Cinematica scalare 1. Posizione e lettura di ... - Francescopoli.Net

Cinematica scalare
1. Posizione e lettura di orologio
A quale ambito ci si riferisce con le parole “cinematica scalare”?
Meccanica è il nome generico della disciplina che studia l’equilibrio ed il movimento;
con il termine cinematica si intende invece quel ramo della meccanica che si occupa
di formulare una descrizione matematica del moto dei corpi. In cinematica il moto viene
solamente trasformato in equazioni, senza interessarsi delle azioni che lo hanno prodotto.
La parola “scalare” indica invece che tutte le grandezze fisiche rilevanti possono
essere espresse servendosi solo di numeri con segno: nel prossimo capitolo vedremo
che questa semplice situazione si contrappone alla cinematica vettoriale, dove
i numeri andranno affiancati con informazioni geometriche. Seguendo lo schema introdotto
da Galileo, procederemo per gradi, cioè scomporremo il fenomeno che vogliamo
studiare, - il moto dei corpi -, nei suoi costituenti elementari, separando ciò
che è essenziale da ciò che invece è accessorio. Immagineremo il modello più semplice
possibile per un oggetto che si muove e ci concentreremo su di esso, riservandoci
poi di aggiungere ulteriori livelli di complicazione solo quando avremo compreso
appieno questo primo livello. La condizione più elementare in cui possiamo porci è
quella di prescindere dalla forma e dalle dimensioni, ed assumere che il corpo in
movimento possa considerarsi come se fosse un punto. Ci riferiremo a questa semplificazione
come al modello di punto materiale o di particella.
Cosa significa essere piccolo oppure essere grande?
Per punto materiale non si intende un oggetto “piccolo”. I termini piccolo e grande
hanno significato solamente se vengono intesi come confronto. Ogni volta che si legge la
parola “piccolo” bisogna sempre chiedersi rispetto a quale scala si sta facendo riferimento:
una formica è piccola rispetto ad un uomo ma grande rispetto ad un batterio,
il pianeta Terra è grande ripetto ad una mela ma piccolo rispetto al Sole, il quale è a
sua volta piccolo rispetto all’intera Galassia.
37
Capitolo
2

P
s 0
s 3.5 m
P
s 2.8
m
Si dice punto materiale un oggetto che può considerarsi piccolo rispetto alla scala
delle lunghezze coinvolte nel suo moto.
Quindi un uomo può essere considerato un punto materiale solo se si sposta per tragitti
di lunghezza molto maggiore della scala delle sue dimensioni, viceversa non
potremo prescindere dalle informazioni sulla sua forma ed estensione. Il pianeta
Marte è senz’altro un punto materiale quando studiamo il moto di rivoluzione dei
corpi celesti attorno al Sole, ma non lo è più quando dobbiamo farvi atterrare una
sonda. I batteri non sono certamente punti materiale per i biologi che ne analizzano
la struttura interna. Le stelle vengono considerate alla stregua di particelle da quegli
astronomi che studiano il movimento delle strutture su grande scala all’interno della
nostra galassia, e così via.
Quali informazioni occorrono per descrivere il moto di una particella?
L’insieme delle posizioni nello spazio occupate da una particella P che si muove è
detto traiettoria.
Per studiare il moto di P dobbiamo immaginare che questo abbia già descritto la sua
traiettoria e figurarcela come una linea nello spazio, una sorta binario sul quale P
scorre. Adesso occorrono due informazioni, una spaziale ed una temporale, ed a tale
scopo introdurremo due opportune grandezze fisiche.
In che modo possiamo associare al punto un’informazione spaziale?
La grandezza fisica che ci dà l’informazione spaziale si ottiene stabilendo sulla
traiettoria stessa una posizione di riferimento, e scegliendo di orientarla, indipendentemente
dal senso del moto di P, in uno dei due possibili versi di percorrenza.
Chiamiamo posizione di P il numero s che esprime la lunghezza 1 (con segno) della
porzione di traiettoria da percorrere per arrivare partendo dal riferimento fino al punto.
Assegneremo alla posizione un segno positivo quando per andare dal riferimento al
punto ci si deve spostare nel verso della traiettoria, segno negativo se ci si deve spostare
contro di esso. Ad esempio s 3.5 m vuol dire che per arrivare dalla posizione
di riferimento a P si devono percorrere 3.5 m nel verso da noi scelto per la
traiettoria, s 2.8 m significa invece che partendo dal riferimento per giungere in
P si devono fare 2.8 m in verso contrario all’orientamento della traiettoria. E’ importante
sottolineare che il valore di s non rappresenta lo spazio realmente percorso da P, ma
è la distanza da una posizione geometrica arbitraria stabilita da noi, dove addirittura
il punto P potrebbe non essere mai stato.
In che modo possiamo associare al punto un’informazione temporale?
La grandezza fisica che ci dà l’informazione temporale si ottiene associando ad ogni
posizione di P una simultanea lettura di orologio, che esprima il tempo t trascorso a
partire da un istante zero di riferimento da noi scelto. Assegneremo alle letture di orologio
un segno positivo quando indicano un momento successivo all’istante zero, ad
esempio t 4.6 s vorrà dire 4.6 s dopo l’istante zero. Il nome “istante zero” non
significa che si è iniziato a misurare il tempo in quel momento, ma che quello è
1 Possiamo immaginare di misurare questa lunghezza contando il numero di giri di una rotellina che scorra lungo
la traiettoria.
38

l’istante in cui il nostro cronometro segnava zero. Esistono quindi anche tempi precedenti
l’istante zero: per queste letture di orologio useremo il segno negativo, quindi
t 2.3 s significa 2.3 s prima dell’istante zero. In generale l’istante zero e la posizione
di riferimento sono indipendenti, cioè P può anche trovarsi ad esempio in
s 4.3 m alla lettura di orologio t 0 s , tuttavia in molti dei casi che esamineremo
risulterà comodo usare come posizione di riferimento proprio quella che il punto
occupa all’istante zero.
Per quanto tempo un punto in moto occupa una posizione?
Un punto che si muove con continuità occupa ciascuna posizione per zero secondi: in
altri termini una lettura di orologio non va intesa come un intervallo temporale molto piccolo,
ma come un istante di durata nulla. La grandezza s è una posizione istantanea, il
luogo dove il punto si trova a passare alla corrispondente lettura di orologio.
Che legame esiste fra la posizione e la lettura di orologio?
Alla coppia di numeri ( s, t) si assegna un nome complessivo, quello di evento, in
quanto si tratta di valori senz’altro legati fra loro. Ad ogni lettura di orologio t infatti
corrisponde l’unica posizione s che P occupa in quell’istante. Questo viene espresso
dicendo che s è funzione di t , ed usando la notazione:
s( t )
che si legge “s di t ”. Quindi scriveremo ad esempio s(3.5 s) 43 m (e leggeremo “
s di 3.5 secondi uguale 43 metri) intendendo che alla lettura di orologio 3.5 s la
posizione era 43 m . Nel caso di un moto generico i valori di s corrispondenti ad
ogni tempo t possono essere ottenuti solo tramite misure e riportati in tabelle. Tuttavia
esistono anche condizioni di moto, per cui si può avere una espressione matema-
tica delle posizioni in funzione dei tempi, ad esempio s( t) 2t 3t
, che permetto-
no, nota una qualsiasi lettura di orologio, di risalire alla posizione corrispondente.
Una tale equazione viene detta legge oraria.
Esercizi
1. Per un punto P in movimento si rilevano le posizioni in tabella nella colonna a destra,
alle letture di orologio nella colonna a sinistra. Si dica se, fra le letture di orologio
t 1 e t 2 , P si è complessivamente avvicinato od allontanato dalla posizione di riferimento,
e se è avanzato nel verso di orientamento della traiettoria oppure contro di
esso. Si ripeta l‘esercizio fra le letture di orologio t 2 e t 3 , e fra t 3 e t 4 .
Fra t 1 e 2
t la posizione diminuisce, passando da s 3.4 m ad s 2.2 m
quindi P si è mosso contro il verso di orientamento, avvicinandosi nel complesso
alla posizione di riferimento.
Fra t 2 e t 3 la posizione diminuisce, quindi P si è mosso complessivamente ancora
contro il verso di orientamento, però la variabile s è passata da un valore positivo
s 2.2 m ad uno negativo s 1.4 m il cui valore esprime una distanza più
2
3
piccola dalla posizione di riferimento, quindi P si è nel complesso avvicinato ad es-
sa.
Fra t 3 e t 4 la posizione aumenta, quindi P si è complessivamente mosso nel verso
di orientamento, però ora la variabile s è passata da negativa ( s 1.4 m ) a po-
39
1
3
2
2
tempi posizioni
t 2.5 s s 3.4
m
1 1
t 3.0 s s 2.2
m
2 2
t 3.5 s s 1.4
m
3 3
t 4.0 s s 1.5
m
4 4

s( t1)
s
s
s( t1)
s
s( t1)
s( t2)
s( t2)
s( t2)
sitiva ( s 1.5 m ) ed il suo ultimo valore esprime una maggiore distanza dalla
4
posizione di riferimento, quindi P si è nel complesso allontanato da essa.
2. Con riferimento alla tabella dell’esercizio precedente, si può dire che la differenza
s s rappresenta la lunghezza del tragitto complessivamente percorso da P fra le
4 1
letture di orologio t 1 e t 4 , e la differenza t4 t1 il tempo complessivamente trascorso?
[R]
3. Si ha una particella che segue la legge oraria s( t) 5.0 2.0t
(unità SI). Si dica
(1) a quale lettura di orologio la particella passa nella posizione di riferimento, (2)
qual è la distanza dalla posizione di riferimento all’istante zero, (3) la lunghezza
dell’arco di traiettoria compreso fra le posizioni occupate agli istanti t 5.5 s e
t 7.0 s .
2
(1) La posizione di riferimento corrisponde ad un valore zero per la posizione, quindi
dobbiamo trovare il valore di t che soddisfa la condizione:
s( t) 5.0 2.0t 0 t ( 5.0
/ 2.0)
s 2.5 s
e quindi ha occupato la posizione di riferimento 2.5 s prima dell’istante zero.
(2) La distanza dalla posizione di riferimento all’istante zero è semplicemente il valore
della grandezza s quando t 0 s :
s(0 s ) (5.0 2.0 0 ) m 5.0 m
(3) La differenza fra le posizioni finale s( t 2)
ed iniziale s( t 1)
, (eventualmente presa
con segno positivo) rappresenta la lunghezza della porzione di traiettoria compresa:
s( t ) (5.0 2.0 7.0) m 19 m s( t ) (5.0 2.0 5.5) m 16 m
2
s( t ) s( t ) (19 16) m 3 m
2 1
Qual è il significato della differenza fra i valori di due posizioni?
Per esprimere la differenza fra il valore che una certa grandezza fisica assume alla
fine di un processo e quello che aveva all’inizio si usa come simbolo la lettera greca
Delta maiuscola . In generale quindi:
grandezza valore finale valore iniziale
In questo caso la differenza fra il valori di s all’istante t 2 e quello in t 1 si scrive:
s s( t ) s( t )
40
1
2 1
Il segno di s è positivo quando nel complesso la particella si è spostata in avanti e
quindi s( t2) s( t1)
, negativo se si è spostata indietro e quindi s( t2) s( t1)
.
Il valore assoluto 2 s esprime la distanza lungo la traiettoria, fra la posizione finale
s( t 2)
e quella iniziale ed s( t 1)
.
2 Per valore assoluto di un numero intendiamo il numero stesso preso sempre con segno
positivo, ad esempio 3 3 , 7 7 .
1

E’ bene riflettere sul fatto che in generale, questa lunghezza non coincide:
con la distanza percorsa dalla particella, la quale nel tempo che va da t 1 a t 2
può aver viaggiato avanti ed indietro ripassando su quella parte di traiettoria
anche più volte;
con la lunghezza del pezzo di triaiettoria effettivamente percorso nel tempo
che va da t 1 a t 2 : si pensi al caso in cui la particella, dopo aver viaggiato
s( t ) s( t ) . In tal caso si avrebbe s 0 ,
torna al punto iniziale, quindi 2 1
indipendentemente da quanto spazio ha percorso.
Qual è il significato della differenza fra due letture di orologio?
La differenza fra una lettura di orologio t 2 ed un’altra ad essa precedente t 1 rap-
presenta sempre la durata complessiva t del tempo trascorso fra questi due istanti:
t t2 t1
ed in quanto differenza fra un tempo successivo ed uno precedente, per definizione
risulta in ogni caso t 0 . La grandezza t è chiamata intervallo temporale.
E’ possibile visualizzare una legge oraria?
La legge oraria può essere visualizzata su di un piano cartesiano ( s, t ) come quello in
figura, riportando le letture di orologio t sull’asse orizzontale, e le posizioni s su
quello verticale. L’andamento del grafico della legge oraria non ha nulla a che vedere
con la forma della traiettoria, ma dice solo come cambia la posizione lungo la traiettoria,
e questa può essere una retta oppure una qualunque curva, una circonferenza e
così via. I tempi sull’asse orizzontale crescono a mano a mano che il moto procede,
ed il il moto della particella va letto sull’asse verticale. Mentre la variabile t avanza
verso destra, la coordinata sull’asse verticale, cioè la distanza dalla posizione di riferimento,
può crescere o diminuire. Per capire il tipo di moto con cui si ha a che fare è
utile partire da un punto e posizionare il dito sull’asse verticale, in corrispondenza
della sua proiezione. Al crescere del tempo si fa poi scivolare il dito su e giù in conseguenza
dello spostamento della proiezione del punto. Ad esempio partendo con il
dito dalla proiezione di A sull’asse verticale, mentre il tempo scorre fino alla lettura
di orologio in D, il nostro dito scivola sull’asse avvicinandosi all’origine, poi se ne
allontana di nuovo fino alla proiezione del punto B, e dopo risale su fino ad E, trovandosi
ancora nell’origine. Alcune caratteristiche del grafico della legge oraria ci
permettono di dedurre informazioni sul moto. In particolare:
quando la coordinata s aumenta (come fra gli istanti C e A, oppure fra B ed
E) il moto è nel verso positivo della traiettoria, cioè in avanti; quando s diminuisce
il moto è contro l’orientamento della traiettoria, cioè indietro (come
fra i tempi A e D).
un massimo od un minimo (come A e B) sono degli istanti in cui la particella
inverte la direzione del moto. A sinistra un massimo infatti l’ordinata
cresce, e quindi il punto si muove in avanti, a destra decresce, e quindi il
punto si muove indietro. Fra questi due andamenti deve esistere un istante
in cui si ferma.
le intersezioni (C, D, E) con l’asse orizzontale sono istanti in cui la particella
passa per la posizione di riferimento
41
F
s
A
C D E
B
t

6
4
2
6
4
2
6
4
2
6
4
2
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
6
4
2
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l’intersezione (F) con l’asse verticale è la posizione occupata all’istante zero
Esercizi
4. Si consideri il moto il cui andamento orario è riportato in figura. Si dica: (1) se fra
gli istanti t 2 s e t 5 s il punto sta andando in avanti o procede indietro; (2) se
esistono degli istanti in cui il punto si ferma; (3) se esistono degli istanti in cui il punto
si trova nella posizione di riferimento; (4) se esistono degli istanti fra i quali il punto
procede indietro; (5) quanto è lungo il pezzo di traiettoria percorso fra gli istanti
t 1 s e t 5.5 s ; (7) quanto vale la posizione all’istante zero
[R: in fondo]
5. Il grafico orario qui a lato descrive il moto di una particella fra l’istante t 2 s e
l’istante t 8 s . (1) Si descriva a parole quello che accade e si riproduca il moto con
un dito lungo il bordo del tavolo; (2) si dica quanto è lunga la porzione di traiettoria
in cui il punto si muove in questo nel lasso di tempo raffigurato; (3) si dica quanto è
lungo il tragitto effettivamente seguito dal punto.
[R: in fondo]
6. Relativamente al grafico orario a fianco, che rappresenta l’andamento di un moto
fra i tempi t 0 s e t 9 s , (1) si descriva a parole il moto della particella e lo si
riproduca con un dito lungo il bordo del tavolo; (2) si calcoli s fra gli istanti iniziale
e finale rappresentati, e si dica se la particella impegna un arco di traiettoria maggiore
o minore di tale valore; (3) si dica per quanti secondi complessivi la particella
procede in avanti e per quanti indietro; (4) se esistono dei tempi in cui passa per la
posizione di riferimento; (5) per quanti secondi si trova ad essere più distante di
2 m dalla posizione di riferimento. [R: in fondo]
7. Si dica se è possibile che una legge oraria abbia l’andamento riportato dalla curva
rossa in figura. [R: in fondo]
8. Lungo una stessa traiettoria si muovono due particelle. Dopo averne descritto a
parole il moto, corrispondente agli andamenti orari raffigurati in verde ed in marrone
fra 0 s e 7 s , si dica (1) cosa accade negli istanti in cui i loro grafici si intersecano;
(2) quale delle due particelle impegna un arco di traiettoria più lungo; (3) per
quale delle due si ha un maggiore valore assoluto del s complessivo.
[R: in fondo]
42

