando la causa
perturbatrice ed esercitando quindi un’azione stabilizzante. Per conciliare le esigenze della
stabilità con quelle della regolazione a frequenza costante si agisce in pratica sostanzialmente
in due modi diversi: rendendo elastico (mediante un freno ad olio F contrastato da una molla
m) il collegamento fra il dispositivo di asservimento A e il punto c in un regolatore con
elevato grado di staticità (statismo transitorio), oppure ricorrendo alla correzione dell’azione
tachimetrica con dispositivi accelerometrici.
v
v
2
v1
P1
P 2
P
t
0
t
1
v
Regolazione statica
t 2
t
3
Figura 3.30 Regolazione statica.
P
t
Con il primo sistema si ha inizialmente una
regolazione statica con statismo sufficientemente
alto per ottenere un rapido smorzamento delle
oscillazioni; in una fase successiva lo statismo
iniziale viene gradualmente ridotto. Con il
secondo sistema, in un regolatore astatico, si
aggiunge al tachimetro un accelerometro: questo
può essere separato dal tachimetro e agire
direttamente sul punto c oppure può essere
conglobato con il tachimetro a formare un unico
apparecchio che agisce sul collare a. Le azioni
del tachimetro e dell’accelerometro sono
concordi durante la prima fase del moto vario in
cui la velocità e l’accelerazione hanno lo stesso
segno (periodo t0-t1); ma subito dopo (periodo t1t2),
quando inizia la fase di surregolazione, esse
hanno segno opposto e l’accelerometro esercita
un’azione antagonista al tachimetro e perciò
stabilizzatrice. La regolazione realizzata in tal modo si chiama regolazione isodromica
stabilizzata (figura 3.31).
I regolatori di turbina testé descritti sono stati progressivamente sostituiti da regolatori di
velocità elettrici; i segnali delle varie grandezze sono tutti convertiti in segnali elettrici, che
vengono opportunamente amplificati ed elaborati e vanno a comandare attuatori oleodinamici.
Il principio di funzionamento rimane lo stesso, ma i regolatori elettrici presentano innegabili
pregi rispetto ai regolatori meccanici:
• hanno grande sensibilità, anche a piccolissimi scarti di frequenza;
• presentano maggior prontezza d’intervento per l’assenza di inerzie meccaniche;
• non hanno alcuna limitazione per la scelta e il numero delle grandezze da far intervenire
nella regolazione.
53

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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In essi si può, ad esempio, rendere sensibile il regolatore all’accelerazione del gruppo, alla
posizione e alla velocità di spostamento del servomotore, a segnali esterni (telecomandi,
comandi manuali) di cui si dosa l’effetto nel modo desiderato. Inoltre i regolatori elettrici
offrono la possibilità di variare in servizio la partecipazione del gruppo alla regolazione, per
metterlo nelle migliori condizioni di stabilità in ogni condizione di esercizio; infine
permettono una facile soluzione dei problemi relativi al comando centralizzato di più gruppi,
anche molto lontani tra loro.
m
a c
S
F
A
CHIUDE APRE
Figura 3.31 Regolazione isodromica stabilizzata.
Regolazione della frequenza in una rete alimentata da più gruppi
In una rete alimentata da più macchine il problema della regolazione della frequenza è
associato a quello della ripartizione del carico fra le macchine stesse. Se tutte sono munite di
regolatori aventi statismo non nullo, la ripartizione del carico tra le stesse risulta ovviamente
determinata: ad ogni valore della frequenza corrisponde un ben definito valore della potenza
generata da ciascuna macchina. Ad ogni scarto di frequenza f corrisponde in ciascuna
macchina una variazione di potenza generata ∆Pi=-kfi e quindi una variazione complessiva
54
r
Regolazione isodromica stabilizzata
∆P = ∑ ∆Pi
= −∑
ki∆f
= −k
∆f
3.97)
essendo k=∑ki.
L’energia regolante k di una rete è quindi la somma delle energie regolanti ki delle singole
macchine. Ciascuna macchina partecipa alla regolazione, ossia fa fronte ad una quota-parte
della totale variazione di carico ∆P, in misura proporzionale alla propria energia regolante.
