Seminario “Un approccio geometrico alla teoria dell'ingranamento ...

Universita’ di Pisa
DIMNP
Seminario
“Un approccio geometrico alla teoria dell’ingranamento con
applicazione alla modellazione di coppie coniche”
Ing. Marco Gabiccini
Dottorando Ing Ing. Meccanica Meccanica, III ciclo
Pisa, 14 Dicembre 2004
Supervisori: Prof. Ing. Massimo Guiggiani
IIng. Francesca F Di Puccio P i
Collaboratori: Ing. Alessio Artoni

Agenda
Significato della definizione “approccio geometrico”
Richiami sull’approccio classico (Litvin)
Critiche sostanziali all’approccio classico
Approccio geometrico: idee fondamentali e risultati
Vantaggi dell’approccio geometrico vs. approccio classico
Modellazione del processo face-milling su macchine utensili a CN Gleason
Analisi delle sollecitazioni in una coppia spiroconica per impieghi aeronautici
Sviluppi futuri
Conclusioni

In uno spazio euclideo
Vettori e loro componenti
3
E si definisce una superficie Σ, insieme di punti P ( ξ,
θ)
Scelto un punto arbitrario O Σ
v(
ξ,
θ)
= P( ξ,
θ)
− O,
v(
ξ,
θ)
∈ℜ
S = (OO
; x , y , z ) ( i , j , k )
( 1 1 1
In )
1
v = v x1
i1
+ vy1
j1
+ vz1
In
( 1 1 1
S = O;
x , y , z ) i , j , k )
2
( 2 2 2
v = v x 2 i 2 + v y 2 j 2 + v z 2
v
1
=
⎡v
⎢
v
⎢
⎣⎢
v
x1
y 1
z1
⎤
⎥
,
⎥
⎥⎦
v
2
=
⎡v
⎢
v
⎢
⎢v ⎢
⎣
x2
y 2
z2
⎤
⎥
,
⎥
⎥⎦
k
1
( 2 2 2
k
2
v = L
v = vettore v j = sue componenti in Sj
S
2
21
3
v
z2
1
x1
z1
x2
v(
ξ,
θ)
O
P ( (ξξ
, θ )
y2
y
1

Differenza fondamentale approccio geometrico vs. classico
Approccio geometrico
Si effettuano le operazioni necessarie per la definizione delle
superfici generate dei denti manipolando la “forma geometrica pura”
dei vettori, ossia la
( ξ,
θ)
v in
3
ℜ
Approccio classico
Si stabiliscono subito dei sistemi di riferimento Cartesiani “comodi”
e si opera sulle componenti dei vettori, ossia le
v ( (ξξ
, θ )
in
S
j
j

Sistema di rif. solidale all’utensile
S
In componenti di sup. taglienti
1
S
1
r ( ξ ξ,
θ ) = ( x , y , z )
1
1 1 1 , coords d cartesiane t i
R ( , θ)
= (r ( ξ,
θ),1)
1
ξ 1
S
Σ
Approccio classico – idee base
1
, coords omogenee
Sistema di rif. solidale allo sbozzato
n
S Σ1
In componenti della famiglia descritta da
n
R ( ξ, θ θ,
φ ) = M ( φ ) R ( ξ ξ,
θ )
1
n
ξ n1
1
R ( ξ, θ,
φ)
= (r ( ξ,
θ,
φ),1)
n
n , coords omogenee
r ( ξ , θ θ,
φ ) = ( x , y , z )
n
n n n , coords cartesiane
Descrizione del moto relativo contenuta in
M
( φ)
=
n1
T
L (φ)
n1
d ( φ)
n1
⎡ L Ln1
( φ )
⎢
⎣ 0
d dn1
( φ ) ⎤
1
⎥
⎦
matrice omogenea
orientazione relativa
traslazione relativa
φ parametro di moto
r ( ξ,
θ)
1
x
zn
r ( ξ,
θ,
φ)
n
xn
z1
O
O1
n
d ( φ)
n1
Σ
1
y
y1
n

Definizione di famiglia inviluppante
In Sn
componenti della famiglia descritta da
R ( , θ,
φ)
= M ( φ)
R ( ξ,
θ)
n
ξ n1
1
Problema diventa determinare M (φ ) della catena cinematica serie
M n1(
φ ) = M n(
n −1) ( φ)
M(
n −1)(
n −2)
( φ)...
M(
i+
1)
i(
φ)...
M 21
(sbozzato)
Sn
n1
M (φ)
n1
S Sn
−1
S
S
S
i+
1
i
( φ)
M n ( n −11
) ( φ )
M (φ ) i2
M ( φ)
M(
i+ 1)
i(
φ)
( n −1)( i+
1)
S2
(utensile)
S
1
M (φ)
21
d
NNon ttutte tt ( M ( φ))
≠ 0 ( i
= 1 1,..., n − 1 ) , alcune l di dip. solo l dda settaggi tt i fi fissi i
( i+
1)
i
dφ

