dispense costruzione di macchine vol.1 - andorno ... - ITIS Tullio Buzzi
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ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
1. CALCOLO DEGLI ALBERI DI TRASMISSIONE<br />
Gli assi e gli alberi sono elementi <strong>di</strong> forma allungata sottoposti durante il funzionamento della macchina<br />
a un moto <strong>di</strong> rotazione oppure <strong>di</strong> oscillazione attorno ad un asse rettilineo.<br />
Nella maggioranza dei casi gli assi e gli alberi sono fondamentalmente a sezione circolare.<br />
Si usa <strong>di</strong> solito il nome <strong>di</strong> asse quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente <strong>di</strong> flessione, il nome<br />
<strong>di</strong> albero quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente <strong>di</strong> torsione.<br />
In pratica sono sempre presenti, in varia misura, entrambe le sollecitazioni <strong>di</strong> flessione e torsione.<br />
Il <strong>di</strong>mensionamento viene condotto ipotizzando una sollecitazione ideale che compen<strong>di</strong>, in modo<br />
opportuno, entrambe le sollecitazioni in gioco.<br />
In modo del tutto analogo si può anche far riferimento ad una tensione ideale che compen<strong>di</strong>, in modo<br />
opportuno, entrambe le tensioni in gioco.<br />
Riportiamo <strong>di</strong> seguito le espressioni delle tensioni e delle sollecitazioni ideali 1 .<br />
Sollecitazioni ideali<br />
M = M + 0.75 M M = 4 3M<br />
+ M<br />
(1.1)<br />
2 2 2 2<br />
fi f t ti f t<br />
Tensioni ideali<br />
σ = σ + 3 τ τ = σ 3 + τ<br />
(1.2)<br />
2 2 2 2<br />
id f t id f t<br />
Circa i valori massimi ammissibili per le σ id e leτ id non è possibile in<strong>di</strong>care se non valori <strong>di</strong> larga<br />
massima <strong>di</strong>pendendo essi sia dalla natura del materiale, dai trattamenti termici, dal grado <strong>di</strong> finitura<br />
superficiale, dal tipo <strong>di</strong> sezione (presenza <strong>di</strong> cave, raccor<strong>di</strong>…) sia dalle modalità d’applicazione del<br />
carico (costante, pulsante, urto lieve/pesante….)<br />
Le norme ASME propongono, per un albero pieno con carico assiale trascurabile, <strong>di</strong> comporre le<br />
sollecitazioni definendo un momento torcente ideale in accordo con la seguente equazione 2 :<br />
( ) ( )<br />
2 2<br />
M = k M + k M<br />
(1.3)<br />
ti f f t t<br />
dove i coefficienti k devono essere scelti, in funzione della modalità <strong>di</strong> applicazione del carico, in<br />
accordo con la tabella sotto riportata 3 :<br />
Tipo <strong>di</strong> carico kf kt<br />
costante 1.5 1.0<br />
urto lieve 1.5-2.0 1.0-1.5<br />
urto pesante 2.0-3.0 1.5-3.0<br />
Il <strong>di</strong>ametro dell’albero allora dovrà sod<strong>di</strong>sfare la seguente <strong>di</strong>suguaglianza:<br />
16M ti d ≥ 3<br />
πτ<br />
(1.4)<br />
amm<br />
1<br />
Le espressioni (1.1) e (1.2) sono in accordo con l’ipotesi <strong>di</strong> rottura, denominata ipotesi dell’energia <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>storsione, secondo la quale la rottura non avviene quando raggiunge il massimo tutta l’energia <strong>di</strong> deformazione,<br />
ma solo quella parte <strong>di</strong> tale energia che corrisponde al cambiamento <strong>di</strong> forma dell’elemento <strong>di</strong> volume<br />
infinitesimo, e che è uguale a tutta l’energia <strong>di</strong> deformazione meno la quota parte che produce esclusivamente<br />
cambiamento <strong>di</strong> volume, senza cambiamento <strong>di</strong> forma. La formalizzazione della teoria si deve a Richard Edler<br />
von Mises (Lemberg 19 April 1883 - Boston, 14 July 1953) uno scienziato che fornì importanti contributi nei<br />
campi della fluido<strong>di</strong>namica, dell’aero<strong>di</strong>namica, della statistica e della teoria della probabilità<br />
2<br />
Le norme ASME a cui si fa riferimento, pur essendo superate, forniscono, per un calcolo <strong>di</strong> massima, valori<br />
decisamente atten<strong>di</strong>bili.<br />
3<br />
I coefficienti k , detti anche coefficienti <strong>di</strong> fatica, tengono conto dell’affaticamento del materiale che <strong>di</strong>pende, tra<br />
l’altro, dalla modalità <strong>di</strong> applicazione del carico, dalla finitura superficiale e dalle caratteristiche geometriche<br />
dell’albero.<br />
1
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Per quanto riguarda il valore della tensione ammissibile da inserire nella (1.4) o nella (1.5), facendo<br />
riferimento ad alberi con se<strong>di</strong> <strong>di</strong> linguetta, essa può porsi pari al 22.5% del carico <strong>di</strong> snervamento senza<br />
superare il 13.5% del carico <strong>di</strong> rottura a trazione. 1<br />
Qualora il momento flettente fosse trascurabile, in<strong>di</strong>cata con N la potenza trasmessa in kW, con n la<br />
frequenza <strong>di</strong> rotazione in rpm, il <strong>di</strong>ametro dell’albero, a sola torsione, può progettarsi con la semplice<br />
relazione:<br />
N<br />
d ≥ 365 3<br />
(1.5)<br />
n ⋅τ<br />
amm<br />
Caratteristiche meccaniche <strong>di</strong> alcuni acciai da <strong>costruzione</strong> §<br />
Tipo Sigla D, mm R, MPa Re, MPa A% KCU, J<br />
Acciai da<br />
bonifica<br />
C40<br />
36CrNiMo4<br />
34CrNiMo6<br />
16-40<br />
25<br />
25<br />
640-780<br />
1000<br />
1100<br />
420<br />
855<br />
960<br />
17<br />
15.4<br />
14.6<br />
25<br />
90<br />
76<br />
C10 11 540-930 345 12 35<br />
Acciai da 16NiCr4 25 1010 775 12.5 74<br />
cementazione 18NiCr5/4 25 1130 910 11 66<br />
17NiCrMo6 25 1130 900 12 75<br />
§ D <strong>di</strong>ametro del saggio<br />
R carico <strong>di</strong> rottura a trazione<br />
Re carico <strong>di</strong> snervamento a trazione<br />
A% allungamento percentuale (prova <strong>di</strong> trazione)<br />
KCU resilienza<br />
1 Ovviamente si tratta <strong>di</strong> valori puramente in<strong>di</strong>cativi. Nel caso <strong>di</strong> alberi realizzati con acciaio “or<strong>di</strong>nario”, ossia<br />
con acciaio per il quale non è richiesta alcuna prescrizione particolare legata all’impiego, la amm<br />
τ da inserire nella<br />
(1.4) può aggirarsi, in un calcolo <strong>di</strong> massima, intorno 55 e 40 N/mm 2 rispettivamente nel caso <strong>di</strong> assenza o<br />
presenza <strong>di</strong> linguette.<br />
2
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Progetto a rigi<strong>di</strong>tà torsionale<br />
L’angolo <strong>di</strong> torsione θ (rad) tra due sezioni <strong>di</strong>stanti L <strong>di</strong> un albero pieno con <strong>di</strong>ametro costante d,<br />
in<strong>di</strong>cato con G il modulo <strong>di</strong> elasticità tangenziale 1 e con Mt il momento torcente (costante), vale 2 :<br />
32 ⋅ M tL<br />
θ = (1.6)<br />
π<br />
4<br />
d G<br />
fissato pertanto l’angolo <strong>di</strong> torsione massimo ammesso θmax , il <strong>di</strong>ametro dell’albero vale:<br />
32 ⋅ M t L<br />
d = 4<br />
πGθ (1.7)<br />
max<br />
Con riferimento al limite tra<strong>di</strong>zionale <strong>di</strong> una deformazione torsionale ammissibile <strong>di</strong> ¼ <strong>di</strong> grado per<br />
metro 3 , in<strong>di</strong>cata con N la potenza trasmessa in kW e con n la frequenza <strong>di</strong> rotazione in rpm, si ottiene:<br />
130 4<br />
N<br />
d ≅ (1.8)<br />
n<br />
1 Il modulo <strong>di</strong> elasticità trasversale G è legato, tramite il modulo <strong>di</strong> Poisson v , al modulo <strong>di</strong> elasticità normale E.<br />
G = E / 2(1 + v)<br />
Il modulo <strong>di</strong> Poisson misura, in presenza <strong>di</strong> una sollecitazione monoassiale longitu<strong>di</strong>nale, il rapporto tra la<br />
contrazione trasversale e la deformazione longitu<strong>di</strong>nale.<br />
v = − ε t ε n<br />
In un materiale perfettamente isotropo il coefficiente <strong>di</strong> Poisson vale 1/4. Per l’acciaio può porsi v ≅ 0.3<br />
2<br />
In<strong>di</strong>cata con z l’ascissa <strong>di</strong> una sezione trasversale generica si ha:<br />
( )<br />
( )<br />
dθ<br />
M z<br />
=<br />
dz G ⋅ J z<br />
considerando un albero a sezione costante sottoposto all’azione <strong>di</strong> un momento torcente anch’esso costante tra le<br />
sezioni <strong>di</strong> ascissa 0 e L, l’equazione precedente è facilmente integrabile:<br />
L L<br />
M ( z) ⋅ dz M M ⋅ L<br />
dθ = → dθ = dz → Δθ<br />
=<br />
G ⋅ J z ∫ G ⋅ J ∫<br />
G ⋅ J<br />
( ) 0 0<br />
4<br />
Poiché, per una sezione circolare piena J = π d 32 , è imme<strong>di</strong>ato ricavare la (1.7)<br />
3<br />
La deformazione massima ammissibile <strong>di</strong> ¼ <strong>di</strong> grado per metro ha più che altro un valore storico: veniva<br />
utilizzata, in passato, per il proporzionamento dei lunghi alberi <strong>di</strong> trasmissione che si usavano negli opifici del<br />
tempo.<br />
3
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Esempio 1. 1<br />
Un albero è appoggiato su due cuscinetti posti a <strong>di</strong>stanza L pari a 1524 mm. Una puleggia <strong>di</strong> massa 90<br />
kg è posizionata equi<strong>di</strong>stante dai due supporti ed è collegata all’albero tramite una linguetta. Sulla<br />
puleggia è montata orizzontalmente una cinghia con tensione totale sui due rami pari a 6800 N.<br />
Determinare il <strong>di</strong>ametro dell’albero e l’angolo <strong>di</strong> torsione tra i due cuscinetti, sapendo l’albero stesso<br />
riceve 14.7 kW a 150 rpm tramite un giunto flessibile posizionato subito dopo il cuscinetto <strong>di</strong> destra.<br />
Il momento flettente raggiunge il massimo nella sezione equi<strong>di</strong>stante dagli appoggi dove agisce anche il<br />
momento torcente trasmesso dal giunto.:<br />
M = + =<br />
2 2<br />
f max 345900 2594250 2617208 Nmm<br />
6<br />
10 ⋅14.7 ⋅ 60<br />
M t =<br />
2π ⋅150<br />
≅ 935831 Nmm<br />
Ipotizzando k = k ≅ 1.5 e considerando un albero in acciaio or<strong>di</strong>nario, quin<strong>di</strong> con τ max ≅ 42 MPa , il<br />
t f<br />
<strong>di</strong>ametro minimo dell’albero vale:<br />
16<br />
2 2<br />
d = 3 ( k f M f ) + ( ktM t ) ≅ 80 mm<br />
π ⋅τ<br />
amm<br />
L’angolo <strong>di</strong> torsione tra i due cuscinetti, tenuto presente che il momento torcente sollecita l’albero solo<br />
nelle sezioni comprese tra la puleggia e il giunto elastico, vale:<br />
( )<br />
32 ⋅ M t L / 2 32 ⋅935831 ⋅762<br />
360<br />
θ = → θ ≅ ≅ 0.123°<br />
4 4<br />
π d G<br />
π ⋅80 ⋅82380<br />
2π<br />
4
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Esempio 1. 2<br />
Una puleggia <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro pari a 610 mm e peso 1360 N, trascinata da una cinghia orizzontale,<br />
trasmette, attraverso l’albero, potenza ad un pignone <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro primitivo pari a 254 mm il quale a sua<br />
volta muove una ruota dentata. Configurazione, tensioni <strong>di</strong> cinghia e componenti delle reazioni della<br />
ruota sul pignone sono <strong>di</strong> seguito rappresentate.<br />
Determinare il <strong>di</strong>ametro dell’albero nell’ipotesi che sia realizzato in acciaio or<strong>di</strong>nario e che i<br />
coefficienti <strong>di</strong> fatica siano k t = 1.5 e k f = 2.5<br />
M ≅1373910 Nmm M ≅ 341290 Nmm<br />
V1 V 2<br />
M ≅1022130 Nmm M ≅ 1516200 Nmm<br />
O1 O2<br />
M ≅1712200 Nmm M ≅1556550<br />
Nmm<br />
r1 r 2<br />
Il momento torcente, attivo nel tratto d’albero compreso tra la puleggia e il pignone, vale:<br />
254 610<br />
M t = 8710 ⋅ ≅ ( 5440 −1810) ≅ 1107150 Nmm<br />
2 2<br />
La sezione più sollecitata è quella corrispondente alla ruota (1). Con riferimento a tale sezione e<br />
considerando un albero in acciaio or<strong>di</strong>nario, quin<strong>di</strong> con τ max ≅ 42 MPa , il <strong>di</strong>ametro minimo dell’albero<br />
vale:<br />
16<br />
2 2<br />
d = 3 ( k f M r1 ) + ( ktM t ) ≅ 78 mm<br />
π ⋅τ<br />
amm<br />
5
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Esempio 1. 3<br />
Il rullo industriale mostrato in figura è condotto a 300 rpm. Sulla primitiva <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro 76 mm del<br />
pignone dentato che lo comanda agisce una forza F come in<strong>di</strong>cato. Tale rullo esercita una forza ra<strong>di</strong>ale,<br />
per unità <strong>di</strong> lunghezza, <strong>di</strong> 5 N/mm sul materiale che vi passa sotto. Il coefficiente d’attrito si può<br />
supporre pari a 0.40.<br />
Scelto con giustificato criterio ogni eventuale dato mancante, si <strong>di</strong>mensioni in prima approssimazione il<br />
<strong>di</strong>ametro dell’albero porta rullo nel tratto compreso tra i cuscinetti O ed A<br />
Si determina la forza totale (ra<strong>di</strong>ale) esercitata dal rullo sul materiale:<br />
P = 5⋅ 200 = 1000 N<br />
tot<br />
La forza totale (tangenziale) esercitata dal rullo sul materiale vale:<br />
Q = 0.4 ⋅ P = 400 N<br />
tot tot<br />
Per l’equilibrio alla rotazione deve essere:<br />
76 100<br />
F cos20 ° = Qtot<br />
2 2<br />
Pertanto la forza totale F agente sul dente vale:<br />
F ≅ 560 N<br />
In<strong>di</strong>cate con Fz e Fy rispettivamente le proiezioni orizzontali e verticali della forza F e con q e p i<br />
carichi uniformante <strong>di</strong>stribuiti corrispondenti alle forze concentrate Q e P, le sollecitazioni agenti<br />
sull’albero possono essere schematizzate come <strong>di</strong> seguito riportato:<br />
y<br />
x<br />
45 200 45 70<br />
p<br />
O A<br />
Fy<br />
6<br />
q<br />
Fz<br />
z<br />
x
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Di seguito si riportano i <strong>di</strong>agrammi <strong>di</strong> momento flettente e torcente:<br />
Momento flettente Mf xy (Nmm)<br />
Momento flettente Mf zx (Nmm)<br />
-60000<br />
-50000<br />
-40000<br />
-30000<br />
-20000<br />
-10000<br />
0<br />
-50000<br />
-40000<br />
-30000<br />
-20000<br />
-10000<br />
0 100 200 300<br />
Ascissa x (mm)<br />
0<br />
0 100 200 300<br />
Ascissa x (mm)<br />
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Momento flettente Mfr (Nmm)<br />
Momento torcente Mt (Nmm)<br />
80000<br />
60000<br />
40000<br />
20000<br />
0<br />
25000<br />
20000<br />
15000<br />
10000<br />
5000<br />
0<br />
0 100 200 300<br />
Si ipotizza <strong>di</strong> realizzare l’albero con un acciaio C40 bonificato. Inoltre si ritiene che i coefficienti <strong>di</strong><br />
fatica possano essere assunti pari a k = k = 2 .<br />
f t<br />
Ascissa x (mm)<br />
0 50 100 150 200 250 300 350<br />
Ascissa x (mm)<br />
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La sezione più sollecitata è posta ad un’ascissa pari 167 mm.<br />
In tale sezione il momento flettente risultante e il momento torcente assumono i seguenti valori:<br />
M ≅ 67560 Nmm M ≅ 12240 Nmm<br />
= 167<br />
f<br />
x=<br />
167<br />
t x<br />
Con riferimento ad un acciaio C40 bonificato ( σ = 670 MPa σ = 400 MPa ) può porsi:<br />
τ ≅ 90 MPa<br />
amm<br />
Il <strong>di</strong>ametro dell’albero può pertanto assumersi pari a:<br />
16<br />
2 2<br />
d = 3 ( k f M f ) + ( ktM t ) ≅ 20 mm<br />
π ⋅τ<br />
amm<br />
R sn<br />
Bibliografia<br />
Giovannozzi R Costruzione <strong>di</strong> Macchine <strong>vol.1</strong> Patron<br />
Hall AS et al. Costruzione <strong>di</strong> Macchine Etas<br />
Shigley JE et al. Progetto e Costruzione <strong>di</strong> Macchine McGraw-Hill<br />
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2. PERNI DI ESTREMITA’<br />
Si definisce perno quella porzione <strong>di</strong> asse o albero che, accoppiata con il cuscinetto, viene sostenuta<br />
dal supporto in modo da collegarla al telaio.<br />
I perni si possono classificare come segue:<br />
1. perni portanti: in cui la spinta esercitata dal cuscinetto sul perno ha <strong>di</strong>rezione ra<strong>di</strong>ale;<br />
1.1. perni <strong>di</strong> estremità: sono posti all’estremità <strong>di</strong> un asse o <strong>di</strong> un albero e non sono soggetti a<br />
torsione;<br />
1.2. perni interme<strong>di</strong>: sono soggetti anche a torsione e si trattano semplicemente come porzioni<br />
d’albero;<br />
2. perni <strong>di</strong> spinta in cui la spinta esercitata dal cuscinetto ha <strong>di</strong>rezione assiale<br />
Nel seguito ci occuperemo della progettazione dei soli perni <strong>di</strong> estremità<br />
Sia:<br />
l lunghezza del perno;<br />
d <strong>di</strong>ametro del perno;<br />
P reazione perno-cuscinetto, ipotizzata concentrata e posizionata nella mezzeria del perno<br />
n frequenza <strong>di</strong> rotazione del perno<br />
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I perni <strong>di</strong> estremità vengono <strong>di</strong>mensionati secondo tre criteri:<br />
1. Dimensionamento a flessione<br />
Il perno viene schematizzato come una trave incastrata ad un estremo e caricata a metà dello<br />
sbalzo da una forza concentrata P pari alla reazione perno cuscinetto.<br />
(2.1)(2.2)<br />
11<br />
16P l 5P<br />
l<br />
d > ≅<br />
πσ d σ d<br />
amm amm<br />
(2.1)<br />
Il rapporto caratteristico l/d è tabellato e <strong>di</strong>pende sostanzialmente dal tipo <strong>di</strong> utilizzo del<br />
perno.<br />
Valori <strong>di</strong> l/d troppo esegui espongono al pericolo <strong>di</strong> eccessive fuoriuscite laterali <strong>di</strong> olio; per<br />
contro, valori <strong>di</strong> l/d troppo elevati inducono eccessive inclinazioni del perno nella sua sede.<br />
La tensione ammissibile <strong>di</strong>pende dal tipo <strong>di</strong> materiale costituente il perno e dal tipo <strong>di</strong><br />
utilizzo.<br />
Orientativamente si possono utilizzare le in<strong>di</strong>cazioni contenute nella tabella sotto riportata.<br />
Tipo <strong>di</strong> acciaio Tensione amm. (MPa)<br />
Comune 50 ÷70<br />
Di qualità 70 ÷ 100<br />
Alta resistenza 120 ÷ 180<br />
Nel caso <strong>di</strong> urti utilizzare i ¾ dei valori tabellati.<br />
2. Dimensionamento a pressione<br />
Viene confrontata la pressione me<strong>di</strong>a p, <strong>di</strong> seguito definita, con valori tabellati. Tali valori<br />
tabellati <strong>di</strong>pendono dai materiali costituenti la coppia perno-cuscinetto, dal tipo <strong>di</strong> finitura,<br />
dal tipo <strong>di</strong> trattamento termico, dal tipo <strong>di</strong> lubrificazione e dal settore <strong>di</strong> utilizzo del perno.<br />
P<br />
p ≡ ≤ p<br />
l ⋅<br />
d<br />
amm<br />
(2.2)
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3. Dimensionamento al riscaldamento<br />
Viene verificata la seguente <strong>di</strong>suguaglianza 1 :<br />
p ⋅v ≤ K<br />
(2.3)<br />
Dove p è la pressione me<strong>di</strong>a (MPa) definita al punto precedente, v è la velocità periferica<br />
del perno (m/s) e K è un fattore <strong>di</strong> riferimento funzione della finitura della coppia, del tipo<br />
<strong>di</strong> lubrificazione e <strong>di</strong> raffreddamento.<br />
Nel caso la <strong>di</strong>suguaglianza non fosse sod<strong>di</strong>sfatta occorrerà mo<strong>di</strong>ficare le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
funzionamento della coppia perno-cuscinetto oppure aumentare la lunghezza del perno,<br />
mentre sarebbe ininfluente agire sul <strong>di</strong>ametro del perno stesso.<br />
Valori <strong>di</strong> K da utilizzare nel <strong>di</strong>mensionamento al riscaldamento <strong>di</strong> un perno<br />
Tipo <strong>di</strong> lubrificazione e finitura K (MPa·m/s)<br />
Lavorazione corrente, lubrificazione scarsa con ingrassatore a stoppino,<br />
funzionamento in aria calma<br />
0.8÷1.0<br />
Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante ad anello o similare,<br />
funzionamento in aria calma<br />
1.5÷2.0<br />
Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante ad anello o similare,<br />
funzionamento in corrente d’aria<br />
3.0÷4.0<br />
Lubrificazione abbondante ad anello o similare, funzionamento in<br />
corrente d’aria veloce<br />
5.0÷10.0<br />
Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante forzata, funzionamento<br />
in aria calma<br />
3.0÷4.0<br />
Lavorazione accurata, lubrificazione forzata, raffreddamento artificiale<br />
dell’olio<br />
8.0÷13.0 ¥<br />
¥ fino a 26 secondo l’entità del raffreddamento<br />
1<br />
La <strong>di</strong>suguaglianza si giustifica come segue:<br />
Il calore sviluppato (calore generato) per attrito dalla coppia perno-cuscinetto, nell’unità <strong>di</strong> tempo, vale<br />
ovviamente:<br />
Qɺ = f ⋅ P ⋅v<br />
dove f è il coefficiente d’attrito tra perno e cuscinetto e v la velocità periferica del perno<br />
gen<br />
Il calore trasmesso, nell’unità <strong>di</strong> tempo, all’esterno per conduzione, e in parte per irraggiamento, si può ritenere<br />
proporzionale alla superficie del supporto S = π d ⋅l e alla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> temperatura Δ T tra supporto e ambiente.<br />
In<strong>di</strong>cato con α un opportuno coefficiente <strong>di</strong> trasmissione del calore, il calore trasmesso, nell’unità <strong>di</strong> tempo verso<br />
l’esterno (calore <strong>di</strong>sperso) si può esprimere pertanto con la seguente relazione<br />
Qɺ = α ⋅ ΔT ⋅π ⋅ d ⋅l<br />
<strong>di</strong>sp<br />
Uguagliando il calore generato al calore <strong>di</strong>sperso si ottiene la con<strong>di</strong>zione limite <strong>di</strong> equilibrio termico:<br />
P α ⋅ ΔT ⋅π<br />
f ⋅ P ⋅ v = α ⋅ΔT ⋅π ⋅ d ⋅l → v = → pv = K<br />
d ⋅l<br />
f<br />
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Caratteristiche delle coppie perno-cuscinetto a strisciamento<br />
Applicazioni<br />
Materiale<br />
Cuscinetto ¥<br />
Trasmissioni meccaniche<br />
v < 3.5 m/s<br />
G<br />
v > 3.5 m/s MB<br />
Macchine utensili G<br />
B<br />
Apparecchi <strong>di</strong> sollevamento<br />
(pulegge, tamburi, ruote)<br />
13<br />
l/d § pamm (MPa) accoppiamenti<br />
1÷2 1÷2<br />
1.2÷2<br />
B;MB<br />
G 0.8÷1.8<br />
4÷6<br />
2<br />
6<br />
12<br />
H7/f7<br />
H7/e8<br />
H7/d9<br />
H7/f7<br />
H7/g6<br />
H7/e8<br />
H7/d9<br />
H8/d10<br />
H6/g5<br />
H7/f7<br />
H7/f7<br />
H6/g5<br />
Pompe, compressori, ventilatori<br />
v < 60 m/s<br />
MB<br />
BPB<br />
0.8÷1.25<br />
0.8÷1.2<br />
1÷4<br />
Motori elettrici<br />
v < 10 m/s<br />
Motori a carburazione e Diesel veloci<br />
MB 0.8÷1.5 1.5<br />
Spinotto BPB<br />
20÷30<br />
Manovella BPB 0.5÷0.6 8÷10<br />
Banco<br />
BPB<br />
8÷10 H7/f7<br />
Motori Diesel lenti<br />
H7/g5<br />
Testa a croce BPB<br />
40÷60<br />
Manovella MB 0.5÷0.6 12÷13<br />
Banco<br />
MB<br />
8÷9<br />
Turbine a vapore MB 1.3÷1.6 0.5÷0.8 H7/f7<br />
¥ G ghisa; MB metallo bianco antifrizione; B bronzo; BPB bronzo al piombo<br />
§ l/d rapporto caratteristico del perno, l lunghezza del perno e d <strong>di</strong>ametro del perno
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Esempio 2. 1<br />
Con riferimento ai dati dell’Esempio 1.3, determinare il <strong>di</strong>ametro del perno accoppiato al cuscinetto O.<br />
Il carico sul perno risulta<br />
R ≅ + ≅<br />
O<br />
2 2<br />
327 546 636 N<br />
Fissato un opportuno valore del rapporto caratteristico ( l / d ≅ 1.2)<br />
si procede ad un primo<br />
<strong>di</strong>mensionamento a flessione utilizzando una σ amm ≅ 65 MPa<br />
16P<br />
l<br />
d > ≅ 8.4 → 10 mm<br />
πσ d<br />
amm<br />
Noto il <strong>di</strong>ametro e il rapporto caratteristico, fissato in precedenza, si verifica il perno a pressione:<br />
P<br />
p = = 5.3 MPa<br />
l ⋅ d<br />
Il valore è compatibile con una utilizzazione nell’ambito delle <strong>macchine</strong> utensili.<br />
Da ultimo si procede ad una verifica al riscaldamento.<br />
La velocità periferica del perno vale:<br />
2π ⋅ n 2⋅ π ⋅300<br />
v = ⋅ r = ⋅ 0.005 ≅ 0.157 m/s<br />
60 60<br />
Il prodotto pv vale pertanto:<br />
pv ≅ 0.83 MPa ⋅ m/s<br />
Il valore trovato risulta compatibile per un perno con lavorazione corrente, lubrificazione scarsa e<br />
funzionamento in aria calma. Pertanto, se la realizzazione è in grado <strong>di</strong> garantire almeno le con<strong>di</strong>zioni<br />
prima definite, il perno è da ritenersi verificato.<br />
Bibliografia<br />
Ottani M Corso <strong>di</strong> Meccanica vol.3 Cedam<br />
Pierotti P. Meccanica vol.3 Calderini<br />
Malavasi Vademecum per l’ingegnere<br />
Costruttore Meccanico Hoepli<br />
14
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
3. I GIUNTI<br />
I giunti sono organi meccanici deputati al collegamento coassiale (o talvolta complanare) <strong>di</strong> un albero<br />
motore ad un albero condotto.<br />
Si <strong>di</strong>stinguono in:<br />
1. Giunti rigi<strong>di</strong>: non consentono spostamenti relativi tra i due alberi. Richiedono una perfetta<br />
coassialità degli alberi e dei relativi sopporti. (giunti a manicotto, giunto Sellers, giunti a <strong>di</strong>schi,<br />
etc.)<br />
2. Giunti semielastici ed elastici: consentono lievi spostamenti assiali e/o angolari resi possibili<br />
dall’utilizzo <strong>di</strong> elementi deformabili elasticamente (giunto Northon, Periflex, Steelflex o Bibby,<br />
Hardy, etc.)<br />
3. Giunti articolati: consentono spostamenti relativi <strong>di</strong> una certa ampiezza senza deformazione <strong>di</strong><br />
elementi elastici (giunto <strong>di</strong> Cardano, <strong>di</strong> Oldham)<br />
4. Giunti omocinetici: sono dei particolari giunti articolati che assicurano, istante per istante, la<br />
perfetta identità tra la velocità angolare dell’albero motore e dell’albero condotto (giunto<br />
Rzeppa, Tracta etc.).<br />
Il tecnico, se non impiegato nel settore specifico, non progetta i giunti, ma si limita semplicemente alla<br />
loro scelta a catalogo. Nel seguito, tuttavia, riporteremo alcune in<strong>di</strong>cazioni riguardanti il<br />
<strong>di</strong>mensionamento dei principali organi <strong>di</strong> collegamento (pioli, bulloni, etc.) avvertendo comunque che<br />
le in<strong>di</strong>cazioni avranno un valore relativo rappresentando, il più delle volte, la rielaborazione<br />
approssimata dei dati forniti dalle tabelle dei costruttori.<br />
15
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
3.1. GIUNTO A MANICOTTO<br />
Il giunto a manicotto è costituito da due semigusci, generalmente realizzati in ghisa, che vengono serrati<br />
me<strong>di</strong>ante bulloni alle estremità degli alberi da collegare.<br />
In un calcolo <strong>di</strong> massima, si può ritenere che il momento torcente Mt si trasmetta dall’albero motore<br />
all’albero condotto solo per attrito.<br />
Per semplicità supporremo che la pressione ra<strong>di</strong>ale p tra albero e manicotto sia costante lungo tutta la<br />
superficie <strong>di</strong> contatto. Con questa assunzione, per l’equilibrio, deve risultare:<br />
F<br />
p =<br />
d ⋅ L<br />
dove con d si è in<strong>di</strong>cato il <strong>di</strong>ametro dell’albero, con L la lunghezza del manicotto e con F la forza<br />
complessiva, esercita dai bulloni, premente i due semigusci.<br />
Il momento d’attrito Ma trasmesso da ciascun semiguscio, vale:<br />
d L d π ⋅ f<br />
M a = p ⋅ f ⋅π ⋅ ⋅ = F ⋅ d<br />
2 2 2 8<br />
dove con f si è in<strong>di</strong>cato il coefficiente d’attrito tra albero e semigusci.<br />
Il momento d’attrito trasmesso dai due semigusci vale ovviamente:<br />
π ⋅ f<br />
M at = F ⋅ d<br />
4<br />
Per l’equilibrio deve essere:<br />
M t = M at<br />
da cui, in<strong>di</strong>cato con n b il numero dei bulloni, si ricava la forza premente che deve esercitare il singolo<br />
bullone:<br />
4M t Fb<br />
=<br />
π ⋅ f ⋅ d ⋅ nb<br />
Il momento torcente applicato al fusto della vite vale 1 :<br />
1<br />
per viti or<strong>di</strong>narie si può porre ( cfr. cap. 4 “Collegamento con viti”): ( α ϕ)<br />
16<br />
tan + ≅<br />
0.2
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dmv<br />
M tv = Fb tan ( α + ϕ ) ≅ 0.1⋅<br />
Fb ⋅ dmv<br />
2<br />
dove dmv è il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vite, α l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a del filetto, e ϕ è<br />
l’angolo <strong>di</strong> semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito tra vite e madrevite.<br />
Le due sollecitazioni sforzo normale b F e momento torcente M tv inducono rispettivamente delle<br />
tensione normali σ e tangenziali (<strong>di</strong> torsione) τ che dovranno essere composte, secondo von Mises, in<br />
un’unica tensione ideale da confrontarsi con la tensione ammissibile del materiale costituente i bulloni.<br />
In<strong>di</strong>cato con dr il <strong>di</strong>ametro della sezione resistente 1 della vite si ha:<br />
⎧ 4Fb<br />
⎪σ<br />
≅<br />
⎪ π ⋅ d<br />
⎨<br />
⎪ 16M<br />
τ ≅<br />
⎪⎩ π ⋅ d<br />
r<br />
tv<br />
3<br />
r<br />
→ σ = σ + 3τ<br />
≤ σ<br />
2 2<br />
id amm<br />
1 In prima approssimazione sia il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vite, sia il <strong>di</strong>ametro della sezione resistente possono essere<br />
assunti pari al <strong>di</strong>ametro nominale della vite stessa.<br />
17
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Esempio 3.1.1<br />
Verificare i bulloni <strong>di</strong> collegamento <strong>di</strong> un giunto a manicotto in grado <strong>di</strong> trasmettere, a regime, una<br />
potenza <strong>di</strong> 15 kW al regime <strong>di</strong> 250 rpm.<br />
Si calcola il momento torcente <strong>di</strong> regime:<br />
6<br />
N 15⋅10 ⋅ 60<br />
M t = ≅ ≅ 573000 Nmm<br />
ω 2⋅ π ⋅ 250<br />
Il momento torcente <strong>di</strong> calcolo si ottiene moltiplicando il momento <strong>di</strong> regime per un coefficiente ψ che<br />
tenga conto <strong>di</strong> eventuali sovraccarichi <strong>di</strong>namici. Posto ψ ≅ 1.2 , si ottiene:<br />
M = ψ M ≅ 1.2 ⋅573000 ≅ 688000 Nmm<br />
tc t<br />
Il <strong>di</strong>ametro d dell’albero in grado <strong>di</strong> trasmette il momento torcente M tc può stimarsi in prima<br />
approssimazione, e in assenza <strong>di</strong> dati più precisi, dall’equazione <strong>di</strong> stabilità torsionale.<br />
Assunto una tensione ammissibile convenientemente ridotta ( τ amm ≅ 35 MPa ) si ha:<br />
d<br />
16 ⋅ M<br />
π ⋅τ<br />
tc ≥ 3 ≅<br />
amm<br />
46 mm<br />
Si sceglie pertanto un giunto con <strong>di</strong>ametro esterno D = 130 mm che effettua il serraggio dei semigusci<br />
tramite 6 bulloni M12.<br />
Assunto che il coefficiente d’attrito tra albero e semiguscio sia pari a 0.25, ogni bullone deve esercitare<br />
una forza lungo il proprio asse pari a:<br />
4M<br />
t Fb<br />
= ≅12700<br />
N<br />
π ⋅ f ⋅ d ⋅ nb<br />
Il corrispondente momento torcente sul fusto della vite vale:<br />
M tv ≅ 0.1⋅ Fb ⋅ dmv<br />
≅ 15240 Nmm<br />
dove, senza commettere un grande errore, si è posto il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o pari al <strong>di</strong>ametro nominale della<br />
vite.<br />
Posto il <strong>di</strong>ametro della sezione resistente pari al <strong>di</strong>ametro nominale della vite, le tensioni normali e<br />
tangenziali e ideale valgono:<br />
⎧ 4Fb<br />
⎪σ<br />
= ≅ 122 MPa<br />
2<br />
⎪ π ⋅ dv<br />
⎨<br />
⎪ 16 ⋅ M tv τ = ≅ 45 MPa<br />
3<br />
⎩⎪<br />
π ⋅ dv<br />
2 2<br />
→ σ id = σ + τ ≅<br />
3 145 MPa<br />
Ipotizzando <strong>di</strong> realizzare il bullone con un acciaio 8.8 1 , si ha un grado <strong>di</strong> sicurezza rispetto alla rottura<br />
pari a:<br />
800<br />
ξ ≅ ≅ 5.5 valore che può essere giu<strong>di</strong>cato accettabile.<br />
145<br />
1<br />
Gli acciai per bulloneria si in<strong>di</strong>cano con due numeri interi separati da un punto. Il primo numero corrisponde al<br />
carico <strong>di</strong> rottura minimo a trazione del materiale, espresso in MPa, e <strong>di</strong>viso per 100, mentre il prodotto dei due<br />
numeri corrisponde al carico <strong>di</strong> snervamento del materiale, espresso in MPa, e <strong>di</strong>viso per 10. Un acciaio 8.8 sarà<br />
pertanto caratterizzato da un carico <strong>di</strong> rottura pari a 8⋅ 100 = 800 MPa e un carico <strong>di</strong> snervamento pari a<br />
8⋅ 8 ⋅ 10 =<br />
640 MPa<br />
18
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
3.2. GIUNTO SELLERS<br />
Il giunto Sellers si compone <strong>di</strong> un manicotto in ghisa, avente la superficie interna bi-troncoconica, con<br />
pendenza interna nell'or<strong>di</strong>ne dei 12÷14° (conicità 1:5 ÷ 1:4). Dentro al manicotto sono sistemati i due<br />
coni in ghisa (bussole) tagliati lungo un piano assiale che a loro volta sono calettati sugli alberi <strong>di</strong><br />
trasmissione me<strong>di</strong>ante chiavette.<br />
Il momento torcente viene trasmesso da un albero ad una bussola, da questa al manicotto, dal manicotto<br />
alla seconda bussola e da quest'ultima al secondo albero, il tutto sempre per effetto dell'attrito tra le<br />
superficie a contatto e dal carico assiale indotto in tre tiranti dal serraggio dei da<strong>di</strong>.<br />
Definito il <strong>di</strong>ametro degli alberi, le principali <strong>di</strong>mensioni del giunto risultano dall'allegata tabella.<br />
La verifica del giunto si conduce determinando le tensioni agenti nei tre tiranti filettati.<br />
Sia:<br />
f coefficiente d’attrito tra i semiconi e il manicotto<br />
T il tiro totale esercitato dai bulloni<br />
β l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dei semiconi<br />
Per l’equilibrio alla traslazione si ha:<br />
T = N sin β + f ⋅ N ⋅ cos β<br />
In<strong>di</strong>cato con Dm il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o dei semiconi, e con<br />
dall’equilibrio alla rotazione si ricava:<br />
M t il momento torcente da trasmettere,<br />
Dm M t = f ⋅ N<br />
2<br />
→<br />
2M<br />
t T =<br />
f ⋅ D<br />
( sin β + f ⋅ cos β )<br />
Ogni bullone esercita una forza assiale pari a:<br />
T = T 3<br />
b<br />
T<br />
Il momento torcente applicato al fusto della vite vale:<br />
dmv<br />
M tv = Tb tan ( α + ϕ)<br />
≅ 0.1⋅Tb<br />
⋅ dmv<br />
2<br />
m<br />
Ra<br />
N<br />
dove dmv è il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vie, α l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a del filetto, e ϕ è<br />
l’angolo <strong>di</strong> semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito tra vite e madrevite.<br />
Le due sollecitazioni sforzo normale b T e momento torcente M tv inducono delle tensione normali σ e<br />
tangenziali (<strong>di</strong> torsione) τ che dovranno essere composte, secondo von Mises, in un’unica tensione<br />
ideale da confrontarsi con la tensione ammissibile del materiale costituente i bulloni.<br />
19<br />
ββββ
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
⎧ 4Tb<br />
⎪σ<br />
≅<br />
⎪ π ⋅ d<br />
⎨<br />
⎪ 16M<br />
τ ≅<br />
⎪⎩ π ⋅ d<br />
r<br />
tv<br />
3<br />
r<br />
→ σ = σ + 3τ<br />
≤ σ<br />
2 2<br />
id amm<br />
Tabella <strong>di</strong> proporziona mento dei giunti SELLERS<br />
20
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Esempio 3.2.1<br />
Verificare le viti <strong>di</strong> serraggio <strong>di</strong> un giunto Sellers in grado <strong>di</strong> trasmettere a regime una potenza <strong>di</strong> 20 kW<br />
alla velocità <strong>di</strong> 300 rpm.<br />
Il momento <strong>di</strong> regime vale:<br />
6<br />
10 ⋅30 ⋅ 60<br />
M t = ≅ 637 Nm<br />
2π ⋅300<br />
Fissato un coefficiente ψ <strong>di</strong> amplificazione <strong>di</strong>namica del carico pari a 1.2, il momento <strong>di</strong> calcolo<br />
risulta:<br />
M = 1.2 ⋅ M ≅ 764 Nm<br />
tc t<br />
Il <strong>di</strong>ametro d dell’albero in grado <strong>di</strong> trasmette il momento torcente M tc può stimarsi in prima<br />
approssimazione, e in assenza <strong>di</strong> dati più precisi, dall’equazione <strong>di</strong> stabilità torsionale.<br />
Assunto una tensione ammissibile convenientemente ridotta ( τ amm ≅ 35 MPa ) si ha:<br />
16 ⋅ M tc<br />
d ≥ 3 ≅ 48 mm<br />
π ⋅τ<br />
amm<br />
Il giunto può pensarsi realizzato 1 con 3 bulloni M12.<br />
Il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o Dm può essere stimato pari a 96 mm (similitu<strong>di</strong>ne geometrica tra il giunto da<br />
verificare e il giunto rappresentato nel catalogo)<br />
Fissato un coefficiente d’attrito f tra cono e manicotto pari a 0.25, e la pendenza β dei coni pari a 12°, la<br />
forza assiale si serraggio <strong>di</strong> ogni singolo bullone deve essere pari a:<br />
2M<br />
tc Tb = ( sin β + f ⋅ cos β ) ≅ 9600 N<br />
3⋅<br />
f ⋅ D<br />
m<br />
Il momento torcente applicato al fusto della vite vale:<br />
dmv<br />
M tv = Tb tan ( α + ϕ ) ≅ 0.1⋅Tb ⋅ dmv<br />
≅ 11500 Nmm<br />
2<br />
dove, senza commettere un grande errore, si è posto il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o pari al <strong>di</strong>ametro nominale della<br />
vite.<br />
Posto il <strong>di</strong>ametro della sezione resistente al <strong>di</strong>ametro nominale della vite, le tensioni normali e<br />
tangenziali e ideale valgono:<br />
⎧ 4Tb<br />
⎪σ<br />
= ≅ 85 MPa<br />
2<br />
