Dispensa BOND GRAPH - Alessandro Fassio

Indice
POLITECNICO DI TORINO
Facoltà di Ingegneria dell’Informazione
Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica
Prototipazione dei sistemi meccatronici
Dinamica dei sistemi
Un approccio unificato: i Bond-Graph
Fabio Fornaca
(m. 121707)
22/02/2005
1

Indice
DINAMICA DEI SISTEMI
UN APPROCCIO UNIFICATO: I BOND-GRAPH
1. INTRODUZIONE......................................................................................................................1
1.1 MODELLI DEI SISTEMI..................................................................................................1
1.2 SISTEMI, SOTTOSISTEMI E COMPONENTI...............................................................2
1.3 SISTEMI A STATI DETERMINATI ................................................................................2
1.4 USO DEI MODELLI DINAMICI......................................................................................2
2. SISTEMI MULTIPORTA E BOND GRAPH.........................................................................3
2.1 MULTIPORTA INGEGNERISTICI .................................................................................3
2.2 PORTE, VINCOLI E POTENZA.......................................................................................6
2.3 BOND GRAPH....................................................................................................................7
2.4 INGRESSI, USCITE E SEGNALI ....................................................................................7
3. MODELLI DEI COMPONENTI BASE..................................................................................8
3.1 ELEMENTI 1-PORT..........................................................................................................8
3.1.1 Elemento R ..................................................................................................................8
3.1.2 Elemento C ..................................................................................................................9
3.1.3 Elemento I .................................................................................................................10
3.1.4 Sorgenti......................................................................................................................12
3.1.5 Causalità degli elementi............................................................................................13
3.2 ELEMENTI 2-PORT........................................................................................................14
3.2.1 Trasformatore............................................................................................................14
3.2.2 Giratore......................................................................................................................15
3.2.3 Causalità degli elementi............................................................................................16
3.3 ELEMENTI DI GIUNZIONE 3-PORT...........................................................................17
3.3.1 Giunzione parallelo (common effort – 0).................................................................17
3.3.2 Giunzione serie (common flow – 1)..........................................................................18
3.3.3 Causalità delle giunzioni ..........................................................................................19
3.4 CAUSALITÀ E DIAGRAMMI A BLOCCHI ..................................................................20
4. MODELLI DEI SISTEMI ......................................................................................................21
4.1 SISTEMI ELETTRICI .....................................................................................................21
4.1.1 Circuiti elettrici..........................................................................................................21
4.1.2 Reti elettriche.............................................................................................................23
4.1.3 Causalità....................................................................................................................23
4.2 SISTEMI MECCANICI DI TRASLAZIONE .................................................................24
4.3 SISTEMI MECCANICI DI ROTAZIONE (ASSE FISSO)............................................25
4.4 SISTEMI IDRAULICI .....................................................................................................25
4.5 MODELLI DI SEMPLICI TRASDUTTORI...................................................................25
5. EQUAZIONI DI STATO ........................................................................................................26
5.1 FORMA STANDARD PER LE EQUAZIONI DEI SISTEMI .......................................26
5.2 RIFINITURA DEL BOND-GRAPH................................................................................27
5.3 FORMULAZIONE DI BASE E RIDUZIONE................................................................28
5.4 FORMULAZIONE DELLE VARIABILI DI USCITA...................................................28
6. I CAMPI....................................................................................................................................29
6.1 ELEMENTI E CAMPI “C” .............................................................................................29
6.1.1 Esempio di campo “C”: trasduttore elettromeccanico ............................................31
6.2 ELEMENTI E CAMPI “I”...............................................................................................32
6.3 CAMPI MISTI “IC” E “CI” ............................................................................................33
6.3.1 Esempio di campo “IC”: elettromagnete .................................................................34
6.3.2 Esempio di campo “IC”: generatore di tensione .....................................................35
6.3.3 Esempio di campo “IC”: Voice Coil.........................................................................36
I

Indice
7. BONDGRAPH DI SISTEMI DINAMICI..............................................................................37
7.1 ESEMPIO 1: PENDOLO ESTENSIBILE ......................................................................37
7.2 ESEMPIO 2: CARRELLO CON PENDOLO INVERSO ...............................................39
7.3 ESEMPIO 3: BRACCIO ROBOTICO.............................................................................40
II

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
1. INTRODUZIONE
L’uso della parola “sistema” implica due assunzioni basilari:
- un sistema è assunto come entità separabile dal resto dell'universo (l’ambiente del sistema)
per mezzo di un confine fisico o concettuale;
- un sistema è composto di parti interagenti.
Questi due aspetti dei sistemi possono essere riconosciuti nelle situazioni di ogni giorno così come
in applicazioni più specifiche e tecniche.
L’essenza di quello che può definirsi il “punto di vista del sistema” è riconoscere sé stesso con
l’operazione di un sistema completo piuttosto che solo l’operazione delle parti componenti.
In ingegneria, come in verità virtualmente in tutti gli altri tipi di sforzi umani, i compiti associati al
progetto o all’operazione di un sistema sono divisi in parti che possono lavorare isolatamente verso
qualche estensione. Tutti i gruppi separati che lavorano a compiti globali devono interagire in qualche
maniera per fare in modo che non lavorino solo le parti del sistema ma anche l’intero sistema
svolga le funzioni desiderate.
Molti sistemi possono essere progettati con maggiore attenzione alle operazioni statiche o a stato
consolidato, nelle quali le variabili del sistema si presume rimangano costanti nel tempo. In generale
però nessun sistema può lavorare in veri stati statici o consolidati e sia i cambiamenti
nell’evoluzione del sistema, sia gli effetti transitori a breve termine associati sono importanti. I sistemi
possono in realtà non raggiungere mai uno stato consolidato, a causa di disturbi esterni e instabilità
che appaiono quando si tiene conto delle dinamiche del sistema.
1.1 MODELLI DEI SISTEMI
L’idea centrale alla base dello studio delle dinamiche dei sistemi reali è quella di un modello del sistema.
I modelli dei sistemi sono costrutti semplificati e astratti usati per predire i loro comportamenti.
La proprietà caratteristica di questi modelli è che alcuni, ma non tutti, aspetti del sistema reale
si riflettono nel modello.
Il modello matematico potrebbe sembrare ancor più astratto rispetto al modello fisico, ma ci sono
aspetti simili tra i due. Il modello matematico è anche utilizzato per predire solo certi aspetti della
risposta del sistema agli ingressi.
E’ importante precisare che nessun sistema può essere modellizzato esattamente e che ogni progettista
competente necessita di una procedura per costruire una varietà di modelli di sistemi di diversa
complessità in modo tra trovare il modello più semplice capace di rispondere alle caratteristiche del
sistema studiato.
I modelli dei sistemi è meglio che siano costruiti usando una notazione uniforme per tutti i tipi di
sistemi fisici. E’ un fatto importante che i modelli apparentemente basati su diverse branchie
dell’ingegneria possano tutti esprimersi usando la notazione dei bond graph, basata sull’energia e
sul flusso di informazione. Questo permette di studiare la struttura di un modello di un sistema. La
natura delle parti del modello e la maniera in cui le parti interagiscono si può evidenziare in un formato
grafico. In questo modo, le analogie tra i vari tipi di sistemi si evidenziano, e l’esperienza in
un campo può essere estesa agli altri campi.
Usando il linguaggio bond graph è possibile costruire modelli di sistemi elettrici, magnetici, meccanici,
idraulici, pneumatici, termici e altri, usando solo un piccolo set di elementi ideali. Tecniche
standard permettono ai modelli di essere tradotte in equazioni differenziali o schemi di simulazione
computerizzata.
1

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
1.2 SISTEMI, SOTTOSISTEMI E COMPONENTI
Al fine di modellizzare un sistema, è di solito necessario scomporlo innanzitutto in parti più piccole
che possono essere modellizzate e forse studiate sperimentalmente, e quindi assemblare il modello
del sistema dalle parti. Spesso, la divisione del sistema è convenientemente completata in più stadi.
Le parti più grandi vengono chiamate sottosistemi e le parti primitive del sottosistema vengono
chiamate componenti. Naturalmente, la gerarchia dei componenti, sottosistemi e sistemi non può
mai essere assoluta, poiché perfino le parti del sistema più primitive possono essere modellizzate in
tale dettaglio che sarebbe un sottosistema troppo complesso. Da un altro punto di vista, in molte applicazioni
ingegneristiche le categorie di sottosistemi e componenti sono chiaramente ovvie.
Di base, un sottosistema è una parte di un sistema che verrà modellizzato come un vero proprio sistema;
cioè il sottosistema sarà diviso in parti interagenti. Un componente, d’altra parte, è modellizzato
come un’unità e non è pensato come composto di parti più semplici. Bisogna conoscere come
il componente interagisce con gli altri componenti e avere una caratterizzazione del componente,
ma altre volte un componente può essere trattato come una “scatola nera” senza nessun bisogno di
sapere cosa la fa agire e cosa fa.
1.3 SISTEMI A STATI DETERMINATI
Il tipo di modello più frequente è quello a stati determinati. Nella notazione matematica si intende
un modello di sistema che è spesso descritto da un set di equazioni differenziali ordinarie in termini
delle cosiddette variabili di stato e un set di equazioni algebriche che mettono in relazione le altre
variabili con le variabili di stati.
Anche se alcune tecniche di analisi e simulazione computerizzata non hanno bisogno che le equazioni
di stato vengano scritte, da un punto di vista matematico tutti i modelli di sistemi sono a stati
determinati.
Il futuro di tutte le variabili associate a un sistema a stati determinati può essere predetto se:
- le variabili di stato sono conosciute in qualche istante iniziale;
- la storia futura degli ingressi esterni è conosciuta.
Tali modelli, che sono virtualmente gli unici usati in ingegneria hanno alcune implicazioni costruttive.
Per esempio gli eventi nel futuro non hanno effetto sullo stato presente del sistema.
L’implementazione è correlata con l’assunzione che il tempo scorre solo in una direzione – dal passato
al futuro.
Chiaramente, la storia passata potrebbe avere un effetto sul sistema; l’influenza del passato è esibita
in un modo speciale nei sistemi a stati determinati. Tutta la storia passata di un sistema a stati determinati
è raccolta nei valori presenti delle variabili di stato.
1.4 USO DEI MODELLI DINAMICI
Un generale modello dinamico può essere schematicamente rappresentato come in figura. Il sistema
S è caratterizzato da un set di variabili di stato X che sono influenzate da un set di variabili di ingresso
U, che rappresentano l’azione dell’ambiente sul sistema.
Input
U
Sistema dinamico S
Variabili di stato X
Output
Y
2

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Il set di variabili di uscita Y è l’aspetto osservabile della risposta del sistema o l’effetto di ristorno
da sistema all’ambiente. Questo tipo di modello dinamico può essere usato in tre diversi modi:
- analisi; dato U per il futuro, X al presente e il modello S si deve predire il futuro di
Y. Assumendo che il modello del sistema è una rappresentazione accurata del sistema
reale, le tecniche di analisi premettono di predire il comportamento del sistema;
- identificazione; data la storia temporale di U e Y, di solito da esperimenti sul sistema
reale, si deve trovare un modello S e le variabili di stato X che sono consistenti con
U e Y. Questa è l’essenza della sperimentazione scientifica. Chiaramente un “buon”
modello è uno che è consistente con una grande varietà di set di U e Y;
- sintesi; dato U e qualche Y desiderata si deve trovare S tale che U agente su S produca
Y. La maggior parte dell’ingegneria ha a che fare con la sintesi, ma solo in limitati
contesti ci sono metodi di sintesi diretti. Spesso ci dobbiamo accontentare di sintetizzare
sistemi attraverso un processo a tentativi di analisi ripetitive di una serie di sistemi
candidati.
2. SISTEMI MULTIPORTA E BOND GRAPH
2.1 MULTIPORTA INGEGNERISTICI
Nella figura seguente è rappresentata una collezione di sottosistemi e componenti di sistemi ingegneristici.
Anche se i sottosistemi visualizzati sono abbastanza elementari, serviranno a introdurre il
concetto di multiporta ingegneristico.
Le variabili esplicitate nel disegno, come coppie, velocità angolari, forze, velocità, tensioni, correnti,
pressioni e portate, compaiono a coppie associate con punti ai quali i sottosistemi possono essere
connessi con altri per formare un sistema.
3