Forma generale
Equazione di ingranamento (eq. of meshing)
In S viene imposta la condizione
n
f( ξ,
θ,
φ)
=
=
∂ rn(
ξ,
θ,
φ)
×
∂ξ
n
n
( ξ,
θ,
φ)
⋅
∂ rn(
ξ,
θ,
φ)
∂θ
∂ r rn
( ξ ξ,
θ θ,
φ )
∂φ
=
⋅
0
∂ rn(
ξ,
θ,
φ)
∂φ
vettore normale ∝ velocita’ di strisciamento
Engineering approach
f(
( 1n)
ξ , θ,
φ)
= n(
ξ,
θ,
φ)
⋅ v ( ξ,
θ,
φ)
dove:
v = v −
v
( 1n)
( 1)
( n)
=
ω
1
×
r − ω ×
velocita’ velocita di strisciamento
r
( 1)
( n)
n
=
0

Forma generale
Superficie del dente generato per inviluppo
S
Componenti in della superficie generata
n
sn = rn
( ξ,
θ,
φ )
f( ξ , θ,
φ)
=
0
Forma esplicita
Componenti in S della superficie generata
n
1
Se si puo’ ottenere la forma esplicita
f
∈ C , f, ξ + f, θ
≠
sn( θ, φ)
= rn(
ξ(
θ,
φ),
θ,
φ)
s ( ξ, φ)
= r ( ξ,
θ(
ξ,
φ),
φ)
n
n
con, al solito,
R ( , θ,
φ)
= M ( φ)
R ( ξ,
θ)
n
ξ n1
1
R ( ξ, θ,
φ)
= (r ( ξ,
θ,
φ),1)
n
n , coords omogenee
0
se
se
f, ξ
f, θ
r ( ξ , θ,
φ)
= ( x , y , z )
n
n n n , coords cartesiane
≠
≠
0
0

Risultati dell’approccio classico
Definizione della superficie del dente generato (iniz. in S solidale allo sbozzato)
n
Definizione della superficie dei contatti (in un fisso rispetto al carter)
Determinazione dell’undercutting (linee di punti singolari su sup. generata)
Determinazione di eventuale inviluppo delle linee di contatto su utensile
Determinazione delle relazioni fra curvature principali utensile, curvature
principali superficie generata e parametri del moto relativo
Analisi del contatto rigido (TCA) fra denti in presa (simulazione ingranam.)
Relazione fra curvature principali e parametri del moto per superfici ingrananti in
contatto di punto
S
j

Critiche all’approccio classico
Introduzione fin dall’inizio dell’analisi di sistemi di riferimento: davvero necessario?
Definizioni non generali di eq. di ingranamento, sup. inviluppo, etc.
Difficile discernere il ruolo del vettore dalla sua rappresentazione in componenti
Difficile introdurre semplificazioni derivanti da ipotesi di moto relativo rigido
Inutile introdurre la dipendenza dal tempo delle quantita’ coinvolte nello studio
(come nel cosiddetto “engineering approach”)
Sviluppo di un modello alternativo, strettamente geometrico

Approccio geometrico
Definizione della superficie dell’utensile (superficie inviluppante)
3
Ee e
Σ P ( ξ,
θ)
In si definisce la superficie dell’utensile, insieme di punti
Si associa
pe
( ξ,
θ)
= Pe( ξ,
θ)
− Oe,
Nota bene
pe
( ξ , θ)
∈
3
ℜ
Vettore normale a Σ (superficie regolare)
e
m
e
( ξ, θ)
= p , ( ξ,
θ)
× p ,
e ξ
e θ
Versore normale a
m
E
u
e
( ξ,
θ)
=
Σ Σe
m ( ξ,
θ)
e
EG −
F
2
( ξ,
θ)
= p G ,
, ⋅p
, F = p , ⋅p
, = p , ⋅p
e ξ e ξ
e ξ e θ
e θ e
≠
0
e
P ( ξ ξ,
θ )
DDefinizione fi i i di vettore tt posizione i i e normale l di non necessita it di sistemi i t i di rif. if
Σ
e
θ
e
O
e
Σe

Definizione della famiglia di superfici
E
3
f
Approccio geometrico
In si definiscono i versori degli assi di utensile e sbozzato, rispettivamente e
Φ
Per descrivere famiglia f
Φ
f
a b
p ( ξ,
θ,
φ)
= R(
p ( ξ,
θ),
a,
ψ(
φ))
a
e
= P ( ξ , θ , φ ) − O ( φ ) a
anche rispetto a Ob(φ)
ψ(φ)
Σ
b
p b ( ξ , θ , φ ) = R ( p e ( ξ , θ ), a , ψ ( φ )) − d a ( φ )
= P(
ξ,
θ,
φ)
− Ob(
φ)
Oa(φ)
Versore normale a f
a
p
P
Φ
Versore normale a Φf
pa
u
u
m = R(
me
, a,
ψ(
φ))
ψ (φ ) rotazione intorno ad a
b
da(φ)
pb
P
Con operatore di rotazione
v
= R ( v v,
a a,
ψ ( φ ))
Ob(φ)
Definizione di vettore posizione e normale di non necessita di sistemi di rif.
f
Φ
b