2. Velocità scalare media
Proponiamoci ora di costruire una nuova grandezza fisica che, a partire
dalle due introdotte sinora, la lettura di orologio t e la posizione s , permetta di
esprimere quanto rapidamente una particella si sta muovendo lungo la sua
traiettoria. A tale scopo consideriamo due letture di orologio t 1 e t 2 , con t 2 successiva
a t 1 . Esaminiamo il rapporto dove al numeratore figura la distanza (con
s s( t ) s( t ) fra le due posizioni assunte a tali tempi,
segno) lungo la traiettoria 2 1
ed a denominatore l’intervallo temporale t t2 t1
:
s
t
Come tutti i rapporti fra grandezze fisiche, anche questo deve essere interpretato
come il quantitativo del numeratore associato ad una unità del denominatore: rappresenta
quindi quanti metri dell’arco di traiettoria che separa le posizioni iniziale
e finale, possono essere associati ad 1 secondo di tempo trascorso. Le sue
dimensioni fisiche si ottengono osservando in quale relazione esso si trova con
le grandezze fondamentali del SI da cui dipende:
e quindi si misura in metri al secondo.
s
LT
t
Quale significato hanno il segno ed il valore di tale rapporto?
Il segno di questa frazione è lo stesso che ha il numeratore, visto che per definizione
sappiamo che è t 0 . Quindi avremo un s / t positivo, se com-
plessivamente la particella si è portata in avanti, negativo se complessivamente
si è portata indietro lungo la traiettoria.
A pari durata di t , il valore assoluto di s / t è un numero tanto più
grande quanto più è lungo l’arco di traiettoria che separa le posizioni finale ed
iniziale. Percorrere un tratto più lungo nello stesso intervallo t significa
muoversi più rapidamente, quindi la grandezza s / t contiene questo tipo di
informazione.
Esercizi
8. Considerare il moto descritto in tabella e valutare il rapporto s / t fra gli
istanti t 1 e t 2 , fra gli istanti t 2 e t 3 , fra gli istanti t 3 e t 4 , ed infine fra gli istanti
t 1 et 5 . Interpretare quindi i risultati ottenuti.
In base alla definizione data risulta:
s
2.5 3.2
m/s 0.35
m/s
t
4.0 2.0
21
43
1
s
4.8 2.5
m/s 0.48 m/s
t
6.5 4.0
32
tempi posizioni
t 2.0 s s 3.2
m
1 1
t 4.0 s s 2.5
m
2 2
t 6.5 s s 4.8
m
3 3
t 7.3 s s 1.5
m
4 4
t 9.6 s s 3.2
m
5 5

s
1.5 4.8
m/s 7.9
m/s
t
7.3 6.5
43
s
3.2 3.2
m/s 0.0 m/s
t
9.6 2.0
I risultati contengono informazioni sia nel loro segno che nel loro valore assoluto.
Nell’intervallo 1-2 il segno negativo ci dice che la particella nel complesso si
è spostata indietro, mentre nell’intervallo 2-3 il segno positivo ci dice invece
che è avanzata, ed inoltre che lo ha fatto più rapidamente che nel primo intervallo.
Infatti, mentre in 1-2 ad ogni secondo trascorso possiamo associare
0.35 m dell’arco di traiettoria che separa le posizioni iniziale e finale, in 2-3
possiamo associare ad un secondo un tratto più lungo cioè 0.48 m .
Nell’intervallo 3-4 il punto è stato ancora più rapido visto che risultano 7.9 m
di spostamento in ogni secondo, ma il verso di spostamento è stato contro
l’orientamento della traiettoria, come attesta il segno negativo di s / t . Infi-
ne, le informazioni che s / t ci dà complessivamente fra t 1 e t 5 sono di assenza
totale di spostamento, come attesta il valore nullo trovato, dovuto al fatto
che la posizione finale coincide con quella iniziale. Questo non significa che il
punto non si sia mosso, ma che il suo moto non ha avuto effetti sulla coordinata
di posizione.
Come si vede il rapporto esaminato misura bene la rapidità ed il verso con i
quali complessivamente cambia la coordinata di posizione in un dato intervallo
temporale. Per questi motivi è stata inventata una grandezza fisica pari a tale
rapporto, ed il nome che per essa si è scelto è velocità scalare media.
Definizione operativa di velocità scalare media 3
si osservano due eventi qualsiasi ( t1, s 1)
e ( t2, s 2)
, con 2 1
ferenza s s2 s1
che li separa. Diciamo velocità scalare media fra t1 e t 2 il rapporto:
44
51
t t , e si calcola la dif-
fra le loro posizioni e la durata dell’intervallo t t2 t1
v
m
s
t
Ma il rapporto Δs / Δt è ciò che colloquialmente si intende per velocità?
E’ bene rendersi conto che la velocità scalare media non coincide con ciò che nel
linguaggio di tutti i giorni chiamiamo “velocità”. Comunemente con la parola
velocità intendiamo il rapporto fra la lunghezza di un percorso ed il tempo che
è servito a percorrerlo, indipendentemente dal fatto che questo tragitto sia stato
seguito in avanti od indietro rispetto ad un verso stabilito. La “velocità” così
definita è un numero sempre positivo, e risulta nullo solo se il punto rimane
fermo. Viceversa la velocità scalare media è positiva per movimenti in avanti,
negativa per movimenti indietro ed addirittura può risultare nulla anche nel
caso in cui la particella si è spostata, ma poi è tornata al punto di partenza.
Come si passa da metri al secondo a kilometri all’ora e viceversa?
3 Questa definizione operativa necessita di quattro misure dirette per averne una indiretta di velocità. Nella realtà si
usano tecniche differenti: ad esempio il tachimetro delle auto utilizza l’effetto elettromagnetico della velocità. La
definizione operativa qui proposta vale come schema di principio.

E’ necessario calcolare a quanti metri al secondo corrisponde un kilometro
all’ora ed a quanti kilometri all’ora corrisponde un metro al secondo. Osservando
le regole per le cifre significative abbiamo:
3
1000 m
110 km
1.000 km/h 0.2778 m/s 1 m/s 3.600 km/h
3600 s
(1/ 3600) h
Come valore di riferimento per un calcolo rapido, si tenga quindi presente che
100 km/h 28 m/s .
Esercizi
t
10. Che cosa misura il rapporto , reciproco della velocità scalare media?
s
Si tratta del numero di secondi che possiamo associare ad 1 metro dell’arco di
traiettoria che separa la posizione finale da quella iniziale.
11. Una particella si muove lungo una traiettoria curva secondo la legge oraria
2 3
s( t) 3.0t 2.0t 4.0 . Se ne calcoli la velocità scalare media fra gli istanti
t 2.50 s e t 4.20 s specificando se essa si è mossa complessivamente avanti
1
2
oppure indietro. [R: 49 m/s ]
12. Una bicicletta percorre 2500 m in 20 minuti esatti e poi altri 1500 m in 12 minuti
esatti. Qual è la sua velocità scalare media in metri al secondo? ed in kilomentri
all’ora? [R: 2.083 m/s , 0.5786 km/h ]
13. Un’automobile viaggia da una città A verso una città B, partendo alle ore 12
e 15 minuti e giungendo a destinazione alle ore 12 e 45 minuti. Il contachilometri
segnava 20200 km al momento della partenza e 20220 km nell’istante di
arrivo. Possiamo dire che v 20 km /1800 s ? [R: no]
m
14. Mario e Carla si sfidano in una corsa, e Mario dà a Carla 50.0 m di vantaggio.
Sapendo che nell’intervallo di tempo necessario a Mario per raggiungere
Carla la velocità scalare media di Mario è stata v 7.50 m/s e quella di Carla
v 4.50 m/s si trovi dopo quanti secondi Mario ha raggiunto Carla, e quanto
C
dista in quel momento dalla posizione da cui è partito.
45
M
[R: 16.7 s , 125 m , no]
15. Due sorelle, Ada e Bice, si corrono incontro da una distanza di 400 m . Sapendo
che nell’intervallo di tempo necessario ad Ada per abbracciare Bice la velocità
scalare media di Ada è stata v 6.50 m/s e quella di Bice v 4.00 m/s
A
si trovi dopo quanti secondi Ada incontra Bice e quanto distano entrambe in
quel momento dalla posizione da cui Bice è partita.
[R: 38.1 s , 248 m ]
Qual è l’interpretazione nel grafico orario della velocità scalare media?
Nel piano dove abbiamo imparato a riportare l’andamento orario, cioè con l’asse dei
tempi orizzontale e l’asse delle posizioni verticale, il significato geometrico del
rapporto s / t è quello di misurare l’incilinazione della retta che unisce la posi-
B
s2
s1
s
t
t1 t2
s
t

s
A
B
C
tA tB tC
t
zione iniziale ( t1, s 1)
e quella finale ( t2, s 2)
. Per inclinazione intendiamo una informazione
sull’angolo che tale retta forma con la direzione parallela a quella dei
tempi. Come si vede, viene a crearsi un triangolo rettangolo di cui s / t è il
rapporto fra il cateto opposto ad e quello adiacente: più è grande è questo rapporto,
maggiore risulta . La divisione s / t ci informa su quanti sono i metri
s di complessivo avanzamento (od arretramento) della posizione, che si possono
associare ad un secondo dell’intervallo trascorso. Pertanto la velocità scalare media
non dice nulla sul dettaglio di ciò che realmente avviene fra t 1 e t 2 , ma sostituisce
grossolanamente una retta alla curva che rappresenta l’andamento vero di s( t ) :
maggiore è il valore assoluto del rapporto s / t , maggiore è l’angolo di pen-
denza per tale retta.
Quale significato geometrco ha il segno della velocità scalare media?
Quando al crescere del tempo cresce la posizione, diciamo quindi che la velocità scalare
media è positiva, e che ha pendenza positiva la retta che la rappresenta; quando
invece al crescere del tempo diminuisce la posizione, diciamo che la velocità scalare
media è negativa, e negativa sarà anche la pendenza della retta. Esaminiamo le coppie
di posizioni A e B, C e D, E ed F nel grafico della legge oraria qui di seguito, tutte
ottenute aumentando di t 1 s l’istante iniziale.
s
v
m
C
B
A
s
t 1s
0
D
s
t
1s
Come si vede, allo stesso incremento di un secondo, corrisponde una salita s
sull’asse delle posizioni molto maggiore fra C e D che non fra A e B, quindi una
s s da cui
maggiore velocità media. Nell’intervallo fra E ed F invece si ha F E
s
s 0 e quindi la velocità scalare media risulta negativa: t 0
46
v
m
. Nell’arco di
traiettoria corrispondente il punto si sarà dunque mediamente mosso procedendo
contro il verso scelto come positivo. Attenzione però che la velocità scalare media ci
informa solo sullo spostamento complessivo: all’interno dell’intervallo considetato,
istante per istante la posizione può in ogni caso sia crescere che diminuire, indipendentemente
dal segno finale della velocità media. Si rifletta sul dettaglio di ciò che
accade muovendosi da A ad F, un tratto a cui corrisponde velocità scalare media positiva.
Esercizi
16. La velocità scalare media è maggiore fra t A e t B , fra t B e t C , o fra t A e t C ?
E
s
t
1s
F
0
t

Come si vede, la pendenza della retta AB è positiva e senz’altro superiore a quella
della retta AC, quindi si ha che la velocità scalare media di AB è maggiore della velocità
media di BC. La pendenza della retta BC è invece negativa (al crescere del
tempo diminuisce la posizione) quindi sarà negativa la corrispondente velocità media
di AC.
Come si calcola v m su più tragitti di pari lunghezza?
Poniamo che un’auto percorra a velocità scalare media v 1 la prima metà di un
tragitto lungo s , ed a velocità scalare media v 2 la seconda metà. Indichiamo
con 1 t la durata della prima metà di percorso, e con 2 t la durata della se-
conda metà:
s
/2
t1 t2
v1
47
s
/2
v
osserviamo che il tempo di permanenza in ciascuna metà è tanto maggiore
quanto più piccola è la velocità. Sostituendo nella definizione di v m :
v
m
s s
1
t1 t2 s
/2 s
/2 1 1 1
v1
v 2
v v
2
2 1 2
La relazione ottenuta si dice media armonica dei valori v 1 e v 2 . Prendendo i reciproci
di ambo i membri si ha una forma più facile da ricordare4: 1 1 1 1
v 2
v v
m
1 2
Il risultato espresso da questa formula dice che la velocità scalare media v m per
l’intero percorso non è la media aritmetica di v 1 e v 2 ma sarà tanto più vicina a
quello dei due valori che viene assunto per un tempo più lungo, e cioè il minore,
il quale, figurando a denominatore nella formula, pesa di più.
Come si calcola v m su più intervalli della stessa durata?
Se percorriamo un tragitto andando a velocità scalare media v 1 per la prima
metà del tempo totale t e a velocità scalare media v 2 per la seconda metà del
tempo totale, risulta:
t
s v
2
t
s v
2
1 1 2 2
e la velocità scalare media v m per l’intero percorso viene:
4 In generale dividendo un tragitto in n tratti uguali, e percorriamo ciascuno di essi ad una differente velocità
1
scalare media, la v m totale è la loro media armonica: v
1 1 n ( v
1
v
1
... v )
m 1 2
n
v1
v1
s1
s
/ 2
v2
s2
v2
s
/ 2

6
4
2
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
v
m
s1 s2 v1( t
/2) v2( t /2) 1
( v1 v2)
t
t
2
cioè proprio la media aritmetica di v 1 e v 2 , in quanto a differenza del caso precedente
i due valori vengono assunti per la stessa durata di tempo5. Esercizi
17. Un’automobile percorre un tragitto procedendo con velocità scalare media
20 m/s per la prima metà del percorso e con velocità scalare media 40 m/s per la
seconda metà del percorso. La velocità scalare media complessiva è 30 m/s ?
48
[R: in fondo]
18. Un uomo si reca in autobus al lavoro, prendendolo dopo aver camminato per
900 s sino ad una fermata a 5.00 km dal portone di casa sua. Sapendo che il tempo
che gli occorre per giungere alla fermata a piedi, è lo stesso che impiega l’autobus
fino all’ufficio, e che i due tragitti sono il secondo doppio del primo, si trovi la velocità
scalare media del viaggio in km/h , in m/s ed in cm/s facendo attenzione a
non alterare la precisione del risultato.
[R: 15.0 km/h , 4.17 m/s , 4.17 10 cm/s ]
19. Una bicicletta percorre un tragitto con una velocità scalare media v 8.00 m/s .
Sapendo che la prima metà del tragitto è lunga 5.000 km e che impiega 240 s a
percorrerla, si trovi la velocità scalare media della seconda metà.
[R: 4.95 m/s ]
20. Due corridori, A e B, gareggiano su tre giri di pista, registrando delle velocità
scalari medie per ciascun giro rispettivamente pari a 14.80 m/s , 15.20 m/s ,
14.40 m/s per A e 14.60 m/s , 15.30 m/s , 14.40 m/s per B. Chi dei due ha tagliato
per primo il traguardo? [R: in fondo]
21.Due bambini, A e B, distanti 120 m si corrono incontro con una uguale velocità
scalare media di 3.50 m/s . Mentre si avvicinano, si rilanciano di continuo una palla
da baseball. Sapendo che quando si incontrano, se la palla avesse viaggiato sempre
nello stesso verso, la sua velocità scalare media per l’intera corsa sarebbe stata
10.0 m/s , si dica quanto spazio ha percorso complessivamente la palla.
[R: 171 m ]
22. Relativamente al grafico orario qui a lato si calcoli la velocità scalare media fra
t1 1 s e t2 1 s , fra t 2 e t3 9 s , e fra t 1 e t 3 .
4
[R: 2 m/s, m/s, 0 m/s ]
5 In generale dividendo un tempo in n intervalli uguali e percorrendo ciascuno ad una differente velocità scalare
1
media, la v m totale è la loro media aritmetica: vm n ( v1 v2 ... vn
)
9
2

