F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

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FUNZIONI IMPLICITE
MASSIMI E MINIMI VINCOLATI
(C. De Mitri)
F1. Il problema della funzione implicita e il teorema del Dini
Considerata l’equazione G(x,y) = 0, dove G è una funzione reale definita in un aperto
A di IR 2 , per molteragioni può tornareutileesprimere una delle due variabiliinfunzione
dell’altra, ad esempio la y in funzione della x. Per questo motivo ci domandiamo sotto
quali condizioni si può star certi che esiste una funzione g, reale di una variabile reale,
tale che l’equazione data sia equivalente all’equazione y = g(x) (1) .
In altritermini, considerato l’insieme Γ = {(x,y)∈A/G(x,y)= 0}, che spesso, sia pure
impropriamente, chiameremo “curva” di equazione G(x,y) = 0 (2) , vogliamo stabilire
in quali casi esso è il grafico di una funzione della variabile x.
Osserviamo che il luogo Γ è il cosiddetto “insieme di livello 0” della funzione G, e
che le proprietà che stabiliremo per Γ saranno valide anche per l’“insieme di livello c”,
Γc = {(x,y)∈A/G(x,y)= c}, qualunque sia c∈IR; infatti il luogo Γc è l’insieme di
livello 0 della funzione G(x,y)−c, la quale ha appunto le stesse proprietà di G.
Consideriamo ad esempio l’equazione x 2 + y 2 − 1 = 0. In questo caso la curva Γ è
la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1, la quale, considerata globalmente, non è il
grafico di nessuna funzione del tipo y = g(x). Con ciò è appurato che, se pretendiamo
una risoluzione a carattere globale, dobbiamo aspettarci qualche insuccesso anche in
casi in cui la funzione G è un semplice polinomio di 2 o grado.
Diverso è il risultato se l’approccio al problema è di tipo locale.
Infatti, facendo ancora riferimento alla circonferenza, si vede che
quasi ogni suo punto (x0,y0) (vanno esclusi solo i punti (±1,0))
ammette un intorno I×J nel quale Γ è il grafico di una funzione
y = g(x), nel senso che ∀x ∈ I ∃!y =: g(x) ∈ J tale che (x,y) ∈ Γ. Ciò si esprime
dicendo che l’equazione G(x,y) = 0 definisce implic/te una funzione da I in J, oppure
che la funzione y = g(x) è implic/te definita dall’equazione G(x,y) = 0 in I×J.
(1) Il problema non è quello di determinare la funzione g, ma solo quello di stabilire se essa
esiste. Un esempio che mostra la differenza fra i due problemi è rappresentato dall’equazione
x−y−e y = 0: qui la funzione g esiste senz’altro (è l’inversa della funzione y → y+e y , che
è invertibile), ma non la si può esplicitare sotto forma di espressione elementare.
(2) Il fatto che il termine curva sia spesso inadeguato è provato da casi come i seguenti: x 2 +
y 2 +1 = 0, (x 2 +y 2 )(y−1) = 0, (x−y)(x−y+1) = 0, |x|+|x−1|+|y|+|y−1|−2 = 0.
1

Allo scopo di dare la massima generalità al problema in esame, facciamo un passo avanti
e osserviamo che, se l’equazione è G(x,y,z) = 0, che rappresenta una “superficie” in
IR 3 , si tratta di stabilire sotto quali condizioni è possibile, almeno sul piano teorico,
esprimere una variabile in funzione delle altre due, ad esempio la variabile z in funzione
delle variabili x ed y: z = g(x,y).
G1(x,y,z) = 0
Ed ancora, se l’equazione, o meglio il sistema è , che rappresenta una
G2(x,y,z) = 0
“curva” in IR 3 , il problemaè quello di poter esprimere ad esempio le variabili y e z in
y = g1(x)
funzione della variabile x:
z = g2(x) .
Si può allora concludere che, in generale, il problema è quello di passare dal sistema (1)
⎧
G1(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yk) = 0
⎪⎨ G2(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yk) = 0
⎧
y1 = g1(x1,x2,...,xn)
⎪⎨ y2 = g2(x1,x2,...,xn)
····································
⎪⎩ ····································
Gk(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yk) = 0
al sistema ····················· .
⎪⎩ ·····················
yk = gk(x1,x2,...,xn)
Il teorema che segue riguarda appunto il problema nella sua forma più generale, riferi-
to cioè ad una funzione G a k componenti di n+k variabili. Per maggiore semplicità
useremo le notazioni: x = (x1,x2,...,xn), y = (y1,y2,...,yk), ∂G
∂G
∂y
= ∂(G1,G2,...,Gk)
∂(y1,y2,...,yk)
; in sostanza ∂G
∂x
e ∂G
∂y
parte destra della matrice jacobiana di G, DG =
∂G
∂y
∂x
= ∂(G1,G2,...,Gk)
∂(x1,x2,...,xn) ,
sono rispettivamente la parte sinistra e la
∂G
∂x
| ∂G
∂y
è quadrata, e quindi se ne potrà considerare il determinante |∂G
∂y |.
Possiamo fin da ora prevedere che nel teorema il determinante di ∂G
∂y
. Da notare che la matrice
avrà un ruolo
fondamentale. Infattiosserviamocheuncaso particolarenotevoledelproblema inesame
si ha quando G(x,y) = M y − H(x), ossia quando il sistema è M y = H(x), con H
funzione a k componenti definita in un aperto X di IR n , ed M matricequadrata d’ordine
k: in tal caso risulta ∂G
∂y
= M, ed è noto (teorema di Cramer) che, se detM = 0, allora
∀x∈X il sistema ammette una ed una sola soluzione y∈IR k . Evidentemente questo è
uno dei casi in cui il problema ha esito positivo anche da un punto di vista globale.
Teorema F1.1 (del Dini). Sia G : A → IR k , con A aperto di IR n+k e G∈C 1 (A). Sia
(x0,y0)∈A con G(x0,y0) = 0. Se | ∂G
∂y (x0,y0)| = 0, allora ∃I∈I(x0) ed ∃J∈I(y0),
con I×J ⊆ A, tali che ∀x∈I ∃!y =: g(x)∈J tale che G(x,y) = 0, ossia tali (gli
intorni I e J) che ∃!g : I → J tale che ∀x∈I G(x,g(x)) = 0. Inoltre g(x0) = y0.
Infine g∈C 1 (I) e ∀x∈I Dg(x) = −[ ∂G
∂y (x,g(x))]−1 · ∂G
∂x (x,g(x)).
(1) Il sistema rappresenta una varietà n–dimensionale in IR n+k , che si chiama anche curva nel
caso n = 1 e ipersuperficie nel caso k = 1.
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•) Il caso delle equazioni in due variabili.
Analizziamo più da vicino il caso n = k = 1, ossia quello dell’equazione G(x,y) = 0,
con G funzione reale di due variabili reali.
Teorema F1.2. Sia G : A → IR, con A aperto di IR 2 e G∈C 1 (A). Sia (x0,y0)∈A
con G(x0,y0) = 0. Se Gy(x0,y0) = 0, allora ∃I∈I(x0) ed ∃J∈I(y0), con I×J ⊆ A,
tali che ∀x∈I ∃!y =: g(x)∈J tale che G(x,y) = 0, ossia tali (gli intorni I e J) che
∃!g : I → J tale che ∀x∈I G(x,g(x)) = 0. Inoltre g(x0) = y0. Infine g∈C 1 (I) e
∀x∈I g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) .
Dim. Supponiamo Gy(x0,y0) > 0. Dal teorema della permanenza del segno applicato
alla funzione Gy segue che ∃σ∈IR + tale che Qσ := [x0−σ, x0+σ]×[y0−σ, y0+σ] ⊆ A
e ∀(x,y)∈Qσ Gy(x,y) > 0. Ne discende che, ∀x∈[x0−σ, x0+σ], la funzione G(x,·)
è strett/te crescente in [y0−σ, y0+σ]. Ciò vale in particolare per la funzione G(x0,·),
cosicché risulta G(x0,y0−σ) < G(x0,y0) < G(x0,y0+σ), ossia G(x0,y0−σ) < 0 e
G(x0,y0+σ) > 0. Per il teorema della permanenza del segno applicato alla funzione G,
∃δ(≤ σ)∈IR + tale che ∀x∈]x0−δ, x0+δ[ risulta
G(x,y0−σ) < 0 e G(x,y0+σ) > 0. Allora, per ogni
x∈]x0−δ, x0+δ[, per il teorema degli zeri applicato
alla funzione G(x,·) e per la iniettività della stessa,
∃!y =: g(x)∈]y0−σ, y0+σ[ tale che G(x,y) = 0.
Con ciò è provata la prima parte della tesi, ove si
assumano I =]x0−δ, x0+δ[ e J =]y0−σ, y0+σ[.
Per costruzione risulta g(x0) = y0.
Fissato x∈I, proviamoche ∃g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) ; eatalescopo prendiamo h ∈ IR\{0}
tale che x+h∈I. Per il teorema di Lagrange in due variabili, esiste (ξ,η) interno al
segmento di estremi (x,g(x)) e (x+h,g(x+h)) tale che G(x+h,g(x+h))−G(x,g(x)) =
Gx(ξ,η)h+Gy(ξ,η)(g(x+h)−g(x));ed’altraparte, percomeèdefinita g, sihache G(x+
h,g(x+h))−G(x,g(x)) = 0−0 = 0. Nesegue, essendo Gy(ξ,η) = 0, che g(x+h)−g(x) =
− Gx(ξ,η)
h. Unaprimaconseguenza diquestauguaglianzaècherisulta |g(x+h)−g(x)| ≤
Gy(ξ,η)
max |Gx|
I×J
min I×J |Gy|
|h|; da quisegueche g(x+h)−→ g(x), ossiache g ècontinua inx(cosicchég è
h→0
continua in I, data l’arbitrarietà di x), e ciò implica a sua volta che (ξ,η)−→ (x,g(x)),
h→0
dato che |ξ − x| < |h| e |η − g(x)| < |g(x + h) − g(x)|. Una seconda conseguenza
dell’uguaglianza stabilita è che g(x+h)−g(x)
= − Gx(ξ,η)
, da cui discende, grazie anche
alla continuità di Gx e Gy, che lim
h→0
h
g(x+h)−g(x)
h
Con ciò è provato che ∀x∈I ∃g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x))
Gx, Gy e g, che g ′ ∈C 0 (I), ossia che g∈C 1 (I)
3
Gy(ξ,η)
= lim (−
h→0 Gx(ξ,η)
Gy(ξ,η) ) = −Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) .
, e da qui segue, per la continuità di