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Le parti a cui i sottosistemi possono essere interconnessi sono le parti attraverso le quali la potenza
può fluire attraverso i sottosistemi. Queste parti vengono chiamate porte e i sottosistemi fisici con
una o più porte sono chiamati multiporta. Un sistema con una singola porta è chiamato 1-port, un
sistema con due porte è chiamato 2-ports e così via. In figura i sottosistemi dalla a alla h sono 2ports,
il sottosistema f è 1-port (se non si considera la parte acustica), mentre il sottosistema i è 3ports.
Le variabili elencate nelle multiporta in figura e le variabili che sono forzate a essere identiche
quando due multiporta sono connesse sono chiamate variabili di potenza, perché il prodotto delle
due variabili considerate come funzione del tempo è istantaneamente pari alla potenza che fluisce
tra i due multiporta.
Poiché le interazioni di potenza sono sempre presenti quando due multiporta sono connessi, è comodo
classificare le variabili di potenza in uno schema universale e descrivere tutti i tipi di multiporta
in un linguaggio comune. Per questo si parla di effort (intensità, sforzo) e flow (flusso).
Nella seguente tabella vengono mostrate le variabili effort e flow per diversi tipi di scambi di potenza.
In generale i simboli e(t) e f(t) sono usati per riferirsi alle quantità effort e flow in funzione del
tempo. Per questo motivo non bisogna confondere alcune grandezze per le quali spesso vengono utilizzati
questi simboli. Per esempio la forza, spesso indicata con la lettera F è una variabile di tipo
effort.
Dominio Effort e(t) Flow f(t)
Traslazione meccanica Forza, F(t) Velocità, v(t)
Rotazione meccanica Coppia, τ(t) Velocità angolare, ω(t)
Idraulica Pressione, P(t) Portata, Q(t)
Elettrica Tensione, e(t) Corrente, i(t)
La potenza P(t) che fluisce dentro o fuori da una porta può essere espressa come il prodotto tra una
variabile di effort e una di flow, ed è quindi data da:
P ( t)
= e(
t)
f ( t)
In un sistema dinamico le variabili di effort e flow variano nel tempo. Due altri tipi di variabili importanti
sono le variabili di energia, chiamate momento p(t) e spostamento generalizzato q(t).
Il momento è definito come l’integrale nel tempo di una variabile effort, avendo il momento iniziale
p0 e nello stesso modo lo spostamento generalizzato è definito come l’integrale nel tempo di una variabile
flow, assegnato uno spostamento iniziale p0:
t
p(
t)
= p0
+ e(
t)
dt q t)
= q +
t0
( 0
t
t0
f ( t)
dt
Altri modi di scrivere le definizioni di momento e spostamento generalizzato segue da un approccio
differenziale anziché integrale:
dp(
t)
dq(
t)
= p(
t)
= e(
t)
= q(
t)
= f ( t)
dt
dt
L’energia E(t), che viene passata dentro o fuori da una porta, è l’integrale nel tempo della potenza:
t
E (
t)
≡ P(
t)
dt = e(
t)
f ( t)
dt
t
4

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Grazie alle definizioni differenziali di momento e spostamento generalizzato si può scrivere:
t
q
E ( t)
= e(
t)
dq(
t)
E(
q)
= e(
t)
dq E(
t)
= f ( t)
dp(
t)
E(
p)
= f ( t)
dp
Per collegare le 4 grandezze fondamentali si usa una figura mnemonica chiamata “tetraedro di stato”,
mostrato nella figura seguente. Le variabili di tipo e, f, p e q sono associate ai quattro vertici del
tetraedro. Lungo due spigoli del tetraedro sono indicate le relazioni tra effort e momento e tra flusso
e spostamento generalizzato.
La tabella seguente mostra le variabili di potenze e energia per i sistemi meccanici di traslazione.
Poiché le variabili di potenza forza e velocità cono considerate primitive, le unità delle rimanenti
variabili seguono di conseguenza. Le unità sono i banchi sui quali sono fondati molti sistemi di analisi
e il problema maggiore è il passaggio tra i vari sistemi di misura.
Variabili
generalizzate
Traslazione
meccanica
SI Ingegneria
Effort, e Forza, F Newton [N] Kg forza [Kgf]
Flow, f Velocità, v Metri/sec [m/s] [m/s]
Momento, p Momento, p [N⋅s] [Kgf⋅s]
Spostamento, q Spostamento, x [m] [m]
Potenza, P F(t)v(t) [N⋅m/s] [Kgf⋅m/s]
Energia, E
x
d
dt
p
dt
e
p
f
dt
Fdx = vdp [N⋅m] [Kgf⋅m]
Il Newton è un’unità di misura derivata che segue la legge di Newton: un Newton è la forza che dà
alla massa di un kilogrammo l’accelerazione di un metro al secondo quadrato. Spesso in ingegneria
si usa indicare la forza in Kg forza, perché questa unità è più vicina all’esperienza di tutti i giorni.
La relazione tra Newton e Kilogrammi forza si ricava usando la legge di Newton e l’accelerazione
di gravità standard g=9.80665 m/s 2 . Un Newton dà a un Kg un’accelerazione di 1 m/s 2 e un Kg forza
dà a un Kg un’accelerazione di 9.80665 m/s 2 , quindi:
1 Kgf = 9.
80665N
Le tabelle successive mostrano le variabili di potenza e energia per le porte di sistemi meccanici di
rotazione (alberi di motori, pompe, cambi ecc…), di sistemi idraulici e di sistemi elettrici. Nei sistemi
idraulici sono definite alcune quantità inusuali, come il momento di pressione.
Le tabelle presentate mostrano che è possibile inserire nel tetraedro di stato le variabili illustrate per
i vari tipi di sistemi.
q
d
dt
t
p
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Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Variabili
generalizzate
Rotazione
Meccanica
SI Ingegneria
Effort, e Coppia, τ Newton⋅metro [N⋅m] Kg forza⋅metro [Kgf⋅m]
Flow, f Velocità angolare, ω Radianti/sec [rad/s] [rad/s]
Momento, p Momento angolare, pτ [N⋅m⋅s] [Kgf⋅m⋅s]
Spostamento, q Rotazione, θ [rad] [rad]
Potenza, P τ(t)ω(t) [N⋅m/s] [Kgf⋅m/s]
Energia, E
θ
pτ
τ d θ = ω dpτ
[N⋅m] [Kgf⋅m]
Variabili
generalizzate
Variabili
Idrauliche
SI Ingegneria
Effort, e Pressione, P Newton/metro 2 [N/m 2 ] Kg forza/m 2 [Kgf/m 2 ]
Flow, f Portata, Q Metri 3 /sec [m 3 /s] [m 3 /s]
Momento, p Momento di pressione, pp [N⋅s/m 2 ] [Kgf⋅s/m 2 Spostamento, q Volume, V [m
]
3 ] [m 3 ]
Potenza, P P(t)Q(t) [N⋅m/s] [Kgf⋅m/s]
V
p p
Energia, E PdV = Qdp
[N⋅m] [Kgf⋅m]
p
Variabili
generalizzate
Variabili
Elettriche
SI
Effort, e Tensione, e Volt [V]=[N⋅m/C]
Flow, f Corrente, i Ampere [A]=[C/s]
Momento, p Flusso magnetico concatenato, λ [V⋅s]
Spostamento, q Carica, q Coulomb [C]=[A⋅s]
Potenza, P e(t)i(t) Watt [W]=[V⋅A]=[N⋅m/s]
Energia, E
2.2 PORTE, VINCOLI E POTENZA
q
e dq
=
λ
i
dλ
[V⋅A⋅s]= [W⋅s]=[N⋅m]
Quando due multiporta vengono connessi la potenza può fluire attraverso le porte connesse è può
essere espressa come il prodotto di un’intensità per un flusso, come mostrato nelle tabelle precedenti.
Si vuole ora sviluppare un modo universale per rappresentare i multiporta e le loro connessioni,
basato sulle classificazioni di variabili nelle tabelle.
La figura mostra una rappresentazione semplificata di un motore DC. Il
ef if nome è usato per rappresentare il dispositivo e le porte sono semplicemente
τ
ea indicate da linee sottili uscenti dal nome. Per convenzione, le variabili di
Motore DC
ω
ia
effort e flow sono scritte vicine a queste linee. Poiché le linee possono essere
sia verticali che orizzontali, viene usata la seguente convenzione:
- gli effort sono messi sopra oppure a sinistra della linea;
- i flow sono messi sotto o a destra della linea.
6

