F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

F2. Invertibilità delle funzioni da IR n in IR n
Sia F : X → IR n , con X aperto connesso di IR n ed F ∈ C 1 (X). Ci poniamo il problema
di stabilire sotto quali condizioni F è invertibile.
Il problema è già risolto se n = 1, essendo noto che: se ∀x∈X F ′ (x) = 0, allora F è
invertibile nell’intervallo X. Infatti il teorema degli zeri applicato ad F ′ assicura che F ′
è ovunque positiva o ovunque negativa in X, cosicché F è strettamente monotona in X.
Si sa anche che F −1 ∈C 1 (F(X)), e che ∀y∈F(X) (F −1 ) ′ (y) = 1
F ′ (x) , con x = F−1 (y).
Tornando ad n qualsiasi, un caso particolare notevole si ha con F : IR n → IR n lineare.
Detta A la matrice associata ad F, ossia quella per cui F(x) = Ax ∀x∈IR n , è noto
che, se detA = 0, allora ∀y ∈IR n ∃!x∈IR n tale che Ax = y (teorema di Cramer).
Se ricordiamo che ∀x∈IR n Df(x) = A, il risultato esposto può essere espresso come
segue: se ∀x∈IR n Jf(x) = 0, allora F è invertibile. Si sa inoltre che anche la funzione
F −1 è lineare, e che la matrice ad essa associata è A −1 ; ne segue che F −1 ∈ C 1 (IR n ) e
che ∀y∈IR n DF −1 (y) = [DF(x)] −1 , dove x = F −1 (y).
Gli esempi trattatifanno pensare che, anche nel caso generale, una condizione sufficiente
per l’invertibilità di F è che risulti JF(x) = 0 ∀x∈X.
Ma le cose non stanno così, come dimostra l’esempio che segue.
Esempio F2.1. Siano X = {(x1,x2)∈IR 2 /x1 > 0} ed F(x1,x2) = (x1cosx2, x1senx2)
∀(x1,x2)∈X. Si vede che F ∈C 1 (X) eche JF(x1,x2) = x1 = 0 ∀(x1,x2)∈X. D’altra
parte risulta F(x1,x2) = F(x1,x2+2kπ) ∀k∈Z, cosicché F non è invertibile in X.
Si può comunque provare che, sempre nell’ipotesi JF(x) = 0 ∀x∈X, se F è invertibile,
allora F −1 ∈ C 1 (F(X)) e ∀y ∈ F(X) DF −1 (y) = [DF(x)] −1 , con x = F −1 (y). In
particolare, la formula per DF −1 (y) si ricava osservando che, essendo F◦F −1 = i F(X) ,
deve aversi DF(x)DF −1 (y) = In, dove In è la matrice unitaria d’ordine n.
A ben vedere, il problema dell’invertibilità di F, che evidentemente nel caso globale non
èsemplice, può essere vistocome unparticolareproblema di funzione implicita: stabilire
sotto quali condizioni, data l’equazione y = F(x), ossia l’equazione G(x,y) = 0 con
G(x,y) = F(x)−y, è possibile, almeno sul piano teorico, esprimere x in funzione di y.
Osservato allora che ∀(x,y)∈X×IR n risulta ∂G
∂G (x,y) = DF(x) e ∂x ∂y (x,y) = −In, dal
teorema del Dini applicato a G discende il seguente risultato, che, nella solita ipotesi su
JF(x), garantisce quanto meno l’invertibilità locale di F.
Teorema F2.1 (diinvertibilitàlocale). Sia F : X → IR n , conX apertoed F ∈ C 1 (X),
e sia x0∈X. Se JF(x0) = 0, allora ∃I(⊆ X)∈I(x0) ed ∃J∈I(F(x0)) tali che ∀y∈J
∃!x∈I tale che F(x) = y, ossia tali (gli intorni I e J) che F |I sia bigettiva fra I e J.
Inoltresi ha (F |I) −1 ∈ C 1 (J) e ∀y∈J D(F |I) −1 (y) = [DF(x)] −1 , con x = (F |I) −1 (y).
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