Da Archimede a Cavalieri - Liceo Scientifico Galilei

da Archimede
a Cavalieri…
Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Università di Catania
Aula Magna
16/01/2013
Dorotea Jacona
L.S. “G.Galilei”- Catania
16/01/2013 Premio Archimede 1

EUCLIDE (300 a.C.)
“Elementi”
La geometria diventa
una scienza razionale.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 2

IL METODO DEDUTTIVO
Vantaggi:
•controllo dei risultati ottenuti con
l’esperienza o intuiti con l’immaginazione,
• generalizzazione.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 3

ARCHIMEDE
(287-212 a.C.)
Figlio dell’astronomo Fidia, nacque a Siracusa
e fu educato ad Alessandria dove compì i suoi
studi con i continuatori di Euclide. Tornato a
Siracusa mantenne contatti con matematici
alessandrini, i cui nomi figurano nelle dediche
di alcune sue opere. I suoi studi abbracciarono
vasti campi della scienza, la sua fama è legata
alle scoperte in campo geometrico e meccanico.
A Siracusa diresse importanti lavori portuali,
navali e militari, partecipò alla difesa della città
assediata dai romani; durante il saccheggio
della città venne ucciso da un soldato romano.
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Morte di Archimede
Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος ἠνίασε Μάρκελλον. ἔτυχε
μὲν γὰρ αὐτός τι καθ' ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος,
καὶ τῇ θεωρίᾳ δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν
πρόσοψιν, οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν Ῥωμαίων
οὐδὲ τὴν ἅλωσιν τῆς πόλεως· ἄφνω δ' ἐπιστάντος αὐτῷ
στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον,
οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα……
Plutarco, Vita di Marcello
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Cicerone scopre la tomba di Archimede
Non ego iam cum huius vita, qua taetrius miserius
detestabilius escogitare nihil possum, Platonis aut Archytae
vitam comparabo, doctorum hominum et plane sapientium:
ex eadem urbe humilem homunculum a pulvere et radio
excitabo, qui multis annis post fuit, Archimedem. Cuius ego
quaestor ignoratum ab Syracusanis, cum esse omnino
negarent, saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis
indagavi sepulcrum. Tenebam enim quosdam senariolos,
quos in eius monumento esse inscriptos acceperam, qui
declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum
cylindro.
Cicerone, Tusculanae Disputationes, 5. XXIII
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OPERE
Gran parte delle opere di Archimede
sono note,pervenendo sino a noi in
forma originale o tradotte in latino o in
arabo, ricordiamo :
Dell’equilibrio dei piani,
Sui corpi galleggianti,
Sulla misura del cerchio,
Sulle spirali,
Quadratura della parabola,
L’arenario, Il metodo.
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Archimede grande matematico
e fisico, ma anche filosofo con
una concezione organica
dell’Universo
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…infrange il divieto Platonico di
legare meccanica e geometria
…per descrive la spirale si serve
della meccanica, superando
l’antica prescrizione platonica che
limitava alla riga e al compasso gli
strumenti di lavoro dei matematici
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SPIRALE DI ARCHIMEDE
Essa si genera quando un punto P si muove a velocità uniforme
v su un'asta, che a sua volta ruota uniformemente attorno a un
suo punto O, con velocità angolare w.
Spirale in coordinate
polari
R =a
Utilizzata da Archimede per:
trisezione dell’angolo, quadratura del cerchio (non con riga e compasso)
Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, dimostro la non risolvibilità di tali problemi con riga e compasso.
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LA COCLEA
La spirale è simbolo della rivoluzione dinamica
operata da Archimede: la coclea ne è una sua
applicazione.
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CURVE MECCANICHE
La concoide di Nicomede.
La cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè
che è fatto da un cerchio) è la curva tracciata da un punto fisso su una
circonferenza che rotola lungo una retta; in pratica il disegno composto
da un punto su una ruota di bicicletta in movimento.
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ARCHIMEDE
•SCOPRITORE
•COSTRUTTORE
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SCOPRI’ LA MISURA DI:
AREA:
•SEGMENTO
PARABOLICO
•SFERA
•SEGMENTO
SFERICO
•ELLISSE
VOLUME:
•SFERA
•IPERBOLOIDE
•PARABOLOIDE
•ELLISSOIDE
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Nei suoi trattati Archimede fornisce
dimostrazioni formali , ma fino al secolo
scorso molti matematici non riuscivano
a capire il modo in cui era giunto a tali
risultati; si sospettava che Egli avesse
voluto tenere nascosto il “trucco” in
modo da aver maggior consenso fra i
posteri.
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….I SUOI TRATTATI NOTI
FORNIVANO SOLO UNA
DIMOSTRAZIONE TEORICA
DEI RISULTATI
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Area del segmento parabolico
metodo di esaustione
E
T T T
P T ..
2 n
4 4 4
T T T 1 T
T .. *
2 n
4 4 4 3 4
P= area segm. parab.
T= area triang.(ABC)
T’=A(AFB)+A(BEC)= T
4
n1
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4
3
T
1