⎪ π ⋅ dv<br />
⎨<br />
⎪ 16⋅<br />
M tc τ = ≅ 34 MPa<br />
3 ⎪⎩ π ⋅ dv<br />
2 2<br />
→ σ id = σ + τ ≅<br />
3 103 MPa<br />
Ipotizzando <strong>di</strong> realizzare il bullone con un acciaio 8.8, si ha un grado <strong>di</strong> sicurezza rispetto alla rottura<br />
pari a:<br />
800<br />
ξ ≅ ≅ 7.7 valore che può essere giu<strong>di</strong>cato accettabile.<br />
103<br />
1<br />
come specificato nella tabella <strong>di</strong> proporziona mento, il <strong>di</strong>ametro dei bulloni può essere espresso in funzione del<br />
<strong>di</strong>ametro dell’albero d tramite la seguente relazione:<br />
d ≅ 0.2 d +<br />
10<br />
v<br />
( )<br />
21
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3.3. GIUNTO RIGIDO A DISCHI 1<br />
Sia:<br />
Dm <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della fascia <strong>di</strong> contatto;<br />
Dv il <strong>di</strong>ametro della circonferenza a cui appartengono le tracce degli assi delle viti;<br />
Mt il momento torcente trasmissibile dal giunto;<br />
nv numero delle viti;<br />
f coefficiente d’attrito tra le superficie delle flange a contatto.<br />
dmv <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o delle viti<br />
Dalla potenza N e dalla frequenza <strong>di</strong> rotazione n si determina il momento torcente Mt<br />
eventualmente da maggiorare per tener conto <strong>di</strong> eventuali sovraccarichi <strong>di</strong>namici. Noto Mt, dalle<br />
tabelle del costruttore, ci si orienta sulla geometria del giunto e sul numero delle viti. Si determina<br />
lo sforzo assiale presente su ogni vite con la seguente relazione:<br />
2M t F = ψ<br />
fDvnv dove ψ ≅ 1.1÷ 2 è un coefficiente che tiene conto <strong>di</strong> eventuali sovraccarichi <strong>di</strong>namici.<br />
Si calcola il Momento Mtv da applicare al fusto della vite per generare la forza F :<br />
M tv = 0.1⋅<br />
Fdmv<br />
. Si determinano le tensioni sul fusto delle vite, e infine si calcola la tensione ideale<br />
confrontandola con la tensione ammissibile.<br />
16M tv τ = 3<br />
π d<br />
4F<br />
σ = 2<br />
π d<br />
σ id =<br />
2 2<br />
σ + 3τ<br />
≤ σ amm<br />
mv mv<br />
Nel caso la verifica non sia superata, si aumenta il numero e/o il <strong>di</strong>ametro delle viti o si sceglie un<br />
giunto <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni maggiori.<br />
1<br />
Il proce<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> calcolo qui descritto fa riferimento alla trasmissione del momento per attrito. Qualora invece i<br />
bulloni potessero lavorare a taglio, il momento massimo trasmissibile M, in<strong>di</strong>cato con Dv il <strong>di</strong>ametro della<br />
circonferenza dei centri dei bulloni, sarebbe pari a:<br />
2<br />
dmv Dv<br />
M n π<br />
= τ<br />
v amm<br />
4 2<br />
E’ facile rendersi conto che con bulloni lavoranti a taglio possono trasmettersi momenti più che doppi rispetto al<br />
caso <strong>di</strong> quelli lavoranti a trazione. Tuttavia è opportuno riba<strong>di</strong>re che per poter far effettivamente lavorare tutti i<br />
bulloni a taglio (e tutti sottoposti alla medesima forza tagliante) occorre però una costosa lavorazione <strong>di</strong><br />
precisione, consistente nel rettificare i gambi dei bulloni a un <strong>di</strong>ametro leggermente maggiore <strong>di</strong> quello del foro,<br />
alesare accuratamente e contemporaneamente i fori corrispondenti nei due <strong>di</strong>schi e infine montare i bulloni a forza<br />
battendoli con la mazza.<br />
Un sistema ancora più costoso per assicurare il forzamento dei bulloni nei fori è quello usare bulloni conici.<br />
Per ragioni <strong>di</strong> costo, l’impiego dei bulloni calibrati è riservato <strong>di</strong> solito a <strong>di</strong>ametri <strong>di</strong> albero oltre i 200-250 mm,<br />
pur potendosi ricorrere ad esso anche per <strong>di</strong>ametri inferiori quando le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento (urti) siano<br />
particolarmente sfavorevoli. (R. Giovannozzi)<br />
22
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
23
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Esempio 3.3.1<br />
Una macchina motrice sviluppante, a regime, la potenza N <strong>di</strong> 80 kW, è collegata, tramite un giunto a<br />
<strong>di</strong>schi, ad una macchina operatrice il cui momento resistente Mr (comprensivo delle resistenze utili e<br />
passive) è pari, a regime, a 400 N m.<br />
Fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, si calcolino le <strong>di</strong>mensioni dei bulloni <strong>di</strong> collegamento<br />
dei <strong>di</strong>schi del giunto<br />
La velocità <strong>di</strong> rotazione ω del giunto è pari a:<br />
N 1000⋅ 80<br />
ω = = ≅ 200 rad/s → n ≅ 1910 rpm<br />
M r 400<br />
Il giunto adatto a realizzare la trasmissione assegnata viene scelto “a catalogo”.<br />
Si adotta un giunto adatto a trasmettere un momento massimo pari a 500 Nm in grado <strong>di</strong> sopportare una<br />
frequenza massima <strong>di</strong> rotazione pari a 4000 rpm<br />
Il giunto trasmette il momento torcente richiesto tramite il serraggio <strong>di</strong> 4 viti 12 x 1.25.<br />
Il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della fascia <strong>di</strong> contatto può essere posto pari a:<br />
D + D1<br />
160 + 85<br />
Dm<br />
= = = 122.5 mm<br />
2 2<br />
Fissato, in via cautelativa, un coefficiente d’attrito tra le flange pari a 0.2 si ricava la forza assiale F che<br />
deve essere esercitata dal singolo bullone<br />
M r<br />
400 ⋅1000<br />
F = 2ψ ≅ 2 ⋅1.5 ≅12245<br />
N<br />
n ⋅ f ⋅ D 4 ⋅0.2 ⋅122.5<br />
v m<br />
Il momento sul fusto della vite indotto da un serraggio tale da assicurare una trazione F sul gambo vale<br />
dm<br />
M tv ≅ F tan ( α + ϕ )<br />
2<br />
Confondendo in prima approssimazione il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o con il <strong>di</strong>ametro nominale della vite e posto<br />
tan α + ϕ ≅ 0.2 si ha:<br />
( )<br />
M = 14694 Nmm<br />
tv<br />
La tensioni <strong>di</strong> trazione e torsione massima valgono:<br />
4F 4 ⋅12245<br />
σ ≅ ≅ ≅108<br />
MPa<br />
2 2<br />
π ⋅ d π ⋅12<br />
16⋅<br />
M tv τ = ≅ 43 MPa<br />
3<br />
π ⋅ d<br />
La tensione ideale, secondo von Mises, risulta:<br />
σ σ 3τ 131 MPa<br />
2 2<br />
id = + ≅<br />
Ipotizzato <strong>di</strong> realizzare il bullone con un acciaio 8.8, pertanto con una tensione <strong>di</strong> snervamento pari a<br />
640 MPa, il coefficiente <strong>di</strong> sicurezza risulta:<br />
640<br />
ξ = ≅ 4.9<br />
131<br />
Valore decisamente accettabile, anche tenuto presente che si è adottata una sezione resistente pari alla<br />
sezione nominale della vite.<br />
24
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
3.4. GIUNTO NORTHON<br />
Il giunto è costituito da due <strong>di</strong>schi che portano, metà ciascuno, una corona <strong>di</strong> pioli incastrati ad esso ad<br />
un estremo.<br />
L’incastro dei pioli è normalmente ottenuto montando il loro gambo nel <strong>di</strong>sco con un leggero<br />
forzamento e serrando, me<strong>di</strong>ante un dado, un collare.<br />
L’appoggio dei pioli sull’altro <strong>di</strong>sco è realizzato elasticamente me<strong>di</strong>ante un blocco <strong>di</strong> gomma.<br />
In ciascun <strong>di</strong>sco i pioli sono alternati ai fori in modo che, a montaggio effettuato, il giunto costituisca un<br />
insieme simmetrico ed equilibrato.<br />
Giunti <strong>di</strong> questo tipo vengono usati per accoppiare albero e puleggia del freno degli apparecchi da<br />
sollevamento, in modo da attenuare gli effetti provocati da brusche frenature.<br />
Di seguito riportiamo un estratto del catalogo dei giunti Northon serie PN (produzione Trans-Moto srl).<br />
Il calcolo <strong>di</strong> resistenza vero e proprio riguarda i pioli. Essi vengono verificati a flessione considerandoli<br />
come mensole incastrate nel <strong>di</strong>sco e caricate, in corrispondenza della mezzeria del tratto <strong>di</strong> appoggio<br />
gommato, con una forza concentrata P <strong>di</strong> intensità pari alla forza periferica trasmessa <strong>di</strong>viso il numero<br />
np dei pioli.<br />
In<strong>di</strong>cato con Mt il momento torcente trasmesso e con Dp il <strong>di</strong>ametro della circonferenza a cui<br />
appartengono i centri dei pioli, la forza P che si scarica su un singolo piolo vale:<br />
2M t P =<br />
D ⋅ n<br />
p p<br />
In<strong>di</strong>cata con h la <strong>di</strong>stanza tra il punto <strong>di</strong> applicazione <strong>di</strong> P e l’incastro del piolo, il momento flettente<br />
massimo sul piolo risulta pari a:<br />
M = P ⋅ h<br />
f<br />
Il <strong>di</strong>ametro minimo del piolo deve pertanto rispettare la seguente <strong>di</strong>suguaglianza:<br />
32 ⋅ P ⋅ h<br />
d ≥ 3<br />
π ⋅σ<br />
amm<br />
Per tenere conto <strong>di</strong> sovraccarichi dovuti ad urti, normalmente la tensione ammissibile si tiene bassa,<br />
adottando un grado <strong>di</strong> sicurezza rispetto alla rottura pari a ξ = 6 ÷ 12 .<br />
Nella zona dove il piolo appoggia sulla gomma occorre verificare che la pressione “me<strong>di</strong>a” tra piolo e<br />
gomma un superi il valore pamm ≅ 1÷ 5 MPa . In<strong>di</strong>cando con l la lunghezza della zona <strong>di</strong> appoggio e con<br />
d1 il <strong>di</strong>ametro del piolo in tale zona, deve risultare:<br />
P<br />
p = ≤ pamm<br />
l ⋅<br />
d<br />
1<br />
25
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26
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Esempio 3.4.1<br />
Una macchina motrice sviluppante, a regime, la potenza N <strong>di</strong> 80 kW, è collegata, tramite un giunto<br />
Northon, ad una macchina operatrice il cui momento resistente Mr (comprensivo delle resistenze utili e<br />
passive) è pari, a regime, a 400 N m.<br />
Fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, si verifichino i pioli <strong>di</strong> collegamento del giunto.<br />
Dai calcoli svolti nell’ambito dell’Esempio 3.1 si ha:<br />
ω ≅ 200 rad/s → n ≅ 1910 rpm<br />
Si sceglie un giunto, con 12 pioli, in grado <strong>di</strong> trasmettere un momento massimo pari a 600 Nm e in<br />
grado <strong>di</strong> sopportare un velocità massima <strong>di</strong> rotazione pari a 6000 rpm.<br />
Posto il <strong>di</strong>ametro dei pioli pari a d ≅ 14 mm, la <strong>di</strong>stanza pari a h = 15 mm e il <strong>di</strong>ametro D = 127 mm<br />
(similitu<strong>di</strong>ne geometrica tra il giunto da verificare e il giunto rappresentato nel catalogo), si conduce<br />
una prima verifica a flessione:<br />
32 ⋅ P ⋅ h 32 ⋅525 ⋅15<br />
σ ≅ ≅ ≅ 29 MPa<br />
3 3<br />
π ⋅ d π ⋅14<br />
2M t 800⋅1000 P = = ≅ 525 N<br />
D ⋅ n 127 ⋅12<br />
p P<br />
Considerato <strong>di</strong> realizzare un perno in C40 bonificato con ( σ R = 670 MPa σ sn = 400 MPa ) il grado <strong>di</strong><br />
sicurezza nei confronti della rottura risulta:<br />
670<br />
ξ ≅ ≅ 23 del tutto accettabile.<br />
29<br />
Sempre da catalogo si ricava la lunghezza l della zona <strong>di</strong> appoggio perno-tassello gommato<br />
l ≅ 33 mm<br />
La pressione me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> contatto vale:<br />
P 525<br />
p = ≅ ≅ 1.2 MPa pienamente accettabile.<br />
l ⋅ d 33⋅14 Bibliografia<br />
Giovannozzi R Costruzione <strong>di</strong> Macchine vol. 1 Patron<br />
Pierotti P. Meccanica vol. 3 Calderini<br />
Straneo SL et al. Disegno, progettazione… vol. 2 Principato<br />
27<br />
p
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3.5. GIUNTO PERIFLEX<br />
Il giunto Periflex è realizzato con un elemento elastico costituito da un collare in gomma <strong>di</strong> sezione a C<br />
i cui bor<strong>di</strong> sono bloccati a pressione su due flange me<strong>di</strong>ante <strong>di</strong>schi <strong>di</strong> pressione serrati tramite viti.<br />
28
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3.6. GIUNTO BIBBY<br />
Il giunto Bibby è costituito da due <strong>di</strong>schi che portano delle fessure periferiche entro cui sono infilate<br />
della lamine <strong>di</strong> acciaio a sezione costante. Al crescere del carico, e quin<strong>di</strong> della rotazione relativa dei<br />
due semigiunti, la parte <strong>di</strong> lamina inizialmente libera va avvolgendosi sulla parte curva dei denti per un<br />
arco sempre maggiore, aumentando la rigidezza del giunto.<br />
29
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3.7. GIUNTO HARDY<br />
Il giunto flessibile Hardy è in grado <strong>di</strong> funzionare parzialmente come un giunto cardanico. E’ costituto<br />
da <strong>di</strong>schi gommati che vengono attraversati da perni che sono alternativamente solidali all’albero<br />
motore e all’albero condotto. Questi giunti hanno una buna capacità <strong>di</strong> smorzare le vibrazioni.<br />
30
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3.8. GIUNTO OLDHAM<br />
Il giunto <strong>di</strong> Oldham si usa per la trasmissione del moto fra assi paralleli non coincidenti.<br />
Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione istantaneo <strong>di</strong> questo giunto è costantemente pari a uno: il giunto è pertanto<br />
omocinetico.<br />
L’elemento interme<strong>di</strong>o <strong>di</strong> collegamento ruota con velocità angolare comune a quella dei due alberi fra<br />
cui trasmette il moto, mentre il suo centro descrive una circonferenza, avente per <strong>di</strong>ametro l’eccentricità<br />
e fra i due alberi, con velocità angolare doppia <strong>di</strong> quella degli alberi.<br />
Pertanto tale elemento interme<strong>di</strong>o è soggetto ad una forza centrifuga pari a:<br />
( ) 2 e<br />
2<br />
F = m 2ω = 2m<br />
⋅ e ⋅ ω<br />
2<br />
Dove con m si è in<strong>di</strong>cata la massa dell’elemento interme<strong>di</strong>o, con ω la velocità angolare degli alberi e<br />
con e l’eccentricità dei loro assi.<br />
Considerato uno spostamento angolare virtuale δθ e detti f il coefficiente d’attrito, l/2 la <strong>di</strong>stanza alla<br />
quale si trovano, su ciascuna mezza scanalatura, le risultanti P delle pressioni, il ren<strong>di</strong>mento del giunto<br />
ha la seguente espressione<br />
Pl ⋅δθ<br />
1 8 e<br />
η = = ≅ 1−<br />
f<br />
4e 8 e<br />
Pl ⋅ δθ + 2Pf ⋅ 2δθ 1+<br />
f<br />
π l<br />
2π<br />
π l<br />
31
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3.9. GIUNTO DI CARDANO (GIUNTO DI HOOKE)<br />
Il giunto <strong>di</strong> Cardano si utilizza quando occorre trasmettere il moto fra assi concorrenti formanti fra loro<br />
un angolo generalmente <strong>di</strong>verso da zero<br />
In seguito affronteremo lo stu<strong>di</strong>o cinematico particolareggiato del giunto, ora ci limiteremo ad<br />
affermare quanto segue:<br />
se l’albero motore forma un angolo δ col prolungamento dell’albero condotto, e se l’albero motore<br />
ruota con velocità uniforme, il moto rotatorio dell’albero condotto non è uniforme. Si ha quin<strong>di</strong> una<br />
irregolarità perio<strong>di</strong>ca della trasmissione che cresce rapidamente al crescere dell’angolo δ.<br />
Quando questa irregolarità non possa essere tollerata, si ricorre al doppio giunto cardanico doppio<br />
simmetrico (gli angoli formati dai due alberi concorrenti con il terzo albero devono esser uguali.<br />
Il giunto <strong>di</strong> Cardano doppio e simmetrico si comporta come un giunto omocinetico: le velocità angolari<br />
dell’albero motore e dell’albero condotto sono coincidenti istante per istante mentre entrambe<br />
<strong>di</strong>fferiscono dalla velocità dell’albero interme<strong>di</strong>o<br />
32
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Il giunto <strong>di</strong> Cardano viene usato per collegare due alberi con assi concorrenti formanti fra loro un<br />
angolo generalmente <strong>di</strong>verso da zero.<br />
Per effettuare lo stu<strong>di</strong>o cinematico del giunto si faccia riferimento alle viste in pianta e in prospetto<br />
della trasmissione.<br />
Calcolo della velocità dell’albero condotto<br />
Quando gli alberi ruotano, gli estremi aa della crociera si muoveranno nel piano frontale a descrivere<br />
una circonferenza, mentre gli estremi bb della crociera descriveranno un’ellisse (rappresentata con linea<br />
a tratti).<br />
Se l’albero A ruota <strong>di</strong> un angolo α (da aa a a1a1), anche la proiezione <strong>di</strong> bb ruoterà <strong>di</strong> un angolo α fino<br />
a portarsi in b1b1. L’angolo β <strong>di</strong> rotazione dell’albero condotto B si ricava determinando la vera<br />
posizione <strong>di</strong> b1b1 (ovvero vista lungo l’asse <strong>di</strong> B)<br />
33
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Il punto b1 sul piano frontale corrisponde, in pianta, al punto b1’ . Il punto b1’ viene successivamente<br />
ribaltato nel piano contenente aa (punto c2). La proiezione <strong>di</strong> c2 sul piano frontale determina il punto b2<br />
permettendo la definizione dell’angolo β. Valgono allora le seguenti relazioni:<br />
oc1 oc2 oc2<br />
tan α = tan β = =<br />
b c b c b c<br />
1 1 2 2 1 1<br />
tanα<br />
oc oc<br />
= = = cosδ<br />
tan β oc ob<br />
1 1<br />
'<br />
2 1<br />
tanα = tan β ⋅ cos δ<br />
(3.1)<br />
Derivando entrambi i membri della (3.1) rispetto al tempo si ricava la relazione tra le velocità degli<br />
alberi.<br />
dα α<br />
dt<br />
dβ<br />
β<br />
dt<br />
δ<br />
α ω β ω δ<br />
2 2<br />
sec = sec cos<br />
2 2<br />
sec ⋅ a = sec ⋅ b ⋅ cos<br />
α ω β δ<br />
2 2<br />
sec ⋅ a = (1 + tan ) ⋅ cos<br />
2<br />
2 ⎛ tan α ⎞<br />
sec ⋅ a = ⎜1+ ⋅ cos<br />
2 ⎟ b ⋅<br />
α ω ω δ<br />
⎝ cos δ ⎠<br />
2 2<br />
( cos δ + tan α )<br />
ωa =<br />
cosδ<br />
2<br />
⋅ cos α ⋅ωb<br />
ωb cosδ<br />
= 2 2<br />
ω 1− sin δ ⋅ cos α<br />
a<br />
34<br />
(3.2)
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Il rapporto ωb/ωa ha un valore massimo pari a 1/cosδ che viene raggiunto quando cosα = ±1 ovvero<br />
quando α vale 0, 180°, etc…<br />
Il rapporto ωb/ωa ha invece un valore minimo pari a cosδ che viene raggiunto quando cosα = 0 ovvero<br />
quando α vale 90, 270°, etc..<br />
L’irregolarità perio<strong>di</strong>ca della trasmissione I , per ωa costante è pari a:<br />
I<br />
ω −ω<br />
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ 1<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
ω ⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠ cosδ<br />
b max bmin b b<br />
= = − = − = ⋅<br />
bme<strong>di</strong>o a max a min<br />
L’albero condotto e conduttore hanno la stessa velocità quando:<br />
cosδ<br />
= 1<br />
2 2<br />
1− sin δ ⋅cos<br />
α<br />
1− cosδ cos α = =<br />
1<br />
+<br />
α δ α δ<br />
2<br />
2<br />
sin δ 1 cosδ<br />
2<br />
tan = 1+ cos<br />
2<br />
⋅ sin = cos<br />
( )<br />
35<br />
cosδ sinδ tanδ<br />
tanα = ± cos δ<br />
(3.3)<br />
Ci sono pertanto quattro angoli <strong>di</strong> rotazione in corrispondenza dei quali durante ciascun giro la velocità<br />
dell’albero condotto uguaglia quella dell’albero motore<br />
Calcolo delle accelerazioni dell’albero condotto<br />
Supponendo costante la velocità angolare ωa dell’albero motore, l’accelerazione dell’albero condotto<br />
vale:<br />
ω α δ δ α α<br />
dt dt dt<br />
2<br />
d b d sin ⋅ cos ⋅sin<br />
2 d<br />
= ⋅ ⋅ 2<br />
2 2<br />
( 1− sin δ ⋅ cos α )<br />
2<br />
dωb<br />
2 sin δ ⋅ cosδ ⋅sin<br />
2α<br />
= −ωa ⋅<br />
2<br />
dt<br />
2 2<br />
( 1− sin δ ⋅cos<br />
α )<br />
L’accelerazione dell’albero condotto si annulla per valori <strong>di</strong> α multipli <strong>di</strong> π/2 e assume valori uguali e<br />
opposti per valori <strong>di</strong> α supplementari.<br />
La posizione angolare in corrispondenza della quale si trova il massimo (minimo) dell’accelerazione<br />
angolare si calcola ponendo a zero la derivata prima della (3.4)<br />
⎛ ⎞<br />
d ⎜ sin 2α<br />
⎟ = 0<br />
2<br />
dt ⎜ 2 2<br />
1 ( sin δ cos α ⎟<br />
⎝<br />
− ⋅ ) ⎠<br />
2 2 2 2<br />
( 1− sin δ ⋅ cos α ) ⋅ cos 2α = sin 2α ⋅sin<br />
δ<br />
( ( ) ) ( )<br />
2 2 2<br />
1− 0.5⋅ sin δ 1+ cos2α ⋅ cos2α = 1− cos 2α ⋅sin<br />
δ<br />
α − δ ⋅ α − δ ⋅ α = δ − δ ⋅<br />
α<br />
2 2 2 2 2<br />
2cos2 sin cos 2 sin cos2 2sin 2sin cos 2<br />
(3.4)
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( )<br />
2 2<br />
sin δ ⋅ 2 − cos 2α<br />
cos 2 α =<br />
(3.5)<br />
2<br />
2 − sin δ<br />
Facendo riferimento ai valori consueti <strong>di</strong> δ (valori non superiori a 30°) la soluzione della (3.5) fornisce,<br />
per α, valori prossimi a 45°. In queste con<strong>di</strong>zioni cos 2 2α è molto piccolo e può senz’altro essere<br />
trascurato nei confronti <strong>di</strong> 2. La (3.5) pertanto può essere semplificata come <strong>di</strong> seguito proposto:<br />
2<br />
2sin δ<br />
cos2 α ≃ (3.6)<br />
2<br />
2 − sin δ<br />
Ipotizzando che il valore massimo (minimo) dell’accelerazione si ottenga, come è stato detto in<br />
precedenza, in corrispondenza <strong>di</strong> un angolo <strong>di</strong> rotazione α pari a 45°, tale massimo (minimo) può essere<br />
imme<strong>di</strong>atamente calcolato dalla (3.4):<br />
2<br />
ωb 2 sin δ ⋅cos<br />
δ<br />
≃<br />
± ωa<br />
2<br />
2<br />
dt max/ min<br />
⎛ d ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎛ sin δ ⎞<br />
⎜1− ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
36
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Determinazione delle reazioni sui cuscinetti<br />
Lo schema sopra rappresentato mostra l’equlibrio del giunto nelle due posizioni angolari estreme. La<br />
parte superiore si riferisce ad un angolo <strong>di</strong> rotazione <strong>di</strong> zero gra<strong>di</strong>; mentre la parte inferiore della figura<br />
si riferisce all’equilibrio della trasmissione in corrispondenza <strong>di</strong> un angolo <strong>di</strong> rotazione <strong>di</strong> 90°.<br />
Angolo <strong>di</strong> rotazione α = 0°<br />
In questa con<strong>di</strong>zione il momento sull’albero motore M1 viene equilibrato da un momento resistente Mn<br />
trasmesso dalla crociera e che vale:<br />
cosδ<br />
M1<br />
M n = −M1 ⋅ = −<br />
2 2<br />
1− sin δ ⋅ cos α cosδ<br />
La coppia <strong>di</strong> cuscinetti montati sull’albero dovrà equilibrare il momento Mr1<br />
M r1<br />
= M1 ⋅ tanδ<br />
(3.8)<br />
L’albero condotto, invece, riceve dalla crociera un momento -Mn che viene equilibrato dal momento<br />
resistente M2 che, in questa configurazione, risulta avere la stessa <strong>di</strong>rezione. I cuscinetti sull’abero<br />
condotto sono pertanto scarichi.<br />
Angolo <strong>di</strong> rotazione α = 90°<br />
In questa con<strong>di</strong>zione il momento sull’albero motore viene equilibrato da un momento trasmesso dalla<br />
crociera ed avente la stessa <strong>di</strong>rezione. Pertanto i cuscinetti posti sull’albero motore risultano scarichi.<br />
Il momento motore Mn viene equilibrato, sull’albero condotto, da un momento resistente M2 che vale:<br />
cosδ<br />
M 2 = −M1 ⋅ = − M<br />
2 2<br />
1 ⋅ cos δ<br />
1− sin δ ⋅ cos α<br />
37<br />
(3.7)<br />
(3.9)
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La coppia <strong>di</strong> cuscinetti montata sull’albero condotto dovrà sopportare un momento Mr2 pari, in modulo,<br />
a :<br />
M = M tanδ = M sinδ<br />
(3.10)<br />
r 2 2 1<br />
Nelle con<strong>di</strong>zioni estreme considerate, solo una coppia <strong>di</strong> cuscinetti risulta sollecitata. In una posizione<br />
interme<strong>di</strong>a entrambe le coppie <strong>di</strong> cuscinetti risulteranno sollecitate con dei momenti pulsanti tra un<br />
valore minimo nullo e un valore massimo definito dalle (3.8) e (3.10) rispettivamente per i cuscinetti<br />
sull’albero motore e sul condotto.<br />
Angolo <strong>di</strong> rotazione α qualsiasi<br />
La determinazione dei carichi sui cuscinetti in corrispondenza <strong>di</strong> un angolo <strong>di</strong> rotazione qualsiasi può<br />
agevolmente essere effettuata con riferimento alla figura sotto rappresentata.<br />
In<strong>di</strong>cato al solito con M1 il momento trasmesso dall’albero motore, ruotante a velocità costante, i<br />
momenti Mr1 e Mr2 agenti sui cuscinetti montati rispettivamnete sull’albero motore e su quello<br />
condotto valgono:<br />
⎛ M1<br />
⋅ cosδ ⎞ 1<br />
M r1<br />
= ⎜ − M<br />
2 2 1 ⋅ cos δ ⎟ ⋅<br />
⎝1 − sin δ ⋅ cos α ⎠ sinδ<br />
(3.11)<br />
M<br />
⎛ M M ⋅ cosδ ⎞ 1<br />
= ⎜ −<br />
cosδ 1 sin δ cos α<br />
⎟ ⋅<br />
⎝ − ⋅ ⎠ tanδ<br />
1 1<br />
r 2 2 2<br />
38<br />
(3.12)
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E’ da notare in particolare che i rapporti Mr1/M1 e Mr2/M1 assumono valori massimi molto prossimi fra<br />
loro, ma non coincidenti. Dalla (3.11) ponendo α = 0 si ha:<br />
M / M = tanδ<br />
( )<br />
r1<br />
1 max<br />
Dalla (3.12) ponendo α = 90° si ottiene:<br />
M / M =<br />
sinδ<br />
( )<br />
r 2 1 max<br />
39
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Trasmissione Omocinetica<br />
Come è già stato definito ai punti precedenti, il giunto <strong>di</strong> Cardano semplice non garantisce<br />
l’omocinetismo. Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione, infatti, varia al variare dell’angolo <strong>di</strong> rotazione secondo<br />
quanto definito dalla (3.2).<br />
Tuttavia una trasmissione omocinetica tra gli alberi estremi può essere ottenuta ricorrendo a una coppia<br />
<strong>di</strong> giunti cardanici, collegati da un albero interme<strong>di</strong>o, come in<strong>di</strong>cato dalla figure sotto riportate.<br />
In tali con<strong>di</strong>zioni, la variazione <strong>di</strong> rapporto <strong>di</strong> trasmissione introdotta dal primo giunto viene in ogni<br />
istante esattamente compensata da quella dovuta al secondo.<br />
40
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Esempio 3.9.1<br />
In un giunto <strong>di</strong> Cardano l’albero motore trasmette un momento torcente pari a 41500 N.<br />
1. determinare il momento torcente sullabero condotto con rifrimento alla <strong>di</strong>sposizione angolare <strong>di</strong><br />
figura in cui gli alberi giacciono nello stesso paino orizzontale;<br />
2. trovare il <strong>di</strong>ametro dei prerni della crociera nell’ipotesi che la pressione ammissibile, la<br />
tensione ammissibile a trazione e la tensione ammissibile a taglio siano rispettivamente pari a<br />
14 MPa e 140 MPa e 70 MPa;<br />
3. calcolare la massima tensione nella sezione E-E che si trova a 50 mm dall’asse Y-Y.<br />
Il momento torcente sull’albero condotto, supposto costante il momento torcente motore, varia in<br />
funzione della velocità <strong>di</strong> rotazione dell’albero condotto. Il momento massimo sull’abero condotto è<br />
massimo quando la velcotà <strong>di</strong> rotazione dell’albero condotto eè minimo ossia in corrispondenza cioè <strong>di</strong><br />
un angolo α = 90, 270 ° ...<br />
Trascurando ogni fenomeno passivo si ha pertanto<br />
a M a 41500<br />
M a a M b b M bmax M a<br />
= 44163 Nmm<br />
cos cos20°<br />
ω<br />
ω = ω → = = ≅<br />
ω δ<br />
bmin<br />
41
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Le forze massime F agenti sui perni della crociera valgono:<br />
M bmax<br />
F = ≅ 883 N<br />
2 ⋅ 25<br />
Diametro del perno per restere a pressione<br />
F 883<br />
d ≥ ≅ ≅ 9 mm<br />
l ⋅ p 6.25⋅14 amm<br />
Diametro del perno per resitere a flessione<br />
F ⋅ 6.35 32 ⋅883 ⋅ 6.36<br />
d ≥ 3 ≅ 3<br />
≅ 7.4 mm<br />
πσ π ⋅140<br />
amm<br />
Diametro del perno per resitere a taglio<br />
d ≥<br />
4 4⋅ F<br />
3 π ⋅τ ≅<br />
4 4 ⋅883<br />
≅ 4.6 mm<br />
3 π ⋅ 70<br />
amm<br />
La sollecitazione più gravosa risulta quella <strong>di</strong> flessione e il perno dovrebbe essere realizzato con un<br />
<strong>di</strong>ametro minimo <strong>di</strong> 9 mm.<br />
La sezione E-E è sottopsta al’azione combinata della compressione e della flessione. La tensione<br />
risultante è pari a:<br />
302 883⋅ 50<br />
σ t = σ c + σ f = + ≅ 1.93 + 67.8 ≅ 70 MPa<br />
25 ⋅6.25<br />
1<br />
2<br />
6.25⋅ 25<br />
6<br />
42
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3.10. GIUNTO OMOCINETICO RZEPPA<br />
Anche se, come abbiamo visto in precedenza, con l’adozione del giunto cardanico doppio simmetrico si<br />
raggiunge la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> omocinetismo, soprattutto per ragioni <strong>di</strong> ingombro, nelle costruzioni<br />
automobilistiche, si sono imposti come <strong>di</strong>spositivi omocinetici altri tipi <strong>di</strong> giunti più compatti e leggeri.<br />
I più comuni sono: il giunto Ben<strong>di</strong>x-Weiss e il giunto Rzeppa (decisamente il più usato nelle costruzioni<br />
meccaniche)<br />
Il giunto è costituito da due forcelle, solidali con i due alberi, su cui sono ricavate delle superficie<br />
sferiche (rispettivamente interna per l’albero motore ed esterna per l’albero condotto) i cui centri O1 e<br />
O2 giacciono sugli assi dei due alberi a breve <strong>di</strong>stanza dal loro punto <strong>di</strong> intersezione O. In ogni gola<br />
trovano posto due sfere che, dovendo toccare entrambe le superficie sferiche attive delle due forcelle,<br />
hanno una posizione ben definita in modo da assicurare che il loro centro giaccia nel piano bisettore<br />
dell’angolo β formato dagli assi degli alberi.<br />
43
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Bibliografia<br />
G. Bongiovanni, G. Roccati Giunti fissi, articolati, elastici e <strong>di</strong> sicurezza Levrotto & Bella To<br />
R. Giovannozzi Costruzione <strong>di</strong> <strong>macchine</strong> vol. I Patron<br />
J.Hannah, R.C. Stephens Mechanics of machines Arnold<br />
Jacazio G, Piombo B. Meccanica Applicata alle Macchine vol. 2 Levrotto & Bella To<br />
Straneo SL et al. Disegno, progettazione… vol. 2 Principato<br />
44
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
4. COLLEGAMENTO CON VITI<br />
Un accoppiamento vite-madrevite può essere analizzato considerando le azioni tra il filetto della vite e<br />
quello della madrevite concentrate sull’elica me<strong>di</strong>a. Con tale schematizzazione, nell’ipotesi che il filetto<br />
sia a pane rettangolare 1 , lo stu<strong>di</strong>o del serraggio <strong>di</strong> una vite con un momento torcente Mt (attivo lungo il<br />
fusto della vite) in grado esercitare una forza assiale F, è del tutto analogo allo stu<strong>di</strong>o dell’equilibrio alla<br />
salita lungo un piano inclinato <strong>di</strong> un corpo <strong>di</strong> peso F soggetto all’azione <strong>di</strong> una forza orizzontale P.<br />
Il piano inclinato <strong>di</strong> riferimento, per simulare correttamente l’ accoppiamento vite-madrevite oggetto <strong>di</strong><br />
stu<strong>di</strong>o, deve avere un angolo <strong>di</strong> inclinazione α pari all’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a.<br />
−1<br />
p<br />
α = tan<br />
π dmv<br />
dove p è il passo e dmv il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o.<br />
In<strong>di</strong>cato con f il coefficiente d’attrito tra il filetto della vite e quello della madrevite, uguale per analogia<br />
al coefficiente d’attrito tra corpo e piano inclinato, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio è espressa dalla seguente<br />
relazione:<br />
Pcosα = f ⋅ F cosα + F ⋅ sinα + f ⋅ Psin<br />
α<br />
da cui, in<strong>di</strong>cato con ϕ l’angolo <strong>di</strong> semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito<br />
f, si ha:<br />
Pcosα − f ⋅ Psin α = f ⋅ F cosα + F ⋅ sinα<br />
⎛ sinϕ ⎞ ⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
P⎜ cosα − sinα ⎟ = F ⎜cosα + sinα<br />
⎟<br />
⎝ cosϕ ⎠ ⎝ cosϕ<br />
⎠<br />
1 1 Nel caso <strong>di</strong> filetti triangolari con angolo al vertice del triangolo generatore pari a 2θ , vale sempre la (1.9) in<br />
cui al posto <strong>di</strong> ϕ si sostituisca un angolo ϕ * definito dalla relazione:<br />
cosα<br />
tan ϕ* = tanϕ cos β<br />
essendo β l’angolo che la normale alla superficie del filetto in corrispondenza all’elica me<strong>di</strong>a forma con l’asse<br />
della vite, e per la quale vale la relazione:<br />
cosθ<br />
cos β = cosα<br />
2 2<br />
1− sin α cos θ<br />
Data la piccolezza dei valori <strong>di</strong> θ e α , si può spesso ritenere in pratica α = β e quin<strong>di</strong> ϕ* = ϕ giustificando<br />
l’utilizzazione della (1.9) anche nel caso <strong>di</strong> filetti a pane triangolare o trapezoidale.<br />
α<br />
45<br />
F<br />
πdmv<br />
P<br />
p
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
( )<br />
P = F tan α + ϕ<br />
(4.1)<br />
Moltiplicando primo e secondo membro della (4.1) per il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vite si ottiene la<br />
relazione tra la forza assiale agente sulla vite e il momento torcente agente sul fusto della vite stessa 1 :<br />
dmv<br />
M tv = F ⋅ tan ( α + ϕ )<br />
(4.2)<br />
2<br />
tan α + ϕ ≅ 0.2 da cui si ottiene<br />
In con<strong>di</strong>zioni or<strong>di</strong>narie, in mancanza <strong>di</strong> dati più precisi, si può porre ( )<br />
la seguente relazione approssimata:<br />
M = 0.1⋅<br />
F ⋅ d<br />
(4.3)<br />
tv mv<br />
Riba<strong>di</strong>amo che nella (1.10) M t non rappresenta il momento <strong>di</strong> avvitamento M avv bensì soltanto il<br />
momento torcente che si scarica sul fusto della vite e che su <strong>di</strong> essa induce le tensioni τ<br />
<strong>di</strong> torsione.<br />
Nel caso <strong>di</strong> viti con finitura superficiale or<strong>di</strong>naria può porsi:<br />
M ≅ 1.5 ⋅ M<br />
avv tv<br />
Una vite serrata è sottoposta a due sollecitazioni:<br />
1. sollecitazione normale il fusto della vite;<br />
2. sollecitazione <strong>di</strong> momento torcente.<br />
Queste due sollecitazioni sono legate, come abbiamo visto dalla seguente relazione<br />
dmv<br />
M = F ⋅ tan α + ϕ<br />
tv<br />
2<br />
( )<br />
La due sollecitazioni, sforzo nomale e momento torcente, generano rispettivamente delle tensioni <strong>di</strong><br />
trazione σ , <strong>di</strong>rette lungo l’asse della vite, e <strong>di</strong> torsione τ giacenti in un piano perpen<strong>di</strong>colare all’asse<br />
della vite.<br />
In<strong>di</strong>cato con d il <strong>di</strong>ametro della sezione resistente della vite (in prima approssimazione d può essere<br />
posto pari al <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vite)<br />
Le tensioni massime valgono pertanto:<br />
⎧ 4F<br />
σ = 2 ⎪ π d<br />
⎨<br />
⎪ 16M tv τ = 3 ⎪⎩ π d<br />
Ai fini della verifica della vite, queste due tensioni dovranno essere combinate in un’unica tensione<br />
ideale che, a sua volta, dovrà risultare inferiore alla tensione ammissibile del materiale costituente la<br />
vite stessa.<br />
In base alla teoria <strong>di</strong> von Mises si ha quin<strong>di</strong>:<br />
σ = σ + 3τ<br />
≤ σ<br />
2 2<br />
id amm<br />
1<br />
La (1.9) esprime, nel caso <strong>di</strong> una vite <strong>di</strong> manovra, il momento torcente da applicare al fusto della vite per<br />
sollevare un carico F (avanzamento in contrasto <strong>di</strong> carico). E’ facile ricavare che il momento da applicare al fusto<br />
della vite permettere la <strong>di</strong>scesa del carico F (avanzamento in <strong>di</strong>rezione del carico) è espresso dalla seguente<br />
relazione:<br />
dm<br />
M = F tan ( α − ϕ )<br />
2<br />
Se il momento torcente espresso dalla relazione precedente risulta positivo significa che per abbassare il carico<br />
occorre effettivamente applicare un momento esterno, in caso contrario, ovvero con memento negativo, il carico<br />
scenderà spontaneamente. E’ evidente che la <strong>di</strong>scesa spontanea (svitamento spontaneo) si ha quando α < ϕ .<br />
46
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Esempio 4. 1<br />
La vite <strong>di</strong> figura è mossa da un momento M<br />
applicato alla base. Il dado porta il carico W e<br />
scorre tra due guide che ne impe<strong>di</strong>scono la<br />
rotazione. Nell’ipotesi che l’attrito nel cuscinetto a<br />
sfere sia trascurabile, trovare il carico che si può<br />
sollevare applicando un momento<br />
M = 46000 Nm<br />
Caratteristiche della vite:<br />
<strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o dm 50 mm<br />
vite a pane quadrato<br />
vite a tre principi<br />
passo apparente p a 8.5 mm<br />
coefficiente d’attrito tra vite e madrevite<br />
f = 0.15<br />
In<strong>di</strong>cato con i il numero <strong>di</strong> principi della vite, la relazione tra passo reale p e passo apparente p a risulta:<br />
p = i ⋅ pa<br />
da cui p = 3⋅ 8.5 = 25.5 mm<br />
L’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica del filetto vale:<br />
−1 p<br />
−1<br />
25.5<br />
α = tan = tan ≅ 9.22°<br />
π dm<br />
π ⋅50<br />
L’angolo <strong>di</strong> semiapertura del cono d’attrito corrispondente ad un coefficiente d’attrito pari a 0.15 vale:<br />
−1<br />
ϕ = tan 0.15 ≅ 8.53°<br />
Dalla (1.9) si ha imme<strong>di</strong>atamente<br />
dm M = W tan ( α + ϕ ) → W =<br />
2 d<br />
2M 2 ⋅ 46000<br />
=<br />
