Ingranaggi spiroconici e ipoidi - Ingegneria Meccanica, Nucleare e ...

Meccanica Applicata alle Macchine
3 Maggio 2013
Alessio Artoni
Ingranaggi conici, processi tecnologici di taglio/rettifica,
micro-geometria delle ruote dentate
UNIVERSITÀ DI PISA
Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale (DICI)

Ingranaggi CONICI
denti obliqui
denti dritti
denti a spirale

Ingranaggi spiroconici e ipoidi
coppia conica per
assi incidenti
(coppia spiroconica)
coni
primitivi
coppia conica per
assi sghembi
(coppia ipoide)
iperboloidi primitivi

Ingranaggi spiroconici e ipoidi
SPIROCONICI
applicazioni aeronautiche
e automotive (spinte: F1)
IPOIDI
applicazioni automotive
Modulo power take-off
(motore turbofan GE F404)
Differenziale posteriore
(BMW)

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni automotive

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni aerospace

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni marine

Generazione ingranaggi spiroconici/ipoidi
Generazione virtuale per inviluppo con ruota pianoconica

Schema concettuale per taglio Generated
Corona
(Formate)
Pignone
(Generated)
L’utensile materializza un dente della ruota pianoconica.
[ingranaggio spiroconico, face-hobbing, altezza dente costante]
Utensile per il taglio del pignone con
generazione per inviluppo (Generated)
Utensile per il taglio della
corona con generazione per
inviluppo (Generated)

Schema concettuale per taglio Formate
Corona
(Formate)
Utensile per il taglio del pignone con
generazione per inviluppo (Generated)
Pignone
(Generated)
L’utensile materializza (il negativo di) un dente della corona
(qui il concetto di ruota pianoconica non viene utilizzato).
[ingranaggio spiroconico, face-hobbing, altezza dente costante]
Utensile per il taglio di
forma della corona
(Formate)

Esempio di processo di taglio ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=_j6KQ96YZM0
Taglio con shaper (coltello Fellows)

Esempi di processo di taglio ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=yXAXvAXFwN0
Taglio con hob (creatore)

Esempio di ciclo di lavoro ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=XZgsV0AZJJ0

Esempio di rettifica ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=lLZfN734MIc
Rettifica con mola a vite

Tipico layout per taglio ingranaggi conici

Principali metodi di taglio ingranaggi conici
Face-milling
(single indexing)
Face-hobbing
(continuous indexing)

Metodo face-milling per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=tNks3OdE-FE

Metodo face-milling per rettifica ingranaggi spiroconici/ipoidi

Metodo face-hobbing per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=7paLPW3CjEs

Il differenziale
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=yYAw79386WI
Filmato del 1937 prodotto dalla Chevrolet Motor Division (General Motors)

Il differenziale Torsen
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=Z9iPqIQ_8iM

Un fatto
Nella quasi totalità delle ruote dentate cilindriche usate
nell’ambito della trasmissione di potenza, puri profili a
evolvente non esistono.
In generale, la micro-geometria di tutti i tipi di ruote dentate
nominalmente in contatto di linea viene modificata per avere
contatto nominale di punto.

Perché le micro-correzioni?
Linee di contatto nominali su denti dritti ed elicoidali (profili a evolvente)
Cosa accade in caso di deformazioni elastiche dei denti e
disallineamenti (errori di montaggio, deformazioni elastiche
sotto carico dei supporti, imperfezioni costruttive)?

Perché le micro-correzioni?
In caso di disallineamenti, il contatto potrebbe trasferirsi
irrimediabilmente sugli spigoli del dente (edge-contact)
(ruota a denti dritti, 1 sola
coppia di denti in presa)
Contact Stress Distribution
Torque = 1000 lbf-in (113 N-m)
(MPa)
1647
1578
1510
1441
1372
1304
1235
1167
1098
1029
961
892
823
755
686
618
549
480
412
343
274
206
137
69
0

Bombatura del dente
Un metodo molto usato per stabilizzare il contatto nelle
ruote a denti dritti è la bombatura del dente (lead crowning)
Esempio di pignone con bombatura (estrema)

Bombatura del dente
Per le ruote dentate cilindriche, la bombatura è pressoché
indispensabile anche lungo il profilo. Si parla quindi di profile
crowning e lead crowning
Storicamente, profile crowning e lead crowning hanno avuto
come obiettivo principale quello di tenere la zona dei contatti
sufficientemente lontana dai bordi ed evitare edge-contact.