Risulta infatti
ki
∆Pi = −ki∆f
= − ∆P
3.98)
k
Si supponga ora che una macchina sia munita di regolatore isodromico di velocità, mentre
tutte le altre abbiano regolatori statici. La frequenza risulta allora fissata, sempre
prescindendo dai periodi transitori, al valore costante f0 imposto dalla prima macchina che
viene quindi chiamata “pilota”. Le altre forniscono, qualunque sia l’entità del carico
complessivo assorbito dalla rete, la potenza che sulla loro caratteristica corrisponde alla
v
v
0
P
1
P 2
P
t0
t1
v
t 2
t 3
P
t

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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frequenza f0, mentre la differenza necessaria a coprire l’intera richiesta del carico, viene
fornita dalla macchina pilota. Questa inoltre deve far fronte da sola ad ogni variazione del
carico assorbito dalla rete; le altre interverrebbero solo se la frequenza variasse. Naturalmente
in una rete non si può avere che una sola macchina munita di regolatore con statismo
permanente nullo perché, se ce ne fosse più di una, la ripartizione del carico tra le stesse
rimarrebbe ovviamente indeterminata.
f
f0
Macchina regolatrice
della frequenza
PILOTA
P P
1
f
Macchina ad acqua fluente
a produzione costante
55
2
f
Macchina su cui si effettua
la regolazione secondaria
Figura 3.32 Caratteristiche dei regolatori di velocità di macchine collegate ad una stessa rete.
In pratica lo statismo da assegnare alle diverse macchine o centrali di una rete deve essere
scelto in modo da assicurare la più economica e razionale ripartizione del carico tra le varie
centrali. Così le macchine installate in centrali ad acqua fluente, prive cioè di serbatoi, devono
utilizzare al massimo l’acqua disponibile ad evitare che sfiori e che vada quindi perduta
dell’energia; esse devono perciò funzionare, finché possibile, alla piena potenza disponibile
con regolatore praticamente bloccato (eventualmente asservito al livello di acqua a monte
della presa) o comunque con statismo molto elevato. Il compito di regolazione più pesante
(macchine con regolatore a statismo permanente nullo o comunque piccolo, e quindi con
energie regolanti relativamente elevate) va viceversa affidato alle centrali dotate di serbatoi,
in particolare ad alta caduta, nelle quali l’acqua può venire accumulata per essere poi
utilizzata nel momento più opportuno. Volendo cambiare la distribuzione del carico tra le
diverse macchine di una rete, basta poi agire sul variagiri dei diversi regolatori (regolazione
secondaria): la caratteristica si sposta parallelamente a se stessa e di conseguenza cambia il
valore della potenza generata in corrispondenza di una certa frequenza. Una manovra del
genere è spesso necessaria quando si adotti il sistema di regolazione con macchina pilota (o
centrale pilota, quando tutte le macchine di una centrale sono comandate dallo stesso
regolatore) perché quest’ultima, assorbendo tutte le variazioni del carico, facilmente potrebbe
arrivare al pieno carico o alla marcia a vuoto, esaurendo così il suo campo di regolazione: si
deve allora correggere la produzione delle macchine delle altre centrali agendo sui rispettivi
variagiri ed eventualmente, a seconda dei casi, arrestarne alcune o metterne in marcia delle
altre. Il diagramma giornaliero del carico è caratterizzato da ampie ma lente variazioni tra le
ore diurne e le notturne, a cui si sovrappongono frequenti oscillazioni accidentali dovute ai
bruschi attacchi e stacchi di carichi. Queste oscillazioni vengono assorbite automaticamente
dalla macchina o dalle macchine particolarmente destinate alla regolazione della frequenza,
mentre alle variazioni più lente si fa fronte agendo sui variagiri delle altre macchine ed
eventualmente arrestandone alcune nelle ore notturne, quando il carico diminuisce, e
rimettendole in marcia al mattino, quando il carico va aumentando. Se poi la rete è molto
estesa ed una sola macchina o una sola centrale pilota non è sufficiente per assolvere il
compito della regolazione isodromica della frequenza, si può provvedere a comandare più
centrali parallelamente con un unico regolatore in guisa da formare virtualmente un unico
P
3

Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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complesso pilota di maggior potenza. Si può anche affidare la regolazione della frequenza a
più centrali con statismo molto piccolo ma non nullo e diverso dall’una all’altra; con
un’opportuna scelta degli statismi si può ottenere una buona ripartizione del carico e le
variazioni di frequenza possono essere contenute in limiti molto ristretti. Quando si tratta di
reti molto estese, fra loro interconnesse, si deve ricorrere invece alla regolazione frequenzapotenza.
