F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

•) Il caso delle equazioni in tre variabili.
Approfondiamo ora il caso n = 2, k = 1, ossia quello dell’equazione G(x,y,z) = 0, in
ordine alla possibilità di esprimere z in funzione di x e di y.
Teorema F1.3. Sia G : A → IR, con A aperto di IR 3 e G∈C 1 (A). Sia (x0,y0,z0)∈A
con G(x0,y0,z0) = 0. Se Gz(x0,y0,z0) = 0, allora ∃I ∈ I(x0,y0) ed ∃J ∈ I(z0),
con I×J ⊆ A, tali che ∀(x,y)∈I ∃!z =: g(x,y)∈J tale che G(x,y,z) = 0, ossia
tali (gli intorni I e J) che ∃!g : I → J tale che ∀(x,y) ∈ I G(x,y,g(x,y)) = 0.
Inoltre g(x0,y0) = z0. Infine g ∈ C 1 (I) e, ∀(x,y)∈I, gx(x,y) = − Gx(x,y,g(x,y))
Gz(x,y,g(x,y)) e
gy(x,y) = − Gy(x,y,g(x,y))
Gz(x,y,g(x,y)) .
Osserviamo che, se le ipotesi del teorema sono soddisfatte, le derivate parziali gx e gy
possono essere calcolate direttamente dall’uguaglianza G(x,y,z) = 0, nella quale si
pensi z dipendente da x e da y, ossia appunto z = g(x,y). Si ricava infatti, derivando
amboimembriprimarispettoadxepoirispettoady,che Gx(x,y,z)+Gz(x,y,z)zx = 0
e che Gy(x,y,z)+Gz(x,y,z)zy = 0, da cui si passa rispettivamente a zx = − Gx(x,y,z)
Gz(x,y,z)
ed a zy = − Gy(x,y,z)
, in sostanziale accordo con le formule presentate nel teorema.
Gz(x,y,z)
Il teorema stabilisce in sostanza che, posto Σ = {(x,y,z)∈A/G(x,y,z) = 0}, che è la
“superficiedilivello0”dellafunzioneG, econsiderato P0 = (x0,y0,z0)∈Σ, se Gz(P0) =
0, allora l’insieme Σ è, in un intorno di P0, il grafico di una funzione di classe C 1 del tipo
z = g(x,y). Analogamente, serisulta Gy(P0) = 0 o Gx(P0) = 0,alloraΣè, nell’intorno
di P0, il grafico di una funzione di classe C1 rispettivamente del tipo y = h(x,z) e
x = l(y,z), le cui derivate parziali son date dalle formule: hx(x,z) = − Gx(x,h(x,z),z)
Gy(x,h(x,z),z) ,
hz(x,z) = − Gz(x,h(x,z),z)
Gy(x,h(x,z),z) , ly(y,z) = − Gy(l(y,z),y,z)
Gx(l(y,z),y,z) , lz(y,z) = − Gz(l(y,z),y,z)
Gx(l(y,z),y,z) .
Pertanto, se ∇G(P0) = (0,0,0), allora l’insieme Σ è, in un intorno di P0, il sostegno di
una superficie regolare. Il piano tangente a questa superficie nel punto P0 ha equazione
Gx(P0)(x−x0)+Gy(P0)(y−y0)+Gz(P0)(z−z0) = 0. Infatti, se ad esempio la superficie
si rappresenta nella forma z = g(x,y), è noto che il piano tangente ha equazione
z = g(x0,y0)+gx(x0,y0)(x−x0)+gy(x0,y0)(y−y0), e da questa si passa all’equazione
suddetta ricordando i valori in (x0,y0) di g, gx, gy stabiliti dal teorema. In modo
analogo si ragiona negli altri due casi.
Ponendo P = (x,y,z), l’equazione del piano tangente può essere
riscritta nella forma ∇G(P0)·(P −P0) = 0, dalla quale si dedu-
ce che il vettore ∇G(P0) è normale alla superficie Σ nel punto P0.
Se ∇G(P0) = (0,0,0), diciamo che P0 è un punto regolare della superficie Σ; altrimenti
si dice che P0 è un punto singolare di Σ (relativamente a G).
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