F. Brezzi METODI AGLI ELEMENTI FINITI DISCONTINUI - Seminario ...

Metodi agli elementi finiti discontinui 89
Similmente per un problema del tipo di Darcy, applicabile per esempio al moto di fluidi
in mezzi porosi:
si ha: u ∈ V e
−∇ · (κ(x)∇u) = f in ; u = 0 su ∂
κ(x)∇u · ∇v dx =
f vdx ∀v ∈ V.
Tutti i problemi precedenti possono essere scritti in un’unica forma:
trovare u ∈ V tale che
(V P)
L(u, v) = ( f, v) ∀v ∈ V,
dove ( , ) rappresenta il prodotto scalare in L2 , e L può essere
L(u, v) := ∇u · ∇v dx ∀u, v ∈ V
nel caso dell’operatore di Laplace, oppure
L(u, v) := ε∇u · ∇v dx +
β · ∇u v dx ∀u, v ∈ V
per l’equazione di diffusione-trasporto, o infine
L(u, v) := κ(x)∇u · ∇v dx ∀u, v ∈ V
nel caso del problema di Darcy.
2.2. Il metodo di Faedo-Galerkin
Quando il problema è stato scritto in forma variazionale, il metodo di Faedo-Galerkin
fornisce immediatamente una strada per ottenere delle discretizzazioni del problema
stesso. Consideriamo infatti un sottospazio Vn ⊂ V a dimensione finita e con esso il
problema:
(V Pn)
trovare un ∈ Vn tale che
L(un, vn) = ( f, vn) ∀vn ∈ Vn.
Sotto ipotesi ragionevoli si può dimostrare che il problema (V Pn) ha soluzione unica,
e stimare la distanza tra u e un.
Tale stima viene considerata ottimale se implica
(2) ||u − un||V ≤ C inf ||u − vn||V
vn∈Vn
con una costante C che non è troppo grossa.