3. Velocità istantanea
E’ possibile associare una velocità ad ogni singolo istante?
Immaginiamo un’auto che attraversi il centro cittadino ed osserviamone il tachimetro
sul cruscotto: quando diamo gas la lancetta si sposta indicando valori grandi,
quando freniamo si muove verso valori piccoli. Lungo una via rettilinea essa segna
per lunghi tratti un numero costante, al semaforo invece segna zero. Quando l’auto
avrà raggiunto l’altro capo della città potremo senz’altro eseguire la divisione fra lo
spazio percorso e l’intervallo di tempo impiegato ed ottenere la veolcità scalare media,
ma è chiaro che il tachimetro fornisce un’informazione che non ha nulla a che
vedere con il numero che otterremo. La principale differenza è che l’informazione
sulla rapidità del movimento che dà il tachimetro può essere associata ad ogni lettura
t dell’orologio, proprio come si associa ad ogni tempo una posizione s( t ) . Non si
tratta pertanto della velocità scalare media, che è legata alla durata t di un intervallo
temporale, ma piuttosto di una sorta di valore istantaneo della velocità. Nel tentativo
di intodurre una grandezza che misuri una tale informazione, cercheremo allora
di estendere la definizione di v m guardando a cosa succede nel piano delle posizioni
in funzione dei tempi, quando la durata t t2 t1
dell’intervallo si restringe
sempre di più, fino a ridursi idealmente ad un “singolo istante”. Come si vede
dal disegno, per avere un’informazione dello stesso tipo di quella fornita dalla
velocità scalare media, dovremmo misurare la pendenza della retta tangente al grafico
di s( t ) . Volendo a tale scopo inventare una strategia operativa, ci troviamo a
fronteggiare la difficoltà pratica che il “singolo” istante è inafferrabile: in un certo
senso non esiste, dato che, come sappiamo, ogni lettura di orologio ha durata nulla.
Come si procede operativamente?
Per raggiungere il nostro obiettivo allora proveremo a rendere l’intervallo t
estremamente piccolo in rapporto alla durata complessiva del moto. Questo si ottiene
facendo avvicinare fra loro t 1 e t 2 finché l’intervallo non si “chiude” attorno ad
un tempo intermedio t * . Se nel rapporto che definisce la velocità scalare media:
s
vm
t
l’intervallo temporale t diviene molto piccolo, in generale anche lo spostamento
ad esso relativo s , diviene a sua volta piccolo. Quando estremizziamo questa
procedura, le grandezze t e s perdono il loro significato fisico originale: divenendo
entrambe nulle non è più evidente che si tratti di un intervallo di tempo e di
un arco di traiettoria. Tuttavia il loro rapporto mantiene un significato perché una
divisione fra due numeri entrambi molto piccoli non produce un risultato nullo, ma
può assumere valori arbitrari. A titolo di esempio si consideri l’andamento in figura
ed i valori delle posizioni e dei tempi quando l’evento ( tB, s B ) tende ad avvicinarsi
all’evento ( tA, s A)
. In tabella sono riportate posizioni e letture di orologio durante
l’avvicinamento, alcune delle quali anche rappresentate.
49
s
t1
t*
t
t2
s
t

s
s
s
t
t
s
t
v 0
s
v 0
t*
t
v 0
t
s
s
s
t
t
v 0
t
18
sB
16
14
s
12
10
A
8
6
4
2
s[
m]
1
A
Nel caso qui presentato, a mano a mano che ci si avvicina a t A il rapporto s / t
si stabilizza, in particolare per t 3.70 s il suo valore a due cifre significative è
sempre 1.6 m/s . Allora, nelle situazioni dove esiste un limite a cui tende la velocità
media quando la durata dell’intervallo temporale tende a zero, è ragionevole introdurre
una grandezza che assuma questo limite come misura della rapidità istantanea
del moto. Tale grandezza si indica con v e si dice velocità scalare istantanea o
semplicemente velocità istantanea (o anche solo velocità), e si scrive:
Velocità istantanea
B
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t
A
t
B
B
t[
s]
s si legge: " limite per t
che
v lim
t0 t s su t
"
tende a zero di
Nel grafico delle posizioni in funzione dei tempi questo valore esprime la pendenza
della retta tangente al grafico nel punto attorno a cui si chiude l’intervallo t : in questo
caso si tratta della tangente in t A . Per ottenerla dal grafico bisogna calcolare il rapporto
s / t su di una qualunque coppia di punti appartenenti alla retta: da un pun-
to di vista geometrico infatti stiamo misurando il rapporto fra i cateti di triangoli rettangoli
tutti simili fra loro.
Qual è il significato del valore e del segno della velocità istantanea?
Maggiore è la velocità ad una certa lettura di orologio, più rapidamente il punto sta
cambiano la propria posizione in quell’istante. Sul grafico delle posizioni in funzione
dei tempi, quanto più grande è v tanto maggiore risulta l’inclinazione della retta
tangente. Un valore positivo di velocità istantanea significa che la particella a quell’istante si
sta muovendo nel verso della traiettoria; un valore negativo vuol dire che il movimento avviene
contro di esso, cioè indietro. Nel grafico orario, una velocità istantanea negativa
corrisponde a quei tempi dove la retta tangente ha inclinazione tale per cui, al crescere
di t , il punto sulla retta vede diminuire la propria coordinata di posizione.
50
s m s m m/s 1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
s/ t
t 11.00 s 15.0 8.00 6.00 0.750
B
tempi posizioni t s
B
t 9.90 s 16.5 6.90 7.50 1.09
t 6.20 s 14.6 3.20 5.60 1.75
t 5.00 s 12.0 2.00 3.00 1.50
t 4.10 s 10.7 1.10 1.70 1.55
t 3.70 s 10.1 0.70 1.10 1.6
t 3.50 s 9.80 0.50 0.80 1.6
6 6
t 3.32 s 9.50 0.32 0.50 1.6
7 7
tA 3 .00 sA
9.00 0.00 0.00 ?

Esercizi
23. Relativamente al grafico orario in figura, si trovi quanto vale la velocità all’istante
t 5.0 s . Si dica quindi se nell’intervallo temporale che va dall’istante iniziale fino a
5.0 s , la velocità scalare media è maggiore o minore del valore v(5.0 s)
trovato. Si
risponda alla stessa domanda per l’intervallo fra 5.0 s e 7.0 s .
Per calcolare la velocità istantanea a t 5.0 s , dobbiamo misurare la pendenza
s / t della retta tangente al grafico nell’istante t 5.0 s , (in rosso nella figura).
Scegliamo due istanti qualunque ed individuiamo le corrispondenti posizioni sulla
retta, ad esempio: t 6.0 s , s 4.0 m , t 8.0 s , s 7.0 m . Risulta:
1
s s2 s1
7.0 4.0
v(5.0
s ) m/s 1.5 m/s
t t t 8.0 6.0
2 1
1
Come si verifica facilmente questo risultato non cambia se si sceglie una diversa
coppia di punti. Infatti da un punto di vista geometrico stiamo calcolando il rapporto
fra i cateti di triangoli rettangoli tutti simili fra loro.
Per avere la velocità scalare media fra t 0.0 s e t 5.0 s , si tratta di misurare la
pendenza della retta che unisce questi due eventi. Dalla figura si deduce che deve
trattarsi di un valore negativo; leggendo i valori direttamente sul grafico:
s 4.0 5.0
m/s 0.20
m/s
t 5.0 0.0
quindi un valore inferiore a v (5.0 s)
. Analogamente dal grafico si deduce che fra
t 5.0 s e t 7.0 s la velocità scalare media dev’essere positiva e si ha:
s 9.0 3.0
m/s 3.0 m/s
t 7.0 5.0
quindi un valore maggiore di v (5.0 s)
.
24. La legge oraria di un moto ha equazione s( t) 3.0t 2.0t
. Con una calcolatrice
si costruisca una tabella con le coppie ( s, t ) per letture di orologio che partono da
t 0.0 s fino a t 1.4 s intervallate di t 0.1 s . Si riportino quindi le coppie su
di un grafico e si uniscano i punti con una curva morbida. Si confronti quindi la velocità
scalare media fra istanti iniziale e finale con v (0.5 s) e v (1.0 s) .
2
51
2
3
[R: in fondo]
Possiamo disegnare l’andamento della velocità istantanea?
La possibilità di far corrispondere ad ogni lettura di orologio t il valore istantaneo di
velocità v della particella (unico) viene espresso dicendo che v è funzione di t ed
usando la notazione:
v( t )
Questa corrispondenza fra tempi e velocità permette di visualizzare il moto anche
tramite un grafico sul piano cartesiano avente il tempo sulle ascisse e la velocità
istantanea sulle ordinate, detto piano ( v, t ) . Alcune caratteristiche di tale grafico
permettono di dedurre informazioni importanti. In particolare:
coordinata v 0 (fra A e D oppure fra G ed H) significa moto in avanti;
coordinata v 0 ( fra D e G oppure prima di A) moto indietro;
s[
m]
8
6
4
2
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
s[
m]
8
6
4
2
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
s[
m]
8
6
4
s
2
t
t
t
s
s
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
s[
m]
A
8
6
4
2
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
v
B C
D
E F
G
H
t[
s]
t[
s]
t[
s]
t[
s]
t

v
A B
s
v
A B
C D
C D
E F
E F
t
t
t
là dove il grafico taglia l’asse dei tempi ( A, D e G) la velocità è istantaneamente
nulla ed il moto sta cambiando verso;
se coordinata v aumenta (fra A e B, oppure fra F ed H) la velocità sta crescendo
in avanti; se la coordinata v scende (fra C ed E) la velocità sta diminuendo
rispetto al verso positivo, oppure crescendo contro l’orientamento
della traiettoria;
lungo un tratto orizzontale (fra B e C oppure fra E ed F) la velocità è costante.
Esercizi
25. Assegnato l’andamento di v( t ) in figura, si disegni il corrispondente andamento
qualitativo di s( t ) , facendo corrispondere i tempi più significativi contrassegnati con
le lettere.
Fra A e B la velocità è costante e positiva, quindi costante dev’essere la pendenza nel
piano ( s, t ) cioè un tratto di retta. Fra B e C la velocità sale, quindi il grafico orario
delle posizioni è un arco la cui pendenza, positiva, cresce fino al valore nuovamente
costante che assume fra C e D. Qui s( t) è di nuovo un tratto di retta, ma più inclinata
di quella fra B e C, data la maggiore velocità. Fra D ed E la velocità diminuisce (pur
essendo il moto sempre in avanti), quindi il grafico s( t) è un arco a pendenza
decrescente, fino ad arrivare ad essere orizzontale nel tratto E-F dove la velocità si
annulla e quindi risulta s( t) costante .
Qual è il significato della velocità scalare media nel piano (v,t)?
Riscrivendo la definizione di velocità scalare media nella forma vmt s si vede
che se moltipichiamo per v m l’intervallo temporale t al quale la velocità scalare
media fa riferimento, otteniamo la variazione di posizione s . Pertanto se immaginiamo
di sostituire il moto vero con uno a velocità istantanea costante pari proprio
a v m , otterremo la stessa variazione s di posizione del moto vero.
La velocità scalare media è quel valore costante di velocità istantanea alla quale bisognerebbe
muoversi per percorrere l’arco di traiettoria che separa le posizioni iniziale
e finale, impiegandoci lo stesso tempo del moto reale.
52

4. L’accelerazione
Cosa si intende per accelerazione media?
E’ fondamentale costruire una grandezza fisica che esprima quantitativamente il
cambiamento della velocità. Con questo intendiamo non solo quanto la velocità varia,
ma legare tale variazione all’intervallo temporale t durante il quale essa avviene.
Un cambiamento di velocità da 10 m/s a 20 m/s produce effetti molto diffe-
renti (ad esempio se si deve salire una rampa con l’auto) qualora questo avvenga in
t 10 s oppure in t 5.0 s . Ciò che ci interessa misurare è il tasso di variazione
della velocità, cioè il numero di metri al secondo che ogni secondo viene aggiunto o
sottratto alla velocità iniziale. E’ in questo senso che si introduce l’accelerazione 6 media
a in un intervallo fra due istanti t i e t f , definita dal rapporto:
m
a
m
v v f i v
m/s
t t t s
f i
dove i v e v sono i valori della velocità istantanea all’inizio ed alla fine
f
dell’intervallo t . L’unità di misura dell’accelerazione media ne esprime con chiarezza
il significato:
a m è il numero di metri al secondo che bisogna aggiungere, per ogni secondo
dell’intervallo t , alla velocità istantanea iniziale, per ottenere quella finale.
2
Si è soliti abbreviare questa unità di misura nella forma di [m/s ] , meno trasparente
dal punto di vista concettuale.
Qual è il significato del segno nell’accelerazione media?
Nel linguaggio quotidiano diciamo che un oggetto sta accelerando quando aumenta il
valore assoluto delle sua velocità istantanea, altrimenti diciamo che sta rallentando.
Va subito sottolineato che questo non è espresso dal segno dell’accelerazione media, il
quale rappresenta solo il verso in cui bisogna sommare alla velocità la sua variazio-
ne. L’accelerazione media ha il segno del suo numeratore v v , (essendo sempre
f i
t t 0 ). Il segno ne indica la relazione con il verso scelto come positivo nel riferimento,
f i
proprio come accade per la velocità media ed istantanea. Un’accelerazione media positiva
ad esempio di m/s 2
2.5 indica che per ogni secondo dell’intervallo bisogna aggiungere
alla velocità iniziale 2.5 m/s nel verso scelto come positivo. Questo non significa
che l’intensità della velocità finale sarà maggiore: tutto dipende da come sono diretti
i valori iniziale e finale. Se sono entrambi negativi, aggiungere 2.5 m/s nel verso
positivo, per ogni secondo, vuol dire rallentare il moto, se sono positivi vuol dire accelerarlo.
Un’accelerazione media negativa, ad esempio di m/s 2
2.0 significa che
ogni secondo bisogna aggiungere alla velocità iniziale 2.0 m/s nel verso scelto co-
6 Dal latino celer = veloce: da scriversi con una sola “l ”!
53
La Controfisica
E’ bene sempre tenere a mente che
ogni grandezza fisica è un’invenzione il
cui scopo è descrivere al meglio il funzionamento
della natura. Gli antichi
Greci fallirono in questo arduo compito
anche perché non seppero inventare
l’accelerazione. L’idea di misurare la
variazione di velocità nell’intervallo di
tempo si deve a Galileo, il quale, trovatosi
di fronte a dover scegliere come
misurare il cambiamento di velocità,
preferì usare Δv/Δt invece del rapporto
Δv/Δs, (che sarebbe la variazione
di velocità per ogni metro di spazio
percorso). Questa seconda possibilità
venne scartata dal grande scienziato
pisano perché Δv/Δt permette –
come vedremo – una trattazione più
semplice nel fondamentale caso che si
ha con oggetti in caduta libera., dove
assume un valore costante.

me negativo. Quindi se le velocità iniziale e finale sono entrambe negative, l’oggetto
sta accelerando, se sono positive sta decelerando. Più articolato è il caso in cui le
velocità iniziale e finale sono discordi, dove prima si ha un rallentamento e poi una
crescita della velocità nel verso opposto.
Esercizi
26. Un’automobile passa da una velocità istantanea di v 20.0 m/s ad una di
v 30.0 m/s durante un intervallo t 5.0 s , e poi in un successivo intervallo
2
1
t 1.2 s , scende fino a v 25.0 m/s . Calcolare la sua accelerazione media in
2
3
ciascuno dei due intervalli: prima usando un riferimento avente per verso positivo
quello della velocità iniziale dell’auto, e poi in un riferimento con verso opposto.
Nel riferimento avente il verso della velocità iniziale si ha:
a
a
m1
m2
v2 v1
30.0 20.0
m/s 2.0 m/s
t
5.0
1
2 2
v3 v2 25.0 30.0
m/s 4.2
m/s
t
1.2
2
2 2
Nel riferimento con verso opposto risulta:
a
a
m1
m2
v2 v1
30.0 ( 20.0)
m/s 2.0
m/s
t
5.0
1
2 2
v3 v2 25.0 ( 30.0)
m/s 4.2 m/s
t
1.2
2
2 2
Come si vede, il verso che si sceglie per il riferimento non cambia il fatto che, tra-
scorso l’intervallo 1 t il valore assoluto della velocità istantanea è aumentato, men-
tre, trascorso l’intervallo 2 t , è diminuito. Questo però non ha nulla a che vedere
con il segno dell’accelerazione. Infatti nel riferimento orientato verso destra si ha
a 0 ed a 0 , in quello orientato verso sinistra a 0 ed a 0 .
2 1 2
m1
20.0 m/s
30.0 m/s 25.0
m/s
20.0 m/s
30.0 m/s 25.0
m/s
m
27. Un’automobile passa da ferma a 100 km/h in t 8.00 s . Si dica quanti se-
condi le occorrono per raggiungere i 150 km/h mantenendo la stessa a . m
[R: 12.0 s ]
28. Quale accelerazione media dovremmo avere, partendo da fermi, per raggiungere
8
la velocità della luce c 3.00 10 m/s in un anno? [R: m/s 2
9.52 ]
29. Un’automobile A ferma viene sorpassata da un’auto B che sta procedendo a velocità
costante di v 15.0 m/s . In quell’istante a parte accelerando costantemen-
B
54
m
1
m

te, in modo da raggiungere 100 km/h in 7.50 s . Si trovi quant’è la differenza fra le
velocità delle due automobili dopo 4.00 s . Quanto spazio ha percorso B nel frattempo?
[R: 0.2 m/s , 60.0 m ]
Cosa si intende per accelerazione istantanea?
In modo del tutto analogo a quello con cui si è definita la velocità istantanea, si introduce
l’accelerazione istantanea come il valore che si ottiene nell’accelerazione
media quando l’intervallo t si chiude su se stesso divenendo così piccolo da potersi
considerare un singolo istante:
Accelerazione istantanea
v si legge: " limite per t
che
a lim
t0 t v su t
"
tende a zero di
Qual è il significato del segno nell’accelerazione istantanea?
Anche nel caso dell’accelerazione istantanea il segno indica solo il verso nel quale
bisogna aggiungere in ogni istante l’incremento alla velocità. Quindi tanto
un’accelerazione istantanea positiva quanto un’accelerazione istantanea negativa
possono corrispondere ad un aumento nel modulo della velocità. In particolare,
come si deduce dalla figura, si ha che se:
a e v hanno lo stesso segno v aumenta
a e v hanno segno opposto v diminuisce
Come si rappresenta graficamente l’accelerazione?
Si utilizza un piano con sulle ordinate la velocità e sulle ascisse il tempo. Il significato
grafico delle accelerazioni media ed istantanea è lo stesso di quello delle velocità
media ed istantanea. L’accelerazione media è la pendenza della retta che congiunge i
due punti iniziale e finale, l’accelerazione istantanea è la pendenza della retta tangente.
Ad esempio, con riferimento alla figura, si ha per le accelerazioni medie
a12 v12 / t12
, a23 v23 / t23
misurate sul grafico di v( t ) , mentre per
l’accelerazione istantanea in t 2 si ha a( t2) v / t da misurare sulla tangente al
grafico nell’istante t 2 .
55
v
v 0
v 0
t1
a 0
v aumenta
a 0
v 0
v diminuisce
a 0
v 0
v diminuisce
a 0
v aumenta
v12
t12
v23
t23
t
t2 3 t
v
t