Esempio F1.1. Riprendiamo in esame l’equazione x 2 +y 2 −1 = 0. Posto G(x,y) =
x 2 + y 2 − 1, si calcola che Gy(x,y) = 2y. Allora ogni punto (x0,y0) della curva Γ =
{(x,y)∈IR 2 /x 2 + y 2 − 1 = 0}, con l’eccezione al più dei punti (±1,0), ammette un
intorno nel quale Γ è grafico di una funzione y = g(x). La funzione in questo caso è
anche facilmente esplicitabile, ed è y = √ 1−x 2 se y0 > 0, y = − √ 1−x 2 se y0 < 0.
Invece nei punti (±1,0) l’ipotesi sulla Gy non è soddisfatta, e quindi il teorema è inapplicabile.
Tuttavia risulta Gx(±1,0) = 0, sicché il teorema può essere applicato a
variabili scambiate: ciascuno di questi punti ammette un intorno in cui Γ è grafico di
una funzione x = h(y) (che è poi x = 1−y 2 per (1,0)e x = − 1−y 2 per (−1,0)).
-) Come suggerito nel precedente esempio, scambiando il ruolo delle variabili si può
dire che, se Gx(x0,y0) = 0, allora l’equazione G(x,y) = 0 definisce implicitamente una
funzione x = h(y) di classe C 1 in un intorno di y0, avente derivata h ′ (y) = − Gy(h(y),y)
Gx(h(y),y) .
Riunendo i due casi trattati ne deduciamo che, posto Γ = {(x,y)∈A/G(x,y) = 0} e
preso P0 = (x0,y0)∈Γ, se ∇G(P0) = (0,0), allora esiste un intorno di P0 in cui Γ è
grafico di una funzione di classe C 1 del tipo y = g(x) o x = h(y), e quindi in ogni caso
è sostegno di una curva regolare e semplice. Inoltre, la tangente a Γ in P0 ha equazione
Gx(P0)(x−x0)+Gy(P0)(y −y0) = 0. Infatti, se la curva è del tipo y = g(x), è noto
che la tangente è y = g(x0)+g ′ (x0)(x−x0), e da qui si passa alla
equazione suddetta ricordando che g(x0) = y0 e g ′ (x0) = − Gx(P0)
Gy(P0) ;
e allo stesso risultato si arriva se si scambiano fra loro le variabili x
ed y. Ponendo P = (x,y), l’equazione della tangente può mettersi
nella forma ∇G(P0)·(P −P0) = 0, da cui si deduce che il vettore
∇G(P0) è normale alla tangente, e quindi alla curva, nel punto P0.
I punti P0 ∈Γ tali che ∇G(P0) = (0,0) si dicono punti regolari di Γ. Invece i punti
P0∈Γ tali che ∇G(P0) = (0,0) si dicono punti singolari di Γ (relativamente a G): per
essi non è garantita l’esistenza di un intorno nel quale Γ è il grafico di una funzione.
-) Considerato un qualunque punto P0∈A con ∇G(P0) = (0,0), sapevamo già che la
direzione del vettore ∇G(P0) è quella lungo la quale si ha il massimo incremento della
funzione G. Ora abbiamo appreso in più che, se G(P0) = 0, se cioè P0 ∈Γ, che è la
curva di livello 0 di G, allora ∇G(P0) è normale a Γ in P0.
Più in generale, qualunque sia il valore G(P0), per P0 passa comunque una delle curve
di livello di G, precisamente la curva Γc con c = G(P0). Se ∇G(P0) = (0,0), la curva
Γc è regolare e semplice nell’intorno di P0, con tangente di equazione Gx(P0)(x−x0)+
Gy(P0)(y−y0) = 0, eilvettore∇G(P0)ènormaleaΓc inP0. InfattiΓc nonèchelacurva
di livello 0 della funzione H(P) = G(P)−c, per la quale risulta ∇H(P0) = ∇G(P0).
Le curve Γc non sono altro che le curve equipotenziali del campo gradiente ∇G, così
chiamate perché su ciacuna di esse il potenziale G è costante. In base a quanto stabilito,
possiamo affermare che ogni campo gradiente risulta, in ogni punto in cui non è nullo,
normale alla linea equipotenziale passante per quel punto.
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-) Se le ipotesi del teorema sono soddisfatte, e in particolare risulta Gy(x0,y0) = 0, così
da esser certi che la funzione implicita y = g(x) esiste ed è di classe C 1 in un intorno di
x0, la sua derivata y ′ può essere calcolata direttamente dall’uguaglianza G(x,y) = 0,
ove si pensi y funzione di x. Si ricava infatti, grazie al teorema di derivazione della
funzione composta, che Gx(x,y)+Gy(x,y)y ′ = 0, ossia appunto che y ′ = − Gx(x,y)
Gy(x,y) .
Dalla formula dimostrata g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) , se ci si mette nell’ipotesi più forte che
G∈C 2 (A), si deduce che g∈C 2 (I), e, a conti fatti, che
g ′′ (x) = −
2
2
Gxx(x,g(x))Gy (x,g(x))−2Gxy(x,g(x))Gx(x,g(x))Gy(x,g(x))+Gyy(x,g(x))G x (x,g(x))
G3 y (x,g(x))
.
Ciò fa capire come sia possibile dimostrare, ragionando per induzione, che, ∀h∈IN, da
G∈C h (A) segue che g∈C h (I), e che la derivata h-esima di g nel punto x è esprimibile
in funzione delle derivate parziali fino all’ordine h di G nel punto (x,g(x)).
La conoscenza delle derivate di g in x0, ricavate dalle derivate parziali di G in (x0,y0),
consente di ricavare lo sviluppo di Taylor di g di punto iniziale x0; cosicché la funzione
implicita, che spesso non è concretamente esplicitabile, potrà comunque essere
conosciuta con una certa approssimazione in prossimità del punto x0.
Esempio F1.2. Siano l’equazione xe y −y = 0 e, per cominciare, il punto (0,0).
Posto G(x,y) = xe y −y, si vede che G∈C ∞ (IR 2 ), che G(0,0) = 0 eche Gy(0,0) = −1.
Pertanto l’equazione definisce implicitamente in un intorno di (0,0)
una funzione y = y(x), che è di classe C ∞ in un intorno del punto 0.
E’ noto che y(0) = 0. Derivando rispetto ad x ambo i membri dell’equazione
assegnata, dove si pensi y dipendente da x, si ricava che
e y +xe y y ′ −y ′ = 0; da qui, ponendo x = 0 e y = 0, si deduce che
y ′ (0) = 1. Derivando ulteriormente, sempre rispetto ad x, si trova
che 2e y y ′ +xe y (y ′ ) 2 +xe y y ′′ −y ′′ = 0, e da qui, ponendo x = 0,
y = 0 e y ′ = 1, si ottiene che y ′′ (0) = 2. Pertanto: y(x) = x+x 2 +o(x 2 ) per x → 0.
Passiamo ora ad analizzare gli altri punti della curva Γ = {(x,y)∈IR 2 /G(x,y) = 0}.
G(x,y) = 0
Risolvendo il sistema
Gy(x,y) = 0 , si trova che (e−1 ,1) è l’unico punto della curva
nel quale il teorema
del Dini è inapplicabile allo scopo di esprimere y in funzione di x.
G(x,y) = 0
Invece il sistema non ammette soluzioni, cosicché ogni punto della curva
Gx(x,y) = 0
possiede un intorno nel quale la stessa è grafico di una funzione di classe C1 del tipo
x = x(y). Si riconosce anzi che in questo caso la curva Γ è anche globalmente grafico di
una funzione della y, essendo Γ = {(x,y)∈IR 2 /x = ye−y } (1) .
(1) Può capitareche un’intera curvasialocalmentegrafico di funzioni ad esempiodellavariabile
y, senza che la stessa sia globalmente grafico di una funzione della variabile y; si pensi alla
curva di equazione (x−y)(x−y +1) = 0.
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Esempio F1.3. Cosideriamo la curva Γ di equazione x 2 (x+1)−y 2 = 0.
Posto G(x,y) = x2 (x + 1) − y2 , si vede che i punti (x,y) di Γ tali che Gy(x,y) = 0
sono (0,0) e (−1,0), mentre i punti tali che Gx(x,y) = 0 sono (0,0) e (−2 2 ,± 3 3 √ 3 ).
Ne consegue che (0,0) è l’unico punto singolare di Γ. Si può provare che
non esiste alcun intorno del punto (0,0) nel quale Γ è grafico di una funzione
della variabile x o della variabile y. In effetti, pur senza voler entrare
nei dettagli, avvertiamo che, con l’aiuto delle derivate successive della
funzione G in (0,0), questo punto singolare viene classificato come “nodo”,
o “punto doppio a tangenti distinte”, dove con il termine “tangenti” in un simile punto
P0 = (x0,y0) ci si riferisce alle due rette le cui equazioni si ottengono spezzando
l’equazione Gxx(P0)(x − x0) 2 + 2Gxy(P0)(x − x0)(y − y0) + Gyy(P0)(y − y0) 2 = 0.
Nel caso di questo esempio, l’equazione è 2x2 −2y2 = 0, ossia y = ±x.
Esempio F1.4. Ilpunto (0,0)èsingolareanche per lacurva Γdi equazione x 2 −y 3 = 0.
Tuttavia l’equazione può essere scritta, anche globalmente, nella forma
y = g(x): risulta infatti Γ = {(x,y)∈IR 2 /y = 3√ x 2 }, dove però la
funzione y = 3√ x 2 non è di classe C 1 in alcun intorno del punto 0.
Il punto singolare (0,0) viene classificato come “punto cuspidale”.
Qui l’equazione Gxx(P0)(x−x0) 2 +2Gxy(P0)(x−x0)(y −y0)+Gyy(P0)(y −y0) 2 = 0,
di cui s’è detto nell’esempio precedente, è 2x 2 = 0, cosicché nel punto (0,0) si hanno
due “tangenti” coincidenti, di equazione x = 0.
Esempio F1.5. Consideriamo la curva Γ di equazione x3 +xy2−x 2−y 2 = 0.
Posto G(x,y) = x3 +xy2−x 2−y 2 ⎧
⎨G(x,y)
= 0
, si vede che il sistema Gy(x,y) = 0
⎩
Gx(x,y) = 0
ammette come unica soluzione il punto (0,0), che dunque è l’unico punto
singolare di Γ. Si riconosce che l’equazione può mettersi nella forma
(x 2 +y 2 )(x−1) = 0, che si spezza in x 2 +y 2 = 0 e x−1 = 0; pertanto
Γ è costituita dal punto (0,0) e dalla retta x = 1.
Il punto singolare (0,0) viene classificato come “punto isolato”.
Esempio F1.6. Interessante è il caso della funzione G(x,y) = (x 2 +y 2 −1) 2 .
Si vede che, ∀(x,y)∈Γ, dove Γ è il luogo degli zeri di G, risulta ∇G(x,y) = (0,0),
cosicché tutti i punti di Γ sono singolari relativamente a G. Eppure, in un opportuno
intorno di ciascuno di essi, la curva Γ, che è la stessa circonferenza dell’Esempio F1.1,
è grafico di una funzione di classe C 1 del tipo y = g(x) o x = h(y).
Con ciò è evidenziato il fatto che il teorema del Dini stabilisce una condizione soltanto
sufficiente e non anche necessaria per l’esistenza e la regolarità della funzione implicita.
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•) Il caso delle equazioni in tre variabili.
Approfondiamo ora il caso n = 2, k = 1, ossia quello dell’equazione G(x,y,z) = 0, in
ordine alla possibilità di esprimere z in funzione di x e di y.
Teorema F1.3. Sia G : A → IR, con A aperto di IR 3 e G∈C 1 (A). Sia (x0,y0,z0)∈A
con G(x0,y0,z0) = 0. Se Gz(x0,y0,z0) = 0, allora ∃I ∈ I(x0,y0) ed ∃J ∈ I(z0),
con I×J ⊆ A, tali che ∀(x,y)∈I ∃!z =: g(x,y)∈J tale che G(x,y,z) = 0, ossia
tali (gli intorni I e J) che ∃!g : I → J tale che ∀(x,y) ∈ I G(x,y,g(x,y)) = 0.
Inoltre g(x0,y0) = z0. Infine g ∈ C 1 (I) e, ∀(x,y)∈I, gx(x,y) = − Gx(x,y,g(x,y))
Gz(x,y,g(x,y)) e
gy(x,y) = − Gy(x,y,g(x,y))
Gz(x,y,g(x,y)) .
Osserviamo che, se le ipotesi del teorema sono soddisfatte, le derivate parziali gx e gy
possono essere calcolate direttamente dall’uguaglianza G(x,y,z) = 0, nella quale si
pensi z dipendente da x e da y, ossia appunto z = g(x,y). Si ricava infatti, derivando
amboimembriprimarispettoadxepoirispettoady,che Gx(x,y,z)+Gz(x,y,z)zx = 0
e che Gy(x,y,z)+Gz(x,y,z)zy = 0, da cui si passa rispettivamente a zx = − Gx(x,y,z)
Gz(x,y,z)
ed a zy = − Gy(x,y,z)
, in sostanziale accordo con le formule presentate nel teorema.
Gz(x,y,z)
Il teorema stabilisce in sostanza che, posto Σ = {(x,y,z)∈A/G(x,y,z) = 0}, che è la
“superficiedilivello0”dellafunzioneG, econsiderato P0 = (x0,y0,z0)∈Σ, se Gz(P0) =
0, allora l’insieme Σ è, in un intorno di P0, il grafico di una funzione di classe C 1 del tipo
z = g(x,y). Analogamente, serisulta Gy(P0) = 0 o Gx(P0) = 0,alloraΣè, nell’intorno
di P0, il grafico di una funzione di classe C1 rispettivamente del tipo y = h(x,z) e
x = l(y,z), le cui derivate parziali son date dalle formule: hx(x,z) = − Gx(x,h(x,z),z)
Gy(x,h(x,z),z) ,
hz(x,z) = − Gz(x,h(x,z),z)
Gy(x,h(x,z),z) , ly(y,z) = − Gy(l(y,z),y,z)
Gx(l(y,z),y,z) , lz(y,z) = − Gz(l(y,z),y,z)
Gx(l(y,z),y,z) .
Pertanto, se ∇G(P0) = (0,0,0), allora l’insieme Σ è, in un intorno di P0, il sostegno di
una superficie regolare. Il piano tangente a questa superficie nel punto P0 ha equazione
Gx(P0)(x−x0)+Gy(P0)(y−y0)+Gz(P0)(z−z0) = 0. Infatti, se ad esempio la superficie
si rappresenta nella forma z = g(x,y), è noto che il piano tangente ha equazione
z = g(x0,y0)+gx(x0,y0)(x−x0)+gy(x0,y0)(y−y0), e da questa si passa all’equazione
suddetta ricordando i valori in (x0,y0) di g, gx, gy stabiliti dal teorema. In modo
analogo si ragiona negli altri due casi.
Ponendo P = (x,y,z), l’equazione del piano tangente può essere
riscritta nella forma ∇G(P0)·(P −P0) = 0, dalla quale si dedu-
ce che il vettore ∇G(P0) è normale alla superficie Σ nel punto P0.
Se ∇G(P0) = (0,0,0), diciamo che P0 è un punto regolare della superficie Σ; altrimenti
si dice che P0 è un punto singolare di Σ (relativamente a G).
8

