F FUNZIONI IMPLICITE MASSIMI E MINIMI VINCOLATI F1. Il ...

Esempio F4.5. Determiniamo i punti della curva Γ = {(x,y,z)∈IR 3 /2x−z +1 = 0,
2x 2 +y 2 = 8} aventi distanza minima o massima dall’origine (vedi l’Esempio F3.3).
Si tratta di calcolare i punti di Γ nei quali è minima o massima la funzione f(x,y,z) =
x 2 + y 2 + z 2 (1) . Si osserva che Γ è limitato; infatti, per ogni (x,y,z)∈Γ si ha che
|x| ≤ 1
√ 2
2x 2 +y 2 = 1
√2
√ 8 = 2, |y| ≤ 2x 2 +y 2 = √ 8, |z| ≤ 2|x|+1 ≤ 5.
Considerate le funzioni G1(x,y,z) = 2x−z+1 e G2(x,y,z) = 2x 2 +y 2 −8 ed osservato
che Γ non ha punti singolari, si introduce la funzione L(x,y,z,λ,µ) = f(x,y,z) −
λG1(x,y,z) − µG2(x,y,z) e si calcola che ∇L è nullo in corrispondenza dei punti
3 ,−1 3 ). Dal confronto dei valori di f in questi punti si
evince che min f = f(− Γ 2
3 ,±8 3 ,−1 23 ) = 3 3 e max f = f(2,0,5) = 29.
Γ
(2,0,5), (−2,0,−3), (− 2
3 ,±8
•) Estremi di funzioni di tre variabili su vincoli bidimensionali.
L’ultimo problema che vogliamo affrontare è quello della ricerca del min Σ f e del max Σ f
(estremi di f vincolati a Σ), dove f : A → IR con A aperto di IR 3 e Σ = {(x,y,z)∈A/
G(x,y,z) = 0} con G : A → IR, ed inoltre f,G∈C 1 (A).
Se Σ si rappresenta parametricamente mediante l’applicazione φ ≡ φ(u,v), (u,v)∈D,
con D ⊆ IR 2 , allora il problema si trasferisce alla funzione F(u,v) = f(φ(u,v)), (u,v)∈
D, che è funzione di due variabili. Se ad esempio D è un dominio, la risoluzione del
problema dovrà passare in genere attraverso la determinazione dei punti di estremo
relativo di F interni a D e dei punti di estremo relativo di F vincolati a ∂D.
Ma ora cerchiamo un metodo che coinvolga direttamente la funzione G; e, a tale scopo,
fissiamo P0 punto regolare di Σ e cerchiamo una condizione necessaria affinché P0 sia
punto di estremo relativo per f |Σ (punto di estremo relativo di f vincolato a Σ).
Poiché ∇G(P0) = (0,0,0),ilvincoloΣè, inunintornodiP0, ilsostegnodiunasuperficie
regolare φ ≡ φ(u,v), (u,v)∈B, con B aperto di IR 2 ; si sa inoltre che il vettore ∇G(P0)
è normale a Σ in P0 e che, considerato (u0,v0)∈B tale che φ(u0,v0) = P0, i vettori
φu(u0,v0) e φv(u0,v0) individuano il piano tangente a Σ in P0. Ne segue che:
(P0 èpunto diestremo relativoper f |Σ )=⇒ ((u0,v0)èpunto diestremo relativoper F =
f◦φ) =⇒ (Fu(u0,v0) = ∇f(P0)·φu(u0,v0) = 0 e Fv(u0,v0) = ∇f(P0)·φv(u0,v0) = 0)
=⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque normale a Σ in P0) =⇒ (∇f(P0) è nullo o comunque
parallelo al vettore ∇G(P0)) =⇒ (∃λ0∈IR tale che ∇f(P0) = λ0∇G(P0)).
(1) In verità la distanza dall’origine sarebbe x 2 +y 2 +z 2 , ma è noto che √ t è minima o
massima quando il valore di t è rispett/te minimo o massimo.
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