pdf1 - Economia

Capitolo 15
Richiami di microeconomia
15.1 Le preferenze e l’utilità
Nell’analisi microeconomica si può decidere di descrivere ogni soggetto attraverso
una funzione di utilità oppure attraverso le sue preferenze. Le due
vie non sono identiche a meno che non esistano dei vincoli particolari sulle
preferenze.
Avendo a disposizione due possibili panieri x ∈ R n×1 e y ∈ R n×1 (entrambi
composti da n beni) si può, allora, procedere in due modi:
1. stabilire una relazione di preferenza nella forma x % y, indicando con il
simbolo % la preferenza debole (ovvero il fatto che tutti i beni contenuti
in x non sono mai peggiori dei beni contenuti in y),
2. stabilire un livello di soddisfazione derivante dal consumo dei panieri
x e y che sia misurabile da una funzione di utilità U (x) e U (y)
rispettivamente.
Ci si domanda sotto quali condizioni i due approcci forniscono lo stesso
risultato (ovvero determinano la stessa scelta per il consumatore). Il
risultato che si ottiene si può riassumere come nella Proposizione 15.1.1.
Proposizione 15.1.1 Se le preferenze sono un ordine (cioè complete, riflessive,
transitive) e sono continue, allora esiste una sola funzione di utilità
continua U : R n + → R (a meno di una trasformazione monotòna crescente)
tale che
x % y ⇔ U (x) ≥ U (y) .

348 15. Richiami di microeconomia
Ricordo, di seguito, la definizione di razionalità che viene data nei testi
di microeconomia.
Definizione 15.1.1 Le preferenze deboli % sono razionali se e solo se sono
un ordine (cioè complete, riflessive e transitive).
Piccolo riassunto circa le tre proprietà di un «ordine»:
1. completezza: su tutto il dominio delle preferenze deve valere almeno
una delle due relazioni: x % y, y % x; quando valgono entrambe allora
x ∼ y indicando con ∼ la relazione di indifferenza;
2. riflessività: su tutto il dominio delle preferenze deve valere x ∼ x;
3. transitività: su tutto il dominio delle preferenze se x è preferito (debolmente)
a y e y è preferito (debolmente) a z allora deve valere che
x sia preferito (debolmente) a z.
N.B. 15.1.1 La riflessività vale se vale la completezza e, dunque, alcuni
libri di testo non riportano la seconda condizione tra quelle necessarie per
poter definire «razionali» le preferenze. Infatti, inserendo lo stesso bene
nella definizione di completezza, si ha che deve valere sia x % x sia x % x
ovvero x ∼ x.
Le condizioni da rispettare affinché esista (almeno) una funzione di utilità
in grado di descrivere le preferenze dei consumatori hanno suscitato non
poche polemiche tra gli economisti. In particolare la transitività sembra
essere decisamente un’ipotesi forte.
Nell’ambito finanziario, la situazione diviene più complessa da un lato
e più semplice da un altro. La semplificazione si ha poiché, anziché avere
una pluralità di beni, si ha un bene solo che è il denaro (o la ricchezza); la
complicazione deriva dal fatto che gli eventi da prendere in considerazione
non sono certi ma sono delle variabili aleatorie. Osservo, nel paragrafo che
segue, come affrontare questo caso.

15.2. Preferenze sui titoli-lotterie 349
15.2 Preferenze sui titoli-lotterie
Nella teoria del rischio, anziché scegliere su particolari beni o panieri di
beni, si devono effettuare scelte su «giochi» o «lotterie» che forniscono,
come risultato, una vincita o una perdita misurabile in termini monetari (o
di beni).
La tipica «lotteria» dell’approccio microeconomico coincide esattamente
con un qualsiasi titolo sul mercato finanziario (il prezzo del titolo, inoltre,
coincide con il costo di partecipare alla lotteria). Si può, allora, riprendere
l’iniziale formulazione di un mercato finanziario indicando con S (t) il prezzo
di un titolo e con S (t +1,j) il prezzo del titolo, nel periodo successivo, e
nello stato del mondo j.
Il titolo, ovviamente, può essere l’oggetto di preferenze da parte dei consumatori
i quali sono chiamati, per esempio, a scegliere quale titolo acquistare
tra due possibili. Sembra estremamente conveniente, ancora una
volta, come nel paragrafo precedente, cercare di tradurre le preferenze in
una funzione di utilità.
Se prendiamo in considerazione i singoli stati del mondo, sappiamo che
quando si verifica lo stato del mondo j un soggetto ottiene l’utilità
U (S (t +1,j))
e questo accade con una certa probabilità che possiamo chiamare πj. Evidentemente,
dunque, possiamo calcolare l’utilità attesa della lotteria come
Et [U (S (t +1))]=
nX
πjU (S (t +1,j)) .
j=1
Ora ci poniamo questa domanda: esiste (almeno) una funzione di utilità
per cui l’utilità di una lotteria coincide con la sua utilità attesa (detta di
Von Neumann-Morgenstern)? Ovvero: esiste Û (S (t +1))tale che
Û (S (t +1))=
nX
πjU (S (t +1,j))?
j=1
La risposta è affermativa ma solo sotto una condizione aggiuntiva rispetto
a quelle già elencate nella Proposizione 15.1.1. Riporto di seguito
il principale risultato riguardante la teoria delle scelte in condizioni di
incertezza.