Con un ragionamento analogo a quello seguito nella sezione precedente, riconosciamo
che, considerato un qualunque punto P0 ∈ A con ∇G(P0) = (0,0,0), la superficie
di livello passante per P0 è, nell’intorno di P0, il sostegno di una superficie regolare,
rispetto alla quale il vettore ∇G(P0) risulta essere normale. Questa superficie non è
altro che una superficie equipotenziale del campo vettoriale ∇G.
Esempio F1.7. Il punto (0,0,0) è singolare per la superficie di equazione
x 2 +y 2 −z 2 = 0, che una superficie conica le cui due falde hanno
vertice nel suddetto punto: in questo caso non esiste alcun intorno del
punto nel quale il luogo Σ sia il grafico di una funzione delle variabili
(x,y) o (x,z) o (y,z).
Interessante è anche il caso della superficie xy 2 +z 3 = 0, per la quale
sono singolari tutti i punti dell’asse x. La superficie è il grafico della
funzione z = − 3 xy 2 , che non è differenziabile nei punti degli assi x e y.
Esempio F1.8. Consideriamo la superficie Σ = {(x,y,z)∈IR 3 /xz 2 −y 2 +2e z = 1}
ed il suo punto P0 = (0,1,0).
Posto G(x,y,z) = xz 2 −y 2 +2e z −1, si vede che Gx(P0) = 0, Gy(P0) = −2 e Gz(P0) =
2, cosicché esiste il piano tangente a Σ in P0 ed ha equazione −2(y −1)+2z = 0.
Poiché Gz(P0) = 0, la superficie Σ è, nell’intorno di P0, il grafico di una funzione
z = g(x,y), definita in un intorno di (0,1) e tale che g(0,1) = 0. Inoltre risulta
gx(0,1) = − Gx(P0)
Gz(P0) = 0 e gy(0,1) = − Gy(P0)
Gz(P0)
Possiamo ritrovare le derivate parziali delle funzione implicita nel punto (0,1) procedendo
nel seguente modo: per comodità indichiamo la funzione implicita con z =
z(x,y); dall’equazione xz 2 −y 2 +2e z −1 = 0, derivando ambo i membri rispetto ad x,
si ottiene z 2 +2xzzx +2e z zx = 0; da qui, ponendo x = 0, y = 1 e z = 0, si ricava che
zx(0,1) = 0; in modo analogo si procede per ricavare che zy(0,1) = 1.
Poiché Gy(P0) = 0, la superficie Σ è, nell’intorno di P0, il grafico di una funzione
y = h(x,z), definita in un intorno di (0,0) e tale che h(0,0) = 1. Inoltre risulta
hx(0,0) = − Gx(P0)
Gy(P0) = 0 e hz(0,0) = − Gz(P0)
= 1. Anche qui ritroviamo le derivate in
Gy(P0)
(0,0) della funzione implicita, che ora preferiamo indicare con y = y(x,z), ricavandole
dall’equazione xz2−y2 +2ez −1 = 0 ove si pensi y funzione di x e di z: derivando ambo
i membri rispetto ad x otteniamo z2−2yyx = 0, da cui, per x = 0, y = 1 e z = 0, si
deduce che yx(0,0) = 0; in modo analogo si arriva ad ottenere che yz(0,0) = 1.
Da notare che in questo caso la funzione h si può facilmente esplicitare; tenendo conto
del segno di h(0,0), si ricava infatti che h(x,z) = √ xz2 +2ez −1.
Infine, poiché Gx(P0) = 0, il Teorema F1.3 non è applicabile in ordine alla possibilità
di esprimere x in funzione di y e di z nell’intorno di P0.
9
= 1.

•) Il caso dei sistemi di due equazioni in tre variabili.
Consideriamo infine il caso n = 1, k = 2, ossia quello del sistema
ordine alla possibilità di esprimere y e z in funzione di x.
G1(x,y,z) = 0
, in
G2(x,y,z) = 0
Teorema F1.4. Sia G = (G1,G2) : A → IR 2 , con A aperto di IR 3 e G∈C 1 (A). Sia
(x0,y0,z0)∈A con G(x0,y0,z0) = 0. Se | ∂(G1,G2)
∂(y,z) (x0,y0,z0)| = 0, allora ∃I ∈I(x0)
ed ∃J ∈I(y0,z0), con I×J ⊆ A, tali che ∀x∈I ∃!(y,z) =: (g1(x),g2(x))∈J tale
che G(x,y,z) = 0, ossia tali (gli intorni I e J) che ∃!g = (g1,g2) : I → J tale che
∀x∈I G(x,g1(x),g2(x)) = 0. Inoltre g1(x0) = y0 e g2(x0) = z0. Infine g∈C 1 (I) e,
∀x∈I, g ′ 1 (x) = −|∂(G 1 ,G 2 )
∂(x,z) (x,g1(x),g2(x))|
| ∂(G 1 ,G 2 )
∂(y,z) (x,g1(x),g2(x))| e g′ 2 (x) = −|∂(G 1 ,G 2 )
(x,g1(x),g2(x))|
∂(y,x)
| ∂(G1 ,G2 )
(x,g1(x),g2(x))| ∂(y,z) .
Anchequisuggeriamounmetodopraticopercalcolarelederivatedellefunzioni implicite
g1 e g2, ammesso che le ipotesi del teorema siano soddisfatte: partendo dal sistema
G1(x,y,z) = 0
G2(x,y,z) = 0 , nel quale si pensi y = g1(x) e z = g2(x), si derivano ambo i membri
delle due equazioni ottenendo
e da qui si ricava che y ′ = − |∂(G 1 ,G 2 )
∂(x,z) (x,y,z)|
| ∂(G 1 ,G 2 )
(G1)x(x,y,z)+(G1)y(x,y,z)y ′ +(G1)z(x,y,z)z ′ = 0
(G2)x(x,y,z)+(G2)y(x,y,z)y ′ +(G2)z(x,y,z)z ′ = 0 ,
∂(y,x) (x,y,z)|
(x,y,z)| ∂(y,z) e z′ = − |∂(G 1 ,G2 )
| ∂(G1 ,G2 )
(x,y,z)| ∂(y,z) .
G1(x,y,z) = 0
Il teorema stabilisce in sostanza che, posto Γ = {(x,y,z)∈A/ }, che
G2(x,y,z) = 0
è la “curva di livello (0,0)” della funzione G, e considerato il punto P0 = (x0,y0,z0)∈Γ,
se UG(P0) := | ∂(G1,G2)
∂(y,z) (P0)| = 0, allora il sistema può mettersi, almeno in un intorno
y = g1(x)
di P0, nella forma
z = g2(x) , con g1 e g2 funzioni di classe C1 in un intorno di x0.
Analogheconsiderazioni si fanno nell’ipotesiche VG(P0):=| ∂(G1,G2)
∂(z,x) (P0)|=0, o inquella
che WG(P0):=| ∂(G1,G2)
∂(x,y) (P0)|=0, scambiando opportunamente il ruolo delle variabili.
Considerato che UG(P0),VG(P0),WG(P0) sono i minori d’ordine due, presi con segno
alternato, della matrice jacobiana DG(P0) = ∂(G1,G2)
∂(x,y,z) (P0), deduciamo che, se essa ha
rango 2, l’insieme Γ è, nell’intorno di P0, il sostegno di una curva regolare e semplice.
La tangente a questa curva in P0 ha la direzione del vettore (UG(P0),VG(P0),WG(P0)).
Infatti, nell’ipotesi ad esempio che UG(P0) = 0, il vettore tangente in P0 alla curva
y = g1(x)
z = g2(x) èdatoda(1,g′ 1 (x0),g ′ 2 (x0)); equesto, inbasealleformuleg ′ 1 (x0) = VG(P0)
UG(P0) e
g ′ 2 (x0) = WG(P0)
UG(P0)
stabilitenel teorema, è parallelo al vettore (UG(P0),VG(P0),WG(P0)).
10