Perché le micro-correzioni?
I denti sono deformabili sotto carico. Si flettono.
denti indeformati
rischio di collisione prematura
denti in presa, flessi
backlash
Per evitare urti, è necessario introdurre una spoglia sul
dente, cioè rimuovere materiale (alterando il profilo a
evolvente) nella zona di testa (tip relief) e/o nella zona di
piede (root relief).

Spoglia del dente
Tip relief Tip relief e end relief

Perché le micro-correzioni?
Errori geometrici, disallineamenti, deformabilità, urti, ecc.
causano errori di trasmissione, principale causa di
rumorosità e vibrazioni delle ruote dentate.
e
z
( r) ( th) ( r) c
t p p p
zp
c
Tip relief, end relief, lead crowning e profile crowning
possono essere usati efficacemente per minimizzare l’errore
di trasmissione.
Oltre a questi tipi di modifiche micro-geometriche ne
esistono altre, più sofisticate, dette di ordine superiore.

Importanza delle micro-correzioni
Consentono di distribuire il contatto in modo da sfruttare
bene la fascia attiva del dente ed evitare edge-contact.
Consentono di minimizzare l’errore di trasmissione.
Alleviano l’entità degli urti durante la presa di contatto.
Consentono di ridurre lo sforzo di flessione a piede dente
(bending stress).
Massimizzazione vita a fatica della coppia.
Minimizzazione rumorosità e vibrazioni.
Massimizzazione densità di potenza trasmissibile.

Realizzazione pratica delle micro-correzioni
Moti macchina modificati (durante il taglio di generazione
per inviluppo).
Profilo utensile modificato (rispetto a quello necessario per
tagliare denti a evolvente).
Le micro-correzioni prescritte (entità variabili tra 10 e 400 μm)
risultano accurate solo se realizzate mediante rettifica.

Come si stabilisce l’entità delle micro-correzioni?
NON ESISTONO FORMULE (sensate).
L’entità delle correzioni è fissata tipicamente sulla base di
esperienza individuale, know-how aziendale, trial and error.
Sono necessari strumenti di calcolo (ad es. FEM) in grado di
stimare con accuratezza i parametri del contatto (pressioni di
contatto, contact pattern, errori di trasmissione, ecc.)
È necessario formulare il problema in questione come un
problema di ottimizzazione, con opportuni obiettivi, le cui
variabili di progetto coincidano con i valori ottimali da
assegnare alle micro-correzioni.

11 th ASME International Power Transmission and Gearing Conference
August 28-31, 2011, Washington, DC, USA
Alessio Artoni 1 (speaker),
Marco Gabiccini 1 , Massimo Guiggiani 1 , and Ahmet Kahraman 2
Multi-objective Ease-off Optimization of Hypoid Gears
for Their Efficiency, Noise and Durability Performances
1 University of Pisa
Dept. of Mechanical, Nuclear and Production Engineering
Pisa, Italy
2 The Ohio State University
Gear and Power Transmission Research Laboratory
Columbus, Ohio, USA

Motivation 1/22
Micro-geometry (ease-off) optimization can remarkably
enhance gear performance (especially, contact properties
and transmission error).
Micro-geometry optimization has long been a tedious timeconsuming
(and costly) trial-and-error procedure.
(µm)
An ease-off topography

Motivation 2/22
Micro-geometry optimization involves often conflicting
objectives, as well as design constraints.
Several software packages exist to accurately perform loaded
tooth contact analysis, but they are mostly used a posteriori, to
test some tentative tooth flank modification.
Transmission error (motion graph)
Contact pressure distribution

Our goal 3/22
To devise an automatic method to accurately optimize the
ease-off topography of (hypoid) gears
in the presence of conflicting objectives
in the presence of constraints
including the available LTCA program “in the loop”.

Fundamentals of multi-objective optimization (MOO) 4/22
feasible region F
Pareto front
(conflicting objectives,
to be minimized)
Space of the decision variables Space of the objectives
MOO problems generally have infinitely many solutions: the so-called
Pareto-optimal solutions, which form the Pareto front. For each of them, it is
impossible to reduce one objective further without necessarily increasing
some other objective.

