F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

Si calcola che F ′ (t) = 0 ⇔ tgt = − mg
k
⇔ t = arctg −mg
k =: t1 ∨ t = π +t1 =: t2.
Dal confronto fra F(− π)
= F(3π
2 2 ) = k − mg, F(t1) = k − k2 +m2g 2 , F(t2) =
k + k2 +m2g 2 (1) , si deduce che minF = F(t1) e maxF = F(t2).
Essendo γ(t1) = P1 = (
√ k
k2 +m2g2 , √ −mg
k2 +m2g2 ) e γ(t2)
−k
= P2 = ( √
k2 +m2g2 ,
√ mg
k2 +m2g2 ),
concludiamo che min Γ f=f(P1)=k − k 2 +m 2 g 2 e max Γ f=f(P2)=k+ k 2 +m 2 g 2 .
Esempio F3.2. Calcoliamo gli estremi della funzione f(x,y) = 3x 2 − 2y 2 − 4x
sull’insieme E = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2y 2 ≤ 1}.
L’insieme E è un vincolo di disuguaglianza, la cui frontiera è il vincolo di uguaglianza
Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2y 2 = 1}. La risoluzione va divisa in due parti: ricerca dei punti
stazionari interni ad E e ricerca dei punti stazionari vincolati a ∂E.
Imponendo ∇f(x,y) = 0 si determina ( 2
3 ,0), unico punto stazionario interno ad E.
La frontiera Γ è parametrizzata da γ ≡ (cost, 1 √ sent), t∈[−π,π], cosicché i valori di
2
f su Γ sono quelli che assume la funzione F(t) = f(γ(t)) = 3cos 2 t−sen 2 t−4cost per
t∈[−π,π]. Si calcola che F ′ (t) = 0 ⇔ t = ±π ∨ t = ± π
3
corrispondono i punti stazionari di f vincolati a Γ: (−1,0), ( 1
2 ,±
3
8
∨ t = 0; a questi valori di t
), (1,0).
Dalconfrontodeivaloridif neicinquepuntitrovatisievincechemin f = f( E 1
2 ,±
−2 e max f = f(−1,0) = 7.
E
Esempio F3.3. Calcoliamo i punti della curva Γ = {(x,y,z)∈IR 3 /
per i quali è minima o massima la distanza dal punto (0,0,0).
3
8
) =
2x 2 +y 2 = 8
2x−z +1 = 0 }
Assumiamo come funzione obiettivo la funzione f(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 , quadrato della
distanza del punto (x,y,z) dal punto (0,0,0).
Considerato che il vincolo Γ è parametrizzato da γ ≡ (2cost,2 √ 2sent,4cost+1), t∈
[−π,π], introduciamo la funzione F(t) = f(γ(t)) = 12cos 2 t+8cost+9, con t∈[−π,π].
Si calcola che F ′ (t) = 0 ⇔ t = ±π ∨ t = 0 ∨ t = ±arccos(− 1
3 ), e si scopre che
minF = F(±arccos(− 1 23
3 )) = 3
e maxF = F(0) = 29.
Si conclude che i punti di Γ più vicini all’origine sono (− 2
3 ,±8
mentre il punto più lontano è (2,0,5), con distanza √ 29.
3 ,−1 ), con distanza 3
23
3 ,
Osserviamo che il problema poteva essere risolto eliminando una variabile: poiché su
Γ risulta z = 2x + 1, i valori di f su Γ sono quelli che assume la funzione h(x,y) =
f(x,y,2x+1) = 5x 2 +y 2 +4x+1 sul vincolo Γ1 = {(x,y)∈IR 2 /2x 2 +y 2 = 8}.
(1) A ben vedere, i punti − π
2
e 3π
2
tali sarebbero se avessimo scelto di far variare t non in [− π
2
per il primo punto e in [0,2π] per il secondo.
potevano essere trattati come comuni punti interni, dato che
16
3π , 2 ], bensì ad esempio in [−π,π]