La Controfisica
Il filosofo greco Zenone propose un
paradosso secondo cui una freccia non
raggiunge mai il bersaglio, dato che
dopo aver percorso metà del tragitto,
deve fare ancora metà del rimanente, e
poi procedendo di metà in metà le ci
vorranno infiniti passi. Tuttavia, per
fare infiniti passi, non necessariamente
occorre un intervallo di tempo infinito.
Se infatti i passi sono sempre più
brevi, ma la velocità è uniforme,
ognuno durerà la metà del precedente,
e la somma di pezzi sempre più piccoli
produce un valore finito, cioè quello
del tempo totale di percorrenza.
8.00m/s
0 x m m 1300
0 500
4.00m/s
x
5. Il moto rettilineo uniforme
In quale condizione il moto di una particella si dice “uniforme”?
Si dice che un punto materiale si muove di moto uniforme quando esso si sposta
percorrendo spazi uguali in tempi uguali.
In un moto uniforme pertanto, qualunque sia la lettura di orologio t alla quale si
i
decide di far iniziare l’intervallo t , lo spostamento corrispondente s ha sempre lo
stesso valore, una volta che si è fissato t . E se si raddoppia l’intervallo temporale raddoppia
pure lo spostamento, se lo si triplica o lo si dimezza, si triplica o si dimezza
anche s . In un moto uniforme la velocità media sarà quindi la stessa per ogni
intervallo t quale che sia la lettura d’orologio t da dove inizia, e coinciderà con la
velocità istantanea v . Dalla definizione di velocità media abbiamo:
s
s s
vm v
t t t
56
f i
f i
Il moto uniforme può avere luogo su qualsiasi traiettoria, un caso particolare si ha
quando questa è rettilinea, e si dice allora che il moto è rettilineo uniforme.
Come possiamo semplificare la notazione per il moto rettilineo uniforme?
Assumiamo che la lettura d’orologio iniziale sia ti 0 s . Visto che siamo lungo
una retta, indichiamo semplicemente con x , anziché con s f , la posizione ad un
generico istante successivo, ed indichiamo con t anziché t f le successive lettu-
re d’orologio. Sia inoltre x 0 la posizione iniziale. Abbiamo allora:
x x
v
t
Da tale espressione possiamo ricavare una relazione che esprime la posizione x
in funzione del tempo t trascorso a partire dall’istante iniziale
0
0
x( t) x vt
Una relazione che esprime una grandezza fisica in funzione del tempo si dice
legge oraria. Quella sopra è pertanto la legge oraria dello spostamento per il
moto rettilineo uniforme: essa fornisce la posizione del punto materiale lungo la
retta ad ogni lettura d’orologio t Su di una traiettoria curva scriveremo analo-
gamentes( t) s vt 0
.
Esercizi
30. Un ciclista si trova su di una strada rettilinea a 500 m da casa sua e procede
verso il centro del paese, che dista 800 m dalla sua posizione, pedalando ad
una velocità istantanea costante di 4.00 m/s . Quanto dista da casa quando è

trascorso un minuto? Quanto tempo dopo giunge a destinazione? Se contemporaneamente
parte anche la moglie del ciclista dalla loro casa sempre verso il
centro del paese, pedalando ad una velocità costante di 8.00 m/s , dopo quanti
secondi lo avrà raggiunto? A quale distanza da casa si incontrano?
Contrassegniamo il ciclista con 1 e la moglie con 2. Scriviamo la legge oraria
per la posizione del ciclista:
x ( t) x vt 500 4.00t
1 0
Troviamo la sua posizione dopo 60.0 s semplicemente sostituendo questo valore
del tempo:
x (60.0 s ) (500 4.00 60.0) m 740 m
1
Imponiamo che la sua posizione sia x 1300 m e ricaviamo il tempo che gli
occorre per arrivare:
1300 m 500 4.00t
1300 500
t s 200 s
4.00
Scriviamo la legge oraria per la posizione della moglie, per la quale risulta
x 0.00 m
0
x ( t) x vt 8.00t
2 0
Nell’istante in cui la moglie raggiunge il ciclista le loro posizioni sono uguali,
x ( t) x ( t)
. Imponiamo tale condizione per trovare il tempo d’incontro e
cioè 1 2
risolviamo rispetto a t :
500
x1( t) x2( t) 500 4.00t 8.00t t s 125 s
8.00 4.00
Per avere la loro distanza da casa scegliamo una delle due leggi orarie ed inseriamo
il valore trovato, che verrà uguale nei due casi, come abbiamo imposto:
x1(125 s ) (500 4.00125) m 1000 m x2(125) (8.00 125) m 1000 m
31. Giulia e Stefano decidono di fare una gara con i motorini. Stefano si muove
con una velocità costante v 10 m/s mentre Giulia con una velocità costante
S
di v 7.0 m/s . Dato che il motorino di Stefano è più veloce, egli decide di da-
G
re a Giulia un vantaggio partendo 5.0 s dopo di lei. Ce la farà Stefano a superare
Giulia prima di aver percorso 100 m ? Quanti secondi gli occorrono per raggiungerla?
[R: no; 12 s ]
32. Un’automobile parte da Roma verso Alessandria con una velocità costante
v e contemporaneamente un’altra parte da Alessandria verso Roma con velo-
A
cità costante v . Si sa che dopo 50 min la prima dista da Roma B
90.0 km e che
dopo 67 min la seconda dista da Alessandria 110 km . Assumendo che la distanza
Roma-Alessandria sia 600 km , dopo quanto tempo la distanza fra le due
auto è di 150 km ? Risolvere utilizzando ore e chilometri con tre cifre significative.
[R: 2.18 h ]
33. Un cacciatore prende di mira verticalmente un uccello che si muove con velocità
costante v 13.0 m/s volando all’altezza di 31.5 m . Supponendo che i
U
pallini salgano con una velocità costante v 300 m/s , calcolare di quanti me-
tri l’uccello deve distare dalla verticale al momento dello sparo.
57
P
[R: 1.37 m ]
v 10
m/s
S
0.0 m x 0 ?
vA
0.00km
y m v 13.0m/s
U
v 7.0
m/s
G
x ?
v 300
m/s
P
x m 150km vB
600km
x m x

vB
x0
x m B
d
posizione x
8
6
4
2
x[
s]
t
vA
P
x
x m A
v
v 0
x
tempo t
t
v 0
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
x
t[
s]
34. Da una stessa posizione due corridori partono in direzioni perpendicolari
con velocità costanti v 5.0 m/s e v 7.0 m/s . Dire quanti secondi occorro-
A
B
no affinché la distanza fra di loro diventi 100 m . [R: 10.9 s ]
35. Un treno lungo d attraversa completamente una stazione lunga 500 m in
un tempo di 20 s . Sapendo che gli occorrono 5.0 s per passare il semaforo, si
trovino il valore di d e la velocità del treno. Suggerimento: si scriva la legge
oraria della punta P del treno. [R: 167 m ; 33.3 m/s ]
36. Due treni lunghi 150 m , che marciano in senso opposto, impiegano 15 s
per attraversarsi. Sapendo che la velocità del secondo è doppia di quella del
primo, calcolarle entrambe. [R: 20 m/s ]
37. Due treni, A e B, entrambi lunghi d , che marciano nello stesso senso, impiegano
30 s per attraversarsi. Sapendo che A ha una velocità di 25 m/s e che
B viaggia davanti ad esso con una velocità pari ad 1/ 3 di questo valore, si dica
quanto sono lunghi i treni. [R: 250 m ]
Qual è il significato grafico della velocità nel moto uniforme?
Come sappiamo la velocità media v in questo caso coincide con la velocità istanta-
m
nea v . La legge oraria dello spostamento per il moto rettilineo uniforme,
x x vt , riportata in un diagramma cartesiano posizione-tempo, con la coordi-
0
nata di posizione x sulle ordinate ed il tempo t sulle ascisse, è rappresentata da una
retta. Infatti la retta è il solo luogo di punti dove sia costante il rapporto x / t .
La costanza di questi rapporti implica infatti che tutti i triangoli rettangoli di base
t ed altezza x debbano essere simili, e quindi che l’angolo fra l’ipotenusa ed il
cateto orizzontale sia sempre lo stesso, cosa che avviene solo se tutte le ipotenuse sono
segmenti staccati sulla medesima retta. Quando il punto si allontana verso le
ascisse positive si ha v x / t 0 e la retta ha una pendenza positiva, cioè al
crescere della variabile t cresce la variabile x , viceversa se v x / t 0 il pun-
to si allontana verso le ascisse negative e la retta si dice che ha pendenza negativa.
Esercizi
38. Scrivere la legge oraria del moto in figura e dire quant’è la posizione quando
t 30 s . Dalle informazioni in nostro possesso possiamo concludere che la
traiettoria è rettilinea?
Dalle informazioni in nostro possesso si può concludere che il moto è uniforme
poiché la legge oraria è rappresentata da una retta nel piano orario. La traiettoria
potrebbe essere qualsiasi: l’uso della x al posto della s per la coordinata di
posizione lascia supporre che si tratti di una retta, tuttavia non possiamo esserne
certi.
Calcoliamo la velocità v attraverso la pendenza della retta, osservando che
questa passa per gli eventi t 0 s , x 4 m e t 3 s , x 8 m :
x2 x1
8 m 4 m 4
v m/s
t t 3 s 0 s 3
2 1
1
1
58
2
2

Direttamente sul grafico leggiamo la posizione iniziale, nel punto dove la retta
intersecano l’asse delle posizioni:
x 4 m
0
e quindi scriviamo la legge oraria richiesta:
4
x( t) x0 vt 4 t
3
Quando t 30 s la posizione risulta:
4
x(30 s ) [4 (30 s)] m 44 m
3
39. Nel diagramma orario qui a fianco sono riportate le leggi orarie di due automobili,
A e B, che procedono lungo una stessa strada in verso opposto a velocità
costante. Si scrivano le leggi orarie dei due moti, si calcoli in quale istante si
incontrano e qual è la coordinata della loro posizione in quel momento.
6 28 54
[R: xA( t) 2 t , xB ( t) 6 7 t , 13 s , 13 m ]
40. In un piano orario ( x, t ) si rappresentino i moti x ( t) 2.0 2.0t
ed
x ( t) 1.0 0.5t
nell’intervallo temporale che va da t 0 s a t 7 s . De-
B
scrivere il comportamento delle corrispondenti particelle A e B.
59
1
A
2
[R: in fondo]
40A. L’astronave Enterprise, ferma nello spazio, lancia un siluro fotonico con veloci-
3
tà v 2.00 10 c ( c 3.00 10 m/s ) contro un falco da guerra romulano che
s
4
8
12
dista 1.50 10 ly ( 1ly 9.00 10 km ) cioè un anno luce sono circa novemila
miliardi di Km). Il falco da guerra, che non è stupido, appena avvistato il siluro
scappa in avanti con v
4
10 c . Sapendo che in 5 s il falco entra
falco
nell’iperspazio (e quindi è salvo) ce la faranno i romulani a sfuggire al siluro? Rappresentare
i moti del siluro e del falco nel piano spazio tempo.
40B. Un’astronave di classe Galaxy viaggia in linea retta da Plutone verso la Terra
3
con una velocità pari a v 10 c mantenendola costante. Contemporanemente
A
parte dalla Terra verso Plutone un cargo interplanetario di seconda classe con velo-
4
cità costante pari a v 0.2 10 c . Quale dei due intercetta per prima l’orbita
C
di Giove? A quale distanza dalla Terra si incontrano? Si assuma D(Terra-Sole)=
12
12
12
0.15 10 m, D(Plutone-Sole)= 5.9110 m, D(Giove-Sole)= 0.778 10 m.
Rappresentare le leggi orarie sul piano.
8
6
4
2
x[
s]
B
A
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
t[
s]

x 0
v0
v0
posizione
velocità
velocità
v 0
0
t
tempo
tempo
area v0t tempo
6. Moto uniformemente accelerato
La legge oraria della posizione ( ) 0 0
x t x v t di un punto materiale che si al-
lontana di moto uniforme dalla posizione di riferimento è rappresentata nel diagramma
spazio tempo da una retta con pendenza positiva, mentre un punto materiale
che vi si avvicina, da una retta con pendenza negativa 7. Nel piano velocitàtempo
invece, lo stesso moto è rappresentato da una retta parallela all’asse delle
ascisse perché nel moto rettilineo uniforme la velocità si mantiene costante. Secondo
la terminologia sopra introdotta, questo secondo andamento si dice legge oraria della
velocità. Se con v indico il valore di tale velocità costante, che coincide anche con la
0
velocità iniziale (essendo costante sarà sempre uguale al valore che aveva all’inizio)
allora la legge oraria della velocità per il moto rettilineo uniforme sarà:
v( t) v
Il grafico nel piano velocità-tempo ha una importante proprietà: l’area sotto alla retta,
fra l’istante iniziale ed un istante qualunque t, rappresenta lo spazio percorso. Nel
caso in cui il punto materiale parta dalla posizione di riferimento, cioè x 0 , lo si
0
può verificare immediatamentegh: in questo caso la legge oraria dello spostamento
diventa: x v0t che come si vede dalla figura è proprio l’area della parte di piano
che sta sotto la retta ed è compresa fra l’asse delle ordinate e la retta verticale che
passa per t, detta anche area sottesa dal grafico.
La relazione fra lo spazio percorso e l’area sottesa vale in ogni caso?
Si, la relazione si mantiene anche nel caso in cui la velocità non sia costante. Dimostreremo
questa proprietà solo nel caso del più semplice fra i moti rettilinei con velocità
non costante, cioè il moto rettilineo uniformemente accelerato.
Moto rettilineo uniformemente accelerato
una particella si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato se la sua velocità
varia di quantità uguali in intervalli di tempo uguali, cioè quando la sua accelerazione
istantanea è costante, e coincide con l’accelerazione media.
Dalla definizione di accelerazione media (od istantanea, con cui coincide), introducendo
i simboli vf v( t)
, vi v0
, tf t e scegliendo ti 0 s :
vf vi v( t) v
a
t t
t
f i
possiamo ricavare la legge oraria per la velocità nel moto uniformemente accelerato:
0
60
0
v( t) v at
7 Attenzione che questo andamento rettilineo nel piano s,t non ha nulla a che vedere con la traiettoria.
0

