F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

•) Il caso dei sistemi di due equazioni in tre variabili.
Consideriamo infine il caso n = 1, k = 2, ossia quello del sistema
ordine alla possibilità di esprimere y e z in funzione di x.
G1(x,y,z) = 0
, in
G2(x,y,z) = 0
Teorema F1.4. Sia G = (G1,G2) : A → IR 2 , con A aperto di IR 3 e G∈C 1 (A). Sia
(x0,y0,z0)∈A con G(x0,y0,z0) = 0. Se | ∂(G1,G2)
∂(y,z) (x0,y0,z0)| = 0, allora ∃I ∈I(x0)
ed ∃J ∈I(y0,z0), con I×J ⊆ A, tali che ∀x∈I ∃!(y,z) =: (g1(x),g2(x))∈J tale
che G(x,y,z) = 0, ossia tali (gli intorni I e J) che ∃!g = (g1,g2) : I → J tale che
∀x∈I G(x,g1(x),g2(x)) = 0. Inoltre g1(x0) = y0 e g2(x0) = z0. Infine g∈C 1 (I) e,
∀x∈I, g ′ 1 (x) = −|∂(G 1 ,G 2 )
∂(x,z) (x,g1(x),g2(x))|
| ∂(G 1 ,G 2 )
∂(y,z) (x,g1(x),g2(x))| e g′ 2 (x) = −|∂(G 1 ,G 2 )
(x,g1(x),g2(x))|
∂(y,x)
| ∂(G1 ,G2 )
(x,g1(x),g2(x))| ∂(y,z) .
Anchequisuggeriamounmetodopraticopercalcolarelederivatedellefunzioni implicite
g1 e g2, ammesso che le ipotesi del teorema siano soddisfatte: partendo dal sistema
G1(x,y,z) = 0
G2(x,y,z) = 0 , nel quale si pensi y = g1(x) e z = g2(x), si derivano ambo i membri
delle due equazioni ottenendo
e da qui si ricava che y ′ = − |∂(G 1 ,G 2 )
∂(x,z) (x,y,z)|
| ∂(G 1 ,G 2 )
(G1)x(x,y,z)+(G1)y(x,y,z)y ′ +(G1)z(x,y,z)z ′ = 0
(G2)x(x,y,z)+(G2)y(x,y,z)y ′ +(G2)z(x,y,z)z ′ = 0 ,
∂(y,x) (x,y,z)|
(x,y,z)| ∂(y,z) e z′ = − |∂(G 1 ,G2 )
| ∂(G1 ,G2 )
(x,y,z)| ∂(y,z) .
G1(x,y,z) = 0
Il teorema stabilisce in sostanza che, posto Γ = {(x,y,z)∈A/ }, che
G2(x,y,z) = 0
è la “curva di livello (0,0)” della funzione G, e considerato il punto P0 = (x0,y0,z0)∈Γ,
se UG(P0) := | ∂(G1,G2)
∂(y,z) (P0)| = 0, allora il sistema può mettersi, almeno in un intorno
y = g1(x)
di P0, nella forma
z = g2(x) , con g1 e g2 funzioni di classe C1 in un intorno di x0.
Analogheconsiderazioni si fanno nell’ipotesiche VG(P0):=| ∂(G1,G2)
∂(z,x) (P0)|=0, o inquella
che WG(P0):=| ∂(G1,G2)
∂(x,y) (P0)|=0, scambiando opportunamente il ruolo delle variabili.
Considerato che UG(P0),VG(P0),WG(P0) sono i minori d’ordine due, presi con segno
alternato, della matrice jacobiana DG(P0) = ∂(G1,G2)
∂(x,y,z) (P0), deduciamo che, se essa ha
rango 2, l’insieme Γ è, nell’intorno di P0, il sostegno di una curva regolare e semplice.
La tangente a questa curva in P0 ha la direzione del vettore (UG(P0),VG(P0),WG(P0)).
Infatti, nell’ipotesi ad esempio che UG(P0) = 0, il vettore tangente in P0 alla curva
y = g1(x)
z = g2(x) èdatoda(1,g′ 1 (x0),g ′ 2 (x0)); equesto, inbasealleformuleg ′ 1 (x0) = VG(P0)
UG(P0) e
g ′ 2 (x0) = WG(P0)
UG(P0)
stabilitenel teorema, è parallelo al vettore (UG(P0),VG(P0),WG(P0)).
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