Con tale regolazione si vuole ottenere che, nel caso di una variazione di carico in una
delle reti interconnesse, siano i generatori di quella rete a sopperire, a regime permanente
raggiunto, alla detta variazione di carico, mentre le altre reti intervengono collaborando a
ristabilire la frequenza solo nel periodo transitorio che segue la variazione stessa, durante il
quale la frequenza si discosta inevitabilmente dal valore normale. Ciò si ottiene imponendo,
grazie all’impiego di opportuni regolatori, che la potenza scambiata da ciascuna rete,
considerata positiva se esportata, possa aumentare o diminuire rispetto al valore di
programma solo quando la frequenza sia rispettivamente inferiore o superiore al valore
normale f0. Il regolatore frequenza-potenza è un regolatore elettrico sensibile
contemporaneamente alle variazioni di frequenza della rete e alle variazioni della potenza di
scambio sulla linea di interconnessione controllata dal regolatore. Esso agisce sui variagiri dei
regolatori di velocità delle macchine destinate alla regolazione, i quali sono sottratti all’azione
dei tachimetri. L’equazione del regolatore è:
∆ + k ∆f
= 0
3.99)
P s
dove ∆Ps= Ps-P0 è la variazione della potenza di scambio rispetto a quella di programma P0 e
∆f=(f-f0) è la variazione della frequenza della rete rispetto alla frequenza normale f0.
Esercizio delle centrali idroelettriche
Avviamento e marcia dei gruppi
La sequenza delle manovre di avviamento di un gruppo idroelettrico è la seguente:
• avviare le pompe olio di lubrificazione dei cuscinetti e di regolazione della turbina,
aprire il bypass della valvola a monte del gruppo e quindi la valvola stessa, mantenendo
il distributore di turbina chiuso;
• aprire il distributore della turbina per avviare il gruppo e successivamente regolare
l’apertura per tenerlo in marcia a vuoto ai giri nominali, passando sotto il controllo del
regolatore di velocità quando questa supera l’80% circa della velocità nominale;
• eccitare l’alternatore, regolando la tensione al valore corrispondente a quello della rete;
• fare il parallelo del gruppo con la rete chiudendo l’interruttore di macchina a
sincronizzazione effettuata, ossia quando la forza elettromotrice generata
dall’alternatore è uguale e in fase con la tensione di sbarra e quando la frequenza di
macchina e di sbarra sono uguali.
L’alternatore è ora in parallelo con la rete, ma non eroga né assorbe potenza; per generare
potenza attiva occorre aprire ulteriormente il distributore della turbina. Agendo sul regolatore
di tensione e variando la corrente di eccitazione, si farà erogare all’alternatore anche potenza
reattiva: sarà potenza reattiva induttiva, se si aumenterà la corrente di eccitazione; viceversa,
diseccitando, si erogherà potenza reattiva capacitiva. Durante la marcia del gruppo si hanno
continue variazioni della potenza richiesta all’alternatore e quindi della coppia resistente.
Ogniqualvolta ciò si verifica, nasce uno squilibrio fra la coppia motrice e la coppia resistente:
questo determina l’intervento del regolatore di velocità e quindi variazioni dell’apertura del
distributore di turbina, con conseguenti fenomeni di moto vario di tutto il complesso idraulico
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Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 3
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e meccanico. Le variazioni di potenza possono essere graduali o brusche. Nel primo caso la
lentezza della variazione permette al regolatore la tempestiva manovra degli organi del
distributore e le variazioni di velocità sono contenute nei limiti della staticità e
dell’insensibilità del regolatore; nel secondo caso si avrà una rilevante variazione transitoria
della velocità, il cui valore normale si ristabilirà dopo un certo tempo, che dipende dal
momento d’inerzia delle masse rotanti e dalle caratteristiche funzionali dei regolatori. Il caso
limite è quello del brusco distacco di carico dalla potenza massima P0, che conduce alla
massima variazione di velocità. Poiché non si potrà annullare istantaneamente la coppia
motrice, ma occorrerà un tempo T0, ammettendo che la chiusura del distributore (e quindi la
diminuzione di potenza) avvenga con legge lineare, si avrà una certa energia disponibile
∆E=(P0T0)/2 che avrà come effetto quello di accelerare il gruppo.
Se ω0 è la velocità di rotazione a regime, ω1 la velocità massima raggiunta e J il momento
d’inerzia assiale delle masse in rotazione, si avrà che
2 2 ( ω − ω )
J
2
1 0
P0T
=
2
2 2 P0T
0
ω1
− ω0
=
J
57
0
3.100)
Le grandezze caratteristiche del gruppo generatore possono essere raggruppate nel tempo
2
Jω0
caratteristico del gruppo Tω
= , detto anche tempo di avviamento del gruppo, che ha un
P0
valore normalmente compreso fra 5 e 10 secondi. Allora sarà:
2 2
ω1
− ω0
P0T
0 T
= =
2
2
ω Jω
T
0
⎛ ω ⎞ 1
⎜
ω ⎟
⎝ 0 ⎠
2
T
= 1 +
T
0
0
ω
0
ω
3.101)
Il tempo di chiusura T0 dovrebbe essere assai breve per contenere le variazioni di velocità
entro limiti tollerabili, ma ciò provocherebbe eccessive variazioni di pressione nella condotta.