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Inoltre viene aggiunto un segno convenzionale: la mezza freccia sulla linea della porta indica la
direzione del flusso di potenza a ogni istante di tempo quando le variabili di effort e flow sono entrambe
positive.
Quando due multiporta sono accoppiati in modo che effort e flow diventano identici, i due multiporta
si dice che hanno un vincolo (bond) comune.
Le quantità intensità (effort) e flusso (flow) non possono essere imposte contemporaneamente.
2.3 BOND GRAPH
Un Bond Graph consiste semplicemente di sottosistemi collegati tra di loro da linee che rappresentano
i vincoli di potenza.
I Bond Graph vengono usati per modellizzare sottosistemi nei dettagli interni. Per questo, vengono
introdotti dei set di elementi base indicati con lettere e numeri, anziché con parole.
Se un Bond Graph è sufficientemente dettagliato, si possono derivare le equazioni di stato usando
tecniche standard oppure si possono realizzare simulazioni computerizzate.
2.4 INGRESSI, USCITE E SEGNALI
La figura mostra un semplice esempio di diagramma a blocchi, in cui le frecce indicano la direzione
del flusso dei segnali. Per i multiporta, ogni porta o vincolo ha sia un effort che un flow, e quando
questi due tipi di variabile sono rappresentati come segnali accoppiati, è solo possibile per uno di
questi segnali di essere un ingresso, l’altro è obbligatoriamente un’uscita.
Per sapere quale tra i segnali di effort e flow a una porta è l’ingresso della
ef if multiporta, è necessario aggiungere un segno alla linea che rappresenta la
τ
ea porta. Nei Bond Graph il modo in cui sono specificati gli ingressi e le u-
Motore DC
ω
scite viene definito legame di causalità, e rappresentato attraverso un
ia
segmento perpendicolare alla linea della porta, messo a una delle due estremità,
come mostrato in figura. Il segmento indica il verso in cui è diretto il segnale di effort.
La convenzione per il flusso di potenza e quella per la causalità sono completamente indipendenti.
Quindi tutte le combinazioni tra frecce e segmenti sono possibili.
I sistemi sono interconnessi da una corrispondenza di una coppia di segnali che rappresentano le variabili
di potenza.
Nella figura seguente è visualizzato il significato dei legami di causalità tra due sistemi A e B.
e
A B
f
A
e
f
B
τ
ω
ef if
Motore
DC
Sistema
A
Sistema
A
e
f
e
f
ea
ia
Sistema
B
Sistema
B
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Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Un Bond Graph in cui ogni vincolo implica l’esistenza sia di un effort che di un flow è un modo più
efficiente di descrivere sistemi multiporta, rispetto a diagrammi a blocchi. Tuttavia quando un sistema
è dominato da un segnale di effort o flow (ad esempio strumenti di misura, amplificatori di
isolamento) l’altro segnale può essere prelevato a molti punti di interconnessione. In questo caso, un
vincolo degenera in un segnale singolo e può essere visualizzato come un vincolo attivo. La notazione
di un vincolo attivo è identica a quella di un segnale in un diagramma a blocchi: ad esempio
in figura il segnale di effort e è determinato dal sistema A ed è l’ingresso del sistema
B. Quando il segnale di effort e è segnato come un segnale (freccia intera sul vincolo),
o in altre parole come un vincolo attivo, l’implicazione è che il flusso f ha un effetto
trascurabile sul sistema A.
3. MODELLI DEI COMPONENTI BASE
E’ possibile definire un set di multiporta da utilizzare per modellizzare in dettaglio i sottosistemi.
Questi multiporta funzionano come componenti di sottosistemi e modelli di sistema e sono, in molti
casi, versioni matematiche idealizzate di componenti reali come resistori, condensatori, masse, molle,
condotti e così via.
Usando i Bond Graph e la classificazione delle variabili di potenza e energia, si ha che solo pochi
tipi di elementi multiporta sono necessari per rappresentare modelli nei vari domini. La notazione
dei Bond Graph permette spesso di visualizzare aspetti del sistema più facilmente di quanto sarebbe
possibile con le sole equazioni di stato o con altre notazioni grafiche indicate per un solo dominio.
3.1 ELEMENTI 1-PORT
Un elemento a singola porta (1-port) è indirizzato attraverso una singola porta energetica e ad essa
esiste un unico paio di variabili intensità e flusso.
Consideriamo nell’ordine elementi che dissipano potenza, che immagazzinano energia e che forniscono
potenza.
3.1.1 Elemento R
e
A B
Il resistore 1-port è un elemento in cui le variabili di effort e flow alla unica porta sono collegate da
una funzione statica. La figura seguente mostra la simbologia Bond Graph per il resistore (a), un tipo
grafico del legame tra e e f (b) e vari domini in cui è usato il resistore (c).
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Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Di solito i resistori dissipano energia. Questo deve essere vero per semplici resistori elettrici, smorzatori
meccanici e altri elementi passivi.
La potenza fluisce nella porta quando il prodotto di effort per flow è positivo, in accordo con la
convenzione dei segni utilizzata in figura. Possiamo quindi dedurre che la potenza viene sempre
dissipata se la definizione delle relazioni costitutive tra effort e flow giace nel primo e terzo quadrante
del piano e-f, poiché il prodotto e⋅f è positivo.
Quando la relazione tra effort e flow è tracciata come una curva, il resistore è un elemento non lineare;
se invece la relazione è una linea retta si ha un resistore lineare.
Nel caso specifico di resistore lineare si introduce un coefficiente, la resistenza, o il suo inverso, la
conduttanza. Le relazioni di resistenza sono sintetizzate nella tabella seguente.
Dominio
Variabili
generalizzate
Traslazione
meccanica
Rotazione
meccanica
Sistemi
idraulici
Sistemi
elettrici
Relazione
Generale
( f ) Φ =
e R
−1
f = Φ R ( e)
F R (v)
Φ =
−1
v = Φ R ( F)
τ R (ω)
Φ =
−1
ω = Φ R ( τ )
P R (Q)
Φ =
−
Q = Φ R
e R Φ =
−
i = Φ R
1
( P)
(i)
1
( e)
Relazione
Lineare
e = R ⋅ f
f = Ge = e / R
F = β ⋅ v
τ = cω
P = RQ
e = R ⋅ i
i = Ge = e / R
[R]=[V/A]=[Ω] [R]=[V/A]=[Ω]
SI Ingegneria
[R]=[e]/[f] [R]=[e]/[f]
[β]=[N⋅s/m] [β]=[Kgf⋅s/m]
[c]=[N⋅m⋅s] [c]=[Kgf⋅m⋅s]
[R]=[N⋅s/m 5 ] [R]=[Kgf⋅s/m 5 ]
Per convenzione si può stabilire la seguente regola: per i resistori passivi, si stabilisce la convenzione
di segno di potenza per mezzo di una mezza freccia che punta verso il resistore. I parametri
di resistenza lineare saranno positivi, e le reazioni non lineari cadranno nel primo e terzo quadrante
del piano e-f.
Il simbolo Φ indica una relazione generale tra due variabili, che può essere letta in due modi:
l’effort può essere trovato se è dato un flow oppure il flow può essere trovato se è dato un effort.
Questo necessita della definizione sia della funzione diretta Φ che della sua inversa Φ -1 .
3.1.2 Elemento C
Il condensatore 1-port è un elemento che stabilisce un legame tra effort e spostamento generalizzato.
Questo dispositivo immagazzina e rilascia energia senza perdite. In termini fisici, un condensatore
è un’idealizzazione di elementi come molle, barre di torsione, condensatori elettrici, vasche gravitazionali
e accumulatori.
Il simbolo del Bond Graph, la relazione costitutiva e alcuni esempi fisici nei vari domini sono mostrati
nella successiva figura. C’è da notare che se la convenzione di segno è simile a quella usata
per i resistori, il prodotto ef rappresenta la potenza che fluisce verso il condensatore e l’energia immagazzinata
all’istante t è:
E(
t)
= e(
t)
f ( t)
dt + E
L’energia immagazzinata inizialmente all’istante t=0 è E0.
t
0
0
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Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Dalla definizione di spostamento generalizzato q, si può ricavare che e è funzione di q e quindi
l’energia può essere riscritta come:
q
E(
q)
= e(
q)
dq + E0
q0
E(
q)
=
q
q0
e(
q)
dq
In questo caso E0 è l’energia immagazzinata inizialmente per q=q0. Di solito si stabilisce che il termine
E0 è nullo.
L’operazione indicata nella figura (a) può essere interpretata nel modo seguente: al variare di q
l’area sotto la curva e-q varia e questa area è pari a E. La conservazione di energia per l’elemento C
è abbastanza ovvio. Se q va da q0 a q l’energia è immagazzinata; se q ritorna a q0 l’energia immagazzinata
sparisce. Il flusso di potenza nella porta, dopo l’immagazzinamento di energia, cambia
verso e la potenza fluisce fuori dalla porta. Durante il processo non c’è perdita di energia.
Nella tabella seguente sono sintetizzate le relazioni che caratterizzano i condensatori. Per i sistemi
meccanici è usata anche la costante di elasticità k, oltre alla deformabilità C=1/k, che è l’analogo
della capacità elettrica.
Dominio
Variabili
generalizzate
Traslazione
meccanica
Rotazione
meccanica
Sistemi
idraulici
Sistemi
elettrici
3.1.3 Elemento I
Relazione
Generale
(e)
Φ =
q C
−
e = Φ C
x C Φ =
−
F = Φ C
1
( q)
(F )
1
( x)
θ C (τ ) Φ =
−1
τ Φ ( θ )
= C
V C Φ =
−
P = Φ C
q C Φ =
−
e = Φ C
(P)
1
( V )
(e)
1
( q)
Relazione
Lineare
q = C ⋅ e
e = q / C
x = C ⋅ f
f = k ⋅ x
θ = Cτ
τ = kθ
V = CP
P = V / C
q = C ⋅ e
e = q / C
[R]=[A⋅s/V]=[F] [R]=[A⋅s/V]=[F]
SI Ingegneria
[C]=[q]/[e]
[1/C]=[e]/[q]
[C]=[m/N]
[k]=[N/m]
[C]=[rad/N⋅m]
[k]=[N⋅m/rad]
[C]=[q]/[e]
[1/C]=[e]/[q]
[C]=[m/Kgf]
[k]=[Kgf/m]
[C]=[rad/Kgf⋅m]
[k]=[Kgf⋅m/rad]
[C]=[m 5 /N] [C]=[m 5 /Kgf]
L’inerzia generalizzata 1-port è un elemento che stabilisce un legame tra momento generalizzato p e
flusso f. Il simbolo Bond Graph dell’inerzia, la relazione costitutiva e alcuni esempi nei vari domini
10

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
sono visualizzati nella figura seguente. L’inerzia è utilizzata per modellizzare gli effetti induttivi nei
sistemi elettrici e la massa o gli effetti inerziali nei sistemi meccanici e idraulici.
Usando la convenzione come in figura (a), la potenza fluisce nell’elemento I secondo l’espressione
seguente, utilizzando la definizione di momento generalizzato:
p
E(
p)
= f ( p)
dp + E0
p0
E(
p)
=
p
p0
f ( p)
dp
se l’energia svanisce quando si azzera f e se p0 corrisponde al punto del diagramma f-p in cui f=0.
L’energia è l’area sotto la caratteristica f-p tra p0 e p.
Dominio
Variabili
generalizzate
Traslazione
meccanica
Rotazione
meccanica
Sistemi
idraulici
Sistemi
elettrici
Relazione
Generale
( f ) Φ =
p I
−
f = Φ I
p I Φ =
−
v = Φ I
pτ = Φ I
1
( p)
(v)
1
( p)
(ω)
−1
ω = Φ ( p
I
p p = Φ I
Q = Φ
λ =
i
−1
I
Φ
τ
)
(Q)
( p
(i)
p
I
−1
= Φ I ( λ)
)
Relazione
Lineare
p = I ⋅ f
f = p / I
p = m ⋅ v
v = p / m
p = Jω
τ
ω =
p /
τ
J
p p = IQ
Q = p p / I
λ = L ⋅ i
i = λ / L
[L]=[V⋅ s/A]=[H] [L]=[V⋅ s/A]=[H]
SI Ingegneria
[I]=[p]/[f] [I]=[p]/[f]
[m]=[N⋅s 2 /m] [m]=[Kgf⋅s 2 /m]=[Kg]
[J]=[N⋅m⋅s 2 ] [J]=[Kgf⋅m⋅s 2 ]
[C]=[N⋅ s 2 /m 5 ] [C]=[Kgf⋅ s 2 /m 5 ]
Nella precedente tabella sono mostrate le relazioni constitutive per l’inerzia.
11

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Spesso l’energia associata al condensatore è chiamata energia potenziale, mentre quella associata
all’inerzia generalizzata è chiamata energia cinetica. Questi nomi sono prevalentemente riferiti ai
sistemi meccanici. Nei sistemi elettrici le due forme di energia di solito prendono il nome rispettivamente
di energia elettrica e energia magnetica.
Ricordando i tre elementi R, C e I 1-port, il tetraedro presentato precedentemente si arricchisce di
nuove grandezze. Osservando la figura, notiamo che abbiamo le relazioni su 5 dei 6 lati del tetraedro.
Il sesto lato, quello che legherebbe p e q è nascosto, infatti non c’è nessuna relazione esplicita
tra momento generalizzato e spostamento generalizzato.
3.1.4 Sorgenti
Infine è comodo introdurre altri due elementi: la sorgente di effort e la sorgente di flow. Le sorgenti
1-port sono versioni idealizzate di batterie, sorgenti di pressione, shaker, sistemi a flusso costante e
così via. In ogni caso, la grandezza di effort oppure di flow è mantenuta sensibilmente costante, indipendentemente
dalla potenza fornita o assorbita dalla sorgente, oppure è una funzione definita nel
tempo.
La tabella seguente mostra i simboli e le relazioni costitutive delle sorgenti. Tipicamente le sorgenti
forniscono potenza al sistema. Questo è in accordo con la convenzione di segno della mezza freccia
mostrata, che implica che quando il prodotto e(t)f(t) è positivo, la potenza fluisce dalla sorgente al
sistema a cui è collegata. Poiché la sorgente mantiene una delle variabili di potenza costante, non
importa quanto valga l’altra variabile.
Dominio Simbolo Bond Graph Relazione
Variabili
generalizzate
Traslazione
meccanica
Rotazione
meccanica
Sistemi
idraulici
Sistemi
elettrici
d
dt
p
Se
Sf
dt
SF
Sv
Sτ
Sω
SP
SQ
Se
Si
I
e
R
f
C
dt
q
d
dt
e(t) imposta; f(t) qualunque
f(t) imposta; e(t) qualunque
F(t) imposta; v(t) qualunque
v(t) imposta; F(t) qualunque
τ (t) imposta; ω(t) qualunque
ω(t) imposta; τ (t) qualunque
P(t) imposta; Q(t) qualunque
Q(t) imposta; P(t) qualunque
e(t) imposta; i(t) qualunque
i(t) imposta; e(t) qualunque
12