Definizione dell’operatore rotazione
R ( v,
a,
ψ )
( v ⋅ a)
a +
Approccio geometrico
v = R ( v , a , ψ )
Modo compatto per esprimere questa operazione fra vettori
v
=
=
( v
−
( v
Formula di Eulero per rotazione di un vettore
iintorno t ad d un asse a di un angolo l ψ
Utilizzo di questo q operatore p e delle sue pproprieta’ p
semplifica la gestione di vettori rotanti e delle
operazioni che si effettuano su di essi
⋅
v
a)
a)
cos
ψ
+
a
×
v
sin
ψ
O v
a
v ψ

Proprieta’ dell’operatore di rotazione
Algebriche
Approccio geometrico
v = R ( v,
a,
ψ ) = R ( v,
−a,
−ψ)
); a = R ( a,
± a,
± ψ )
u = R(
u,
a,
ψ);
v = R(
v,
a,
ψ);
w = R(
w,
a,
ψ);
u
+ v = R(
u + v,
a,
ψ);
u
× v = R(
u × v,
a,
ψ);
u ⋅ v = u ⋅ v ; u ⋅ ( v × w ) = u ⋅ ( v × w ) = [ u v w ];
Differenziali
v(
ξ, θ,
φ)
= R(
v(
ξ,
θ),
a,
ψ(
φ))
v,
ξ ( ξ, θ,
φ)
= R(
v,
ξ ( ξ,
θ),
a,
ψ(
φ));
v , θ ( ξ , θ , φ ) = R ( v , θ ( ξ , θ ), a , ψ ( φ ))
v,
( ξ,
θ,
φ)
= R(
ψ’
a × v(
ξ,
θ),
a,
ψ(
φ))
φ
k
( ξ ξ, θ θ,
φ ) = R ( k ( ξ ξ,
θ θ,
φ φ)
), a a,
ψ ( φ ))
k,
( , θ,
φ)
= R(
ψ’
a × k(
ξ,
θ,
φ)
+ k,
( ξ,
θ,
φ),
a,
ψ(
φ))
φ
ξ φ

Approccio geometrico
Definizione della famiglia di inviluppante (il cui inviluppo e’ la sup. dente)
E
3
g
In si definisce il versore ed il punto fisso
Per descrivere la famiglia
p
g
( ξ,
θ,
φ)
=
=
=
Versore normale a
m
u
g
R(
p
b
Φ
f
b
( ξ,
θ,
φ),
b,
−ϕ(
φ))
b
R ( R ( p pe
( ξ , θ ), a , ψ ( φ )) − d da
( φ ), b , − ϕ ( φ ))
P ( ξ,
θ,
φ)
− O
g
Φ
g
u
= R(
R(
m , a,
ψ(
φ)),
b,
−ϕ(
φ))
ϕ (φ ) rotazione intorno a b (dello sbozzato)
Definizione di vettore posizione
Φ
e
e normale di non necessita di sistemi di rif.
g
g
Φ
g
O
g
Og
pg
b
Pg
pb
−
P
ϕ(φ)

Approccio geometrico
Definizione della equazione di ingranamento (eq. of meshing)
f( ξ , θ , φ ) = [ p , ξ p , θ p , φ ] = 0 def.ne generale
g ξ pg,
θ pg,
φ ] def.ne generale
Poi, grazie a proprieta’ operatore di rotazione
f( ξ,
θ,
φ)
dove
=
=
[ p
g
[ p
e
,
,
ξ
ξ
p
p
g
e
,
,
θ
θ
p
h
= m ( ξ,
θ)
⋅ h ( ξ,
θ,
φ)
e
e
g
e
,
]
φ
]
=
m ( ξ,
θ)
vettore normale alla superficie dell’utensile Σ (facile da calcolare)
e
h e ξ, θ,
φ)
= ce(
φ)
× pe(
ξ,
θ)
+ qe(
φ)
con
c e
q
e
0
( (assi mobili e modified roll generalizzato)
( φ) = R(
c(
φ),
a,
−ψ(
φ)),
c ( ) = ψ’
( φ)
a − ϕ’
( φ)
b
b
b
( φ) = R(
ϕ’
( φ)
b × d ( φ)
− d ’ ( φ),
a,
−ψ(
φ)),
a
e
φ (vettore screw axis)
a

