F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

•) Estremi di funzioni di tre variabili su vincoli unidimensionali.
Siano f,G1,G2 : A → IR, con A aperto di IR 3 ed f,G1,G2 ∈C 1 (A). Considerato il
G1(x,y,z) = 0
vincolo Γ = {(x,y,z)∈ A/ }, anche qui ci poniamo il problema di
G2(x,y,z) = 0
calcolare, se esistono, gli estremi di f vincolati a Γ, ossia il min Γ f ed il max Γ f . E
anche qui ricordiamo che il problema è di facile soluzione se Γ viene rappresentato come
il sostegno della curva γ ≡ γ(t), t∈I, poiché in tal caso si tratta di ricercare gli estremi
della funzione di una sola variabile F(t) = f(γ(t)), t∈I .
Ma ora proponiamoci di determinare un metodo che coinvolga direttamente le funzioni
G1 e G2. Supponiamo allora che P0 sia un punto regolare di Γ e cerchiamo una condizione
necessaria affinché P0 sia punto di estremo relativo per f (punto di estremo
|Γ
relativo di f vincolato a Γ).
E’ noto che, poiché la matrice ∂(G1,G2)
∂(x,y,z) (P0) ha rango 2, il vincolo Γ è, in un intorno di
P0, il sostegno di una curva regolare e semplice γ ≡ γ(t), t∈I, con I intervallo aperto
di IR, e che i vettori ∇G1(P0) e ∇G2(P0) individuano il piano normale a Γ in P0.
Allora, considerato t0∈I tale che γ(t0) = P0, si ha che:
(P0 èpunto diestremo relativoperf )=⇒ (t0 èpunto di estremo relativoper F = f◦γ)
|Γ
=⇒ (F ′ (t0) = ∇f(P0)·γ ′ (t0) = 0) =⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque normale a Γ in
P0) =⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque complanare con i vettori ∇G1(P0) e ∇G2(P0))
=⇒ (∃λ0,µ0∈IR tali che ∇f(P0) = λ0∇G1(P0)+µ0∇G2(P0)).
Allo scopo di esprimere in modo più agevole il risultato ottenuto, introduciamo la funzione
lagrangiana associata alle funzioni f, G1 e G2, ossia la funzione L : A×IR 2 → IR
definita da L(x,y,z,λ,µ)= f(x,y,z)−λG1(x,y,z)−µG2(x,y,z), con i suoi due moltiplicatori
λ e µ, ed osserviamo che la condizione alla quale siamo pervenuti, unitamente
alla condizione che P0∈Γ, può essere espressa nella seguente forma: ∃λ0,µ0∈IR tali
che ∇L(P0,λ0,µ0) = (0,0,0,0,0).
Con ciò risulta sostanzialmente dimostrato il seguente
Teorema F4.2. Siano: f : A → IR e G : A → IR 2 funzioni di classe C 1 in A aperto di
IR 3 , Γ = {P∈A/G(P) = 0}, P0∈Γ tale che la matrice DG(P0) abbia rango 2. Se P0
è punto di estremo relativo per f |Γ , allora ∃λ0,µ0∈IR tali che ∇L(P0,λ0,µ0) = 0.
Pertanto, nell’ipotesi che f e G = (G1,G2) siano di classe C 1 nell’aperto A, i punti di
estremo relativo di f vincolati a Γ vanno ricercati tra i punti singolari di Γ e tra i punti
P regolari di Γ tali che ∇L(P,λ,µ) sia nullo per qualche coppia di valori reali λ e µ.
Questi ultimi punti sono detti punti stazionari di f vincolati a Γ, e non è garantito che
essi siano necessariamente punti di estremo relativo per f |Γ .
Chiaramente anche qui vale la considerazione, fatta nella sezione precedente, relativa al
caso in cui f e G sono definite in E non aperto e qualche punto di Γ appartiene a ∂E.
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