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
3.1.5 Causalità degli elementi
Le sorgenti di effort e flow sono le più facili da discutere da un punto di vista causale, visto che, per
definizione, una sorgente imprime o un effort oppure un flow qualsiasi sia il sistema connesso. Per
questo motivo la causalità è già stata inserita precedentemente descrivendo le sorgenti.
In contrapposizione alle sorgenti, i resistori 1-port sono normalmente indifferenti alla causalità imposta
ad essi. Le due possibilità possono essere rappresentate come:
( f ) Φ = ; ) (
−1
= Φ e
e R
f R
nelle quali la grandezza a sinistra dell’uguale corrisponde alla grandezza di uscita (dipendente) e
quella a destra dell’uguale la grandezza di ingresso (indipendente). Per questo motivo i due simboli
causali sono interscambiabili.
Le leggi costitutive degli elementi C e I sono espresse come relazioni statiche tra e e q e tra f e p rispettivamente.
Esprimendo le relazioni causali tra gli effort e i flow, troviamo che la scelta della
causalità ha un importante effetto. In relazione al condensatore possiamo scrivere:
e = Φ
−1
C
t
fdt
d
dt
; = Φ ( e)
f C
in cui la causalità è impressa dalla forma dell’equazione. I due tipi di causalità vengono chiamati rispettivamente
causalità integrativa e causalità derivativa. Per motivi di calcolo numerico, è preferibile
usare la causalità integrativa, cioè quando l’ingresso è costituito dalla variabile flusso e
l’uscita dalla variabile intensità.
Elemento Forma causale Bond Graph Relazione causale Relazione lineare
Sorgente di effort
Sorgente di flow
Resistore R
Condensatore C
Inerzia gen. I
Se
Sf
R
R
C
C
I
I
e(t) = E(t) e(t) = E(t)
f(t) = F(t) f(t) = F(t)
e R Φ =
−
f = Φ R
e = Φ
−1
C
d
dt
( f )
f = Φ C
f = Φ
=
d
dt
−1
I
e I
1
( e)
t
Φ
t
fdt
( e)
edt
( f )
e =
e = R ⋅ f
f = e / R
t
fdt
de
f = C
dt
f = I
t
edt
df
e = I
dt
Poiché l’inerzia generalizzata è il duale del condensatore, si hanno effetti simili nella scelta della
causalità. Riscrivendo le relazioni dell’elemento si ha:
f = Φ
−1
I
t
edt
d
dt
; = Φ ( f )
e I
C
13

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Anche in questo caso si hanno due tipi di causalità chiamati rispettivamente causalità integrativa e
causalità derivativa. Per motivi di calcolo numerico, è preferibile usare la causalità integrativa,
cioè quando l’ingresso è costituito dalla variabile intensità e l’uscita dalla variabile flusso.
Tutte le osservazioni appena fatte sono descritte nella tabella precedente.
3.2 ELEMENTI 2-PORT
Un elemento a doppia porta (2-port) è indirizzato attraverso due porte energetiche e ad esse esistono
due paia di variabili intensità e flusso. Attraverso questi elementi avvengono scambi di energia tra
sistemi di domini diversi. Di fatto sono necessarie solo due tipi di elementi base 2-port. Esisterebbero
di certo un numero infinito di sottosistemi 2-port, ma discutiamo solo quelli base.
Le 2-port di cui parliamo sono ideali nel senso specifico che la potenza viene conservata. Il simbolo
generale per un elemento 2-port è il seguente:
La conservazione di potenza impone che a ogni istante di tempo si abbia:
( t)
f ( t)
e ( t)
f ( t)
e1 1 = 2 2
La convenzione di segno utilizzata nell’equazione e mostrata nel Bond Graph è una convenzione di
attraversamento di potenza, nel senso che la potenza ha un flusso attraverso l’elemento 2-port.
3.2.1 Trasformatore
e1
f1
TP
Un modo di soddisfare il bilanciamento di potenza è utilizzare le seguenti leggi costitutive, per realizzare
un elemento chiamato trasformatore:
e2
f2
e =
1 = k ⋅ e2
; kf1
f 2
14

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Il simbolo k è la costante di trasformazione e i numeri 1 e 2 si riferiscono alle due porte del trasformatore.
Nella precedente figura sono mostrati degli elementi che possono essere modellizzati come trasformatori,
in vari domini, come la leva rigida ideale (b), il motoriduttore (c), il trasformatore elettrico
(d) e il pistone idraulico (e).
Naturalmente, nessun dispositivo fisico combacia perfettamente con il trasformatore, se non con alcune
restrizioni. Quindi i modelli reali dei dispositivi possono essere realizzati usando il trasformatore
ideale e altri multiporta per tener conto degli effetti non ideali, se essi sono rilevanti.
3.2.2 Giratore
Un altro modo di soddisfare il bilanciamento di potenza è utilizzare le seguenti leggi costitutive, per
realizzare un elemento chiamato giratore:
e =
1 = r ⋅ f 2;
r ⋅ f1
e2
Il giratore non accumula né dissipa energia e converte un ingresso in flusso in un’uscita in intensità
e viceversa.
Il simbolo r è il modulo del giratore e la convenzione di segno di attraversamento si deduce dal simbolo
grafico.
La figura mostra alcuni dispositivi fisici che sono approssimativamente dei giratori, come il giratore
elettrico (b), il giratore meccanico (c) e il voice coil (attuatore a bobina mobile – d).
Un giratore è un elemento ancora più fondamentale di un trasformatore, infatti due giratori in cascata
sono equivalenti a un trasformatore:
e1
f1
GY1
1
1
2
2
2
3
e1
( r1
/ r2
) 3
( r1
/ r2
) f1
3
e = r ⋅ f ; r ⋅ f = e → = e
r ⋅ f = e ; e = r ⋅ f → = f
1
1
e2
f2
2
GY2
2
e3
f3
2
3
e1
f1
TF
e3
f3
15

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
In contrasto ai giratori, più trasformatori in cascata sono equivalenti a un altro trasformatore:
e 1 = k1
⋅ e2
; e2
= k2
⋅ e3
→ e1
= k1k
2e3
1 ⋅ f1
= f 2;
k2
⋅ f 2 = f 3 → k1k
2 f1
f 3
k =
E’ inoltre importante notare che il giratore scambia essenzialmente le relazioni di effort e flow,
quindi l’effort a una porta del giratore corrisponde al flow all’altra porta e viceversa. Quindi una
combinazione di un giratore con una inerzia generalizzata è equivalente a un elemento C; allo stesso
modo la cascata di un giratore e un condensatore è equivalente a un elemento I.
e1
f1
e
1
GY
r
= r ⋅ f 2 = p2
I
r
=
I
r
=
I
2
r
rf1dt
= q1
I
e dt =
2
e2
1
f1
= = q2
r Cr
1
=
Cr
f 2dt
=
1
=
Cr
e1
1
dt = 2
r Cr
p1
Se le grandezze k e r non sono costanti, si ottengono il trasformatore modulato e il giratore modulato,
che continuano a mantenere la proprietà di conservazione della potenza.
Le grandezze k e r sono mostrate come segnali su un vincolo attivo. Questo vuol dire che nessuna
potenza è associata ai cambi di k e r.
3.2.3 Causalità degli elementi
e2
f2
e1
f1
TF1
Secondo le relazioni costitutive degli elementi 2-port, esistono solo due possibili causalità per ciascuno
di essi, sintetizzate nella tabella seguente.
Elemento Forma causale Bond Graph Relazione causale
Trasformatore, TF
Giratore, GY
e2
f2
TF2
e1
I C
f1
e3
f3
e1 e2
TF
f1 f2
e1
f1
TF
e1(t) = ke2(t)
f2(t) = kf1(t)
f1(t) = f2(t)/k
e2(t) = e1(t)/k
e1(t) = rf2(t)
e2(t) = rf1(t)
f1(t) = e2(t)/r
f2(t) = e1(t)/r
Quando un effort o un flow è assegnato come ingresso nel trasformatore, corrispondentemente un
flow o un effort è costretto ad essere l’uscita. Quindi nel trasformatore si ha sempre un effort in
ingresso in una porta e un flow in uscita dall’altra porta o viceversa.
e2
f2
e1 e2
GY
f1 f2
e1
f1
GY
e2
f2
e1
f1
e1
f1
GY
TF3
e2
f2
e3
f3
e1
C I
f1
16

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Quando un effort o un flow è assegnato come ingresso nel giratore, corrispondentemente un effort o
un flow è costretto ad essere l’uscita. Quindi nel giratore si ha sempre un effort in ingresso in una
porta e un effort in uscita dall’altra porta o un flow in ingresso in una porta e un flow in uscita
dall’altra porta.
3.3 ELEMENTI DI GIUNZIONE 3-PORT
Introduciamo ora 2 componenti 3-port che, come i 2-port, non consumano potenza. Questi 3-port
sono chiamati giunzioni, visto che servono a interconnettere altri multiporta nei modelli di sistemi e
sottosistemi. Le giunzioni rappresentano una delle più fondamentali idee dietro al formalismo dei
Bond Graph. L’idea è rappresentare sotto forma di multiporta i due tipi di connessione che, in termini
elettrici, sono chiamati serie e parallelo.
3.3.1 Giunzione parallelo (common effort – 0)
Il simbolo di questa giunzione è uno 0 con 3 (o più) linee di vincolo su di esso.
Osservando la seconda figura, con la convenzione dei segni della potenza, si può scrivere:
e
2
0
1 3
t)
= e ( t)
= e ( t);
f ( t)
+ f ( t)
+ f ( t)
= 0
1 ( 2 3
1 2 3
In pratica, per una giunzione 0, gli effort sono tutti identici e la somma algebrica dei flow è 0.
Messe insieme le due relazioni otteniamo che la potenza globale è 0:
e 1 ( t)
f1(
t)
+ e2
( t)
f 2 ( t)
+ e3
( t)
f 3(
t)
= 0
Questo vuol dire che se la potenza entra nella giunzione da due delle porte, deve per forza uscire
dalla terza porta.
La figura seguente mostra l’uso della giunzione 0 nei vari domini.
L’esempio più ovvio riguarda i sistemi elettrici in cui, come si vede nella figura, si realizza un vero
e proprio parallelo.
e1
f1
e2 f2
0
e3
f3
17

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Per comprendere meglio il significato e l’uso della giunzione 0, osserviamo la seguente tabella:
Dominio Rappresentazione
Circuiti
elettrici
Legge di Kirchoff delle correnti per un nodo di connessione
Sistemi Compatibilità geometrica per una situazione che comprende
meccanici una forza e più velocità la cui somma algebrica è nulla
Sistemi
Conservazione della portata a un punto dove si connettono più condotte
idraulici
La proprietà della giunzione 0 a 3 porte può essere estesa a n porte: le giunzioni n-port hanno un effort
comune e la somma algebrica dei flow è nulla.
Due giunzioni 0 consecutive possono essere trasformate in un’unica giunzione 0 e inoltre una giunzione
0 con due sole porte (flusso di potenza concorde), la cosiddetta giunzione passante, equivale a
una porta unica, come descritto nelle figure seguenti.
3.3.2 Giunzione serie (common flow – 1)
e1
f1
e2 f2
0
La giunzione duale rispetto alla parallelo, è la giunzione serie, in cui i flow sono tutti identici, mentre
la somma algebrica degli effort è nulla.
Il simbolo di questa giunzione è un 1 con 3 (o più) linee di vincolo su di esso.
Osservando la seconda figura, con la convenzione dei segni della potenza, si può scrivere:
e 1(
t)
+ e2
( t)
+ e3
( t)
= 0;
f1(
t)
= f 2 ( t)
= f 3 ( t)
Messe insieme le due relazioni otteniamo che la potenza globale è 0:
e3
f3
e1
f1
2
0
e4 f4
0
1
1 3
e5
f5
e2
f2
e 1 ( t)
f1(
t)
+ e2
( t)
f 2 ( t)
+ e3
( t)
f 3(
t)
= 0
Anche in questo caso, se la potenza entra nella giunzione da due delle porte, deve per forza uscire
dalla terza porta.
La figura seguente mostra l’uso della giunzione 1 nei vari domini.
e1
f1
e2 f2
0
e4 f4
e1=e2
f1=f2
e1
f1
e2 f2
1
e5
f5
e3
f3
18