tan α + ϕ 50 ⋅ tan 9.22 + 8.53<br />
= 5748 N<br />
m<br />
( ) ( )<br />
Esempio 4. 2<br />
La vite dell’esempio precedente, sotto l’azione del carico assiale W, può svitarsi spontaneamente?<br />
Poiché l’angolo <strong>di</strong> inclinazione α = 9.22°<br />
è superiore all’angolo <strong>di</strong> semiapertura del cono d’attrito<br />
ϕ = 8.53°<br />
il <strong>di</strong>spositivo non risulta spontaneamente reversibile.<br />
47
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Esempio 4. 3<br />
La bussola <strong>di</strong> serraggio <strong>di</strong> figura si aziona ruotando la manovella allo scopo <strong>di</strong> imprimere alla pinza un<br />
moto assiale verso sx in modo da forzarla nella propria sede conica. In tal modo le quattro ganasce della<br />
bussola vengono serrate contro il pezzo da lavorare mantenendolo nella corretta posizione.<br />
Determinare il momento torcente M da applicare in modo ogni settore conico della pinza eserciti una<br />
forza ra<strong>di</strong>ale contro il pezzo pari a 450 N nell’ipotesi che:<br />
1. il coefficiente d’attrito tra bussola e sede conica sia pari a f = 0.20 ;<br />
2. il coefficiente d’attrito tra volantino e mandrino sia pari a f ' = 0.15 ;<br />
3. il coefficiente d’attrito tra vite e madrevite sia pari f '' = 0.10 ;<br />
4. <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> contatto volantino mandrino d c = 38 mm ;<br />
5. <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o del filetto d m = 23.5 mm ;<br />
6. passo della vite p = 1.6 mm .<br />
Consideriamo l’equilibrio <strong>di</strong> un singolo settore conico:<br />
⎧1/<br />
4W = Psin 20° + 0.2 ⋅ P cos 20°<br />
⎨<br />
⎩P<br />
cos 20° − 0.2P ⋅ sin 20° = 450 N<br />
Risolvendo il sistema si ottiene:<br />
48
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
P ≅ 516 N W = 1094 N<br />
Il momento torcente richiesto sul volantino vale:<br />
dm W<br />
M = W tan ( α + ϕ ) + f 'd<br />
2 2<br />
con<br />
−1 p<br />
−1<br />
α = tan ϕ = tan f '<br />
π dm<br />
Sostituendo i valori numerici si ottiene<br />
dm W<br />
23 1094<br />
M = W tan ( α + ϕ ) + f 'dc = 1094 tan ( 1.27 + 5.71) + 0.15⋅ 38 ≅ 4658 Nmm<br />
2 2 2 2<br />
Esempio 4. 4<br />
Con riferimento al morsetto sotto rappresentato <strong>di</strong> cui si riportano i dati principali, determinare le<br />
tensioni agenti nelle sezioni A-A e B-B nonché la lunghezza L dell’asta <strong>di</strong> manovra in modo che<br />
l’operatore esercitando una forza <strong>di</strong> 90 N sia in grado <strong>di</strong> esercitare un carico W = 4540 N .<br />
49<br />
Pane della vite quadrato (assimilabile)<br />
Passo filettatura p = 2 mm<br />
Diametro me<strong>di</strong>o vite d m = 11.25 mm<br />
Coefficiente d’attrito tra vite e madrevite<br />
f = 0.12<br />
Coefficiente d’attrito piattello ed<br />
estremità sferica della vite f ' = 0.25<br />
Raggio me<strong>di</strong>o della zona <strong>di</strong> contatto<br />
tra piattello ed estremità sferica della vite<br />
e = 6.4 mm<br />
Il momento esercitato dall’operatore vale:<br />
dm W<br />
M = W tan ( α + ϕ ) +<br />
2 2<br />
−1 −1<br />
p<br />
f ' e ϕ = tan f = 6.84 α = tan<br />
π d<br />
= 0.057<br />
11.25 4540<br />
M ≅ M tv + M P = 4540 tan ( 6.9) + 0.25⋅ 6.4 = 3090 + 7240 ≅ 10330 Nmm<br />
2 2<br />
Per sviluppare un momento torcente pari a M = 10330 Nmm con una forza F <strong>di</strong> 90 N occorre un<br />
braccio L pari a:<br />
M 10330<br />
L = ≅ ≅<br />
115 mm<br />
F 90<br />
m
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Tensioni agenti nella sezione A-A<br />
Nella sezione A-A agiscono:<br />
1. Momento torcente M = 10330 Nmm<br />
2. Momento flettente M = F ⋅ b = 90 ⋅ 152 = 13680 Nmm<br />
f<br />
A cui corrispondono le tensioni:<br />
M dm<br />
10330⋅11.25 ⋅32<br />
2<br />
3. Tensione <strong>di</strong> torsione τ max = ≅ ≅ 37 N/mm<br />
4<br />
J 2 π ⋅11.25 ⋅ 2<br />
F ⋅b 90 ⋅152 ⋅32<br />
2<br />
4. Tensione <strong>di</strong> flessione σ max = = ≅ 98 N/mm<br />
3<br />
I π ⋅11.25<br />
Le due tensioni possono essere composte, secondo le in<strong>di</strong>cazioni <strong>di</strong> von Mises, nell’unica tensione<br />
ideale:<br />
σ = σ + 3τ = 98 + 37 ≅ 105 N/mm<br />
id<br />
2 2 2 2 2<br />
Tensioni agenti nella sezione B-B<br />
Nella sezione B-B agiscono:<br />
3. Momento torcente M P = 7240 Nmm<br />
4. Sollecitazione <strong>di</strong> compressione<br />
A cui corrispondono le tensioni:<br />
W = 4540 N<br />
5. Tensione <strong>di</strong> torsione<br />
M dm<br />
7240 ⋅11.25 ⋅32<br />
2<br />
τ max = ≅ ≅ 26 N/mm<br />
4<br />
J 2 π ⋅11.25 ⋅ 2<br />
6. Tensione <strong>di</strong> compressione<br />
4⋅W 4 ⋅ 4540<br />
2<br />
σ max = = ≅ 46 N/mm<br />
2 2<br />
π dm<br />
π ⋅11.25<br />
Le due tensioni possono essere composte, secondo le in<strong>di</strong>cazioni <strong>di</strong> von Mises, nell’unica tensione<br />
ideale:<br />
σ = σ + 3τ = 46 + 26 ≅ 53 N/mm<br />
id<br />
2 2 2 2 2<br />
Bibliografia<br />
Giovannozzi R Costruzione <strong>di</strong> Macchine vol. 1 Patron<br />
Hall A.S. et al. Costruzione <strong>di</strong> Macchine Etas<br />
O.Sesini Meccanica Applicata alle Macchine vol. 3 Ambrosiana<br />
50
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
5. LA A TRASMISSIONE A CINGHIA<br />
Le cinghie sono organi flessibili che si avvolgono su pulegge per trasmettere il moto fra due alberi<br />
Si <strong>di</strong>stinguono<br />
1. cinghie piatte<br />
2. cinghie trapezoidali<br />
3. cinghie dentate (sincrone)<br />
Nel seguito ci occuperemo soprattutto del calcolo delle cinghie trapezoidali e della loro scelta tramite le<br />
in<strong>di</strong>cazioni fornite e dai cataloghi delle case costruttrici. Per comprendere appieno tali in<strong>di</strong>cazioni è<br />
tuttavia in<strong>di</strong>spensabile affrontare lo stu<strong>di</strong>o teorico della trasmissione che nel seguito viene riportato.<br />
Le equazioni <strong>di</strong> equilibrio<br />
Consideriamo un tratto <strong>di</strong> cingh cinghia ia piatta avvolta su <strong>di</strong> una puleggia <strong>di</strong> raggio r. Sia m la massa della<br />
cinghia per unità <strong>di</strong> lunghezza e v la sua velocità; la forza centrifuga dF agente su <strong>di</strong> un tratto <strong>di</strong> cinghia<br />
che si impegna lungo un angolo dθ vale:<br />
2<br />
v 2<br />
dF = mr ⋅ dθ = mv dθ<br />
(5.1)<br />
r<br />
Sia Tc è la tensione nella cinghia dovuta all’azione centrifuga, allora per l’equilibrio deve essere:<br />
2 dθ<br />
2<br />
mv d θ = 2 T c → T c = mv<br />
(5.2)<br />
2<br />
Se la cinghia sta trasmettendo potenza, in<strong>di</strong>cando con T1 e T2 la tensione totale sui tratti condotti e<br />
conduttori della cinghia, in con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> incipiente slittamento si ha:<br />
( )<br />
dT = f dN − dF<br />
2 ( θ θ )<br />
dT = f Td − mv d<br />
dT<br />
T − mv<br />
2<br />
= fdθ<br />
e integrando<br />
T1<br />
θ<br />
dT<br />
∫ = 2<br />
T − mv ∫<br />
T2<br />
0<br />
fdθ<br />
51
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
T1 − mv<br />
T − mv<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= exp<br />
( f θ )<br />
Qualora l’azione della forza centrifuga possa essere ttrascurata<br />
1 la (5.3) si semplifica nella (5.4):<br />
T1<br />
= exp<br />
T<br />
2<br />
( f θ )<br />
Le zone in cui la cinghia non è a contatto con le pulegge vengono sud<strong>di</strong>vise in due tratti:<br />
1. un tratto in cui la tensione vale T1 (ramo più teso);<br />
2. un tratto in cui la tensione vale T2 (ramo meno teso).<br />
Gli angoli <strong>di</strong> avvolgimento e scorrimento<br />
Nel tratto <strong>di</strong> cinghia a contatto con la puleggia la tensione varia, lungo un angolo θ, gradualmente da<br />
a T2 secondo quanto definito dalla (55.4)<br />
o dalla (5.3).<br />
L’angolo θ va misurato a partire dal punto in cui la cinghia lascia la puleggia<br />
L’angolo θ rappresenta l’angolo lungo il quale la cinghia trasmette (o riceve) potenza. Quando l’angolo<br />
θ (angolo <strong>di</strong> scorrimento) supera l’angolo <strong>di</strong> avvolgimento la cinghia inizierà a slittare. Poiché l<br />
θ è comune alle due pulegge, lo slittamento inizierà sempre sulla puleggia minore ovvero sulla puleggia<br />
il cui angolo <strong>di</strong> avvolgimento risulta minore.<br />
L’angolo θ viene definito sia angolo effettivo, sia angolo <strong>di</strong> scorrimento o angolo <strong>di</strong> creep.<br />
2<br />
, gradualmente da T1<br />
tire dal punto in cui la cinghia lascia la puleggia.<br />
rappresenta l’angolo lungo il quale la cinghia trasmette (o riceve) potenza. Quando l’angolo<br />
(angolo <strong>di</strong> scorrimento) supera l’angolo <strong>di</strong> avvolgimento la cinghia inizierà a slittare. Poiché ll’angolo<br />
lo slittamento inizierà sempre sulla puleggia minore ovvero sulla puleggia<br />
il cui angolo <strong>di</strong> avvolgimento risulta minore.<br />
viene definito sia angolo effettivo, sia angolo <strong>di</strong> scorrimento o angolo <strong>di</strong> creep.<br />
Sottolineiamo che lungo gli archi che sottendono gli angoli γ e γ’:<br />
1. la tensione della cinghia è costante e vale T2 sulla puleggia condotta e T1 su quella motrice;<br />
2. la cinghia ha la stessa velocità della puleggia;<br />
3. non avviene nessun trasferimento <strong>di</strong> poten potenza (gli angoli γ e γ’ ’ vengono pertanto definiti angoli<br />
inefficaci o idle angles)<br />
1<br />
In pratica si constata che per velocità periferiche della cing cinghia hia inferiori a 10 m/s l’effetto della forza centrifuga è<br />
decisamente trascurabile. D’altro canto, anche per velocità superiori si preferisce trascurare, per semplicità <strong>di</strong><br />
calcolo, l’effetto della forza centrifuga salvo poi assumere dei carichi <strong>di</strong> sicurezz sicurezza a minori <strong>di</strong> quelli normalmente<br />
ammissibili.<br />
2<br />
Si noti che, <strong>di</strong>versamente da quanto riportato in figura, nelle cinghie piatte è preferibile tenere il ramo lasco<br />
(meno teso) della cinghia sul lato superiore.<br />
52<br />
(5.3)<br />
(5.4)
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Incostanza del rapporto <strong>di</strong> trasmissione<br />
Per effetto dell’elasticità del materiale la cinghia lungo il tratto più teso (a tensione T1) subirà un<br />
allungamento maggiore <strong>di</strong> quant quanto avviene nel ramo allentato (a tensione T2). ). Con riferimento alla figura<br />
sopra riportata, in<strong>di</strong>cati con e1 ed e2 gli allungamenti rispettivamente nei tratti a tensione T1 e T2, per la<br />
costanza della massa si ha:<br />
mv1 mv2<br />
=<br />
1+ e 1+<br />
e<br />
1 2<br />
Trascurando i prodotti e1e 1 ed e2e 1 si ha:<br />
v2 1+ e2 1+ e2 1−<br />
e1<br />
= = ≅ ( 1 + e2 )( 1 − e1 ) = 1 − e1 + e2 − e1e2 ≅ 1 − e1 + e2<br />
v1 1+ e1 1+ e1 1−<br />
e1<br />
ovvero<br />
v2<br />
( T1 − T2<br />
)<br />
≅ 1−<br />
(5.5)<br />
v1 AE<br />
dove A ed E sono rispettivamente la sezione trasversale e il modulo <strong>di</strong> elasticità normale della cinghia.<br />
Pertanto il rapporto <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> due pulegge, collegate collega da una trasmissione a cinghia, non è<br />
esattamente pari al rapporto tra i <strong>di</strong>ametri delle pulegge stesse<br />
velocità angolari delle pulegge si ha:<br />
ω2<br />
r ⎛ 1 ( T1 − T2<br />
) ⎞<br />
= ⎜1− ⎟<br />
ω1<br />
r2 ⎝ AE ⎠<br />
Pertanto la trasmissione a cinghia, dato che le tensioni<br />
un rapporto <strong>di</strong> trasmissione che varia al variare della potenza trasmessa.<br />
1 te da una trasmissione a cinghia, non è<br />
. Infatti dalla (5.5) in<strong>di</strong>cate con ω le<br />
egge si ha:<br />
(5.6)<br />
Pertanto la trasmissione a cinghia, dato che le tensioni T variano al variare della potenza trasmessa, ha<br />
un rapporto <strong>di</strong> trasmissione che varia al variare della potenza trasmessa.<br />
Le cinghie trapezoidali<br />
Per aumentare l’aderenza tra cinghia e puleggia s<br />
trapezoidali. A parità <strong>di</strong> ogni altra con<strong>di</strong>zione, una cinghia trapezoidale (con semiangolo <strong>di</strong> gola pari a<br />
β) lavora come una cinghia piatta che faccia affidamento su <strong>di</strong> un nuovo coefficiente d’attrito<br />
maggiorato (fittizio) pari a 2 Per aumentare l’aderenza tra cinghia e puleggia si i utilizzano, in luogo delle cinghie piatte, quelle<br />
trapezoidali. A parità <strong>di</strong> ogni altra con<strong>di</strong>zione, una cinghia trapezoidale (con semiangolo <strong>di</strong> gola pari a<br />
) lavora come una cinghia piatta che faccia affidamento su <strong>di</strong> un nuovo coefficiente d’attrito<br />
:<br />
* f<br />
f =<br />
(5.7)<br />
sin β<br />
1<br />
In realtà, agli effetti della trasmissione del moto, nelle cinghie piatte, il <strong>di</strong>ametro delle pulegge è da considerarsi<br />
aumentato <strong>di</strong> due volte s/2 /2 (con s spessore della cinghia). Pertanto nella (5.6) r1 e r2 sono i raggi delle pulegge<br />
corrispondenti aumentati <strong>di</strong> s/2.<br />
Nel caso <strong>di</strong> cinghie trapezoidali, r11<br />
e r2 sono invece i <strong>di</strong>ametri primitivi delle rispettive pulegge.<br />
2<br />
In prima approssimazione, il coefficiente d’attrito f* può porsi pari a circa 0.5 a cui corrisponde un coefficiente<br />
d’attrito f pari a circa 0.12-0.14 0.14 (Catalogo Gates Corporation)<br />
53
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Tensione <strong>di</strong> pretensionamento<br />
In<strong>di</strong>cata con T0 la tensione <strong>di</strong> pretensionamento, le tensioni T1 e T2 sui due rami <strong>di</strong> cinghia, valgono:<br />
M t<br />
T1 = T0 + Tc<br />
+<br />
D<br />
M t<br />
T2 = T0 + Tc<br />
−<br />
D<br />
(5.8)<br />
dove D e Mt sono rispettivamente il <strong>di</strong>ametro della puleggia e il momento torcente da essa trasmesso e<br />
T c la tensione dovuto alla forza centrifuga. In<strong>di</strong>cato con α l’angolo <strong>di</strong> avvolgimento sulla puleggia<br />
minore, il tiro <strong>di</strong> cinghia minimo necessario per trasferire il momento torcente Mt vale:<br />
2M<br />
exp( f α ) + 1<br />
t 2T0<br />
=<br />
D exp f α − 1<br />
(5.9)<br />
( )<br />
Infatti<br />
⎧ 2M<br />
t<br />
⎪T1<br />
− T2<br />
=<br />
⎨ D → 2T0 = ( T1 + T2 ) − 2Tc<br />
⎪<br />
⎩T1<br />
+ T2 = 2T0 + 2Tc<br />
2T0<br />
( T1 + T2 ) − 2Tc ( T1 − Tc ) + ( T2 − Tc ) ( T1 − Tc ) ( T2 − Tc<br />
) + 1<br />
= = =<br />
2M D T − T T − T − T − T T − T T − T −1<br />
( f α )<br />
( α )<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
t 1 2 1 c 2 c 1 c 2 c<br />
2M<br />
exp + 1<br />
t 2T0<br />
=<br />
D exp f −1<br />
Sostituendo la(5.9) nelle (5.8) si ottengono le espressioni delle tensioni nei due rami <strong>di</strong> cinghia in<br />
funzione <strong>di</strong> Tc, <strong>di</strong> T0 e <strong>di</strong> α che <strong>di</strong> seguito sono rappresentate graficamente.<br />
( f α )<br />
( f α ) ( f α )<br />
exp 1<br />
T1 = Tc + 2 T0 T2 = Tc + 2T0<br />
exp + 1 exp + 1<br />
(5.10)<br />
54
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Con riferimento alla figura precedentemente riportata, consideriamo una trasmissione funzionante a<br />
velocità trascurabile e tesa, inizialmente, con un tiro tale da indurre le tensioni rappresentate dai pallini<br />
bianchi: il momento torcente trasmesso è proporzionale ovviamente alla <strong>di</strong>fferenza tra le tensioni T1 e<br />
T2. Immaginiamo ora che la trasmissione raggiunga una velocità tale indurre un aumento <strong>di</strong> tensione<br />
nei due rami pari a Tc: in questa situazione le tensioni dei rami <strong>di</strong> cinghia sono in<strong>di</strong>viduate dai pallini<br />
ver<strong>di</strong> giacenti sulle corrispondenti rette: il momento torcente trasmesso e l’angolo si scorrimento non<br />
cambiano, ma le tensioni nei due rami <strong>di</strong> cinghia sono aumentate.<br />
Volendo mantenere la tensioni statica massima pari alla tensione <strong>di</strong>namica massima, dovremo <strong>di</strong>minuire<br />
il pretensionamento in modo tale che le tensioni <strong>di</strong>namiche dei due rami <strong>di</strong> cinghia siano in<strong>di</strong>viduate dai<br />
rispettivi pallini arancio: in questa situazione tuttavia il momento torcente trasmesso è minore.<br />
Per quanto riguarda i valori correnti del pretensionamento ricor<strong>di</strong>amo che, in prima approssimazione,<br />
può porsi 1 :<br />
⎧<br />
2M<br />
t<br />
2T0 = ( 4 ÷ 5 )<br />
cinghie piatte<br />
⎪<br />
D<br />
⎨<br />
(5.11)<br />
⎪ 2M<br />
t<br />
2T0 = ( 1.5 ÷ 2 ) cinghie trapezoidali<br />
⎪⎩<br />
D<br />
Come garantire i pretensionamento<br />
Il pretensionamento della cinghia, in<strong>di</strong>spensabile per consentire la trasmissione <strong>di</strong> potenza, può essere<br />
effettuato sostanzialmente in quattro mo<strong>di</strong><br />
1. montaggio forzato: si sfrutta l’elasticità dell’elemento flessibile;<br />
2. uso <strong>di</strong> un rullo ten<strong>di</strong>tore;<br />
3. uso <strong>di</strong> una puleggia oscillante;<br />
4. uso <strong>di</strong> una puleggia traslante.<br />
Sollecitazione sulle cinghie<br />
Le cinghie sono sottoposte a due sollecitazioni<br />
1. sollecitazione <strong>di</strong> trazione dovuta alla forza T<br />
2. sollecitazione <strong>di</strong> avvolgimento (momento flettente) dovuta appunto all’avvolgimento della<br />
cinghia sulla puleggia<br />
La forza T , in<strong>di</strong>cata con A la sezione trasversale della cinghia, genera una tensione <strong>di</strong> trazione pari a:<br />
T<br />
σ t = (5.12)<br />
A<br />
La massima sollecitazione <strong>di</strong> trazione si nel tratto <strong>di</strong> cinghia in cui ovviamente T = T1<br />
La tensione <strong>di</strong> avvolgimento si ricava facilmente ricordando che la relazione tra il raggio <strong>di</strong> curvatura<br />
della deformata e il rispettivo momento flettente vale:<br />
1 Considerando i rami <strong>di</strong> cinghia quasi paralleli, il valore <strong>di</strong> 2To corrisponde al carico totale sui perni delle<br />
pulegge<br />
55
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
1 M<br />
=<br />
r EJ<br />
(5.13)<br />
dove al solito E è il modulo <strong>di</strong> elasticità normale e J il momento quadratico <strong>di</strong> superficie della sezione<br />
trasversale.<br />
Dalla (5.13) si ottiene:<br />
EJ<br />
M =<br />
r<br />
M<br />
→ σ f =<br />
W<br />
EJ<br />
=<br />
r ⋅W<br />
(5.14)<br />
f f<br />
Il raggio <strong>di</strong> avvolgimento r, in<strong>di</strong>cato con<br />
cinghia, vale:<br />
r = r + s 2<br />
1<br />
sostituendo nella (5.14) si ottiene:<br />
E ⋅ s 2 E ⋅ s<br />
σ f = =<br />
r + s 2 d + s<br />
1 1<br />
Il tratto <strong>di</strong> maggior sollecitazione della cinghia è pertanto il tratto, sottoposto a T1, , e che si avvolge sulla<br />
puleggia minore.<br />
Determinazione della lunghezza teorica <strong>di</strong> cinghia<br />
La lunghezza L <strong>di</strong> una cinghia che si avvolge su due pulegge <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro D e d aventi interasse I vale:<br />
D d<br />
L = ( ππ + 2 2γγ ) + ( ππ − 2 2γγ ) + 2 2I cos cosγ<br />
γ<br />
2 2<br />
⎛ ΔR ⎞ −1<br />
⎛ ΔR<br />
⎞<br />
sin γ = ⎜ ⎟ → γ = sin ⎜ ⎟<br />
⎝ I ⎠ ⎝ I ⎠<br />
in<strong>di</strong>cato con r1 il raggio della puleggia minore 1 e con<br />
Cerchiamo ora una espressione della lunghezza della cinghia che, seppur approssimata, è più<br />
maneggevole.<br />
Tenuto presente lo sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor <strong>di</strong> sin x<br />
1<br />
Ai fini ini della sollecitazione <strong>di</strong> flessione si è considerata soltanto la puleggia minore in quanto, avente il <strong>di</strong>ametro<br />
minore, induce il momento flettente maggiore.<br />
56<br />
e con s lo spessore della<br />
(5.15)<br />
(5.16)
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3 5<br />
n<br />
x x x π n<br />
sin x = x − + + .... + sin<br />
3! 5! n!<br />
2<br />
ed arrestando lo sviluppo al primo termine, si ha:<br />
D − d<br />
γ ≅<br />
2I<br />
(5.17)<br />
Sostituendo la (5.17) nella (5.16) e tenuto presente lo sviluppo in serie <strong>di</strong> cos x arrestato al secondo<br />
termine 1 , si ha:<br />
( D − d ) ( D − d )<br />
2 2<br />
D + d<br />
L ≅ π + + 2I − 2I<br />
2<br />
2 2I 4I ⋅ 2<br />
( ) 2<br />
D − d<br />
D + d<br />
L ≅ 2I<br />
+ π + (5.18)<br />
2 4I<br />
Questa è l’espressione della lunghezza approssimata della cinghia che viene normalmente riportata sui<br />
cataloghi delle <strong>di</strong>tte costruttrici.<br />
La velocità ottima<br />
Si definisce ottima la velocità <strong>di</strong> una trasmissione, la velocità a cui corrisponde, a parità <strong>di</strong> potenza<br />
trasmessa e <strong>di</strong> ogni altra con<strong>di</strong>zione, la minima sezione trasversale A <strong>di</strong> cinghia.<br />
In con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> incipiente slittamento, in<strong>di</strong>cato con α l’angolo <strong>di</strong> avvolgimento sulla puleggia minore e<br />
con m la massa per unità <strong>di</strong> lunghezza della cinghia, si ha:<br />
⎧ D<br />
⎪(<br />
T1 − T2 ) = M<br />
⎪ 2<br />
⎨ 2<br />
⎪<br />
T1 − mv<br />
= exp 2<br />
⎪⎩ T2 − mv<br />
t<br />
( f α )<br />
( )<br />
( ) −<br />
57<br />
( f α )<br />
( ) −<br />
2M<br />
exp t<br />
+ mv<br />
2M<br />
exp f α T D exp f α 1<br />
T mv A<br />
t<br />
2 1<br />
1 = + → = =<br />
D exp f α 1<br />
σ amm σ amm<br />
Moltiplicando e <strong>di</strong>videndo per v, in<strong>di</strong>cando con N la potenza trasmessa, si ha:<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
2M<br />
exp f α exp f α<br />
t<br />
+ mv N + mv<br />
D exp f α −1 v exp f α −1<br />
A = =<br />
σ v σ v<br />
2 3<br />
amm amm<br />
La massa della cinghia per unità <strong>di</strong> lunghezza è ovviamente funzione della sezione trasversale. Posto<br />
pertanto K = m A , si ottiene:<br />
(<br />
( f α )<br />
) +<br />
( f α )<br />
v ( f ) +<br />
3<br />
N exp KAv<br />
A = +<br />
σ v exp f α 1 σ v<br />
amm amm<br />
KAv N<br />
A − =<br />
σ σ exp α 1<br />
1<br />
2 exp<br />
amm amm<br />
π<br />
cos x = 1 − + + ..... +<br />
cos<br />
2! 4! n! n!<br />
2 4<br />
n<br />
x x x n<br />
2
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2 2<br />
σ<br />
exp<br />
amm − Kv<br />
( f α )<br />
( ) +<br />
⎛ Kv ⎞ ⎛<br />
A⎜1 − ⎟ = A⎜<br />
⎝ σ amm ⎠ ⎝ σ amm<br />
⎞ N<br />
⎟ =<br />
⎠ σ ammv<br />
exp f α 1<br />
N exp(<br />
f α )<br />
A =<br />
σ v exp f α + 1<br />
σ amm<br />
2<br />
σ − Kv<br />
( ) ( )<br />
amm amm<br />
( α )<br />
( f α )<br />
exp f N<br />
posto<br />
= C si ha:<br />
exp + 1<br />
C<br />
A =<br />
v Kv<br />
2 ( σ amm − )<br />
d d C − σ +<br />
A = =<br />
dv dv v Kv v Kv<br />
2<br />
ammC<br />
3Kv<br />
C<br />
2<br />
3 ( σ 3<br />
amm − ) ( σ amm − )<br />
La derivata si annulla pertanto per:<br />
σ amm v = (5.19)<br />
3K<br />
La (5.19) fornisce pertanto la velocità ottima, ossia quella velocità che a parità <strong>di</strong> ogni altra con<strong>di</strong>zione<br />
rende minima 1 la sezione trasversale della cinghia.<br />
2<br />
Normalmente K 0.1 kg / ( m mm )<br />
2<br />
≅ ⋅ e ( 2.5 3 ) N / mm<br />
σ ≅ ÷ per cui la velocità ottima si aggira sui<br />
amm<br />
25-30 m/s. E’ buona norma pertanto raggiungere velocità elevate adottando per le pulegge i massimi<br />
<strong>di</strong>ametri compatibili con le esigenze <strong>di</strong> installazione.<br />
1 La (5.19) esprime una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> minimo. Infatti:<br />
⎧< 0 v < σ amm 3K<br />
dA ⎪<br />
⎨=<br />
0 v = σ amm 3 K<br />
dv ⎪<br />
⎪⎩<br />
> 0 v > σ amm 3K<br />
58
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Esempio 5.1<br />
A pulley of 150 mm effective <strong>di</strong>ameter running at 1500 rev/min drives a follower of 750 mm <strong>di</strong>ameter,<br />
the two shafts being parallel, 1 m<br />
mass m of 0.4 kg/m and the maximum tension is to be 720 N. If the coefficient of friction<br />
0.4, estimate the maximum tension <strong>di</strong>fferences allowing for the inertia of the<br />
sectional area A of 320 mm 2 pulley of 150 mm effective <strong>di</strong>ameter running at 1500 rev/min drives a follower of 750 mm <strong>di</strong>ameter,<br />
the two shafts being parallel, 1 m apart, and the free parts of the belt considered straight. The belt has a<br />
of 0.4 kg/m and the maximum tension is to be 720 N. If the coefficient of friction<br />
0.4, estimate the maximum tension <strong>di</strong>fferences allowing for the inertia of the belt. If the belt has a cross<br />
and E for the material is 300 MN/mm<br />
at the maximum con<strong>di</strong>tion and the power transmitted to it.<br />
2 pulley of 150 mm effective <strong>di</strong>ameter running at 1500 rev/min drives a follower of 750 mm <strong>di</strong>ameter,<br />
apart, and the free parts of the belt considered straight. The belt has a<br />
of 0.4 kg/m and the maximum tension is to be 720 N. If the coefficient of friction f is equal to<br />
belt. If the belt has a cross<br />
, estimate the speed of driven pulley<br />
at the maximum con<strong>di</strong>tion and the power transmitted to it.<br />
Dalla figura sopra riportata si ricava facilmente che:<br />
θθ 0.375 − 0.075 θθ<br />
cos = ≅ 0.3 → ≅ 1.266 rad<br />
2 1 2<br />
L’angolo <strong>di</strong> avvolgimento sulla puleggia minore vale:<br />
θ ≅ 2.532 rad<br />
La velocità della cinghia, supposta indeformabile, vale:<br />
2π n 750 2π v = = 1500 ⋅ 0.750 ≅ 11.78 m / s<br />
60 1000 60<br />
La tensione della cinghia, dovuto all’effetto centrifugo vale:<br />
2 2<br />
T Tc = mv = 0.4 ⋅ 11.78 ≅ 55.6 N<br />
Pertanto nelle con<strong>di</strong>zioni limite deve valere la seguente equazione:<br />
720 − 55.6<br />
= exp exp( f fθ ) = exp exp( 0.4 ⋅ 2.532 2.532) ≅ 2.754 → T T2 ≅ 296.8<br />
N<br />
T2<br />
− 55.6<br />
da cui<br />
T T1 − T T2 ≅ 720 − 296.8 ≅ 423.3<br />
N<br />
Dalla (5.5) si ha imme<strong>di</strong>atamente<br />
⎛ 423.2 ⎞<br />
v v2 ≅ 11.78 ⎜ ⎜1 1 − ≅11.728<br />
m/ s<br />
− 6 6 ⎟ ≅11.728<br />
m/ s<br />
⎝ 320 ⋅ ⋅10 10 ⋅ ⋅300 300 ⋅ ⋅10<br />
10 ⎠<br />
La velocità angolare della puleggia condotta vale:<br />
v2<br />
60<br />
n2<br />
= ≅ 298.6 rpm<br />
r 2π<br />
2<br />
E la potenza trasmessa alla puleggia condotta vale:<br />
P = ( T T2 − T T1 ) ⋅ v v2 ≅ 423.3 ⋅ 11.728 ≅ 4963 W<br />
59
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5.1. Il <strong>di</strong>mensionamento a catalogo <strong>di</strong> una trasmissione a cinghie trapezoidali<br />
Il <strong>di</strong>mensionamento <strong>di</strong> una trasmissione a cinghie trapezoidali si conduce rapidamente seguendo le<br />
in<strong>di</strong>cazione delle <strong>di</strong>tte produttrici che, a loro volta, fanno riferimento alle norme UNI 5789-5790.<br />
V velocità periferica della cinghia<br />
dp <strong>di</strong>ametro primitivo della puleggia minore<br />
Dp <strong>di</strong>ametro primitivo della puleggia maggiore<br />
K rapporto <strong>di</strong> trasmissione K = Dp d p<br />
I Interasse<br />
Lunghezza primitiva della cinghia<br />
Lp<br />
( ) 2<br />
Dp − d p<br />
Lp = 2I + 1.57 ⋅ ( Dp + d p ) +<br />
4I<br />
α Ampiezza dell'arco <strong>di</strong> contatto sulla puleggia minore<br />
Dp − d p<br />
α = 180 − 57 ⋅<br />
I<br />
Il fattore <strong>di</strong> servizio<br />
Il fattore <strong>di</strong> servizio Fs è un coefficiente che, tenuto conto delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> carico, aumenta<br />
opportunamente la potenza che teoricamente dovrebbe essere trasmessa.<br />
I valori <strong>di</strong> Fs vengono stimati secondo le seguenti in<strong>di</strong>cazioni<br />
Potenza <strong>di</strong> calcolo<br />
Determinazione<br />
del fattore <strong>di</strong><br />
servizio Fs<br />
Motore a<br />
coppia <strong>di</strong><br />
spunto normale<br />
60<br />
Motore a<br />
coppia <strong>di</strong><br />
spunto elevata<br />
ore <strong>di</strong> servizio 10 16 >16 10 16 >16<br />
Carico uniforme 1.0 1.1 1.2 1.1 1.2 1.3<br />
me<strong>di</strong>o 1.1 1.2 1.3 1.2 1.3 1.4<br />
pesante 1.2 1.3 1.4 1.4 1.5 1.6<br />
extra pesante 1.3 1.4 1.5 1.5 1.6 1.8<br />
La potenza <strong>di</strong> calcolo PC si ottiene dalla potenza nominale PN dalla seguente relazione:<br />
P = P ⋅<br />
F<br />
C N S
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Scelta della sezione <strong>di</strong> cinghia<br />
La sezione appropriata <strong>di</strong> cinghia si sceglie in base alla velocità della puleggia minore e della<br />
potenza <strong>di</strong> calcolo<br />
61<br />
Le cinghie trapezoidali sono costitute da:<br />
(1) un involucro in tessuto gommato resistente<br />
all’usura;<br />
(2) un nucleo centrale in fibre sintetiche,<br />
resistente<br />
allo sforzo <strong>di</strong> trazione;<br />
(3) strati in gomma elastica, soggetti a trazione e<br />
compressione, che trattengono il nucleo<br />
Dimensioni delle cinghie trapezoidali /(mm) UNI 5265<br />
Sezione Y Z A B C D E<br />
Larghezza <strong>di</strong> riferimento Wd 5.3 8.5 11 14 19 27 32<br />
Larghezza nominale W 6 10 13 17 22 32 38<br />
Altezza nominale T 4 6 8 11 14 19 25
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62
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Il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> riferimento equivalente<br />
Si definisce come tale e si in<strong>di</strong>ca con de il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> riferimento delle due pulegge <strong>di</strong> una<br />
trasmissione con rapporto <strong>di</strong> trasmissione K=1, equivalente, agli effetti della fatica per flessione<br />
della cinghia, alla trasmissione data <strong>di</strong> uguale interasse. Il valore <strong>di</strong> de si ottiene moltiplicando il<br />
<strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> riferimento della puleggia minore dp per un fattore <strong>di</strong> correzione Fb, variabile con il<br />
rapporto <strong>di</strong> trasmissione K<br />
Potenza nominale trasmissibile da una cinghia<br />
La potenza nominale p1 trasmissibile è quella trasmissibile da una cinghia con angolo <strong>di</strong><br />
avvolgimento sulla puleggia pari a α = 180°<br />
. La potenza p1 <strong>di</strong>pende dal <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> riferimento<br />
de, dalla velocità periferica V della cinghia e dal tipo <strong>di</strong> sezione secondo quanto <strong>di</strong> seguito<br />
specificato.<br />
−0.09 −4<br />
2<br />
Z ⇒ p1 = (0.25V − − 0.47 ⋅10<br />
V ) V<br />
de<br />
−0.09 −4<br />
2<br />
A ⇒ p1 = (0.45V − − 0.76⋅10 V ) V<br />
de<br />
−0.09 −4<br />
2<br />
C p1 (1.48V 2.34 10 V ) V<br />
de<br />
−0.09 −4<br />
2<br />
D p1 (3.15V 4.76 10 V ) V<br />
de<br />
1<br />
7.35<br />
19.61<br />
−0.09 51.3<br />
−4<br />
2<br />
B ⇒ p1 = (0.79V − −1.31⋅10 V ) V<br />
d<br />
143.2<br />
⇒ = − − ⋅<br />
507.2<br />
⇒ = − − ⋅<br />
E ⇒ p = (4.57V<br />
e<br />
951.1<br />
− − 7.05 ⋅10<br />
V ) V<br />
d<br />
−0.09<br />
−4<br />
2<br />
e<br />
63<br />
V [m/s]; de [mm]; p1 [kW]<br />
Potenza effettiva trasmissibile da una cinghia<br />
La potenza effettiva p, che una cinghia può trasmettere, si ottiene moltiplicando p1 per:<br />
1. un coefficiente Fα <strong>di</strong> correzione che tiene conto dell'ampiezza α dell'arco <strong>di</strong> contatto fra<br />
cinghia e puleggia minore e che si ottiene dalla tabella <strong>di</strong> seguito riportata<br />
Coefficiente <strong>di</strong> correzione Fα<br />
α 180° 170° 160° 150° 140° 130° 120° 110° 100° 90°<br />
Fα 1.00 0.98 0.95 0.92 0.89 0.86 0.82 0.78 0.74 0.69<br />
2. un coefficiente <strong>di</strong> correzione Fe, che tiene conto, a parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni, della<br />
frequenza <strong>di</strong> flessione della cinghia e che si ricava dal <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> seguito riportato:<br />
p = p ⋅ F ⋅<br />
F<br />
1 α e
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64
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Esempi <strong>di</strong> rappresentazione <strong>di</strong> alcune pulegge per cinghie trapezoidali<br />
65
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5.1.1. Calcolo della cinghia passo passo<br />
Dati: Potenza, frequenza <strong>di</strong> rotazione, rapporto <strong>di</strong> trasmissione (Dp/dp), tipo <strong>di</strong> utilizzo.<br />
1. Fissato il fattore <strong>di</strong> servizio, si determina la potenza <strong>di</strong> calcolo.<br />
2. Noti il numero <strong>di</strong> giri della puleggia minore e la potenza <strong>di</strong> calcolo si sceglie la sezione<br />
appropriata <strong>di</strong> cinghia (A, B, C….)<br />
3. Si stabilisce il <strong>di</strong>ametro primitivo della puleggia minore (consultare la tabella riportante i<br />
<strong>di</strong>ametri minimi)<br />
4. Se l’interasse Ia non è assegnato lo si determini, in prima approssimazione con una delle<br />
seguenti relazioni<br />
Dp − d p<br />
Ia = + d p se Dp < 3d p<br />
2<br />
I = D<br />
se D > 3d<br />
a p<br />
p p<br />
5. Si determina la lunghezza della cinghia L<br />
6. Si sceglie la lunghezza <strong>di</strong>sponibile Ld più vicina a quella determinata al punto precedente<br />
7. Si calcola l’interasse corretto IC con una delle seguenti relazioni :<br />
L − Ld<br />
IC = Ia − se L > Ld<br />
2<br />
Ld − L<br />
IC = Ia + se L < Ld<br />
2<br />
8. Noto il rapporto <strong>di</strong> trasmissione si determina il fattore Fb e il <strong>di</strong>ametro primitivo equivalente de<br />
9. Note la sezione <strong>di</strong> cinghia (A, B, C….) e la sua lunghezza si determina il fattore Fe<br />
10. Si calcola la velocità della cinghia<br />
11. Con la velocità della cinghia, la sua sezione e il <strong>di</strong>ametro primitivo equivalente si determina la<br />
potenza nominale p1 trasmissibile da una cinghia<br />
12. In base all’angolo <strong>di</strong> avvolgimento sulla puleggia minore si determina il fattore Fα<br />
13. La potenza effettiva p trasmissibile da una cinghia sarà:<br />
p = p1 ⋅ Fe ⋅ Fα 14. Si determina infine il numero <strong>di</strong> cinghie rapportando la potenza <strong>di</strong> calcolo alla potenza p<br />
determinata al punto precedente. Il numero <strong>di</strong> cinghie deve essere approssimato all’intero più<br />
vicino in <strong>di</strong>fetto o in eccesso<br />
Determinazione del tiro <strong>di</strong> cinghia<br />
Sia Mt il momento torcente trasmesso da una puleggia con raggio pari a R. Il tiro totale F agente sulla<br />
puleggia per effetto del pretensionamento della cinghia può essere posto pari a 1 :<br />
2M<br />
t<br />
F = (4 − 5) per cinghie piatte<br />
D<br />
p<br />
2M<br />
t<br />
F = (1.5 − 2) per cinghie trapezoidali<br />
D<br />
p<br />
1 Si considerano ovviamente i rami <strong>di</strong> cinghia “quasi paralleli”<br />
66
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Esempio 5.1.1.1<br />
Si progetti una trasmissione a cinghie trapezoidali che collega un motore elettrico da 3.5 kW, ruotante a<br />
1500 rpm, ad un albero <strong>di</strong> una macchina utensile ruotante a 1200 rpm.<br />
Si determina il fattore <strong>di</strong> sevizio Fs nell’ipotesi <strong>di</strong> un servizio giornaliero pari a 8h.<br />
Dalla tabella si ricava F S = 1.3<br />
La potenza <strong>di</strong> calcolo è pertanto pari a:<br />
P = F ⋅ P = 1.3⋅ 3.5 = 4.55 kW<br />
C S N<br />
Nota la potenza <strong>di</strong> calcolo e la frequenza <strong>di</strong> rotazione della puleggia minore (1500 rpm) si determina la<br />
sezione <strong>di</strong> cinghia. Sezione appropriata: sez. A<br />
Si determina il rapporto K tra i <strong>di</strong>ametri delle pulegge<br />
K = 1500 1200 = 1.25<br />
Si sceglie il <strong>di</strong>ametro della puleggia minore. Per una sezione <strong>di</strong> cinghia tipo A, il <strong>di</strong>ametro minimo<br />
risulta 90 mm. Riteniamo, per ragioni <strong>di</strong> ingombro e <strong>di</strong> efficienza, <strong>di</strong> adottare una puleggia minore <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>ametro 140 mm. Il <strong>di</strong>ametro della puleggia maggiore risulta pertanto 1 :<br />
D = K ⋅ d = 175 mm<br />
p p<br />
Si determina l’interasse approssimato 2 Ia:<br />
Dp + d p<br />
Ia = + d p = 297.5 mm<br />
2<br />
In base all’interasse approssimato determinato al punto precedente, noti i <strong>di</strong>ametri delle pulegge, si<br />
determina la lunghezza teorica della cinghia:<br />
( ) 2<br />
Dp + d p<br />
π<br />
Lp ≅ 2I a + ( Dp + d p ) + = 1090.8 mm<br />
2 4I<br />
La lunghezza <strong>di</strong> cinghia unificata più vicina al valore trovato risulta:<br />
L = 1100 mm<br />
d<br />
a<br />
In base al valore della lunghezza <strong>di</strong> cinghia <strong>di</strong>sponibile si calcola l’interasse corretto:<br />
Ld − Lp<br />
IC ≅ Ia<br />
+ ≅ 302 mm<br />
2<br />
Si calcola il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> riferimento equivalente della puleggia minore:<br />