METODO DI ESAUSTIONE
Si basa sul postulato di Eudosso:
Date due grandezze omogenee A,B , con A B cioè un multiplo di A maggiore
diB.
E’ un metodo dimostrativo rigoroso si basa :
•su un’argomentazione indiretta (doppia riduzione
all’assurdo)
•su costruzioni puramente finite.
Si utilizza nel caso si conosca già il risultato.
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Argomentazione indiretta
(doppia riduzione all’assurdo)
Per dimostrare che A=B,si dimostra che:
non può essere
né A>B, né A

Costruzioni puramente finite...
In tale metodo sono evidenti le origini
del calcolo infinitesimale.
I matematici greci si erano accorti
della necessità di procedimenti
infiniti ma provavano una tale
diffidenza nei confronti dell’infinito
da compiere qualunque sforzo pur di
evitarlo.
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Storia del palinsesto 1906
Il codice pergamenaceo contenente alcune opere di
Archimede fu scritto durante la prima metà del X secolo,
probabilmente a Costantinopoli. Nel1908 il filologo Johan
Ludvig Heiberg esaminò il palinsesto scoprendovi opere
di Archimede ancora leggibili. La notizia fece
immediatamente il giro del mondo destando subito
stupore in quanto Heiberg aveva scoperto anche un'opera
di Archimede sconosciuta ossia Il metodo. Il palinsesto fu
poi sottratto dalla biblioteca del Santo Sepolcro finendo a
Parigi nella collezione di un privato, ricevendo nel
frattempo molti danni, la perdita di alcuni fogli e persino
la copertura di quattro pagine con false miniature antiche.
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Nel 1998 il palinsesto fu venduto
all'asta presso Christie's e
acquistato da un anonimo
americano. Da allora è iniziato un
lungo lavoro di recupero del testo
delle opere archimedee con l'uso di
moderne tecniche di rilevazione
con i raggi X e luce di sincrotrone.
Tali tecniche stanno permettendo di
leggere porzioni di testo rimaste
inaccessibili a Heiberg.
Il Palinsesto attualmente è custodito
presso il Walters Art Museum di
Baltimora, in attesa che si completi
il suo restauro.
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Svelato il mistero…
Archimede
TROVA IL RISULTATO PER VIA
SPERIMENTALE
DIMOSTRA
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METODO MECCANICO
Nel XVII secolo si parlava di una “
via segreta” di Archimede,nel 1906
si scopre che tale via consiste
nell’utilizzo di concetti di
meccanica, quali la leva in
equilibrio, la posizione del
baricentro,che lo avevano portato a
fare la maggior parte delle sue
scoperte matematiche. Archimede
sceglie opportunamente le figure, di
area e baricentro noti, da
confrontare con quelle “ ignote”
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AREA SEGMENTO PARABOLICO
metodo meccanico
1 4
seg( ABC)
T ( AFC ) T ( ABC).
3 3
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Archimede immagina le aree del seg. di parabola ABC e del triangolo
AFC formate dalla totalità di un insieme di parallele al lato AF, quali
OP per la parabola e OM per il triangolo. Se si collocasse in H
(HK=KC) un seg. uguale ad OP, farebbe equilibrio a OM collocato
dov’è ora con K fulcro (per la proprietà della parabola: OM:
OP=AC:AO OM*x=OP*a in cui si ravvisa la legge della leva).
Pertanto l'area della parabola se collocata con il centro di gravità in H,
farà equilibrio al triangolo AFC il cui baricentro si trova su KC ad 1/3
da K.
Per cui:
1 4
seg( ABC)
T ( AFC)
T ( ABC).
3 3
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2/3
SFERA
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H
METODO SUI TEOREMI MECCANICI
VOLUME DELLA SFERA.
A
P
S
R
N
M
O
E
F
H’
NS=r1 ,PS=r2 , RS=r3
( Ar2+Ar3):Ar1= AS:HA
(Vsfera+Vcono):Vcil=H’A:OA
1
Vsfera+Vcono= Vcil
2
1 1
Vsfera= Vcil- Vcono= Vcil
2
6
Vcil=8r2 3 4
Vsfera= r2 3
3
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VOLUME DELLA SFERA
1/2
1
1/2Vcil= Vsf +Vcono
Vsf=1/6Vcil
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+
+

