I corpi estesi - francescopoli.net

Capitolo7I corpi estesi1. I movimenti di un corpo rigidoChe cosa si intende per corpo esteso?Con il termine di corpo esteso ci si riferisce ad oggetti per i quali non è lecitoadoperare l’approssimazione di particella, cioè le cui dimensioni non sonotrascurabili rispetto all’entità degli spostamenti coinvolti. Il corpo esteso può esserepensato come scomponibile in un grande numero di punti materiali, ed i movimentidi cui esso è capace possono a loro volta essere interpretati come moti d’insieme deipunti materiali che lo costituiscono.Che cosa si intende per corpo rigido?Si dice corpo rigido un oggetto ideale che mantiene la stessa forma e le stessedimensioni qualunque sia la sollecitazione cui lo si sottopone.Si tratta di una idealizzazione: nessun corpo reale soddisfa perfettamente questirequisiti, tuttavia molti oggetti possono essere considerati corpi rigidi: un tavolo, unbicchiere, e molti altri non lo sono, come una catena, una stoffa, una persona e cosìvia.Quali movimenti sono possibili per un corpo rigido?Studieremo il moto di traslazione ed il moto di rotazione di un corpo rigido e la lorocomposizione, tralasciando l’analisi di movimenti più complessi come quello polare.Si dice che un corpo rigido compie un moto di traslazione se tutti i suoi punti simuovono con lo stesso vettore velocità e lo stesso vettore accelerazione.Si dice che un corpo rigido compie un moto di rotazione se tutti i suoi puntidescrivono delle circonferenze con centro sulla stessa retta, che è detta asse dirotazione1

E’ importante sottolineare che un moto di traslazione non implica necessariamenteche i punti materiali che compongono il corpo rigido si muovano su delle traiettorierettilinee: essi potranno compiere anche dei tratti curvi, od al limite dellecirconferenze. L’importante è che non siano concentriche, come si vede in figura:AAv v v BBAABABBBBAABIl corpo a sinistra descrive un moto traslatorio: sebbene le traiettorie che i puntimateriali componenti il corpo rigido seguono siano circolari, le circonferenze lungocui si dispongono non hanno i centri su di un’unica retta. Una via alternativa peraccorgersi che si tratta di traslazione pura è verificare che comunque presi due puntiA e B sul corpo, la retta che passa per essi si mantiene parallela a sé stessa, e questo èdovuto al fatto che le traiettorie di tutti i punti sono uguali. Il corpo a destra invecedescrive un moto di rotazione attorno ad un asse: tutti i punti che lo compongono sispostano su delle circonferenze concentriche: la loro velocità cresce con la distanzadall’asse di rotazione. Inoltre, come si vede, una retta passante per due suoi puntiqualunque A e B non si mantiene parallela a sé stessa.A2

2. Forze applicate ad un corpo rigidoCi limiteremo a considerare un corpo rigido che si muova di moto piano,per il quale tutti i vettori spostamento che individuano i punti che locostituiscono, si mantengono sempre paralleli ad uno stesso piano. Supponiamodunque che tale moto sia il risultato dell’applicazione di un sistema di forze:F 1, F 2, .. F Nanche esse parallele allo stesso piano. Nel caso più generale ilcorpo sarà animato dalla composizione di una rotazione ed una traslazione,entrambe parallele al piano. Allo scopo di prevederne le caratteristicheseguiremo la strada di ricondurre il sistema di forze dato ad un altro piùsemplice, che diremo equivalente, secondo la definizione seguente:Due sistemi di forze si dicono equivalenti se i loro effetti sul moto di un corporigido sono gli stessiF 1F 4F F 32Per un qualunque sistema di forze è possibile definire il risultante : R Fiottenibile tramite una somma vettoriale.Per determinare il moto di un corpo esteso è sufficiente conoscere R ?Nel caso di un punto materiale questa grandezza esaurisce tutte le informazioniche occorrono per definirne il moto. Per un punto, infatti, non è possibiledistinguere un moto di rotazione da un moto di traslazione: entrambi sisviluppano lungo una traiettoria ad una sola dimensione ed è sufficienteconoscere intensità, direzione e verso del risultante per ricavare le leggi orarie.La libertà ulteriore di movimento di cui gode un corpo rigido, cioè la suapossibilità di ruotare, comporta però la necessità di avere informazioniaggiuntive per poter prevedere l’effetto delle forze ad esso applicate. E’necessario associare a ciascuno dei vettori che individuano le forze F 1, F 2, .. F Nche costituiscono il sistema, un punto di applicazione. Gli effetti di una stessaforza sul moto di un corpo rigido sono molto differenti se questa agisce inposizioni diverse. Se infatti si sceglie un qualunque asse perpendicolare alpiano dove si svolge il moto, la capacità di una stessa forza di far ruotare ilcorpo attorno ad esso cambia notevolmente variandone il punto diapplicazione.iF 1F 2R F 3F 4Che grandezza fisica si può introdurre per misurare questa capacità?E’ necessario introdurre una nuova grandezza fisica che quantifichi la capacitàdi una forza di far ruotare un corpo esteso attorno ad un dato asse. Leosservazioni mostrano che la capacità di far ruotare, a parità di intensità dellaforza, è tanto maggiore quanto più la forza è intensa e quanto più vieneapplicata lontano dall’asse attorno a cui si desidera produrre la rotazione. E’ perquesto motivo che la maniglia di una porta viene collocata all’estremo oppostorispetto ai cardini girevoli. Per esprimere la capacità di far ruotare che ha una3