In alcuni casi è pertanto necessario ricorrere al tegolo deviatore o allo scarico sincrono per
poter ridurre lentamente la portata, pur togliendo rapidamente la potenza motrice alla ruota. In
tal caso il tempo che si considera nel calcolo non è il tempo di chiusura del distributore
(15÷30 s) ma quello assai minore (1÷4 s) dei dispositivi sopra citati. Se si stabilisce la
massima variazione di velocità consentita (praticamente dell’ordine del 10÷20%), si può
ricavare il momento d’inerzia necessario per il gruppo generatore in relazione al tempo di
chiusura del distributore della turbina; questo risulta tanto più elevato quanto minore è lo
scarto di velocità ammesso, quanto minore è la velocità di rotazione a regime ω0 e quanto
maggiore è il tempo di chiusura del distributore. I costruttori del macchinario specificano
molto spesso il momento dinamico PD 2 della macchina, dove P=Mg è il peso delle parti in
rotazione e D è il diametro d’inerzia (D=2R). Vale la relazione:
2
2
2
2 PD
J = ∫ r dm = ∫ ρ r dv = MR =
3.102)
4g
M
V

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dove r è la distanza della massa infinitesima dm (di densità ρ e volume dv) dall’asse di
rotazione.
Continuità del servizio
Per assicurare la continuità del servizio si devono prevenire i guasti sugli impianti o
minimizzarne gli effetti. Fra i guasti agli impianti che possono compromettere la continuità
del servizio ricordiamo quelli alle opere idrauliche: fessurazioni dei paramenti delle dighe,
danni alle sponde dei canali o all’intonaco delle gallerie in pressione. Il macchinario idraulico
può subire i dannosi effetti della cavitazione o rotture ad opera di corpi estranei trascinati
dalla corrente. Nel macchinario elettrico si possono avere cedimenti dell’isolamento o danni
provocati dal riscaldamento eccessivo. Altre anomalie possono essere causate da eventi
esterni all’impianto in esame, quali scariche atmosferiche, alluvioni, caduta di alberi sui
conduttori di una linea, nonché cortocircuiti e sovraccarichi negli impianti utilizzatori che si
ripercuotono sulla rete di alimentazione. Per prevenire i guasti, oltre ad una corretta
progettazione e costruzione degli impianti, è assai importante effettuare una tempestiva e
accurata manutenzione degli stessi, che può essere preventiva (a cadenza temporale) o
predittiva (decisa in base a misure e controlli), accuratamente programmata al fine di ridurre
l’indisponibilità dei gruppi generatori. Per ridurre al minimo le conseguenze dei guasti si deve
disporre di un razionale sistema di protezioni. Queste ultime si possono suddividere in tre
raggruppamenti:
• protezioni che danno solo un segnale di allarme per condizioni non regolari,
consentendo però la prosecuzione del servizio: sono quelle che evidenziano anomalie o
guasti che non compromettono il funzionamento della centrale, come la protezione di
terra rotorica dell’alternatore o il primo contatto del relè Buchholz di un trasformatore.
• protezioni che aprono l’interruttore di macchina e diseccitano l’alternatore, lasciando
però il gruppo a velocità nominale: sono protezioni per guasti esterni (sovraccarico o
cortocircuito sulle sbarre). Le protezioni sulle linee in uscita dalla centrale non
interferiscono normalmente con il funzionamento del gruppo, ma escludono il più
piccolo tratto di linea guasto (protezioni selettive del tipo con relè distanziometrico),
dopo aver tentato almeno una nuova chiusura per eliminare i guasti transitori.
• protezioni con blocco totale del gruppo, che aprono l’interruttore di macchina,
diseccitano l’alternatore, chiudono il distributore della turbina e le valvole rotative,
arrestano le macchine: sono quelle che intervengono per gravi guasti interni al gruppo
generatore (protezione differenziale, cortocircuito tra spire, terra statorica, bassissima
pressione olio cuscinetti turbina, ecc.). Questi relè agiscono su un apposito relè di
blocco, che comanda automaticamente la sequenza di manovre di fermata. Il relè di
blocco può anche essere azionato manualmente per effettuare una fermata programmata.
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