Per motivi analoghi a quelli visti nel caso di x x vt nel piano posizione-tempo,
0
anche il grafico di v v at nel piano velocità-tempo è una retta. Infatti il rappor-
0
to fra la variazione dell’ordinata v e la variazione dell’ascissa t è costante,
v / t a , e come abbiamo visto questo è possibile solo lungo i punti di una ret-
ta. Inoltre, per analogia con il caso v v , possiamo interpretare l’area sottesa dalla
0
retta v v at nel piano velocità-tempo come lo spazio complessivamente per-
0
corso. Se infatti immaginiamo di effettuare il moto in tanti tratti di durata t percorsi
a velocità costante, in modo che la velocità cresca a scalini e non con continuità,
si vede bene che l’area sotto alla retta è approssimabile tramite quella dei rettangoli,
che in base a quanto detto prima, rappresentano lo spazio percorso in ciascuno dei
tratti. La retta può essere interpretata come il caso limite in cui ciascuno degli intervalli
t diventa piccolissimo.
Come si ricava la legge oraria per la posizione in questo moto?
Supponendo che il punto parta dalla posizione x 0 , lo spazio percorso in totale
0
coincide direttamente con la posizione x( t ) . Con riferimento alla figura, si tratta di
calcolare l’area del trapezio evidenziato, ottenibile facendo “la metà della somma
delle basi” (di misura v e v ) e moltiplicandola per “l’altezza” t :
0
1
2
x( t) A ( v v ) t
Inserendo in questa relazione la legge oraria della velocità v v at : 0
1 1
2 0 0 0 2
x( t) [( v at) v ] t v t at
Nel caso più generale dovremo aggiungere ad x( t) la posizione iniziale x : 0
x( t) x v t at
0 0
1
2
Relazione che costituisce la legge oraria della posizione per il moto rettilineo uniformemente
accelerato.
Come calcolare la velocità media in un moto uniformemente accelerato?
Ricordiamo che la velocità media è quella per cui se lo stesso spostamento venisse
percorso con velocità costante pari ad essa, complessivamente la particella impie-
gherebbe lo stesso tempo. Da questa definizione segue che che se x 0 allora ri-
0
sulta:
x( t) v t m
1
1
che, confrontata con la precedente x( t) ( v v ) t fornisce v ( v v ) , risul-
tato noto come:
2
61
0
0
2
2
m
2
0
v0
v
v0
velocità
velocità
v v at 0
A
A
v v at 0
t
tempo
tempo

Teorema della velocità media
in un moto uniformemente accelerato la velocità media v m fra l’istante iniziale ed
un istante t è la media fra la velocità iniziale e quella all’istante t :
1 v ( v v )
m
2
Il risultato si generalizza anche al caso di un qualsiasi primo istante, non necessariamente
quello iniziale del moto.
Esercizi
41. Si studi il moto rettilineo uniformemente accelerato:
x( t) 5.0 3.5t 4.2t
.
Analizziamo la legge oraria. Si deduce:
1) Che un punto materiale è partito dalla posizione x 5.0 m dove aveva una
velocità diretta nel verso scelto come positivo e con intensità: v 3.5 m/s . Infatti
un confronto con l’espressione simbolica fornisce immediatamente il valore costante
2
di accelerazione: a 8.4 m/s il che significa che la sua velocità varia, aumentando
l’intensità di: 8.4 m/s ogni secondo che passa.
2) Che la velocità aumenti non lo vediamo dal fatto che il segno dell’accelerazione è
positivo: questo indica solo che ogni secondo vengono aggiunti alla velocità 8.4 m/s
nel verso scelto da noi come positivo sulla traiettoria. Questo verso non ha legami
con il verso in cui il punto percorre la traiettoria: se ad esempio il punto si stava
muovendo indietro, un’accelerazione positiva di
62
0
2
0
0
2
8.4 m/s corrisponde ad una di-
minuzione del modulo della velocità, se invece il punto si stava movendo avanti,
corrisponde ad un aumento del modulo. Che si tratti di un aumento di velocità lo
vediamo allora dal fatto che la velocità iniziale ha lo stesso segno dell’accelerazione.
3) Essa inoltre aumenta in modo uniforme, cioè ad esempio fra dieci ed undici secondi
la velocità crescerà di 8.4 m/s proprio come fra cento e centouno secondi e
non di un valore differente di volta in volta. Questo può essere scritto sinteticamente
tramite la legge oraria della velocità: v( t) 5.0 8.4t
e quindi se volessimo calcola-
re la velocità e la posizione dopo 2.0 s basterà sostituire il valore dato al posto del
tempo:
x(2.0 s ) (5.0 3.52.0 4.2 2.0 ) m 29 m
v(2.0 s ) (3.5 8.42.0) m/s 20 m/s
0.0 m
2
42. Si studi il moto rettilineo uniformemente accelerato seguente, calcolando in particolare
quando la particella si ferma ed in quale istante attraversa l’origine:
x( t) 8.5 9.6t 0.60t
.
2
v(0) 3.5 m/s v(2.0)
20 m/s
x(0) 5.0 m x(2.0) 29 m

43. Una ragazza fa jogging correndo alla velocità costante di 4.0 m/s . Ad un certo
istante passa davanti ad un uomo seduto su di una panchina e comincia a rallentare
costantemente di 0.40 m/s ogni secondo. Questo riflette per 5.0 s e decide di conoscerla,
quindi scatta con velocità iniziale di 3.0 m/s accelerando il passo in maniera
costante con m/s 2
a 8.0 . A quale distanza dalla panchina il tizio raggiunge la ragazza?
Che velocità possiedono entrambi in quell’istante? Usciranno insieme quella
sera stessa?
Scriviamo le leggi orarie, posizione e velocità, di entrambe le persone. La prima cosa
da fare è scegliere una origine della traiettoria (rettilinea) che sarà la posizione della
panchina. Poi occorre uno stesso istante iniziale opportuno per entrambi: qui conviene
il momento in cui il tizio si alza per iniziare la sua corsa. La legge oraria della
posizione dell’uomo si ottiene facilmente:
x 0.0 m , v 3.0 m/s ed a 8.0 m/s ,
0U
0U
2
x ( t) 3.0t 4.0t
U
U
Più complesso è scrivere la legge oraria della ragazza, della quale nel riferimento
scelto è nota soltanto l’accelerazione m/s 2
a 0.40 :
x ( t) x v t 0.20t
R 0R 0R
2
R
La posizione iniziale della ragazza x 0R è lo spazio di cui si è allontanata dalla panchina
in 5.0 s e la sua velocità iniziale v 0R quella che ha dopo aver decelerato per
gli stessi 5.0 s . Per calcolare questi dati dobbiamo scrivere dapprima un’altra
equazione oraria per la sola ragazza, che abbia però come istante iniziale quello del
passaggio alla panchina. In questo riferimento si ha x 0.0 m e v 4.0 m/s ,
mentre l’accelerazione è sempre m/s 2
a 0.40 :
63
2
0R
R
R
2
R
2
x ( t) 4.0t 0.20 t x (5.0 s ) (4.0 5.0 0.20 5.0 ) m 15 m
v ( t) 4.0 0.40 t v (5.0 s ) (4.0 0.40 5.0) m/s 2.0 m/s
R R
Riscriviamo quindi l’equazione oraria della ragazza usando come istante iniziale
quello in cui il tizio si alza dalla panchina, in modo da poterla confrontare con
quest’ultima. In questo secondo caso la posizione iniziale della ragazza sarà allora
x 15 m e la velocità iniziale v 2.0 m/s , da cui:
0
x ( t) 15 2.0t 0.20t
R
2
0
Nell’istante in cui si raggiungono, le due posizioni xU ( t ) e xR( t ) devono essere
uguali, pertanto imponiamo questa condizione per trovare il tempo:
2 2
15 2.0t 0.20t 3.0t 4.0t
2
4.2t 1.0t 15 0 t 1.8 s t 2.0 s
1 2
dove la seconda soluzione matematica non ha significato fisico perché l’incontro avverrebbe
prima del nostro istante iniziale. Il calcolo delle velocità d’incontro si fa
tramite le relative leggi orarie:
v ( t) 2.0 0.40 t v (1.8 s ) 1.3 m/s
R R
v ( t) 3.0 8.0 t v (1.8 s ) 17 m/s
U U
I due non usciranno insieme quella stessa sera perché il tizio ha accelerato troppo e
così le sfreccia affianco senza poterle dire neanche una parola…
0R

44. Un’automobile procede lungo l’autostrada alla velocità costante di 12 m/s , ed
inizia ad accelerare in avanti di m/s 2
1.5 proprio nell’istante in cui supera un camion
fermo in un’area di sosta. In quel preciso momento anche il camion parte accelerando
in avanti di 3.2 m/s . In quale istante i due veicoli avranno la stessa velocità?
Quanto sarà la distanza che li separa in quel momento?
64
[R: 7.1 s , 42 m ]
45. Un carrello del supermercato viene lanciato con velocità iniziale 2.30 m/s , ma a
causa degli attriti rallenta costantemente con un’accelerazione di valore assoluto
m/s 2
0.140 . Si rappresenti il moto nel piano velocità-tempo e si dica dopo quanti
secondi si ferma e quanto spazio ha percorso. [R: 16.4 s ,18.9 m ]
46. Una vettura parte da ferma accelerando in modo uniforme di m/s 2
0.120 per un
intervallo di 12.0 s , rimane a velocità costante per 6.0 s e quindi rallenta uniformememente
fino a fermarsi in un tempo di 16.0 s . Dopo aver scritto le leggi orarie
di posizione e velocità nei tre tratti, determinare lo spazio complessivamente percorso,
la massima velocità che l’auto raggiunge e la velocità media mantenuta. Rappresentare
il moto nel piano v t . [R: 34 m ;1.92 m/s ;1.2 m/s ]
47. Un motociclista che procede alla velocità costante di 20.0 m/s , accelera per un
tratto di strada lungo 300 m , alla fine del quale la sua velocità è diventata
25.0 m/s . Si calcoli la sua accelerazione. Rappresentare il moto nel piano v t .
[R: m/s 2
0.38 ]
48. Un treno A che viaggia alla velocità costante di 150 km/h vede sulla stessa rotaia,
1500 m davanti a sé, un altro treno B che avanza nello stesso verso ma a
100 km/h . Quanta accelerazione uniforme minima devono imprimere i freni per
2 2
evitare il tamponamento? [R: 2.5 10 km/h ]
49. Due veicoli A e B procedono uno verso l’altro a velocità costanti di uguale modulo
18.0 m/s . Quando la distanza fra le due è 800 m , A aumenta la sua velocità
con accelerazione di modulo costante m/s 2
0.120 mentre B diminuisce la sua veloci-
tà con accelerazione di modulo costante m/s 2
0.150 . Dopo quanti secondi si incontrano?
A quale distanza dalla posizione iniziale di A? [R: 20.0 s , 384 m ]
50. Un’auto che procede alla velocità di 16.0 m/s dista 40.0 m da un passaggio a
livello incustodito. In quel momento un treno lungo 100 m inizia ad attraversare,
alla velocità costante di 35.0 m/s . Sapendo che la strada è larga 12.0 m , quale dece-
lerazione minima costante devono imprimere i freni all’auto per evitarle di colpire il
treno? [R: m/s 2
2.19 ]
51. Due auto, A e B viaggiano fianco a fianco lungo una via rettilinea, procedendo
alla velocità costante di 12.0 m/s . Ad un certo istante, entrambe iniziano ad accele-
rare uniformemente, e dopo un intervallo di tempo di 5.00 s la velocità di A è diventata
22.0 m/s . Dell’auto B si sa invece che dopo un intervallo di 2.00 s ha percorso
32.0 m . Dopo aver scritto le leggi orarie di posizione e velocità, si dica (1)

quando ciascuna delle due vetture raggiunge un benzinaio distante 108 m dal punto
dove hanno iniziato ad accelerare, (2) qual è stata la velocità scalare media di entrambe
in questo tratto. Si rappresentino i moti delle due auto in uno stesso piano
con la velocità in funzione del tempo. Che significato hanno in questo grafico le velocità
scalari medie? [R:in fondo]
52. Due particelle, A e B, seguono due moti rappresentati nel grafico a lato. Come
possiamo descrivere a parole ciò che succede? E’ possibile scrivere qualche legge
oraria dei due moti? E’ possibile dire se esiste un istante in cui le due particelle si incontrano?
53. Studiare le caratteristiche del moto uniformemente accelerato:
2
x( t) 4.0 5.0t 0.80t
, in particolare si dica se il punto si ferma mai, quante
volte passa per l’origine e con quali velocità.
7. Relazione fra velocità e spazio percorso
v( t) v
0
Ricavando il tempo dalla legge oraria della velocità, t ed inserendolo
a
nella legge oraria della posizione si ottiene un’altra relazione fra velocità, accelerazione
e spazio:
65
2
v v
v v0
1
x x v a
0 0
a 2
0
2
a
v0v x x0
a
2 2 2
v0 v v0 v0v
a 2a 2a
a
2 2
0
v v
x x0
2a 2a
2 2
0 0
v v 2 a( x x )
Questa relazione ha una certa utilità pratica, ma in realtà contiene le stesse informazioni
fisiche delle leggi orarie, dato che è stata ricavata da esse.
Esercizi
54. Un’automobile viaggia alla velocità di 20 m/s . Se ad un certo istante inizia a de-
celerare costantemente di
2
2.0 m/s si dica quanto spazio deve percorrere perché
dimezzi la sua velocità e quanti secondi trascorrono. Si dica se questo spazio è maggiore
o minore della metà dello spazio necessario per fermarsi e si giustifichi la risposta
con il calcolo. Si ripetano il ragionamento ed il calcolo per il tempo.

Qualunque sia la posizione iniziale 0 x , la differenza x x 0 rappresenta lo spazio
percorso a partire da essa. Sfruttando la formula che esprime la velocità in funzione
dello spazio percorso abbiamo che, per dimezzare la velocità, deve coprire una distanza
x x 0 tale che 0 /2 v v cioè:
2
v0
2
v0 2 a( x x0)
2
2 2
3 2
v0 2 a( x x0)
0
4
3v0 3 20
x x0
m 75 m
8a 8 ( 2.0)
Possiamo calcolare i secondi trascorsi portando a primo membro x 0 incognito nella
legge oraria ed imponendo x x 75 m :
0
0
2
0
2
x( t) x 20t 1.0 t x( t) x 20t 1.0t 75 m
2
10 10 75
t s t1 5.0 s t2
15 s
1.0
Il secondo valore è privo di significato fisico perché, come vedremo in fondo
all’esercizio, è un tempo successivo a quello di arresto.
Poiché la diminuzione di velocità è uniforme nel tempo, cioè ogni secondo l’auto
perde 2.0 m/s di velocità, il tempo di dimezzamento della velocità è esattamente la
metà del tempo di arresto. Invece il moto non è uniforme nello spazio: nella prima metà
dei secondi necessari per l’arresto l’auto è mediamente più veloce che non nella seconda
metà, quindi per fermarsi occorre meno del doppio dello spazio che dimezza
la velocità, cioè meno di (75 2) m 150 m . Verifichiamo il ragionamento con il
calcolo dello spazio di arresto:
2
2 v0 400
0 v0 2 a( x x 0) x x 0 m 100 m
2a 4.0
e del tempo di arresto:
2 10 10 100
20t 1.0t 100 t s t
10 s
1.0
2
66

