F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

•) Il caso delle equazioni in due variabili.
Analizziamo più da vicino il caso n = k = 1, ossia quello dell’equazione G(x,y) = 0,
con G funzione reale di due variabili reali.
Teorema F1.2. Sia G : A → IR, con A aperto di IR 2 e G∈C 1 (A). Sia (x0,y0)∈A
con G(x0,y0) = 0. Se Gy(x0,y0) = 0, allora ∃I∈I(x0) ed ∃J∈I(y0), con I×J ⊆ A,
tali che ∀x∈I ∃!y =: g(x)∈J tale che G(x,y) = 0, ossia tali (gli intorni I e J) che
∃!g : I → J tale che ∀x∈I G(x,g(x)) = 0. Inoltre g(x0) = y0. Infine g∈C 1 (I) e
∀x∈I g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) .
Dim. Supponiamo Gy(x0,y0) > 0. Dal teorema della permanenza del segno applicato
alla funzione Gy segue che ∃σ∈IR + tale che Qσ := [x0−σ, x0+σ]×[y0−σ, y0+σ] ⊆ A
e ∀(x,y)∈Qσ Gy(x,y) > 0. Ne discende che, ∀x∈[x0−σ, x0+σ], la funzione G(x,·)
è strett/te crescente in [y0−σ, y0+σ]. Ciò vale in particolare per la funzione G(x0,·),
cosicché risulta G(x0,y0−σ) < G(x0,y0) < G(x0,y0+σ), ossia G(x0,y0−σ) < 0 e
G(x0,y0+σ) > 0. Per il teorema della permanenza del segno applicato alla funzione G,
∃δ(≤ σ)∈IR + tale che ∀x∈]x0−δ, x0+δ[ risulta
G(x,y0−σ) < 0 e G(x,y0+σ) > 0. Allora, per ogni
x∈]x0−δ, x0+δ[, per il teorema degli zeri applicato
alla funzione G(x,·) e per la iniettività della stessa,
∃!y =: g(x)∈]y0−σ, y0+σ[ tale che G(x,y) = 0.
Con ciò è provata la prima parte della tesi, ove si
assumano I =]x0−δ, x0+δ[ e J =]y0−σ, y0+σ[.
Per costruzione risulta g(x0) = y0.
Fissato x∈I, proviamoche ∃g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) ; eatalescopo prendiamo h ∈ IR\{0}
tale che x+h∈I. Per il teorema di Lagrange in due variabili, esiste (ξ,η) interno al
segmento di estremi (x,g(x)) e (x+h,g(x+h)) tale che G(x+h,g(x+h))−G(x,g(x)) =
Gx(ξ,η)h+Gy(ξ,η)(g(x+h)−g(x));ed’altraparte, percomeèdefinita g, sihache G(x+
h,g(x+h))−G(x,g(x)) = 0−0 = 0. Nesegue, essendo Gy(ξ,η) = 0, che g(x+h)−g(x) =
− Gx(ξ,η)
h. Unaprimaconseguenza diquestauguaglianzaècherisulta |g(x+h)−g(x)| ≤
Gy(ξ,η)
max |Gx|
I×J
min I×J |Gy|
|h|; da quisegueche g(x+h)−→ g(x), ossiache g ècontinua inx(cosicchég è
h→0
continua in I, data l’arbitrarietà di x), e ciò implica a sua volta che (ξ,η)−→ (x,g(x)),
h→0
dato che |ξ − x| < |h| e |η − g(x)| < |g(x + h) − g(x)|. Una seconda conseguenza
dell’uguaglianza stabilita è che g(x+h)−g(x)
= − Gx(ξ,η)
, da cui discende, grazie anche
alla continuità di Gx e Gy, che lim
h→0
h
g(x+h)−g(x)
h
Con ciò è provato che ∀x∈I ∃g ′ (x) = − Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x))
Gx, Gy e g, che g ′ ∈C 0 (I), ossia che g∈C 1 (I)
3
Gy(ξ,η)
= lim (−
h→0 Gx(ξ,η)
Gy(ξ,η) ) = −Gx(x,g(x))
Gy(x,g(x)) .
, e da qui segue, per la continuità di