d = d ⋅ F ( K)<br />
≅ 140⋅1.08 ≅ 151.2 mm<br />
e p b<br />
Con la velocità della cinghia, la sua sezione e il <strong>di</strong>ametro primitivo equivalente si determina la potenza<br />
nominale p1 trasmissibile da una cinghia:<br />
2π ⋅ n d 2π ⋅1500<br />
140<br />
V = = ≅ 11 m/s<br />
60 2 60 2000<br />
−0.09 19.61<br />
−4<br />
2<br />
A ⇒ p1 = (0.45V − − 0.76⋅10 V ) V ≅ 2.46 kW<br />
d<br />
e<br />
1 La puleggia <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro 175, in base alla nostra tabella non risulta unificata. Possiamo pertanto scegliere una<br />
puleggia da 180 mm rinunciando al vincolo imposto sulla frequenza <strong>di</strong> rotazione della puleggia condotta (1200<br />
rpm), oppure optare per una puleggia da 175 mm con un preve<strong>di</strong>le aggravio dei costi <strong>di</strong> produzione.<br />
2 Ovviamente solo nel caso in cui l’interasse non sia imposto.<br />
67
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Si calcola l’angolo α <strong>di</strong> avvolgimento sulla puleggia <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro minore:<br />
-1 ⎛ Dp − d p ⎞<br />
α = 180 − 2γ ≅ 173 ° γ =sin ⎜ ⎟ ≅ 3.32°<br />
⎝ 2IC<br />
⎠<br />
Si calcola la potenza effettiva trasmissibile da una cinghia:<br />
p = p1 ⋅ Fα ⋅ Fe<br />
≅ 2.46 ⋅ 0.98 ⋅ 0.9 ≅ 2.17 kW<br />
Si determina infine il numero <strong>di</strong> cinghie della trasmissione<br />
PC<br />
4.55<br />
Zc<br />
= ≅ ≅ 2<br />
p 2.17<br />
La trasmissione verrà pertanto realizzata con due cinghie tipo A.<br />
Una volta definita la trasmissione, possiamo determinare il tiro <strong>di</strong> cinghia T 0 a riposo e le tensioni nei<br />
due rami a regime T 1 e T 2 .<br />
Le tensioni a riposo e a regime, ritenuta trascurabile l’effetto della forza centrifuga, sono legate dalle<br />
seguenti relazioni:<br />
⎧ d p<br />
⎪(<br />
T1 − T2 ) = M t<br />
⎨ 2<br />
⎪<br />
⎩T1<br />
+ T2 = 2T0<br />
Facendo affidamento su un coefficiente d’attrito f tra cinghia e puleggia pari a 0.5, e fissando un angolo<br />
θ <strong>di</strong> creep, pari per ragioni <strong>di</strong> sicurezza all’90% dell’angolo <strong>di</strong> avvolgimento α sulla puleggia minore,<br />
si ha:<br />
T1 T1<br />
⎛ 173⋅<br />
π ⎞<br />
= exp( f ⋅θ ) → = exp⎜ 0.5⋅ 0.9 ⎟ ≅ 3.89<br />
T T ⎝ 180 ⎠<br />
2 2<br />
d p<br />
2 ⋅3.5 ⋅1000 ⋅60 ⋅1000<br />
( T1 − T2 ) = M t → 2.89T2 = → T2<br />
≅ 110 N<br />
2 140 ⋅ 2⋅ π ⋅1500<br />
T = 3.89T = 428 N<br />
1 2<br />
La tensione <strong>di</strong> cinghia a riposo vale:<br />
T1 + T2<br />
T0<br />
= ≅ 269 N<br />
2<br />
La forza che si scarica sui cuscinetti dell’albero per effetto del tiro <strong>di</strong> cinghia vale:<br />
2T = 538 N<br />
0<br />
Bibliografia<br />
Caligaris L et al. Manuale <strong>di</strong> Meccanica Hoepli<br />
Giovannozzi R Costruzione <strong>di</strong> <strong>macchine</strong> (<strong>vol.1</strong>) Patron<br />
Hannah J Mechanics of machines (advanced theory and examples) Arnold<br />
Ottani M. Corso <strong>di</strong> Meccanica (vol.3) Cedam<br />
Shigley JE Progetto e <strong>costruzione</strong> <strong>di</strong> <strong>macchine</strong> McGraw-Hill<br />
Straneo SL et al. Disegno, progettazione… vol. 2 Principato<br />
68
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6. RUOTE DENTATE E RUOTISMI<br />
Prime definizioni e classificazioni<br />
Ruota dentata: ruota munita <strong>di</strong> denti destinata a trascinarne un’altra o a essere trascinata me<strong>di</strong>ante<br />
scambio <strong>di</strong> forze periferiche.<br />
Tipi <strong>di</strong> ruote dentate<br />
Ruote dentate cilindriche a denti <strong>di</strong>ritti: hanno i<br />
denti paralleli all’asse <strong>di</strong> rotazione e sono<br />
utilizzate per la trasmissione del moto tra assi<br />
paralleli<br />
Ruote dentate cilindriche a denti elicoidali: hanno<br />
i denti inclinati rispetto all’asse <strong>di</strong> rotazione.<br />
Possono essere utilizzate per la trasmissione del<br />
moto sia fra assi paralleli sia fra assi sghembi.<br />
Le ruote dentate coniche: hanno i denti ottenuti su superficie coniche. Si <strong>di</strong>stinguono:<br />
• ruote dentate coniche a denti <strong>di</strong>ritti: sono usate per trasmette il moto tra assi concorrenti.<br />
• ruote coniche a denti obliqui: sono anch’esse usate per trasmetter il moto tra assi concorrenti<br />
• ruote ipoi<strong>di</strong>: le superficie primitive sono iperboli<strong>di</strong> <strong>di</strong> rotazione. Sono utilizzate per trasmettere<br />
il moto tra assi sghembi. Viene impiegata per piccoli scostamenti assiali<br />
Viti senza fine e ruote per viti senza fine: sono<br />
utilizzati per trasmettere il moto tra assi sghembi<br />
ortogonali fra loro<br />
69
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Ingranaggio: meccanismo elementare costituito da due ruote dentate fra loro ingrananti<br />
Ingranaggi: sono costituti da coppie <strong>di</strong> ruote munite <strong>di</strong> denti che ingranano tra loro.<br />
Pignone o rocchetto: è la ruota <strong>di</strong> un ingranaggio con il numero <strong>di</strong> denti minore z 1<br />
Ruota: è la ruota <strong>di</strong> un ingranaggio che ha il numero <strong>di</strong> denti maggiore 2 z<br />
Rapporto <strong>di</strong> ingranaggio u: rapporto tra il numero <strong>di</strong> denti della ruota e quello del pignone. Il rapporto<br />
<strong>di</strong> ingranaggio è sempre maggiore o uguale ad uno.<br />
Rapporto <strong>di</strong> trasmissione i: è il rapporto tra le velocità angolari della prima ruota motrice <strong>di</strong> un<br />
ruotismo e quella dell’ultima ruota condotta.<br />
Diametro primitivo <strong>di</strong> funzionamento: <strong>di</strong>ametro del cilindro corrispondente a ruote <strong>di</strong> frizione che<br />
trasmettono il moto con uguale rapporto <strong>di</strong> trasmissione<br />
Diametro primitivo <strong>di</strong> riferimento: è il <strong>di</strong>ametro del cilindro convenzionale in riferimento al quale sono<br />
definite le <strong>di</strong>mensioni della dentatura <strong>di</strong> una ruota considerata isolatamente e vale z volte il modulo (z<br />
numero <strong>di</strong> denti della ruota)<br />
Con riferimento ad una dentatura ad evolvente <strong>di</strong> cerchio è ben evidente che al variare dell’interasse,<br />
pur variando i <strong>di</strong>ametri primitivi <strong>di</strong> funzionamento, il loro rapporto <strong>di</strong> mantiene costante 1 assicurando<br />
l’invariabilità del rapporto <strong>di</strong> trasmissione<br />
1 il rapporto dei <strong>di</strong>ametri primitivi, in ogni con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento, risulta sempre pari, in una dentatura ad<br />
evolvente, al rapporto tra i <strong>di</strong>ametri delle circonferenze (circonferenze <strong>di</strong> base) sulle le quali si sono realizzate le<br />
evolventi dei fianchi dei denti. Poiché i <strong>di</strong>ametri <strong>di</strong> base, che rappresentano una caratteristica fisica delle ruota<br />
in<strong>di</strong>pendente cioè dalle modalità <strong>di</strong> funzionamento, sono immutabili, è imme<strong>di</strong>ato riconoscere che anche il<br />
rapporto <strong>di</strong> trasmissione rimane costante.<br />
70
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Diametro <strong>di</strong> testa da: è il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> tornitura esterna della ruota e contiene la sommità dei denti<br />
Diametro <strong>di</strong> piede o <strong>di</strong> fondo df: è il <strong>di</strong>ametro del cilindro tangente al fondo dei vani.<br />
Denti: ciascuno degli elementi sporgenti <strong>di</strong> una ruota atti ad assicurare, tramite il contatto con i denti <strong>di</strong><br />
un’altra ruota, il trascinamento.<br />
Vano: è lo spazio tra due denti successivi.<br />
Fianco: è la porzione della superficie del dente compresa tra la superficie <strong>di</strong> testa e quella <strong>di</strong> piede.<br />
I profili dei fianchi dei denti delle ruote dentate, per assicurare soprattutto la costanza del rapporto <strong>di</strong><br />
trasmissione , sono profilati secondo una evolvente <strong>di</strong> cerchio. 1<br />
Passo p: è l’arco <strong>di</strong> primitiva staccato da due profili omologhi successivi. Il passo è pertanto pari al<br />
rapporto tra la circonferenza primitiva e il numero <strong>di</strong> denti.<br />
Modulo 2 m: è il rapporto tra il passo e il numero π .<br />
Due ruote fra loro ingrananti devono avere lo stesso modulo e quin<strong>di</strong> lo stesso passo<br />
Retta d’azione: è la normale comune ai profili dei due denti nel loro punto <strong>di</strong> contatto. Secondo questa<br />
<strong>di</strong>rezione agiscono, in assenza <strong>di</strong> attrito, le forze che si scambiano i denti durante l’ingranamento. Con<br />
1 L’evolvente <strong>di</strong> cerchio è la curva generata da un punto appartenente ad una retta (retta d’azione) che rotola senza<br />
strisciare su <strong>di</strong> una circonferenza (circonferenza <strong>di</strong> base o fondamentale)<br />
71<br />
L’equazione dell’evolvente <strong>di</strong> cerchio, espressa in<br />
coor<strong>di</strong>nate polari, può essere ricavata facilmente in<br />
base a semplici considerazioni geometriche:<br />
PB<br />
AB ≡ PB tanθ<br />
= = ϕ + θ<br />
OB<br />
ϕ = tanθ<br />
−θ ≡ evθ<br />
OB<br />
ϕ = evθ OP =<br />
cosθ<br />
2 Nell’industria anglosassone, al posto del modulo, si usa il cosiddetto <strong>di</strong>ametral pitch ovvero il rapporto tra il<br />
numero <strong>di</strong> denti e il <strong>di</strong>ametro primitivo espresso in pollici. A prescindere dalle <strong>di</strong>verse unità <strong>di</strong> misura il modulo è<br />
il reciproco del <strong>di</strong>ametral pitch.
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riferimento alla dentatura ad evolvente, la retta d’azione corrisponde alla tangente comune alle due<br />
circonferenze <strong>di</strong> base.<br />
Angolo <strong>di</strong> pressione α: è l’angolo compreso tra la retta d’azione e la tangente comune alle due<br />
circonferenze primitive.<br />
Altezza del dente h: <strong>di</strong>stanza ra<strong>di</strong>ale tra il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> testa e il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> fondo.<br />
Addendum ha: <strong>di</strong>stanza ra<strong>di</strong>ale tra il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> testa e quello primitivo <strong>di</strong> riferimento. Nel<br />
proporzionamento normale l’addendum è pari al modulo<br />
Dedendum hf: <strong>di</strong>stanza ra<strong>di</strong>ale tra il <strong>di</strong>ametro primitivo <strong>di</strong> riferimento e quello <strong>di</strong> fondo. Nel<br />
proporzionamento normale il dedendum è paria 1.25 volte il modulo.<br />
72
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Linea <strong>di</strong> ingranamento<br />
E’ il segmento della staccato dalle troncature esterne sulla retta d’azione.<br />
La generazione e il taglio del profilo ad evolvente<br />
Estensione del profilo all’interno del cerchio <strong>di</strong> base<br />
Il profilo ad evolvente, definito in<br />
precedenza, non può ovviamente estendersi<br />
all’interno del cerchio <strong>di</strong> base. D’altra<br />
parte se si adotta il proporzionamento<br />
consueto (addendum pari al modulo e<br />
dedendum pari a a1.25 volte il modulo) è<br />
facile verificare che solo per numero <strong>di</strong><br />
denti elevati il profilo risulta tutto esterno<br />
al cerchio <strong>di</strong> base. Infatti, affinché questo<br />
accada, occorre che il dedendum sia<br />
minore o uguale alla <strong>di</strong>fferenza fra il<br />
raggio primitivo e il raggio <strong>di</strong> base, ovvero<br />
deve valere la seguente <strong>di</strong>suguaglianza:<br />
zm<br />
2.5<br />
1.25m ≤ ( 1− cosα<br />
) → z ≥<br />
2 1− cosα<br />
Adottando un angolo <strong>di</strong> pressione α pari a<br />
20° risulta pertanto che il profilo rimane<br />
tutto esterno al cerchio <strong>di</strong> base solo se il<br />
numero <strong>di</strong> denti della ruota è maggiore <strong>di</strong><br />
42.<br />
Il prolungamento del profilo entro il cerchio <strong>di</strong> base, necessario in tutti gli altri casi, può essere ottenuto,<br />
tramite taglio con fresa, realizzando, all’interno del cerchio <strong>di</strong> base, un profilo epicicloidale come<br />
prolungamento del profilo ad evolvente. Il prolungamento rettilineo in senso ra<strong>di</strong>ale, molto semplice da<br />
realizzare e molto usato, porta ad uno svantaggioso restringimento del dente alla base.<br />
73
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Il problema generale dell’interferenza<br />
Per comprendere il problema dell’interferenza è bene esaminar esaminare e le due situazioni rappresentate nelle<br />
figura sottostante.<br />
A destra ve<strong>di</strong>amo un ingranaggio in cui le troncature <strong>di</strong> testa intersecano la retta d’azione in due punti A<br />
e A’ entrambi interni al segmento TT ' . In questo caso non si ha interferenza perché il contatto fra i<br />
denti avviene fra profili ad evolvente che hanno istante per istante come normale comune la retta<br />
d’azione.<br />
A sinistra è rappresentato il caso in cui le troncature <strong>di</strong> testa tagliano la retta d’azione in punti A e A’<br />
esterni al segmento dei contatti TT ' . In questa con<strong>di</strong>zione il funzionamento non è più normale infatti<br />
nei tratti T ' A ' e TA i fianchi dei denti non hanno una norm normale ale comune, dunque non si può avere un<br />
contatto corretto.<br />
Perciò con<strong>di</strong>zione necessaria per evitare l’interferenza è che le troncature <strong>di</strong> testa taglino la retta<br />
d’azione in due punto A e A’ ’ entrambi interni al segmento TT ' .<br />
Consideriamo ora la coppia rocchetto ruota sotto rappresentata. Se si <strong>di</strong>minuisce il numero <strong>di</strong> denti del<br />
pignone mantenendone costante il <strong>di</strong>ametro primitivo, occorre aumentare parallelamente il modulo<br />
della coppia; aumenteranno in tal modo sia l’addendum, ssia<br />
ia il dedendum dei denti. Al <strong>di</strong>minuire del<br />
numero <strong>di</strong> denti del pignone, i punti A e A’ si allontaneranno gradualmente da C fino a che il punto A’<br />
verrà a coincidere con il punto T’. ’. Diminuendo ulteriormente il numero <strong>di</strong> denti, il punto A’ andrà a<br />
<strong>di</strong>sporsi esternamente al segmento TT ' rendendo problematico l’ingranamento. Pertanto per ogni coppi<br />
74
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
ruota-rocchetto esiste un numero minimo dei denti del rocchetto z min f (numero minimo <strong>di</strong> denti <strong>di</strong><br />
funzionamento) al <strong>di</strong> sotto del quale l’ingranamento è problematico. Il valore <strong>di</strong> z min f può essere<br />
ricavato da semplici considerazioni geometriche.<br />
Nelle con<strong>di</strong>zioni limite sopra raffigurate si ha:<br />
T 'C = TT '−<br />
TC<br />
2 2<br />
d '<br />
sinα =<br />
2<br />
⎛ d ⎞<br />
⎜ + ha<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ d ⎞<br />
− ⎜ cosα ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
d<br />
− sinα<br />
2<br />
tenuto presente che<br />
d ' = z ' m d = zm u = z z ' τ =1 u k = ha m (ha addendum della ruota)<br />
( )<br />
( )<br />
( 2 + ) sin<br />
2kτ<br />
1+ 1+ 2 + sin<br />
zmin f ≥ = 2k<br />
2<br />
2<br />
1+ τ 2 + τ sin α −1<br />
τ α<br />
2<br />
τ τ α<br />
La (6.1) esprime il numero minimo <strong>di</strong> denti che deve avere un rocchetto per poter ingranare<br />
correttamente 1 con una ruota formante con esso un rapporto <strong>di</strong> ingranaggio paria u = 1 τ .<br />
E’ ben evidente pertanto che il numero minimo <strong>di</strong> denti <strong>di</strong> ingranamento <strong>di</strong> un rocchetto <strong>di</strong>pende, oltre<br />
che dall’angolo <strong>di</strong> pressione, dal numero <strong>di</strong> denti della ruota nonché dal proporziona mento della<br />
medesima..<br />
Nel caso particolare <strong>di</strong> un rocchetto ingranante con una dentiera (assimilabile ad una ruota con numero<br />
<strong>di</strong> denti e raggio primitivo infiniti) 2 , dalla (6.1) posto τ = 0 si ha imme<strong>di</strong>atamente:<br />
2k<br />
zmin<br />
f = (6.2)<br />
2<br />
sin α<br />
Il numero minimo denti definito dalla (6.1), una volta che si ponga u = 1 , rappresenta anche il numero<br />
minimo <strong>di</strong> denti intagliabile me<strong>di</strong>ante fresatura. Se i denti sono tagliati per inviluppo (dentiera utensile,<br />
1 Anche in presenza <strong>di</strong> interferenza, se vi è un gioco notevole tra i denti, la trasmissione del moto non è certamente<br />
interrotta, ma il contatto avviene in pessime con<strong>di</strong>zioni, dando luogo a variazioni <strong>di</strong> velocità, forti vibrazioni e<br />
conseguentemente ad un’usura molto rapida. Solo se il gioco fra i denti è nullo o minimo ci può essere<br />
inceppamento.<br />
2 La dentiera è può essere considerata una ruota dentata <strong>di</strong> raggio infinito. Questa particolare ruota dentata ha i<br />
fianchi dei denti rettilinei e perpen<strong>di</strong>colari alla retta <strong>di</strong> base a sua volta inclinata rispetto alla retta primitiva <strong>di</strong> un<br />
angolo α. Al variare dell’angolo α corrispondono dentiere con denti <strong>di</strong> particolare inclinazione: l’angolo α serve a<br />
caratterizzare un assortimento <strong>di</strong> ruote e viene chiamato angolo <strong>di</strong> pressione dell’assortimento. La forma semplice<br />
che assume il dente della dentiera profilata ad evolvente (fianco rettilineo) permette la generazione precisa della<br />
dentatura servendosi <strong>di</strong> attrezzi ad essa equivalenti, animati <strong>di</strong> moto relativo alla ruota da tagliare uguale a quello<br />
che si ha durante l’imbocco.<br />
75<br />
(6.1)
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utensile creatore, stozzatrice Fellows) i numeri <strong>di</strong> denti intagliabili senza interferenza sono quelli<br />
corrispondenti a un rapporto <strong>di</strong> ingranaggio u → ∞ nel caso <strong>di</strong> un utensile derivato da una dentiera, e a<br />
un rapporto <strong>di</strong> ingranaggio u pari al numero minimo <strong>di</strong> denti intagliabile senza interferenza (incognito)<br />
e il numero <strong>di</strong> denti della ruota utensile nel caso <strong>di</strong> taglio con stozzatrice Fellows.<br />
Occorre ancora precisare che il dente dell’utensile, sia esso una ruota o una dentiera, deve avere un<br />
addendum pari al dedendum della ruota da tagliare. Pertanto, con riferimento al taglio per inviluppo, il<br />
numero minimo <strong>di</strong> denti intagliabili senza interferenza si determina con le (6.1) e (6.2) una volta che k<br />
sia sostituto da kd rapporto tra dedendum e modulo. Nel caso <strong>di</strong> un proporziona mento normale si ha<br />
pertanto:<br />
( )<br />
( )<br />
( 2 + ) sin<br />
1+ 1+ 2 + sin<br />
z k<br />
1+ τ 2 + τ sin α −1<br />
τ α<br />
z<br />
2<br />
2kdτ<br />
τ τ α<br />
min i ≥ = 2<br />
2<br />
d<br />
2<br />
d<br />
min i 2<br />
76<br />
(6.3)<br />
2k<br />
= (6.4)<br />
sin α
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Taglio tramite dentiera.<br />
Quando si taglia un rocchetto, tramite utensili derivati dalla dentiera, con un numero <strong>di</strong> denti inferiori a<br />
quanto stabilito dalla (6.4) i denti del rocchetto risulteranno scavati alla base per effetto<br />
dell’interferenza <strong>di</strong> taglio. Tali rocchetti possono tuttavia ingranare senza interferenza con qualsiasi<br />
ruota. Si hanno così rocchetti con denti scavati anche quando sono destinati a funzionare con ruote <strong>di</strong><br />
grandezza tale per cui non sarebbe da temere l’interferenza.<br />
Si supponga ad esempio <strong>di</strong> realizzare un ingranaggio con un pignone da 16 denti e una ruota da 32<br />
denti.<br />
Se realizziamo il rocchetto tramite un utensile derivato dalla dentiera 1 , poiché il numero <strong>di</strong> denti 16 è<br />
inferiore al numero minimo <strong>di</strong> denti intagliabili (18.8 denti) definito dalla (6.4) il rocchetto risulterà con<br />
1<br />
In questo esempio (taglio con dentiera) e nel successivo (taglio con ruota utensile) si è posto kd ≅<br />
1.1<br />
77
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
denti scavati alla base anche se il numero <strong>di</strong> denti del rocchetto è superiore al numero minimo <strong>di</strong> denti<br />
(14.16 denti) definito dalla (6.1).<br />
Taglio con ruota utensile<br />
Quando si taglia il rocchetto con una ruota utensile è possibile costruire rocchetti non indeboliti ovvero<br />
realizzati senza interferenza <strong>di</strong> taglio i quali però possono interferire e al limite non ingranare se<br />
accoppiati con ruote aventi un numero <strong>di</strong> denti maggiori del coltello generatore.<br />
Si supponga <strong>di</strong> realizzare il pignone dell’ingranaggio considerato in precedenza con un coltello Fellows<br />
a 32 denti. Il rocchetto non risulterà scavato alla base e ingranerà perfettamente con la ruota dato che il<br />
numero minimo <strong>di</strong> denti <strong>di</strong> intaglio (15.57 denti) definito dalla (6.3) è inferiore al numero <strong>di</strong> denti del<br />
rocchetto.<br />
Tuttavia se il rocchetto venisse accoppiato con una ruota con 160 denti, dato che il numero minimo <strong>di</strong><br />
denti <strong>di</strong> funzionamento (16.38 denti) definito dalla (6.1) è superiore al numero <strong>di</strong> denti del rocchetto (16<br />
denti) si avrebbe, almeno dal punto <strong>di</strong> vista teorico, interferenza.<br />
78
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Continuità dell’ingranamento<br />
Il segmento AA’, staccato dalle circonferenze <strong>di</strong> testa sulla retta d’azione, in<strong>di</strong>vidua tutte le posizioni <strong>di</strong><br />
contatto tra il dente del pignone e della ruota.<br />
Il punto A rappresenta l’inizio del contatto ed è determinato dall’intersezione tra il cerchio <strong>di</strong> testa del<br />
pignone e la retta delle pressioni. Dualmente A’ rappresenta la per<strong>di</strong>ta del contatto tra gli stessi denti ed<br />
è in<strong>di</strong>viduato dall’intersezione tra il cerchi <strong>di</strong> testa della condotta e la retta delle pressioni.<br />
Il segmento AA’ è chiamato linea <strong>di</strong> condotta. L’arco <strong>di</strong> accesso è l’arco <strong>di</strong> circonferenza e1,<br />
misurabile sia sulla circonferenza primitiva della ruota condotta che su quella della ruota motrice,<br />
definito a partire dal fianco del dente a inizio ingranamento fino al punto <strong>di</strong> tangenza P tra le<br />
circonferenza primitive. L’arco <strong>di</strong> recesso è l’arco <strong>di</strong> circonferenza e2, misurato, su ciascuna<br />
circonferenza primitiva, dal punto <strong>di</strong> tangenza P tra le circonferenze primitive fino al fianco del dente a<br />
fine ingranamento.<br />
La somma dei due archi rappresenta l’arco <strong>di</strong> condotta e<br />
Evidentemente perché si abbia continuità d’ingranamento, ovvero al <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> denti in<br />
presa sia già iniziata la fase <strong>di</strong> ingranamento della coppia successiva, è necessario che l’arco <strong>di</strong> condotta<br />
sia maggiore del passo:<br />
e > p<br />
(6.5)<br />
79
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Definito il rapporto <strong>di</strong> condotta ε come il rapporto tra l’arco <strong>di</strong> condotta e il passo, la con<strong>di</strong>zione<br />
imposta dalla (6.5) può essere riscritta in modo del tutto equivalente:<br />
e<br />
ε ≡ > 1<br />
(6.6)<br />
p<br />
Come già accennato, per garantire una efficiente trasmissione del moto ε deve essere maggiore<br />
dell'unità perché ciò comporta che, prima che la coppia <strong>di</strong> denti a contatto si separi, una seconda sia già<br />
entrata nell'arco d'azione.<br />
Nel caso in cui 1< ε < 2 l'arco dei contatti risulta <strong>di</strong>viso in tre parti:<br />
· due parti <strong>di</strong> lunghezza pari a e − p collocate agli estremi dell'arco dei contatti in cui si ha contatto<br />
contemporaneamente tra 2 coppie <strong>di</strong> denti<br />
· una parte centrale dell'arco dei contatti <strong>di</strong> lunghezza pari a 2 p − e in cui si ha il contatto <strong>di</strong> una sola<br />
coppia <strong>di</strong> denti.<br />
In genere si usano valori <strong>di</strong> ε maggiori <strong>di</strong> 1.2 e attualmente la tendenza è a salire sopra 2 in modo da<br />
avere sempre almeno 2 coppie <strong>di</strong> denti in contatto.<br />
Per le note proprietà dell’evolvente la (6.6) può essere espressa come rapporto tra i rispettivi archi<br />
misurati sulla circonferenza <strong>di</strong> base anziché sulla primitiva, si può scrivere pertanto:<br />
eb<br />
ε = (6.7)<br />
p<br />
b<br />
Sempre per la proprietà dell’evolvente è imme<strong>di</strong>ato riconoscere che e = AA'<br />
e p = p cosα<br />
, da cui:<br />
AA'<br />
ε =<br />
p cosα<br />
La lunghezza del segmento AA’ può essere ricavata, con riferimento alla figura <strong>di</strong> seguito riportata,<br />
con semplici considerazioni geometriche.<br />
AA' = A'T + AT ' − TT '<br />
da cui, in<strong>di</strong>cati con R, a R e R b , rispettivamente i raggi primitivi, <strong>di</strong> testa e <strong>di</strong> base si ha:<br />
2 2 2 2<br />
( a b2 ) ( a b ) ( )<br />
AA' = R ' − R ' + R + R − R +<br />
R '<br />
80<br />
b<br />
b
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Tenuto presente che<br />
⎧Ra<br />
= R + km<br />
⎨<br />
⎩Rb<br />
= Rcosα Si ottiene, dopo alcuni passaggi algebrici, la seguente relazione:<br />
2 2<br />
1<br />
⎛<br />
⎛ z '+ 2k ' ⎞ 2 ⎛ z + 2k<br />
⎞<br />
⎞<br />
2<br />
ε = ⎜ − z ' + − z − ( z + z ') tanα<br />
⎟<br />
2π ⎜<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ cosα ⎠ ⎝ cosα<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
E con riferimento al proporzionamento unificato in cui k ' = k = 1 si ha:<br />
1<br />
⎛<br />
ε = ⎜<br />
2π ⎜<br />
⎝<br />
2<br />
⎛ z '+ 2 ⎞ 2<br />
⎜ ⎟ − z ' +<br />
⎝ cosα ⎠<br />
2<br />
⎛ z + 2 ⎞<br />
⎞<br />
2<br />
⎜ ⎟ − z − ( z + z ') tanα<br />
⎟<br />
⎝ cosα<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎠<br />
Il valore <strong>di</strong> ε , considerando un proporzionamento normale, è in<strong>di</strong>pendente dal modulo, quin<strong>di</strong> può<br />
essere controllato preliminarmente ad inizio progetto.<br />
Pertanto in ogni ingranaggio, oltre a controllare che il numero denti del pignone sia superiore al numero<br />
<strong>di</strong> denti min f<br />
z definito dalla (6.1), occorre verificare che il valore <strong>di</strong> ε definito dalla (6.9), o più in<br />
generale dalla (6.8), sia tale da garantire la regolarità del moto, tenuto presente la frequenza <strong>di</strong> rotazione<br />
e il grado <strong>di</strong> finitura dei fianchi dei denti.<br />
81<br />
(6.8)<br />
(6.9)
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Dentature corrette<br />
Lo spessore del dente <strong>di</strong> una ruota a profili non spostati tagliata con un certo utensile è fissato in<br />
corrispondenza della circonferenza primitiva (<strong>di</strong> raggio R0) e vale sempre lo stesso s0 caratteristico della<br />
dentiera o del creatore. Come si nota dalla figura sottostante però, lo spessore alla base del dente<br />
<strong>di</strong>pende, con una legge <strong>di</strong> proporzionalità inversa, dal numero <strong>di</strong> denti.<br />
Il pignone è quin<strong>di</strong> l’elemento più “debole” dell’ingranaggio, in esso infatti le forze scambiate si<br />
<strong>di</strong>stribuiscono su una sezione resistente minore.<br />
In molti casi <strong>di</strong>mensionare in sicurezza la ruota piccola aumentando il modulo della trasmissione<br />
comporterebbe l'adozione <strong>di</strong> un pignone <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni inaccettabili o per questioni <strong>di</strong> ingombro o per<br />
questioni <strong>di</strong> costo. Molto più conveniente in tali situazioni è ricorrere a ruote a profili spostati ottenuti<br />
allontanando il pignone dalla dentiera utensile (spostamento s positivo) e avvicinando la ruota alla<br />
dentiera utensile (spostamento s negativo). In genere questi spostamenti vengono rapportati al modulo<br />
introducendo il coefficiente <strong>di</strong> spostamento x come <strong>di</strong> seguito definito:<br />
s<br />
x ≡ (6.10)<br />
m<br />
La correzione sul pignone, con spostamento positivo, mantiene l’altezza totale del dente, ma ne<br />
aumenta l’addendum. Per contro, la correzione sulla ruota, con spostamento negativo, mantiene<br />
l’altezza del dente ma ne <strong>di</strong>minuisce l’addendum.<br />
La correzione delle ruote induce una mo<strong>di</strong>fica sostanziale della resistenza meccanica delle due ruote<br />
ottenuta “allargando” i denti del pignone (<strong>di</strong>mensionati al limite) e “assottigliando” quelli della ruota<br />
(sovra<strong>di</strong>mensionati) senza agire sul modulo ossia sulle <strong>di</strong>mensioni della trasmissione.<br />
Per quanto riguarda la scelta dei valori numerici dei coefficienti x, si sottolinea che una soluzione molto<br />
usata consiste nello scegliere i coefficienti <strong>di</strong> spostamento x su ruota e pignone in modo tale che la loro<br />
somma algebrica sia nulla.<br />
In tale situazione l’interasse dell’ingranaggio corretto coincide con l’interasse nominale.<br />
82
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Secondo le norme AGMA i coefficienti <strong>di</strong> spostamento standard sono ± 0.25 e ± 0.5 che producono un<br />
aumento/<strong>di</strong>minuzione dell’addendum rispettivamente del 25% e del 50%.<br />
83
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Ruote dentate cilindriche a denti <strong>di</strong>ritti<br />
Proporzionamento (ve<strong>di</strong> dentiera <strong>di</strong> riferimento UNI 6587):<br />
Diam. primitivo: d = zm Diam. <strong>di</strong> testa: d = d + 2m<br />
Diam. <strong>di</strong> fondo:<br />
d = d − 2.5m<br />
f p<br />
Dati da in<strong>di</strong>care sui <strong>di</strong>segni<br />
Serie <strong>di</strong> moduli unificati<br />
0.5 1.375 2.5 3.75 6 10 18 32<br />
0.75 1.5 2.75 4 6.5 11 20 36<br />
1 1.75 3 4.5 7 12 22 40<br />
1.125 2 3.25 5 8 14 25 45<br />
1.25 2.25 3.5 5.5 9 16 28 50<br />
I moduli in grassetto sono da usare <strong>di</strong> preferenza; quelli in corsivo<br />
devono essere evitati per quanto possibile.<br />
84<br />
a
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Controlli<br />
I principali controlli che vengono effettuati sui denti delle ruote dentate cilindriche consistono nel<br />
verificare i valori della corda e dell’altezza sulla corda nonché lo scartamento W <strong>di</strong> Wildhaber come <strong>di</strong><br />
seguito riportatato.<br />
Misurazione della corda e dell’altezza sulla corda <strong>di</strong> una dentatura<br />
90 °<br />
zm zm<br />
ψ = s = zm ⋅ sin ψ f = ( 1− cos ψ ) ha = m + ( 1− cosψ<br />
)<br />
z<br />
2 2<br />
Es.: ruota <strong>di</strong> modulo 2 e 25 denti: ψ = 3.6 ° s = 3.1395 mm h = 2.0493 mm<br />
Misura <strong>di</strong> Wildhaber dello spessore del dente<br />
85<br />
a<br />
sb s<br />
pb = p ⋅ cos α = + 2 ⋅ evα<br />
d 2 d 2<br />
⎛ π ⎞<br />
sb = mcosα ⎜ + z ⋅ evα<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
b<br />
In<strong>di</strong>cato con k il numero <strong>di</strong> denti inseriti<br />
tra i piattelli, si ha:<br />
( ( ) )<br />
W = mcosα k − 0.5 π + z ⋅ evα<br />
Es.: ruota <strong>di</strong> modulo 2 e 25 denti (k = 4)<br />
W = 21.3652 mm<br />
Numero <strong>di</strong> denti k compresi nello scartamento W<br />
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
range 5-15 16-23 24-32 33-40 41-49 50-58 59-67 68-76 77-85 86-94 95-103
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Spinte prodotte sugli alberi da ingranaggi cilindrici a denti <strong>di</strong>ritti<br />
Calcolo del modulo minimo<br />
1. Calcolo a flessione (Lewis 1 )<br />
Il calcolo a flessione secondo Lewis (1892) considera il dente come una mensola incastrata<br />
sollecitata dalla forza N = Q / cosα<br />
applicata alla punta del dente. E’ un calcolo <strong>di</strong> larga<br />
massima, <strong>di</strong> cui riportiamo una giustificazione teorica e le in<strong>di</strong>cazioni finali <strong>di</strong> progetto.<br />
Dall’equazione <strong>di</strong> stabilità alla flessione, in<strong>di</strong>cato con W f modulo <strong>di</strong> resistenza flessionale della<br />
sezione maggiormente sollecitata, e con λ m la lunghezza del dente, si ha:<br />
1 W Lewis. 'Investigation of the Strength of Gear Teeth.' Proc. Engng Club, Phil, 1893<br />
86
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M fmax<br />
σ max =<br />
W f<br />
Q ⋅l<br />
=<br />
1 2 ( λm)<br />
t<br />
6<br />
(6.11)<br />
Sia l sia t sono quantità incognite che, tuttavia, possono essere ritenute proporzionali al modulo<br />
m della dentatura. Si può scrivere pertanto:<br />
l = k m t = k m<br />
(6.12)<br />
1 2<br />
Sostituendo la (6.12) nella (6.11) si ottiene:<br />
Q Q<br />
σ max = =<br />
(6.13)<br />
2<br />
2<br />
2 ⎛ k ⎞ λm<br />
Y<br />
2 λm<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6k1<br />
⎠<br />
dove Y è un fattore <strong>di</strong> forma tabellato in funzione del proporzionamento della ruota, dell’angolo<br />
<strong>di</strong> pressione e del numero <strong>di</strong> denti.<br />
Esprimendo quin<strong>di</strong> Q in funzione del momento torcente trasmesso e del raggio primitivo si<br />
ottiene:<br />
2M t σ max = 3<br />
zλm Y<br />
da cui la formula <strong>di</strong> progetto finale:<br />
2M t 2 M<br />
3 3<br />
t<br />
m ≥ = 3<br />
(6.14)<br />
zλY ⋅σ zY λ ⋅σ<br />
amm amm<br />
Il valore della ra<strong>di</strong>ce cubica contenente il fattore <strong>di</strong> forma Y può essere approssimato<br />
convenientemente come segue:<br />
m ≥<br />
M t<br />
0.22z −1.15 λ ⋅σ<br />
1<br />
3 3<br />
amm<br />
87<br />
(6.15)<br />
Si ricorda infine che la tensione ammissibile inserita nella (6.15) è una tensione statica e dovrà<br />
essere, come vedremo in seguito, convenientemente ridotta per tenere conto dei sovraccarichi<br />
<strong>di</strong>namici.<br />
Le in<strong>di</strong>cazioni finali <strong>di</strong> progetto del modulo secondo Lewis possono essere sintetizzate come <strong>di</strong><br />
seguito riportato.<br />
Sia:<br />
z numero <strong>di</strong> denti del pignone (a parità <strong>di</strong> materiale il pignone è l’elemento più<br />
sollecitato)<br />
Mt momento torcente sul pignone<br />
λ rapporto <strong>di</strong> fascia (8-20 rispettivamente per ruote grossolane e molto precise).<br />
Rapporto tra la lunghezza del dente e il modulo<br />
ψ fattore <strong>di</strong> riduzione <strong>di</strong>namica della tensione ammissibile<br />
σamm tensione ammissibile statica (ve<strong>di</strong> tabella) 1<br />
1 Per quanto riguarda il valore della tensione ammissibile, occorre tenere presente che non può trattarsi che <strong>di</strong><br />
valori <strong>di</strong> larga massima. Orientativamente si può <strong>di</strong>re che per velocità periferiche piccole e lavorazioni accurate si<br />
possono adottare valori uguali alla metà o anche più del carico <strong>di</strong> rottura del materiale; per costruzioni correnti si<br />
adottano valori alquanto minori pari a 1/3 ÷ 1/5 del carico <strong>di</strong> rottura. Nel caso degli ingranaggi, come per altro<br />
nel caso degli alberi e <strong>di</strong> molti altri organi meccanici, è estremamente <strong>di</strong>fficile, se non impossibile, stabilire dei<br />
criteri generali per l’adozione delle tensioni ammissibili: infatti tali criteri <strong>di</strong>pendono fortemente dal tipo <strong>di</strong><br />
applicazione considerata.<br />
Consideriamo ad esempio i campi delle costruzioni automobilistiche e delle <strong>macchine</strong> utensili: è evidente che il<br />
calcolo <strong>di</strong> organi meccanici pur simili <strong>di</strong>fferisce notevolmente nei due casi. Nelle costruzioni automobilistiche<br />
dove sono predominanti i requisiti <strong>di</strong> elasticità e leggerezza si dovranno prevedere acciai legati e l’adozione <strong>di</strong><br />
tensioni ammissibili prossime ai carichi <strong>di</strong> snervamento. Nell’ambito delle <strong>macchine</strong> utensili invece, dove<br />
predominano i requisiti rigidezza e sono per contro trascurabili le esigenze <strong>di</strong> alleggerimento, si potranno adottare<br />
materiali meno pregiati e <strong>di</strong> tensioni ammissibili convenientemente ridotte.