Approccio geometrico
Definizione della superficie del dente generato (inviluppo)
Forma generale
s
g
= pg(
ξ,
θ,
φ)
f( ξ , θ,
φ)
= m e(
ξ,
θ)
⋅ he(
ξ,
θ,
φ)
Forma esplicita
1
Se f C , f, + f, ≠ 0 si puo’ ottenere la forma esplicita
s
s
g
g
∈ ξ θ
( θ, φ)
= p g g(
ξ(
θ,
φ),
θ,
φ)
( ξ, φ)
= pg(
ξ,
θ(
ξ,
φ),
φ)
se
se
f,
ξ
f, θ
=
≠
≠
0
0
0
Indipendente
dda sistemi i i di rif. if
Indipendente
da sistemi di rif.

Risultati dell’approccio geometrico
Definizione generale della superficie del dente nello spazio dello sbozzato
Definizione della superficie dei contatti nello spazio fisso
Undercutting: linee di punti singolari su sup. generata e sue singolarita’
Eventuale inviluppo delle linee di contatto su utensile e sue singolarita’
“Alternative formulation of the theory of gearing”, F. Di Puccio, M. Gabiccini, M. Guiggiani,
in “Mechanism and Machine Theory” (MAMT), Dicembre 2004
Generalizzazione teoria ad assi mobili e modified roll
3
Ef
Relazioni dirette fra curvature e torsioni superfici utensile/dente
“Curvature analysis of general tooth surfaces via a new approach”, in prep. per MAMT
Analisi del contatto rigido (TCA) con nuovo approccio
Analisi al terzo ordine della geometria del contatto in generazione
3
Eg

Vantaggi dell’approccio geometrico
Si sfruttano appieno le semplificazioni da ipotesi di moto relativo rigido
Espressioni e definizioni di validita’ piu’ generale
Non necessario introdurre il tempo nelle espressioni
Analisi di curvature e loro derivate piu’ compatta e diretta
Metodo piu’ compatto e rigoroso per formulare l’intera teoria dell’ingranamento

Applicazione alla modellazione di ingranaggi spiroconici
Approccio tecnico / confronto Gleason
Summary
(Dims,TCA, LTCA)
Special Analysis File
coords (r i; n i)
Elaborazione Input file (.txt)
Codice “HypoidFaceMilling” (DIMNP)
• Modello analitico processo di rettifica
• Si Simulazione l i ddel l contatto t tt [TCA]
• Mesh generator per codice FEM [Ansys 8.0]
• Esport. geom. in ambiente Pro-E, AutoCAD
3 Modelli FEM Ansys
• nodi & elem
• bottom up
• top down
TCA
• Bearing contact
• MMotion ti graph h
• Info per mesh refinement
Software T2000TM (Gleason)
(r’ i;n’ i)
Update
|r i-r’ i|< e d
|n i-n’ i|

Blank offset
Set-up per la generazione di spiroconici face-milled
Sliding base
Mach. center to back

Set-up per la generazione di spiroconici face-milled (modello CAD)
asse head
Σ Σe iinterna t
asse (fisso) cradle
asse ruota
Σ e esterna
head-cutter
Σ e generante
cradle
blank
ruota

Modellazione con approccio geometrico
Si definisce un unico sistema di riferimento S = ( O ; x x,
y y,
z ) di versori
( ii,
j j,
k )
k = a,
j =
a × b
,
sin γ
i = j × k
CComponenti i ddei i vettori i di partenza:
a = ( 0,
0,
1)
b = (Cos γ m,
0, Sin γ m)
versori degli assi (fissi)
b
d ( φ) = ( ΔX
Cos γ , −ΔE
( φ),
ΔX
( φ)
+ ΔX
Sin γ )
a
D
m M
B
D m
pe e
distanza (variabile)
( ξ, θ)
= (xe(
ξ,
θ),
ye(
ξ,
θ),
z ( ξ,
θ))
superficie utensile (fissa)
me e
( ξ, θ)
= (me
x( ξ,
θ),
me
y(
ξ,
θ),
m z(
ξ,
θ))
vettore normale utensile (fisso)
Componenti p dei vettori da calcolare:
h ( ξ, θ,
φ)
= c ( φ)
× p ( ξ,
θ)
+ q ( φ)
e
e
e
e
c ( φ ) = R(c( (( φ ), a, , − ψ ( φ )),
e
c( ( φ ) = ψ ψ’
( φ ) a−
ϕ ϕ’
( φ ) b
vettore ∝ veloc. strisc.
asse elicoid. moto relativo
b
b
qe( φ)
= R( ϕ’
( φ)
b×
da(
φ)
− da’
( φ),
a, −ψ(
φ))
componente di offset
Grazie alle formule dell’approccio geometrico precedentemente illustrate si determina
la superficie del dente e le sue proprieta’ differenziali