Considerato poi che (UG(P0),VG(P0),WG(P0)) = ∇G1(P0)×∇G2(P0), ne ricaviamo
che i vettori ∇G1(P0) e ∇G2(P0) sono normali alla curva Γ in P0.
Un punto P0 di Γ è detto regolare se la matrice jacobiana DG(P0)
ha rango 2, altrimenti è detto singolare (relativamente a G).
Infine osserviamo, relativamente ad un punto regolare P0 della curva Γ ed alle equazioni
G1(x,y,z) = 0 e G2(x,y,z) = 0 prese singolarmente, che, poiché risulta ∇G1(P0) =
(0,0,0) e ∇G2(P0) = (0,0,0), in virtù del Teorema F1.3 queste equazioni rappre-
sentano, in un intorno di P0, due superfici regolari; queste superfici evidentemente si
intersecano lungo la curva Γ; infine esse non sono tra loro tangenti in P0, dato che i
corrispondenti vettori normali ∇G1(P0) e ∇G2(P0) non sono fra loro paralleli.
2 2 2 x +y +z = 2
Esempio F1.9. Siano dati il sistema
x2 +y2 −z = 0 ed il punto P0 = ( 1
2 , √ 3
2 ,1).
Posto G1(x,y,z) = x2 +y2 +z2−2 e G2(x,y,z) = x2 +y2
G1(P0) = 0
−z, si vede che
G2(P0) = 0 ,
ossia che G(P0) = 0 se G = (G1,G2).
√
1 3 2
Inoltre si calcola che DG(P0) =
1 √
, e da qui si ricavano i determinanti
3 −1
UG(P0) = −3 √ 3, VG(P0) = 3, WG(P0) = 0. Poiché essi non sono tutti nulli, possiamo
affermare che il luogo Γ degli zeri della G è, nell’intorno di P0, il sostegno di una curva
regolare e semplice, e che la tangente a Γ in P0 ha la direzione del vettore (−3 √ 3,3,0).
Essendo in particolare UG(P0) = 0, il sistema definisce implicitamente la coppia di
funzioni y = g1(x) e z = g2(x), ciascuna di classe C 1 in un intorno di x0 = 1
2
g1( 1
2 ) = √ 3
2 e g2( 1
Le derivate g ′ 1 (1
2 ) e g′ 2 (1
2
, e tali che
2 ) = 1; inoltre risulta g′ 1( 1 VG(P0) 1
2 ) = UG(P0) = −√ e g
3 ′ 2( 1 WG(P0)
2 ) = UG(P0) = 0.
) potevano essere calcolate anche nel seguente modo: per
comodità indichiamo le funzioni implicite con y = y(x) e z = z(x); derivando rispetto
ad x ambo i membri di ciascuna delle due equazioni del sistema, otteniamo il sistema
2x+2yy ′ +2zz ′ = 0
2x+2yy ′ −z ′ = 0
; questo, per x = 1
2 , y = √ 3
2 e z = 1, fornisce
y ′ ( 1
2
z ′ ( 1
2
) = − 1
√ 3
) = 0
Osserviamo che, con facili manipolazioni algebriche, il sistema assegnato può mettersi
2 2
nella forma
x +y = 1
, dalla quale è evidente che le funzioni g1(x) e g2(x) possono
z = 1
in questo caso essere anche esplicitate: g1(x) = √ 1−x 2 e g2(x) = 1.
Concludiamo osservando che, essendo anche VG(P0) = 0, il teorema del Dini può essere
applicato anche in ordine alla possibilità di esprimere, in un intorno di P0, le variabili x
e z in funzione della variabile y, ossia di trasformare il sistema assegnato in un sistema
x = h1(y)
del tipo
z = h2(y) ; sulle funzioni h1 ed h2 si possono poi fare considerazioni analoghe
a quelle fatte per le funzioni g1 e g2.
11
.

Esempio F1.10. Il punto (0,2,0) è singolare per la curva
Esso infatti è soluzione (l’unica) del sistema formato dalle cinque
equazioni G1(x,y,z) = 0, G2(x,y,z) = 0, UG(x,y,z) = 0,
VG(x,y,z) = 0, WG(x,y,z) = 0, dove si è posto
G1(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 −4 e G2(x,y,z) = x 2 +y 2 −2y.
Da notare che il punto in questione è regolare sia per la superficie
x 2 +y 2 +z 2 = 4
x 2 +y 2 −2y = 0 .
sferica x 2 +y 2 +z 2 = 4 sia per la superficie cilindrica x 2 +y 2 −2y = 0;
esse si intersecano lungo la curva assegnata e sono tra loro tangenti nel punto assegnato.
Tutto ciò risulta confermato dal fatto che ∇G1(0,2,0) = (0,2,0) e ∇G2(0,2,0) =
(0,4,0), cosicché le due superfici hanno, nel punto (0,2,0), piano tangente comune, di
equazione y = 2.
Esempio F1.11. Il punto (0,0,0) è singolare per la curva
Si riconosce anche che il punto in questione è regolare per cia-
scuna delle superfici x 2 +y 2 −z = 0 e x 2 +y 2 +z 2 −2z = 0;
esse si intersecano lungo la curva assegnata e sono tra loro tan-
genti nel punto assegnato. Invero, posto G1(x,y,z) = x 2 +y 2 −z
e G2(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 −2z, si calcola che ∇G1(0,0,0) =
(0,0,−1) e ∇G2(0,0,0) = (0,0,−2).
x 2 +y 2 −z = 0
x 2 +y 2 +z 2 −2z = 0 .
Si vede inoltre facilmente che il sistema assegnato si spezza nei due seguenti sistemi:
2 2 2 2 x +y = 1
e
x +y = 0
; pertanto la curva assegnata è costituita dall’unione di
z = 1 z = 0
una circonferenza e del punto isolato (0,0,0).
2 2 2 x +y −z = 0
Esempio F1.12. Il punto (0,0,0) è singolare per la curva
x2 +y2−2y = 0 .
In verità non poteva essere altrimenti, dato che, com’è noto,
il punto in questione è singolare già per la superficie conica
x 2 +y 2 −z 2 = 0. Invero, posto P0 = (0,0,0) e G = (G1,G2),
con G1(x,y,z) = x 2 +y 2 −z 2 e G2(x,y,z) = x 2 +y 2 −2y = 0,
e considerato che ∇G1(P0) = (0,0,0), è evidente che la matrice
jacobiana DG(P0) non può avere rango 2.
12

•) Il caso dei sistemi di due equazioni in quattro variabili.
Consideriamo infine il caso n = 2, k = 2, ossia quello del sistema
in ordine alla possibilità di esprimere u e v in funzione di x e di y.
G1(x,y,u,v)= 0
G2(x,y,u,v)= 0 ,
Ovviamente a questo caso non è possibile associare una interpretazione geometrica (1) .
Teorema F1.5. Sia G = (G1,G2) : A → IR 2 , con A aperto di IR 4 e G∈C 1 (A). Sia
(x0,y0,u0,v0) ∈ A con G(x0,y0,u0,v0) = 0. Se | ∂(G1,G2)
∂(u,v) (x0,y0,u0,v0)| = 0, allora
∃I ∈ I(x0,y0) ed ∃J ∈ I(u0,v0), con I×J ⊆ A, tali che ∀(x,y) ∈ I ∃!(u,v) =:
(g1(x,y),g2(x,y))∈J tale che G(x,y,u,v)= 0, ossia tali (gli intorni I e J) che ∃!g =
(g1,g2) : I → J tale che ∀(x,y)∈I G(x,y,g1(x,y),g2(x,y)) = 0.
Inoltre g(x0,y0) = (u0,v0). Infine g∈C 1 (I) e, ∀(x,y)∈I, risulta:
∂g1
∂x (x,y) = −| ∂(G1 ,G2 )
∂g2
∂x (x,y) = −| ∂(G1 ,G2 )
∂(x,v) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
| ∂(G 1 ,G 2 )
∂(u,v) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
∂(u,x) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
| ∂(G 1 ,G 2 )
∂(u,v) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
, ∂g1
, ∂g2
∂y (x,y) = −|∂(G 1 ,G 2 )
∂y (x,y) = −|∂(G 1 ,G 2 )
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
∂(y,v)
| ∂(G1 ,G2 )
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))| ∂(u,v) ,
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
∂(u,y)
| ∂(G1 ,G2 )
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))| ∂(u,v) .
Anchequisuggeriamounmetodopraticopercalcolarelederivatedellefunzioni implicite
g1 e g2, ammesso che le ipotesi del teorema siano soddisfatte: partendo dal sistema
G1(x,y,u,v) = 0
G2(x,y,u,v) = 0 , nel quale si pensi u = g1(x,y) e v = g2(x,y), si derivano rispetto
ad x ambo i membri delle due equazioni, ottenendo
(G1)x(x,y,u,v)+(G1)u(x,y,u,v)ux+(G1)v(x,y,u,v)vx = 0
, e da qui si ricava che
(G2)x(x,y,u,v)+(G2)u(x,y,u,v)ux+(G2)v(x,y,u,v)vx = 0
ux = − |∂(G 1 ,G2 )
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
∂(x,v)
| ∂(G1 ,G2 )
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))| ∂(u,v) e vx = − |∂(G 1 ,G2 )
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
∂(u,x)
| ∂(G1 ,G2 )
(x,y,g1(x,y),g2(x,y))| ∂(u,v) ;
se invece deriviamo rispetto ad y, otteniamo
(G1)y(x,y,u,v)+(G1)u(x,y,u,v)uy +(G1)v(x,y,u,v)vy = 0
, e da qui si ricava che
(G2)y(x,y,u,v)+(G2)u(x,y,u,v)uy +(G2)v(x,y,u,v)vy = 0
uy = − |∂(G 1 ,G 2 )
∂(y,v) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
| ∂(G 1 ,G 2 )
∂(u,v) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))| e vy = − |∂(G 1 ,G 2 )
∂(u,y) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))|
| ∂(G 1 ,G 2 )
∂(u,v) (x,y,g1(x,y),g2(x,y))| .
Quanto detto fin qui può essere ripetuto cambiando il ruolo delle variabili, ossia in
ciascuna delle seguenti ipotesi: | ∂(G1,G2)
∂(y,v) (P0)|=0, | ∂(G1,G2)
∂(x,v) (P0)|=0, | ∂(G1,G2)
∂(y,u) (P0)|=
0, | ∂(G1,G2)
∂(x,u) (P0)| = 0, | ∂(G1,G2)
∂(x,y) (P0)| = 0, dove s’è posto P0 = (x0,y0,u0,v0) e dove si
riconosceche questideterminanti, unitamentea | ∂(G1,G2)
∂(u,v) (P0)| che comparenel teorema
enunciato, sono tutti i minori d’ordine due della matrice jacobiana DG(P0).
(1) Il sistema in oggetto rappresenta una varietà bidimensionale in IR 4 (n = k = 2).
Le altre possibili varietà in IR 4 sono la curva (n = 1, k = 3) e la ipersuperficie (n = 3, k = 1).
13