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Il modulo minimo deve sod<strong>di</strong>sfare la seguente <strong>di</strong>suguaglianza:<br />
1 M<br />
3 t<br />
A<br />
m ≥<br />
3 con ψ = A= ( 3-15m/s )<br />
0.22z −1.15<br />
ψλσ<br />
A + v<br />
amm<br />
88<br />
(6.16)<br />
Dove A è una costante che <strong>di</strong>pende sostanzialmente dal grado <strong>di</strong> finitura della ruota (3 m/s per<br />
ruote grossolane 15 m/s per ruote <strong>di</strong> ottima finitura) e v è la velocità periferica del pignone<br />
misurata in corrispondenza del <strong>di</strong>ametro primitivo. La <strong>di</strong>suguaglianza va risolta per tentativi. 1<br />
2. Calcolo a pressione<br />
Il calcolo a pressione trova la sua giustificazione nel fatto che ben <strong>di</strong>fficilmente la messa fuori<br />
servizio <strong>di</strong> un ingranaggio avviene per la rottura dei denti dovuta a flessione e/o a taglio, bensì<br />
per le alterazioni del profilo indotte dall’usura. Tali alterazioni, proporzionali alla pressione tra<br />
le superficie a contatto, possono raggiungere livelli tali da compromettere il regolare<br />
funzionamento dell’ingranaggio.<br />
Per evitare pertanto i danni indotti dall’usura, si dovrà limitare la tensione <strong>di</strong> contatto nonché<br />
garantire una adeguata lubrificazione e finitura superficiale dei fianchi dei denti.<br />
La determinazione della pressione <strong>di</strong> contatto può essere condotta applicando i risultati della<br />
teoria <strong>di</strong> Hertz. In accordo con tale teoria, nel caso <strong>di</strong> due cilindri <strong>di</strong> lunghezza l e <strong>di</strong>ametri d1 e<br />
d2, l’area <strong>di</strong> contatto è un rettangolo <strong>di</strong> ampiezza 2b e lunghezza l , e la tensione massima <strong>di</strong><br />
contatto vale:<br />
2 2<br />
( 1− ν ) + ( 1−ν<br />
)<br />
2F 2F<br />
E E<br />
pmax = b =<br />
πbl πl<br />
1 d + 1 d<br />
1 1 2 2<br />
1 2<br />
(6.17)<br />
dove con ν ed E si sono in<strong>di</strong>cati rispettivamente il modulo <strong>di</strong> Poisson e il modulo <strong>di</strong> elasticità<br />
normale dei materiali a contatto<br />
Facendo ora riferimento al punto <strong>di</strong> contatto tra le due primitive <strong>di</strong> un ingranaggio, si pone:<br />
l = λm<br />
Q 2M<br />
t<br />
F = =<br />
cosα d cosα<br />
da cui sostituendo nella (6.17) si ottiene:<br />
2 2M t 1 rb1 + 1 rb<br />
2<br />
pmax<br />
=<br />
2 2<br />
d cosα ⋅πλm ⎡( 1 ν1 ) E ⎤ ⎡<br />
⎣<br />
− 1⎦ +<br />
⎣( 1−ν<br />
2 ) E ⎤ 2 ⎦<br />
(6.18)<br />
1 Sottolineiamo infine che, anche se il metodo <strong>di</strong> Lewis trascura gli effetti della forza <strong>di</strong> compressione R, esso<br />
tende a sovrastimare il modulo. Le ipotesi semplificative <strong>di</strong> Lewis implicano, tra l’altro, che i denti non si<br />
ripartiscono il carico e che la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> maggiore sollecitazione si verifica all’estremità del segmento dei<br />
contatti. Di fatto, poiché il rapporto <strong>di</strong> condotta è sempre maggiore <strong>di</strong> uno, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> carico corrispondente<br />
all’estremità del segmento dei contatti non è la peggiore, in quanto, in questa con<strong>di</strong>zione, un’altra coppia <strong>di</strong> denti<br />
sarà sicuramente in presa.
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in cui c1<br />
r e c2<br />
r i raggi <strong>di</strong> curvatura dei profili dei denti, rispettivamente <strong>di</strong> pignone e ruota, in<br />
corrispondenza del punto <strong>di</strong> contatto tra le primitive.<br />
Esprimendo tali raggi <strong>di</strong> curvatura in funzione dei raggi primitivi e dell’angolo <strong>di</strong><br />
pressione,dopo alcuni passaggi, si ottiene:<br />
2 2M ⎛ 1 1 ⎞<br />
t<br />
1<br />
pmax<br />
= 3 ⎜ + ⎟<br />
2 z1 ⋅ λm ⎝ z1 z2 ⎠ π cosα sinα ⎡<br />
⎣( 1− ν1 )<br />
2<br />
2<br />
E ⎤ ⎡ 1⎦ +<br />
⎣( 1−ν<br />
2 ) E ⎤ 2 ⎦<br />
1<br />
posto K =<br />
2 π cosα sinα ⎡<br />
⎣( 1− ν1 )<br />
2<br />
2<br />
E ⎤ ⎡ 1⎦ +<br />
⎣( 1−ν<br />
2 )<br />
si ha:<br />
E ⎤ 2 ⎦<br />
2 2M ⎛ 1 1 ⎞<br />
t pmax = K<br />
3 ⎜ + ⎟<br />
z1 ⋅ λm<br />
⎝ z1 z2<br />
⎠<br />
(6.19)<br />
dove K <strong>di</strong>pende dai moduli <strong>di</strong> Poisson e <strong>di</strong> elasticità dei materiali, nonché dall’angolo <strong>di</strong><br />
pressione dell’ingranaggio.<br />
Il valore massimo della pressione ammissibile può essere espresso in funzione della durezza<br />
superficiale dei fianchi dei denti e della vita dell’ingranaggio intesa come numero <strong>di</strong> cicli <strong>di</strong><br />
carico. In<strong>di</strong>cati con n la frequenza <strong>di</strong> rotazione, con h il numero <strong>di</strong> ore <strong>di</strong> funzionamento e con<br />
HB la durezza Brinell, si giustifica pertanto la seguente relazione:<br />
25⋅<br />
HB<br />
pamm<br />
=<br />
6<br />
nh<br />
(6.20)<br />
sostituendo la (6.20) nella (6.19) e risolvendo rispetto al modulo si ottiene:<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
K M t1<br />
1 1 9<br />
m ≥ 0.149 3<br />
2 ⎜ + ⎟ n ⋅ h<br />
HB λ z1 z1 z2<br />
⋅ ⋅ ⎝ ⎠<br />
89<br />
(6.21)<br />
Le in<strong>di</strong>cazioni finali <strong>di</strong> progetto del modulo secondo il calcolo <strong>di</strong> resistenza a pressione possono<br />
essere sintetizzate come <strong>di</strong> seguito riportato.<br />
Il modulo minimo deve sod<strong>di</strong>sfare la seguente <strong>di</strong>suguaglianza:<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
K M t1<br />
1 1 9<br />
m ≥ 0.149 3<br />
2 ⎜ ± ⎟ nh<br />
HB λz1<br />
z1 z2<br />
⎝ ⎠<br />
⎧473<br />
acciaio/acciaio<br />
⎪<br />
K = ⎨385 ghisa/acciaio<br />
⎪⎩ 335 ghisa/ghisa<br />
(6.22)<br />
dove, n la frequenza <strong>di</strong> rotazione in rpm, HB è la durezza Brinell del materiale ed h le ore <strong>di</strong><br />
funzionamento previste ( il segno + vale per ruote esterne; il segno – per ruote interne)<br />
Di seguito riportiamo i valori delle tensioni ammissibili e delle durezze corrispondenti ad alcuni<br />
materiali nonché le ore <strong>di</strong> funzionamento tipiche <strong>di</strong> alcune applicazioni.
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Ore <strong>di</strong> funzionamento (valori orientativi)<br />
Macchine a funzionamento continuo 24h/24 (turbine, pompe…) 40000-50000<br />
Macchine a funzionamento 8h/24 20000-30000<br />
Macchine a funzionamento intermittente (ascensori…) 5000-15000<br />
Funzionamento limitato (autoveicoli, gru d’officina…) 500-1500<br />
Funzionamento molto poco frequente 50-100<br />
Valori orientativi del carico <strong>di</strong> rottura a trazione R, della tensione<br />
ammissibile σamm e della durezza HB per il calcolo degli ingranaggi<br />
Materiale R, MPa σamm , MPa HB<br />
Ghisa G200 180 40 170<br />
Ghisa G250 260 55 210<br />
Fe G 520 520 90 150<br />
Fe 570 600 100 175<br />
Fe 490 490 110 150<br />
Fe 590 590 125 180<br />
Fe 690 690 140 210<br />
C 45 700 135 185<br />
C60 800 150 210<br />
Acc. legato da bonifica 750-1500 180-200 260-400<br />
Acc. al C da cementazione 500 125 640<br />
Acc. legato da cementazione 800-1400 180-200 650<br />
Bronzo 320 120 115<br />
90
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Esempio 6.1<br />
Eseguire il <strong>di</strong>mensionamento <strong>di</strong> un ingranaggio cilindrico a denti <strong>di</strong>ritti con le seguenti caratteristiche:<br />
• Potenza nominale sull’albero del pignone N = 240 kW<br />
• Frequenza <strong>di</strong> rotazione del pignone n = 1000 rpm<br />
• Rapporto <strong>di</strong> ingranaggio u = 2<br />
• Durata richiesta h = 5000 ore<br />
• Materiale pignone/ruota 16CrNi4 cementato e temprato<br />
N.B.: si considerino solo i moduli preferenziali<br />
Assunzioni per il calcolo secondo Lewis (6.16)<br />
• Numero <strong>di</strong> denti del pignone z 1 = 27<br />
• Tensione ammissibile σ amm = 200 MPa<br />
• Fattore A A = 12 m/s<br />
• Rapporto <strong>di</strong> fascia λ λ = 20<br />
Assunzioni per il calcolo a pressione (6.21)<br />
• Durezza del fianco del dente HB = 650<br />
• Parametro K (acciaio/acciaio) K = 473<br />
Risultati<br />
Progetto a flessione secondo Lewis<br />
Dati inseriti Risultati<br />
Potenza, kW 240 Modulo minimo, mm 6<br />
Numero <strong>di</strong> giri, rpm 1000 Diametro primitivo, mm 162<br />
Rapporto <strong>di</strong> fascia b/m 20 Diametro <strong>di</strong> testa, mm 174<br />
Costante A 12 Diametro <strong>di</strong> piede, mm 147<br />
Tens. Amm., MPa 200 Forza tangenziale T, N 28249<br />
Numero <strong>di</strong> denti 27 Forza ra<strong>di</strong>ale R, N 10298<br />
Angolo dell’elica, ° 0 Forza assiale A, N 0<br />
Verifica a pressione<br />
Dati inseriti<br />
Potenza, kW 240 Numero denti pignone 27<br />
Numero <strong>di</strong> giri, rpm 1000 Numero denti ruota 55<br />
Rapporto <strong>di</strong> fascia b/m 20 Durezza HB 650<br />
Fattore <strong>di</strong> amplificazione 1 Durata, h 5000<br />
Tipo <strong>di</strong> accoppiamento acc/acc Ruote esterne SI<br />
Risultato Modulo minimo, mm 5<br />
N.B.: il numero <strong>di</strong> denti della ruota coniugata stato posto pari a 55 per assicurare un consumo uniforme<br />
dei denti.<br />
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Esempio 6.2<br />
Un pignone cilindrico a denti <strong>di</strong>ritti, <strong>di</strong> modulo 4 mm, con 27 denti trasmette una potenza <strong>di</strong> 100<br />
kW alla frequenza <strong>di</strong> 500 rpm ed è montato su <strong>di</strong> un albero secondo lo schema sotto riportato.<br />
Determinare, in prima approssimazione, le reazioni sui sopporti.<br />
Il <strong>di</strong>ametro primitivo del pignone vale:<br />
d = zm = 108 mm<br />
Il momento torcente trasmesso vale:<br />
N 100⋅1000 ⋅ 60<br />
M t = = ≅ 1910 Nm<br />
ω 2π ⋅500<br />
Le forze Q ed R valgono:<br />
2M<br />
t Q = ≅ 35368 N R = Q tanα = 12873 N<br />
d<br />
Da cui è imme<strong>di</strong>ato ricavare:<br />
Q ≅ 19453 N Q ≅ 15915 N<br />
1 2<br />
R ≅ 7080 N R ≅<br />
5793 N<br />
1 2<br />
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Esempio <strong>di</strong> un riduttore a ruote cilindriche a denti <strong>di</strong>ritti<br />
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Le ruote dentate cilindriche a denti elicoidali<br />
Una ruota dentata cilindrica a denti <strong>di</strong>ritti può pensarsi come il risultato <strong>di</strong> una traslazione assiale del<br />
profilo della ruota. Se questa traslazione assiale viene accompagnata da un moto continuo <strong>di</strong> rotazione<br />
si ha una ruota dentata cilindrica a denti elicoidali. L’angolo dell’elica è lo stesso per le due ruote<br />
formanti l’ingranaggio, ma una delle due deve avere un’elica sinistrorsa e l’altra destrorsa.<br />
Mentre il contatto iniziale tra i denti delle ruote cilindriche a denti <strong>di</strong>ritti è un segmento che si estende<br />
per tutta la lunghezza del dente, nelle ruote dentate cilindriche a denti elicoidali tale contatto iniziale è<br />
un punto che <strong>di</strong>venta un segmento man mano che i denti entrano gradualmente in presa. Ed è appunto<br />
questo ingranamento graduale che dei denti che conferisce alle ruote elicoidali la capacità <strong>di</strong> trasmettere<br />
sforzi elevati ad alte velocità e, soprattutto, con silenziosità elevata.<br />
Come vedremo successivamente, le ruote elicoidali sottopongono i cuscinetti dell’albero a carichi<br />
ra<strong>di</strong>ali e assiali e quando questi ultimi <strong>di</strong>ventano troppo elevati può essere consigliabile adottare ruote<br />
bielicoidali 1 . Queste dentature provocano reazioni assiali uguali e contrarie scaricando assialmente i<br />
cuscinetti.<br />
Nel caso <strong>di</strong> profili ad evolvente, il fianco del dente <strong>di</strong> una ruota dentata cilindrica elicoidale è una<br />
porzione <strong>di</strong> una superficie che può chiamarsi elicoide ad evolvente immaginata generata<br />
dall’avvolgimento <strong>di</strong> un pezzo <strong>di</strong> carta tagliato ad un estremo secondo un angolo β b rispetto all’asse<br />
del cilindro <strong>di</strong> avvolgimento.<br />
Intersecando l’elicoide con i cilindri primitivo e <strong>di</strong> base si ottengono eliche <strong>di</strong> inclinazione<br />
rispettivamente β e β b legate fra loro dalla seguente relazione:<br />
1 Queste ruote furono introdotte da Andrè Citroën fondatore dell’omonima casa automobilistica francese il cui<br />
logo rappresenta appunto la stilizzazione <strong>di</strong> una ruota bielicoidale.<br />
95
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tan βb<br />
tan β = (6.23)<br />
cosα<br />
Parametri frontali e normali<br />
In una ruota dentata cilindrica a denti elicoidali possono essere considerati due profili:<br />
a. profilo frontale: è il profilo che si vede osservando una faccia della ruota, profilo che è lo stesso<br />
che si ottiene sezionando la ruota trasversalmente con un piano perpen<strong>di</strong>colare al proprio asse<br />
(sez. B-B);<br />
b. profilo normale: è il profilo che si ottiene sezionando la ruota con un piano normale all’elica<br />
<strong>di</strong>rettrice della dentatura (sez. A-A)<br />
Le relazioni intercorrenti tra i parametri dei profili frontali e normali, possono essere facilmente<br />
determinate facendo riferimento alla dentiera coniugata. Si ha quin<strong>di</strong> 1 :<br />
p = p cos β m = m cos β tanα = tanα cos β<br />
(6.24)<br />
Proporzionamento<br />
n n t n<br />
Poiché il taglio delle ruote dentate elicoidali avviene generalmente me<strong>di</strong>ante utensili aventi un<br />
proporzionamento normale nella sezione normale, il modulo normale (il modulo dell’utensile<br />
generatore) dovrà essere scelto all’interno della serie <strong>di</strong> moduli unificati, mentre il modulo trasversale si<br />
ottiene dal modulo normale in funzione dell’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica secondo quanto in<strong>di</strong>cato<br />
dalla seconda delle (6.24).<br />
Il <strong>di</strong>ametro primitivo d , tenuta presente la definizione <strong>di</strong> passo, si determina dalla prima delle (6.24)<br />
mn<br />
d = z ⋅ mt = z<br />
cos β<br />
L’addendum e il dedendum, sempre con riferimento ad un proporzionamento normale (UNI 6587),<br />
valgono:<br />
h = 1 ⋅ m h = 1.25⋅<br />
m<br />
a n f n<br />
Pertanto i <strong>di</strong>ametri <strong>di</strong> testa e <strong>di</strong> fondo valgono:<br />
d = z ⋅ m + 2 ⋅ m d = z ⋅ m + 2.5⋅<br />
m<br />
a t f t n<br />
1 Si osserva che parlare <strong>di</strong> angolo <strong>di</strong> pressione in una sezione normale al dente ha strettamente senso solo per la<br />
dentiera, non per la ruota. Il dente della ruota infatti, in tale sezione, non è intersecato secondo una evolvente.<br />
96
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L’interasse <strong>di</strong> un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali, in<strong>di</strong>cati con z 1 e z 2 rispettivamente il<br />
numero <strong>di</strong> denti <strong>di</strong> pignone e ruota, vale:<br />
z1 + z2<br />
mn<br />
a = (6.25)<br />
2 cos β<br />
La (6.25) è importante perché mostra come, variando opportunamente l’angolo <strong>di</strong> inclinazione<br />
dell’elica, sia possibile rispettare un interasse prefissato.<br />
Esempio 6.3<br />
Determinare l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica <strong>di</strong> un ingranaggio cilindrico, <strong>di</strong> modulo normale<br />
5 mm, avente interasse pari a 111.322 mm e numero <strong>di</strong> denti <strong>di</strong> rocchetto e ruota pari<br />
rispettivamente a 20 e 23.<br />
Dalla (6.25) si ricava imme<strong>di</strong>atamente:<br />
− 1 ⎛ z1 + z2 ⎞<br />
β = cos ⎜ mn<br />
= 15.057 °<br />
2a<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
97
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Dati da in<strong>di</strong>care sui <strong>di</strong>segni<br />
98
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Numero <strong>di</strong> denti immaginario<br />
In precedenza si è definito il proporzionamento del dente, ma nulla si è detto circa la forma che il dente<br />
assume se sezionato con un piano perpen<strong>di</strong>colare all’elica primitiva 1 . Per dare una risposta a questo<br />
interrogativo immaginiamo <strong>di</strong> tagliare la ruota appunto secondo un piano perpen<strong>di</strong>colare alla <strong>di</strong>rezione<br />
dell’elica primitiva. Per effetto <strong>di</strong> una tale sezione si genera un’ellisse primitiva <strong>di</strong> semiassi a e b pari<br />
rispettivamente a:<br />
d d<br />
a = b =<br />
2cos β 2<br />
1 Per elica primitiva si intende l’elica giacente sul cilindro primitivo<br />
99
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Quest’ellisse può confondersi, per il piccolo tratto considerato nell’ingranamento, con la sua<br />
circonferenza osculatrice 1 avente raggio R* pari a:<br />
2<br />
a d<br />
R*<br />
= = (6.26)<br />
2<br />
b 2cos β<br />
Su <strong>di</strong> una tale circonferenza (immaginaria), considerata come primitiva, il modulo è quello normale e il<br />
numero <strong>di</strong> denti corrispondenti è pari a:<br />
z<br />
z*<br />
= (6.27)<br />
3<br />
cos β<br />
Ossia il dente <strong>di</strong> una ruota dentata cilindrica elicoidale se sezionato secondo un piano perpen<strong>di</strong>colare<br />
all’elica me<strong>di</strong>a ha una forma corrispondente al dente <strong>di</strong> una ruota dentata cilindrica a denti <strong>di</strong>ritti avente<br />
modulo pari al modulo normale e raggio primitivo e numero <strong>di</strong> denti pari rispettivamente a R* e z*.<br />
z*, appunto perché si riferisce ad una ruota inesistente (ideale), viene detto numero <strong>di</strong> denti<br />
immaginario ed in base ad esso si sceglie la fresa per il taglio della ruota e si calcola il fattore <strong>di</strong> forma<br />
utilizzato nel calcolo a flessione secondo Lewis.<br />
Numero minimo <strong>di</strong> denti intagliabili senza interferenza<br />
Sfruttando l’analogia tra la ruota dentata elicoidale e la ruota <strong>di</strong>ritta immaginaria è possibile, per<br />
determinare il numero minimo <strong>di</strong> denti intagliabili, far uso semplicemente delle (6.3) e (6.4), inserendo i<br />
3<br />
parametri della ruota immaginaria, salvo poi, giusta la (6.27), moltiplicare il risultato per cos β .<br />
Esempio 6.4<br />
Determinare il numero minimo <strong>di</strong> denti intagliabile senza interferenza <strong>di</strong> una ruota dentata<br />
elicoidale avente proporzionamento normale e angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica pari a 25°.<br />
Il numero minimo dei denti intagliabile sulla ruota immaginaria, dalla (6.4) posto k d = 1,<br />
vale:<br />
* 2<br />
* 3<br />
zmin i = = 17 → z 2<br />
min int = zmini cos β ≅ 13<br />
sin 20°<br />
Continuità dell’ingranamento<br />
Nelle ruote dentate elicoidali la continuità dell’ingranamento è quasi sempre garantita per effetto<br />
dell’entrata e del <strong>di</strong>stacco graduale dei denti in presa.<br />
Pertanto il controllo del rapporto <strong>di</strong> condotta ε è, il più delle volte, superfluo.<br />
1<br />
Il cerchio osculatore è il cerchio che meglio approssima la curva in un punto. Il raggio del cerchio osculatore<br />
corrisponde al raggio <strong>di</strong> curvatura nel punto considerato. Sia y = f ( x)<br />
l’espressione <strong>di</strong> una generica curva. Il<br />
raggio <strong>di</strong> curvatura ρ è pari a:<br />
ρ =<br />
2 ( 1+ y ' )<br />
y ''<br />
3/ 2<br />
Con riferimento ad un’ellisse <strong>di</strong> equazione<br />
y b x a<br />
2 2<br />
= 1−<br />
si ha che, nel punto <strong>di</strong> ascissa nulla, il raggio <strong>di</strong><br />
2<br />
curvatura vale ρ = a b . Poiché nel nostro caso a = R / cos β e b = R è imme<strong>di</strong>ato ottenere la (6.26)<br />
100
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Taglio delle ruote tramite utensile creatore<br />
Il taglio si effettua <strong>di</strong>sponendo l’asse del creatore inclinato rispetto all’asse della ruota da intagliare <strong>di</strong><br />
un angolo γ tale che la tangente all’elica primitiva del creatore, nel punto in cui si toccano i cilindri<br />
primitivi della ruota e del creatore , coincida con la tangente all’elica primitiva del dente della ruota<br />
nello stesso punto.<br />
Con riferimento alla figura sopra riportata si ha pertanto:<br />
γ = δ ± βC<br />
dove il segno + è da considerarsi quando le eliche <strong>di</strong> creatore e dentatura sono concor<strong>di</strong> (entrambe<br />
destrorse o entrambe sinistrorse), il segno – nel caso contrario.<br />
Spinte prodotte dagli ingranaggi cilindrici a denti elicoidali<br />
101
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Esempio 6.5<br />
Calcolare le spinte prodotte da una ruota dentata elicoidale che trasmette una potenza <strong>di</strong> 20 kW<br />
alla frequenza <strong>di</strong> 250 rpm.<br />
Caratteristiche della ruota:<br />
modulo normale m n<br />
5 mm<br />
numero <strong>di</strong> denti z 27<br />
angolo <strong>di</strong> pressione normale α n<br />
20°<br />
angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica β 25°<br />
20 ⋅1000 ⋅60<br />
M t = ≅ 764 Nm<br />
2π ⋅ 250<br />
mn<br />
d = z = 148.96 mm<br />
cos β<br />
2M<br />
t Q = ≅ 10258 N<br />
d<br />
A = Q ⋅ tan β ≅ 4783 N<br />
Q 10258<br />
R = tanα n = tan 20° ≅ 4120 N<br />
cos β cos 25°<br />
102
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Calcolo del modulo minimo<br />
1. Calcolo a flessione secondo Lewis<br />
Il calcolo a flessione secondo Lewis, quando applicato alle ruote dentate cilindriche elicoidali,<br />
porta sostanzialmente agli stessi risultati ottenuti nel caso delle ruote cilindriche a denti <strong>di</strong>ritti.<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che, nel caso delle ruote elicoidali, in<strong>di</strong>cato con λ il rapporto tra la lunghezza<br />
assiale della ruota e il modulo normale, la lunghezza del dente vale:<br />
λmn<br />
l =<br />
cos β<br />
Facendo riferimento ad una sezione normale, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> carico risulta schematizzabile<br />
come <strong>di</strong> seguito riportato<br />
Dall’equazione <strong>di</strong> stabilità alla flessione, in<strong>di</strong>cato con W f il modulo <strong>di</strong> resistenza flessionale<br />
della sezione maggiormente sollecitata si ha:<br />
σ<br />
max<br />
M f max F ⋅ h ⋅ cos β<br />
= = (6.28)<br />
W 1<br />
f<br />
2 ( λmn<br />
) t<br />
6<br />
Sia h, sia t sono quantità incognite che, tuttavia, possono essere ritenute proporzionali al<br />
modulo normale della dentatura. Si può scrivere pertanto:<br />
h = k m t = k m<br />
(6.29)<br />
1 n 2 n<br />
Sostituendo la (6.29) nella (6.28) si ottiene:<br />
F ⋅ cos β F ⋅ cos β<br />
σ max = =<br />
2<br />
2<br />
2 ⎛ k ⎞ λm<br />
2<br />
nY<br />
λmn<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6k1<br />
⎠<br />
103<br />
(6.30)<br />
Dove Y è un fattore <strong>di</strong> forma tabellato in funzione del proporzionamento della ruota, dell’angolo<br />
<strong>di</strong> pressione α n e del numero <strong>di</strong> denti z * della ruota immaginaria<br />
Esprimendo F in funzione del momento torcente trasmesso e del raggio primitivo si ottiene:<br />
σ<br />
2M ⋅cos<br />
β 2M<br />
= =<br />
m Y z ⋅ m z ⋅ m ⋅Y<br />
t t<br />
max 3<br />
λ n ( ) λ n<br />
(6.31)
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Da cui la formula <strong>di</strong> progetto finale:<br />
m<br />
n<br />
2M t 2 M<br />
3 3<br />
t<br />
≥ = 3<br />
zλY ⋅σ zY λ ⋅σ<br />
amm amm<br />
104<br />
(6.32)<br />
Il valore della ra<strong>di</strong>ce cubica contenente il fattore <strong>di</strong> forma Y può essere approssimato<br />
convenientemente come segue:<br />
m<br />
n<br />
≥<br />
3<br />
1<br />
z<br />
0.22z −1.15<br />
z *<br />
3<br />
M t<br />
λσ<br />
amm<br />
(6.33)<br />
Al solito poi la tensione ammissibile statica σ amm dovrà essere convenientemente ridotta<br />
tramite un coefficiente <strong>di</strong> riduzione ψ funzione della finitura della ruota e della frequenza <strong>di</strong><br />
rotazione.<br />
1 M t<br />
m<br />
3<br />
n ≥<br />
(6.34)<br />
3<br />
z<br />
0.22z −1.15<br />
ψλσ amm<br />
z *<br />
Quin<strong>di</strong>, in base alla (6.34), il calcolo del modulo minimo del dente <strong>di</strong> un ruota cilindrica<br />
elicoidale può essere condotto con le stesse formule introdotte per il calcolo del dente <strong>di</strong> una<br />
ruota cilindrica a denti <strong>di</strong>ritti con le seguenti precisazioni 1 :<br />
i. il fattore <strong>di</strong> forma deve essere espresso in funzione del numero <strong>di</strong> denti<br />
immaginario della ruota;<br />
ii. il rapporto <strong>di</strong> fascia λ deve esprimere il rapporto tra la larghezza assiale della<br />
ruota e il modulo normale.<br />
Ricor<strong>di</strong>amo infine che il modulo normale ricavato dalla (6.34) dovrà essere arrotondato al<br />
valore unificato, mentre il modulo frontale dovrà calcolarsi con la seconda delle (6.24) in base<br />
all’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a.<br />
2. Calcolo a pressione<br />
Con le medesime considerazione svolte in precedenza, anche nel calcolo a pressione dei denti<br />
<strong>di</strong> un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali possono usarsi le stesse formule utilizzate per il<br />
calcolo dei denti <strong>di</strong> un ingranaggio cilindrico a denti <strong>di</strong>ritti, con l’unica avvertenza, questa<br />
volta, <strong>di</strong> sostituire i numeri <strong>di</strong> denti racchiusi entro parentesi nella (6.21) con i rispettivi numeri<br />
<strong>di</strong> denti virtuali definiti dalla (6.27). Si ha pertanto:<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
K M t1<br />
1 1 9<br />
m 0.149 3<br />
n ≥ 2 ⎜ ± ⎟ nh<br />
HB λz1<br />
z * 1 z * 2<br />
⎝ ⎠<br />
⎧473<br />
acciaio/acciaio<br />
⎪<br />
K = ⎨385 ghisa/acciaio<br />
⎪⎩ 335 ghisa/ghisa<br />
(6.35)<br />
dove, al solito, HB è la durezza Brinell del materiale, h sono le ore <strong>di</strong> funzionamento previste, n<br />
la frequenza <strong>di</strong> rotazione in rpm. (il segno + vale per ruote esterne, il segno – per quelle<br />
interne).<br />
1<br />
Queste precisazioni hanno un valore formale più che sostanziale. Tenuto presente che or<strong>di</strong>nariamente cos β ≅ 1,<br />
le mo<strong>di</strong>ficazioni indotte dalla (6.34) rispetto alla (6.16) sono minime se non del tutto trascurabili.
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Esempio 6.6<br />
Eseguire il <strong>di</strong>mensionamento <strong>di</strong> un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali con le seguenti<br />
caratteristiche:<br />
• Potenza nominale sull’albero del pignone N = 240 kW<br />
• Frequenza <strong>di</strong> rotazione del pignone n = 1000 rpm<br />
• Rapporto <strong>di</strong> ingranaggio u = 1.3<br />
• Angolo dell’elica β = 20°<br />
• Durata richiesta h = 5000 ore<br />
• Materiale pignone/ruota 16CrNi4 cementato e temprato<br />
Assunzioni per il calcolo secondo Lewis (6.34)<br />
• Numero <strong>di</strong> denti del pignone z 1 = 27<br />
• Tensione ammissibile σ amm = 200 MPa<br />
• Fattore A A = 12 m/s<br />
• Rapporto <strong>di</strong> fascia λ λ = 22<br />
Assunzioni per il calcolo a pressione (6.35)<br />
• Durezza del fianco del dente HB = 650<br />
• Parametro K (acciaio/acciaio) K = 473<br />
Risultati<br />
Progetto a flessione secondo Lewis<br />
Dati inseriti Risultati<br />
Potenza, kW 240 Modulo minimo, mm 6<br />
Numero <strong>di</strong> giri, rpm 1000 Diametro primitivo, mm 172.397<br />
Rapporto <strong>di</strong> fascia b/m 22 Diametro <strong>di</strong> testa, mm 184.397<br />
Costante A 12 Diametro <strong>di</strong> piede, mm 157.397<br />
Tens. ammissibile, MPa 200 Forza tangenziale T, N 26588<br />
Numero <strong>di</strong> denti 27 Forza ra<strong>di</strong>ale R, N 10298<br />
Angolo dell’elica, ° 20 Forza assiale A, N 9677<br />
Verifica a pressione<br />
Dati inseriti<br />
Potenza, kW 240 Numero denti pignone 27<br />
Numero <strong>di</strong> giri, rpm 1000 Numero denti ruota 35<br />
Rapporto <strong>di</strong> fascia b/m 22 Durezza HB 650<br />
Fattore <strong>di</strong> amplificazione 1 Durata, h 5000<br />
Tipo <strong>di</strong> accoppiamento acc/acc Ruote esterne SI<br />
Risultato Modulo minimo, mm 4<br />
105
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Riduttore ad assi ortogonali costituito da un ingranaggio conico a denti <strong>di</strong>titti e due ingranaggi clindrici<br />
a denti elicoidali<br />
106
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107
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Ruote dentate cilindriche elicoidali per trasmissione fra assi sghembi<br />
Gli ingranaggi cilindrici sghembi, a causa della limitata zona <strong>di</strong> contatto dei denti coniugati,<br />
(teoricamente puntiforme), possono trasmettere solamente potenze modeste. Il forte strisciamento,<br />
conseguente alla <strong>di</strong>versa velocità periferica dei denti a contatto, induce un rapido consumo locale e<br />
<strong>di</strong>minuisce notevolmente il ren<strong>di</strong>mento. Come vedremo, per assi sghembi ortogonali e angoli dell’elica<br />
comprese tra 20 e 70° il ren<strong>di</strong>mento della coppia varia dal 70 all’80%.<br />
Per descrivere la trasmissione del moto tra due ruote elicoidali ad assi sghembi conviene considerare<br />
dapprima la ruota elicoidali 1 che ruota attorno al proprio asse e ingrana con la dentiera D1 ad essa<br />
coniugata.<br />
Analogamente si consideri la ruota dentata elicoidale 2 che ruota attorno al proprio asse, sghembo<br />
rispetto all’asse della ruota 1, e ingrana con la propria dentiera D2.<br />
Se i versi <strong>di</strong> rotazione delle ruote sono quelli in<strong>di</strong>cati nella figura sopra riportata, le due dentiere<br />
coniugate traslano anch’esse nelle <strong>di</strong>rezioni in<strong>di</strong>cate in figura.<br />
Si noti che i piani primitivi delle due dentiere coniugate, pur essendo coincidenti, si muovono lungo<br />
<strong>di</strong>rezioni <strong>di</strong>verse.<br />
Con la schematizzazione proposta, risulta chiaro che si può immaginare la trasmissione del moto come<br />
una successione <strong>di</strong> tre sequenze:<br />
1. trasmissione del moto dalla ruota 1 alla dentiera coniugata D1;<br />
2. trasmissione del moto dalla dentiera D1 alla dentiera D2;<br />
3. trasmissione del moto dalla dentiera D2 alla ruota 2.<br />
108
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E’ allora evidente che per rendere possibile la trasmissione del moto tra le due dentiere (e quin<strong>di</strong> quella<br />
del moto tra i due assi sghembi) è necessario che i denti delle due dentiere siano fra loro paralleli.<br />
In altri termini, per consentire il corretto ingranamento, è necessario che le eliche delle due ruote siano<br />
tangenti nel piano tangente comune ai due cilindri primitivi 1 .<br />
Affinché possa essere rispettata tale con<strong>di</strong>zione deve valere la seguente relazione tra l’angolo ψ formato<br />
dagli assi delle ruote e gli angoli <strong>di</strong> inclinazione delle eliche me<strong>di</strong>e β1 e β2.<br />
ψ = β + β<br />
1 2<br />
ψ = β − β<br />
1 2<br />
eliche equiverse<br />
eliche <strong>di</strong> verso opposto<br />
109<br />
(6.36)<br />
Sempre con riferimento alle dentiere coniugate è imme<strong>di</strong>ato riconoscere che esiste una ulteriore<br />
con<strong>di</strong>zione per rendere possibile l’ingranamento, con<strong>di</strong>zione che si esprime osservando che il passo<br />
delle due ruote dentate, nella <strong>di</strong>rezione normale alla tangente comune alle due eliche, deve essere il<br />
medesimo.<br />
p = p ⇒ m = m = m<br />
(6.37)<br />
n1 n2 n1 n2 n<br />
L’interasse delle ruote vale:<br />
d1 + d2 z1 ⋅ m1 z2 ⋅ m2<br />
a = = +<br />
2 2 2<br />
e poiché<br />
(6.38)<br />
mn = m1 ⋅ cos β1 = m2<br />
⋅ cos β2<br />
(6.39)<br />
Sostituendo la (6.39) nella (6.38) si ottiene:<br />
m ⎛ n z1 z ⎞ 2<br />
a = ⎜ + ⎟<br />
2 ⎝ cos β1 cos β2<br />
⎠<br />
(6.40)<br />
1 E’ necessario rilevare che nel caso <strong>di</strong> ruote elicoidali ad assi sghembi si intendono come cilindri primitivi quei<br />
cilindri che sono primitivi nell’ingranamento con le due dentiere coniugate. In realtà questi cilindri non<br />
rappresentano affatto le superficie primitive relative all’ingranamento tra le due ruote dentate da cui si sono<br />
originate le dentiere coniugate. Le due ruote infatti, nel punto <strong>di</strong> contatto dei cilindri primitivi prima definiti,<br />
hanno velocità <strong>di</strong>verse.