Geometria mole modellate
Straight blade profile (2 porzioni)
• raccordo in testa (porzione sup. torica)
• fi fianco attivo tti (porzione ( i sup. conica) i )
Straight blade with toprem (3 porzioni)
• raccordo in testa (porzione sup. torica)
• toprem (porzione sup. conica)
• fianco attivo (porzione sup. conica)
materiale mola
materiale mola

Curved blade with toprem (3 porzioni)
• raccordo d in i testa t t (porzione ( i sup. torica) t i )
• toprem (porzione sup. conica)
• fianco attivo (porzione sup. torica)
Geometria mole modellate (continua)
Curved blade (2 porzioni) (caso particolare del precedente)
• raccordo in testa (porzione sup. torica)
• fianco attivo (porzione sup. torica)
materiale t i l mola l

Settaggi macchina
Posizionamento relativo sbozzato – carter della macchina utensile
ΔE )
3
2
3
( φ = ΔE
+ V φ + V φ + V φ
M
M0 1
2
blank offset (variabile)
ΔX )
3
2
3
( φ = ΔX
+ H φ + H φ + H φ
B
B0
1
2
sliding base (variabile)
ΔX D
mach. center to back
Rotazione assi
ψ ( φ)
ϕ(
φ)
=
=
φ
m ( φ
0
−
2C
2
φ
2
6D
− φ
6
Tutti gli altri settaggi sono costanti
3
angolo rotazione culla (parametro di controllo)
24E
− φ
24
4
120F
−
120
Il loro valore e’ contenuto nello Special Analysis File (S.A.F.)
φ
5
)
rotazione sbozzato

Dati salienti della coppia analizzata
Dato Simbolo Valore
Num. Denti pignone Z p 27
Num. Denti corona Z g 38
Modulo m 4.95 mm
Angolo di spirale β 35 deg.
Verso di spirale p Pign. g LH Corona RH
Angolo trasmissione γ 117 deg.
Larghezza di fascia F w 32 mm
Outer cone distance A 0 97.87 mm
Spess. Cordale tnc 6.14 mm
Addendum misura h ma 4.32 mm
Dato Valore
Mov: pign. concavo P, cnv
Coppia motrice 914 Nm

Risultati del codice: Tooth Contact Analysis (TCA)
Simulazione del contatto fra superfici dei denti considerate infinitamente rigide
Obbiettivi della TCA (risultato del codice “HypoidFaceMilling”)
• Stimare contatto esteso (bearing contact) ad interferenza imposta ovvero carico noto su
ogni coppia di denti in presa
• Creazione della funzione di trasmissione (motion graph), fondamentale per la
valutazione della insensibilita’ a disallineamenti
• Estrarre informazioni indispensabili per infittimento localizzato della mesh nelle zone
zona di contatto dei denti
• Da motion graph appare che le ruote della coppia NON sono coniugate
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
Dphi2
Motion graph Bearing contact stimato con TCA
phi1

Risultati del codice: modelli geometrici AutoCad
Esportazione p della ggeometria dente da codice pproprietario p “HypoidFaceMilling” yp g ( (DIMNP) ) in
ambiente AutoCAD mediante script in linguaggio AutoLISP (.lsp) (Coons patches)
Modello AutoCAD 3D
singola coppia
Modello AutoCAD 3D
trasmissione completa

Risultati del codice: modelli geometrici Pro-Engineer
Esportazione p della ggeometria dente corona da codice proprietario p p “HypoidFaceMilling” yp g ( (DIMNP) ) in
ambiente Pro-Engineer mediante script IBL (.ibl)
Curve NURBS scheletro volume corona
sezioni trasversali
create dal codice
“HypoidFaceMilling”

Risultati del codice: modelli geometrici Pro-Engineer
Esportazione p della ggeometria dente corona da codice proprietario p p “HypoidFaceMilling” yp g ( (DIMNP) ) in
ambiente Pro-Engineer mediante script IBL (.ibl)
Superfici NURBS GC 2 di blend delle curve scheletro volume corona

Risultati del codice: modelli geometrici Pro-Engineer
Esportazione p della ggeometria dente pignone pg da codice proprietario p p “HypoidFaceMilling” yp g ( (DIMNP) )
in ambiente Pro-Engineer mediante script IBL (.ibl)
Curve NURBS scheletro volume pignone
sezioni trasversali
create dal codice
“HypoidFaceMilling”

Risultati del codice: modelli geometrici Pro-Engineer
Esportazione p della ggeometria dente pignone pg da codice proprietario p p “HypoidFaceMilling” yp g ( (DIMNP) )
in ambiente Pro-Engineer mediante script IBL (.ibl)
Superfici NURBS GC 2 di blend delle curve scheletro volume pignone

Importazione modelli in ambiente Ansys
Esportazione della geometria denti in ambiente Pro-Engineer Pro Engineer in formato IGES per codice EF Ansys
Coppia denti di riferimento