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
L’esempio più ovvio riguarda i sistemi elettrici in cui, come si vede nella figura, si realizza una vera
e propria serie.
Per comprendere meglio il significato e l’uso della giunzione 1, osserviamo la seguente tabella:
Dominio Rappresentazione
Circuiti
elettrici
Legge di Kirchoff delle tensioni per una maglia con una corrente
Sistemi Equilibrio dinamico delle forze associate a una singola velocità –
meccanici
se è presente una massa si ha la legge di Newton
Sistemi
Requisito che la somma delle pressioni in un circuito con un solo flusso sia nulla
idraulici
La proprietà della giunzione 1 a 3 porte può essere estesa a n porte: le giunzioni n-port hanno un
flow comune e la somma algebrica degli effort è nulla.
Due giunzioni 1 consecutive possono essere trasformate in un’unica giunzione 1 e inoltre una giunzione
1 con due sole porte (flusso di potenza concorde), la cosiddetta giunzione passante, equivale a
una porta unica, come descritto nelle figure seguenti.
3.3.3 Causalità delle giunzioni
e1
f1
e2 f2
1
e1
f1
e3
f3
1
e4 f4
1
e2
f2
e5
f5
Le relazioni costitutive della giunzione 0 indicano che tutti gli effort sui vincoli sono uguali e la
somma algebrica dei flow deve essere nulla. Quindi, se su un vincolo l’effort è un ingresso, di una
giunzione 0, tutti gli altri effort si determinano di conseguenza, e devono essere quindi delle uscite
della giunzione. Dualmente, se tutti i flussi sui vincoli, eccetto uno, sono degli ingressi, il flusso sul
rimanente vincolo è determinato e deve essere in uscita. Quindi, per quanto riguarda la giunzione 0,
la causalità impone un solo effort in ingresso e tutti gli altri in uscita, estendendo il concetto a una
giunzione n-port.
Le relazioni costitutive della giunzione 1 indicano invece che tutti i flow sui vincoli sono uguali e la
somma algebrica degli effort deve essere nulla. Quindi, se su un vincolo il flow è un ingresso, di
una giunzione 1, tutti gli altri flow si determinano di conseguenza, e devono essere quindi delle uscite
della giunzione. Dualmente, se tutte le intensità sui vincoli, eccetto uno, sono degli ingressi,
e1
f1
e1=e2
f1=f2
e2 f2
1
e4 f4
e5
f5
19

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
l’intensità sul rimanente vincolo è determinata e deve essere in uscita. Quindi, per quanto riguarda
la giunzione 1, la causalità impone un solo flow in ingresso e tutti gli altri in uscita, estendendo il
concetto a una giunzione n-port.
Queste considerazioni sono riassunte nella tabella seguente.
Elemento Forma causale Bond Graph Relazione causale
Giunzione 0
Giunzione 1
3.4 CAUSALITÀ E DIAGRAMMI A BLOCCHI
e1
f1
e1
f1
e2 f2
0
e2 f2
1
e2(t) = e1(t)
e3(t) = e1(t)
f1(t) = -(f2(t)+f3(t))
f2(t) = f1(t)
f3(t) = f1(t)
e1(t) = -(e2(t)+e3(t))
I diagrammi a blocchi indicano le quantità in ingresso e in uscita per ciascun blocco e quindi si riferiscono
alla causalità. Quando i segmenti di causalità sono inseriti nel Bond Graph, è possibile rappresentare
questa informazione attraverso un diagramma a blocchi. Nella figura seguente sono riportati
i diagrammi a blocchi corrispondenti agli elementi base.
e
f
e
f
e
f=q’
e
f=q’
e=p’
f
e=p’
f
R
R
C
C
I
I
Elementi 1-port
f
e
e
f
f
e
e
f
e
f
f
e
ΦR
ΦR -1
ΦC -1
ΦC
d/dt
ΦI -1
ΦI
d/dt
q
q
p
q
Elementi 2-port
Giunzioni 3-port
e3
f3
e3
f3
e1 e2
TF
f1 f2
e1
f1
e1
f1
TF
e1 e2
GY
f1 f2
e1
f1
e1
f1
GY
e2 f2
0
e2 f2
1
e2
f2
e3
f3
e3
f3
e2
f2
f1
e1
e1
f1
f1
e1
e1
f1
e1
f1
f1
e1
k
k
1/k
1/k
r
r
1/r
1/r
f2
e2
e2
f2
e2 f2
f2
-
+
-
e2
-
+
-
f2
e2
e2
f2
e3
f3
f3
e3
20

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
E’ possibile correlare i segnali nei diagrammi a blocchi con le equazioni nelle tabelle e con la rappresentazione
dei Bond-Graph.
Quando si mantiene rigorosamente la disposizione spaziale con gli effort sopra o a sinistra dei vincoli
e i flow sotto o a destra, i diagrammi a blocchi hanno forme standard.
Un diagramma a blocchi è più complicato graficamente di un Bond-Graph perché un singolo vincolo
implica due flussi di segnali. Inizialmente di diagrammi a blocchi sono più facili da capire perché
contengono informazioni ridondanti. Per sistemi già più complessi, comunque, i diagrammi a blocchi
diventano rapidamente così complessi che la concisione dei Bond-Graph è un vantaggio.
4. MODELLI DEI SISTEMI
Ora siamo pronti a modellizzare qualunque sistema, con i componenti base multiporta. Tutto ciò
che bisogna fare è armarsi dei componenti base C, I, R, Se, Sf, 0, 1, TF, GY, per rappresentare tramite
un Bond-Graph qualsiasi sistema fisico. In verità non è sempre verò che qualunque sistema può
essere riducibile a un semplice Bond-Graph.
In questo capitolo vediamo come rappresentare circuiti elettrici, sistemi meccanici di traslazione e
di rotazione e circuiti idraulici tramite un Bond-Graph, generalizzando il metodo.
Tutti i sistemi menzionati coinvolgono solo un tipo di potenza e per questo vengono chiamati sistemi
a singolo dominio di energia (single-energy-domain systems). Ci sono però sistemi che coinvolgono
due o più domini energetici, come motori e pompe.
4.1 SISTEMI ELETTRICI
Iniziamo a osservare che un circuito elettrico può essere modellizzato da un Bond-Graph contenente
tutti gli elementi base tranne il trasformatore e il giratore, perché questi sono usati per rappresentare
reti elettriche, o comunque classi più generali di dei circuiti.
4.1.1 Circuiti elettrici
In riferimento alle tabelle degli elementi 1-port, identificare e rappresentare questi elementi è semplice,
ma è più difficile identificare i due terminali di un elemento appaiati come una porta. Il problema
di identificare le forme di connessione (topologia) in termini di collegamenti serie e parallelo
non è facile da risolvere con la sola ispezione.
L
a c b
vac
C R1 R2
iabc
c c c
La figura mostra un semplice circuito passivo in cui ogni nodo è indicato da una lettera. I terminali
allo stesso potenziale hanno la stessa lettera. Analizzando il circuito possiamo notare che: gli elementi
C e R1 hanno la stessa tensione vac, quindi sono in parallelo (nodo 0); gli elementi L e R2 hanno
la stessa corrente iabc, quindi sono in serie (nodo 1). Il Bond-Graph risultante si ottiene unendo
queste due osservazioni e collegando i due nodi. Poiché nel circuito sono specificati i versi della
tensione vac e della corrente iabc, il collegamento tra i nodi 0 e 1 ha una ben specifica direzione di
potenza.
C:C
vac
0
R:R1
iabc
1
R:R2
I:L
21

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Nei vari casi sono possibili 3 situazioni: le variabili dirette di un circuito possono imporre tutte le
direzioni della potenza, imporne alcune, o non imporne nessuna. Nel secondo caso, le restanti direzioni
possono essere scelte a seconda della convenienza sul Bond-Graph.
Molti circuiti che appaiono complessi a prima vista, possono essere ridotti a Bond-Graph molto facilmente.
Ad esempio, nella figura seguente, ci sono molti nodi segnati. Gli elementi E e R1 sono in
serie (nodo 1); gli elementi L1 e C2 sono in parallelo (nodo 0), ma questa sezione è in serie con le
altre parti del circuito; L2 e C3 sono in parallelo e questa sezione è in serie con R2 e il tutto può essere
considerato un elemento 2-port in parallelo ai terminali cd e ef; la condizione di circuito aperto
può essere aggiunta inserendo l’elemento Sf (i=0). L’intero modello si ricava unendo i vari elementi
costituiti in modo appropriato.
E
R1
L1
a c e
C1
C3
C2
R2
L2
b d f
Se:E
1
R:R1
eout
I:L1
Successivamente è necessario determinare il flusso di potenza, come visualizzato della figura successiva,
ricordando le seguenti proprietà:
- il flusso di potenza esce da ogni sorgente;
- il flusso di potenza entra negli elementi C, I e R;
- il flusso di potenza attraversa gli elementi GY e TF;
- il flusso di potenza attraversa le giunzioni 0 e 1.
E
R1
a
b
L1
a c
C2
b d
c
C3
R2
e
L2
d f
C:C3
ab ab cd ef
0 1
0 Sf : 0
C:C1
0
C:C2
R:R2
1
0
I:L2
Se:E
I:L1
1
R:R1
0
ab
C:C2
ab 1 cd
R:R2
1
cd 0
C:C3
ef
0
I:L2
22

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Il metodo di costruzione può essere riassunto come segue:
1- per ogni nodo nel circuito con diverso potenziale indipendente scrivere una giunzione 0;
2- inserire gli elementi 1-port collegandoli a una giunzione 1 e inserendo questa tra le due giuste
giunzioni 0;
3- assegnare la direzione del flusso di potenza usando la convenzione di attraversamento per le
giunzioni;
4- se il circuito ha un potenziale di massa esplicito, eliminare la giunzione 0 a cui è collegato e
il relativo vincolo; se nessun potenziale di massa è esplicito, scegliere una giunzione 0 e eliminarla;
5- semplificare il Bond-Graph risultante sostituendo le giunzioni 0 e 1 che hanno potenze passanti
tramite due soli vincoli; ad esempio:
4.1.2 Reti elettriche
Per estendere la trattazione, bisogna considerare anche gli elementi TF e GY e l’interazione rappresentata
dalle sorgenti controllate.
Il più semplice esempio riguarda il trasformatore ideale, rappresentato nella figura seguente.
Nel caso di sorgenti controllate, come il generatore dipendente all’interno di un amplificatore operazionale,
nel Bond – Graph si fa comparire una freccia del tipo → che collega la variabile indipendente
al generatore dipendente, ricordando che non si ha uno scambio di potenza ma solo di informazione.
4.1.3 Causalità
Se:E
i1 i2
v1 v2
1
R:R1
I:L1
C:C3
ab ab cd ef
0 1
0 Sf : 0
C:C1
Per assegnare le causalità dei sistemi elettrici, è possibile seguire la seguente procedura:
6- assegnare le causalità obbligate dei generatori;
7- propagare le causalità sugli elementi sfruttando le proprietà delle giunzioni 0 e 1;
8- assegnare una causalità integrativa agli elementi I e C e ritornare al punto 7.
0
C:C2
R:R2
1
0
I:L2
1 0 1 1 1
i1
0 0
1
0
v1 v2
TF
k=1
1
0
i2
23

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
4.2 SISTEMI MECCANICI DI TRASLAZIONE
Come per i sistemi elettrici, proviamo a ricavare il Bond-Graph di un semplice sistema meccanico
tramite osservazione. In figura è visualizzato un oscillatore massa – molla – smorzatore in un campo
gravitazionale. La velocità di riferimento, data dal pieno superiore fisso, è nulla e tutte le velocità
relative sono espresse in relazione a questo riferimento. Possiamo considerare separatamente ogni
elemento: la velocità di riferimento è data da una sorgente di flusso; la molla genera una forza proporzionale
all’integrale della differenza di velocità tra vrif e v1; lo smorzatore genera una forza proporzionale
alla stessa differenza di velocità; la massa si muove con la velocità v1 diretta nello stesso
verso della forza di gravità.
g
K β
M
C:K
vrif=0
0
v1
vrif
v1
Sf:0
1
1
I:M
0
Sf:0
vrif 1
Se:Mg
R:β
C:K
Molti sistemi meccanici non richiedono altro che un’estensione del metodo citato per i sistemi elettrici,
che consiste nei seguenti passi:
1- per ogni velocità indipendente scrivere una giunzione 1; alcune rappresentano velocità relative,
altre velocità assolute;
2- inserire gli elementi 1-port collegandoli a una giunzione 0 e inserendo questa tra le due giuste
giunzioni 1; le inerzie vanno collegate alla rispettiva giunzione 1;
3- assegnare la direzione del flusso di potenza usando la convenzione di attraversamento per le
giunzioni;
4- se il circuito ha velocità nulle, eliminare la giunzione 1 a cui sono collegate e i relativi vincoli;
5- semplificare il Bond-Graph risultante sostituendo le giunzioni 0 e 1 che hanno potenze passanti
tramite due soli vincoli; ad esempio:
0
vrif
v1
1
1
0
C:K
R:β
R:β
1
I:M
0 1 0 0 0
v1 1 1
I:M
Se:Mg
v1
Se:Mg
24