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Rapporto <strong>di</strong> trasmissione<br />
Siano z1 e z2 i numeri <strong>di</strong> denti rispettivamente della ruota motrice e della ruota condotta e si in<strong>di</strong>chi con<br />
C il punto <strong>di</strong> contatto dei due cilindri primitivi giacente sulla retta <strong>di</strong> minima <strong>di</strong>stanza tra gli assi.<br />
Le velocità periferiche del punto C pensato appartenente una volta alla ruota motrice e una volta alla<br />
condotta valgono:<br />
V = r ⋅ω V = ω ⋅ r<br />
(6.41)<br />
1 1 1 2 2 2<br />
Poiché le eliche sono tangenti in C, le componenti delle velocità nella <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare alla<br />
tangente comune devono essere uguali. Si ottiene pertanto la seguente relazione:<br />
V ⋅ cos β = V ⋅ cos β<br />
(6.42)<br />
1 1 2 2<br />
Sostituendo la (6.43) nella (6.41) e tenuta presente la definizione <strong>di</strong> rapporto <strong>di</strong> trasmissione si ha:<br />
ω1<br />
z2<br />
i = =<br />
ω z<br />
(6.44)<br />
2 1<br />
Esempio 6.7<br />
Determinare le caratteristiche geometriche principali <strong>di</strong> un ingranaggio cilindrico, a denti elicoidali<br />
(eliche equiverse) e ad assi sghembi, nell’ipotesi che:<br />
il rapporto <strong>di</strong> trasmissione i valga 2<br />
l’interasse a sia pari a 120 mm<br />
l’angolo ψ formato dagli assi valga 70°<br />
Si scelgono i numeri <strong>di</strong> denti <strong>di</strong> ruota e pignone in modo da sod<strong>di</strong>sfare la (6.44) (20,40;30,60;<br />
40,80; etc..)<br />
Si definiscono, con vari tentativi, i raggi primitivi delle ruote in modo da sod<strong>di</strong>sfare la (6.38) e la<br />
(6.36). Una soluzione potrebbe essere la seguente:<br />
z = 20 z = 40<br />
1 2<br />
r = 33.9 mm r = 99.1 mm<br />
1 2<br />
β = 53.845 ° β = 63.194°<br />
1 2<br />
110
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Spinte prodotte dagli ingranaggi cilindrici elicoidali ad assi sghembi<br />
Esprimendo le forze in funzione <strong>di</strong> Q2 si ha:<br />
n 1 1<br />
1 2<br />
cos n cos 2 f sin 2<br />
2<br />
cos 2<br />
( β1 −ϕ<br />
)<br />
( )<br />
cosα cos β + f sin β cos<br />
Q = Q ≅ Q<br />
α β − β β + ϕ<br />
sinα sinα<br />
R = R = Q ≅ Q<br />
α β − β β +<br />
ϕ<br />
n n<br />
1 2 2<br />
cos n cos 2 f sin 2<br />
2<br />
cos 2<br />
( )<br />
111
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n 1 1<br />
1 2<br />
cos n cos 2 f sin 2<br />
2<br />
cos 2<br />
n 2 2<br />
2 2<br />
cos n cos 2 f sin 2<br />
2<br />
cos 2<br />
( β1 −ϕ<br />
)<br />
( )<br />
( β2 + ϕ )<br />
( )<br />
cosα sin β − f cos β sin<br />
A = Q ≅ Q<br />
α β − β β −ϕ<br />
cosα sin β + f cos β sin<br />
A = Q ≅ Q<br />
α β − β β + ϕ<br />
Ren<strong>di</strong>mento<br />
Il ren<strong>di</strong>mento si calcola facilmente rapportando la potenza resistente alla potenza motrice.<br />
In<strong>di</strong>cate con ω1 e ω2 le velocità angolari delle ruote e con d1 e d2 i rispettivi <strong>di</strong>ametri primitivi, e<br />
nell’ipotesi che la ruota 1 sia motrice, si ha pertanto:<br />
Q2 ( d2<br />
2)<br />
⋅ω2<br />
η =<br />
Q d 2 ⋅ω<br />
( )<br />
1 1 1<br />
Tenuta presente poi la (6.44) si ottiene 1 :<br />
cos β cos 1 ( β2 + ϕ ) 1− f tan β2<br />
η = =<br />
cos β cos β − ϕ 1+ f tan β<br />
( )<br />
2 1 1<br />
( )<br />
( )<br />
112<br />
( ( ) )<br />
1<br />
η = → = 0 → 1+ f tan β1 = 1− f tan ψ − β<br />
2 1 2<br />
1+ f tan β1 dβ1<br />
sin ( ψ − β1 )<br />
sin β1<br />
(6.45)<br />
Annullando la derivata prima della (6.45) rispetto a β1, tenuto conto che ψ = β1 + β2<br />
, si trova che, a<br />
parità <strong>di</strong> ψ, il massimo del ren<strong>di</strong>mento si ha per:<br />
ψ ϕ ψ ϕ ψ<br />
β1 − β2 = ϕ; β1 = + ; β2 = − ⇒ β1 ≅ β2<br />
≅<br />
2 2 2 2 2<br />
Infatti posto β2 = ψ − β1<br />
e sostituendo nella (6.45) si ha:<br />
1− f tan ψ − β dη f f<br />
2 f 2<br />
cos β1 + sin 2β1 = cos ψ − β1 2<br />
f<br />
− sin 2 ψ − β1 2<br />
2<br />
→ cos ψ − β1 2 f<br />
− cos β1 =<br />
2<br />
sin 2 ψ − β1 + sin 2β1<br />
2sinψ sin 2β − ψ = 2 f sinψ cos 2β −ψ → tan 2β − ψ = f = tanϕ<br />
( ) ( ) ( ) ( ( ) )<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 1 1<br />
ψ + ϕ ψ −ϕ<br />
2 β1 − ψ = ϕ → β1 − β2 = ϕ → β1 = β2<br />
=<br />
2 2<br />
Esempio 6.8<br />
Un ingranaggio è costituito da due ruote dentate cilindriche elicoidali montate con assi sghembi.<br />
Sapendo che le eliche delle ruote sono equiverse e pari rispettivamente a 32 e 45°, determinare il<br />
ren<strong>di</strong>mento dell’ingranaggio nell’ipotesi che il grado <strong>di</strong> finitura delle ruote e il tipo <strong>di</strong><br />
lubrificazione siano tali da ritenere adottabile un coefficiente d’attrito, tra le superficie dei denti a<br />
contatto, pari a 0.2.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento η della coppia, considerando come motrice la ruota con angolo <strong>di</strong> inclinazione<br />
dell’elica pari a 32°, vale:<br />
1− f tan β2<br />
1− 0.2⋅ tan 45<br />
η = = ≅ 0.71<br />
1+ f tan β 1+ 0.2 ⋅ tan32<br />
1<br />
Il ren<strong>di</strong>mento η della coppia, considerando come motrice la ruota con angolo <strong>di</strong> inclinazione<br />
dell’elica pari a45°, vale:<br />
1− f tan β2<br />
1− 0.2 ⋅ tan32<br />
η = = ≅ 0.73<br />
1+ f tan β 1+ 0.2 ⋅ tan 45<br />
1<br />
1 1− f tan β1<br />
Nel caso invece in cui fosse motrice la ruota 2 si otterrebbe: η =<br />
1− f tan β<br />
2
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Ruote coniche a denti <strong>di</strong>ritti<br />
Le ruote dentate coniche a denti <strong>di</strong>ritti sono ruote in cui le troncature interne ed esterne e le primitive<br />
non appartengono più a delle superficie cilindriche, bensì a delle superficie coniche aventi asse e vertice<br />
in comune. I <strong>di</strong>ametri delle ruote variano da punto a punto e le sezioni dei denti decrescono<br />
avvicinandosi al vertice. Il <strong>di</strong>ametro primitivo, per convenzione, si assume pari al massimo <strong>di</strong>ametro del<br />
cono primitivo. Allo stesso modo il modulo e il passo della dentatura si assumono pari ai loro valori<br />
massimi.<br />
Determinazione dell’angolo <strong>di</strong> apertura dei coni primitivi<br />
Assegnato l’angolo Σ compreso tra gli assi a e b ed il rapporto <strong>di</strong> ingranaggio u, i coni primitivi<br />
risultano<br />
113
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definiti dai valori δ 1 e δ 2 dei rispettivi angoli <strong>di</strong> apertura che si deducono dalle seguenti relazioni:<br />
z2 R2<br />
sinδ<br />
2 ω1<br />
u = = = =<br />
z R sinδ<br />
ω<br />
Ω =<br />
2 2<br />
ω1 + ω2 + 2ω1ω 2 cosΣ<br />
1 1 1 2<br />
ω1 ω2<br />
Ω<br />
= =<br />
sinδ sinδ sin π<br />
2 1<br />
( − Σ )<br />
sin Σ u ⋅sin Σ<br />
sin δ1 = sin δ2<br />
=<br />
2 2<br />
1+ u + 2u cosΣ 1+ u + 2u cosΣ<br />
I profili coniugati e l’approssimazione <strong>di</strong> Tredgold<br />
114<br />
(6.46)<br />
Il moto <strong>di</strong> un ingranaggio conico, come abbiamo visto in precedenza, può essere stu<strong>di</strong>ato facendo<br />
riferimento al mutuo rotolamento dei coni primitivi corrispondenti.<br />
Durante tale moto l’unico punto fisso è il vertice V dei due coni: il moto <strong>di</strong> ciascun punto dei due coni è<br />
pertanto un moto sferico <strong>di</strong> centro V e su tale sfera vanno riferiti i profili dei denti delle ruote.<br />
Consideriamo una sfera <strong>di</strong> centro V e due coni <strong>di</strong> base B1 e B2 non tangenti e avente vertice comune in<br />
V. Le circonferenze c b1<br />
e c b2<br />
siano le intersezioni <strong>di</strong> tali coni con la superficie della sfera.<br />
Consideriamo ora un piano π tangente ad ambedue i coni, passante per V e avente come intersezione<br />
con la sfera il cerchio massimo K.<br />
Immaginiamo ora <strong>di</strong> far ruotare K intorno ad un asse passante per V e perpen<strong>di</strong>colare a π e che le<br />
c siano trascinate in rotazione per attrito e senza scorrimenti relativi.<br />
circonferenze c b1<br />
e b2
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Le velocità <strong>di</strong> rotazione dei due coni ω 1 e ω 2 sono in rapporto costante infatti, in<strong>di</strong>cate con δ e ψ le<br />
aperture dei coni primitivi e <strong>di</strong> base e con Ω la velocità angolare <strong>di</strong> K, per l’ipotesi <strong>di</strong> non strisciamento<br />
si ha:<br />
Ω = ω sinψ = ω sinψ<br />
(6.47)<br />
1 1 2 2<br />
In<strong>di</strong>cate con δ le aperture dei coni primitivi a contatto, imponendo la medesima velocità dei punti<br />
appartenenti alle generatrici comuni, si ha:<br />
ω sinδ = ω sinδ<br />
(6.48)<br />
1 1 2 2<br />
Gli assi dei coni tagliano la sfera nei punti O1 e O2 . Tracciata sulla sfera la congiungente O1O2 , si<br />
in<strong>di</strong>vidua il punto C come intersezione con la circonferenza K. Il punto C è il centro <strong>di</strong> istantanea<br />
rotazione sulla sfera.<br />
L’angolo <strong>di</strong> pressione α è l’angolo compreso tra la tangente n all’arco A1A2 in C e la tangente comune<br />
t’ alle due circonferenze primitive c1 e c2 perpen<strong>di</strong>colare al piano O1VO2: le due rette n e t’ in<strong>di</strong>viduano<br />
il piano tangente alla sfera nel punto C.<br />
Tra l’angolo <strong>di</strong> pressione α<br />
e le aperture dei coni primitivi e fondamentali, considerati i triangoli sferici<br />
rettangoli CA1O1 e CA2O2 e applicando il teorema dei seni, esistono le seguenti relazioni:<br />
sinψ1 sinψ<br />
2<br />
sin δ1 = sinδ<br />
2 = (6.49)<br />
cosα cosα<br />
I profili dei denti si ottengono, sulla sfera, come traiettorie <strong>di</strong> un punto appartenente alla circonferenza<br />
K rotolante su una delle circonferenze c b1<br />
o c b2<br />
: si ha in tal modo un’evolvente che giace sulla sfera e<br />
che perciò viene detta evolvente sferica. Pertanto facendo rotolare K prima su una e poi sull’altra<br />
circonferenza <strong>di</strong> base si ottengono due superficie coniugate che formano i fianchi dei denti.<br />
E’ evidente che, per quanto detto sopra, lo stu<strong>di</strong>o del contatto tra i denti e delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
interferenza dovrebbe essere effettuato con riferimento ai profili dei denti giacenti sulla sfera <strong>di</strong> centro<br />
V. Tale approccio presenta notevoli <strong>di</strong>fficoltà derivanti soprattutto dalla non sviluppabilità della sfera in<br />
un piano.<br />
Si accetta pertanto la cosiddetta approssimazione <strong>di</strong> Tredgold 1 consistente nell’approssimare la sfera S,<br />
per la piccola zona corrispondente all’altezza del dente, con due coni complementari ai due coni<br />
primitivi.<br />
Sviluppando i coni complementari in un piano, come in<strong>di</strong>cato nella figura sotto rappresentata, ci si<br />
riduce alla considerazione <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> ruote piane (ruote fittizie o immaginarie) avente lo stesso<br />
modulo 2 dell’ingranaggio conico e raggi primitivi pari rispettivamente a:<br />
R R<br />
R * = R * = (6.50)<br />
1 2<br />
1<br />
cosδ1 2<br />
cosδ<br />
2<br />
Dalla definizione <strong>di</strong> modulo si ricava imme<strong>di</strong>atamente il numero <strong>di</strong> denti delle ruote immaginarie:<br />
z z<br />
z * = z * = (6.51)<br />
1 2<br />
1<br />
cosδ1 2<br />
cosδ<br />
2<br />
e un rapporto <strong>di</strong> ingranaggio fittizio:<br />
1 Thomas Tredgold (1788-1829), nacque a Brandon, presso Durham il 22 Agosto 1788, e all’età <strong>di</strong> 14 anni venne<br />
assunto come appren<strong>di</strong>sta carpentiere. Fu un auto<strong>di</strong>datta e fornì un notevole contributo allo stu<strong>di</strong>o della resistenza<br />
dei materiale e delle <strong>macchine</strong>. Morì a Londra il 28 gennaio del 1829. Tra i suoi trattati si ricordano: Elementary<br />
Principles of Carpentry (1820), Practical Treatise on the Strength of Cast Iron and other Metals (1824),<br />
Principles of Warming and Ventilating Public Buil<strong>di</strong>ngs (1824), Practical Treatise on Railroads and Carriages<br />
(1825) e The Steam Engine (1827).<br />
2 Nello sviluppo il passo, e conseguentemente anche il modulo, si conservano.<br />
115
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u*<br />
z<br />
z<br />
cosδ<br />
cosδ<br />
2 1 = (6.52)<br />
1 2<br />
Il numero minimo <strong>di</strong> denti e il rapporto <strong>di</strong> condotta<br />
Con riferimento all’approssimazione <strong>di</strong> Tredgold, tenute presente pertanto le (6.50)-(6.52), il numero <strong>di</strong><br />
denti minimo intagliabile senza interferenza e il rapporto <strong>di</strong> condotta possono determinarsi facendo uso<br />
ancora delle (6.1) e (6.9) applicate ovviamente alle ruote fittizie.<br />
In<strong>di</strong>cato al solito con k il rapporto tra l’addendum e il modulo e con τ * il reciproco del rapporto <strong>di</strong><br />
ingranaggio u * , si ha quin<strong>di</strong>:<br />
( )<br />
116<br />
( )<br />
( 2 + ) sin<br />
1+ 1+ 2 + sin<br />
* * 2<br />
*<br />
2kτ ⋅ cosδ<br />
τ τ α<br />
1<br />
min f ≥ = 2 ⋅ cosδ1<br />
* * 2<br />
* 2<br />
z k<br />
1+ τ 2 + τ sin α −1<br />
τ α<br />
⎛ *<br />
2<br />
*<br />
2<br />
1 ⎛<br />
⎞<br />
z1 + 2 ⎞ *2 ⎛ z2<br />
+ 2 ⎞ *2 * *<br />
ε = ⎜ − z1 + − z2 − ( z1 + z2<br />
) tanα<br />
⎟<br />
2π ⎜<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ cosα ⎠ ⎝ cosα<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
(6.53)<br />
(6.54)
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Proporzionamento delle ruote coniche<br />
Anche per le ruote coniche a denti <strong>di</strong>ritti il<br />
<strong>di</strong>mensionamento viene effettuato in base ad una<br />
dentiera <strong>di</strong> riferimento (UNI 6588) che <strong>di</strong>fferisce<br />
poco da quella utilizzate per le ruote cilindriche<br />
(UNI 6587)<br />
N.B.: la formula per la determinazione del semiangolo del cono primitivo fa implicitamente riferimento ad un<br />
ingranaggio conico ad assi perpen<strong>di</strong>colari.<br />
117
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Dati da in<strong>di</strong>care sui <strong>di</strong>segni<br />
118
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Spinte prodotte dagli ingranaggi conici a denti <strong>di</strong>ritti<br />
Le spinte prodotte da ruote coniche a denti <strong>di</strong>ritti si possono calcolare, in prima approssimazione,<br />
facendo riferimento alla sezione me<strong>di</strong>a della ruota e alla corrispondente ruota immaginaria <strong>di</strong> Tredgold.<br />
Esempio 6.8<br />
Una ruota conica a denti <strong>di</strong>ritti <strong>di</strong> modulo 5 mm e 42 denti, con semiangolo del cono primitivo<br />
pari a 40°, trasmette una potenza <strong>di</strong> 8 kW alla frequenza <strong>di</strong> 500 rmp. Determinare gli sforzi<br />
sul dente in presa.<br />
Il <strong>di</strong>ametro primitivo della ruota vale<br />
d = z ⋅ m = 210 mm<br />
In<strong>di</strong>cato con ξ il rapporto tra la lunghezza del dente b e la lunghezza della generatrice del<br />
cono primitivo, il <strong>di</strong>ametro primitivo me<strong>di</strong>o può essere espresso come segue:<br />
d = d 1 − ξ / 2<br />
m<br />
( )<br />
Da cui, posto in prima approssimazione ξ ≅ 0.3 , si ha:<br />
dm ≅ 178.5 mm<br />
Il momento torcente trasmesso vale:<br />
1000 ⋅1000 ⋅8 ⋅ 60<br />
M t = ≅153<br />
Nm<br />
2π ⋅500<br />
La forza tangenziale Q, ra<strong>di</strong>ale R ed assiale A, con riferimento ad un angolo <strong>di</strong> pressione α pari<br />
a 20°, valgono quin<strong>di</strong>:<br />
2M<br />
t Q = ≅ 1712 N<br />
d<br />
m<br />
R = Q tanα ⋅ cosδ = 1712 ⋅ tan 20°⋅ cos40° ≅ 477 N<br />
A = Q tanα ⋅sin δ ≅<br />
400 N<br />
119
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Calcolo del modulo minimo<br />
La resistenza sia a flessione secondo Lewis, sia alla pressione degli ingranaggi conici può valutarsi con<br />
le stesse formule usate per gli ingranaggi cilindrici a denti <strong>di</strong>ritti, purché si faccia ora riferimento al<br />
raggio me<strong>di</strong>o e al modulo me<strong>di</strong>o dell’ingranaggio conico e si considerino, in luogo dei numeri <strong>di</strong> denti<br />
effettivi, i numeri <strong>di</strong> denti immaginari. Dal modulo minimo me<strong>di</strong>o così ricavato si dovrà<br />
successivamente determinare il modulo unificato della ruota, ossia il modulo valutato in corrispondenza<br />
del <strong>di</strong>ametro primitivo (<strong>di</strong>ametro primitivo massimo).<br />
Posta la lunghezza b del dente pari a:<br />
d p<br />
b ≅ ξ<br />
2sin δ<br />
Il modulo si ricava, in funzione del modulo me<strong>di</strong>o, con la seguente relazione:<br />
mm<br />
m ≅ (6.55)<br />
1− ξ 2<br />
In prima approssimazione può porsi ξ ≅ 0.3 da cui:<br />
mm<br />
m ≅<br />
0.85<br />
Ricor<strong>di</strong>amo infine che, nel caso delle ruote coniche il rapporto <strong>di</strong> fascia λ inserito nella (6.15) e nella<br />
*<br />
(6.21) dovrà essere sostituito dal rapporto λ tra la larghezza del dente b e il modulo me<strong>di</strong>o, rapporto<br />
che si determina noti il numero <strong>di</strong> denti e il rapporto ξ tra la lunghezza del dente b e la lunghezza R<br />
della generatrice del cono primitivo.<br />
* b ξ z<br />
λ = =<br />
(6.56)<br />
m 2sin δ ⋅ 1− ξ 2<br />
m<br />
( )<br />
Esempio 6.9<br />
Si determini il modulo minimo <strong>di</strong> un pignone conico a denti <strong>di</strong>ritti avente le seguenti caratteristiche:<br />
• Potenza nominale sull’albero del pignone N = 25 kW<br />
• Frequenza <strong>di</strong> rotazione del pignone n = 750 rpm<br />
• Rapporto <strong>di</strong> ingranaggio u = 35/ 27<br />
• Angolo <strong>di</strong> semiapertura del cono primitivo 1 δ = 36.647°<br />
• Durata richiesta h = 10000 ore<br />
• Materiale pignone/ruota 16CrNi4 cementato e temprato<br />
Assunzioni per il calcolo secondo Lewis (6.34)<br />
• Numero <strong>di</strong> denti del pignone z 1 = 27<br />
• Tensione ammissibile σ amm = 250 MPa<br />
• Fattore A A = 12 m/s<br />
• Rapporto <strong>di</strong> fascia b / R = 0.3<br />
Assunzioni per il calcolo a pressione (6.35)<br />
• Ore <strong>di</strong> funzionamento h = 10000<br />
• Durezza del fianco del dente HB = 400<br />
• Parametro K (acciaio/acciaio) K = 473<br />
• Angolo Σ tra gli assi delle ruote Σ = 90°<br />
• Numero <strong>di</strong> denti della ruota z 2 = 35<br />
1 In realtà questo angolo, una volta noti il rapporto <strong>di</strong> ingranaggio e l’angolo Σ tra gli assi delle ruote risulta, in<br />
base alla (6.46), univocamente determinato<br />
120
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Risultati<br />
Progetto a flessione secondo Lewis<br />
Dati inseriti Risultati<br />
Potenza, kW 25 Modulo minimo m 5<br />
Numero <strong>di</strong> giri, rpm 750 Numero <strong>di</strong> denti z 27<br />
Rapporto b/R 0.3 Dentiera <strong>di</strong> riferimento UNI6588<br />
Costante A 12 Angolo <strong>di</strong> pressione α 20<br />
Tensione ammissibile, MPa 250 Addendum ha 5<br />
Numero <strong>di</strong> denti 27 Dedendum hf 6<br />
Semiangolo cono primitivo, ° 36.647 Diametro primitivo d 135<br />
Diametro <strong>di</strong> testa de 142.66<br />
Diametro <strong>di</strong> fondo df 125.498<br />
Lunghezza generatrice R 110.512<br />
Semiangolo cono primitivo δ 36.647<br />
Semiangolo cono esterno δa 40.237<br />
Semiangolo cono interno δf 34.539<br />
Angolo <strong>di</strong> addendum θa 2.590<br />
Angolo <strong>di</strong> dedendum θf 3.118<br />
Lunghezza del dente b 33.153<br />
Num. <strong>di</strong> denti immaginario z* 34.1<br />
Raggio immaginario R* 85.25<br />
121<br />
Forze sul dente<br />
Forza tangenziale Q 5548<br />
Forza ra<strong>di</strong>ale R 1620<br />
Forza assiale A 1205<br />
Forze espresse in newton<br />
Lunghezze espresse in mm<br />
Angoli espressi in gra<strong>di</strong><br />
Verifica a pressione<br />
Dati inseriti<br />
Potenza, kW 25 Numero denti pignone 27<br />
Numero <strong>di</strong> giri, rpm 750 Numero denti ruota 35<br />
Rapporto <strong>di</strong> fascia b/R 0.3 Durezza HB 400<br />
Fattore <strong>di</strong> amplificazione 1 Durata, h 10000<br />
Tipo <strong>di</strong> accoppiamento acc/acc Angolo Σ fra gli assi delle ruote 90<br />
Risultato Modulo minimo, mm 5
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Di seguito esplicitiamo i calcoli principali:<br />
Geometria<br />
Modulo m = 5<br />
Diametro primitivo d = zm = 27 ⋅ 5 = 135 mm<br />
Generatrice R<br />
d<br />
R = = 105.01 mm<br />
2sin δ<br />
Addendum h = 1⋅ m = 5 mm<br />
Dedendum h = 1.2 ⋅ m = 6 mm<br />
Diametro <strong>di</strong> testa d d ( h δ )<br />
a<br />
f<br />
= + 2 ⋅ cos = 142.918 mm<br />
a a<br />
Diametro <strong>di</strong> piede d f d ( hf δ )<br />
= − 2 cos = 125.498 mm<br />
−1<br />
Semiangolo cono esterno δ δ ( h R)<br />
= + tan = 40.237<br />
a a<br />
−1<br />
Semiangolo cono interno δ f δ ( hf R)<br />
= − tan = 34.539<br />
1<br />
Angolo <strong>di</strong> addendum ( h R)<br />
θ<br />
−<br />
= tan = 2.590<br />
a a<br />
1<br />
Angolo <strong>di</strong> dedendum f ( hf R)<br />
θ<br />
−<br />
= tan = 3.118<br />
Lunghezza del dente b ≅ 0.3R = 33.153 mm<br />
*<br />
R = d 2cosδ = 85.25 mm<br />
Raggio immaginario ( )<br />
Numero <strong>di</strong> denti immaginario<br />
*<br />
z z δ<br />
= / cos = 34.1<br />
Calcolo del modulo secondo Lewis<br />
Momento torcente<br />
25⋅1000 ⋅1000 ⋅ 60<br />
M t = N n = = 318310 Nmm<br />
2π ⋅ 750<br />
Modulo me<strong>di</strong>o<br />
m<br />
mm<br />
= = 4.25 mm<br />
1− b 2R<br />
Diametro primitivo me<strong>di</strong>o d = z ⋅ m = 114.75 mm<br />
Velocità periferica<br />
Fattore <strong>di</strong> riduzione<br />
Con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> verifica<br />
pm m<br />
2π<br />
n d pm<br />
v = = 4.5 m/s<br />
60 2000<br />
A 12<br />
ψ = = = 0.73<br />
A + v 12 + 4.5<br />
m<br />
3<br />
m<br />
≥<br />
122<br />
1<br />
M t<br />
0.22z −1.15<br />
z z ψλ σ<br />
( ) 3<br />
*<br />
3 *<br />
1 1<br />
= = 0.582<br />
0.22z −1.15<br />
z z<br />
M<br />
amm<br />
3<br />
* ( ) 0.22⋅ 27 −1.15(<br />
27 35.2)<br />
318310<br />
t<br />
3 = 3<br />
=<br />
*<br />
ψλ σ amm 0.73⋅ 7.41⋅ 250<br />
Verifica modulo me<strong>di</strong>o 4.25 m m = 4.25 ≥ 0.582 ⋅ 6.74 = 3.6 OK<br />
6.174<br />
Sottoponendo a verifica il modulo 4, a cui corrisponde un modulo me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> 3.4 mm, si vede che<br />
tale modulo non è verificato. Pertanto si deduce che il modulo 5 è proprio il modulo minimo<br />
con cui realizzare il pignone.
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Calcolo a pressione<br />
Numero <strong>di</strong> denti della ruota z 2 = 35<br />
Numero <strong>di</strong> ore <strong>di</strong> funzionamento h = 10000 ore<br />
Materiali della coppia acciaio/acciaio<br />
Durezza 400 HB<br />
Verifica a pressione 1<br />
⎛ ⎞<br />
mm ≥ ± nh =<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
K M t1<br />
1 1 9<br />
0.149 3<br />
4.002<br />
2 * ⎜ ⎟<br />
HB λ z1 z * 1 z * 2<br />
⎧473<br />
acciaio/acciaio<br />
⎪<br />
K = ⎨385 ghisa/acciaio<br />
⎪⎩ 335 ghisa/ghisa<br />
Il modulo me<strong>di</strong>o 4.25 a cui corrisponde un modulo 5 risulta verificato.<br />
Il taglio delle ruote coniche a denti <strong>di</strong>ritti<br />
Come per il taglio delle ruote dentate cilindriche si può fare riferimento ad una dentiera fittizia da cui<br />
derivare gli utensili, così nel taglio delle ruote dentate coniche ci si può riferire ad una fittizia ruota<br />
piano- conica, cioè ad una ruota conica con angolo del cono primitivo <strong>di</strong> 180°. In effetti, attualmente,<br />
gran parte delle ruote coniche vengono tagliate con utensili che, tramite la loro forma e il loro<br />
movimento, simulano l’ingranamento della ruota da tagliare con una ruota piano-conica.<br />
Se applichiamo alla ruota piano-conica il proce<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> Tredgold per il tracciamento dei denti, si<br />
vede che questi ultimi saranno analoghi ai denti <strong>di</strong> una dentiera ossia avranno i fianchi rettilinei.<br />
Quin<strong>di</strong>, utilizzando una ruota piano-conica con fianchi dei denti rettilinei possiamo realizzare un<br />
metodo, seppure approssimato (il metodo <strong>di</strong> Tredgold è pur sempre una approssimazione), per la<br />
realizzazione <strong>di</strong> ruote coniche a denti <strong>di</strong>ritti.<br />
Adesso ve<strong>di</strong>amo <strong>di</strong> analizzare dove sta l’approssimazione introdotta, in questo caso, dal metodo <strong>di</strong><br />
Tredgold e le sue conseguenze.<br />
A <strong>di</strong>fferenza da quanto avviene nella cremagliera, le superficie attive della ruota piano-conica non sono<br />
piane. Il profilo effettivo dei denti della ruota piano-conico presenta infatti un punto <strong>di</strong> flesso in<br />
corrispondenza della primitiva. Pertanto l’adozione <strong>di</strong> una ruota piano-conica con denti rettilinei indurrà<br />
un errore nella generazione del profilo<br />
1 Si tenga presente che per determinare il numero <strong>di</strong> denti immaginario della ruote occorre calcolare con la (6.46) i<br />
corrispondenti angoli <strong>di</strong> semiapertura dei coni primitivi.<br />
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In effetti le ruote dentate intagliate con meto<strong>di</strong> che si riferiscono a ruote piano-coniche con fianchi<br />
<strong>di</strong>ritti non risultano profilate secondo un’evolvente sferica.<br />
In particolare si vede che la linea d’azione non è un arco del cerchio massimo, ma una curva che<br />
presenta un flesso nel punto <strong>di</strong> tangenza dei cerchi primitivi. Considerando assieme le due linee<br />
d’azione possibili, esse formano una specie <strong>di</strong> otto, per cui alla linea d’azione delle ruote coniche così<br />
realizzate si dà il nome <strong>di</strong> ottoide e per estensione si dà lo stesso nome anche al profilo del dente<br />
corrispondente.<br />
Tuttavia le <strong>di</strong>fferenze tra un profilo corretto (evolvente sferica) e un profilo approssimato (ottoide) sono<br />
minime e, per numero <strong>di</strong> denti consueti, ben inferiori delle usuali tolleranze <strong>di</strong> lavorazione.<br />
Ne consegue che il taglio <strong>di</strong> ruote dentate coniche a denti <strong>di</strong>ritti con meto<strong>di</strong> simulanti l’ingranamento<br />
con una ruota piano-conica a fianchi <strong>di</strong>ritti permette <strong>di</strong> realizzare in modo semplice ed economico<br />
l’utensile (utensile con fianchi <strong>di</strong>ritti ottenuto con il metodo <strong>di</strong> Tredgold) introducendo degli errori<br />
rispetto al profilo teorico decisamente trascurabili.<br />
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Riduttore ad assi perpen<strong>di</strong>colari realizzato con un ingranaggio conico a denti <strong>di</strong>ritti<br />
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Ingranaggio a vite<br />
L’ingranaggio a vite viene usato quando vi è necessità <strong>di</strong> trasmettere il moto fra assi ortogonali e con un<br />
elevato rapporto <strong>di</strong> trasmissione. La vite è sempre l’elemento conduttore e la ruota è sempre l’elemento<br />
condotto (il meccanismo non è normalmente reversibile).<br />
L’ingranaggio a vite può essere realizzato in tre forme costruttive <strong>di</strong>verse:<br />
1. Ingranaggio senza gola. Sia la vite, sia la ruota hanno forma cilindrica. Questa soluzione, <strong>di</strong><br />
fabbricazione più economica, presenta l’inconveniente che il contatto tra i denti è limitato ad una<br />
zona molto ristretta (teoricamente un solo punto).<br />
2. Ingranaggio a gola semplice (il tipo più usato). La vite conserva la forma cilindrica mentre la<br />
periferia della ruota è concava in modo da abbracciare la vite stabilendo in questo modo una<br />
superficie <strong>di</strong> contatto più ampia.<br />
3. Ingranaggio a doppia gola (globoidale). Sia la vite, sia la ruota hanno forma concava ottenendo<br />
oltre che un aumento della zona <strong>di</strong> contatto, anche un aumento del numero <strong>di</strong> denti<br />
contemporaneamente in presa. Tuttavia sia perché la <strong>costruzione</strong> dell’ingranaggio risulta alquanto<br />
<strong>di</strong>fficoltosa, e sia perché si ha un maggiore attrito dovuto agli strisciamenti multipli, questa<br />
soluzione viene raramente usata.<br />
Senza gola Gola semplice Doppia gola<br />
127
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Rapporto <strong>di</strong> trasmissione<br />
La vite <strong>di</strong> cui si fa uso può essere a uno o più principi cosicché sarà bene <strong>di</strong>stinguere fra passo della<br />
vite pv e passo dell’elica pe. E in<strong>di</strong>cato con zv il numero <strong>di</strong> principi della vite si ha:<br />
p = z p<br />
(6.57)<br />
e v v<br />
Vite a un principio Vite a due principi<br />
La vite si comporta cinematicamente come una ruota avente un numero <strong>di</strong> denti uguali al numero<br />
<strong>di</strong> principi della vite, pertanto il rapporto <strong>di</strong> ingranaggio 1 u dell’ingranaggio a vite senza fine è<br />
uguale al rapporto tra il numero <strong>di</strong> denti della ruota z2 e il numero <strong>di</strong> principi della vite z1<br />
u = z z<br />
(6.58)<br />
2 1<br />
Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione ovvero il rapporto tra la velocità <strong>di</strong> rotazione della vite e della ruota si<br />
determina facilmente uguagliando le velocità del punto <strong>di</strong> contatto P vite ruota immaginandolo<br />
prima appartenente alla vite e successivamente appartenente alla ruota.<br />
1 Nell’ingranaggio a vite, dato che la vite stessa è sempre motrice, il rapporto <strong>di</strong> ingranaggio coincide con il<br />
rapporto <strong>di</strong> trasmissione.<br />
128
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Punto P appartenente alla vite<br />
La velocità del punto P può esprimersi come il rapporto tra il passo dell’elica pe e il tempo t<br />
impiegato a compiere una rotazione completa. In<strong>di</strong>cata con ω1 la velocità angolare della vite si<br />
ha:<br />
pe ω1 ⋅ pe z1 ⋅ pv<br />
⋅ω1<br />
vP1<br />
= = = (6.59)<br />
t 2π 2π<br />
Punto P appartenente alla ruota<br />
In<strong>di</strong>cati con z2, d2 e ω2 rispettivamente il numero <strong>di</strong> denti, il <strong>di</strong>ametro primitivo e la velocità<br />
angolare della ruota si ha:<br />
d2<br />
ω2<br />
⋅ z2 ⋅ pt<br />
vP2<br />
= ω2<br />
= (6.60)<br />
2 2π<br />
Uguagliando la (6.59) con la (6.60) tenuto presente che per il corretto ingranamento il passo della<br />
vite deve corrispondere al passo trasversale della ruota si ottiene l’espressione del rapporto <strong>di</strong><br />
trasmissione.<br />
ω1<br />
z2<br />
i = = (6.61)<br />
ω z<br />
2 1<br />
Esempio 6.10<br />
Una riduttore a vite è costituito da una vite a due principi e una ruota da 60 denti. Sapendo<br />
che la vite ruota a 1500 rpm trovare velocità <strong>di</strong> rotazione dell’albero solidale alla ruota.<br />
Dalla (6.58) si ha imme<strong>di</strong>atamente:<br />
nv ⋅ zv<br />
1500 ⋅ 2<br />
nr<br />
= = = 50 rpm<br />
z 60<br />
Proporzionamento<br />
r<br />
129<br />
segmento vite ruota<br />
1-2<br />
Passo<br />
trasversale<br />
Passo assiale<br />
2-3<br />
Passo<br />
normale<br />
Passo<br />
normale<br />
2-4<br />
Passo<br />
assiale<br />
Passo<br />
trasversale<br />
Dalla figura sopra riportata si vede imme<strong>di</strong>atamente che, per il corretto ingranamento devono<br />
verificarsi le seguenti con<strong>di</strong>zioni:<br />
1. Il passo trasversale della vite pt1 corrisponde al passo assiale della ruota p a2<br />
2. Il passo assiale della vite pa1 corrisponde al passo trasversale della ruota p t 2<br />
3. I passi normali <strong>di</strong> vite pn1 e ruota pn2 sono coincidenti
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Proporzionamento della vite<br />
In<strong>di</strong>cato con β l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica, con d il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vite<br />
(impropriamente detto <strong>di</strong>ametro primitivo) e con z 1 il numero <strong>di</strong> principi della vite, si hanno le<br />
seguenti relazioni:<br />
z1 ⋅ pa1<br />
ma1 = mn / cos β mt1 = mn<br />
/sin β tan β =<br />
π d<br />
(6.62)<br />
Noti il modulo normale, il numero <strong>di</strong> principi della vite e l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica i<br />
<strong>di</strong>ametri me<strong>di</strong>o, <strong>di</strong> testa e <strong>di</strong> fondo si calcolano con le seguenti relazioni 1 :<br />
z ⋅ p z ⋅ m<br />
d = = d = d + 2h = d + 2 m d = d − 2h = d − 2.5m<br />
π ⋅ tan β sin β<br />
1 a1 1 n<br />
1 a1 1 a n f 1 1 f 1<br />
n<br />
Proporzionamento della ruota<br />
130<br />
(6.63)<br />
Noto il modulo normale, l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica e il numero <strong>di</strong> denti z2 della ruota i<br />
<strong>di</strong>ametri primitivo, <strong>di</strong> testa e <strong>di</strong> fondo si calcolano nel modo consueto:<br />
m<br />
d = m ⋅ z = z d = d + 2h = d + 2 m d = d − 2h = d − 2.5m<br />
cos β<br />
n<br />
2 t 2 2 2 a2 2 a 2 n f 2 2 f 2<br />
n<br />
1 In effetti il proporzionamento modulare, come vedremo in seguito, <strong>di</strong>fferisce a secondo se l’angolo <strong>di</strong><br />
inclinazione β è maggiore o minore <strong>di</strong> 15°.<br />
(6.64)
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Determinazione delle forze agenti sull’ingranaggio a vite<br />
Q forza tangenziale sulla ruota, forza assiale sulla vite<br />
A forza assiale sulla ruota, forza tangenziale sulla vite<br />
R forza ra<strong>di</strong>ale sulla ruota e sulla vite<br />
Q = N cosα cos β − fN sin β<br />
R = N sinα<br />
n<br />
n<br />
A = N cosα sin β + fN cos β<br />
n<br />
Esprimendo R ed A in funzione <strong>di</strong> Q si ottiene:<br />
sinα<br />
n<br />
R = Q<br />
cosα cos β − f sin β<br />
cosα n tan β + f<br />
A = Q<br />
cosα − f tan β<br />
n<br />
n<br />
131<br />
(6.65)<br />
(6.66)<br />
(6.67)<br />
La forza Q si determina, al solito, una volta noto il <strong>di</strong>ametro primitivo della ruota e il momento<br />
torcente agente sul proprio asse:<br />
2M tr Q = (6.68)<br />
d<br />
2<br />
L’angolo <strong>di</strong> pressione α n varia al variare dell’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica secondo le<br />
in<strong>di</strong>cazioni fornite dalla tabella sotto riportata:<br />
β (°) 30<br />
αn (°) 20 22.5 25 30
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132
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Il ren<strong>di</strong>mento dell’ingranaggio a vite<br />
Il ren<strong>di</strong>mento si definisce, al solito, come il rapporto tra la potenza uscente misurata sull’albero<br />
della ruota e la potenza entrante misurata sull’albero della vite:<br />
NR<br />
η VR =<br />
NV<br />
Esprimendo ora le potenze come prodotto delle velocità <strong>di</strong> rotazione per i rispettivi momenti si<br />
ottiene:<br />
M RωR M R1<br />
z1<br />
ηVR<br />
= = (6.69)<br />
MVωV MV z2<br />
Il momento torcente trasmesso dalla ruota vale:<br />
d2 m ⋅ z2<br />
mn ⋅ z2<br />
M R = Q = Q = Q<br />
(6.70)<br />
2 2 2cos β<br />
Il momento torcente trasmesso dalla vite vale:<br />
d1<br />
z1mn z1mn cosα n tan β + f<br />
MV = A = A = Q<br />
2 sin β sin β cosα − f tan β<br />
−1<br />
Posto cosα n ≅ 1 e ϕ = tan f si ottiene:<br />
z1mn tan β + f z1mn tan β + tanϕ<br />
z1mn MV = Q = Q = Q tan ( β + ϕ)<br />
sin β 1− f tan β sin β 1− tan β tanϕ sin β<br />
Sostituendo le (6.70) e (6.71) nella (6.69) si ottiene infine:<br />
M R z1<br />
tan β<br />
ηVR<br />
= =<br />
M z tan β + ϕ<br />
V<br />
2<br />
( )<br />
n<br />
133<br />
(6.71)<br />
(6.72)<br />
Il ren<strong>di</strong>mento del gruppo ruota-vite, corrispondente alla con<strong>di</strong>zione in cui la ruota sia motrice e la<br />
vite condotta, si può <strong>di</strong>mostrare in modo del tutto analogo che vale 1 :<br />
tan ( β −ϕ<br />
)<br />
ηRV<br />
= (6.73)<br />
tan β<br />
Il calcolo del modulo della coppia<br />
Il calcolo del modulo della coppia si può condurre, tra l’altro, seguendo lo schema semplificato <strong>di</strong><br />
seguito proposto.<br />
Ci riferiremo, per semplicità, al solo caso in cui siano assegnate la potenza utile N2 sull’albero della<br />
ruota e le velocità angolari ω1 della vite e ω2 della ruota.<br />
1. Il numero <strong>di</strong> principi della vite si determina in base al rapporto <strong>di</strong> trasmissione secondo la<br />
tabella <strong>di</strong> seguito riportata.<br />
ω1 ω >30 15÷29 10÷14 6÷9<br />
2<br />
z 1 2 3 4<br />
1<br />
2. Il numero <strong>di</strong> denti della ruota si calcola dal rapporto <strong>di</strong> trasmissione, una volta noto il numero<br />
<strong>di</strong> principi della vite.<br />
ω1<br />
z2 = z1<br />
(è opportuno che z2 e z1 siano primi fra loro)<br />
ω<br />
2<br />
1 La (6.73) può essere ottenuta imme<strong>di</strong>atamente dalla (6.72) una volta che si sostituisca β con ( π/2 – β) ovvero<br />
con l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica della ruota.