350 15. Richiami di microeconomia
Teorema 15.2.1 (dell’utilità attesa) Se le preferenze sulle lotterie sono
razionali (cioè complete, riflessive e transitive), continue e soddisfano l’assioma
di indipendenza, alloraesisteunasolafunzionediutilitàcontinua
U : R n + → R (a meno di una trasformazione affine crescente) tale che
S1 º S2 ⇔
nX
πjU (S1,j) ≥
j=1
nX
πjU (S2,j) .
Che cos’è l’assioma di indipendenza (esso è anche detto «assioma di
indipendenza dalle alternative irrilevanti»)? La definizione è quella
che segue.
Assioma 15.2.1 (indipendenza dalle alternative irrilevanti) Dati
tre titoli S1, S2 e S3 eunnumerorealeα ∈ (0, 1) vale
j=1
S1 % S2 ⇔ αS1 +(1− α) S3 % αS2 +(1− α) S3.
Questo assioma chiede che un soggetto basi le sue scelte solo sulle parti
diverse di due lotterie. Nei seguenti paragrafi mostro alcuni importanti
risultati riguardanti l’attendibilità dell’assioma dell’indipendenza.
15.3 Il paradosso di Allais
Allais propose a Von-Neumann e Morgenstern il seguente gioco per mettere
alla prova la loro teoria dell’utilità attesa. Si considerino queste due lotterie:
½ ½
A1 =1
B1 =5 B2 =1 B3 =0
A =
B =
π1 =1
π1 =0.1 π2 =0.89 π3 =0.01
quale si sceglie?
Secondo la teoria dell’utilità attesa si preferisce A rispetto a B se vale
A % B ⇔ U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.89U (1) + 0.01U (0)
⇔ 0.11U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.01U (0) .

15.3. Il paradosso di Allais 351
Il giocatore, poi, viene messo di fronte a un’altra scelta (questa volta tra
due lotterie vere e proprie e non degeneri)
½ ½
A1 =1 A2 =0
D1 =5 D2 =0
C =
D =
π1 =0.11 π2 =0.89
π1 =0.1 π2 =0.9
da cui C è preferito a D se vale
C % D ⇔ 0.11U (1) + 0.89U (0) ≥ 0.1U (5) + 0.9U (0)
⇔ 0.11U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.01U (0) .
La teoria dell’utilità attesa ci fa dunque concludere che la lotteria A è
preferita a B seesoloselalotteriaC èpreferitaaD.
Una tale scelta, tuttavia, non è molto comune. Infatti i soggetti sottoposti
a esperimento tendono a scegliere A rispetto a B ma, posti di fronte a C
e D, tendono a preferire D. Il principale problema che sorge nella percezione
delle due coppie di lotterie si deve alla presenza di un guadagno certo nella
prima. Questo altera significativamente il comportamento dei soggetti. La
«certezza», infatti, risulta sempre assai preferita da coloro che sono avversi
al rischio.
Una possibile soluzione al paradosso di Allais è stata trovata indebolendo
l’assioma di indipendenza. L’assioma che viene suggerito al suo posto è
quello detto betweenness (che potremmo tradurre con «via di mezzo»).
Assioma 15.3.1 (betweenness) Dati due titoli S1, S2 eunnumeroreale
α ∈ (0, 1) vale
S1 ∼ S2 ⇔ αS1 +(1− α) S2 ∼ S1.
L’assioma richiede che, mischiando due lotterie indifferenti attraverso
una combinazione lineare, si ottenga una lotteria anch’essa indifferente a
quelle iniziali. Appare evidente come questo assioma sia un caso particolare
di quello di indipendenza (basta porre z = y in quello e assumere x ∼ y).
Tuttavia l’assioma dell’indipendenza non può essere tratto da quest’ultimo
(il quale, evidentemente, pone delle condizioni meno restrittive). Vedremo
successivamente come il meccanismo dei mercati finanziari possa contribuire
a eliminare gli operatori le cui preferenze non rispettano l’assioma di
indipendenza.