8. Il moto in caduta libera verticale
Cosa si intende per moto in caduta libera?
Si definisce moto in caduta libera quello di un oggetto sottoposto alla sola attrazione
da parte della Terra.
Ad esempio un sasso scagliato verso l’alto, immediatamente dopo il distacco dalla mano
che lo lancia, descrive un moto in caduta libera, tanto nella fase di salita quanto in quella
di discesa. Si faccia quindi attenzone al significato del termine caduta, che la fisica
prende a prestito dal linguaggio quotifdiano ma lo usa attribuendogli un senso differente.
L’attrazione da parte della Terra produce su un oggetto in caduta libera una
accelerazione verticale diretta verso il basso. Se quindi il corpo viene lanciato con
velocità iniziale in direzione verticale, il moto in caduta libera che si svolge tutto
lungo una traiettoria verticale rettilinea. Questo è però solo un caso particolare della
situazione più generale in cui l’oggetto è scagliato con velocità inclinata e segue una
traiettoria curvilinea
Oggetti che cadono dalla stessa altezza sono accelerati in modo diverso?
Per rispondere a questa domanda, il padre della fisica Galileo Galilei (1564-1642) ha
escogitato un esperimento concettuale per mostrare come il tempo di caduta, a parità
di altezza, sia lo stesso per tutti gli oggetti, indipendentemente dalla loro massa.
Immaginiamo di lasciar cadere da una fissata altezza due sfere di ugual volume, una
di piombo di massa 10 kg ed una di legno di massa 3 kg . Supponiamo vera l’idea
che la sfera di piombo arrivi a terra prima, in un tempo t inferiore rispetto al tempo
1
t che occorre a quella di legno. Adesso leghiamo insieme le due sfere con una cor-
2
dicella e lasciamole cadere di nuovo dalla stessa altezza e chiediamoci quanto vale il
tempo t che impiegano ora a cadere. Sono possibili due linee di ragionamento.
*
1) La veloce sfera di metallo viene rallentata dalla sfera di legno. Questo perché la
sfera di legno fa più fatica a cadere, è più lenta, e quindi trattiene un poco la rapida
caduta di quella di piombo. Così legate le due sfere toccheranno terra un po’ dopo il
tempo t che occorre alla sfera di metallo, ma comunque prima del tempo t che im-
1
2
piega la sfera di legno da sola, cioè t t t .
1 * 2
2) La sfera di legno e la sfera di piombo legate sono, nel loro complesso, un oggetto
di massa 10 kg 3 kg 13 kg . Se fosse vero che maggiore è la massa prima si
giunge a terra, esse dovrebbero toccare il suolo prima di quando lo farebbe la più veloce
delle due, la sfera di piombo, da sola. Il tempo di caduta dovrebbe essere allora
minore di t perché, viste come un tutt’uno, esse hanno una massa più grande della
1
maggiore, che era di 10 kg . Dunque t t . * 1
Siamo giunti ad un assurdo perché entrambi i ragionamenti sono validi ma non può
certo essere contemporaneamente t t t e t t . L’errore non sta nei pro-
1 * 2 * 1
cessi logici intermedi ma nelle premesse. Non può quindi essere vero che, quando
sono lasciati cadere dalla medesima altezza, gli oggetti di massa maggiore toccano
67
v0
a
t1
v
a
legno
a
a
a
v
piombo
t2

y
a g
terra prima degli oggetti con massa minore. Quindi l’accelerazione deve essere la
stessa per tutti gli oggetti.
Il moto in caduta libera in verticale è uniformemente accelerato?
Dire che il tempo di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa significa
che il modo in cui aumenta la velocità - cioè la sua accelerazione - non dipende
dalla massa. Oltre a non dipendere dalla massa, le osservazioni mostrano che il
valore dell’accelerazione di caduta libera in prossimità della superficie terrestre
è costante, cioè non dipende nemmeno dall’altezza dalla quale l’oggetto parte, e
non cambia mai durante la caduta. Quindi il moto di caduta libera in verticale è
uniformemente accelerato verso il basso, e con gli esperimenti si misura che il
modulo di questa accelerazione vale:
2
g 9.81 m/s
Pertanto se si lancia una pietra in verticale, durante la salita, ogni secondo sono
sottratti 9.81 m/s al modulo della velocità iniziale, finché questa non si annulla,
e successivamente, durante la discesa, gli stessi 9.81 m/s sono addizionati ogni
secondo verso il basso e quindi l’oggetto riassumerà necessariamente tutti i valori
di velocità dell’andata. In altri termini la costanza dell’accelerazione assicura
la simmetria del moto delle due fasi, precedente e successiva all’istante di
massima altezza.
Come si scrivono le leggi orarie del moto verticale di caduta libera?
In un riferimento con l’asse verticale delle posizioni y orientato in alto, risulta
a g e dunque le leggi orarie di posizione e velocità si scrivono:
1
y( t) y v t gt
2
2
0 0 ( ) 0
68
v t v gt
Allora per un oggetto lasciato cadere da fermo ( v0 0 ) da un certa altezza iniziale
y0 h , imponendo che y( t) 0 si ottiene il tempo t c di caduta:
1 2
y( t) h gt 0 tc
2
ed inserendo t c nella legge oraria per la velocità si ha la velocità di caduta vc di
quello stesso oggetto subito prima di toccare terra:
2h
g
2h
vc gtc g vc 2gh
g
Consideriamo invece un oggetto lanciato verticalmente in alto. Come già si è
detto, la fase in cui all’oggetto viene impressa una velocità iniziale non è di caduta
libera. Infatti l’oggetto viene sottoposto ad un’azione esterna diversa dalla
gravità, ad esempio quella di una mano oppure la detonazione di polveri nella
canna di un fucile. Il problema di cui ci occupiamo qui ha inizio subito dopo

quete azioni, il cui effetto è tutto espresso dal valore della velocità iniziale v 0 .
Possiamo ricavare l’altezza mssima ymax che raggiungerà imponendo che
nell’istante di massima quota la velocità sia nulla. Il tempo t max impiegato a sa-
lire sarà:
v0
v( tmax) v0 gtmax
0 tmax
g
ed inserendolo nella legge oraria della posizione:
2
1 2 v0 1 v 0
max 0 max max
0 ymax
v
y v t gt v g
2 g 2 g
2g
Che tempo totale trascorre in aria un oggetto lanciato verticalmente?
Se lanciamo una pietra verticalmente in alto con velocità iniziale v 0 essa dapprima
raggiunge la massima altezza in tmax v0 / g secondi, diminuendo co-
stantemente la sua velocità di 9.81 m/s ogni secondo che passa. Quando ricade,
la velocità riassume gli stessi valori della salita in corrispondenza delle stesse
altezze, però con segno opposto. Infatti un secondo prima del massimo , (dove
v 0 m/s ), la pietra aveva una velocità di 9.81 m/s , ed un secondo dopo il
massimo l’avrà di 9.81 m/s ; due secondi prima del massimo aveva
v 2 9.81 m/s , due secondi dopo avrà v 2 9.81 m/s e così via. Il tempo
di discesa è pertanto identico a quello di salita, e quindi trascorre in aria un totale
di 2 v0 / g secondi.
Esercizi
55. Un oggetto è lasciato cadere da un’altezza di 100 m . Dopo quanto tempo giunge
a terra? Quanto vale la sua velocità subito prima di venire arrestato dall’impatto col
terreno?
Se l’asse è orientato verso l’alto ed iniziamo a contare il tempo dal momento in cui
l’oggetto è lasciato andare, del i dati del problema diventano:
y 100 m
m/s 2
a 9.81 v 0 m/s
0
E sostituendo nelle leggi orarie:
0
1 2
y( t) 100 (9.81) t v( t) 9.81t
2
Calcoliamo il tempo di caduta imponendo che l’altezza sia y( t) 0 m :
1 2
200
0 100 (9.81) t t s 4.52 s
2 9.81
Avendo scartato la soluzione negativa, priva di significato fisico in quanto precedente
all’istante iniziale. Per la velocità subito prima di essere arrestata dal terreno abbiamo:
v(4.52 s ) ( 9.81 4.52) m/s 44.3 m/s
56. Un oggetto è scagliato verso l’alto in verticale con velocità iniziale 5.00 m/s .
Quale altezza massima h raggiunge? [R: 1.27 m ]
69
2
0
100 m
0
m
y
vi 0 m/s
m/s 2
a 9.81
vf

3.0 m/s
20 m/s
y2
y
y
y0
1.20 m
y1
4.0 m
57. Un bambino lascia andare un palloncino, che sale con velocità costante di
3.0 m/s . Quando il palloncino ha raggiunto un’altezza di 4.0 m il bambino
lancia verticalmente un sasso per colpirlo, imprimendo una velocità iniziale di
20 m/s . Qual è l’altezza raggiunta dal palloncino nell’istante in cui scoppia? Se
il bambino manca il bersaglio, dopo quanti secondi il sasso ripasserà nuovamente
davanti al palloncino? [R: 4.8 m , 3.0 s ]
58. Un sasso viene lasciato cadere da un grattacielo, ed il tonfo viene udito dopo
8.70 s . Sapendo che la velocità del suono nell’aria è c 340 m/s , si dica quanto è
alto l’edificio. Si dica inoltre, senza svolgere alcun calcolo, se il tempo necessario perché
il sasso si trovi ad un’altezza pari alla metà di quella dell’edificio è maggiore o
minore del tempo complessivo di caduta. [R: 306 m ]
59. Due palle vengono lasciate cadere dalla stessa altezza h 150 m , a 2.0 s di
distanza l’una dall’altra. Quale sarà la differenza fra le loro altezze 2.5 s dopo
che la seconda palla è partita? [R: 68.7 m ]
60. Un corpo lanciato verso l’alto dopo 4.0 s si trova 10 m sopra alla linea di partenza.
Qual è stata sua velocità media? Quale sarà stata la sua velocità media se viene
lanciato verso il basso e dopo 4.0 s si trova 10 m sotto la linea di partenza?
[R: 2.5 m/s , 2.5 m/s ]
61. Se un oggetto viene sparato in alto, a metà dell’altezza massima che raggiungerà,
la sua velocità sarà maggiore o minore della metà di quella iniziale? A
metà del tempo totale di salita avrà percorso più o meno di metà dell’altezza
massima? [R: in fondo]
62. Un acrobata salta dalla finestra dopo aver posizionato un tappeto a molla
sul fondo. Passa davanti alla finestra del piano di sotto, impiegando 0.125 s a
percorrere la luce verticale che è di 1.20 m . Quindi rimbalza perfettamente sulla
molla ripartendo con la medesima velocità con cui aveva toccato terra. Risale
fino a ripassare davanti alla stessa finestra ed impiega ancora 0.125 s ad attraversarla.
Se, nel complesso, il tempo trascorso sotto al davanzale della finestra è
2.00 s , da che altezza si è lasciato cadere? Qual è la sua velocità dopo 0.250 m
di caduta?
[R: 20.4 m ,7.00 m/s ]
70
s

Soluzioni
2. La differenza s4 s1
non è la distanza complessivamente percorsa da P, che si è
mosso avanti ed indietro ed ha anche scavalcato queste due posizioni, come si
capisce osservando i valori intermedi. Si tratta invece della lunghezza del pezzo di
t t è
traiettoria che separa la posizione iniziale e quella finale. La differenza 4 1
invece proprio il tempo complessivamente trascorso fra le due letture di orologio.
3. (1) Fra t 2 s e t 5 s la coordinata di posizione cresce al crescere del tempo
quindi il punto procede in avanti.
(2) Il punto si ferma istantaneamente nel minimo a circa t 1 s e nel massimo a circa
t 5.5 s .
(3) Nei tre istanti in cui l’andamento orario taglia l’asse delle ascisse (circa
t 0.5 s , t 2.5 s , t 9 s ), il punto sta passando per la posizione di riferimento.
(4) In base alla parte di andamento raffigurata nel grafico, il punto sta procedendo
indietro per tutti i tempi precendenti t 1 s , e per tutti i tempi successivi a
t 5.5 s .
(5) Da una lettura sul grafico si ha che a t 1 s risulta approssimativamente
s 1 m e che a t 5.5 s risulta approssimativamente s 5 m . Il tratto percorso
fra questi istanti è quindi lungo: 5 m ( 1 m) 6 m
5. (1) la particella si trova nella posizione s 2 m (cioè due metri indietro rispetto
alla posizione di riferimento) quando sull’orologio si legge t 2 s (cioè due secondi
prima dell’istante scelto come zero). Essa procede in avanti scavalcando la posizione
di riferimento all’istante t 1 s e passando per la posizione s 2 m
all’istante zero. Quando sull’orologio si legge t 1 s la particella si arresta nella posizione
s 4 m e vi rimane fino all’istante t 5 s . In quel momento torna indietro,
passando per la posizione di riferimento quando l’orologio segna t 7 s .
(2) il moto della particella si svolge tutto fra le posizioni s 2 m ed s 4 m ,
quindi la porzione di traiettoria impegnata è lunga s 4 m ( 2 m ) 6 m .
(3) la particella percorre prima in avanti e poi indietro lo spazio fra le posizioni
s 2 m ed s 4 m quindi ha coperto una distanza pari a 2s 12 m .
7. Il grafico proposto non può essere l’andamento di una legge oraria dato che se
scegliamo un tempo esso vi associa due diverse posizioni rendendo impossibile stabilire
dove si trova la particella.
8. La particella corrispondente alla traiettoria verde parte da una posizione s 6 m
ed indietreggia costantemente, raggiungendo la posizione di riferimento quando
l’orologio segna t 7 s . La particella marrone occupa la posizione di riferimento
all’istante zero, procede in avanti fino a quando l’orologio segna t 3 s ed in
quell’istante si trova in s 6 m e poi inverte direzione di marcia raggiungendo la
posizione di riferimento a t 6 s , scavalvandola per portarsi in s 2 m quando
t 7 s . (1) Ai tempi in cui i grafici si intersecano le particelle occupano la stessa posizione
sulla traiettoria; (2) il moto della particella verde si svolge fra s 0 m ed
71
s[
m]
6
4
2
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
6
4
s ?
2
s ?
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
4
2
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
s[
m]
6
4
2
t[
s]
2 1 2
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s 6 m , quindi impegna un arco lungo 6 m , il moto della particella marrone è
invece fra s 2 m ed s 6 m e copre un arco maggiore, lungo 8 m ; (3) per la
particella verde si ha s 0 m 6 m 6 m , per la particella marrone
s 2 m 6 m 8 m , quindi il vaore assoluto dello spostamento è maggiore
per quest’ultima.
11. Abbiamo:
2 3
s1 s(2.50 s ) 3.0 (2.50) 2.0 (2.50) 4.0 m 8.5
m
2 3
s2 s(4.20 s ) 3.0 (4.20) 2.0 (4.20) 4.0 m 91
m
s s2 s1 91 ( 8.5) m
83 m
t t2 t1 (4.20 2.50) s 1.70 s
ed applicando la formula per la velocità scalare media si ottiene:
s 83
vm
m/s 49
m/s
t
1.70
ed il valore negativo informa che la particella si è nel complesso mossa indietro
lungo la traiettoria.
12. Risulta:
s (2500 1500) m 4000 m t (20 60 12 60) s 1920 s
v
m
vm
s
4000
m/s 2.083 m/s
t
1920
3
1.00010 km
2.083 m/s
7.499 km/h
1/ 3600 h
13. Mentre si ha senz’altro t 30 min 1800 s , la differenza fra le due letture del
contachilometri non corrisponde alla differenza delle due posizioni lungo la traiettoria,
cioè può essere che s 20 km . Infatti non sappiamo se l’automobile ha
viaggiato sempre per dei tratti avanti ed indietro. In questo caso si avrebbe
s 20 km .
14. Fissiamo sulla pista un riferimento con l’origine nella posizione di partenza
di Mario. Scriviamo la definizione di velocità scalare media per entrambi:
sM
sC
vM
vC
t
t
M
C
L’intervallo di tempo necessari per incontrarsi è lo stesso per entrambi:
t t t , mentre lo spazio percorso da Carla vale:
M C
s s 50.0 m
C M
da cui risulta:
sM t
7.50 m/s
sM 50.0 m
4.50 m/s
t
Le due equazioni devono essere contemporaneamente soddisfatte. Ricaviamo
s dalla prima in funzione di t :
M
s (7.50 m/s) t
M
ed inseriamolo nella seconda:
(7.50 m/s) t 50.0 m (4.50 m/s)
t
72

50.0 m
t 16.7 s
(7.50 4.50) m/s
e di conseguenza:
s (7.50 m/s) 16.7 s 125 m
M
15. Fissiamo, sulla traiettoria che separa le due sorelle, un riferimento con
l’origine nella posizione di partenza di Ada ed un orientamento da Ada verso
Bice. Indichiamo con sx la posizione incognita nella quale si incontrano. Scriviamo
la definizione di velocità scalare media per entrambe tenendo presente
che l’intervallo di tempo necessario per incontrarsi è lo stesso per entrambe:
t t t
v
A
A B
sA sx
0
t t
A A
v
B
sB sx
400 m
t t
B
d cui risulta:
sx
6.50 m/s
t
sx
400 m
4.00
m/s
t
Le due equazioni devono essere contemporaneamente soddisfatte. Ricaviamo
s dalla prima in funzione di t :
x
s (6.50 m/s) t
x
ed inseriamolo nella seconda:
(6.50 m/s) t 400 m ( 4.00 m/s) t
400 m
t 38.1 s
(6.50 4.00) m/s
e di conseguenza:
s (6.50 m/s) 38.1 s 248 m
x
17. Il valore 30 m/s è la media aritmetica dei due valori e costituirebbe la velocità
scalare media complessiva solo se i percorsi avessero la stessa durata. Per due tragitti
di pari lunghezza si ha che la velocità scalare media complessiva risulta:
1
vm m/s 27 m/s
1 1 1
2
20 40
che e come si vede è più vicino al valore di velocità scalre media di 20 m/s che si
ottiene per il tempo più lungo.
18. Indichiamo il cambiamento di posizione nel primo tragitto con:
3 5
s1 5.00 km 5.0010 m 5.00 10 cm
e, supponendo che il testo intenda “un quarto d’ora” come un valore esatto al secondo
minuti, di cui prendiamo tre cifre significative, indichiamo il relativo intervallo
temporale con:
900
t1 900 s h 0.250 h
3600
applicando la formula per la velocità scalare media abbiamo:
s1 2s1 3s1 3 5.00
v km/h 15.0 km/h
t t 2t 2 0.500
1 1 1
3 3
3 5.0010 3 5.00 10
v m/s
2 1800 2 1.800 10
3
73
m/s 4.17 m/s
A
sx
s 0 m
s 400 m
B