INTUIZIONE E RIGORE IN
FASE EURISTICA
FASE DIMOSTRATIVA
ARCHIMEDE
METODO MECCANICO
(intuitivo)
METODO DI
ESAUSTIONE
( rigoroso)
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.. il vero scopo dell’opera il Metodo, dove Archimede illustra
come era arrivato ad alcuni dei suoi risultati, era l’annuncio
di un nuovo risultato sulla misura del volume del bicilindro
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Bicilindro
2/3
Bicilindro, intersezione di due cilindri uguali incastrati
perpendicolarmente l'uno all'altro, ha un volume pari a due terzi di
quello del cubo che lo contiene. La sorpresa sta nel fatto che il
bicilindro e un solido curvilineo,mentre il cubo e un solido rettilineo:
il risultato è dunque una vera e propria «cubatura», analoga a quella
del segmento di una parabola, ottenuta dallo stesso Archimede, in cui
l'area individuata dal segmento unitario e pari a due terzi di quella
del rettangolo che lo contiene.
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Solido di Steinmetz
2/3
Nel secolo scorso, due millenni più tardi
Charles Steinmetz (1865-1923) completò il
risultato di Archimede, trovando che lo stesso
rapporto sussiste anche fra le superfici del
bicilindro e del cubo.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 33

Osservatorio astronomico: intersezione di
più cilindri uguali e con assi complanari
LEGAME FRA GEOMETRIA E
ARCHITETTURA
Volte a crociera rinascimentali
nella loggia del Palazzo della
Ragione di Vicenza
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SOLIDI ARCHIMEDEI
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 35

Dal Libro V delle Collezioni matematiche, opera di Pappo
(320), si conosce della scoperta di Archimede dei tredici
poliedri semiregolari, noti come "solidi archimedei”. Mentre
un poliedro regolare ha facce che sono poligoni regolari dello
stesso tipo un solido semiregolare è un poliedro convesso le
cui facce sono poligoni regolari, ma non tutti dello stesso
tipo.
Es. se dagli otto angoli di un cubo di lato a tagliamo via
tetraedri con lati si ottiene un solido archimedeo,
cubo troncato, formato da otto triangoli equilateri e da sei
ottagoni regolari.
SOLIDI SEMIREGOLARI
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L’icosaedro troncato
Si ottiene troncando le 12 cuspidi dell'icosaedro.
32 facce: 20 esagoni e 12 pentagoni,
90 spigoli
60 vertici, nei quali concorrono due esagoni e
un pentagono.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 37

La molecola C60 (Fullerene)
Una nuova forma di carbonio, la molecola C60, ricostruita nel
settembre del 1985 da un gruppo di scienziati formato dai chimici
americani Robert F. Curl e Richard E. Smalley, assieme al loro
collega inglese Sir Harold W. Kroto.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 38

Il nome fullerene fa riferimento alla somiglianza
con le cupole geodetiche predilette
dall'architetto Richard Buckminster Fuller
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ARCHIMEDE E IL METODO DI
ESAUSTIONE
• NON DEFINISCE L’AREA
• L’AREA E’ ASSUNTA COME CONCETTO
PRIMITIVO
• ARRIVA AD UNA CONCLUSIONE DOPO UN
NUMERO GRANDE QUANTO SI VUOLE MA
FINITO DI OPERAZIONI CIOE’ OPERA CON
GRANDEZZE FINITE.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 40

CRITICHE AL METODO DI
ESAUSTIONE.
• NON CONSENTE DI DARE UNA
DEFINIZIONE NOMINALE DELSOGGETTO
• NON CONSENTE DI CALCOLARE IN MODO
DIRETTO IL VALORE DI TALE SOGGETTO.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 41