A naïve approach to MOO 5/22
In gear literature, optimal solutions have typically been sought by solving
This has strong limitations:
(scalarization through weighting)
feasible objective
region
non-convex Pareto front extreme case

Selected MOO method: achievement function 6/22
We specify an arbitrary reference point (desirable values for the objective functions,
known by the gear engineer):
infeasible reference point feasible reference point
Projection of any reference point onto the Pareto front can be obtained by
minimizing a special scalarizing function called achievement function
where the selected achievement function is

Pareto front exploration: reference point method 7/22
Exploring the Pareto front is often useful to the gear practitioner to compare different
(but equally optimal) trade-off solutions.
The reference point method

Handling constraints 8/22
In problem
the feasible region F is determined by the problem constraints, which can be of the
form
general nonlinear constraints:
bounds on the design variables:
To solve such a constrained problem, an exact penalty function formulation was
found to be successful:
penalty parameter
single-objective,
bound-constrained problem
F
F

What can easily go wrong 9/22
Objective functions and constraints:
PPLTE
are computed by LTCA programs they are nonsmooth.
ca. 5 µm tip removal
profile
crowning
estimation of partial derivatives is unreliable
spurious local minima
Classical optimization algorithms cannot be used
are generally nonlinear they may be multimodal (have multiple local minima)
obtained solutions may not be Pareto-optimal
a feasible problem may appear infeasible
A GLOBAL optimization method would be needed

Optimization algorithm requirements 10/22
To obtain a Pareto-optimal solution, an optimization algorithm is needed that
can solve
Such an algorithm must meet the following requirements:
be able to globally solve bound-constrained problems
handle nonsmooth (discontinuous) objective functions
be as computationally efficient as possible

Selected global optimization algorithm: DIRECT
Extensive investigations of modern global nonsmooth optimization identified an
appropriate method:
Features:
The DIRECT algorithm
be able to globally solve bound-constrained problems
It is a global optimization method, and it requires bound constraints
handle nonsmooth (discontinuous) objective functions
It is based on a direct search technique: no smoothness is assumed
be as computationally efficient as possible
It is quite efficient on lower-dimensional problems (say, up to 20 variables)
11/22

Implementation for hypoid gears 12/22
INPUT
design variables
(and their bounds)
objective functions
(efficiency, p max, LTE)
constraints
(allowable contact
area, max ease-off)
initial reference point
normalizing coeffs.,
convergence
parameters, and other
numerical parameters
generate new reference points
DIRECT global optimization algorithm,
with bound constraint handling
(implemented with archive to minimize
function calls)
interface
to LTCA
(input)
NO
achievement function
exact penalty function problem
LTCA
solution
satisfactory?
interface
to LTCA
(output)
YES
OUTPUT
optimal
ease-off

Design variables 13/22
We need to be able to control the micro-geometry, namely the ease-off topography:
ease-off
(μm)
it is represented here as a
polynomial surface up to the
4 th degree
it can be expressed by:
4 4i
m( u, v; x)
xiju
v
i0 j0
The polynomial coefficients x ij are our design variables (up to 14), to be determined:
x ( x , x , ,
x )
01 02 40
i j

Sets of design variables used in tests 14/22
VARIABLES FOR TEST 1
5 design variables, first- and second-degree ease-off coefficients:
pressure angle
profile crowning spiral angle
VARIABLES FOR TEST 2
lengthwise crowning
twist (or “warping”)
14 design variables: third- and fourth-degree ease-off coefficients are added.

Objective functions 15/22
In the following numerical application, three (concurrent) objective functions were
chosen:
average efficiency loss
p max, maximum contact pressure
LTE, transmission error under load
The LTCA program used to evaluate the objective functions is the Hypoid Analysis
Program (HAP), developed at The Ohio State University:
LTCA model: Kolivand, M., and Kahraman, A., 2009. “A load distribution model for hypoid gears
using ease-off topography and shell theory.” Mech. Mach. Theory, 44(10), pp. 1848-1865.
Efficiency model: Kolivand, M., Li, S., and Kahraman, A., 2010. “Prediction of mechanical gear
mesh efficiency of hypoid gear pairs.” Mech. Mach. Theory, 45(11), pp. 1568–1582.

Constraints 16/22
We need to avoid edge-loading.
TOE
Allowable Contact Area (ACA)
ROOT
We require that the total load L acting
outside a pre-specified ACA be zero:
L( x)
0
One should comply with ANSI/AGMA 2005-D03 standard, Annex F, which specifies:
min ACA
max ACA

Sample face-hobbed gear set for numerical tests 17/22
Basic design data Value
Ratio 11:43
Offset (mm) 30.0
Shaft angle (deg) 90.0
Nominal torque (Nm) 250.0
Nominal assembly errors E = 0.0 mm
Nominal operating conditions
P = 0.0 mm
G = 0.0 mm
α = 0.0 deg
Pinion speed (RPM) 2000
Lubricant type 75W90
Lubricant temperature (°C) 90
Pinion surface R q roughness (μm) 1.34 *
Gear surface R q roughness (μm) 1.67 *
*values for lapped surfaces, derived from:
Masseth, J., and Kolivand, M., “Lapping and superfinishing effects on hypoid gears surface finish
and transmission errors, Proc. of the ASME IDETC/CIE 2007 Conference, Sept. 4-7, 2007, Las Vegas