352 15. Richiami di microeconomia
15.4 Il paradosso di Ellsberg
Ci viene detto che un’urna contiene 300 palline di cui 100 sono rosse e 200
sono blu o verdi. Ci vengono proposte le seguenti lotterie
½ ½
A1 = 1000 A2 =0
B1 = 1000 B2 =0
A =
B =
rosso non rosso
blu non blu
e la nostra scelta viene effettuata nei termini seguenti:
A % B
⇔ 1
µ
U (1000) + 1 −
3 1
U (0) ≥ P (blu) U (1000) + (1 − P (blu)) U (0)
3
µ
µ
1
1
⇔ − P (blu) U (1000) ≥ − P (blu) U (0) .
3 3
Ci viene poi data la possibilità di scegliere tra le due lotterie
C =
½ C1 = 1000 C2 =0
non rosso rosso
sulle quali la scelta implica
D =
½ D1 = 1000 D2 =0
non blu blu
C % D
µ
⇔ 1 − 1
U (1000) +
3
1
U (0) ≥ (1 − P (blu)) U (1000) + P (blu) U (0)
3
µ
µ
1
1
⇔ − P (blu) U (1000) ≤ − P (blu) U (0)
3 3
La conclusione è che se un soggetto sceglie A rispetto a B allora deve
scegliere D rispetto a C. I soggetti a cui è stato proposto l’esperimento
hanno spesso scelto A rispetto a B epoiCrispetto a D mostrando una
scelta incoerente con il metodo dell’utilità attesa.
La spiegazione psicologica del comportamento descritto da Ellsberg risiede
nell’errata valutazione che si fa delle probabilità. In particolare si attua
un processo logico diverso per valutare la probabilità che qualcosa accada
rispetto alla probabilità che qualcosa non accada.
15.5 Il paradosso di Machina
Siano dati i seguenti eventi: A = vincere una gita a Venezia; B = vincere
una videocassetta su Venezia; C = nessuna vincita. Supponiamo che le

15.6. Il paradosso di S. Pietroburgo-Menger 353
preferenze di un soggetto siano: U (A) >U(B) >U(C). Adesso vengono
proposte due lotterie
½ ½
A B
A C
X =
Y =
0.999 0.001
0.999 0.001
L’assioma di indipendenza ci obbliga a scegliere la prima lotteria. La
vincita di A, infatti, avviene nelle due lotterie con la stessa probabilità mentre
esse differiscono solo per il risultato alternativo. Poiché U (B) >U(C)
ciascun agente le cui preferenze soddisfacciano l’assioma di indipendenza
deve concludere che U (X) >U(Y ).
Supponiamo, quindi, che l’agente scelga la lotteria X e che, con un colpo
di sfortuna, non vinca il viaggio a Venezia. Potrebbe sentirsi piuttosto
miserabile a guardare il documentario in videocassetta. Questo significa che
prima di giocare vale U (B) >U(C) ma, una volta che si è giocato e si è
perso, le preferenze si modificano.
Faccio notare al lettore che questo non è propriamente un paradosso
poiché si tratta di una drastica violazione dell’ipotesi che l’utilità rimanga
la stessa in tutti gli stati del mondo.
15.6 Il paradosso di S. Pietroburgo-Menger
La lotteria che si propone qui è la seguente: si lancia una moneta fino
a quando non compare croce. Quando all’ennesimo lacio compare croce,
la lotteria paga una cifra xn. La probabilità di ricevere x1 è dunque 1
(probabilità che esca subito croce). La probabilità di ricevere x2 è 1
2
2
· 1
2 cioè
la probabilità che esca prima testa e poi croce. Lo schema della lotteria è
allora il seguente:
½
x1 x2 ... xn ...
X = ¡ ¢
1 1 2
2 2 ... ¡ ¢
1 n
2 ...
L’utilità attesa di questa lotteria è
∞X
µ i
1
U (xi) .
2
i=1
C’è da domandarsi, ovviamente, se il valore di questa utilità attesa sia
finito o infinito. Nel caso, infatti, in cui tale valore sia infinito, un giocatore
sarebbe disposto a pagare qualsiasi somma pur di giocare.

