F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

F4. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
•) Estremi di funzioni di due variabili su vincoli unidimensionali.
Siano f,G : A → IR, con A aperto di IR 2 ed f,G ∈ C 1 (A). Considerato l’insieme
Γ = {(x,y)∈A/G(x,y) = 0}, che in questo contesto avrà il ruolo di vincolo, vogliamo
riprendereilproblemadideterminare, seesistono, il min Γf edil max Γf,ossiagliestremi
di f vincolati a Γ. Sappiamo già che, se Γ si rappresenta parametricamente mediante
l’applicazione γ ≡ γ(t), t ∈ I, con I intervallo di IR, il problema può essere risolto
riconducendolo a quello di ricercare gli estremi della funzione F(t) = f(γ(t)), t∈I , che
è funzione di una sola variabile.
Considerato anche che non sempre del vincolo Γ si riesce a dare una rappresentazione
parametrica, è utile trovare un metodo che si possa applicare direttamente alla funzione
G. A tale scopo, considerato P0 punto regolare di Γ, cerchiamo una opportuna condizione
necessaria affinché P0 sia un punto di estremo relativo per f |Γ (punto di estremo
relativo di f vincolato a Γ); infatti questa è a sua volta una condizione necessaria perché
P0 sia punto di estremo assoluto per f |Γ .
E’ noto che, essendo ∇G(P0) = (0,0), il vincolo Γ è, in un intorno di P0, il sostegno
di una curva regolare e semplice, che indichiamo con γ ≡ γ(t), t∈I, dove I è un intervallo
aperto di IR. Se si suppone che P0 sia punto di estremo relativo per f |Γ , allora
t0 := γ −1 (P0) dovrà essere punto di estremo relativo per F = f◦γ (invero, supposto ad
esempio che f(P) ≤ f(P0) ∀P ∈B ∩Γ, con B ⊆ A intorno di P0, considerato che, per
la continuità di γ in t0, esiste J∈I(t0) tale che J ⊆ I e γ(J) ⊆ B, si ha che ∀t∈J
f(γ(t)) ≤ f(P0) = f(γ(t0))), e dunque dovrà risultare F ′ (t0) = ∇f(P0)·γ ′ (t0) = 0 (1) ,
come dire che il vettore ∇f(P0) dovrà essere nullo o comunque normale a Γ in P0.
Ricordando infine che anche il vettore ∇G(P0) è normale a Γ in P0, concludiamo che
∇f(P0) dovrà essere nullo o comunque parallelo a ∇G(P0), ossia che dovrà esistere
λ0∈IR tale che ∇f(P0) = λ0∇G(P0).
Con ciò è sostanzialmente provato il cosiddetto teorema dei moltiplicatori di Lagrange,
che riportiamo qui di seguito. In esso sarà utilizzata la funzione, detta lagrangiana
associata allefunzioni f e G, L : A×IR → IR, definita da L(x,y,λ) = f(x,y)−λG(x,y);
il parametro λ prende il nome di moltiplicatore di Lagrange.
Teorema F4.1. Siano f,G : A → IR, con A aperto di IR 2 ed f,G ∈ C 1 (A); sia
Γ = {P ∈A/G(P) = 0}; sia infine P0∈Γ, con ∇G(P0) = 0. Se P0 è punto di estremo
relativo per f |Γ , allora ∃λ0∈IR tale che ∇L(P0,λ0) = 0.
(1)
Indicato con w il versore tangente a Γ in P0, w = γ′ (t0)
|γ ′ , qui si è provato che: condizione
(t0)|
necessaria affinché P0 sia punto di estremo relativo per f è che |Γ ∂f
∂w (P0) = 0.
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