F2. Invertibilità delle funzioni da IR n in IR n
Sia F : X → IR n , con X aperto connesso di IR n ed F ∈ C 1 (X). Ci poniamo il problema
di stabilire sotto quali condizioni F è invertibile.
Il problema è già risolto se n = 1, essendo noto che: se ∀x∈X F ′ (x) = 0, allora F è
invertibile nell’intervallo X. Infatti il teorema degli zeri applicato ad F ′ assicura che F ′
è ovunque positiva o ovunque negativa in X, cosicché F è strettamente monotona in X.
Si sa anche che F −1 ∈C 1 (F(X)), e che ∀y∈F(X) (F −1 ) ′ (y) = 1
F ′ (x) , con x = F−1 (y).
Tornando ad n qualsiasi, un caso particolare notevole si ha con F : IR n → IR n lineare.
Detta A la matrice associata ad F, ossia quella per cui F(x) = Ax ∀x∈IR n , è noto
che, se detA = 0, allora ∀y ∈IR n ∃!x∈IR n tale che Ax = y (teorema di Cramer).
Se ricordiamo che ∀x∈IR n Df(x) = A, il risultato esposto può essere espresso come
segue: se ∀x∈IR n Jf(x) = 0, allora F è invertibile. Si sa inoltre che anche la funzione
F −1 è lineare, e che la matrice ad essa associata è A −1 ; ne segue che F −1 ∈ C 1 (IR n ) e
che ∀y∈IR n DF −1 (y) = [DF(x)] −1 , dove x = F −1 (y).
Gli esempi trattatifanno pensare che, anche nel caso generale, una condizione sufficiente
per l’invertibilità di F è che risulti JF(x) = 0 ∀x∈X.
Ma le cose non stanno così, come dimostra l’esempio che segue.
Esempio F2.1. Siano X = {(x1,x2)∈IR 2 /x1 > 0} ed F(x1,x2) = (x1cosx2, x1senx2)
∀(x1,x2)∈X. Si vede che F ∈C 1 (X) eche JF(x1,x2) = x1 = 0 ∀(x1,x2)∈X. D’altra
parte risulta F(x1,x2) = F(x1,x2+2kπ) ∀k∈Z, cosicché F non è invertibile in X.
Si può comunque provare che, sempre nell’ipotesi JF(x) = 0 ∀x∈X, se F è invertibile,
allora F −1 ∈ C 1 (F(X)) e ∀y ∈ F(X) DF −1 (y) = [DF(x)] −1 , con x = F −1 (y). In
particolare, la formula per DF −1 (y) si ricava osservando che, essendo F◦F −1 = i F(X) ,
deve aversi DF(x)DF −1 (y) = In, dove In è la matrice unitaria d’ordine n.
A ben vedere, il problema dell’invertibilità di F, che evidentemente nel caso globale non
èsemplice, può essere vistocome unparticolareproblema di funzione implicita: stabilire
sotto quali condizioni, data l’equazione y = F(x), ossia l’equazione G(x,y) = 0 con
G(x,y) = F(x)−y, è possibile, almeno sul piano teorico, esprimere x in funzione di y.
Osservato allora che ∀(x,y)∈X×IR n risulta ∂G
∂G (x,y) = DF(x) e ∂x ∂y (x,y) = −In, dal
teorema del Dini applicato a G discende il seguente risultato, che, nella solita ipotesi su
JF(x), garantisce quanto meno l’invertibilità locale di F.
Teorema F2.1 (diinvertibilitàlocale). Sia F : X → IR n , conX apertoed F ∈ C 1 (X),
e sia x0∈X. Se JF(x0) = 0, allora ∃I(⊆ X)∈I(x0) ed ∃J∈I(F(x0)) tali che ∀y∈J
∃!x∈I tale che F(x) = y, ossia tali (gli intorni I e J) che F |I sia bigettiva fra I e J.
Inoltresi ha (F |I) −1 ∈ C 1 (J) e ∀y∈J D(F |I) −1 (y) = [DF(x)] −1 , con x = (F |I) −1 (y).
14

F3. Problemi di massimo e minimo vincolati
Vogliamo affrontare il problema della determinazione dei valori massimo e minimo fra
quelli che una data funzione assume sui punti di una data curva o di una data superficie.
La funzione è spesso chiamata “funzione obiettivo”, la curva e la superficie son chiamate
“vincoli”, gli estremi di cui s’è detto son chiamati “estremi vincolati”.
Se si opera in IR 2 , il vincolo èuna curva, ossia un insieme di dimensione uno, individuato
da un’uguaglianza del tipo G(x,y) = 0. Se invece si opera in IR 3 , il vincolo può essere
ancora una curva, ossia ancora un insieme di dimensione uno, individuato da una coppia
G1(x,y,z) = 0
di uguaglianze del tipo ; oppure una superficie, ossia un insieme di
G2(x,y,z) = 0
dimensione due, individuato da una uguaglianza del tipo G(x,y,z) = 0.
Considereremo solo casi in cui la funzione obiettivo e le funzioni che individuano il
vincolo sono di classe C 1 ; inoltre, con l’eccezione di qualche esempio particolare, considereremo
solo vincoli limitati e privi di punti singolari.
All’inizio utilizzeremo il metodo della parametrizzazione del vincolo, in modo che il
problema sia ricondotto, nel caso di curve, ad un problema di una sola variabile, il
parametro t, e, nel caso di superfici, ad un problema di due variabili, i parametri u
e v. In quest’ultimo caso, il problema cui ci si riconduce è quello di determinare gli
estremi di una funzione su un dominio di IR 2 , individuato da disuguaglianze imposte ai
parametri. Pertanto, per fare in modo che sotto questo punto di vista la trattazione
sia completa, ci occuperemo anche di casi in cui la funzione obiettivo è da valutare su
domini appunto di IR 2 ed anche di IR 3 , dunque su insiemi aventi la stessa dimensione
dell’ambiente di cui fanno parte, che a volte vengono detti “vincoli di disuguaglianza”.
Successivamente ci occuperemo del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, considerando
dapprima ilcaso incui ilvincolosia una curva inIR 2 , poiquellodella curva inIR 3 , quindi
quello della superficie in IR 3 , per concludere con il caso generale del vincolo costituito
da un insieme di dimensione m–k nello spazio IR m .
Esempio F3.1. Unaparticelladimassamèvincolataamuoversi lungolacirconferenza
Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +y 2 = 1} nel piano verticale xy, rimanendo ancorata
al punto (1,0) mediante una molla ideale di costante elastica k.
Vogliamo calcolare la posizione di equilibrio stabile della particella,
soggetta alla forza di gravità e alla forza elastica.
Il punto di equilibrio stabile è quello in cui l’energia potenziale
è minima. L’energia potenziale della particella nel punto (x,y) è
f(x,y) = mgy+ 1
2 k[(x−1)2 +y 2 ]. Il problema è quello di calcolare il minimo di f su Γ.
Poiché Γ è parametrizzata da γ ≡ (cost,sent), t∈[− π
2
, 3π
2
], i valori di f su Γ sono quelli
che assume la funzione F(t) = f(γ(t)) = mgsent+k(1−cost) per t∈[− π
2
15
, 3π
2 ].