Creazione di volumi in ambiente Ansys
Vengono creati volumi a partire dagli IGES IGES, pronti per essere meshati
Coppia denti di riferimento

Creazione dei settori di ruota per analisi delle sollecitazioni
Viene generato un array polare di volumi a partire dal dente di riferimento
Due settori di 5 denti ciascuno sono sufficienti (sotto carico 2

Creazione dei rim delle ruote per analisi delle sollecitazioni
Vengono generati i volumi dei rim completi di corona e pignone perche’ le condizioni al contorno
del modello siano le piu’ verosimili
Nodi sulle interfacce laterali dente-dente bloccati condizione di vincolo eccessivamente rigido
Nodi sulle interfacce laterali dente-dente scarichi condizione di vincolo eccessivamente cedevole
Modello completo corona (settore e rim) Modello completo pignone (settore e rim)

Volumi del modello completo
I due sottomodelli ingrananti sono pronti per essere meshati
Volumi del modello completo p ( (settori e rim) )

Elementi finiti per la meshatura dei volumi di corona e pignone
Mesh delle superfici della dentatura (fianchi, raccordi, testa) differenziata da quella delle
superfici del rim (più grossolana) mediante elementi superficiali MESH200 (forma triangolare
3D a 6 nodi).
Mesh dei volumi dei corpi con elementi SOLID92 (tetraedri a 10 nodi con f.f. quadratiche), la
cui faccia superficiale ricalca quella dei preesistenti MESH200.
Scelta di elementi solidi tetraedrici necessaria per la conseguente possibilità di adottare il
comando NREFINE per gli infittimenti localizzati nel 3D.
MESH200 SOLID92

Mesh di base denti corona

Mesh di base denti pignone

Definizione elementi: uno sguardo al file batch
ET,2,SOLID92 ! tetraedri a 10 nodi (QUADRATICI)
MOPT,TETEXPND,2 ! fa sì che la dimensione lineare degli elementi raddoppi (circa) passando dalle
superfici di contorno all'interno all interno del volume (quindi il n.tot. di elementi si riduce)
MOPT,TIMP,6 ! cerca di migliorare il più possibile la forma dei tetraedri (SOLID92) usati
MP,PRXY,1,0.3 ! coefficiente di Poisson (pari a 0.3)
MP,MU,1,0 ! coefficiente d'attrito tra le superfici (nullo)
MP,EX,1,210000 ! modulo di Young (pari a 210GPa)
MAT,1
TYPE,2
VMESH,i ! meshatura dei vari volumi (denti)
VIMP,ALL , ! controlla e migliora g la struttura della mesh (aspect ( p ratio) )
Le dimensioni lineari medie degli elementi in corrispondenza delle superfici esterne sono differenziate a seconda
della zona: le superfici dei fianchi attivi interessati dal contatto e quelle dei relativi raccordi di fondo dente sono
meshate con elementi di dimensioni adeguatamente ridotte.

Valutazione delle possibili zone di contatto
• Un primo modello EF senza infittimenti localizzati (computazionalmente più leggero) rileva tutte
le potenziali zone di contatto fra i denti
• Tutte le superfici dei fianchi attivi e dei raccordi dei denti di corona e pignone sono rivestite con
elementi contact e target (CONTA174/TARGE170 (CONTA174/TARGE170, v. v dopo) con pinball region sovradimensionata
per cogliere cautelativamente tutti i contatti possibili (anche back side contact)
Elementi target g
3D TARGE170 modellazione dei fianchi concavi
Elementi contact 3D CONTA174 modellazione dei fianchi convessi
pinball region
Contact
Target

initial guess
Ricerca analitica di probabili contatti fra denti adiacenti
r
( s , t )
( ( − 1)
)
1 ( ( ss
1,
tt
1)
)
( 0)
1 1 1
( ( + 1)
)
rr
1 ( ( ss
1,
tt
1)
)
r
( −1)
2
Algoritmo impiegato:
⎧
⎪(
r1
⎪
⎨
⎪ ⎪(
r1
⎪
⎩
( i)
( i)
(s , t )
1
1
1
(s , t )
1
CCPs
( s
2
, t
2
)
r
( 0)
2
( s
2
, t
Coppia di riferimento (0)
in contatto, classica TCA
( i)
( i)
∂rj
(s j,
tj)
− r (s , t )) ⋅
= 0
2 2 2
∂ s
( i )
∂ ∂r
( (s , t )
( i)
j j j
− r (s , t )) ⋅
= 0
2 2 2
∂ t
j
j
2
)
iinitial iti l guess
r
( + 1)
2
( s
2
CCPs
, t
2
)
i ∈ [nstart,
nend
],
j
= 1,2