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3. Il <strong>di</strong>ametro del nucleo della vite si calcola in base alla presumibile potenza N1 trasmessa dalla<br />
vite.<br />
La potenza N1 si ottiene <strong>di</strong>videndo N2 per il ren<strong>di</strong>mento della trasmissione che, in prima<br />
approssimazione, può essere stimato in funzione del numero <strong>di</strong> principi della vite secondo<br />
quanto proposto dalla tabella sotto riportata.<br />
z1 1 2 3 4<br />
η 0.6 0.7 0.78 0.8<br />
N2<br />
N1<br />
=<br />
η<br />
Il <strong>di</strong>ametro del nucleo, per acciai <strong>di</strong> qualità, può essere normalmente calcolato a torsione<br />
semplice facendo affidamento su <strong>di</strong> un carico ammissibile tra 12 e 25 MPa a secondo delle<br />
caratteristiche del materiale e soprattutto dalla <strong>di</strong>stanza tra i supporti.<br />
d<br />
n<br />
16MV<br />
N1<br />
= 3 ≅ 365 3<br />
πτ n ⋅τ<br />
amm 1 amm<br />
134<br />
(6.74)<br />
4. L’angolo <strong>di</strong> inclinazione β dell’elica me<strong>di</strong>a si ricava da formule empiriche.<br />
a. per vite <strong>di</strong> pezzo con l’albero<br />
z1<br />
tan β =<br />
4 z + 3<br />
(6.75)<br />
1<br />
b. per vite calettata sull’albero<br />
z1<br />
tan β =<br />
(6.76)<br />
10 + 0.2⋅<br />
z1<br />
5. Il <strong>di</strong>ametro primitivo d1 della vite si assume, in prima approssimazione pari a:<br />
a. per vite <strong>di</strong> pezzo con l’albero<br />
d1 ≅ 2.5 ⋅ dn<br />
b. per vite calettata sull’albero:<br />
d1 ≅ 3⋅ dn<br />
6. Si calcola ora la velocità <strong>di</strong> strisciamento vS che verrà utilizzata per determinare la tensione<br />
ammissibile.<br />
ω1<br />
⋅ d1<br />
vS<br />
= (6.77)<br />
2 ⋅ cos β<br />
7. Si calcola il fattore <strong>di</strong> servizio fS secondo quanto riportato in tabella.<br />
Tipo <strong>di</strong> azionamento<br />
Urti<br />
Limitati Sensibili Notevoli<br />
Motore elettrico 1.25 1.50 1.75<br />
Mot. C.I. a più cil. 1.50 1.75 2<br />
Mot. C.I. monocil. 1.75 2 2.25<br />
8. Si fissa il rapporto <strong>di</strong> fascia λ (rapporto tra la larghezza utile della ruota e il modulo)<br />
z1<br />
λ ≅ 2 1+ tan β<br />
(6.78)<br />
9. Si calcola il fattore <strong>di</strong> forma q2 in funzione del numero <strong>di</strong> denti della ruota secondo la seguente<br />
relazione:
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
q<br />
2<br />
24<br />
= 1.85 − (6.79)<br />
z<br />
2<br />
10. Il modulo della coppia si determina, tenendo presenti tre fenomeni:<br />
a. La resistenza statica a flessione del dente;<br />
b. La resistenza <strong>di</strong>namica a fatica della superficie <strong>di</strong> contatto dei denti;<br />
c. Il riscaldamento prodotto per attrito<br />
Di seguito proponiamo una semplice formula che, in prima battuta, può essere utilizzata per<br />
compen<strong>di</strong>are correttamente i tre fenomeni sopra descritti<br />
fS ⋅ Q ≤ pa1 ⋅ b ⋅σ amm ⋅ q2<br />
Dove:<br />
(6.80)<br />
fS è il fattore <strong>di</strong> sevizio determinato al punto 7<br />
Q è la forza tangenziale sulla ruota coincidente con la forza assiale sulla vite<br />
pa1 è il passo assiale della vite coincidente con il passo circonferenziale della ruota<br />
è il fattore <strong>di</strong> forma determinato al punto 9<br />
q2<br />
σamm è la tensione ammisibile da determinarsi, secondo la tabella sotto riportata, in base al<br />
materiale costituente la coppia e alla velocità <strong>di</strong> strisciamento determinata al punto 6.<br />
Materiali<br />
Funzionamento intermittente<br />
o raffreddamento artificiale<br />
A 7 + 0.8 ⋅ vS<br />
135<br />
Funzionamento<br />
continuo<br />
6.4 + 0.8 ⋅ v v < 2 m s<br />
S ( S )<br />
16 vS ( vS > 2 m s)<br />
B 3.5 + 0.5⋅ vS<br />
3 + 0.5 ⋅ vS ( vS < 3 m s)<br />
13.5/ vS ( vS > 3 m s)<br />
C 3 + 0.5 ⋅ vS ( vS < 3 m s)<br />
6 ( 1+ 0.5 ⋅ vS ) ( vS < 3 m s)<br />
+ ⋅ 4/ ( 1+ 0.5⋅ vS<br />
)<br />
E 6 + 0.8 ⋅ vS<br />
5.5 + 0.8 ⋅ vS ( vS < 2 m s)<br />
13.5/ v ( v > 2 m s)<br />
D 2 0.3 vS<br />
S S<br />
A vite in acciaio temprato e ruota in bronzo fosforoso<br />
B vite in acciaio bonificato e ruota in bronzo fosforoso<br />
C Vite in acciaio e ruota in ghisa<br />
D vite in ghisa e ruota in ghisa<br />
E Vite in acciaio e ruota in lega leggera<br />
La formula <strong>di</strong> progetto del modulo normale della coppia si ricava <strong>di</strong>rettamente, con semplici<br />
passaggi dalla (6.80).<br />
m<br />
n<br />
fs ⋅ N2<br />
≥182.5 ⋅cos<br />
β 3<br />
n ⋅ z ⋅ λ ⋅ q ⋅σ<br />
1 1 2<br />
amm<br />
(6.81)<br />
Dove N2 è la potenza <strong>di</strong>sponibile all’albero della ruota, espressa in kW, e n1 la velocità <strong>di</strong><br />
rotazione della vite espressa in rpm.<br />
Il modulo ottenuto deve essere arrotondato al modulo unificato superiore.<br />
11. Una volta determinato il modulo normale dalla (6.81), si procede al <strong>di</strong>mensionamento della vite<br />
e della ruota secondo quanto <strong>di</strong> seguito in<strong>di</strong>cato:
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a. Dimensionamento vite<br />
1. Il <strong>di</strong>ametro definitivo d1 viene scelto tra i seguenti valori unificati<br />
d = ⋅ m<br />
(6.82)<br />
( )<br />
1 6,8,10,14,20 n<br />
2. Si calcola il valore definitivo dell’angolo <strong>di</strong> inclinazione β<br />
mn ⋅ z1<br />
senβ<br />
= (6.83)<br />
d1<br />
3. Il proporziona mento modulare può <strong>di</strong>pendere dall’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica<br />
secondo quanto <strong>di</strong> seguito riportato.<br />
β < 15° β >15°<br />
Addendum m mn<br />
Dedendum 1.2m 1.2mn<br />
4. La lunghezza L della vite si pone pari a:<br />
( 2 )<br />
L = 2m 1+<br />
z<br />
(6.84)<br />
5. Il valore dell’angolo <strong>di</strong> pressione αn si sceglie tra quelli proposti dalla tabella<br />
seguente.<br />
β (°) < 15 15÷25 25÷35 >35<br />
αn (°) 20 22.5 25 30<br />
b. Dimensionamento ruota<br />
1. Il <strong>di</strong>ametro definitivo d2 risulta:<br />
d2 = m ⋅ z2<br />
2. Il proporzionamento modulare segue gli stessi criteri visti per la vite (addendum e<br />
dedendum in funzione dell’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a)<br />
3. La larghezza totale B della ruota si calcola in funzione della larghezza utile b:<br />
⎛ z ⎞<br />
1<br />
B = b + 2m = 2m⎜ 1+ + 1⎟<br />
(6.85)<br />
⎜ tan β ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
12. Calcolo <strong>di</strong> verifica. Una volta determinati gli elementi geometrici <strong>di</strong> vite e ruota, si procede a<br />
determinare con maggiore precisione il ren<strong>di</strong>mento della dentatura, la velocità <strong>di</strong> strisciamento,<br />
la tensione ammissibile e il rapporto <strong>di</strong> fascia.<br />
Si procede infine al calcolo <strong>di</strong> verifica ancora con la (6.81).<br />
Per quanto concerne il calcolo del ren<strong>di</strong>mento della coppia, espresso dalla (6.72), si tenga<br />
presente che il valore dell’angolo d’attrito φ, per buone con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> lubrificazione e per<br />
velocità <strong>di</strong> strisciamento inferiori a 1 m/s può porsi pari a:<br />
i. Vite in acciaio temprato e ruota in bronzo fosforoso<br />
0.22<br />
tanϕ = 0.018 +<br />
vS<br />
ii. Vite in acciaio bonificato e ruota in bronzo fosforoso<br />
0.04<br />
tanϕ = 0.045 +<br />
vS<br />
iii. Vite e ruota in ghisa<br />
tanϕ =<br />
0.10<br />
136
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Esempio 6.11<br />
Progettare un ingranaggio a vite azionato da un motore elettrico.<br />
Dati<br />
Potenza sull’albero della ruota N2 1.3 kW<br />
Frequenza <strong>di</strong> rotazione della vite n1 1450 rpm<br />
Rapporto <strong>di</strong> trasmissione i 36<br />
Materiale vite acciaio bonificato<br />
Materiale ruota bronzo fosforoso<br />
Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento urti limitati/funzionamento intermittente<br />
In base al rapporto <strong>di</strong> trasmissione si determina il numero <strong>di</strong> principi della vite. Con riferimento<br />
alla tabella <strong>di</strong> cui al punto 1 si stabilisce <strong>di</strong> a un principio, per cui il numero <strong>di</strong> denti della ruota<br />
risulta pari a z 2 = 36<br />
Si calcola la potenza sull’albero della vite fissando il ren<strong>di</strong>mento in accordo con la tabella <strong>di</strong> cui al<br />
punto 2.<br />
η ≅ 0.6<br />
Assunta per la vite una tensione ammissibile a torsione pari, in prima approssimazione, a 12 MPa,<br />
il <strong>di</strong>ametro del nucleo dalla (6.74) risulta pari a:<br />
1.3<br />
d 365 3<br />
n ≅ ≅18.2<br />
mm<br />
0.6 ⋅1450 ⋅12<br />
Nell’ipotesi <strong>di</strong> realizzare la vite <strong>di</strong> pezzo, l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica può assumersi in<br />
accordo con la (6.75) pari a:<br />
z1<br />
−1 ⎛ 1 ⎞<br />
tan β = → β = tan ⎜ ⎟ ≅ 8.13°<br />
4 z + 3<br />
⎝ 7 ⎠<br />
1<br />
Il <strong>di</strong>ametro primitivo della vite, in accordo con quanto definito al punto 5, si assume pari a:<br />
d1 = 2.5 ⋅ dn<br />
≅ 46 mm<br />
Si calcola la velocità <strong>di</strong> strisciamento con la (6.77):<br />
ω1<br />
⋅ d1<br />
vS<br />
= ≅ 3.53 m/s<br />
2 ⋅cos<br />
β<br />
In base al tipo <strong>di</strong> funzionamento (intermittente) e ai materiali costituenti la coppia, dalla tabella<br />
riportata al punto 10, si determina la tensione ammissibile per il calcolo del modulo:<br />
3.5 0.5 5.26 MPa<br />
v<br />
σ = + ⋅ ≅<br />
amm S<br />
Si determina il rapporto <strong>di</strong> fascia λ con la (6.78):<br />
z1<br />
λ = 2 1+ ≅ 5.65<br />
tan β<br />
Si calcola il fattore <strong>di</strong> forma q2 con la (6.79)<br />
24<br />
q2<br />
= 1.85 − ≅ 1.18<br />
z<br />
2<br />
Si adotta, in accordo con la tabella proposta al punto 7, un fattore <strong>di</strong> sevizio fS pari a 1.25.<br />
137
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Il modulo della coppia si determina con la (6.81)<br />
fs ⋅ N2<br />
1.25⋅1.3 m 182.5 cos 3<br />
185.5 cos( 8.13) 3<br />
n ≥ ⋅ β<br />
= ⋅ = 5.82 → 6<br />
n ⋅ z ⋅ λ ⋅ q ⋅σ 1450⋅1 ⋅5.65 ⋅1.18 ⋅5.26<br />
1 1 2<br />
amm<br />
Si passa ora al <strong>di</strong>mensionamento della vite e della ruota<br />
1. Dimensionamento della vite<br />
Diametro primitivo d1 = 8⋅ m = 48 mm<br />
Angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a<br />
mn ⋅ z1<br />
sin β = → β = 7.18° < 15°<br />
d1<br />
Diametro <strong>di</strong> testa<br />
6<br />
da1 = d1 + 2ha = 48 + 2 ⋅ = 60 mm<br />
cos 7.18<br />
( )<br />
Diametro <strong>di</strong> piede<br />
6<br />
d f 1 = d1 − 2hf = 48 − 2.4 = 33.5 mm<br />
cos 7.18<br />
Lunghezza della vite<br />
( 2 )<br />
L = 2m 1+ z = 84 mm<br />
n<br />
Angolo <strong>di</strong> pressione normale<br />
β < 15° ⇒ α = 20°<br />
n<br />
( )<br />
2. Dimensionamento della ruota<br />
Diametro primitivo d2 = m ⋅ z2<br />
= 217.7 mm<br />
Diametro <strong>di</strong> testa<br />
da 2 = d2 + 2ha = 229.8 mm<br />
Diametro <strong>di</strong> piede<br />
d f 2 = d2 − 2h f = 203.3 mm<br />
Larghezza della ruota<br />
⎛ z ⎞<br />
1<br />
B = 2m ⎜<br />
1+ + 1⎟ = 48 mm<br />
tan β ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Larghezza utile<br />
b = B − 2m = 36 mm<br />
Una volta definiti gli elementi geometrici della coppia possiamo procedere ad un calcolo <strong>di</strong> verifica.<br />
Velocità periferica della vite<br />
d1<br />
v = ω1<br />
= 3.64 m/s<br />
2<br />
Velocità <strong>di</strong> strisciamento<br />
v<br />
vS<br />
= = 3.67 m/s<br />
cos β<br />
La tensione ammissibile viene rideterminata in base alla nuova velocità <strong>di</strong> strisciamento<br />
3.5 0.5 5.33 MPa<br />
v<br />
σ = + ⋅ =<br />
amm S<br />
Angolo d’attrito<br />
0.04<br />
tanϕ = 0.045 + → ϕ ≅ 3.2°<br />
v<br />
S<br />
138
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Ren<strong>di</strong>mento della coppia (stimato precedenza, in prima approssimazione, pari a 0.6)<br />
tan β<br />
η = =0.69<br />
tan β + ϕ<br />
( )<br />
La verifica del modulo si conduce imponendo il rispetto della (6.80)<br />
La forza Q vale:<br />
N2<br />
2<br />
Q = ≅ 2825 N<br />
ω2<br />
d2<br />
Il passo assiale della vite vale:<br />
mn<br />
pa1 = π = 19 mm<br />
cos β<br />
Pertanto poiché<br />
fS ⋅ Q ≤ pa1 ⋅b ⋅σ amm ⋅ q2<br />
→1.3 ⋅ 2825 ≤ 19 ⋅36 ⋅5.33 ⋅1.18 ≅ 4302 N<br />
il modulo risulta verificato.<br />
Resta ancora da verificare il <strong>di</strong>ametro del nucleo della vite 1 .<br />
Con riferimento ad una sollecitazione <strong>di</strong> pura torsione, la tensione massima risulta pari a:<br />
3<br />
365 N2<br />
τ amm ≅ ≅ 10.5 MPa<br />
3<br />
dn η ⋅ n1<br />
Il <strong>di</strong>ametro della vite risulta verificato<br />
1 Questa verifica ovviamente ha senso solamente quando il ren<strong>di</strong>mento effettivo risulta inferiore a quello stimato<br />
nella fase precedente. Nel nostro esempio avendo stimato, in prima battuta, un ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> 0.6 a fronte <strong>di</strong> un<br />
ren<strong>di</strong>mento definitivo <strong>di</strong> 0.69 la verifica è del tutto superflua. Abbiamo esplicitato comunque i calcoli a titolo<br />
puramente esemplificativo.<br />
139
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Disegno complessivo <strong>di</strong> un riduttore a vite<br />
140
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Particolare della ruota<br />
141
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Particolare della vite<br />
142
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Cenni sulla <strong>costruzione</strong> della vite senza fine e della ruota<br />
Taglio della vite<br />
La vite senza fine ad evolvente può essere tagliata:<br />
1) al tornio<br />
2) me<strong>di</strong>ante coltello tipo Fellows<br />
3) me<strong>di</strong>ante creatore<br />
I primi due meto<strong>di</strong> forniscono un profilo esatto mentre il terzo un taglio approssimato<br />
Taglio al tornio<br />
Il taglio viene effettuato tornio me<strong>di</strong>ante un utensile il cui bordo rettilineo tagliente sia <strong>di</strong>sposto in un<br />
piano tangente il cilindro fondamentale inclinato in tale piano <strong>di</strong> un angolo pari a βf rispetto alla<br />
traccia <strong>di</strong> un piano normale all’asse della vite. In tal modo lo spigolo tagliente assume, nel suo moto<br />
elicoidale rispetto alla vite, le successive posizioni della retta generatrice dell’elicoide ad evolvente.<br />
Con questo sistema occorre lavorare separatamente i due fianchi dei filetti.<br />
Taglio me<strong>di</strong>ante coltello tipo Fellows<br />
Il coltello viene montato sulla dentatrice a creatore ove normalmente si <strong>di</strong>spone il pezzo, ed il pezzo<br />
prende il posto del creatore. Si trasmette al pezzo un moto <strong>di</strong> rotazione, combinandolo con il moto<br />
del coltello , in modo da generare il profilo voluto. Il pezzo ha anche un moto <strong>di</strong> avanzamento<br />
assiale<br />
Taglio me<strong>di</strong>ante creatore<br />
Il creatore viene collocato sull’asse del mandrino normalmente all’inclinazione me<strong>di</strong>a del filetto<br />
come per la fresatura <strong>di</strong> un ingranaggio elicoidale. L’errore introdotto da questo tipo <strong>di</strong> lavorazione<br />
aumenta all’aumentare dell’inclinazione del filetto. Per angoli <strong>di</strong> inclinazione molto elevati<br />
occorrerà pertanto utilizzare creatori con profilo opportunamente mo<strong>di</strong>ficato. La figura sotto<br />
rappresentata mostra, a sinistra, il profilo del filetto della vite da fresare (angolo <strong>di</strong> inclinazione <strong>di</strong><br />
42°) e a destra, il profilo del filetto del creatore corrispondente.<br />
La vite viene può essere realizzata, a secondo dell’impegno, con acciaio fuso o con acciai al Cr-Ni da<br />
cementazione. La cementazione dovrà essere effettuata dopo il taglio e dovrà essere sempre seguita da<br />
una adeguata operazione <strong>di</strong> rettifica tura.<br />
Taglio della ruota<br />
La ruota a gola, da accoppiare ad una vite senza fine, viene realizzata tramite creatore che deve avere<br />
lo stesso <strong>di</strong>ametro, passo e senso <strong>di</strong> rotazione della vite stessa.<br />
L’avanzamento del creatore può essere ra<strong>di</strong>ale o assiale . L’avanzamento ra<strong>di</strong>ale è più veloce ma<br />
non esatto, in quanto, iniziando il taglio con la parte esterna del filetto del creatore (meno inclinata),<br />
viene asportata una parte dei denti della ruota. Il proce<strong>di</strong>mento con avanzamento assiale è invece<br />
corretto: viene effettuato con un creatore avente forma tronco-conica e mosso assialmente per mezzo<br />
<strong>di</strong> una slitta.<br />
143
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La dentatura della ruota viene normalmente realizzata in bronzo fosforoso con durezza superficiale<br />
assai minore <strong>di</strong> quella della vite, seguendo il principio che uno degli elementi della coppia, il meno<br />
costoso, sia più logorabile dell’altro in modo da evitare scheggiature e rigature che si avrebbero se i<br />
due elementi avessero la stessa durezza. La ruota, ghisa o in acciaio, viene poi opportunamente<br />
collegata alla corona dentata. Tale collegamento può essere realizzato me<strong>di</strong>ante accurato centraggio<br />
e bulloni calibrati, oppure me<strong>di</strong>ante forzamento a caldo oppure, infine, tramite fusione <strong>di</strong>retta della<br />
corona sulla ruota.<br />
La realizzazione <strong>di</strong> una coppia vite senza fine – ruota elicoidale è comunque abbastanza complesso: si<br />
pensi ad esempio che, a <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> quanto accade nel taglio delle ruote cilindriche, la ruota a gola non<br />
può essere realizzata da un creatore <strong>di</strong> modulo assegnato e <strong>di</strong>ametro qualsiasi, bensì solo da un creatore<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro primitivo uguale, o al più molto prossimo, al <strong>di</strong>ametro primitivo della vite.<br />
Ciò comporta che non è facile garantire l’intercambiabilità degli elementi formanti la coppia.<br />
Per questo in genere chi costruisce la vite senza fine deve costruire la ruota elicoidale e viceversa<br />
garantendo e certificando la coniugazione dell’accoppiamento. Inoltre per evitare possibili problemi con<br />
i profili dei denti è consigliabile sostituire sempre la coppa vite senza fine – ruota elicoidale completa<br />
recuperando eventualmente, in tempi successivi e con minore urgenza, il particolare da riutilizzare.<br />
144
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Ruotismi or<strong>di</strong>nari<br />
Si definisce ruotismo, o treno <strong>di</strong> ingranaggi, la combinazione <strong>di</strong> più ingranaggi.<br />
Si definisce rapporto <strong>di</strong> trasmissione i il rapporto tra le velocità <strong>di</strong> rotazione della ruota motrice e la<br />
velocità <strong>di</strong> rotazione della ruota condotta.<br />
Consideriamo l’ingranaggio sotto rappresentato e, nell’ipotesi che la ruota 1 sia motrice,<br />
determiniamone il rapporto <strong>di</strong> trasmissione.<br />
Per l’ipotesi <strong>di</strong> non strisciamento nel punto <strong>di</strong> contatto delle primitive si ha:<br />
V1 = V2 → ω1 ⋅ r1 = ω2r2<br />
Esprimendo i raggi primitivi in funzione del modulo e del numero <strong>di</strong> denti si ottiene:<br />
z1 ⋅ m z2 ⋅ m ω1<br />
z2<br />
ω1 ⋅ r1 = ω2r2 → ω1 ⋅ = ω2<br />
→ i ≡ = (6.86)<br />
2 2 ω2<br />
z1<br />
Dalla (6.86) quin<strong>di</strong> il rapporto <strong>di</strong> trasmissione può essere espresso semplicemente come rapporto tra i<br />
numeri <strong>di</strong> denti delle ruote ingrananti.<br />
Nel caso <strong>di</strong> dentature esterne le velocità <strong>di</strong> rotazione delle due ruote ingrananti sono opposte e il<br />
rapporto <strong>di</strong> trasmissione si assume <strong>di</strong> segno negativo. Nel caso <strong>di</strong> dentature interne, in cui<br />
evidentemente le velocità <strong>di</strong> rotazione delle ruote sono concor<strong>di</strong>, il rapporto <strong>di</strong> trasmissione si assume <strong>di</strong><br />
segno positivo.<br />
Pertanto il rapporto <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> un ingranaggio, in cui la ruota 1 sia motrice, si assume pari a:<br />
z2<br />
i = ± (6.87)<br />
z1<br />
Dove il segno negativo vale per ingranaggi esterni e il segno positivo per ingranaggi interni<br />
Un ruotismo il cui valore assoluto del rapporto <strong>di</strong> trasmissione è maggiore <strong>di</strong> uno si comporterà come<br />
riduttore <strong>di</strong> velocità, mentre un ruotismo il cui valore assoluto è minore <strong>di</strong> uno si compoterà come<br />
moltiplicatore<br />
Ruote oziose<br />
Fissato il modulo e il rapporto <strong>di</strong> trasmissione può accadere che i raggi delle circonferenze primitive<br />
non siano tali da garantire il rispetto dell’interasse fissato in sede <strong>di</strong> progetto.<br />
Oppure può accadere che la ruota condotta debba avere lo stesso senso <strong>di</strong> rotazione della conduttrice.<br />
Si ricorre in questi casi all’uso <strong>di</strong> una o più ruote oziose, ruote che funzionano contemporaneamente<br />
come conduttrici e condotte.<br />
Le ruote oziose devono ovviamente avere lo stesso modulo delle ruote ingrananti, ma possono avere un<br />
numero qualsiasi <strong>di</strong> denti, perché esso non influisce sul rapporto <strong>di</strong> trasmissione.<br />
145
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Esempio 6.12<br />
Il ruotismo sopra proposto può essere considerato composto da due ingranaggi:<br />
• ingranaggio z1-z2 in cui z1 è la ruota motrice e z2 quella condotta<br />
• ingranaggio z2-z3 in cui z2 è la ruota motrice e z3 quella condotta<br />
Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione i del ruotismo è pari, per definizione, al rapporto tra la velocità<br />
angolare della prima ruota del ruotismo (ruota 1) e la velocità angolare dell’ultima ruota del<br />
ruotismo (ruota 3).<br />
Si ha pertanto 1 :<br />
ω1<br />
z3<br />
i = =<br />
ω z<br />
3 1<br />
D’altra parte, considerato il ruotismo come costituito da una serie <strong>di</strong> due ingranaggi, il suo<br />
rapporto <strong>di</strong> trasmissione può essere determinato come segue:<br />
Rapporto <strong>di</strong> trasmissione dell’ingranaggio z1-z2<br />
z2<br />
i1−<br />
2 = −<br />
z1<br />
Rapporto <strong>di</strong> trasmissione dell’ingranaggio z2-z3<br />
z3<br />
i2−<br />
3 = −<br />
z2<br />
Rapporto <strong>di</strong> trasmissione del ruotismo<br />
⎛ z ⎞ ⎛ 2 z ⎞ 3 z3<br />
i = i1− 2 ⋅ i2−3<br />
= ⎜ − ⎟⋅ ⎜− ⎟ =<br />
(6.88)<br />
⎝ z1 ⎠ ⎝ z2 ⎠ z1<br />
Dalla (6.88) si deduce pertanto che il rapporto <strong>di</strong> trasmissione è in<strong>di</strong>pendente dal numero <strong>di</strong> denti<br />
della ruota oziosa 2 .<br />
1 A questo punto non sappiamo tuttavia ancora se il rapporto <strong>di</strong> trasmissione sia positivo o negativo, ossia non<br />
sappiamo se le velocità <strong>di</strong> rotazione delle ruote 1 e 3 siano concor<strong>di</strong> o <strong>di</strong>scor<strong>di</strong><br />
2 La ruota oziosa si può a ragione definire come tale, nel senso che serve solo a cambiare il senso <strong>di</strong> rotazione<br />
dell’albero d’uscita, ma non mo<strong>di</strong>fica il valore della coppia o della velocità angolare applicata.<br />
146
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Esempio 6.13<br />
Si determini il rapporto <strong>di</strong> trasmissione del ruotismo <strong>di</strong> seguito proposto.<br />
⎛ z ⎞⎛ z ⎞⎛ z ⎞ z ⋅ z<br />
i = ⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜<br />
− ⎟ = −<br />
⎝ z ⎠⎝ z ⎠⎝ z ⎠ z ⋅ z<br />
2 3 4 3 5<br />
1 2 5 1 4<br />
147<br />
(6.89)<br />
Dalla (6.89) si deduce che il rapporto <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> un ruotismo si ottiene come rapporto tra<br />
il prodotto del numero <strong>di</strong> denti delle ruote condotte rispetto a quello delle ruote conduttrici.<br />
Il numero <strong>di</strong> denti della ruota oziosa, da considerarsi una volta motrice e una volta condotta,<br />
comparendo nella (6.89) sia a numeratore, sia denominatore non influenza il rapporto <strong>di</strong><br />
trasmissione del ruotismo.
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Esempio 6.14<br />
Di seguito è rappresentato il <strong>di</strong>segno schematico <strong>di</strong> un cambio automobilistico a cinque marce con la<br />
quanta marcia in presa <strong>di</strong>retta (in rosso magenta il numero <strong>di</strong> denti delle ruote).<br />
Determinare i rapporti <strong>di</strong> trasmissione alle varie marce.<br />
Prima marcia iI<br />
Seconda marcia iII<br />
Terza marcia iIII<br />
Quanta marcia iIV 1<br />
Quinta marcia iV<br />
55 38<br />
2.82<br />
20 37 ≅<br />
55 35<br />
2.24<br />
20 43 ≅<br />
55 25<br />
1.375<br />
20 50 ≅<br />
55 18<br />
0.87<br />
20 57 ≅<br />
148
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Ruotismi epicicloidali<br />
Si definiscono ruotismi epicicloidali quei ruotismi nei quali uno o più assi assumono un moto <strong>di</strong><br />
rivoluzione rispetto ad uno o più assi fissi.<br />
Le ruote solidali con gli assi fissi sono dette planetari (solari)<br />
Le ruote solidali con gli assi mobili sono dette satelliti.<br />
Il telaio che serve a collegare gli assi mobili con gli assi fissi viene detto portatreno.<br />
La prima e l’ultima ruota del ruotismo, percorso nel senso dei successivi concatenamenti delle<br />
dentature, prendono il nome <strong>di</strong> ruote principali.<br />
Nel seguito analizzeremo in dettaglio la cinematica <strong>di</strong> uno riduttori epicicloidali più utilizzati e che <strong>di</strong><br />
seguito è rappresentato.<br />
149
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Le due ruote satelliti che ingranano con il pignone centrale (solare o planetario) rotolano sulla corona<br />
dentata internamente e muovono la forcella porta satelliti calettata su <strong>di</strong> un albero che ruota<br />
coassialmente al solare.<br />
In un ruotismo epicloidale semplice, vale la seguente relazione, nota come formula <strong>di</strong> Willis, che<br />
giustificheremo nelle esemplificazioni seguenti.<br />
ωF − Ω ⎛ ω ⎞ F = ⎜ ⎟ = i *<br />
ω − Ω ⎝ ω ⎠<br />
L L ORD<br />
150<br />
(6.90)<br />
Dove ωF è la velocità <strong>di</strong> rotazione del primo elemento del ruotismo, Ω la velocità <strong>di</strong> rotazione del<br />
portatreno, ωL la velocità <strong>di</strong> rotazione dell’ultimo elemento del ruotismo ed i * è il rapporto <strong>di</strong><br />
trasmissione del ruotismo reso or<strong>di</strong>nario. Nel seguito esamineremo delle applicazioni della formula <strong>di</strong><br />
Willis, relativamente al ruotismo proposto in precedenza, cercando pure <strong>di</strong> darne una giustificazione<br />
almeno intuitiva.<br />
1. Consideriamo il caso in cui la corona sia mantenuta fissa e valutiamo il rapporto <strong>di</strong> trasmissione<br />
del ruotismo.<br />
Il punto A, considerato appartenente al solare <strong>di</strong> raggio Rso, ha una velocità pari a:<br />
VA = ωSO<br />
⋅ RSO<br />
Il punto B, considerato appartenente alla corona, è fisso.<br />
Il punto O del satellite è dotato pertanto <strong>di</strong> una velocità pari a:<br />
V = V 2<br />
O A<br />
Il centro del satellite O <strong>di</strong>sta dal centro del solare <strong>di</strong> una quantità pari a:<br />
RCO + RSO<br />
RP<br />
=<br />
2<br />
La velocità angolare Ω del portatreno vale pertanto:<br />
VO VA<br />
RSO<br />
Ω = = = ωSO<br />
RP RSO + RCO RSO + RCO<br />
Ed esprimendo in funzione del numero <strong>di</strong> denti si ha:<br />
ω 2 SO zSO + zCO<br />
( zSO + zSA<br />
)<br />
i = = =<br />
Ω z z<br />
SO SO<br />
Allo stesso risultato si può pervenire con un <strong>di</strong>verso ragionamento.<br />
(6.91)
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Se dotassimo il ruotismo <strong>di</strong> una rotazione uguale e contraria a quella del portatreno, il ruotismo<br />
stesso verrebbe a comportarsi come un ruotismo or<strong>di</strong>nario con rapporto <strong>di</strong> trasmissione i * pari a:<br />
zCO<br />
i*<br />
= −<br />
zSO<br />
Ma per effetto della rotazione esterna imposta, l’ultima ruota del ruotismo (la corona) assume una<br />
velocità pari a –Ω, mentre la prima ruota del ruotismo (il solare) assume una velocità pari a<br />
ωSO − Ω .<br />
Ricordando la definizione <strong>di</strong> rapporto <strong>di</strong> trasmissione si ha pertanto:<br />
ωSO − Ω<br />
= i *<br />
(6.92)<br />
−Ω<br />
Da cui con pochi passaggi si ottiene:<br />
ω 2 0 ( zSO + zSA<br />
)<br />
i = =<br />
Ω zSO<br />
La (6.92) è il risultato dell’applicazione della formula <strong>di</strong> Willis nel caso in cui l’ultima ruota del<br />
ω = 0 .<br />
ruotismo sia bloccata ( )<br />
CO<br />
2. Consideriamo lo stesso ruotismo in cui si mantenga fissa la ruota solare, il moto entri dal<br />
portatreno e lo si prelevi dalla corona.<br />
Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione del ruotismo reso or<strong>di</strong>nario rimane sempre quello calcolato al punto<br />
precedente (il ruotismo fisicamente è immutato).<br />
Dalla formula <strong>di</strong> Willis, ricordando che in questo caso ω F = 0 , si ha:<br />
−Ω zCO<br />
= i*<br />
= −<br />
ω − Ω z<br />
L SO<br />
Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione del ruotismo epicicloidale vale quin<strong>di</strong>:<br />
Ω z + z<br />
=<br />
ω z<br />
CO SO<br />
L CO<br />
Possiamo ottenere lo stesso risultato tracciando, come in precedenza il triangolo delle velocità<br />
del satellite.<br />
151
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Esempio 6.15<br />
ω ⋅ R V<br />
VA = ωCO<br />
⋅ RCO VO = VA<br />
/ 2 = Ω =<br />
2 R<br />
CO CO O<br />
Ω ω ⋅ R 1 R z + z<br />
i = = ⋅ = =<br />
ω 2R<br />
ω R + R z<br />
CO CO CO CO SO<br />
CO P CO CO SO CO<br />
Sempre con riferimento al ruotismo epicicloidale esaminato in precedenza si determini la<br />
velocità da conferire alla corona affinché il portatreno si mantenga fisso.<br />
Affronteremo il problema tramite l’applicazione della formula <strong>di</strong> Willis e successivamente<br />
considerando i triangoli <strong>di</strong> velocità.<br />
ωF<br />
− Ω<br />
=<br />
ω − Ω<br />
L<br />
i *<br />
Nell’esempio proposto si ha:<br />
Ω = 0; ω = ω ; ω = ω ; i* = − z z<br />
F SO L CO<br />
SO CO<br />
Da cui si ricava imme<strong>di</strong>atamente:<br />
zSO<br />
ωCO = − ωSO<br />
zCO<br />
Consideriamo ora il problema esaminan<strong>di</strong> il triangolo della velocità del satellite.<br />
152<br />
P
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Affinché il centro O del satellite sia fermo, le velocità dei punti A e B devono essere uguali e<br />
contrarie. Deve pertanto essere verificata la seguente uguaglianza.<br />
ωSO ⋅ RSO = −ωCO ⋅ RCO<br />
Da cui si ha:<br />
RSO zSO<br />
ωCO = −ωSO ⋅ = −ωSO<br />
R z<br />
CO CO<br />
Esempio 6.15<br />
Sapendo che la vite ruota a 1500 rpm, determinare la velocità <strong>di</strong> rotazione dell’albero solidale al<br />
portatreno.<br />
Dati:<br />
Numero principi della vite 1<br />
Numero <strong>di</strong> denti della ruota a gola 60<br />
Numero <strong>di</strong> denti del solare 25<br />
Numero <strong>di</strong> denti della corona 1 83<br />
La velocità <strong>di</strong> rotazione della ruota a gola vale:<br />
1<br />
I numeri <strong>di</strong> denti zSO, zSA e zCO, rispettivamente del solare dei satelliti e della corona, affinché sia possibile<br />
<strong>di</strong>sporre gli m satelliti ad una <strong>di</strong>stanza angolare <strong>di</strong> 2π/m, devono rispettare la seguente imposizione<br />
zCO + zSO = multiplo <strong>di</strong> m<br />
153
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1500<br />
n RG = = 25 rpm<br />
60<br />
La ruota a gola è solidale con l’albero porta solare la cui velocità vale pertanto:<br />
n = n = 25 rpm<br />
SO RG<br />
La corona del ruotismo epicicloidale è fissata al telaio tramite viti. Pertanto:<br />
ω = 0<br />
CO<br />
Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione del ruotismo epicicloidale, reso or<strong>di</strong>nario, vale:<br />
zCO<br />
i*<br />
= −<br />
z<br />
SO<br />
Applicando la formula <strong>di</strong> Willis (6.90) si ha:<br />
ωF<br />
− Ω ωSO − Ω<br />
ωSO<br />
= i* → = i* → Ω = = ωSO<br />
ω − Ω −Ω 1 − i * z<br />
zSO<br />
+ z<br />
25<br />
→ nP<br />
= 25 ≅ 5.8 rpm<br />
25 + 83<br />
L SO CO<br />
Esempio 6.16<br />
Con riferimento al ruotismo epicicloidale sotto rappresentato e nell’ipotesi che l’albero S2 sia<br />
mantenuto fisso, determinare:<br />
1. il rapporto <strong>di</strong> trasmissione tra i due alberi coassiali (S1 motore, A2 condotto);<br />
2. il modulo e il verso della coppia richiesta per mantenere fisso l’albero S2, nell’ipotesi che<br />
sull’albero S1 sia applicata una coppia oraria pari a 300 Nm.<br />
Numero <strong>di</strong> denti del ruotismo<br />
zS1 40<br />
zA1 120<br />
zS2 30<br />
zA2 100<br />
154
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Consideriamo il primo ruotismo epicicloidale (S1 solare, A1 corona, porta treno solidale con A2) e<br />
applichiamo la formula <strong>di</strong> Willis:<br />
ωS1 −ω<br />
A2<br />
120<br />
= i*<br />
= −<br />
ω −ω<br />
40<br />
A1 A2<br />
Consideriamo ora il secondo ruotismo epicicloidale (S2 solare fisso, A2 corona, A1 portatreno) e<br />
applichiamo la formula <strong>di</strong> Willis:<br />
ωS 2 − ωA1<br />
100<br />
= −<br />
ωA2 − ωA1<br />
30<br />
Da cui risolvendo il sistema si ottiene:<br />
ωS1<br />
22<br />
ω 13<br />
=<br />
A2<br />
La coppia motrice entrante nel ruotismo vale:<br />
C = 300 Nm<br />
S1<br />
CS1, essendo una coppia motrice, è <strong>di</strong>retta come ωS1<br />
La coppia resistente, trascurando ogni fenomeno passivo, si ricava imponendo l’uguaglianza tra potenza<br />
entrante e potenza uscente.<br />
S1<br />
22<br />
CS1 S1 CA2 A2 CA2 CS1 300 508 Nm<br />
13<br />
ω<br />
⋅ ω = ⋅ω → = = ≅<br />
ω<br />
La coppia CA2 essendo resistente ha verso opposto a ωA2<br />
Per l’equilibrio alla rotazione si ha:<br />
C + C + C = 0 → C = − 300 + 508 = 208 Nm<br />
S1 S 2 A2 S 2<br />
CS2, risultando positiva, ha la stessa <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> CS1.<br />
A2<br />
155
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Una più combinazioni <strong>di</strong> ruotismi epicicloidali vengono utilizzati nei cambi automatici. Di seguito<br />
riportiamo il <strong>di</strong>segno del cambio automatico in dotazione ad una autovettura (FIAT 130 1970) e la sua<br />
rappresentazione schematica.<br />
156
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Rappresentazione schematica del cinematismo connesso al cambio automatico dell’autovettura FIAT<br />
130<br />
Numero <strong>di</strong> denti delle ruote dentate<br />
Ruota 1 2 3 3’ 4 5<br />
Numero denti 33 20 21 21 81 39<br />
Il cambio automatico consiste <strong>di</strong> due frizioni ( CA e CB), due freni (BC e BD) e un ruotismo<br />
epicicloidale composto.<br />
Esaminaimo ora le modalità con cui si ottengono i rapporti <strong>di</strong> trasmissione alle varie marce.<br />
Prima marcia<br />
Frizione CA e freno BD inseriti<br />
Il cinematismo risulta or<strong>di</strong>nario (il portatreno è bloccato dal freno BD)<br />
Il rapporto <strong>di</strong> trasmissione vale:<br />
⎛ z ⎞⎛ 2 z ⎞⎛<br />
3 z ⎞ 4 z4<br />
iI<br />
= ⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜<br />
⎟ = ≅ 2.45<br />
⎝ z1 ⎠⎝ z2 ⎠⎝ z3 ⎠ z1<br />
Retromarcia<br />
Frizione CB e freno BD inseriti<br />
Anche in questo caso il ruotismo risulta or<strong>di</strong>nario<br />
⎛ z ⎞⎛ 3 z ⎞ 4 z4<br />
iII<br />
= ⎜ − ⎟⎜ ⎟ = − ≅ 2.08<br />
⎝ z5 ⎠⎝ z3 ⎠ z5<br />
Seconda marcia<br />
Frizione CA e freno BC inseriti<br />
Il ruotismo è epicicloidale<br />
157
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Risulta utile sdoppiare il ruotismo epicicloidale.<br />
Considerando la parte sx del ruotismo, applicando la formula <strong>di</strong> Willis e in<strong>di</strong>cando al solito con<br />
Ω la velocità angolare del porta treno, si ha:<br />
ω1<br />
− Ω<br />
= isx<br />
*<br />
ω − Ω<br />
5<br />
⎛ z ⎞⎛ z ⎞⎛<br />
z ⎞ z<br />
isx*<br />
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝ z ⎠⎝ z ⎠⎝ z ⎠ z<br />
Da cui<br />
Ω z1<br />
=<br />
ω z + z<br />
2 3 5 5<br />
= − − − = −<br />
1 1 5<br />
1 2 3' 1<br />
Considerando la parte dx del ruotismo, in modo analogo, si ha:<br />
ω1<br />
− Ω<br />
= idx<br />
*<br />
ω −Ω<br />
4<br />
⎛ z<br />
idx*<br />
= ⎜ −<br />
⎝ z<br />
⎞⎛ z<br />
⎟⎜ −<br />
⎠⎝ z<br />
⎞⎛<br />
z<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝ z<br />
⎞ z<br />
⎟ =<br />
⎠ z<br />
ω1<br />
− Ω z4<br />
=<br />
ω −Ω z<br />
4 1<br />
2 3 4 4<br />
1 2 3 1<br />
158<br />
(6.93)<br />
(6.94)<br />
Sostituendo la (6.94) nella (6.93) si ricava il rapporto ω1 ω 4 ovvero il rapporto <strong>di</strong> seconda<br />
marcia<br />
z ⎛ 4 z1 + z ⎞ 5<br />
iII<br />
= ⎜ ⎟ ≅1.473<br />
z1 ⎝ z5 + z4<br />
⎠<br />
Presa <strong>di</strong>retta<br />
La presa <strong>di</strong>retta si ottiene inserendo contemporaneamente le frizioni CA e CB. In tal modo le<br />
ruote 1 e 5 ruotano solidali, pertanto le ruote 3, 3’ e 2 non ruotano attorno ai loro assi <strong>di</strong><br />
calettamento. In tali con<strong>di</strong>zioni la velocità <strong>di</strong> rotazione della corona 4 coincide con la<br />
velocità comune delle ruote 1 e 5 (presa <strong>di</strong>retta).