Basic design conditions (drive side) 18/22
(Basic design obtained from Gleason Special Analysis File)
average efficiency loss = 4.93% (i.e., 95.07% efficiency)
p max, maximum contact pressure = edge-contact
edge-loading
gear contact pattern
initial ease-off
LTE, loaded transmission error (RMS) = 27.7 µrad

Reference points 19/22
Initial reference point:
4.93% 4.00%
edge-contact 1100 MPa
27.7 µrad
basic design
0.0 µrad
Three additional reference points are then generated by the reference point method:

Results of TEST 1 (5 design variables)
20/22
= basic design values

Results of TEST 2 (14 design variables)
21/22
= basic design values

Conclusions 22/22
A simulation-based optimization method has been proposed
to obtain Pareto-optimal ease-off topographies for hypoid
gears with high accuracy.
Different (equally optimal) Pareto-optimal solutions can be
obtained through reference points.
Numerical tests confirmed that contact pressures, loaded
transmission error and also efficiency can be concurrently
optimized by proper ease-off modifications.
Gear engineers can choose among a number of trade-off
solutions, eventually selecting the one that is most appropriate
for their application.

Identificazione dei parametri macchina/utensile ottimali
Una volta determinata la micro-geometria ottimale, come
risalire ai valori dei parametri macchina/utensile con cui
generare tecnologicamente tale micro-geometria?
È un problema di cinematica inversa (identificazione dei
parametri).

Modello cinematico del generatore ipoide (Gleason)
Modello del generatore cradle-style
Modello del
profilo mola
modified roll
Universal Motion Concept (UMC)
vertical motion
helical motion
ecc…
Vettore dei parametri macchina

Modello matematico del processo di generazione
Per la modellazione del metodo face-milling è stato adottato l’approccio
invariante, che non richiede sistemi di riferimento.
La superficie inviluppo generica del dente è espressa da
dove è il vettore dei parametri macchina.
Il vettore normale alla superficie è , con
La superficie di base del dente è generata con
(parametri macchina di base ease-off nullo).
famiglia inviluppante
equation of meshing
La superficie target del dente è generabile con i parametri incogniti
(parametri macchina target ease-off prescritto).

Definizione di ease-off target
Discretizzazione del problema:
Griglia standard 5 x 9 (sul fianco attivo)
Vettore ease-off target (valori assegnati ai vari punti griglia):
Punti target:
Superficie target
Superficie di base

Definizione di ease-off residuo
Con valori generici dei parametri macchina :
è calcolabile risolvendo il seguente sistema di 4 equazioni scalari
Si ottiene
Superficie di base
Superficie target
Superficie
intermedia
in 4 incognite:

Formulazione come problema NLS (nonlinear least squares)
Lo scopo è minimizzare il vettore di ease-off residuo
ovvero minimizzarne una qualche norma. Se si sceglie la norma euclidea, il problema
è quello di trovare che fornisca il minimo della funzione obiettivo (scalare)
Si tratta di un problema non lineare di ottimizzazione non vincolata ai minimi
quadrati (NLS).
è una funzione (residuo) fortemente non lineare, ed è tale che
Per risolvere il problema NLS, il metodo di
Levenberg-Marquardt con trust-region si è rivelato il più efficace.

In caso di failure di una coppia spiroconica aeronautica

Un recente progetto di ricerca DICI –
Applicazioni:
Ottimizzazione micro-geometria ingranaggi spiroconici per
transfer gearbox (TGB) ed inlet gearbox (IGB) dei motori
turbofan General Electric GEnx.
Boeing 787 Dreamliner Boeing 747-8 Intercontinental/Freighter

Alcuni riferimenti bibliografici:
F.L. Litvin, A. Fuentes, Gear Geometry and Applied Theory, 2 nd edition, Cambridge
University Press, NewYork, USA, 2004
J. Klingelnberg (Ed.), Kegelräder: Grundlagen, Anwendungen, Springer Verlag, 2007
H.J. Stadtfeld, Handbook of Bevel and Hypoid Gears, Rochester Institute of Technology,
Rochester, NY, USA, 1993
La rumorosità degli ingranaggi (2 a parte), http://www.biancogianfranco.com, 2012