354 15. Richiami di microeconomia
Il primo studio fatto su questo tipo di lotteria (nel 1738) risale a Daniel
Bernoulli il quale ne aveva studiato la versione in cui la vincita è xn =2 n .
Il valore atteso della lotteria è
E [X] =
∞X
i=1
2 i
µ i
1
=
2
∞X
1=∞,
e quindi Bernoulli concludeva che, in teoria, qualsiasi prezzo finito avrebbe
reso la lotteria un gioco vantaggioso. Tuttavia la pratica gli dava torto.
I marinai di S. Pietroburgo, che giocavano veramente a questo gioco, non
erano disposti a pagare cifre troppo elevate per partecipare a questa lotteria.
La risposta si trova proprio nella forma della funzione di utilità U (x).
Mettiamoci nel caso di Bernoulli con xn =2n e supponiamo che l’utilità sia
data dalla radice quadrata del suo argomento U (x) = √ x. In questo caso
l’utilitàattesaè
³ ´ i
∞X √
µ i
1√2
1 1 1 −
U (x) = 2i =lim√
2 i=∞ 2 1 −
i=1
1 √
2
=
√ 2 −
2
√ =2. 414 2.
2
Ecco che, in questo caso, il paradosso si risolve perché un soggetto la cui
utilità sia descritta da una radice quadrata non è disposto a pagare più di
2.41 unità monetarie per partecipare al gioco.
15.7 Il paradosso del quadrato magico
Si definisce «magico» qualunque quadrato di dimensione n × n formato dai
primi n 2 numerinaturalienelqualesianocostantilesommedituttele
righe, di tutte le colonne e delle due diagonali 1 . Prendiamo, per semplicità,
il più piccolo dei quadrati magici:
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Il gioco che viene proposto su questo quadrato è il seguente: due giocatori
estraggono a sorte un numero da una riga del quadrato a loro scelta e il
1 Ricordo, per il lettore curioso, che la somma costante in un quadrato magico che
contenga i primi n 2 numeri è data da n n 2 +1 /2.
i=1

15.8. I mercati finanziari: uno sprone all’efficienza 355
numero più alto vince. Come sono le preferenze dei giocatori sulle righe del
quadrato?
Lascio come esercizio per il lettore di verificare che un giocatore «razionale»
preferisce la seconda riga alla prima (in questo modo si vince 5
volte su 9 possibili combinazioni). Inoltre si preferisce la prima riga alla
terza (ancora, ci sono 5 vincite su 9 possibili combinazioni). Dall’assioma
di transitività, dunque, ci aspetterremmo di verificare che la seconda riga
è preferita alla terza. Invece, facendo i conti, si conclude che la terza riga
è preferibile alla seconda. Una possibile soluzione a questo paradosso (che
viola l’assioma di transitività) si propone nel paragrafo successivo.
15.8 I mercati finanziari: uno sprone all’efficienza
Riprendo il caso del paradosso di Allais. Esso è chiaramente un caso di
violazione dell’assioma di indipendenza. Coloro che violano tale assioma,
tuttavia, imparano a loro spese a non violarlo più! Il meccanismo è il seguente.
Supponiamo che esistano tre titoli X, Y e Z echevalga
X Â Y, X Â Z,
ma che, tuttavia, il soggetto in esame abbia la seguente preferenza (con
α ∈ (0, 1))
αY +(1− α) Z Â X,
chiaramente in violazione dell’assioma di indipendenza.
Un agente economico possiede il titolo X. Egli è disposto a pagare per
avere, invece di X, un portafoglio di due titoli Y e Z. Valendo la transitività,
tuttavia, il soggetto è disposto a vendere il portafoglio per comprare il titolo
Y .PoichéX Â Y ,infine, il soggetto vende Y per comprare X.
In questo modo il nostro «merlo» ha pagato inizialmente per disfarsi di
X e successivamente per riacquistarlo. Un soggetto del genere non dovrebbe
durare a lungo sui mercati finanziari. Egli, infatti, troverebbe istantaneamente
frotte di agenti di borsa disposti a fargli il «favore» di ridurlo al
fallimento facendogli pagare il servizio di vendere e ricomprare sempre lo
stesso bene.
Ecco, allora, che i mercati finanziari tendono a eliminare i comportamenti
che siano in disaccordo con l’assioma dell’indipendenza.