6
4
2
s[
m]
t[
s]
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
2
5 5
3 5.00 10 3 5.00 10
v m/s
2 1800 2 1.800 10
3
m/s 4.17 10 cm/s
19. Indichiamo con s 5.000 km e t 240 s i valori relativi alla prima metà
1
e con 2 s e 2 t quelli relativi alla seconda. La velocità scalare media nella prima
metà tragitto risulta:
s1
5000 m
v1
20.8 m/s
t
240 s
1
ed inoltre sappiamo che:
1 1 1 1
v 2
v v
1 1 1 1
8.00 m/s 2
20.8 m/s v
1 2 2
1 2 1
v2
4.95 m/s
v 8.00 m/s 20.8 m/s
2
20. Il traguardo viene tagliato per primo dal corridore che ha realizzato la maggiore
velocità scalare media complessiva. Trattandosi di percorsi di pari lunghezza, indicata
con L la lunghezza di un giro di pista avremo per la velocità scalre media complessiva:
3L 3L
vA
tA1 tA2 t L L
A3
vA1
L
vA2
1
1 1 1 1
vA3 3 vA1 vA2 vA3
1
m/s 14.79 m/s
1 1 1 1
v
B
3 14.80 15.20 14.40
1
1
3 v
1
1
v
1
v
1
m/s 14.76 m/s
1 1 1 1
3 14.60 15.30 14.40
B1 B2 B3
quindi è il corridore A che taglia per primo il traguardo.
21. Essendo la velocità scalare media dei bambini uguale si incontrano a metà strada
1
percorrendo m
s ciascuno, quindi impiegano un intervallo di tempo
2 120
che soddisfa la relazione:
s
120 m /2
3.50 m/s
t t
120 m / 2
t 17.1 s
3.50 m/s
facendo quindi finta che la palla abbia sempre viaggiato in un solo verso, lo spazio
da essa percorso si trova moltiplicando questo intervallo per la sua velocità scalare
media 10.0 m/s :
10.0 m/s 17.1 s 171 m
22. Leggendo sul grafico risulta s 0 m , s 4 m , s 0 m da cui:
v
v
v
12
23
23
s2 s1 4 0
m/s 2 m/s
t t 1 ( 1)
2 1
s3 s2 0 4
m/s 4/
9 m/s
t3 t2 9 1
s3 s1 0 0
m/s 0 m/s
t t 9 ( 1)
3 1
1
1
74
2
3
2

24. Dall’andamento della legge oraria s( t) 3.0t 2.0t
riportato in figura si misu-
ra subito la velocità scalare media v m fra t 0.0 s e t 1.4 s :
s(1.4 s ) s(0.0 s ) 1.5
m
vm
1.1
m/s
(1.4 0.0) s 1.4 s
Si vede anche solo qualitativamente che la pendenza della tangente al grafico in
t 0.5 s è positiva. La corrispondente velocità istantanea si calcola facendo la differenza
fra i valori delle ordinate y sulla retta per esempio fra t 0.3 s e t 0.5 s :
y(0.5 s ) y(0.3 s ) 1.25 m 1.0 m
v(0.5
s) 1.3 m/s
(0.5 0.3) s 0.2 s
Con la stessa tecnica si misura la velocità nell’istante t 1.0 s , ad esempio riferndoci
alle ordinate sulla tangente negli istanti t 0.9 s e t 1.2 s
y(1.2 s ) y(0.9 s ) 0.5 m 1.3
m
v(1.2
s) 2.7
m/s
(1.2 0.9) s 0.3 s
27. Trasformiamo le velocità proposte in metri al secondo:
1000
100 km/h 100 m/s 27.8 m/s
3600
1000
150 km/h 150 m/s 41.7 m/s
3600
calcoliamo l’accelerazione media nell’intervallo dato dal testo:
27.8 0.00 2 2
am
m/s 3.48 m/s
8.00
Invertendo la formula per l’accelerazione media si trova l’intervallo richiesto:
v v vf vi
41.7 0.00
am t s 12.0 s
t
a a 3.48
m m
28. Trasformiamo un anno in secondi e calcoliamo l’accelerazione media:
1 anno 365 24 60 60 s 31536000 s 3.15 10 s
am
8
3.0010 0.00
m/s 9.52 m/s
7
3.1510 2 2
29. Trasformiamo 100 km/h 27.8 m/s e calcoliamo l’accelerazione (costante) di
A:
v
27.8 2 2
aA
m/s 3.71 m/s
t
7.50
La sua velocità dopo 4.00 s risulta:
v(4.00 s) 0 a t (3.71 4.00) m/s 14.8 m/s
A
quindi la differenza è v v (4.00 s ) 0.2 m/s .
B A
In 4.00 s B percorre:
s v t 15.0 4.00 m 60.0 m
B B
31. Per poter confrontare le due posizioni debbo utilizzare lo stesso istante iniziale,
che sarà quello in cui parte Stefano. Dovremo allora scrivere due volte la
legge oraria per Giulia, la prima volta solo per calcolare lo spazio percorso durante
il tempo di vantaggio, facendola partire da x 0.0 m :
x ( t) x vt 7.0t t 5.0 s x (5.0) 7.0 5.0 35 m
G 0
G
75
0
3
7
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
s[
m]
0.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
t[
s]

vA
v 10
m/s
S
0.0 m x 0 ?
0.00km
y m 150km vB
v 13.0m/s
U
v 7.0
m/s
G
x ?
600km
x
v 300
m/s
P
x
m x m La seconda volta iniziamo a contare i secondi dall’istante in cui parte Stefano,
ed ora la posizione iniziale di Giulia è 3.5 m :
x ( t) x vt 35 7.0t
G
0
Scriviamo quindi la legge oraria di Stefano:
x ( t) x vt 10t
S
0
I due amici s’incontrano quando x ( t) x ( t)
:
S G
xS ( t) xG ( t) 10t 35 7.0t
35
t 12 s
10 7.0
quindi Stefano raggiunge Giulia dopo 5.0 s 12 s 17 s . Nella durata di 12 s
Stefano ha percorso:
x (12) 1012 m 120 m
S
quindi raggiunge Giulia dopo i 100 m .
32. Calcoliamo il valore delle velocità delle due auto in km/h :
50 min (50/60) h 0.833 h 67 min (67 /60) h 1.12 h :
90.0 km 90.0 km
vA 108 km/h
50 min 0.833 h
110 km 110 km
vB 98.2 km/h
67 min 1.12 h
Scriviamo la legge oraria della due auto, tenendo conto che la velocità istantanea
di B è negativa poiché si muove contro il verso scelto come positivo:
x ( t) x vt 108t
A
0
x ( t) x vt 600 98.2t
B
0
Imponiamo che la distanza fra di loro sia x ( t) x ( t)
150 km :
x ( t) x ( t) 600 98.2t 108t 600 206t
B A
76
B A
600 150
600 km 206t 150 km t h 2.18 h
206
33. Scriviamo la legge oraria del proiettile, adoperando la y come si fa per i moti
verticali ed assumendo che parta da terra, dove y 0.00 m :
y( t) y vt 300t
0
Imponendo che la quota sia 31.5 m si trova il tempo che occorre al proiettile
per raggiungere l’altezza dell’uccello:
y( t) 300t 31.5 m
31.5
t s 0.105 s
300
Scriviamo ora la legge oraria dell’uccello assumendo che sia x 0.00 m
nell’istante in cui parte lo sparo:
x( t) x vt 13.0t
0
Sostituendo al posto del tempo il valore 0.105 s trovato sopra si trova lo spazio
che l’uccello percorre dal momento in cui parte lo sparo:
x(0.105) 13.0 0.105 m 1.37 m
e questa è proprio la distanza dalla verticale alla quale deve stare l’animale nel
momento in cui parte il colpo se si vuole fare centro.
0
0

34. Scriviamo le leggi orarie prendendo le rette di riferimento in modo che partono
entrambi da posizioni iniziali nulle:
xA( t) x0 vt 5.0t
xB ( t) x0 vt 7.0t
la loro distanza d si calcola attraverso il teorema di Pitagora:
2
2
2 2 2 2
d x x 5.0t 7.0t 84t
A B
Imponendo che sia d 100 m e scartando la soluzione che produce un tempo
negativo, in questo caso privo di significato fisico, si ha:
2
2 2 100
84t 100 t s t 10.9 s
84
35.Scriviamo la legge oraria della punta del treno, assumendo di iniziare a contare
i secondi nell’istante in cui inizia a passare davanti al semaforo, dove mettiamo
la posizione 0.0 m :
x( t) x vt vt
0
Quando tutto il treno ha attraversato il semaforo la sua punta si trova nella posizione
x(5.0 s) d , da cui sostituendo si trova:
d
x(5.0 s ) v 5.0 s d v
5.0 s
Ripetiamo il ragionamento ponendo ora la posizione 0.0 m all’istante 0.0 s
proprio dove inizia la stazione. Quando l’avrà oltrepassata tutta la sua punta
sarà nella posizione x(20 s) 500 d . Imponiamo questa condizione nella leg-
ge oraria:
x( t) x vt vt x(20 s ) v 20 s 500 m d
0
ma abbiamo già trovato che v d /5.0 s . Sostituendo otteniamo:
d
(20 s ) v 20 s 500 m d
5.0 m
20 s
d
1
500 m
5.0 s
500
d m 167 m
(20/5.0) 1
mentre per la velocità: v (167 /5.0) m/s 33.3 m/s
36. Indichiamo con v e v i valori assoluti delle velocità dei due treni. Scri-
A B
viamo la legge oraria della coda del treno A e quella della coda del treno B:
x ( t) x vt 0 v t
A 0
A
x ( t) x vt 300 v t 300 v t 300 2v
t
B 0
B B A
Come si vede dalla figura (visione dall’alto), trascorsi i 15 s che occorrono ai
treni per attraversarsi, si ha x (15 s) x (15 s)
:
A B
300
xA(15) xB (15) 15vA 300 30vA vA
m/s 20 m/s
15
37. Indichiamo con v e v i valori assoluti delle velocità dei due treni. Scri-
A B
viamo la legge oraria della coda del treno A e della punta del treno B iniziando
a contare i tempi dall’istante in cui A inizia ad attraversare B e ponendo la posizione
iniziale di A come riferimento:
x ( t) x vt 0 v t 25t
A 0
A
77
vB
x m B
d
0.0m
x0.0m
x0.0m
vA
P
P
x0.0m
v
vA
P
xd x m A
v
P
x
x500 d
vB
0.0 m
x300
m
vB
x (15 s) x
(15 s)
A B
vA
x
x

vA
0.0 m
8
6
4
2
10
x (30 s) x
(30 s)
8
6
4
2
vA
A B
x[
s]
x[
s]
vB
B
A
vB
x2d 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
12 xA( t)
xB ( t)
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
t[
s]
t[
s]
25
( ) 2 2
B 0 B
3
x t x vt d v t d t
Come si vede dalla figura(visione dall’alto), trascorsi i 30 s che occorrono ai
treni per attraversarsi, si ha x (30 s) x (30 s)
:
A B
25 25 20
xA(30) xB(30) 25 30 2d 3 30 d m 250 m
2
39. Calcoliamo la pendenza della retta A, cioè la velocità v A osservando che
passa per gli eventi t 0 s , x 2 m e t 6 s , x 8 m :
v
A
x2 x1
8 m 2
m
1 m/s
t t 6 s 0 s
2 1
1
1
e la pendenza della retta B osservando che passa per gli eventi t 0 s ,
x 6 m e t 7 s , x 0 m :
v
1
B
1
x2 x1
0 m 6 m 6
m/s
t t 7 s 0 s 7
2 1
2
Direttamente sul grafico leggiamo le posizioni iniziali, nel punto dove le rette
intersecano l’asse delle posizioni:
x 2 m , x 6 m
0A
0B
e quindi scriviamo le due leggi orarie richieste:
x ( t) x v t 2 t
A 0A
A
Le due auto si incontrano quando x ( t) x ( t)
:
78
2
A B
6
2 t 6 t
7
6
t t 6 2
7
28
t s
13
ed in quell’istante la loro posizione è:
x 28 ( s ) (2 28/13) m (54 /13) m x 28 ( s)
.
A 13 B 13
40. Si tratta di due moti uniformi. Negli istanti t 0 s e t 7 s risulta:
x (0 s ) [ 2.0 2.0 (0)] m 2 m
A
x (7 s ) [ 2.0 2.0 (7)] m 12 m
A
x (0 s ) [1.0 0.5 (0)] m 1.0 m
B
x (7 s ) [1.0 0.5 (7)] m 4.5 m
B
Tracciando con un righello il segmento che unisce gli eventi (0 s , 2 m)
e
(7 s ,12 m)
nel piano orario, si ha la rappresentazione di x ( t ) , mentre trac-
ciando il segmento fra gli eventi (0 s ,1 m)
e (7 s , 4.5 m)
si ha la rappresenta-
zione di xB( t ) .
Nell’istante zero la particella A si trova due metri indietro rispetto alla posizione
di riferimento ed avanza con velocità 2.0 m/s ; la particella B nell’istante zero
sta un metro oltre la posizione di riferimento ed avanza più lentamente della A,
con velocità 0.5 m/s . le due si incontrano quando x ( t) x ( t)
cioè per:
2.0 2.0t 1.0 0.5t
3.0
t s 2.0 s
1.5
ed in quell’istante A supera B.
2
A B
42. 1) In questo caso il punto parte da x 8.5 m ma con la velocità iniziale
v 9.6 m/s negativa, cioè il punto sta percorrendo la traiettoria nel verso oppo-
0
sto a quello da noi scelto come positivo. L’accelerazione che si ricava dal confronto
0
A
1

2
con la legge simbolica, a 1.2 m/s è positiva, cioè alla velocità vengono aggiunti
ogni secondo 1.2 m/s nel verso scelto come positivo per la traiettoria. Quindi il pun-
to, dapprima rallenta, perché velocità iniziale ed accelerazione hanno verso opposto,
poi si ferma, quindi cambia verso di percorrenza della traiettoria e da quel momento
in poi aumenta la sua velocità di 1.2 m/s ogni secondo che passa.
2) Se volessimo calcolare quando si ferma basterebbe scrivere la legge oraria della
velocità:
v( t) 9.6 1.2t
ed imporre che la velocità si annulli:
9.6
v( t) 9.6 1.2t 0 t s 8.0 s
1.2
In quell’istante si trova nella posizione:
x(8.0 s ) (8.5 9.6 8.0 0.6 8.0 ) m 30 m
2
3) Se invece volessimo sapere con quale velocità scavalcherà l’origine del sistema di
riferimento, dovremmo prima calcolare l’istante in cui questo avviene, annullando
la posizione:
2
x( t) 8.5 9.6t 0.6t 0 t 0.94 s t 15 s
1 2
le due soluzioni trovate indicano che ci sono due passaggi successivi sopra
all’origine, il primo con velocità verso sinistra di
v(0.94 s ) ( 9.6 1.2 0.94) m/s 8.5 m/s
ed il secondo, dopo che si è fermato e ripartito, con velocità verso destra di :
v(15 s ) ( 9.6 1.215) m/s 8.4 m/s
x(8.0) 30 m
0.0 m
x(0.0) 8.5 m
v(8.0) 0.0 m/s
v(0.94) 8.5
m/s
v(0.0) 9.6
m/s
44. Fissiamo la posizione di riferimento dove si trova il camion fermo e scegliamo
per istante iniziale quello in cui l’auto gli sfreccia affianco. Per le leggi orarie di posizione
e velocità dell’auto abbiamo:
1 2 1 2 2
xA( t) x0A v0At aAt 0 12 t (1.5) t 12t 0.75t
2 2
v ( t) v a t 12 1.5t
A 0A
A
per le leggi orarie di posizione e velocità del camion invece:
1 2 1 2 2
xC ( t) x0C v0C t aCt 0 0 t (3.2) t 1.6t
2 2
v ( t) v a t 0 3.2t 3.2t
C 0C
C
t in cui * *
le due velocità sono uguali nell’istante * vA( t ) vC ( t ) :
12 1.5t* 3.2t*
12
t*
s 7.1 s
3.2 1.5
ed in quel momento le posizioni valgono:
x ( t ) (12 7.1 0.75 7.1 ) 123 m
A
*
x ( t ) 1.67.1 80.7 m
C
*
2
così che la distanza che separa i due veicoli è:
2
v(15)
8.4 m/s
79