Si calcola che F ′ (t) = 0 ⇔ tgt = − mg
k
⇔ t = arctg −mg
k =: t1 ∨ t = π +t1 =: t2.
Dal confronto fra F(− π)
= F(3π
2 2 ) = k − mg, F(t1) = k − k2 +m2g 2 , F(t2) =
k + k2 +m2g 2 (1) , si deduce che minF = F(t1) e maxF = F(t2).
Essendo γ(t1) = P1 = (
√ k
k2 +m2g2 , √ −mg
k2 +m2g2 ) e γ(t2)
−k
= P2 = ( √
k2 +m2g2 ,
√ mg
k2 +m2g2 ),
concludiamo che min Γ f=f(P1)=k − k 2 +m 2 g 2 e max Γ f=f(P2)=k+ k 2 +m 2 g 2 .
Esempio F3.2. Calcoliamo gli estremi della funzione f(x,y) = 3x 2 − 2y 2 − 4x
sull’insieme E = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2y 2 ≤ 1}.
L’insieme E è un vincolo di disuguaglianza, la cui frontiera è il vincolo di uguaglianza
Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2y 2 = 1}. La risoluzione va divisa in due parti: ricerca dei punti
stazionari interni ad E e ricerca dei punti stazionari vincolati a ∂E.
Imponendo ∇f(x,y) = 0 si determina ( 2
3 ,0), unico punto stazionario interno ad E.
La frontiera Γ è parametrizzata da γ ≡ (cost, 1 √ sent), t∈[−π,π], cosicché i valori di
2
f su Γ sono quelli che assume la funzione F(t) = f(γ(t)) = 3cos 2 t−sen 2 t−4cost per
t∈[−π,π]. Si calcola che F ′ (t) = 0 ⇔ t = ±π ∨ t = ± π
3
corrispondono i punti stazionari di f vincolati a Γ: (−1,0), ( 1
2 ,±
3
8
∨ t = 0; a questi valori di t
), (1,0).
Dalconfrontodeivaloridif neicinquepuntitrovatisievincechemin f = f( E 1
2 ,±
−2 e max f = f(−1,0) = 7.
E
Esempio F3.3. Calcoliamo i punti della curva Γ = {(x,y,z)∈IR 3 /
per i quali è minima o massima la distanza dal punto (0,0,0).
3
8
) =
2x 2 +y 2 = 8
2x−z +1 = 0 }
Assumiamo come funzione obiettivo la funzione f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 , quadrato della
distanza del punto (x,y,z) dal punto (0,0,0).
Considerato che il vincolo Γ è parametrizzato da γ ≡ (2cost,2 √ 2sent,4cost+1), t∈
[−π,π], introduciamo la funzione F(t) = f(γ(t)) = 12cos 2 t+8cost+9, con t∈[−π,π].
Si calcola che F ′ (t) = 0 ⇔ t = ±π ∨ t = 0 ∨ t = ±arccos(− 1
3 ), e si scopre che
minF = F(±arccos(− 1 23
3 )) = 3
e maxF = F(0) = 29.
Si conclude che i punti di Γ più vicini all’origine sono (− 2
3 ,±8
mentre il punto più lontano è (2,0,5), con distanza √ 29.
3 ,−1 ), con distanza 3
23
3 ,
Osserviamo che il problema poteva essere risolto eliminando una variabile: poiché su
Γ risulta z = 2x + 1, i valori di f su Γ sono quelli che assume la funzione h(x,y) =
f(x,y,2x+1) = 5x 2 +y 2 +4x+1 sul vincolo Γ1 = {(x,y)∈IR 2 /2x 2 +y 2 = 8}.
(1) A ben vedere, i punti − π
2
e 3π
2
tali sarebbero se avessimo scelto di far variare t non in [− π
2
per il primo punto e in [0,2π] per il secondo.
potevano essere trattati come comuni punti interni, dato che
16
3π , 2 ], bensì ad esempio in [−π,π]

Esempio F3.4. Calcoliamo gli estremi della funzione f(x,y,z) = √ 3x+ √ 3y−3 √ 2z
sulla superficie Σ = {(x,y,z)∈IR 3 /x 2 +y 2 +z 2 = 2, z ≤ 1}.
Il vincolo Σ è parametrizzato da φ ≡ ( √ 2cosucosv, √ 2cosusenv, √ 2senu), su E =
[−π π , ]×[0,2π], cosicché i valori di f su Σ sono quelli che assume la funzione F(u,v) =
2 4
f(φ(u,v)) = √ 6(cosucosv+cosusenv− √ 6senu) sull’insieme E, che è un vincolo di
disuguaglianza.
Procedendo come nell’Esempio F3.2, dapprima si cercano i punti stazionari di F interni
ad E, e si trova (− π
3
i valori di F son dati da r(v) = F(− π
2
π
, 4 ). Quindi si considerano i punti della frontiera. Sul lato u = −π
2
,v) = 6 (il fatto che si tratti di valori costanti
non sorprende, dal momento che ai punti di questo lato corrisponde un unico punto
della superficie sferica). Sul lato u = π
4
i valori di F sono quelli della funzione s(v) =
F( π
4 ,v) = √ 3 cosv + √ 3 senv − 3 √ 2, di cui si calcola che i punti stazionari interni
all’intervallo [0,2π] sono ( π
4
, π
4
) e (π
4
, 5
4
π). Passando ai lati v = 0 e v = 2π, si esamina
la funzione t(u) = F(u,0) = F(u,2π) = √ 6 cosu−6 senu), di cui si calcola che l’unico
punto stazionario interno all’intervallo [−π π , 2 2 ] è u = −arctg√6. Infine vanno considerati i valori che F assume nei quattro vertici del rettangolo E.
Dal confronto dei valori di F nei punti trovati (1) deduciamo che min EF = F( π
4
5π
, 4 ) =
− √ 6−3 √ 2 e max F = F(− E π π
3 , 4 ) = 4√3. Infine, tornando alla f, si conclude che min f = f(− Σ 1 √ ,−
2 1 √ ,1) = −6 − 3
2 √ 2 e
max f = f(− Σ 1
2 ,−1 2 , √ √2 3 ) = 4 √ 3.
Esempio F3.5. Calcoliamo gli estremi della funzione f(x,y,z) = x 2 y−z sull’insieme
E = {(x,y,z)∈IR 3 /z ≥ x 2 +y 2 , x 2 +y 2 +z 2 ≤ 2}.
L’insieme E è un vincolo di disuguaglianza, cosicché il lavoro va diviso nella ricerca dei
punti stazionari interni ad E e nella ricerca dei punti stazionari vincolati a ∂E.
La frontiera ∂E a sua volta va considerata composta dalle seguenti parti: la superficie
Σ1 = {(x,y,z)∈IR 3 /z = x 2 +y 2 , x 2 +y 2 < 1}, che richiede la determinazione dei punti
stazionari di F1(x,y) = f(x,y,x 2 +y 2 ) sull’insieme B1 = {(x,y)∈IR 2 /x 2 + y 2 < 1};
la superficie Σ2 = {(x,y,z)∈IR 3 /x 2 +y 2 +z 2 = 1, x 2 +y 2 < 1}, che richiede la deter-
minazione dei punti stazionari di F2(u,v) = f( √ 2cosucosv, √ 2cosusenv, √ 2senu)
sull’insieme B2 = {(u,v)∈IR 2 / π π < u ≤ , 0 ≤ v ≤ 2π}; la curva Γ = {(x,y,z)∈
4 2
IR 3
2 2
/
x +y = 1
}, che richiede la determinazione dei punti stazionari di G(t) =
z = 1
f(cost,sent,1) sull’insieme D = [0,2π].
(1)
A ben vedere, i punti dei lati v = 0 e v = 2π potevano essere trattati come comuni punti
interni, poiché tali sarebbero se avessimo scelto di far variare v non in [0,2π], bensì ad esempio
in [−π,π] per il primo lato e in [π,3π] per il secondo. Un discorso analogo si può fare per il
lato u = ± π
2 , dato che anche la posizione dei poli dipende dalla scelta della parametrizzazione.
17

F4. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
•) Estremi di funzioni di due variabili su vincoli unidimensionali.
Siano f,G : A → IR, con A aperto di IR 2 ed f,G ∈ C 1 (A). Considerato l’insieme
Γ = {(x,y)∈A/G(x,y) = 0}, che in questo contesto avrà il ruolo di vincolo, vogliamo
riprendereilproblemadideterminare, seesistono, il min Γf edil max Γf,ossiagliestremi
di f vincolati a Γ. Sappiamo già che, se Γ si rappresenta parametricamente mediante
l’applicazione γ ≡ γ(t), t ∈ I, con I intervallo di IR, il problema può essere risolto
riconducendolo a quello di ricercare gli estremi della funzione F(t) = f(γ(t)), t∈I , che
è funzione di una sola variabile.
Considerato anche che non sempre del vincolo Γ si riesce a dare una rappresentazione
parametrica, è utile trovare un metodo che si possa applicare direttamente alla funzione
G. A tale scopo, considerato P0 punto regolare di Γ, cerchiamo una opportuna condizione
necessaria affinché P0 sia un punto di estremo relativo per f |Γ (punto di estremo
relativo di f vincolato a Γ); infatti questa è a sua volta una condizione necessaria perché
P0 sia punto di estremo assoluto per f |Γ .
E’ noto che, essendo ∇G(P0) = (0,0), il vincolo Γ è, in un intorno di P0, il sostegno
di una curva regolare e semplice, che indichiamo con γ ≡ γ(t), t∈I, dove I è un intervallo
aperto di IR. Se si suppone che P0 sia punto di estremo relativo per f |Γ , allora
t0 := γ −1 (P0) dovrà essere punto di estremo relativo per F = f◦γ (invero, supposto ad
esempio che f(P) ≤ f(P0) ∀P ∈B ∩Γ, con B ⊆ A intorno di P0, considerato che, per
la continuità di γ in t0, esiste J∈I(t0) tale che J ⊆ I e γ(J) ⊆ B, si ha che ∀t∈J
f(γ(t)) ≤ f(P0) = f(γ(t0))), e dunque dovrà risultare F ′ (t0) = ∇f(P0)·γ ′ (t0) = 0 (1) ,
come dire che il vettore ∇f(P0) dovrà essere nullo o comunque normale a Γ in P0.
Ricordando infine che anche il vettore ∇G(P0) è normale a Γ in P0, concludiamo che
∇f(P0) dovrà essere nullo o comunque parallelo a ∇G(P0), ossia che dovrà esistere
λ0∈IR tale che ∇f(P0) = λ0∇G(P0).
Con ciò è sostanzialmente provato il cosiddetto teorema dei moltiplicatori di Lagrange,
che riportiamo qui di seguito. In esso sarà utilizzata la funzione, detta lagrangiana
associata allefunzioni f e G, L : A×IR → IR, definita da L(x,y,λ) = f(x,y)−λG(x,y);
il parametro λ prende il nome di moltiplicatore di Lagrange.
Teorema F4.1. Siano f,G : A → IR, con A aperto di IR 2 ed f,G ∈ C 1 (A); sia
Γ = {P ∈A/G(P) = 0}; sia infine P0∈Γ, con ∇G(P0) = 0. Se P0 è punto di estremo
relativo per f |Γ , allora ∃λ0∈IR tale che ∇L(P0,λ0) = 0.
(1)
Indicato con w il versore tangente a Γ in P0, w = γ′ (t0)
|γ ′ , qui si è provato che: condizione
(t0)|
necessaria affinché P0 sia punto di estremo relativo per f è che |Γ ∂f
∂w (P0) = 0.
18