PERCHE’?
I MATEMATICI E I FILOSOFI GRECI
EVITAVANO DI AVVENTURARSI
FORMALMENTE SULL’INSIDIOSA
STRADA DELL’INFINITO E DELLO ZERO,
RICORRENDO A RAGIONARE PER
ASSURDO, O A PROCEDIMENTI
LABORIOSI E TALVOLTA OSCURI.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 42

LA MATEMATICA GRECA
RIFIUTA L’INFINITO ATTUALE E
ACCETTA L’INFINITO
POTENZIALE.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 43

DOPO 2000 ANNI...
IL CALCOLO DEI LIMITI E LA DEFINIZIONE DI
LIMITE( WEIERSTRASS,1870 CIRCA) PERMETTONO:
•DI DARE UNA DEFINIZIONE RIGOROSA DEL
SOGGETTO
•DI OTTENERE IN MODO SEMPLICE E DIRETTO IL
VALORE DEL SOGGETTO.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 44

Infatti….
Nel caso del segmento parabolico possiamo,
definirlo:
P
e calcolarlo:
n
lim n
i1
T
i
mediante la serie geometrica di ragione
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 45
1
4

RINASCIMENTO
La fama che accompagnò Archimede in vita
trovò eco nei secoli successivi grazie agli elogi
che scrittori greci e romani fanno delle sue
scoperte scientifiche e delle sue invenzioni.
Durante il Rinascimento al risvegliarsi dello
spirito di ricerca e dell’amore per le opere
dell’antichità classica , Maurolico e
Commandino tradussero in latino le principali
opere di Archimede, Apollonio, Pappo
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 46

Nel XVI secolo
Dopo la pubblicazione delle opere di
Archimede in latino (seconda metà del ‘500),
nel secolo successivo vi fu sempre un
maggiore interesse per il suo pensiero e i suoi
metodi e le sue tecniche.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 47

BONAVENTURA CAVALIERI
( 1598-1647)
Discepolo di Galilei era membro
dell’ordine religioso dei Gesuati,
visse a Milano e a Roma prima di
diventare professore di matematica
a Bologna nel 1629. Nel 1632
pubblicò “Directorium universale
uranometricum”,tavole di
seni,tang,secanti con i loro
logaritmi.la sua fama è legata a uno
dei libri più importanti dell’età
moderna “Geometria indivisibilibus
continuorum”.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 48

“Geometria indivisibilibus
continuorum”.
Le idee su cui si basava il libro
erano,essenzialmente,quelle di Oresme, Keplero e
Galilei:un’area può essere considerata come somma
di indivisibili lineari; un volume, analogamente, da
somme di indivisibili piani.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 49

Nelle pagine introduttive….
“Geometria indivisibilibus
continuorum”.
Cavalieri, così spiega, come sia
giunto a definire questo suo
nuovo metodo.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 50

“Meditando dunque un giorno sulla generazione dei
solidi,che sono originati da una rivoluzione intorno a
un asse, e confrontando il rapporto delle figure piane
generatrici con quello dei solidi generati, mi stupivo in
verità moltissimo del fatto che le figure generate
tralignassero a tal punto dalla condizione dei loro
genitori,da mostrar di seguire un rapporto
completamente diverso dal loro.Per esempio un
cilindro, che sia ottenuto insieme ad un cono, della
stessa base, per rotazione attorno ad un medesimo
asse,è il triplo di esso mentre nasce per rivoluzione da
un parallelogramma doppio del triangolo che genera
detto cono.”……
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 51

….“Quando poi,prendendo in considerazione i
centri di gravità delle figure piane,e solide,mi
imbattei in una consimile diversità, il mio
stupore aumentò ancora; nel cono infatti il
centro di gravità è sull’asse, e dista la quarta
parte di esso, mentre nel triangolo che genera il
cono stesso è ancora sull’asse, ma è distante
dalla base della terza parte dell’asse….
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 52

….“Ma dopo aver considerato la cosa un poco più
profondamente, pervenni finalmente a questa
opinione , e precisamente che per la nostra faccenda
dovessero prendersi piani non intersecantisi tra di
loro ma paralleli”. ”.(Bonaventura Cavalieri)
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 53

PRINCIPIO DI CAVALIERI
“Se due solidi si possono collocare in modo tale
che tutti i piani paralleli a un piano dato
intersechino sui due solidi figure di egual area,
allora hanno lo stesso volume”.
Tale enunciato benché dimostrabile ,anche con l’analisi, è
tuttora presentato come principio( assioma) per la sua
evidenza intuitiva
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 54

