F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

Esempio F4.2. La superficie di una scatola di forma cilindrica
senza coperchio ha area uguale a 12π. Determiniamo il raggio di
base x e l’altezza y tali che la capacità sia massima, ritenendo
certo che la scatola di capacità massima esiste e non è degenere.
Poiché il volume della scatola è πx 2 y, e l’area della superficie è
πx 2 +2πxy, il problema è quello di determinare i valori di x ed y
che rendono massima la funzione f(x,y) = x 2 y sul vincolo
Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2xy = 12, x,y > 0}.
Posto G(x,y) = x 2 +2xy −12 e osservato che ∇G(x,y) = (0,0)
nei punti di Γ, si introduce L(x,y,λ) = x 2 y −λ(x 2 +2xy −12)
e si calcola che (2,2) è l’unico punto stazionario di f vincolato a Γ.
Si conclude che la scatola di capacità massima ha raggio di base 2
ed altezza 2.
Esempio F4.3. Calcoliamo i punti della curva Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 +2y 2 −2xy−1 = 0
x,y ≥ 0} per i quali è minima o massima la somma delle distanze dagli assi.
Si tratta di calcolare i punti di minimo e di massimo su Γ della fun-
zione f(x,y) = x+y. Posto Γ ∗ = {(x,y)∈Γ/x,y > 0}, si vede che
Γ ∗ è l’insieme degli zeri della funzione G(x,y) = x 2 +2y 2 −2xy −1
nell’aperto A = {(x,y)∈IR 2 /x,y > 0}. Appurato che Γ ∗ non ha pun-
ti singolari, si introduce la funzione L(x,y,λ) = f(x,y)−λG(x,y) e
si calcola che il gradiente di L è nullo in corrispondenza del punto ( 3 √ 5 , 2
√ 5 ) ∈ Γ ∗ .
Dal confronto dei valori che f assume nel punto trovato e negli estremi (1,0) e (0, 1 √ )
2
di Γ, si scopre che min f = f(0, Γ 1 √ ) =
2 1 √ e max f = f(
2 Γ 3 √ ,
5 2 √ ) =
5 √ 5.
Esempio F4.4. Per calcolare gli estremi della funzione f(x,y) = y 4 − x 2 + 3y sulla
curva Γ = {(x,y)∈IR 2 /x 2 = y 3 }, un metodo efficace è quello di ricondursi allafunzione
F(t) = f(γ(t)) = t 8 −t 6 +3t 2 , dove γ ≡ (t 3 ,t 2 ), t∈IR. Del resto la riduzione ad una
sola variabile si può ottenere anche osservando che sui punti di Γ, dove x 2 = y 3 , i valori
di f sono quelli della funzione h(y) = y 4 −y 3 +3y, y∈[0,+∞[.
Volendo comunque applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,
si osserva che il gradiente della lagrangiana L(x,y,λ) = y 4 −x 2 +3y−
λ(x 2 −y 3 ) non è mai nullo in corrispondenza dei punti di Γ, cosicché
il confronto risolutivo va fatto soltanto fra il valore di f nel punto (0,0), che è singolare
per Γ, e il limite di f per (x,y) tendente all’infinito su Γ, dato che Γ non è limitato.
In ogni caso si conclude che min Γ f = f(0,0) = 0, che f non ha massimo su Γ e che
sup f = lim Γ (x,y)→∞ f (x,y) = lim
|Γ y→+∞ (y4−y 3 +3y) = +∞.
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