Stima della zona di contatto con Hertz ed infittimento locale mesh
r1 1 1
( s , t )
piano tangente
r2( s 2 , t 2 )
4b
4b
2a
2b
CCP
Mesh coarse
Mesh molecolare
Mesh coarse
Nodi ed elementi selezionati per il raffinamento
GGrado d d’infittimento
d’i fitti t
Contenuti in un volume a forma di parallelepipedo avente:
• baricentro candidate contact point (CCP)
• lunghezza asse maggiore dell’ellisse di contatto stimata
• larghezza asse minore dell’ellisse di contatto stimata
• profondità p 4 volte dim dell’asse minore su ogni g corpo p
L’ellisse di contatto è stimata supponendo cautelativamente che ingrani
una sola coppia di denti
Arrestato quando:
err conv = |(σ i max −σ (i-1) max)/ σ i max | =0.018
A questo grado d’infittimento d infittimento corrispondono
dimensioni lineari degli elementi pari a circa 1/200
del minimo raggio di curvatura locale
Valori di riferimento in letteratura:
err conv = 0.01 (eccellente) 0.1 (soddisfacente)

Infittimenti localizzati modello corona
centro ellissi Hertziane
stimate con TCA

centro ellissi Hertziane
stimate con TCA
Infittimenti localizzati modello pignone

Modellazione del contatto fra i denti: elementi contact/target
• Le superfici dei fianchi attivi e dei raccordi di fondo dente sono rivestite con elementi di contatto
3D CONTA174 e TARGE170, con funzioni di forma quadratiche.
• E’ opportuno che h i CONTA174 CONTA1 4 rivestano i le l superfici fi i convesse e i TARGE1 TARGE170 0 quelle ll concave.
• Possono essere adottati con successo due algoritmi di contatto:
AAugmented t d Lagrangian: L i algoritmo l it di ddefault, f lt più iù iinsensibile ibil a ill ill-conditioning diti i ddella ll
matrice di rigidezza globale e più stabile
Penalty method: talvolta più rapido del precedente, specialmente se la mesh va incontro
a deformazioni relativamente grandi; attivabile per i CONTA174 grazie a KEYOPT(2)=1
• Essenziale specificare un “buon” valore della rigidezza di contatto normale (FKN): FKN=10 da
buoni risultati; è utile, ai fini dell’accuratezza, attivarne l’aggiornamento automatico pair-based ad
ogni iterazione (KEYOPT(10)=2) (KEYOPT(10)=2). In batch:
R,i,,,10
KEYOPT,elemtypenumber,10,2
• Sulla coppia pp di denti di riferimento ( (che comanda il moto) ) è indispensabile p chiudere i micro-gap g p
iniziali fra dente corona e dente pignone (generati nella discretizzazione) per evitare rigid body
motion. Se tale gap è molto piccolo (dell’ordine di 10E-04 mm) è conveniente chiuderlo settando
il parametro CNOF dei CONTA174 (KEYOPT(5)=1).
Se invece di micro-gap g p si ha micro-penetrazione, p è sufficiente impostare p KEYOPT(5)=2 ( ) ed
escludere l’effetto di tale micro-penetrazione specificando KEYOPT(9)=1

SSuperfici fi i TARGET
Elementi contact/target
Superfici CONTACT
Pignone
Corona

Elementi CONTA174/TARGE170 per l’unione della mesh di denti adiacenti
• Non può essere effettuato un merge delle entità sovrapposte perché le mesh sono dissimili.
• Applicabile un tipo particolare di contatto detto bonded always, attivabile per i CONTA174 con
l’opzione KEYOPT(12)=5
• Per ridurre il “peso” computazionale ci si può avvalere dell’approccio multipoint-constraint (MPC),
che non richiede rigidezza di contatto; è attivabile mediante KEYOPT(2)=2
• E’ infine consigliabile escludere l’effetto di eventuali micro-compenetrazioni iniziali settando
KEYOPT(9)=1
Contact pairs bonded always MPC sulle pareti laterali di denti adiacenti

Elementi CONTA174/TARGE170 per il trasferimento della coppia motrice
• Creazione di una nuova superficie coincidente con la base del rim pignone.
• Creazione di un contact pair con contatto rigid-to-flexible:
nuova superficie = target surface, meshata con TARGE170 rigidi high-order a forma
triangolare e pilotata da un pilot node (attivabile con il comando TSHAP,PILO) nel crossing
point; i t su di esso è applicata li t lla C Cm ( (mediante di t un unico i lloadstep d t suddiviso ddi i iin substeps) b t )
base del rim pignone = contact surface, meshata con CONTA174
approccio MPC (stesse impostazioni viste in precedenza)

Vincoli sul modello corona
Annullamento di tutti i gradi di libertà dei soli nodi appartenenti alla base del rim corona
(che diventa quindi una superficie rigida)
C m
U i=0

