F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

Esempio F1.10. Il punto (0,2,0) è singolare per la curva
Esso infatti è soluzione (l’unica) del sistema formato dalle cinque
equazioni G1(x,y,z) = 0, G2(x,y,z) = 0, UG(x,y,z) = 0,
VG(x,y,z) = 0, WG(x,y,z) = 0, dove si è posto
G1(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 −4 e G2(x,y,z) = x 2 +y 2 −2y.
Da notare che il punto in questione è regolare sia per la superficie
x 2 +y 2 +z 2 = 4
x 2 +y 2 −2y = 0 .
sferica x 2 +y 2 +z 2 = 4 sia per la superficie cilindrica x 2 +y 2 −2y = 0;
esse si intersecano lungo la curva assegnata e sono tra loro tangenti nel punto assegnato.
Tutto ciò risulta confermato dal fatto che ∇G1(0,2,0) = (0,2,0) e ∇G2(0,2,0) =
(0,4,0), cosicché le due superfici hanno, nel punto (0,2,0), piano tangente comune, di
equazione y = 2.
Esempio F1.11. Il punto (0,0,0) è singolare per la curva
Si riconosce anche che il punto in questione è regolare per cia-
scuna delle superfici x 2 +y 2 −z = 0 e x 2 +y 2 +z 2 −2z = 0;
esse si intersecano lungo la curva assegnata e sono tra loro tan-
genti nel punto assegnato. Invero, posto G1(x,y,z) = x 2 +y 2 −z
e G2(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 −2z, si calcola che ∇G1(0,0,0) =
(0,0,−1) e ∇G2(0,0,0) = (0,0,−2).
x 2 +y 2 −z = 0
x 2 +y 2 +z 2 −2z = 0 .
Si vede inoltre facilmente che il sistema assegnato si spezza nei due seguenti sistemi:
2 2 2 2 x +y = 1
e
x +y = 0
; pertanto la curva assegnata è costituita dall’unione di
z = 1 z = 0
una circonferenza e del punto isolato (0,0,0).
2 2 2 x +y −z = 0
Esempio F1.12. Il punto (0,0,0) è singolare per la curva
x2 +y2−2y = 0 .
In verità non poteva essere altrimenti, dato che, com’è noto,
il punto in questione è singolare già per la superficie conica
x 2 +y 2 −z 2 = 0. Invero, posto P0 = (0,0,0) e G = (G1,G2),
con G1(x,y,z) = x 2 +y 2 −z 2 e G2(x,y,z) = x 2 +y 2 −2y = 0,
e considerato che ∇G1(P0) = (0,0,0), è evidente che la matrice
jacobiana DG(P0) non può avere rango 2.
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