Dim. Si ripete il ragionamento fatto sopra, e si giunge alla tesi osservando che, siccome
∀P ∈A e ∀λ∈IR Lx(P,λ) = fx(P)−λGx(P), Ly(P,λ) = fy(P)−λGy(P), Lλ(P,λ) =
−G(P), allora la condizione ∇L(P0,λ0) = (0,0,0) equivale alla coppia di condizioni
G(P0) = 0, che è nelle ipotesi, e ∇f(P0)−λ0∇G(P0) = (0,0), che è già stata provata
Pertanto, nell’ipotesi che f e G siano di classe C 1 nell’aperto A, i punti di estremo
relativo di f vincolati a Γ vanno ricercati nelle seguenti due classi di punti: i punti
singolari di Γ e i punti P regolari di Γ tali che ∇L(P,λ) sia nullo per qualche λ∈IR,
ossia tali che (P,λ) sia punto stazionario per la funzione L. I punti di questa seconda
classe si dicono punti stazionari di f vincolati a Γ; ed è importante ribadire che questi
punti possono anche non essere di estremo relativo per f |Γ , dato che il teorema fornisce
una condizione soltanto necessaria.
Segnaliamoinfine cheinalcuniproblemi può accadere chelefunzioni f eGsianodefinite
su un insieme E non aperto, e che qualche punto di Γ appartenga a ∂E; in questi casi
il metodo dei moltiplicatori di Lagrange potrà essere applicato al vincolo Γ ∗ := Γ∩E o ,
ossia alle funzioni f |E o e G |E o, e i punti di Γ\Γ ∗ dovranno essere considerati a parte.
Esempio F4.1. Calcoliamo i punti della curva Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 4 +y 4 +6xy−8 = 0}
per i quali è minima o massima la distanza dall’origine.
Si tratta di calcolare gli estremi della funzione f(x,y) = x 2 +y 2
sull’insieme degli zeri di G(x,y) = x 4 +y 4 +6xy −8.
Osserviamo dapprima che Γ è un insieme limitato. Infatti, per ogni
(x,y)∈Γ si ha (x 2 +y 2 ) 2 = x 4 +y 4 +2x 2 y 2 ≤ 2(x 4 +y 4 ) ≤ 16−12xy ≤
16 + 12|xy| ≤ 16 + 6(x 2 +y 2 ), ossia ρ 4 ≤ 16 + 6ρ 2 , ossia ancora ρ ≤ 2 √ 2, dove
si è posto ρ = x 2 +y 2 ; dunque la curva Γ è contenuta nel cerchio di centro (0,0)
e raggio 2 √ 2. Oppure si procede così: si interseca Γ con la retta y = mx, ottenendo
i punti (±x(m),±y(m)), con x(m) = 2 √
2/ 3m+ √ 8m4 +9m2 +8 e y(m) =
2 √ 2m/ 3m+ √ 8m 4 +9m 2 +8, si osserva che le funzioni x(m) ed y(m), m∈IR, sono
limitate, e si conclude che la curva Γ è contenuta in un rettangolo.
VerificatocheΓnonhapuntisingolari,introduciamolafunzionelagrangiana L(x,y,λ)=
x2 +y2 −λ(x 4 +y4 ⎧
+6xy−8) ed imponiamo che ∇L(x,y,λ) = 0, ottenendo il sistema
⎨x−2λx
⎩
3 −3λy = 0
y −2λy3 −3λx = 0
x4 +y4 .
+6xy −8 = 0
Le soluzioni del sistema sono (±1,±1, 1 1
5 ) e (∓2,±2, 5 ), cosicché i punti stazionari di f
vincolatiaΓsonoquattro: (±1,±1)e(∓2,±2). Poiché f(±1,±1) = 2 e f(∓2,±2) = 8,
concludiamo che i punti più vicini all’origine sono (±1,±1), a distanza √ 2, e quelli più
lontani sono (∓2,±2), a distanza 2 √ 2.
19

Esempio F4.2. La superficie di una scatola di forma cilindrica
senza coperchio ha area uguale a 12π. Determiniamo il raggio di
base x e l’altezza y tali che la capacità sia massima, ritenendo
certo che la scatola di capacità massima esiste e non è degenere.
Poiché il volume della scatola è πx 2 y, e l’area della superficie è
πx 2 +2πxy, il problema è quello di determinare i valori di x ed y
che rendono massima la funzione f(x,y) = x 2 y sul vincolo
Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2xy = 12, x,y > 0}.
Posto G(x,y) = x 2 +2xy −12 e osservato che ∇G(x,y) = (0,0)
nei punti di Γ, si introduce L(x,y,λ) = x 2 y −λ(x 2 +2xy −12)
e si calcola che (2,2) è l’unico punto stazionario di f vincolato a Γ.
Si conclude che la scatola di capacità massima ha raggio di base 2
ed altezza 2.
Esempio F4.3. Calcoliamo i punti della curva Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2y 2 −2xy−1 = 0
x,y ≥ 0} per i quali è minima o massima la somma delle distanze dagli assi.
Si tratta di calcolare i punti di minimo e di massimo su Γ della fun-
zione f(x,y) = x+y. Posto Γ ∗ = {(x,y)∈Γ/x,y > 0}, si vede che
Γ ∗ è l’insieme degli zeri della funzione G(x,y) = x 2 +2y 2 −2xy −1
nell’aperto A = {(x,y)∈IR 2 /x,y > 0}. Appurato che Γ ∗ non ha pun-
ti singolari, si introduce la funzione L(x,y,λ) = f(x,y)−λG(x,y) e
si calcola che il gradiente di L è nullo in corrispondenza del punto ( 3 √ 5 , 2
√ 5 ) ∈ Γ ∗ .
Dal confronto dei valori che f assume nel punto trovato e negli estremi (1,0) e (0, 1 √ )
2
di Γ, si scopre che min f = f(0, Γ 1 √ ) =
2 1 √ e max f = f(
2 Γ 3 √ ,
5 2 √ ) =
5 √ 5.
Esempio F4.4. Per calcolare gli estremi della funzione f(x,y) = y 4 − x 2 + 3y sulla
curva Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 = y 3 }, un metodo efficace è quello di ricondursi allafunzione
F(t) = f(γ(t)) = t 8 −t 6 +3t 2 , dove γ ≡ (t 3 ,t 2 ), t∈IR. Del resto la riduzione ad una
sola variabile si può ottenere anche osservando che sui punti di Γ, dove x 2 = y 3 , i valori
di f sono quelli della funzione h(y) = y 4 −y 3 +3y, y∈[0,+∞[.
Volendo comunque applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,
si osserva che il gradiente della lagrangiana L(x,y,λ) = y 4 −x 2 +3y−
λ(x 2 −y 3 ) non è mai nullo in corrispondenza dei punti di Γ, cosicché
il confronto risolutivo va fatto soltanto fra il valore di f nel punto (0,0), che è singolare
per Γ, e il limite di f per (x,y) tendente all’infinito su Γ, dato che Γ non è limitato.
In ogni caso si conclude che min Γ f = f(0,0) = 0, che f non ha massimo su Γ e che
sup f = lim Γ (x,y)→∞ f (x,y) = lim
|Γ y→+∞ (y4−y 3 +3y) = +∞.
20

•) Estremi di funzioni di tre variabili su vincoli unidimensionali.
Siano f,G1,G2 : A → IR, con A aperto di IR 3 ed f,G1,G2 ∈C 1 (A). Considerato il
G1(x,y,z) = 0
vincolo Γ = {(x,y,z)∈ A/ }, anche qui ci poniamo il problema di
G2(x,y,z) = 0
calcolare, se esistono, gli estremi di f vincolati a Γ, ossia il min Γ f ed il max Γ f . E
anche qui ricordiamo che il problema è di facile soluzione se Γ viene rappresentato come
il sostegno della curva γ ≡ γ(t), t∈I, poiché in tal caso si tratta di ricercare gli estremi
della funzione di una sola variabile F(t) = f(γ(t)), t∈I .
Ma ora proponiamoci di determinare un metodo che coinvolga direttamente le funzioni
G1 e G2. Supponiamo allora che P0 sia un punto regolare di Γ e cerchiamo una condizione
necessaria affinché P0 sia punto di estremo relativo per f (punto di estremo
|Γ
relativo di f vincolato a Γ).
E’ noto che, poiché la matrice ∂(G1,G2)
∂(x,y,z) (P0) ha rango 2, il vincolo Γ è, in un intorno di
P0, il sostegno di una curva regolare e semplice γ ≡ γ(t), t∈I, con I intervallo aperto
di IR, e che i vettori ∇G1(P0) e ∇G2(P0) individuano il piano normale a Γ in P0.
Allora, considerato t0∈I tale che γ(t0) = P0, si ha che:
(P0 èpunto diestremo relativoperf )=⇒ (t0 èpunto di estremo relativoper F = f◦γ)
|Γ
=⇒ (F ′ (t0) = ∇f(P0)·γ ′ (t0) = 0) =⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque normale a Γ in
P0) =⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque complanare con i vettori ∇G1(P0) e ∇G2(P0))
=⇒ (∃λ0,µ0∈IR tali che ∇f(P0) = λ0∇G1(P0)+µ0∇G2(P0)).
Allo scopo di esprimere in modo più agevole il risultato ottenuto, introduciamo la funzione
lagrangiana associata alle funzioni f, G1 e G2, ossia la funzione L : A×IR 2 → IR
definita da L(x,y,z,λ,µ)= f(x,y,z)−λG1(x,y,z)−µG2(x,y,z), con i suoi due moltiplicatori
λ e µ, ed osserviamo che la condizione alla quale siamo pervenuti, unitamente
alla condizione che P0∈Γ, può essere espressa nella seguente forma: ∃λ0,µ0∈IR tali
che ∇L(P0,λ0,µ0) = (0,0,0,0,0).
Con ciò risulta sostanzialmente dimostrato il seguente
Teorema F4.2. Siano: f : A → IR e G : A → IR 2 funzioni di classe C 1 in A aperto di
IR 3 , Γ = {P∈A/G(P) = 0}, P0∈Γ tale che la matrice DG(P0) abbia rango 2. Se P0
è punto di estremo relativo per f |Γ , allora ∃λ0,µ0∈IR tali che ∇L(P0,λ0,µ0) = 0.
Pertanto, nell’ipotesi che f e G = (G1,G2) siano di classe C 1 nell’aperto A, i punti di
estremo relativo di f vincolati a Γ vanno ricercati tra i punti singolari di Γ e tra i punti
P regolari di Γ tali che ∇L(P,λ,µ) sia nullo per qualche coppia di valori reali λ e µ.
Questi ultimi punti sono detti punti stazionari di f vincolati a Γ, e non è garantito che
essi siano necessariamente punti di estremo relativo per f |Γ .
Chiaramente anche qui vale la considerazione, fatta nella sezione precedente, relativa al
caso in cui f e G sono definite in E non aperto e qualche punto di Γ appartiene a ∂E.
21