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
6- assegnare le causalità obbligate dei generatori di velocità e forza;
7- propagare le causalità sugli elementi sfruttando le proprietà delle giunzioni 0 e 1;
8- assegnare una causalità integrativa agli elementi I e C e ritornare al punto 7.
4.3 SISTEMI MECCANICI DI ROTAZIONE (ASSE FISSO)
Sistemi meccanici rotativi compaiono in varie macchine e hanno grande importanza pratica. Fortunatamente
la loro modellizzazione non è troppo difficile. Si può utilizzare la stessa procedura valida
per i sistemi meccanici di traslazione con piccole modifiche per adattarli alla rotazione. Il metodo di
costruzione dei Bond-Graph può essere il seguente:
1- per ogni velocità angolare indipendente scrivere una giunzione 1; alcune rappresentano velocità
angolari relative, altre velocità angolari assolute;
2- inserire gli elementi 1-port collegandoli a una giunzione 0 e inserendo questa tra le due giuste
giunzioni 1; le inerzie e i vincoli di velocità vanno collegati alla rispettiva giunzione 1;
3- assegnare la direzione del flusso di potenza usando la convenzione di attraversamento per le
giunzioni;
4- se il circuito ha velocità nulle, eliminare la giunzione 1 a cui sono collegate e i vincoli;
5- semplificare il Bond-Graph risultante sostituendo le giunzioni 0 e 1 che hanno potenze passanti
tramite due soli vincoli;
6- assegnare le causalità obbligate dei generatori di coppia e velocità angolare;
7- propagare le causalità sugli elementi sfruttando le proprietà delle giunzioni 0 e 1;
8- assegnare una causalità integrativa agli elementi I e C e ritornare al punto 7.
4.4 SISTEMI IDRAULICI
I sistemi meccanici fluidi sono tra i più difficili da modellizzare, analizzare e predire nel comportamento
dinamico. Un sottoinsieme di essi sono i sistemi idraulici, che sono abbastanza facili da trattare
con i Bond-Graph. Essi sono caratterizzati da alte pressioni, flussi a bassa velocità, e i modelli
che facciamo sono basati sull’ipotesi che tutta la potenza del fluido è il prodotto di una pressione e
una portata. Per modellizzare i sistemi idraulici utilizziamo la seguente procedura:
1- per ogni pressione indipendente scrivere una giunzione 0;
2- inserire gli elementi 1-port collegandoli a una giunzione 1 e inserendo questa tra le due giuste
giunzioni 0; aggiungere le sorgenti di pressione e flusso;
3- assegnare la direzione del flusso di potenza usando la convenzione di attraversamento per le
giunzioni;
4- definire tutte le pressioni relative al riferimento (di solito la pressione atmosferica) e eliminare
la giunzione 0 di riferimento e il relativo vincolo;
5- semplificare il Bond-Graph risultante sostituendo le giunzioni 0 e 1 che hanno potenze passanti
tramite due soli vincoli;
6- assegnare le causalità obbligate dei generatori di coppia e velocità angolare;
7- propagare le causalità sugli elementi sfruttando le proprietà delle giunzioni 0 e 1;
8- assegnare una causalità integrativa agli elementi I e C e ritornare al punto 7.
4.5 MODELLI DI SEMPLICI TRASDUTTORI
I trasduttori sono dispositivi che accoppiano domini diversi di energia. Possono avere due o più porte
e possono essere attivi o passivi.
Nella figura successiva vengono mostrati alcuni trasduttori molto utilizzati.
25

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
L’accoppiamento a giratore è molto comune nei dispositivi elettromeccanici come generatori, motori
e altoparlanti elettrodinamici.
5. EQUAZIONI DI STATO
5.1 FORMA STANDARD PER LE EQUAZIONI DEI SISTEMI
Ci sono due forme limite di rappresentazione per i sistemi di equazioni differenziali, più una lunga
serie di possibilità intermedie. Un sistema di ordine n può essere rappresentato da:
1- una singola equazione di ordine n in termini di una sola incognita;
2- varie combinazioni di incognite e equazioni di ordine appropriato;
3- n equazioni del primo ordine accoppiate in termini di n incognite.
Nello studio dei sistemi ingegneristici tramite i Bond-Graph, c’è l’opportunità ideale di iniziare la
formulazione in termini di variabili fisiche significative e generare simultaneamente set di equazioni
del primo ordine dal Bond-Graph.
Quando il sistema che viene studiato, è non lineare, la sua forma è data da:
x ( t)
= φ ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u )
1
2
1
2
1
1
1
2
x ( t)
= φ ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u )
2
x ( t)
= φ ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u )
n
n
2
n
n
n
1
1
1
2
2
2
r
r
r
x(
t)
= φ(
x(
t),
u(
t))
dove xi sono le variabili di stato, i
x le derivate nel tempo, ui gli ingressi del sistema e φi sono un set
di funzioni.
26

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Se invece il sistema è lineare, le precedenti equazioni prendono una forma più semplice:
x ( t)
= a
1
2
11
x ( t)
= a
21
x ( t)
= a
n
x
n1
1
x
x
1
1
+ a
12
+ a
+ a
22
x
n2
2
x
x
2
2
+ ... + a
1n
+ ... + a
+ ... + a
x + b u + b u + ... + b u
2n
nn
n
x
x
n
n
11
+ b
+ b
21
n1
1
u
u
1
1
12
+ b
+ b
22
n2
2
u
u
2
2
1r
+ ... + b
+ ... + b
dove i termini aij e bij sono costanti in molti casi. Per i sistemi lineari tempo-varianti aij e bij possono
dipendere dal tempo, ma non devono dipendere dalle variabili xi di stato.
5.2 RIFINITURA DEL BOND-GRAPH
Prima di scrivere le equazioni è meglio preparare il Bond-Graph con informazioni addizionali che
renderanno più facile la scrittura delle equazioni. I passi più importanti sono:
2r
nr
r
u
u
r
r
x(
t)
n×
1
= A
1- numerare consecutivamente tutti i vincoli;
2- assegnare a ogni vincolo una direzione della potenza come riferimento;
3- assegnare a ogni vincolo una causalità per la variabili di effort e flow.
Numerare i vincoli significa che è possibile riferirsi a ogni variabile del sistema direttamente e univocamente
(ad esempio e4, f7, p3, q11).
Assegnare le direzioni del flusso di potenza può essere fatto in due modi: si può scegliere una direzione
di riferimento nel sistema originale per ogni variabile di potenza e trasferire al Bond-Graph le
direzioni di riferimento implicite, oppure mettere le direzioni sul Bond-Graph direttamente e interpretare
le implicazioni nel sistema originale.
A questo punto dovrebbe essere possibile scrivere le equazioni del sistema, se il Bond-Graph è etichettato
e diretto. Per un Bond-Graph a N vincoli ci sono 2N variabili di vincolo (N effort e N flow).
Ogni n-port implica n vincoli tra le variabili associate. Ogni vincolo è adiacente a due multiporta. Il
numero di variabili vincolari e di vincoli sono sempre uguali (non ci sono vincoli aperti). E’ possibile
scrivere tutte le relazioni della multiporta e arrivare a una serie di equazioni del sistema, essenzialmente
non ordinate e non organizzate, ma corrette.
Il terzo passo del processo di rifinitura è l’assegnamento delle causalità. Per questo passo basta applicare
le regole già discusse in precedenza. Nel senso causale esistono due tipi diversi di elementi
del Bond-Graph: le sorgenti (elementi Se e Sf) e le giunzioni (0, 1, TF e GY), che devono rispettare
certe condizioni causali della definizione base. Conseguentemente possiamo asserire che ogni TF e
GY deve avere una delle due possibili forme causali assegnate ad esso. La scelta della forma è generalmente
indicata dall’aggiunta di esso al sistema.
In modo simile, diciamo che ogni giunzione 0 e 1 deve avere una delle sue forme causali assegnate
per la definizione base.
Le variabili energetiche degli elementi C e I (p sugli elementi I e q sugli elementi C) sono le basi
delle variabili di stato del sistema. Come si vedrà, non è sempre possibile fare in modo che questi
elementi abbiano causalità integrativa. Se è forzata una causalità derivativa vuol dire che la variabile
energetica non è algebricamente indipendente dalle altre variabili energetiche e dai vincoli delle
sorgenti. Quindi le variabili energetiche degli elementi con causalità derivativa non sono variabili
di stato indipendenti e possono essere eliminate dalle equazioni finali di stato.
A livello di sistema, la causalità associata agli elementi R è ininfluente. L’eccezione si ha nel caso
di leggi costitutive non lineari che non sono biunivoche (come la frizione Coulombiana).
n×
n
x(
t)
n×
1
+ B
n×
r
u(
t)
27
r×
1

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
La procedura base per l’assegnazione delle causalità può essere riassunta come segue:
1- scegliere una sorgente (Se e Sf) e assegnare la causalità richiesta; estendere immediatamente
le implicazioni di causalità attraverso il Bond-Graph il più possibile, utilizzando le imposizioni
degli elementi di giunzione (0, 1, TF e GY);
2- ripetere il passo 1 per tutte le sorgenti;
3- scegliere un elemento C o I e assegnare una causalità integrativa; estendere immediatamente
le implicazioni di causalità attraverso il Bond-Graph il più possibile, utilizzando le imposizioni
degli elementi di giunzione (0, 1, TF e GY);
4- ripetere il passo 3 fino a esaurire gli elementi C e I; di solito a questo punto tutte le causalità
sono state assegnate, ma se così non fosse procedere ai seguenti passi;
5- scegliere un elemento R senza causalità e assegnare una causalità arbitraria; estendere immediatamente
le implicazioni di causalità attraverso il Bond-Graph il più possibile, utilizzando
le imposizioni degli elementi di giunzione (0, 1, TF e GY);
6- ripetere il passo 5 fino ad esaurire gli elementi R;
7- scegliere i rimanenti vincoli senza causalità e assegnare una causalità arbitraria; estendere
immediatamente le implicazioni di causalità attraverso il Bond-Graph il più possibile, utilizzando
le imposizioni degli elementi di giunzione (0, 1, TF e GY);
8- ripetere il passo 7 fino a esaurire tutti i rimanenti vincoli.
Ci sono diverse situazioni che possono venir fuori nell’applicare le causalità secondo la procedura
data:
1- tutti gli elementi C e I hanno causalità integrativa e il Bond-Graph è completo al passo 4;
2- la causalità è completata usando gli elementi R o i vincoli, come indicato ai passi 5-8;
3- alcuni elementi C o I hanno causalità derivativa.
5.3 FORMULAZIONE DI BASE E RIDUZIONE
Per realizzare una forma base di equazioni, applicabile alla maggior parte dei sistemi, si può utilizzare
la seguente procedura:
1- selezionare le variabili di ingresso, energia e coenergia;
2- formulare il set iniziale di equazioni del sistema;
3- ridurre le equazioni iniziali nella forma dello spazio degli stati.
La selezione degli ingressi è univoca: per ogni elemento di sorgente scrivere sul Bond-Graph la variabile
di ingresso del sistema. Queste variabili appariranno nelle equazioni di stato finali se hanno
effetto sul comportamento del sistema. Il vettore delle variabili di ingresso viene chiamata U.
La selezione delle variabili di stato è compiuta con la scelta delle variabili di energia degli elementi
C e I con causalità integrativa, poiché in questo caso le variabili sono indipendenti da tutte le altre.
Scegliamo come variabili di stato le variabili p sugli elementi I e le variabili q sugli elementi C. Il
vettore delle variabili di stato viene chiamato X. Sul Bond-Graph scriviamo p e q sui vincoli appropriati,
rappresentando gli effort e i flow corrispondenti di ogni p e q.
Oltre alle variabili di ingresso e di stato, è utile scrivere il set di variabili coenergetiche, cioè i f sugli
elementi I e gli e sugli elementi C. Queste variabili verranno eliminate nel corso della formulazione
nel processo di riduzione.
5.4 FORMULAZIONE DELLE VARIABILI DI USCITA
Frequentemente c’è bisogno di ricavare l’espressione di particolari variabili di uscita che possono
non essere delle variabili di stato.
28