3
2
1.92
1
3
2
1
v[
m/s]
v[
m/s]
v( t) 2.300.140t 2 4 6 8 10 12
14 16 18
16 22 29
t[
s]
t[
s]
x ( t ) x ( t ) 123 m 80.7 m 42 m
A * C *
45. Assumendo come istante iniziale e posizione di riferimento quelli in cui il carrello
parte, abbiamo per le leggi orarie di posizione e velocità:
1 2 1 2 2
x( t) x0 v0t at 0 2.30 t (0.140) t 2.30t 0.0700t
2 2
v( t) v at 2.30 0.140t
0
Il carrello si ferma nell’istante t* in cui è nulla la sua velocità cioè:
2.30
v( t* ) 2.30 0.140t* 0 t*
s 16.4 s
0.140
avendo percorso uno spazio complessivo:
x( t ) (2.30 16.4 0.070016.4 ) m 18.9 m
*
2
Nel piano v t conosciamo due punti della legge oraria cioè sappiamo che
all’istante t 0.00 s si ha v 2.30 m/s e che all’istante t 16.4 s si ha
v 0.00 m/s . Basta unire con un segmento questi punti per avere la porzione di
retta che rappresenta la legge oraria del carrello.
46. Assumendo come istante iniziale e posizione di riferimento quelli in cui l’auto
parte, abbiamo per le leggi orarie di posizione e velocità nella prima fase, in cui il
moto è uniformemente accelerato:
1 2 1 2 2
x1( t) x01 v01t a1t 0 0 t (0.120) t 0.0600t
2 2
v ( t) v a t 0 0.120t
1 01 1
nella seconda fase il moto è uniforme:
x ( t) x v t; v ( t) v
2 02 02 2 02
dove x 02 , v 02 sono valori che vanno calcolati dalla prima legge oraria inserendovi
t 16.0 s :
x02 x1(16.0
s ) 0.060016.0 m 15.4 m
v v (16.0 s ) 0.12016.0 m/s 1.92 m/s
02 1
da cui:
x ( t) 15.4 1.92 t; v ( t)
1.92
2 2
2
Il valore 1.92 m/s è la massima velocità raggiunta dall’auto. Nella terza fase il moto
è ancora uniformemente accelerato ma con accelerazione negativa, da calcolare
usando la formula per l’accelerazione media, che coincide con quella istantanea:
v 0 1.92 2 2
a3
m/s 0.27
m/s
t
7.0
la velocità iniziale vale 1.92 m/s mentre la posizione di partenza x03 si ottiene inse-
rendo 6.0 s in x2 ( t ) :
x x (6.0 s ) (15.4 1.92 6.0) m 27 m
03 2
x t x v t
1
a t
2
t
0.27
t
2
v ( t) v a t 1.92 0.27t
2 2
3( ) 03 03 3 27 1.92
1 01 1
Lo spazio complessivamente percorso si ottiene calcolando x3 ( t ) all’istante in cui si
è arrestata t 7.0 s :
fin
0.27 2
x3(7.0 s ) (27 1.92 7.0 7.0 ) m 34 m
2
80
*

Di conseguenza la velocità media risulta:
x
34
vm
m/s 1.2 m/s
t 16.0 6.0 7.0
47. Mettiamo la posizione di riferimento dove la moto inizia ad accelerare e quello
sia l’istante zero. Scriviamo le leggi orarie della posizione e della velocità, lasciando
indicati i valori ignoti:
1 2 1 2
x( t) x0 v0t at 20.0t
at v( t) v0 at 20.0 at
2 2
Indichiamo con t * l’istante, ignoto, in cui la velocità è diventata 25.0 m/s e la posizione
300 m . Risulta:
(25.0 20.0) m/s 5.0 m/s
v( t* ) 25.0 m/s 20.0 m/s at* t*
a a
che sostituito nella legge della posizione:
5.0 m/s 1 5.0 m/s
x( t* ) 300 m 20.0 m a
a 2 a
2
20.0 5.0 5.0 / 2 2 2
a m/s 0.38 m/s
300
La legge oraria della velocità diviene quindi v( t) 20.0 0.38t
. Nel piano v t
conosciamo due punti della legge oraria cioè sappiamo che all’istante t 0.00 s si
ha v 20.0 m/s e che all’istante t s s si ha v 25.0 m/s .
* (5.0 / 0.38) 13
Unendo con un segmento questi punti si ha la porzione di retta che rappresenta la
legge oraria della velocità.
48. La condizione minima per evitare il tamponamento è quella per cui quando il
treno dietro raggiunge quello davanti ha la sua stessa velocità. Scegliamo come posizione
di riferimento quella del treno A quando vede B sta 1500 m , e quell’istante
come iniziale. Scriviamo dunque le leggi orarie della punta del primo treno xA( t ) e
della coda del secondo xB( t ) , usando km ed h :
1 2 1 2
xA( t) x0A
v0At aAt 150t
aAt 2 2
v ( t) v a t 150 a t
A 0A
A A
1 2
xB( t) x0B v0Bt aBt 1.500 100t
2
v ( t) v a t 100
B 0B
B
la condizione da imporre è che nell’istante t * in cui le velocità sono uguali anche le
due posizioni coincidano:
(100 150)
km 50 km
vA( t* ) vB( t* ) 150 aAt* 100 t*
a a
50 1 50 50
x ( t ) 150
a x ( t ) 1.500 100
A * A B *
aA 2 a
A aA
2 2
3 50 3 50
1.500 aA
km/h 2.5 10 km/h
2 a
2 1.500
A
2
81
2
2 2 2
A A
49. Ponendo la posizione di riferimento dove si trovava A quando entrambe iniziano
a variare la velocità inizialmente costante, orientato da A verso B, avremo:
30
25
20
15
10
5
v[
m/s]
v( t) 20.00.38t 2 4 6 8 1012
14 16 18
t[
s]

8
6
4
2
v [ m/
s]
A
B
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
t[
s]
1 2 1
2 2
xA( t) x0A v0At aAt 0.0 18.0t 0.120t 18.0t 0.0600t
2 2
1 2 1
2 2
xB ( t) x0B v0Bt aBt 800 18.0t 0.150t 800 18.0t 0.0750t
2 2
Si noti che mentre le velocità iniziali hanno segno opposto, le accelerazioni hanno lo
stesso segno in quanto per far rallentare B occorre un’accelerazione nel verso positivo
del riferimento, proprio come per far aumentare la velocità di A.L’incontro ha
luogo nell’istante t * in cui le due posizioni coincidono:
x ( t ) x ( t )
A * B *
2 2
* * * *
18.0t 0.0600t 800 18.0t 0.0750t
2
0.0150t* 36.0t* 800 0
18.0 17.7
t*
s 20.0 s 2380 s
0.0150
la soluzione è t 20.0 s . Il valore maggiore trovato di 2380 s , che corrisponde-
*
rebbe ad un incontro successivo, ha un significato solo matematico in quanto presupporrebbe
che la moto B continui a rallentare fino a fermarsi e poi inverta la rotta
raggiungendo prima o poi A data la sua maggiore accelerazione.
La posizione corrispondente è:
x ( t ) (18.0 20.0 0.0600 20.0 ) m 384 m
A
*
2
50. Dobbiamo innanzitutto calcolare il tempo che occorre al treno per superare completamente
il passaggio al livello. Il superamento è completo quando la punta del
treno ha percorso un tratto pari a tutta la lunghezza del treno stesso sommato alla
larghezza della strada, e cioè 100 m 12.0 m 112 m . Il moto della punta del treno
è rettilineo uniforme, se l’istante zero è quello in cui la sua punta si affaccia sulla
strada che taglia la ferrovia, abbiamo:
x ( t) x v t 35.0t
T
0 0
calcoliamo l’istante t * in cui il treno ha liberato la strada:
112
xT ( t* ) 112 m 35.0t* t*
s 3.20 s
35.0
Scriviamo la legge oraria dell’auto mettendo la posizione di riferimento nel punto
dove si trova quando il treno inizia ad attraversare la strada:
1 2 1 2
xA( t) x0A
v0At aAt 16.0t
aAt 2 2
per evitare lo scontro deve essere x(3.20 s ) 40.0 m cioè:
1
2
16.0 m/s 3.20 s a (3.20 s ) 40.0 m
aA
2 A
2 (40.0 16.0 3.20)
m/s 2.19 m/s
2
3.20
2 2
51. Scriviamo le leggi orarie per le posizioni e le velocità delle due vetture iniziando
a misurare le posizioni e contare i tempi da quando le auto accelerano:
1 2 1 2
xA( t) x0A
v0At aAt 12.0t
aAt 2 2
v ( t) v a t 12.0 a t
A 0A
A A
xB( t) x0B
v
1
t a t
2
1
t a t
2
v ( t) v a t 12.0 a t
B 0B
B B
Risulta per l’auto A:
2 2
0B
B 12.0 B
82

vA(5.00 s ) 22.0 m/s 12.0 m/s (5.00 s)
aA
22.0 m/s 12.0
m/s
2
aA
2.00 m/s
5.00 s
mentre per l’auto B:
s m s s 2
1
xB (2.00 ) 120 12.0 (2.00 ) aB(2.00
)
2
32.0 12.0 2.00
2 2
aB
2 m/s 4.00 m/s
2
2.00
da cui abbiamo:
2
x ( t) 12.0t 1.00t
v ( t) 12.0 2.00t
A
2
x ( t) 12.0t 2.00t
v ( t) 12.0 4.00t
B
A
B
Imponendo x 108 m si trova t 6.00 s , imponendo x 108 m si ha invece
A
t 4.94 s . Per il calcolo delle velocità scalari medie:
B
108
108
vmA m/s 18.0 m/s vmB m/s 21.9 m/s
6.00
4.94
A
56. In un riferimento con l’asse delle ordinate in verticale le leggi orarie si scrivono
1 2
y( t) y v t at v( t) v at
0 0
0
2
Se l’asse è orientato verso l’alto ed iniziamo a contare il tempo dal momento in cui
l’oggetto è lasciato andare, del i dati del problema diventano:
y 0 m
m/s 2
a 9.81 v 5.00 m/s
0
E sostituendo:
0
1 2
y( t) 5.00 t (9.81) t v( t) 5.00 9.81t
2
Prima di raggiungere il punto di massima altezza la velocità è positiva, dopo negativa,
quindi nel culmine deve essere nulla: l’oggetto è fermo in quell’istante. Calcoliamo
il tempo t * che impiega a raggiungere la massima altezza imponendo quindi
che v( t) 0 m/s :
5.00
v( t) 5.00 9.81t 0 t*
s 0.510 s
9.81
Inserendo t * nella legge oraria della posizione si trova la massima altezza:
1
2
h y(0.510 s ) 5.00 0.510 2 (9.81)(0.510)
m 1.27 m
57. Scriviamo la legge oraria del sasso assumendo che parta dal livello del terreno:
1 2 2
ys y0 v0t gt 20t 4.9t
2
e quella del palloncino, che non è in caduta libera in quanto la sua velocità è costante
(per effetto della spinta di Archimede da parte dell’aria).
yp y0 v0t 4.0 3.0t
Uguagliandole abbiamo:
2
20t 4.9t 5.0 3.0t
2
17 289 4 (4.0) (4.9)
4.9t 17t 4.0 0 t s t1 0.25 s t2
3.2 s
9.8
il tempo maggiore corrisponde al secondo passaggio del sasso qualora il bambino
mancasse il bersaglio. Pertanto se il palloncino viene colpito questo si trova
ad una altezza:
83
B
h
0
m
y
vf
m/s 2
a 9.81
v i
0 m/s
5.00
m/s

y (0.25 s ) (4.0 3.0 0.25) m 4.8 m
p
Se invece viene mancato, fra i due istanti in cui il sasso lo sfiora passa un tempo:
t2 t1
(3.2 0.25) s 3.0s
58. Indichiamo con y 0 l’altezza del grattacielo, che coincide con la quota iniziale del
sasso, mentre la velocità iniziale è nulla. Uguagliando a zero la legge oraria della posizione
del sasso si trova il suo tempo di caduta:
1 2 2y0
y( t) y0 gt 0 t1
2
g
Per giungere all’orecchio percorrendo la distanza y 0 con velocità costante il suono
y0
impiega un tempo t2 e la somma di queste due quantità deve fare:
340 m/s
2y0
y0
t1 t2
8.70 s ,
g 340 m/s
per cui:
340
2
g
y0 y0
8.70 s 340
m/s
84
152 y y 2958
0 0
l’elevazione al quadrato di ambo i membri creerebbe difficoltà con le cifre significative
per cui conviene porre z y0
e risolvere l’equazione nella variabile
ausiliaria:
2 152
z 152z 2958 0 z
152
2
4 2958 152 187
z 17.5
2
avendo scartato per ovvi motivi la soluzione negativa. Si ottiene quindi
2
y z 306 m .
0
Per quanto riguarda il tempo necessario perché il sasso si trovi a quota 1
2 0 y
questo è maggiore della metà del tempo di caduta perché la velocità media nella
prima metà dello spostamento è inferiore a quella durante la seconda metà.
59. Due oggetti lasciati cadere da una stessa altezza in tempi successivi non
mantengono costante la loro distanza, dato che l’oggetto che parte per primo
sarà in ogni istante più veloce dell’altro, e quindi ogni secondo percorrerà un
tratto che è sempre maggiore. La distanza pertanto cresce con il tempo.
Nel caso proposto, iniziando a contare il tempo da quando parte la seconda palla,
per la prima palla avremo:
1 2
y ( t) y v t gt
1 0 0
dove y 0 e 0
2
2
v sono altezza e posizione nell’istante in cui parte la seconda palla.
Calcoliamoli scrivendo la legge oraria della prima palla facendola partire da h
con v 0.0 m/s
0
2 2
y( t) 150 4.91 t y(2.0
s ) [150 4.912.0 ] m 130 m
v( t) 9.8 t v(2.0
s ) ( 9.8 2.0) m/s 19.6 m/s
Inseriamo questi valori nella legge oraria con il tempo contato da quando parte
la seconda palla e calcoliamo la quota dopo 2.5 s :

y1( t) 130 19.6t 4.91t
2
y (2.5 s ) (130 19.6 2.5 4.912.5 ) m 50.3 m
1
2
Scriviamo la legge oraria della seconda palla e calcoliamo la quota dopo 2.5 s :
2 2
2 2
y ( t) 150 4.91 t y (2.5 s ) (150 4.912.5 ) m 119 m
e la differenza fra le altezze risulta:
y (2.5) y (2.5) (119 50.3) m 68.7 m
2 1
60. Dalla definizione di velocità media risulta:
yf yi
vm1
t
y0
10 m y0
4.0 s
2.5 m/s
yf yi
vm2
t
y0
10 m y0
4.0 s
2.5 m/s
61. A percorrere metà dell’altezza massima impiega meno della metà del tempo totale,
dato che all’inizio va più veloce. Quindi, visto che alla velocità iniziale sono sottratti
9.81 m/s
ogni secondo che passa, la velocità a metà altezza è maggiore della
metà di quella iniziale. Invece nella prima metà del tempo di salita, visto che nella
fase iniziale le velocità sono maggiori, l’oggetto avrà percorso più della metà
dell’altezza massima.
62. Trattandosi di un moto in caduta libera, il problema è simmetrico in relazione
alla caduta ed alla risalita, se quindi il tempo di permanenza sotto al davanzale
è 2.00 s , dobbiamo concludere che 1.00 s è di caduta ed 1.00 s di risalita.
Conviene scrivere la legge oraria della fase di risalita:
1 2
y( t) v0t gt
2
nella quale è ignoto il valore della velocità iniziale 0 v . Indichiamo con 1 y
l’altezza del davanzale, raggiunta nell’istante t 1 , e con y 2 l’altezza del bordo in
alto della finestra, raggiunta nell’istante t 2 , quindi :
1 2
1 2
y1 v0t1 gt1
y2 v0t2 gt2
2
2
Sappiamo dal testo che:
t1 1.00 s ; t2 (1.00 0.125) s 1.13 s ; y1 y2 1.20 m
sottraendo le due relazioni precedenti si ottiene un’equazione nella sola incognita
v 0 :
1 2 2
y2 y1 v0( t2 t1 ) g( t2 t1 ) 1.20 m
2
sostituendo i valori noti:
1
2 2
v0(1.13 s 1.00 s ) g[(1.13
s) (1.00 s) ] 1.20 m
2
2 2
1.20 4.90 (1.13 1.00
)
v0
m/s 20.0 m/s
0.130
Dalla formula 2 2 v v0 2a
x si ricavano subito sia l’altezza da cui è avvenuta
la caduta, che coincide con l’altezza di massima risalita, sia la velocità dopo
2.50 m di caduta:
85

2 2 v0
20.0 v v0 2 g( h 0) 0 h m 20.4 m
2g 2 9.81
2 2 2 2
v v0 2 g( 2.50 m ) 49.0 m /s v
7.00 m/s
2
86
2