Scelta del solver e di altre opzioni
Solver scelto: Preconditioned Conjugate Gradient (PCG), con tolleranza di default
(comando EQSLV,PCG,1.0E-8,2)
Vantaggi rispetto allo Sparse Direct Solver (default) e ad altri solver:
più veloce in pb. di analisi strutturale
buon precondizionatore
in presenza di elementi SOLID92 (nostro caso), congiuntamente al comando
MSAVE MSAVE,ON, ON consente risparmi i i fi fino al l 70% 0% sulla ll memoria i fi fisica i richiesta. i hi
Comando SOLCONTROL,ON: auto time stepping diventa sensibile a cambiamenti
repentini dello stato di contatto degli elementi
CComandi di /CONFIG /CONFIG,NOELDB,1 NOELDB 1 e /CONFIG /CONFIG,NORSTGM,1: NORSTGM 1 consentono t di risparmiare i i
sulla memoria richiesta evitando una doppia scrittura di dati
Comando RESCONTROL,,ALL,1,2: impone la scrittura di files .Rnnn, necessari per un
multiframe restart in caso di crash del programma o del sistema, per ciascun loadstep
ogni 2 substeps
Comando NSUBST,15: fa sì che il valore di carico adottato nel primo substep sia 1/15
del totale

Pressioni di contatto rilevate dai CONTA174
Press. max: 1041 MPa

Pressioni di contatto rilevate dai CONTA174 sulla corona

Pressioni di contatto rilevate dai CONTA174 sul pignone

Confronto press. contatto dai CONTA174 e da teoria di Hertz
• In prima approssimazione si adotta la teoria di Hertz per avere un termine di
paragone con cui confrontare i risultati numerici ottenuti
• La forza for a totale agente sul s l singolo dente è calcolabile in Ans Ansys: s
scegliendo il sistema di riferimento locale d’interesse (la forza totale agente è
diretta essenzialmente lungo l’asse locale z, orientato come la normale locale nel
ccp): c.c.p.):
RSYS,i
facendo calcolare al programma p g la forza totale agente g sui CONTA174
d’interesse (quelli appartenenti alla coppia di denti su cui agisce la pressione di
contatto massima), secondo gli assi del sistema di riferimento locale:
FSUM,RSYS,CONT
, ,
• Con tale valore di forza si entra nel codice DIMNP, che provvede al calcolo della
pressione Hertziana
• Nel caso in esame:
Pertanto l’errore relativo è pari a 0,67%.
p max= 1041 MPa, p Hertz= 1034 MPa

Compenetrazione fra elementi CONTA174 e TARGE170
• Nella realtà, due corpi a contatto non possono compenetrarsi tra loro
• Nell’ambito dell’analisi ad elementi finiti, il vincolo di incompenetrabilità non può essere
soddisfatto a causa della natura stessa degli algoritmi di contatto: le superfici contact/target dei
corpi in contatto avranno sempre, a convergenza, una certa compenetrazione
• I risultati saranno teoricamente tanto più accurati quanto minore risulterà l’entità di tale
compenetrazione. Nel modello in esame il suo valore max e’ 0.258 μm.

Tensione principale S1 sui denti corona

Tensione principale S1 sui denti pignone

Tensione principale S2 sui denti corona

Tensione principale S2 sui denti pignone

Tensione principale S3 sui denti corona

Tensione principale S3 sui denti pignone

Tensione eq. secondo Von Mises sui denti corona

Tensione eq. secondo Von Mises sui denti pignone

Spostamento totale nodi modello corona

Spostamento totale nodi modello pignone
Oss. La rotazione del pilot node coincide con l’errore di trasmissione dovuto alla deformabilità dei denti.

Animazione dell’evoluzione del contatto

Conclusioni
Formulazione alternativa di tutti gli aspetti della “theory of gearing”
Validazione dell’approccio pp pproposto p con applicazione pp ad un caso reale
Capacita’ di modellare geometricamente di qualsiasi tipo di ingranaggio
Capacita’ Capacita di effettuare analisi di contatto avanzate su qualsiasi tipo di ingranaggio
Forte interesse a collaborare con industria del settore su argomenti di ricerca
Sviluppi futuri
Modellazione del processo face-hobbing per il taglio di ruote ipoidi (tiroc. Samuele Rovai)
Sintesi dei moti macchina utensile (Gleason UMCULTIMA) per ottimizzare il contatto,
funzione di trasmissione, diminuire rumore, aumentare robustezza
Sviluppo di modelli dinamici non lineari sia analitici che numerici
Validazione dei modelli con test sperimentali
Argomenti di ricerca da stabilire con futuri partner aziendali

Componenti del gruppo di ricerca
Prof. Ing. Massimo Guiggiani Ing. Francesca Di Puccio Ing. Alessio Artoni
Grazie per la cortese attenzione…
…domande?