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Il vettore delle variabili di uscita è di solito chiamato Y. Per sistemi lineari le equazioni di uscita sono
di solito scritte come:
y ( t)
= c
y
1
2
m
11
( t)
= c
21
x + c
m1
1
1
1
12
y ( t)
= c x + c x
22
x + c
x
2
m2
2
x
+ ... + c
2
1n
+ ... + c
2n
+ ... + c
x
n
x
mn
+ d
n
x
11
+ d
n
21
+ d
u + d
1
1
m1
1
12
u + d
u
22
2
u
u + d
2
m2
+ ... + d
2
1r
+ ... + d
u
u
r
2r
u
+ ... + d
dove ci sono n variabili di stato, r variabili di ingresso e m variabili di uscita. In altre parole ogni
uscita è la combinazione lineare di variabili di stato e di ingresso.
6. I CAMPI
6.1 ELEMENTI E CAMPI “C”
La caratteristica di un elemento C (molla, condensatore) è descritta nel seguente grafico (caso lineare).
L’area tratteggiata corrisponde all’energia che viene passata dentro o fuori da una porta, che corrisponde
all’integrale nel tempo della potenza ed è di tipo potenziale:
t
t
r
mr
u
r
y(
t)
E ( t)
≡ P(
t)
dt = e(
t)
f ( t)
dt = e(
t)
dq
P
Nel caso specifico di una molla (q → x) e di un condensatore (q → q) si hanno le relazioni:
x
E ( x)
= F(
t)
dx E ( q)
= V ( t)
dq
P
Questa analisi è corretta se si considera un sistema in cui i coefficienti C (o k) sono unidimensionali,
ma se si considera un sistema in cui C (o k) sono delle matrici n x n, si avranno n x n caratteristiche
e l’elemento C risultante avrà n interfacce verso l’esterno. Questo elemento viene detto campo
C. L’energia immagazzinata dal campo C è esprimibile come:
q
P
q
q
m×
1
= C
m×
n
x(
t)
E ( t)
= e ( t)
dq E ( t)
= F ( t)
dx ; E ( t)
= V ( t)
dq
P
e
i
i
i
E p
P
x
i
i
q = fdt
i
e = q = kq
C
1
P
q
i
i
n×
1
i
+ D
m×
r
u(
t)
29
r×
1

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Il simbolo del campo C è visualizzato nella figura seguente, in cui si nota che tutti i flussi di potenza
entrano nel campo, mentre le causalità dipendono da dove il campo viene inserito.
La i-esima grandezza di effort è data dalla riga i-esima del prodotto Knnn⋅⋅⋅⋅ qnx1, cioè equivale a:
e
i
F ( t)
= k
i
= k
q
i1
1
1
Vi
( t)
=
C
+ k
x
i1
1
i1
q
i2
q
+ k
1
2
i2
x
1
+
C
Poiché la matrice K è simmetrica si ha che:
Poiché l’energia potenziale è data da:
E
P
q
q
k
ij
+ ... + k
2
i2
∂e
=
∂q
q
ij
q
j
+ ... + k
( t)
= e ( t)
dq = 1 1 2 2
i
i
i
i
j
2
ij
x
1
+ ... +
C
=
k
+ ... + k
ji
j
ij
q
j
in
q
+ ... + k
∂e
=
∂q
n
in
x
n
1
+ ... +
C
j
i
1 T
( e ( t)
dq + e ( t)
dq + ... + e ( t)
dq + ... + e ( t)
dq ) = q K q
le grandezze di effort possono essere quindi ricavate dall’energia con la seguente espressione:
e i coefficienti kij risultano:
k
ij
∂e
=
∂q
i
j
∂E
∂
∂q
=
∂q
j
P
i
e
∂E
P
i = ;
∂qi
2
∂ EP
=
∂q
∂q
i
j
=
e
j
k
j
∂E
=
∂q
ji
P
j
∂e
=
∂q
j
i
j
∂E
∂
∂q
=
∂q
i
in
P
j
q
n
n
j
n
2
∂ EP
=
∂q
∂q
Per quanto riguarda i campi C, quindi, si deve avere la seguente equivalenza:
2
∂ EP
∂q
∂q
i
e1
f1
j
e2 f2
en
C
fn
2
∂ EP
=
∂q
∂q
j
e3
f3
i
i
2
30

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
6.1.1 Esempio di campo “C”: trasduttore elettromeccanico
Il trasduttore elettromeccanico in figura può essere visto come un campo C a due porte.
L’energia (potenziale) associata al trasduttore è infatti:
t
i
t
dq(
t)
dx(
t)
E P = [ V ( t)
i(
t)
+ F(
t)
v(
t)
] dt = V ( t)
+ F(
t)
dt = V ( t)
dq + F(
t)
dx
dt dt
che corrisponde alla somma delle energie di un elemento C elettrico e di un elemento C meccanico.
Le grandezze di intensità possono essere ricavate come:
e
e
∂E
=
∂q
P
∂EP
= V ( t);
em
= = F(
t)
∂x
Se imponiamo x costante per calcolare l’energia EP, il trasduttore diventa un condensatore:
L’espressione dell’energia potenziale diventa così:
E
P
=
q
0
q
2
qx 1 q x
V ( t)
dq'=
dq =
εA
2 εA
Dall’espressione dell’energia potenziale si possono ricavare le espressioni di V(t) e F(t):
E
P
2
1 q x
( q,
x)
=
2 εA
Si ha quindi un campo C infatti è verificato che:
V
porta elettrica
V
v
F Porta
meccanica
E p
2
∂ P q
=
∂x∂q
εA
0
∂E
V ( t)
=
∂q
P
∂E
F(
t)
=
∂x
E P
=
q
P
2
∂ E
=
∂q∂x
=
=
q
εA
V
i
qx
εA
2
1 q
2 εA
C
q
F
v
εA
q =
CV = V
x
x
31

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
6.2 ELEMENTI E CAMPI “I”
La caratteristica di un elemento I (inerzia, induttanza) è descritta nel seguente grafico (caso lineare).
L’area tratteggiata corrisponde alla coenergia cinetica che viene passata dentro o fuori da una porta,
che corrisponde all’energia totale meno l’energia cinetica:
*
E ( t)
≡ f ( t)
p(
t)
− E ( t)
=
C
Nel caso specifico di una massa (p → p) e di un’induttanza (p → λ) si hanno le relazioni:
v
x
C
f
pdf
=
f
pdq
E ( v)
= pdv = pdx
E ( i)
= λdi
= λdq
P
Questa analisi è corretta se si considera un sistema in cui i coefficienti I sono unidimensionali, ma
se si considera un sistema in cui I (M o L) sono delle matrici n x n, si avranno n x n caratteristiche e
l’elemento I risultante avrà n interfacce verso l’esterno. Questo elemento viene detto campo I. La
coenergia immagazzinata dal campo I è esprimibile come:
f
*
*
*
E ( t)
= p ( t)
df E ( t)
= p ( t)
dv ; E ( t)
= λ ( t)
di
C
i
i
i
C
Il simbolo del campo I è visualizzato nella figura seguente, in cui si nota che tutti i flussi di potenza
entrano nel campo, mentre le causalità dipendono da dove il campo viene inserito.
La i-esima grandezza di momento generalizzato è data dalla riga i-esima del prodotto Innn⋅⋅⋅⋅ q’nx1,
cioè equivale a:
f
*
EC
i
p = i q + i q + ... + i q + ... + i
i
i1
1
i2
i2
2
p = m x + m x + ... + m x + ... + m
i1
1
2
λ = L q + L q + ... + L q + ... + L
i
i1
1
i2
e1
f1
2
v
i
e2 f2
en
I
fn
ij
ij
P
ij
i
e3
f3
j
j
p = edt
j
i
i
in
q
in
1
f = p
I
C
n
in
q
x
n
q
n
i
i
i
32

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Poiché la matrice I è simmetrica si ha che:
Poiché l’energia potenziale è data da:
E
*
C
q
q
i
ij
∂p
=
∂q
( t)
= pi
( t)
dqi
= 1 1 2 2
i
i
j
=
i
ji
∂p
j
=
∂q
i
1 T
( p ( t)
dq
+ p ( t)
dq
+ ... + p ( t)
dq
+ ... + p ( t)
dq
) = q I q
le grandezze di momento generalizzato possono essere quindi ricavate dall’energia con la seguente
espressione:
*
*
∂EC
∂EC
pi
= ; p j =
∂q
∂q
e i coefficienti iij risultano:
i
ij
∂p
=
∂q
i
j
∂E
∂
∂qi
=
∂q
*
C
j
2
∂ E
=
∂q
∂q
i
*
C
j
i
=
i
ji
j
j
∂E
∂
∂p
j ∂q
j
= =
∂q
∂q
i
j
i
*
C
n
2 *
∂ EC
=
∂q
∂q
Per quanto riguarda i campi I, quindi, si deve avere la seguente equivalenza:
i
ij
∂p
=
∂q
i
j
∂E
∂
∂qi
=
∂q
6.3 CAMPI MISTI “IC” E “CI”
*
C
j
2
∂ E
=
∂q
∂q
i
*
C
j
=
i
ji
∂E
∂
∂p
j ∂q
j
= =
∂q
∂q
i
i
*
C
2 *
∂ EC
=
∂q
∂q
Se le interfacce di un campo si comportano diversamente tra di loro, una come un elemento I e
l’altra come un elemento C, è possibile introdurre dei campi misti. Il discorso può essere naturalmente
esteso per campi misti a n interfacce.
I simboli di un campo IC e di un campo CI a n porte sono rispettivamente:
L’energia può di solito essere espressa come:
e1
f1
e2
f2
t
IC
ei
fi
en
fn
t
[ e ( t)
f ( t)
+ e ( t)
f ( t)
] dt = f dp +
E( t)
= P(
t)
dt = 1 1 2 2
1 1 e2dq
2
e1
f1
e2
f2
p
CI
q
ei
j
j
fi
en
fn
i
i
n
2
33

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
6.3.1 Esempio di campo “IC”: elettromagnete
L’elettromagnete in figura può essere visto come un campo IC a due porte.
L’energia associata all’elettromagnete è infatti:
t
t
dλ(
t)
dx(
t)
E C = [ V ( t)
i(
t)
+ F(
t)
v(
t)
] dt = i(
t)
+ F(
t)
dt = i(
t)
dλ
+ F(
t)
dx
dt dt
che corrisponde alla somma delle energie di un elemento I elettrico e di un elemento C meccanico.
Le grandezze di flow e effort possono essere ricavate come:
f
e
∂EC
∂EC
= = i(
t);
em
= = F(
t)
∂λ
∂x
Se imponiamo x costante per calcolare l’energia EC, l’elettromagnete diventa un’induttanza:
i
v F
Porta meccanica
L’espressione dell’energia cinetica diventa così:
E C
=
λ
0
i(
t)
dλ
=
λ
0
2
1 xλ
λ dλ
= 2
L N Aµ
Dall’espressione dell’energia cinetica si possono ricavare le espressioni di i(t) e F(t):
2
xλ
EC
( λ , x)
= 2
N Aµ
∂
∂
EC
i porta
V elettrica
x
0
λ = V
∂EC
2xλ
i(
t)
= = 2
∂λ
N Aµ
∂EC
F(
t)
=
∂x
=
0
2
λ
2
N Aµ
2
2
EC 2λ
∂ EC
2
= = =
2
2
x∂λ
N Aµ
0 ∂λ∂x
N A
0
V
i
0
λ
µ
0
IC
1 2x
i =
λ = ( µ
2
0