Cavalieri afferma che:
Il rapporto dell’insieme di tutte le linee di
una figura e l’insieme di tutte le linee di
un’altra figura è lo stesso rapporto che si
stabilisce fra le figure stesse.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 55

A condizione che si sappia
costruire una corrispondenza
univoca e reciproca tra quegli
elementi.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 56

REGULA COMMUNIS
L’idea essenziale è quella di confrontare due figure piane ( o
solide) paragonando gli indivisibili di queste figure, che sono
i segmenti (o piani) tagliati da un piano parallelo ad un piano
dato, chiamato regula.
Il fondamento di questo metodo è il seguente:”le grandezze
continue verificano la stessa proporzione dei loro
indivisibili”
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 57

Metodo degli indivisibili
(parallelogramma e triangolo)
Cavalieri insiste sulla necessità di
mettere in rapporto solo gli elementi
omologhi delle figure.
HE e NH non si corrispondono
HE e BM si corrispondono perché
alla stessa distanza dai vertici
la loro uguaglianza comporta
l’uguaglianza dei due triangoli,allora:
A(tr) = A(par)
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 58
1
2

CAVALIERI E ARCHIMEDE
Cavalieri ritiene il metodo degli
indivisibili superiore a quello di
esaustione, infatti egli era critico
riguardo la dimostrazione per assurdo
e il ragionare su casi particolari.
Al contrario il metodo degli
indivisibili consentiva dimostrazioni
costruttive, che permettono di dedurre
rapidamente il risultato e la scoperta
della verità e una maggiore
generalizzazione.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 59

Archimede
287 -212 A.C.
Dell’equilibrio dei piani,
Sui corpi galleggianti,
Sulla misura del cerchio,
Sulle spirali,
Quadratura della parabola,
L’arenario,
Il metodo
Maurolico
Commandino
1494-1575
1509-1575
Traduzioni in latinodel
le principali opere di
Archimede, Apollonio,
Pappo
L’eco di Archimede
Bonaventura
Cavalieri
1598-1647
“Geometria indivisibilibus
continuorum”
Heiberg
1906
Il lavoro Il metodo,
perduto almeno dal
Medioevo, fu letto per
la prima volta nel
famoso palinsesto
trovato da Heiberg nel
1906, poi perduto e
ritrovato nel 1998.
Esso consente di
penetrare nei
procedimenti usati da
Archimede nelle sue
ricerche
1952
Archimede esordisce in Paperino
e l'amuleto del cugino Gastone,
edita in Italia sul 45 di Topolino,
in USA sul 140 di Walt Disney's
Comics and Stories del Maggio
1952 (col titolo di Gladstone's
Terrible Secret), deve il suo nome
molto probabilmente a Guido
Martina, che volle omaggiare
tanto il filosofo e matematico
greco Pitagora, quanto il
matematico e fisico siciliano
Archimede.
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede
60

Archimede
Pitagorico
Archimede esordisce in
Paperino e l'amuleto del
cugino Gastone, edita in Italia
sul 45 di Topolino, in USA sul
140 di Walt Disney's Comics
and Stories del Maggio 1952
(col titolo di Gladstone's
Terrible Secret), deve il suo
nome a Guido Martina, che
volle omaggiare tanto il
filosofo e matematico greco
Pitagora, quanto il matematico
e fisico siciliano Archimede.
Archimede vive in modo assai sobrio nella
sua casa-laboratorio, dove regna un caos
generale. Malgrado la sua genialità possa
probabilmente consentirgli un'esistenza
più agiata, non è interessato al denaro, ma
solo e unicamente alla ricerca e alle
scoperte scientifiche
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 61

Grazie e buon
lavoro..!!
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 62

BIBLIOGRAFIA
Carl B.Boyer- Storia della matematica - Mondadori
Giorgio T.Bagni -Storia della matematica -Pitagora
Radice-Proia- Il metodo matematico -Principato
Speranza -Scritti di epistemologia della m. -Pitagora
Oriolo-Coda-Tess- Mathematica- Mondadori
Pier Giorgio Oddifreddi Due terzi attraverso i millenni
Storia di un rapporto tra numeri interi protagonista della matematica. E non solo..
www.history.mcs.st-and.ac.uk /history
Prof.ssa D.Jacona Premio Archimede 63