forza bisogna dunque conoscere la distanza della retta lungo la quale la forzastessa agisce, dall’asse attorno a cui si vuole far ruotare. Questa importanteinformazione viene detta braccio della forza:Braccio della forza: distanza della retta di azione delle forza dall’asse dirotazione.F 1bA F 2 b 34bb 4 1F F 32Si introduce quindi la grandezza seguente: F bindicata con la lettera greca tau ( ) e detta momento della forza (o anchemomento torcente della forza). Considereremo positivi i momenti dovuti aforze che producono rotazioni antiorarie attorno all’asse nel piano del foglio,guardato dal lettore.Se sul corpo che si muove di moto piano, agisce un sistema di forze,chiameremo momento risultante del sistema rispetto a tale asse la grandezza | F | b | F | b | F | b ....ii1 1 2 2 3 3dove bi sono i bracci delle forze, vale a dire le distanze delle rette di azione diciascuna delle F idal punto in cui l’asse buca il piano. In figura il punto Aindica l’intersezione dell’asse scelto con il piano di rotazione, e le lineetratteggiate rappresentano i bracci delle forze.b Ab B4F B3 F AEsempio 1Trovare il momento risultante del sistema di forzeF ed F , di moduloA B40 N e30 N rispettivamente, che agiscono sul quadrato di lato 10 m in figura,calcolato rispetto ad un asse perpendicolare al foglio e passante per il centro delquadrato.Dopo aver tracciato le rette di azione delle forze si riconosce che i bracci valgono:b b AB42 3 6e che per chi guarda il foglio, F tende a far ruotare in verso orario attorno all’asse,Aquindi il suo momento sarà negativo, F antiorario quindi con momento positivo:B b F b F F FA B A A B B A B4 610 10 40 30 50N m4 6Il valore negativo del momento risultante comporta che il quadrato, oltre che atraslare nella direzione di R , tenderà a ruotare in verso orario, per effetto delsistema di forze applicatogli.4

Come si trova il punto di applicazione di RTanto la retta di azione quanto il punto di applicazione della risultante delsistema non sono determinabili attraverso la somma dei vettori effettuata con ilmetodo di punta-coda o del parallelogramma. Tale tecnica, che consente disommare vettori, cioè classi di equivalenza di segmenti equipollenti, forniscesoltanto l’intensità del risultante ed una direzione, quella della diagonale delparallelogramma, alla quale il risultante è parallelo, ma non il punto diapplicazione 1 . Tuttavia il risultante del sistema di forze deve avere lo stessomomento del sistema stesso, quindi se esiste un punto sull’oggetto rispetto alquale la somma dei momenti è nulla, il risultante applicato in modo che abbiamomento zero rispetto quel punto sostituisce interamente il sistema di forze.F BF AEsempio 2Trovare, se esiste, il punto (od i punti) in cui si può applicare il risultantesistema di forze F ed F , di pari intensità, che agiscono sul quadrato in figura.A BDopo aver tracciato le rette di azione delle forze si riconosce che una forza ha sempremomento nullo rispetto ad un qualunque asse che passa per la sua retta di azione.Quindi entrambe le forze devono avere momento nullo rispetto ad un asseperpendicolare al foglio nel punto P, intersezione delle due rette di azione. Ne segueche anche il risultante dovrà avere momento nullo rispetto a P, quindi la sua rettad’azione (inclinata di 45° rispetto al lato del quadrato visto che le forze hanno lastessa intensità), dovrà passare per P. Quindi il risultante può essere applicato in unoqualunque dei punti in cui la retta a 45° passante per P intercetta il quadrato.Esempio 3Trovare, se esiste, il punto di applicazione del sistema di forze parallele F Cche agiscono sul quadrato in figura.deled F ,DF BPR F AF DF CF CLe rette di azione delle due forze parallele non si incontrano mai, tuttavia è possibileoperare sommando al sistema due forze opposte che non alterano la dinamicaperché hanno risultante nullo (in verde nella figura). In questo modo si ottiene ilpunto P rispetto al quale il sistema ha momento nullo, e così si fa passare per P laretta di azione del risultante la cui direzione è ottenuta con la regola delparallelogramma. Il risultante potrà poi essere applicato in uno qualunque dei puntiin cui la retta trovata intercetta il corpo, per esempio sul bordo del quadrato.PR F D1Per sommare vettori applicati occorre operare la costruzione del cosiddetto poligonofunicolare, il quale consente di conoscere la retta di azione del risultante, e, se reiterato sudi un sistema di forze ruotato rispetto all’originale, anche il punto di applicazione.5