Esempio F4.5. Determiniamo i punti della curva Γ = {(x,y,z)∈IR 3 /2x−z +1 = 0,
2x 2 +y 2 = 8} aventi distanza minima o massima dall’origine (vedi l’Esempio F3.3).
Si tratta di calcolare i punti di Γ nei quali è minima o massima la funzione f(x,y,z) =
x 2 + y 2 + z 2 (1) . Si osserva che Γ è limitato; infatti, per ogni (x,y,z)∈Γ si ha che
|x| ≤ 1
√ 2
2x 2 +y 2 = 1
√2
√ 8 = 2, |y| ≤ 2x 2 +y 2 = √ 8, |z| ≤ 2|x|+1 ≤ 5.
Considerate le funzioni G1(x,y,z) = 2x−z+1 e G2(x,y,z) = 2x 2 +y 2 −8 ed osservato
che Γ non ha punti singolari, si introduce la funzione L(x,y,z,λ,µ) = f(x,y,z) −
λG1(x,y,z) − µG2(x,y,z) e si calcola che ∇L è nullo in corrispondenza dei punti
3 ,−1 3 ). Dal confronto dei valori di f in questi punti si
evince che min f = f(− Γ 2
3 ,±8 3 ,−1 23 ) = 3 3 e max f = f(2,0,5) = 29.
Γ
(2,0,5), (−2,0,−3), (− 2
3 ,±8
•) Estremi di funzioni di tre variabili su vincoli bidimensionali.
L’ultimo problema che vogliamo affrontare è quello della ricerca del min Σ f e del max Σ f
(estremi di f vincolati a Σ), dove f : A → IR con A aperto di IR 3 e Σ = {(x,y,z)∈A/
G(x,y,z) = 0} con G : A → IR, ed inoltre f,G∈C 1 (A).
Se Σ si rappresenta parametricamente mediante l’applicazione φ ≡ φ(u,v), (u,v)∈D,
con D ⊆ IR 2 , allora il problema si trasferisce alla funzione F(u,v) = f(φ(u,v)), (u,v)∈
D, che è funzione di due variabili. Se ad esempio D è un dominio, la risoluzione del
problema dovrà passare in genere attraverso la determinazione dei punti di estremo
relativo di F interni a D e dei punti di estremo relativo di F vincolati a ∂D.
Ma ora cerchiamo un metodo che coinvolga direttamente la funzione G; e, a tale scopo,
fissiamo P0 punto regolare di Σ e cerchiamo una condizione necessaria affinché P0 sia
punto di estremo relativo per f |Σ (punto di estremo relativo di f vincolato a Σ).
Poiché ∇G(P0) = (0,0,0),ilvincoloΣè, inunintornodiP0, ilsostegnodiunasuperficie
regolare φ ≡ φ(u,v), (u,v)∈B, con B aperto di IR 2 ; si sa inoltre che il vettore ∇G(P0)
è normale a Σ in P0 e che, considerato (u0,v0)∈B tale che φ(u0,v0) = P0, i vettori
φu(u0,v0) e φv(u0,v0) individuano il piano tangente a Σ in P0. Ne segue che:
(P0 èpunto diestremo relativoper f |Σ )=⇒ ((u0,v0)èpunto diestremo relativoper F =
f◦φ) =⇒ (Fu(u0,v0) = ∇f(P0)·φu(u0,v0) = 0 e Fv(u0,v0) = ∇f(P0)·φv(u0,v0) = 0)
=⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque normale a Σ in P0) =⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque
parallelo al vettore ∇G(P0)) =⇒ (∃λ0∈IR tale che ∇f(P0) = λ0∇G(P0)).
(1) In verità la distanza dall’origine sarebbe x 2 +y 2 +z 2 , ma è noto che √ t è minima o
massima quando il valore di t è rispett/te minimo o massimo.
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Introduciamo ora la funzione lagrangiana associata alle funzioni f e G, L : A×IR →
IR, definita da L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) − λG(x,y,z), con il suo moltiplicatore λ, ed
osserviamo che la condizione alla quale siamo pervenuti, unitamente alla condizione che
P0∈Σ, può essere espressa nella forma: ∃λ0∈IR tale che ∇L(P0,λ0) = (0,0,0,0).
Sussiste pertanto il seguente
Teorema F4.6. Siano f,G : A → IR, con A aperto di IR 3 ed f,G ∈ C 1 (A); sia
Σ = {P∈A/G(P) = 0}; sia infine P0∈Σ, con ∇G(P0) = 0. Se P0 è punto di estremo
relativo per f |Σ , allora ∃λ0∈IR tale che ∇L(P0,λ0) = 0.
Pertanto si conclude che, nell’ipotesi che f e G siano di classe C 1 nell’aperto A, i punti
di estremo relativo di f vincolati a Σ vanno ricercati fra i punti singolari di Σ e i punti
P regolari di Σ tali che ∇L(P,λ) sia nullo per qualche λ∈IR. Questi ultimi punti si
dicono punti stazionari di f vincolati a Σ, e non è detto che essi siano necessariamente
punti di estremo relativo per f |Σ .
Chiaramente anche qui vale la considerazione, fatta nelle sezioni precedenti, relativa al
caso in cui f e G sono definite in E non aperto e qualche punto di Σ appartiene a ∂E.
Esempio F4.6. Determiniamo i punti della superficie Σ = {(x,y,z)∈IR 3 /2x−z+1 =
0, 2x 2 +y 2 ≤ 8} aventi distanza minima o massima dall’origine. In sostanza si tratta di
calcolare i punti di Σ nei quali è massima o minima la funzione f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 .
Posto Σ ∗ = {(x,y,z) ∈ Σ/2x 2 + y 2 < 8}, si vede che Σ ∗ è l’insieme degli zeri di
G(x,y,z) = 2x−z +1 nell’aperto A = {(x,y,z)∈IR 3 /2x 2 +y 2 < 8}.
Introdotta la funzione L(x,y,z,λ) = f(x,y,z)−λG(x,y,z), si trova
che il gradiente di L è nullo in corrispondenza del punto (−2 1 ,0, 5 5 ).
Detto Γ il bordo di Σ, Γ = Σ\Σ ∗ , si sa (dall’Esempio F4.5) che i pun-
ti stazionari di f vincolati a Γ sono (2,0,5), (−2,0,−3), (− 2
3 ,±8
3 ,−1
3 ).
Dal confronto dei valori di f nei punti trovati si scopre che min Σ f = f(− 2
5
max Σf = f(2,0,5)= 29.
1 1 ,0, 5 ) = 5 e
Esempio F4.7. Calcoliamo minimo e massimo della funzione f(x,y,z) = x+y −2z
sulla superficie Σ = {(x,y,z)∈IR 3 /x 2 +y 2 +z 2 = 6, x,y,z ≥ 0}.
Dapprima si lavora sul vincolo Σ ∗ = {(x,y,z)∈Σ/x,y,z > 0}, che è
la superficie assegnata privata del bordo: introdotta la lagrangiana
L(x,y,z,λ) = x+y −2z −λ(x 2 +y 2 +z 2 −6), si scopre che non esistono
punti stazionari vincolati a Σ ∗ .
Si considera poi Γ ∗ 1 = {(x,y,z)∈Σ/z = 0, x,y > 0}, che è una parte del bordo di Σ.
Ma qui il problema si può ridurre alle sole variabili x ed y: trovare i punti stazionari di
f1(x,y) := f(x,y,0) vincolati a ζ ∗ 1 = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +y 2 = 6, x,y > 0}. Introdotta
la lagrangiana L(x,y,λ) = x+y −λ(x 2 +y 2 −6), si trova il punto ( √ 3, √ 3,0).
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In modo analogo si lavora su Γ ∗ 2 = {(x,y,z)∈Σ/y = 0, x,z > 0} e su Γ ∗ 3 = {(x,y,z)∈
Σ/x = 0, y,z > 0}. Su queste curve non si trovano punti stazionari vincolati.
Confrontando tra loro i valori che f assume nel punto trovato ( √ 3, √ 3,0) e nei vertici
( √ 6,0,0), (0, √ 6,0) e (0,0, √ 6), si evince che min Σ f = f(0,0, √ 6) = −2 √ 6 e max Σ f =
f( √ 3, √ 3,0) = 2 √ 3.
Esempio F4.8. Calcoliamo il minimo ed il massimo della funzione f(x,y,z) = z−x 2 y
nell’insieme Ω = {(x,y,z)∈IR 3 /z ≥ x 2 +y 2 , x 2 +y 2 +z 2 ≤ 2} (vedi l’Esempio F3.5).
Ilteoremadi Weierstrassgarantiscel’esistenza degliestremi richiesti. Inoltreosserviamo
che Ω è un vincolo di disuguaglianza, ossia un sottoinsieme di IR 3 avente interno non
vuoto. Pertanto la risoluzione del problema va divisa nelle seguenti parti:
a) ricerca dei punti stazionari di f interni ad Ω: si impone che
∇f(x,y,z) = (0,0,0), e non si trova nessuna soluzione;
b) ricerca dei punti stazionari di f vincolati alla superficie
Σ1 = {(x,y,z)∈IR 3 /z = x 2 +y 2 , x 2 +y 2 < 1}: si impone
che ∇L(x,y,z,λ) = (0,0,0,0), con L(x,y,z,λ) = f(x,y,z)−
λ(x 2 +y 2 −z), e si trova il punto (0,0,0);
c) ricerca dei punti stazionari di f vincolati alla superficie Σ2 = {(x,y,z)∈IR 3 /x 2 +
y 2 + z 2 = 2, z > 1}: si impone che ∇L(x,y,z,λ) = (0,0,0,0), con L(x,y,z,λ) =
f(x,y,z)−λ(x 2 +y 2 +z 2 −2), e si trovano i punti (0,0, √ 2) e (±1/ √ 3,−1/ √ 6, √ 6/2);
d) ricerca dei punti stazionari di f vincolati alla curva Γ = {(x,y,z)∈IR 3 /x 2 +y 2 =
1, z = 1}, che è il bordo comune a Σ1 e Σ2: si impone che ∇L(x,y,z,λ,µ) =
(0,0,0,0,0), con L(x,y,z,λ,µ) = f(x,y,z)−λ(x 2 +y 2 −1)−µ(z−1), e si trovano i
punti (0,±1,1), (± 2/3,− 1/3,1) e (± 2/3, 1/3,1).
Osservato che ∂Ω = Σ1 ∪ Σ2 ∪ Γ, concludiamo che gli estremi di f in Ω sono dati
rispettivamentedalpiùpiccoloedalpiùgrandedei valoridi f nei punti cosìdeterminati,
e sono: min Ωf = 0 = f(0,0,0) e max Ωf = √ 2 = f(0,0, √ 2).
•) Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel caso generale.
I tre teoremi trattati nei paragrafi precedenti possono essere interpretati come casi
particolari del teorema che segue, riferito ad una funzione di m variabili su un vincolo
(m−k)–dimensionale contenuto in IR m , con k,m∈IN, k < m.
Teorema F4.4 (dei moltiplicatori di Lagrange). Sia A un aperto di IR m e siano
f ∈ C 1 (A,IR), e G ∈ C 1 (A,IR k ), con 1 ≤ k < m. Sia Γ = {P ∈A/G(P) = 0} e sia
P0∈Γ tale che la matrice DG(P0) abbia rango k. Se P0 è punto di estremo relativo per
f |Γ ,allora,consideratalafunzione L : A×IR k → IR definitada L(P,Λ) = f(P)−Λ·G(P),
esiste Λ0∈IR k tale che ∇L(P0,Λ0) = 0.
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