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
6.3.2 Esempio di campo “IC”: generatore di tensione
Il generatore rappresentato in figura può essere visto come un campo IC a tre porte.
Per l’accoppiamento elettrico si può dire che:
λ = L i + L i
r
S
r
r
m r
m S
λ = L i + L i
S
S
con L
L’energia associata al generatore è:
m
= L
m0
sinθ
λ
λ
r
S
=
L
m0
L
r
sinθ
L
m0
sinθ
L
r
i
i
r
S
i
= L
i
t
t
λ
λ
x
dλr
dλ
S dθ
EC = [ Vri
r + VSi
S + τω]
dt = ir
+ iS
+ τ dt = ir
dλr
+ iS
dλS
+ τ dθ
dt dt dt
che corrisponde alla somma delle energie di due elementi I elettrici e di un elemento C meccanico.
Le grandezze di flow e effort possono essere ricavate come:
f
er
∂EC
∂EC
∂EC
= = ir
( t);
f eS = = iS
( t);
em
= = τ ( t)
∂λ
∂λ
∂θ
r
Per calcolare l’energia EC supponiamo l’angolo θ costante (ω=0):
E
C
=
λ
i dλ
+
r
τ
ω
r
λ
i dλ
=
S
Bisogna ora verificare che tra tutte le variabili valga:
r
S
λ
θ
i
i
iS
VS
r
S
S
S
λ
λ
r −1
T
T 1 T
( dλ
dλ
) = [ L ] ( dλ
dλ
) = { λ}
[ L ] { λ}
r
r
ir
Vr
S
2
2
2
2
2
2
∂ EC
∂ EC
∂ EC
∂ EC
∂ EC
∂ EC
= = = = =
∂θ
∂λ
∂θ
∂λ
∂λ
∂θ
∂λ
∂θ
∂λ
∂λ
∂λ
∂λ
S
λ
S
S
r
r
e1
f1
e2
f2
S
IC
r
1 −
2
S
τ
ω
r
S
35

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
6.3.3 Esempio di campo “IC”: Voice Coil
Il Voice Coil in figura, modellizzabile come giratore, può essere anche visto come un campo IC a
due porte.
Trascurando i flussi dispersi e la reale disposizione delle linee di flusso, l’equazione magnetica del
Voice Coil è:
λ − λ0
( x)
λ = λ0
( x) + Lbi(
t)
i(
t)
=
con λ0
( x)
≅ B ⋅ S = 2πrxB
Lb
→autoind.
bobina
L
L’energia associata al Voice Coil è:
t
b
t
dλ(
t)
dx(
t)
E ( x,
λ ) = [ V ( t)
i(
t)
+ F(
t)
v(
t)
] dt = i(
t)
+ F(
t)
dt = i(
t)
dλ
+ F(
t)
dx
dt dt
Lo stato magnetico del Voice Coil è funzione della posizione x e del flusso λ. Nel tratto 1 la bobina
è nel circuito magnetico, ma il circuito elettrico è aperto e non scorre corrente; nel tratto 2 aumentiamo
la corrente fino a ottenere il valore desiderato senza spostare la bobina (x=cost). Utilizzando
questa scelta di integrazione (che è la più furba), l’espressione dell’energia diventa:
( 1)
( 2)
i
E(
x,
λ)
=
E(
x,
λ)
=
B
λ
λ
i(
t)
dλ
+
0
Porta meccanica
λ0
i(
t)
dλ
+
F v
x
x
F(
t)
dx=
0
0
r
F(
t)
d x =
cost
λ
λ
0
λ'−
λ0(
x)
1
dλ'=
L 2L
Le grandezze di flow e effort possono essere ricavate come:
E
B
i
b
V
x
λ = V
porta
elettrica
b
λ
( λ − λ ( x)
)
∂E
∂E
f = = i(
t);
e = = F(
t)
∂λ
∂x
0
2
V
i
V
i
λ
GY
IC
2 → x=cost
1 → i=0
λ f
λ0
F
v
F
v
x
x
1
E(
x,
λ)
=
2L
b
( ) 2
λ − λ ( x)
0
36

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Dall’espressione dell’energia cinetica si possono ricavare le espressioni di i(t) e F(t):
1
E(
x,
λ ) =
2L
( λ − λ ( x)
)
∂E
i(
t)
= =
∂λ
∂E
F(
t)
= = −
∂x
( λ − λ ( x)
)
2
b
0
b ( λ − λ0
( x)
) 0
2
2
∂ E 1 ∂λ0
∂ EC
1 ∂λ0
= − = = −
∂x∂λ
L ∂x
∂λ∂x
L ∂x
b
L
0
L
b
b
∂λ
∂x
campo I
campo C
Possiamo osservare come l’espressione della forza abbia segno negativo; questo perché
nell’assegnare le porte del campo C si è usata una convenzione degli utilizzatori. Infatti il verso della
potenza della porta meccanica è invertito tra Giratore e Campo IC.
La porta elettrica lega il flusso e corrente (elemento I); la porta meccanica lega la forza e lo spostamento
(elemento C). Entrambe le porte hanno causalità integrativa.
Se la relazione di λ0(x) è lineare è possibile ricavare la costante km del Voice Coil che lega forza e
corrente:
λ (
0
∂λ0
) ≅ B ⋅ S = 2πrxB
F(
t)
= −i(
t)
= −2πrBi(
t)
= −k
∂x
x m
7. BONDGRAPH DI SISTEMI DINAMICI
In questo capitolo si vuole introdurre un metodo standard per l’analisi di sistemi dinamici a più gradi
di libertà attraverso l’uso dei BondGraph.
Per la trattazione di BondGraph di strutture mobili, si può iniziare ad analizzare il caso di un pendo
e lo estensibile.
7.1 ESEMPIO 1: PENDOLO ESTENSIBILE
kϑ
ym
ϑ
kr
m
xm
r
mg
i(
t)
Si vuole ricavare un modello per grandi spostamenti del pendolo
estensibile rappresentato in figura, del quale si suppone concentrata la
massa m e la lunghezza a riposo è R.
Il primo passo consiste nello scegliere le coordinate generalizzate per
la configurazione. Secondo un approccio lagrangiano, la coenergia
cinetica e l’energia potenziale sono rispettivamente:
1 2 1 2
C = mxm
+ mym
;
2 2
1
2
1
2
2
P = kϑ
ϑ + kr
( r −
La componente mg viene considerata come forza esterna.
Come si vede dalle espressioni di coenergia cinetica e energia potenziale, le coordinate xm(t) e ym(t)
sono adatte per il calcolo della prima, mentre per la seconda sarebbe utile utilizzare le coordinate
ϑ (t)
e r(t).
Si può comunque notare che esistono delle relazioni tra le varie coordinate:
r sinϑ
cos
xm = ; ym = r ϑ
R)
2
37

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
Derivando queste ultime espressioni è possibile ricavare una relazione diretta tra le velocità relative
ai due sistemi di coordinate:
x m
= r sinϑ + ϑr
cosϑ
; = r cosϑ −ϑr
sinϑ
La costruzione del Bondgraph si basa sul fatto di mettere insieme dei componenti tramite le relative
velocità. Queste velocità vengono ottenute da relazioni cinematiche del sistema, grazie ai trasformatori
modulati MTF.
k :C
kr:C
ϑ
1
1
r
r cosϑ
MTF
− r sinϑ
MTF
sinϑ
MTF
cosϑ
MTF
Nel Bondgraph si possono distinguere i due tipi di velocità generalizzate:
- le qC (t)
definiscono le energie potenziali;
- le qI (t)
definiscono le coenergie cinetiche.
In generale si può avere un terzo tipo di velocità generalizzate, che derivano dalle coordinate lagrangiane,
e che si possono indicare con (t)
. Queste velocità possono essere di tipo misto.
C1
C2
Cm
1
1
1
q
Cm
qC
MTFKC
q K
qC K q
La figura mostra uno schema generale per la rappresentazione dei sistemi tramite Bondgraph.
La procedura per ricavare uno Bondgraph dato un sistema dinamico può essere schematizzata come
segue:
1 – Definire le coordinate lagrangiane ( (t)
);
q K
2 – Definire gli spostamenti generalizzati per calcolare le coenergie cinetiche ( qI (t)
);
1
1
1
y m
0
0
1 I:m
x
m
y
1
m
Se:mg
MTFKI
qI
I:m
1
1
1
q
qKh In
qI
I1
I2
In
38

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
3 – Definire gli spostamenti generalizzati per calcolare le coenergie cinetiche ( qC (t)
);
4 – Ricavare le relazioni cinematiche che legano i tre gruppi di coordinate;
5 – Derivare le espressioni per determinare le modulazioni dei MTF;
6 – Scrivere i nodi 1 relativi a ciascuna velocità generalizzata, possibilmente incolonnate come
nello schema precedente;
7 – Collegare gli opportuni elementi I ai nodi 1 delle velocità qI (t)
e gli elementi C ai nodi 1
delle velocità qC (t)
;
8 – Ricostruire le velocità qI (t)
e qC (t)
dalle qK (t)
tramite l’utilizzo di nodi 0 (somma di velocità)
e di MTF (modulazione delle coordinate), secondo le relazioni cinematiche ricavate
al punto 5.
7.2 ESEMPIO 2: CARRELLO CON PENDOLO INVERSO
F
ym
M
ϑ
r
m
xm
mg
xM
k
La componente mg viene considerata come forza esterna.
Le relazioni cinematiche tra le varie coordinate sono:
k:C
1
x
M
qC
MTFKC
Si vuole ricavare un modello per grandi spostamenti del sistema in
figura che consiste in un carrello sul quale è incernierato un
pendolo.
Il primo passo consiste nello scegliere le coordinate generalizzate
per la configurazione. Secondo un approccio lagrangiano, la
coenergia cinetica e l’energia potenziale sono rispettivamente:
1 2 1 2 1 2
C = mxm
+ mym
+ MxM
;
2 2 2
xm = xM
− r sinϑ xm
= xM
−ϑr
cosϑ
= r cosϑ y = −ϑr
sinϑ
ym m
1
x
M
1
ϑ
qK
− r cosϑ
MTF
− r sinϑ
MTF
MTFKI
0
0
P =
1
2
kx
1 I:M
xM
1 I:m
x
m
y
1
m
Se: -mg
qI
I:m
2
M
39

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
L’elemento I collegato alla velocità x m ha causalità derivativa, quindi non introduce una coordinata
generalizzata. In effetti i gradi di libertà del sistema sono soltanto due, ad esempio xM e ym.
7.3 ESEMPIO 3: BRACCIO ROBOTICO
y
ϑ1
ϑ2
Si vuole ricavare un modello per grandi spostamenti del sistema in figura che consiste in una catena
cinematica di bracci e giunti rotoidali. E’ possibile in questo caso separare i bracci costituenti la
catena cinematica, tenendo presente che il movimento di un braccio dipende anche dal movimento
del bracci a monte.
Il primo passo consiste nello scegliere le coordinate generalizzate per la configurazione. Secondo un
approccio lagrangiano, la coenergia cinetica è:
1 2 1 2
C = mxG
+ myG
+
2 2
Le relazioni cinematiche tra le varie coordinate sono:
1
2
2
J ϑ
x = x + d ϑ x = x − d ϑ sinϑ
G
A
AG cos G A AG
AG sin yG
= y A d AG
y = y + d ϑ + ϑ cosϑ
G
A
La prima estremità del braccio successivo corrisponde all’estremità B del braccio in esame, che ha
identiche caratteristiche. Le sue coordinate sono:
x = x + d ϑ x = x − d ϑ sinϑ
B
G
GB cos B G GB
GB sin yB
= yG
d GB
y = y + d ϑ + ϑ cosϑ
B
ϑ3
G
x
Se si inserisce un motore al giunto compreso tra due bracci, esso compie lavoro con la differenza
delle velocità angolari dei due bracci, quindi le sorgenti di effort corrispondenti devono agire su una
differenza di velocità (nodo 0). Al contrario, la coordinata generalizzata ϑ è assoluta. Questo problema
non si avrebbe nel caso di analisi con il metodo di Lagrange, in quanto le coordinate generalizzate
da utilizzare (secondo le convenzioni) sono proprio le velocità angolari di ciascun braccio
rispetto al precedente, che sono grandezze relative.
Nel caso del braccio robotica in esame vengono trascurate le grandezze elastiche, quindi non compaiono
elementi C.
y
A
G
y
d AG
A
dGB
xA
ϑ
G
mb
B
x
40

Dinamica dei sistemi – un approccio unificato
qK
1
xA
1
yA
0
I: JG
− d AG sinϑ
0
MTF
d AG cosϑ
MTF
I: m
1
xG
1
y
1
I: m
− dGB
sinϑ
ϑ1
G
MTF
dGB
cosϑ
MTF
qI
0
0
1
1
x
B
ϑ − ϑ
0
Se: B
1
y
B
2
qK
41