F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

-) Se le ipotesi del teorema sono soddisfatte, e in particolare risulta Gy(x0,y0) = 0, così
da esser certi che la funzione implicita y = g(x) esiste ed è di classe C 1 in un intorno di
x0, la sua derivata y ′ può essere calcolata direttamente dall’uguaglianza G(x,y) = 0,
ove si pensi y funzione di x. Si ricava infatti, grazie al teorema di derivazione della
funzione composta, che Gx(x,y)+Gy(x,y)y ′ = 0, ossia appunto che y ′ = − Gx(x,y)
Gy(x,y) .
Dalla formula dimostrata g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) , se ci si mette nell’ipotesi più forte che
G∈C 2 (A), si deduce che g∈C 2 (I), e, a conti fatti, che
g ′′ (x) = −
2
2
Gxx(x,g(x))Gy (x,g(x))−2Gxy(x,g(x))Gx(x,g(x))Gy(x,g(x))+Gyy(x,g(x))G x (x,g(x))
G3 y (x,g(x))
.
Ciò fa capire come sia possibile dimostrare, ragionando per induzione, che, ∀h∈IN, da
G∈C h (A) segue che g∈C h (I), e che la derivata h-esima di g nel punto x è esprimibile
in funzione delle derivate parziali fino all’ordine h di G nel punto (x,g(x)).
La conoscenza delle derivate di g in x0, ricavate dalle derivate parziali di G in (x0,y0),
consente di ricavare lo sviluppo di Taylor di g di punto iniziale x0; cosicché la funzione
implicita, che spesso non è concretamente esplicitabile, potrà comunque essere
conosciuta con una certa approssimazione in prossimità del punto x0.
Esempio F1.2. Siano l’equazione xe y −y = 0 e, per cominciare, il punto (0,0).
Posto G(x,y) = xe y −y, si vede che G∈C ∞ (IR 2 ), che G(0,0) = 0 eche Gy(0,0) = −1.
Pertanto l’equazione definisce implicitamente in un intorno di (0,0)
una funzione y = y(x), che è di classe C ∞ in un intorno del punto 0.
E’ noto che y(0) = 0. Derivando rispetto ad x ambo i membri dell’equazione
assegnata, dove si pensi y dipendente da x, si ricava che
e y +xe y y ′ −y ′ = 0; da qui, ponendo x = 0 e y = 0, si deduce che
y ′ (0) = 1. Derivando ulteriormente, sempre rispetto ad x, si trova
che 2e y y ′ +xe y (y ′ ) 2 +xe y y ′′ −y ′′ = 0, e da qui, ponendo x = 0,
y = 0 e y ′ = 1, si ottiene che y ′′ (0) = 2. Pertanto: y(x) = x+x 2 +o(x 2 ) per x → 0.
Passiamo ora ad analizzare gli altri punti della curva Γ = {(x,y)∈IR 2 /G(x,y) = 0}.
G(x,y) = 0
Risolvendo il sistema
Gy(x,y) = 0 , si trova che (e−1 ,1) è l’unico punto della curva
nel quale il teorema
del Dini è inapplicabile allo scopo di esprimere y in funzione di x.
G(x,y) = 0
Invece il sistema non ammette soluzioni, cosicché ogni punto della curva
Gx(x,y) = 0
possiede un intorno nel quale la stessa è grafico di una funzione di classe C1 del tipo
x = x(y). Si riconosce anzi che in questo caso la curva Γ è anche globalmente grafico di
una funzione della y, essendo Γ = {(x,y)∈IR 2 /x = ye−y } (1) .
(1) Può capitareche un’intera curvasialocalmentegrafico di funzioni ad esempiodellavariabile
y, senza che la stessa sia globalmente grafico di una funzione della variabile y; si pensi alla
curva di equazione (x−y)(x−y +1) = 0.
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