F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

In modo analogo si lavora su Γ ∗ 2 = {(x,y,z)∈Σ/y = 0, x,z > 0} e su Γ ∗ 3 = {(x,y,z)∈
Σ/x = 0, y,z > 0}. Su queste curve non si trovano punti stazionari vincolati.
Confrontando tra loro i valori che f assume nel punto trovato ( √ 3, √ 3,0) e nei vertici
( √ 6,0,0), (0, √ 6,0) e (0,0, √ 6), si evince che min Σ f = f(0,0, √ 6) = −2 √ 6 e max Σ f =
f( √ 3, √ 3,0) = 2 √ 3.
Esempio F4.8. Calcoliamo il minimo ed il massimo della funzione f(x,y,z) = z−x 2 y
nell’insieme Ω = {(x,y,z)∈IR 3 /z ≥ x 2 +y 2 , x 2 +y 2 +z 2 ≤ 2} (vedi l’Esempio F3.5).
Ilteoremadi Weierstrassgarantiscel’esistenza degliestremi richiesti. Inoltreosserviamo
che Ω è un vincolo di disuguaglianza, ossia un sottoinsieme di IR 3 avente interno non
vuoto. Pertanto la risoluzione del problema va divisa nelle seguenti parti:
a) ricerca dei punti stazionari di f interni ad Ω: si impone che
∇f(x,y,z) = (0,0,0), e non si trova nessuna soluzione;
b) ricerca dei punti stazionari di f vincolati alla superficie
Σ1 = {(x,y,z)∈IR 3 /z = x 2 +y 2 , x 2 +y 2 < 1}: si impone
che ∇L(x,y,z,λ) = (0,0,0,0), con L(x,y,z,λ) = f(x,y,z)−
λ(x 2 +y 2 −z), e si trova il punto (0,0,0);
c) ricerca dei punti stazionari di f vincolati alla superficie Σ2 = {(x,y,z)∈IR 3 /x 2 +
y 2 + z 2 = 2, z > 1}: si impone che ∇L(x,y,z,λ) = (0,0,0,0), con L(x,y,z,λ) =
f(x,y,z)−λ(x 2 +y 2 +z 2 −2), e si trovano i punti (0,0, √ 2) e (±1/ √ 3,−1/ √ 6, √ 6/2);
d) ricerca dei punti stazionari di f vincolati alla curva Γ = {(x,y,z)∈IR 3 /x 2 +y 2 =
1, z = 1}, che è il bordo comune a Σ1 e Σ2: si impone che ∇L(x,y,z,λ,µ) =
(0,0,0,0,0), con L(x,y,z,λ,µ) = f(x,y,z)−λ(x 2 +y 2 −1)−µ(z−1), e si trovano i
punti (0,±1,1), (± 2/3,− 1/3,1) e (± 2/3, 1/3,1).
Osservato che ∂Ω = Σ1 ∪ Σ2 ∪ Γ, concludiamo che gli estremi di f in Ω sono dati
rispettivamentedalpiùpiccoloedalpiùgrandedei valoridi f nei punti cosìdeterminati,
e sono: min Ωf = 0 = f(0,0,0) e max Ωf = √ 2 = f(0,0, √ 2).
•) Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel caso generale.
I tre teoremi trattati nei paragrafi precedenti possono essere interpretati come casi
particolari del teorema che segue, riferito ad una funzione di m variabili su un vincolo
(m−k)–dimensionale contenuto in IR m , con k,m∈IN, k < m.
Teorema F4.4 (dei moltiplicatori di Lagrange). Sia A un aperto di IR m e siano
f ∈ C 1 (A,IR), e G ∈ C 1 (A,IR k ), con 1 ≤ k < m. Sia Γ = {P ∈A/G(P) = 0} e sia
P0∈Γ tale che la matrice DG(P0) abbia rango k. Se P0 è punto di estremo relativo per
f |Γ ,allora,consideratalafunzione L : A×IR k → IR definitada L(P,Λ) = f(P)−Λ·G(P),
esiste Λ0∈IR k tale che ∇L(P0,Λ0) = 0.
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