Global Positioning System Lavoro di maturit`a - Liceo cantonale di ...

53 Capitolo 6. Relatività generale: gli effetti del campo gravitazionale
da cui il risultato
∆te = ∆tr
1 + ah
c2
. (6.8)
Grazie al principio di equivalenza forte possiamo dire che la medesima formula vale in
un capo gravitazionale con g = −a.
Possiamo ora riformulare (6.8) usando il fatto che gh corrisponde ad una differenza
di potenziali gravitazionali, fatto che vogliamo ora verificare.
Matematicamente, il campo gravitazionale terrestre g è un campo vettoriale radiale con
g = (− GMT
r2 ,0,0). Inoltre, un campo vettoriale V : R3 → R3 qualsiasi è conservativo
se V = −∇Φ, con Φ : R3 → R una funzione e ∇ il gradiente9 .
Questo implica l’esistenza di un potenziale Φg, fisicamente noto come potenziale
gravitazionale, tale che g = −∇Φg.
Verifichiamo ora che la funzione Φg, data da
Φg = − GMT
r
. (6.9)
è un potenziale del campo vettoriale g. Per fare ciò utilizziamo le coordinate sferiche10 :
il gradiente, rispetto ai vettori di base (er;eθ;eϕ), è dato da
∂ 1 ∂
∇ = ;
∂r r ∂θ ;
1 ∂
. (6.10)
r sin θ ∂ϕ
Dobbiamo ora verificare che
Si ha
⎛
g = ⎝
− GMT
r 2
0
0
⎞
⎛
⎠ ⎜
= −⎝
∂
∂r
1 ∂
r ∂θ
1 ∂
r sin θ ∂ϕ
g = −∇Φg.
⎞
⎟
⎠
− GMT
r
⎛
= −⎝
GMT
r 2
0
0
⎞
⎠ = g.
Verifichiamo ora che gh = ∆Φg.
Consideriamo due punti sottoposti all’influenza del campo gravitazionale terrestre, separati
da una distanza h ≪ RT trascurabile rispetto al raggio terrestre. Abbiamo
che
GMT GMT
∆Φg = − − =
RT + h RT
GMT
RT
Poiché h ≪ RT, espandendo in ordine lineare si ha
1 − RT
RT + h
≈ 1 −
1 − h
RT
1 − RT
RT + h
= h
RT
9 ∂ ∂ ∂
Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano si ha ∇ = ( ∂x , ∂y , ∂z ).
10Infatti essendo g un campo vettoriale radiale, le coordinate sferiche si adeguano meglio alla
situazione che quelle cartesiane.