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Esempio 6.17<br />
Lo schema sotto proposto rappresenta un riduttore epicicloidale. Gli alberi A e B sono accoppiati con<br />
due motori autofrenanti, mentre l’abero U è accoppiato all’utilizzatore.<br />
Dati<br />
Motore autofrenante A Potenza 10 kW velocità 800 rpm<br />
Motore autofrenante B Potenza 5 kW velocità 1600 rpm<br />
Numero denti corona 80<br />
Numero denti solare 22<br />
Numero denti satelliti (3) 29<br />
Numero denti pignone <strong>di</strong> uscita 43<br />
Numero denti ruota finale 85<br />
Determinare, in assenza <strong>di</strong> ogni fenomeno passivo;<br />
1. i momenti torcenti trasmessi dall’albero U e le corrispondenti frequenze <strong>di</strong> rotazione;<br />
2. i momenti torcenti assorbiti dai freni dei due motori<br />
159
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Schema del cinematismo<br />
1. Motore B in rotazione e motore A frenato<br />
In queste con<strong>di</strong>zioni, il ruotismo è reso or<strong>di</strong>nario (il blocco del motore A implica il blocco del<br />
portatreno).<br />
La velocità <strong>di</strong> rotazione dell’utilizzatore vale <strong>di</strong> conseguenza:<br />
⎛ 22 ⎞⎛ 29 ⎞⎛ 43 ⎞<br />
ωUB = ωB ⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟ = 222.6 rpm<br />
⎝ 29 ⎠⎝ 80 ⎠⎝ 85 ⎠<br />
Trascurando eventuali fenomeni passivi, la coppia motrice del motore B e la coppia resistente<br />
all’utilizzatore, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, valgono:<br />
NB NB<br />
CmB = ≅ 29.8 Nm CUB<br />
= ≅ 214 Nm<br />
ωB ωUB<br />
Il satellite è impegnato sia con il solare sia con la corona secondo lo schema sotto riportato.<br />
⎛ 43 ⎞<br />
CUB<br />
C<br />
⎜ ⎟<br />
mB 85<br />
F = =<br />
⎝ ⎠<br />
r r<br />
SO CO<br />
dove con rSO e rCO si sono in<strong>di</strong>cati rispettivamente i raggi primitivi <strong>di</strong> solare e corona.<br />
160
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E’ evidente pertanto che il momento assorbito dal freno del motore A, in<strong>di</strong>cato con rSA il raggio<br />
primitivo del satellite, vale:<br />
CmB zSO + zSA<br />
C fA = 2F ( rSO + rSA ) = 2 ( rSO + rSA ) = 2CmB ≅ 140 Nm<br />
rSO zSO<br />
Allo stesso risultato si può pervenire considerando che la coppia resistente sulla corona vale:<br />
⎛ 43 ⎞ ⎛ 80 ⎞ ⎛ z ⎞ CO<br />
CCOB = CUB ⎜ ⎟ = CmB ⎜ ⎟ = CmB<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 85 ⎠ ⎝ 22 ⎠ ⎝ zSO<br />
⎠<br />
<strong>di</strong>retta secondo Cm.<br />
La coppia assorbita dal freno del motore A vale:<br />
⎛ z ⎞ CO zSO + zSA<br />
C fA = CmB + CCOB = CmB ⎜1+ ⎟ = 2CmB<br />
⎝ zSO ⎠ zSO<br />
2. Motore A in rotazione e motore B frenato<br />
In queste con<strong>di</strong>zioni il ruotismo è epicicloidale con ruota solare ferma.<br />
Applichiamo la formula <strong>di</strong> Willis in<strong>di</strong>cando al solito con Ω la velocità del portatreno e con ωSO<br />
e ωCO le velocità <strong>di</strong> rotazione del solare e della corona.<br />
ωSO − Ω ⎛ ω ⎞ SO ⎛ 29 ⎞⎛ 80 ⎞ 80<br />
= i*<br />
= ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟⎜ ⎟ = −<br />
ωCO − Ω ⎝ ωCO<br />
⎠ 22 29 22<br />
ORD ⎝ ⎠⎝ ⎠<br />
Poiché ωSO è nulla si ottiene:<br />
−Ω 22 ⎛ 22 ⎞<br />
= − → ωCO<br />
= Ω ⎜1+ ⎟ ≅ 1020 rpm<br />
ωCO<br />
− Ω 80 ⎝ 80 ⎠<br />
La velocità angolare dell’utilizzatore è quin<strong>di</strong> pari a:<br />
⎛ 43 ⎞<br />
ωUA = ωCO ⎜ − ⎟ ≅ −516<br />
rpm<br />
⎝ 85 ⎠<br />
Trascurando ogni fenomeno passivo, la coppia all’utilizzatore vale:<br />
CmAωA<br />
10 ⋅1000 ⋅60<br />
CmAωA = CUA ⋅ωUA → CUA<br />
= = ≅ 185 Nm<br />
ωUA 2π ⋅516<br />
La coppia resistente applicata alla corona vale:<br />
43<br />
CCOA = CUA<br />
≅ 93.6 Nm (<strong>di</strong> verso opposto alla coppia motrice dato che portatreno e corona<br />
85<br />
hanno versi <strong>di</strong> rotazione concor<strong>di</strong>)<br />
Per l’equilibrio alla rotazione deve essere:<br />
C + C + C = 0 → C = 119.4 − 93.6 ≅ 26 Nm<br />
fB mA COA fB<br />
Allo stesso risultato si può pervenire considerando le forze scambiate tra i denti .<br />
CmA CCOA<br />
F = F = C = F ⋅ r = F r + r − F r + r<br />
r + r r + 2r<br />
161<br />
( ) ( 2 )<br />
CO fB r so so sa CO so sa<br />
so sa so sa<br />
( )<br />
C = F ⋅ r ≅ C −<br />
C<br />
fB r so mA COA
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Esempio 6.18<br />
Lo schema <strong>di</strong> seguito proposto rappresenta un ruotismo epicicloidale utilizzato per variare il<br />
passo <strong>di</strong> un’elica 1 .<br />
Il motore elettrico mette in rotazione il solare A, mentre le corone C ed H sono solidali alla<br />
carcassa. I portatreno sono in<strong>di</strong>pendenti e liberi <strong>di</strong> ruotare attorno al loro asse comune. La<br />
corona J, tramite una coppia conica trasmette il moto <strong>di</strong> rotazione delle pale.<br />
zA zB zC zD zE zF zG zH zI zJ<br />
13 56 125 48 117 17 30 77 26 73<br />
Determinare il rapporto <strong>di</strong> trasmissione del ruotismo<br />
E’ opportuno smembrare il riduttore in blocchi elementari a cui applicare la formula <strong>di</strong> Willis.<br />
Si ha quin<strong>di</strong>:<br />
Ruotismo A, B, C<br />
ωA<br />
− Ω<br />
1<br />
ωC<br />
=<br />
⎛ ω ⎞ A<br />
zC<br />
= ⎜ ⎟ = i −<br />
− Ω ⎝ ωC<br />
⎠ zA<br />
ORD<br />
Ruotismo A, B, D, E<br />
ω − Ω ⎛ ω ⎞ z z<br />
= ⎜ ⎟ = i2<br />
= −<br />
ω − Ω ⎝ ω ⎠ z z<br />
A A B E<br />
E E ORD<br />
A D<br />
Ruotismo F, G, H<br />
ωF<br />
− Ω ωE<br />
− Ω<br />
=<br />
3<br />
ωH<br />
− Ω ωH<br />
=<br />
⎛ ω ⎞ z<br />
= ⎜ ⎟ = i −<br />
− Ω ⎝ ω ⎠ z<br />
F H<br />
H ORD<br />
F<br />
Ruotismo F, G, I, J<br />
ωF − Ω ωE − Ω ⎛ ω ⎞ F<br />
z z<br />
= = ⎜ ⎟ = i4<br />
= −<br />
ω − Ω ω − Ω ⎝ ω ⎠ z z<br />
G J<br />
J J J ORD<br />
F I<br />
1 L’utilizzo <strong>di</strong> un tale <strong>di</strong>spositivo è giustificato dal fatto che la coppia richiesta per la rotazione dell’elica è molto<br />
elevata e che per ragioni <strong>di</strong> carattere tecnico-costruttive il motore è <strong>di</strong> bassa potenza e ruotante a velocità elevata.<br />
162
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Risolvendo si ottiene:<br />
ωJ<br />
i2 − i1<br />
=<br />
ω i 1− i<br />
i4 − i3<br />
i 1− i<br />
17 1<br />
= ≅<br />
3<br />
2 ⋅3 ⋅5 ⋅ 7 ⋅ 73 8116<br />
A<br />
( ) ( )<br />
2 1 4 3<br />
Esempio 6.19<br />
La figura sotto riportata illustra un <strong>di</strong>spositivo atto ad assicurare la sterzatura <strong>di</strong> un veicolo cingolato.<br />
Marcia rettilinea<br />
L’albero <strong>di</strong> sterzata è fisso e con esso rimangono fissi i solari S1 e S2. L’albero <strong>di</strong> trazione<br />
tramite una coppia conica mette in rotazione le corone C1 e C2.<br />
Applicando la formula <strong>di</strong> Willis al ruotismo epicicloidale si ha:<br />
ωS1,2 − Ω ⎛ ω ⎞ S1,2 z<br />
ω<br />
C1,2<br />
S1,2<br />
zS1,2 + ωC1,2<br />
zC1,2 zC1,2<br />
= ⎜ ⎟ = − → Ω =<br />
= ω<br />
ω ⎜<br />
C1,2 − Ω ω ⎟<br />
C1,2<br />
⎝ C1,2 ⎠ z<br />
ORD S1,2<br />
zS1,2 + zC1,2 zS1,2 + zC1,2<br />
Dove con Ω, ωS e ωC si sono in<strong>di</strong>cate rispettivamente le velocità <strong>di</strong> rotazione del portareno<br />
(solidale con le ruote) del solare e della corona.<br />
Sterzata<br />
Ruotano l’abero <strong>di</strong> sterzata e l’albero <strong>di</strong> trazione. L’albero <strong>di</strong> sterzata, tramite l’ingranaggio<br />
conico, mette in rotazione le ruote T1 e T2 le quali, a loro volta conferiscono velocità, <strong>di</strong> verso<br />
opposto, alle ruote solari.<br />
In<strong>di</strong>cata con ωT la velocità <strong>di</strong> rotazione dell’albero <strong>di</strong> sterzata, le velocità <strong>di</strong> rotazione imposte<br />
ai solari S1 e S2 valgono:<br />
zT1<br />
ωS1 = −ωT<br />
z<br />
Se, come avviene:<br />
zT1 zT<br />
2 =<br />
z z<br />
R1 R2<br />
R1<br />
ω<br />
⎛ z<br />
= ω −<br />
⎞⎛ z<br />
−<br />
⎞ z<br />
= ω<br />
⎝ ⎠⎝<br />
⎠<br />
T 2 U 2<br />
T 2<br />
S 2 T ⎜ ⎟⎜ ⎟ T<br />
zU 2 zR 2 zR<br />
2<br />
163
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Allora le velocità dei portatreno saranno rispettivamente aumentate e <strong>di</strong>minuite <strong>di</strong> una stesso<br />
valore ∆ω , quin<strong>di</strong> un cingolo sarà più veloce dell’altro e il veicolo sterzerà.<br />
z<br />
Δ ω = ωT<br />
z<br />
T1,2<br />
R1,2<br />
Aumentando ωT si può arrivare all’annullamento della velocità <strong>di</strong> un cingolo: in tali con<strong>di</strong>zioni<br />
il veicolo realizza una traiettoria circolare <strong>di</strong> raggio pari alla sua carreggiata (<strong>di</strong>stanza tra i<br />
cingoli).<br />
Bloccando l’albero <strong>di</strong> avanzamento e mantenendo per contro sempre attivo l’albero <strong>di</strong> sterzata,<br />
si ottengono, sui cingoli, velocità uguali ed opposte. In questa con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> controrotazione dei<br />
cingoli il mezzo può effettuare una piroetta su se stesso (neutral turn) senza descrivere una<br />
curva.<br />
Il <strong>di</strong>fferenziale automobilistico<br />
Consideriamo un’auto che percorre un tratto <strong>di</strong> strada rettilinea alla velocità v. Quando la stessa auto<br />
affronta una curva <strong>di</strong> raggio R il semiasse esterno ruoterà con una frequenza maggiore del semiasse<br />
interno.<br />
Più precisamente, se in curva si vuole mantenere la stessa velocità v che l’auto aveva nella marcia<br />
rettilinea, in<strong>di</strong>cate con c la carreggiata, con r il raggio delle ruote, le velocità dei centri delle ruote<br />
rispettivamente esterne ed interne devono essere pari a:<br />
R + c 2 R − c 2<br />
ve = v vi = v<br />
R R<br />
E le rispettive velocità angolari dei semiassi esterno ed interno sono pari a:<br />
R + c 2 R − c 2<br />
ωe = v ωi<br />
= v<br />
R ⋅ r R ⋅ r<br />
Pertanto, in<strong>di</strong>pendentemente dal raggio della curva, la somma delle velocità angolari dei semiassi si<br />
mantiene pari al rapporto tra il doppio della velocità v e il raggio r dello pneumatico.<br />
2v<br />
ωe + ωi<br />
= = 2Ω<br />
(6.95)<br />
r<br />
164
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Il ruotismo <strong>di</strong>fferenziale classico è appunto un ruotismo in grado <strong>di</strong> garantire il rispetto della (6.95)<br />
Il <strong>di</strong>fferenziale a ruote coniche ‘classico’ è costituito da una scatola (portatreno) che riceve il moto<br />
dall’albero motore. Nella scatola solo alloggiati quattro perni, realizzanti una crociera, su cui ruotano<br />
folli quattro satelliti. Ciascun satellite si impegna contemporaneamente con due solari solidali<br />
rispettivamente al proprio semiasse.<br />
165
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Stu<strong>di</strong>o del <strong>di</strong>fferenziale (ren<strong>di</strong>mento interno unitario)<br />
Valutiamo ora il rapporto <strong>di</strong> trasmissione del <strong>di</strong>fferenziale reso or<strong>di</strong>nario tramite il blocco del<br />
portatreno.<br />
Dallo schema sopra riportato è evidente che tale rapporto vale:<br />
⎛ ω ⎞ ⎛ e z ⎞⎛ sa z ⎞ so<br />
i*<br />
= ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = −1<br />
⎝ ωi<br />
⎠ ⎝ zso ⎠⎝ zsa<br />
⎠<br />
ORD<br />
166<br />
(6.96)<br />
Il segno negativo nella (6.96) sta ad in<strong>di</strong>care che, con portatreno bloccato, le velocità <strong>di</strong> rotazione dei<br />
semiassi, come si vede imme<strong>di</strong>atamente dallo schema proposto, sono opposte.<br />
Noto il rapporto <strong>di</strong> trasmissione del ruotismo reso or<strong>di</strong>nario, applichiamo la formula <strong>di</strong> Willis al<br />
<strong>di</strong>fferenziale in stu<strong>di</strong>o in<strong>di</strong>cando al solito con Ω la velocità angolare del portatreno:<br />
ωe − Ω ωe<br />
− Ω<br />
= i * → = −1 → ωe + ωi<br />
= 2Ω<br />
(6.97)<br />
ωi − Ω ωi<br />
− Ω<br />
Risulta pertanto <strong>di</strong>mostrato che il ruotismo proposto (<strong>di</strong>fferenziale classico a ruote coniche) è in grado<br />
<strong>di</strong> garantire, come ipotizzato, il rispetto della (6.95).<br />
Ipotizzando una trasmissione con ren<strong>di</strong>mento unitario, in<strong>di</strong>cati con Mc, Me e Mi rispettivamente i<br />
momenti sulla scatola e sui semiassi, si ha:<br />
⎧M<br />
cΩ = M eωe + M iωi ⎨<br />
→ M e = M i<br />
(6.98)<br />
⎩M<br />
e + M i = M c<br />
Pertanto, in un ruotismo <strong>di</strong>fferenziale classico con ren<strong>di</strong>mento unitario, i momenti sui due semiassi si<br />
mantengono sempre uguali. Tenuto presente che un semiasse può scaricare la propria coppia solo se<br />
trova l’opposizione <strong>di</strong> un adeguato momento resistente, qualora una ruota dovesse perdere aderenza il<br />
rispettivo semiasse non potrebbe scaricare coppia, ma per la (6.98) sarà nulla anche la coppia trasmessa<br />
dall’altro semiasse e la trazione si annullerebbe con conseguenze negative per la stabilità del veicolo e<br />
per la sua movimentazione. 1<br />
1 Il problema si risolve o con il bloccaggio selettivo del <strong>di</strong>fferenziale o con l’adozione <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenziali con basso<br />
ren<strong>di</strong>mento interno, ovvero <strong>di</strong>fferenziali che <strong>di</strong>sperdono una quota <strong>di</strong> energia non trascurabile quando le velocità<br />
dei due semiassi <strong>di</strong>fferiscono in misura notevole.
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Stu<strong>di</strong>o del <strong>di</strong>fferenziale (ren<strong>di</strong>mento interno η)<br />
Esaminiamo ora la ripartizione della coppia motrice tenendo conto del ren<strong>di</strong>mento interno del<br />
<strong>di</strong>spositivo.<br />
1. Consideriamo dapprima l’equilibrio del <strong>di</strong>fferenziale quando semiassi e portatreno sono fissi.<br />
Per l’equilibrio deve essere:<br />
M rA + M rB + M C = 0<br />
(6.99)<br />
Dove MC è il momento trasmesso dal portatreno ed Mr sono i momenti resistenti ai rispettivi<br />
semiassi.<br />
2. Sempre a portatreno fisso e in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, ovvero in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> rispetto della<br />
(6.99), si imprima al semiasse B una rotazione concorde con MrB. Il semiasse B si comporta da<br />
motore e il semiasse A da condotto. Tra i momenti resistenti vale pertanto la seguente relazione:<br />
M = ηM<br />
(6.100)<br />
rA1 rB1<br />
3. Sempre a portatreno fisso e in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, ovvero in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> rispetto della<br />
(6.99), si imprima al semiasse A una rotazione concorde con MrA . Il semiasse A si comporta da<br />
motore e il semiasse B da condotto. Tra i momenti resistenti vale pertanto la seguente relazione:<br />
M = ηM<br />
(6.101)<br />
rB2 rA2<br />
Quando i tre elementi del <strong>di</strong>fferenziale ruotano alla stessa velocità e in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, non si<br />
avranno moti relativi tra <strong>di</strong> essi fino a che i momenti resistenti sui semiassi sono compresi nei limiti dati<br />
dalle due relazioni precedenti.<br />
⎧M<br />
rA1 ≤ M rA ≤ M rA2<br />
⎨<br />
(6.102)<br />
⎩M<br />
rB1 ≤ M rB ≤ M rB2<br />
Tenuto presente che i momenti motori sono uguali e contrari ai momenti resistenti, nel moto a regime<br />
del <strong>di</strong>fferenziale si riconoscono le seguenti ripartizioni dei momenti.<br />
1. ω < Ω ω > Ω<br />
2.<br />
A B<br />
⎧M<br />
A1 + M B1 = M C<br />
1<br />
η<br />
⎨<br />
→ M A1 = M C M B1 = M C<br />
⎩M<br />
A1 = ηM B1<br />
1+ η 1+<br />
η<br />
ωB < Ω ωA<br />
> Ω<br />
⎧M<br />
A2 + M B2 = M C<br />
η<br />
⎨<br />
→ M A2 = M C<br />
⎩M<br />
A2 = M B2<br />
η 1+ η<br />
1<br />
M B2 = M C<br />
1+<br />
η<br />
3. ωA ωB<br />
167<br />
(6.103)<br />
(6.104)<br />
= = Ω<br />
In questa situazione la ripartizione della coppia è indeterminata. In con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime i<br />
momenti sui due semiassi possono variare tra i limiti:
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⎧ η<br />
1<br />
⎪ M C ≤ M B ≤ M C<br />
⎪ 1+ η 1+<br />
η<br />
⎨<br />
⎪ η<br />
1<br />
M C ≤ M A ≤ M C<br />
⎪ ⎩ 1+ η 1+<br />
η<br />
168<br />
(6.105)<br />
Nella marcia in curva sul semiasse che comanda la ruota interna, in accordo con le (6.103) si ha un<br />
momento motore:<br />
1<br />
M A = M C<br />
1+<br />
η<br />
Mentre sul semiasse che comanda la ruota esterna, sempre in accordo con le (6.103), si ha un momento<br />
motore:<br />
M B M C<br />
1<br />
η<br />
=<br />
+ η<br />
I momenti motori sui semiassi, che nel caso ideale (η=1) erano uguali fra loro e pari alla metà del<br />
momento trasmesso dal portatreno, <strong>di</strong>fferiscono, nel caso reale ( η ≠ 1)<br />
nella marcia in curva, della<br />
quantità:<br />
1−η<br />
M A − M B = M C<br />
1+<br />
η<br />
e possono in marcia rettilinea <strong>di</strong>fferire al massimo della stessa quantità senza indurre rotazioni relative<br />
tra gli elementi del <strong>di</strong>fferenziale.<br />
Un parametro <strong>di</strong> confronto fra i due <strong>di</strong>fferenziali è il rapporto <strong>di</strong> bloccaggio b (locking factor) definito<br />
come rapporto tra la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> coppia tra le due ruote e il momento trasmesso MC :<br />
ΔM 1−η<br />
b = = (6.106)<br />
M C 1+<br />
η<br />
Il rapporto <strong>di</strong> bloccaggio fornisce un’in<strong>di</strong>cazione sulla <strong>di</strong>fferenza fra le coppie trasmissibili dalle ruote<br />
dello stesso asse e quin<strong>di</strong> un grado <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza l’una dall’altra. Un ren<strong>di</strong>mento η elevato produce<br />
un valore basso <strong>di</strong> b e dunque una forte <strong>di</strong>pendenza fra le coppie trasmissibili, viceversa con valori bassi<br />
del ren<strong>di</strong>mento. Per un <strong>di</strong>fferenziale or<strong>di</strong>nario con un ren<strong>di</strong>mento η = 0.9 il rapporto <strong>di</strong> bloccaggio è<br />
b ≅ 0.05 ; ciò significa che nel caso particolare in cui una ruota non possa trasmettere coppia la sua<br />
coniugata è in grado <strong>di</strong> trasferire al suolo una coppia pari a bMC e quin<strong>di</strong> pari al 5% della coppia<br />
riversata sull’assale.<br />
Di seguito esamineremo il comportamento <strong>di</strong> un <strong>di</strong>fferenziale frenato (Timken), <strong>di</strong> un <strong>di</strong>fferenziale<br />
autobloccante a frenatura progressiva e del <strong>di</strong>fferenziale Torsen.
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Il <strong>di</strong>fferenziale frenato<br />
Le (6.98) riscritte, per tener conto dell’azione della frizione e nel caso <strong>di</strong> un suo slittamento, <strong>di</strong>ventano:<br />
⎧⎪ M cΩ = M eωe + M iωi + M o ( ωe<br />
− Ω)<br />
⎨<br />
⎪⎩ M c = M e + M i<br />
dove con Mo si è in<strong>di</strong>cato il momento frenante. Tenuto conto della (6.97) si ottiene:<br />
⎧<br />
⎪M ( ) c 0<br />
cΩ = M eωe + M iωi + M o ω<br />
M M<br />
e − Ω ⎧ −<br />
M e =<br />
⎪ ⎪ 2<br />
⎨M c = M e + M i<br />
→ ⎨<br />
(6.107)<br />
⎪ M c + M 0<br />
ω M<br />
e + ω<br />
⎪<br />
i<br />
i =<br />
⎪Ω = ⎪⎩<br />
2<br />
⎩ 2<br />
La (6.107) <strong>di</strong>ce, tra l’altro, che durante la marcia in curva la ruota interna trasmette al terreno una<br />
coppia maggiore <strong>di</strong> quella trasmessa dalla ruota esterna.<br />
In caso <strong>di</strong> marcia rettilinea , qualora uno dei due semiassi possa trasmettere a terra una coppia limitata<br />
al valore Mmin l’altro semiasse avrebbe ancora <strong>di</strong>sponibile una coppia pari a M min + M 0 .<br />
In questo caso il momento totale trasmesso alle ruote motrici sarebbe pari a 2M min + M 0 , mentre nel<br />
caso <strong>di</strong> un <strong>di</strong>fferenziale normale tale coppia sarebbe solamente pari a 2M min .<br />
In effetti in questo configurazione il rapporto <strong>di</strong> bloccaggio, trascurando il ren<strong>di</strong>mento interno del<br />
<strong>di</strong>fferenziale, risulta pari a:<br />
M 0 b =<br />
M c<br />
Nel caso in cui una ruota perda completamente aderenza sull’altra si rende ancora <strong>di</strong>sponibile un<br />
momento pari a M0.<br />
Di seguito viene riportato il <strong>di</strong>agramma funzionale del <strong>di</strong>fferenziale frenato in cui il semiasse B è<br />
collegato alla ruota con scarsa aderenza e il momento massimo trasmissibile dalla frizione M0 è pari al<br />
25% del momento massimo trasmissibile dalla corona del <strong>di</strong>fferenziale.<br />
169
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Nel caso in cui la ruota poco aderente (B) non trasmetta alcuno sforzo al suolo, la ruota che conserva<br />
aderenza è in grado <strong>di</strong> trasmettere al suolo una coppia pari alla coppia massima erogabile dalla frizione<br />
(25% MC) .<br />
Qualora però la ruota poco aderente (B) sia in grado <strong>di</strong> trasmettere un qualche sforzo traente, il<br />
<strong>di</strong>agramma fornisce sia la coppia sull’altra ruota, sia lo sforzo totale <strong>di</strong> trazione. Ad esempio se la ruota<br />
poco aderente fornisce il 10%, la coppia su quella aderente sale al 30% e quin<strong>di</strong> lo sforzo <strong>di</strong> trazione<br />
raggiunge il 40%.<br />
Il <strong>di</strong>fferenziale autobloccante (self-locking <strong>di</strong>fferential) a frizione ZF a frenatura progressiva (LSD 1 )<br />
Sotto l’azione della coppia applicata la scatola del <strong>di</strong>fferenziale (2) porta in rotazione gli spingi<strong>di</strong>sco (3)<br />
e i <strong>di</strong>schi <strong>di</strong> frizione conduttori (9). Viene inoltre messo in rotazione tutto il complesso dei satelliti (4) e<br />
dei planetari (5) tramite i perni (6). Assieme ai planetari (5) ruotano i <strong>di</strong>schi <strong>di</strong> frizione (8) collegati ai<br />
rispettivi semiassi.<br />
Nella marcia normale i semiassi ricevono una coppia <strong>di</strong> reazione dovuta allo sforzo <strong>di</strong> avanzamento<br />
della vettura. I perni (6) premono sui piani inclinati (3) tendendo a <strong>di</strong>varicarli e quin<strong>di</strong> a premere tra <strong>di</strong><br />
loro i <strong>di</strong>schi condotti (8) e conduttori (9). Tale pressione è tanto maggiore quanto più elevata è la coppia<br />
<strong>di</strong> reazione sui semiassi.<br />
1 LSD è l’acronimo <strong>di</strong> Limited Slip Differential<br />
170
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Se una delle ruote dovesse perdere aderenza, i relativi semiasse planetario tenderebbero a ruotare più<br />
velocemente della scatola del <strong>di</strong>fferenziale (2), ma ne sono impe<strong>di</strong>ti dalla forza <strong>di</strong> attrito che si sviluppa<br />
tra i <strong>di</strong>schi <strong>di</strong> frizione condotti (8) e conduttori (9).<br />
Il <strong>di</strong>fferenziale Torsen (Torque Sensin)<br />
Il <strong>di</strong>fferenziale Torsen è un <strong>di</strong>spositivo che sfrutta il basso ren<strong>di</strong>mento interno per <strong>di</strong>versificare le<br />
coppie trasmissibili sui due semiassi. Può essere applicato come <strong>di</strong>fferenziale centrale nel collegamento<br />
tra gli assali anteriore e posteriore <strong>di</strong> una trasmissione integrale (ve<strong>di</strong> figura sopra riportata) o può<br />
essere applicato nel collegamento tra due ruote motrici.<br />
Gli estremi dei due semiassi sono costituiti da viti senza fine e rappresentano i solari. Vi sono poi tre<br />
coppie <strong>di</strong> ingranaggi elicoidali che fungono da satelliti. Questi sono collegati con la scatola del<br />
<strong>di</strong>fferenziale me<strong>di</strong>ante altrettanti perni e sono costantemente in presa fra loro me<strong>di</strong>ante una coppia <strong>di</strong><br />
ingranaggi a denti dritti calettati alle estremità. Quando le due ruote dell’asse sentono la stessa<br />
resistenza all’avanzamento tutti i satelliti ruotano rigidamente attorno all’asse del <strong>di</strong>fferenziale e non vi<br />
è strisciamento alcuno tra viti senza fine e ruote elicoidali.<br />
Se la <strong>di</strong>fferenza fra le aderenze e dunque fra le coppie resistenti fra le due ruote supera la somma degli<br />
attriti <strong>di</strong> primo <strong>di</strong>stacco che caratterizzano i componenti del Torsen, i satelliti iniziano a ruotare su se<br />
stessi e dunque ingranano fra loro ed ognuno con la rispettiva vite senza fine.<br />
Proprio il basso ren<strong>di</strong>mento che caratterizza l’accoppiamento vite senza fine e ruota elicoidale è alla<br />
base del funzionamento <strong>di</strong> questo <strong>di</strong>fferenziale.<br />
Ora, con riferimento alla schematizzazione del <strong>di</strong>spositivo sotto rappresentata, ricaviamo il ren<strong>di</strong>mento<br />
interno del <strong>di</strong>fferenziale.<br />
171
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Al solito, a carcassa fissa, imponiamo una rotazione qualsiasi al semiasse B.<br />
Il semiasse,tramite la vite senza fine, mette in rotazione la ruota elicoidale satellite con essa impegnata.<br />
La ruota elicoidale messa in rotazione dal semiasse B, tramite un ingranaggio con rapporto <strong>di</strong><br />
trasmissione unitario mette in rotazione la ruota dentata satellite gemella che, a sua volta mette in<br />
rotazione la vite senza fine e il semiasse ad essa solidale.<br />
Il <strong>di</strong>fferenziale Torsen, ai fini del calcolo del ren<strong>di</strong>mento interno, può essere pertanto schematizzato<br />
come una coppia vite senza fine − ruota in serie ad una coppia ruota − vite senza fine.<br />
Dalle (6.72) (6.73) si ricava pertanto:<br />
tan ( β −ϕ<br />
)<br />
η = ηVR ⋅ηRV ≅<br />
(6.108)<br />
tan β + ϕ<br />
( )<br />
−1<br />
dove β è l’angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a della vite e ϕ = tan f con f coefficiente d’attrito tra<br />
vite e ruota.<br />
L’angolo dell’elica tipico <strong>di</strong> questo <strong>di</strong>fferenziale è circa 40° e, con un coefficiente d’attrito f pari a circa<br />
0.1 si vede come si raggiungano facilmente ren<strong>di</strong>menti dell’or<strong>di</strong>ne del 60÷70%. 1<br />
Dalla (6.104) si ricavano le espressioni delle coppie ai semiassi in funzione del momento trasmesso<br />
all’assale.<br />
⎧ η<br />
⎪ M A = M C<br />
⎪ 1+<br />
η<br />
⎨<br />
ωB < ωA<br />
(6.109)<br />
⎪ 1<br />
M B = M C<br />
⎪ ⎩ 1+<br />
η<br />
Dalla (6.106) si vede che con i valori <strong>di</strong> η prima citati si ottiene un rapporto <strong>di</strong> bloccaggio pari a circa il<br />
66%.<br />
Ciò significa che nella peggiore delle ipotesi per cui risulti MA = 0 l’altra ruota può trasmetter fino al<br />
66% della coppia motrice.<br />
Dalla (6.105) si deduce infine che, nella marcia rettilinea, le rotazioni dei satelliti iniziano quando una<br />
delle coppie resistenti scende sotto il 17% della coppia motrice trasmessa su tutto l’assale.<br />
1 Considerando poi gli attriti <strong>di</strong> strisciamento prima trascurati (attrito tra perni e cuscinetto, tra gli ingranaggi<br />
cilindrici etc…) si arriva comodamente a ren<strong>di</strong>menti dell’or<strong>di</strong>ne del 20%.<br />
172
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Differenziali con <strong>di</strong>verso numero <strong>di</strong> denti dei solari<br />
Come abbiamo visto in precedenza, in un <strong>di</strong>fferenziale classico con ren<strong>di</strong>mento unitario, i momenti sui<br />
due semiassi si mantengono sempre uguali.<br />
Soprattutto nella trazione integrale sovente vi è l’esigenza <strong>di</strong> ripartire la coppia motrice in modo non<br />
simmetrico tra i due semiassi (ad esempio 60% della coppia motrice sul semiasse posteriore e il 40% sul<br />
semiasse anteriore)<br />
Il problema potrebbe risolversi agevolmente adottando un <strong>di</strong>fferenziale in cui il rapporto tra i numeri<br />
denti delle ruote solidali agli alberi colleganti i semiassi sia pari a 1.5.<br />
Nella situazione in cui Ω, ωa e ωp assumono lo stesso valore, ovvero in assenza <strong>di</strong> rotazioni interne, è<br />
facile riconoscere che il rapporto tra i momenti Ma ed Mp resi <strong>di</strong>sponibili rispettivamente al semiasse<br />
anteriore e posteriore vale:<br />
M p z p<br />
= (6.110)<br />
M z<br />
a a<br />
dove con za e zp si sono in<strong>di</strong>cati i numeri <strong>di</strong> denti dei solari collegati rispettivamente al semiasse<br />
anteriore e posteriore.<br />
Dalla (6.110), tenuto conto che la somma dei momenti sui solari deve essere pari al momento MC<br />
trasmesso dalla scatola del <strong>di</strong>fferenziale si ottiene:<br />
⎧ z p za<br />
⎪M<br />
p = M C<br />
⎪ 1+<br />
z p za<br />
⎨<br />
⎪ 1<br />
M p = M C ⎪<br />
⎩ 1+<br />
z p za<br />
173<br />
(6.111)<br />
Se za = 40 e zp = 60 e MC = 50 Nm, sui due assali, anteriore e posteriore, verranno rese <strong>di</strong>sponibili<br />
rispettivamente le coppie Ma = 20 Nm e Mp = 30 Nm.
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Esempio 6.20<br />
Un autocarro affronta alla velocità <strong>di</strong> 50 km/h una curva <strong>di</strong> raggio me<strong>di</strong>o 50 m.<br />
Determinare, con riferimento allo schema assegnato del ponte posteriore (sezione <strong>di</strong>fferenziale),:<br />
1. la frequenza <strong>di</strong> rotazione dei solari (frequenza coincidente con quella dei semiassi ad essi<br />
solidali);<br />
2. la frequenza <strong>di</strong> rotazione dei satelliti intorno al proprio perno;<br />
3. la frequenza <strong>di</strong> rotazione della scatola del <strong>di</strong>fferenziale;<br />
4. la frequenza <strong>di</strong> rotazione del pignone in ingresso.<br />
Si conoscono i seguenti dati:<br />
Carreggiata posteriore c 1835 mm<br />
Diametro esterno degli pneumatici dpn 40”<br />
Ponte posteriore:<br />
del tipo portante a doppia riduzione; una cilindrica e una conica:<br />
rapporto coppia cilindrica 14/59;<br />
rapporto coppia conica 15/29;<br />
rapporto totale <strong>di</strong> riduzione 1/8.15<br />
numero <strong>di</strong> denti dei solari 35<br />
numero <strong>di</strong> denti dei satelliti 30<br />
174
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Si determinano le velocità dei centri delle ruote motrici esterna ed interna.<br />
In<strong>di</strong>cata con v la velocità dell’autocarro, con R il raggio me<strong>di</strong>o della curva, si ha:<br />
R + c 2<br />
R − c 2<br />
ve = v<br />
vi = v<br />
R<br />
R<br />
dove ve e vi sono le velocità dei centri rispettivamente della ruota esterna ed interna.<br />
Le frequenze <strong>di</strong> rotazione ne e ni rispettivamente dei semiassi esterno ed interno valgono:<br />
( R + c )<br />
2 2 60<br />
ne = v<br />
R ⋅ d 2π<br />
pn<br />
( R − c )<br />
2 2 60<br />
ni = v<br />
R ⋅ d 2π<br />
Sostituendo i valori numerici ( d = 40⋅ 25.4 mm ) si ha:<br />
n ≅ 265.9 rpm n ≅ 256.3 rpm<br />
e i<br />
La frequenza <strong>di</strong> rotazione nD della scatola del <strong>di</strong>fferenziale vale:<br />
ne + ni<br />
nD = ≅ 261.1 rpm<br />
2<br />
pn<br />
Tenuto presente il rapporto tra i numeri <strong>di</strong> denti della coppia cilindrica, la frequenza <strong>di</strong> rotazione<br />
dell’albero interme<strong>di</strong>o nAI si ottiene da nD :<br />
59<br />
nAI = nD ≅ 1100.35 rpm<br />
14<br />
Tenuto presente il rapporto tra i numeri <strong>di</strong> denti della coppia conica, la frequenza <strong>di</strong> rotazione del<br />
pignone conico np si ottiene da nAI :<br />
29<br />
np = nAI ≅ 2127.34 rpm<br />
15<br />
Determinazione della frequenza <strong>di</strong> rotazione nsa dei satelliti rispetto al perno<br />
Si in<strong>di</strong>chino con ue e ui le velocità, in m/s, dei punti me<strong>di</strong> <strong>di</strong> contatto tra satellite e rispettivamente solare<br />
esterno ed interno. Siano inoltre m il modulo comune ai solari ed ai satelliti e zso e zsa i numeri <strong>di</strong> denti<br />
rispettivamente dei solari e dei satelliti. Si ha:<br />
pn<br />
175
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
2π zso ⋅ m 2π<br />
zso ⋅ m<br />
ue = ne ui = ni<br />
60 2 60 2<br />
e quin<strong>di</strong>, ve<strong>di</strong> fig. sopra<br />
2π zso ⋅ m 2π<br />
zso ⋅ m<br />
ne − ni<br />
60 2 60 2 2π<br />
zsom Δ u = = ne − ni<br />
2 60 ⋅ 4<br />
da cui infine:<br />
2π<br />
zsom ( ne − ni<br />
)<br />
60 4 60 zso<br />
( ne − ni<br />
)<br />
nsa<br />
= ⋅<br />
=<br />
zsam / 2 2π zsa<br />
2<br />
Sostituendo i valori numerici:<br />
2⋅ 35<br />
nsa = ( 265.9 − 256.3) ≅ 5.6 rpm<br />
30<br />
( )<br />
Il satellite è pertanto dotato <strong>di</strong> due rotazioni<br />
1) rotazione con frequenza nsa attorno al proprio asse;<br />
2) rotazione con frequenza nD attorno ai semimassi.<br />
Se l’asserzione al punto 2 è vera deve allora essere vera anche la seguente uguaglianza:<br />
um<br />
⋅ 2 60<br />
nD<br />
=<br />
zsom 2π<br />
Difatti:<br />
um ⋅ 2 60 60 ⎛ 2π<br />
zsom ⎛ ne + ni ⎞⎞<br />
ne + ni<br />
= ⎜ nD<br />
zsom 2π π zsom 60 2<br />
⎜ ⎟ = =<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ ⋅ ⎝ ⎠⎠<br />
2<br />
176
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Bibliografia<br />
Amato T<br />
Analisi del comportamento <strong>di</strong>namico <strong>di</strong><br />
veicoli dotati <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenziali (tesi <strong>di</strong><br />
dottorato)<br />
177<br />
UNIPI<br />
Galassini A Macchine utensili Hoepli<br />
Gazzaniga L Il libro degli ingranaggi Hoepli<br />
Giovannozzi R Costruzione <strong>di</strong> Macchine vol.2 Patron<br />
Grant G B A treatise on gear wheels Lexington<br />
Guido AR, Della Pietra E Lezioni <strong>di</strong> meccanica delle <strong>macchine</strong> vol.2 CUEN<br />
Guiggiani M<br />
Generazione per inviluppo <strong>di</strong> ruote<br />
UNIPI<br />
dentate ad evolvente<br />
HannaH J, Stephens RC Mechanics of Machines Arnold<br />
Henriot G. Ingranaggi <strong>vol.1</strong> Tecniche Nuove<br />
Jacazio B, Piombo B Meccanica Applicata vol.2 Levrotto & Bella<br />
Morelli A Progetto dell’autoveicolo Celid<br />
Norton RL Machine Design Pearson<br />
Ottani M Corso <strong>di</strong> Meccanica vol.3 Cedam<br />
Pierotti P Meccanica vol.2 -3 Calderini<br />
Pollone G. Il veicolo Levrotto & Bella<br />
Shigley JE et al. Progetto e <strong>costruzione</strong> <strong>di</strong> <strong>macchine</strong> McGraw-Hill<br />
Shih S, Bowerman W<br />
An evaluation of Torque bias and<br />
efficiency of Torsen <strong>di</strong>fferenzial<br />
SAE<br />
Straneo SL et al. Disegno, progettazione… vol. 2 Principato
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
APPENDICE: simulazione <strong>di</strong> prove d’esame finale<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.1<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
L’albero motore <strong>di</strong> figura riceve il moto, tramite una trasmissione a cinghie trapezoidali, da un motore<br />
asincrono trifase a due coppie <strong>di</strong> poli sviluppante una potenza <strong>di</strong> 10 kW. Sapendo che il rapporto tra i<br />
<strong>di</strong>ametri della puleggia maggiore (solidale con il motore) e la puleggia minore è pari a 1.2 e che il<br />
rapporto <strong>di</strong> ingranaggio è 2.5, scegliendo con giustificato criterio ogni altro dato mancante, si richiede<br />
<strong>di</strong> determinare:<br />
1. il numero e il tipo <strong>di</strong> cinghie della trasmissione, verificando eventualmente che l’angolo <strong>di</strong><br />
creep si mantenga inferiore all’angolo <strong>di</strong> avvolgimento sulla puleggia minore;<br />
2. il <strong>di</strong>ametro minimo dell’albero condotto e dell’albero motore;<br />
3. il modulo minimo dell’ingranaggio (con verifica a flessione e a pressione);<br />
4. iI <strong>di</strong>ametro del perno <strong>di</strong> estremità A ricavato sull’albero motore (con verifica al riscaldamento).<br />
178
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Calcolo della trasmissione a cinghia trapezoidale<br />
Calcolo della sezione <strong>di</strong> cinghia<br />
Calcolo del numero <strong>di</strong> cinghie<br />
179
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Verifica della trasmissione<br />
Calcolo dell’ingranaggio<br />
Calcolo secondo Lewis<br />
Calcolo a pressione<br />
180
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Calcolo delle reazioni vincolari e dei momenti flettenti<br />
Momento torcente sull’albero motore<br />
2 ⋅π ⋅ n 2 ⋅π ⋅1800<br />
ω = = ≅ 188.5 rad/s<br />
60 60<br />
Il momento torcente Mt, in<strong>di</strong>cata con N la potenza all’albero motore, vale:<br />
N 10 ⋅1000<br />
M t = = ≅ 53 Nm<br />
ω 188.5<br />
Forze sulla ruota<br />
La forza tangenziale T, in<strong>di</strong>cato con dp il <strong>di</strong>ametro primitivo (135 mm) della ruota, vale:<br />
2M<br />
t T = ≅ 785 N<br />
d<br />
p<br />
La forza ra<strong>di</strong>ale R, in<strong>di</strong>cato con α (20°) l’angolo <strong>di</strong> pressione, vale:<br />
R = T ⋅ tanα ≅ 286 N<br />
Tiro <strong>di</strong> cinghia<br />
Il tiro <strong>di</strong> cinghia 2T 0 , in<strong>di</strong>cati con d pul il <strong>di</strong>ametro primitivo della puleggia montata sull’albero<br />
motore e con fs il fattore <strong>di</strong> servizio della trasmissione a cinghia, vale:<br />
fs ⋅ M t<br />
2T0 = 4 ≅ 1379 N<br />
d<br />
pul<br />
Schema <strong>di</strong> carico dell’albero motore<br />
V ≅ 1229 N V ≅<br />
436 N<br />
ay by<br />
181
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Vaz ≅ 218 N Vbz<br />
≅ 567 N<br />
Il momento flettente risultante massimo si trova in corrispondenza della puleggia.<br />
M ≅ + ≅<br />
2 2<br />
fR max 92 16.3 93.5 Nm<br />
Calcolo dell’albero<br />
Posti coefficienti kt e kf pari a 1.5 e la tensione si snervamento pari a 650 MPa, il <strong>di</strong>ametro minimo<br />
dell’albero vale 1 :<br />
Calcolo del perno <strong>di</strong> estremità<br />
Il carico agente sul perno vale:<br />
F = V + V ≅ 1248 N<br />
2 2<br />
ay bz<br />
Posto un rapporto caratteristico pari a 1.2 il <strong>di</strong>ametro del perno risulta pari a:<br />
1 La tensione ammissibile a torsione è stata posta pari al 22.5% del carico <strong>di</strong> snervamento<br />
182
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
183
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.2<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
Un motore elettrico, sviluppante una potenza <strong>di</strong> 24 kW e con due coppie polari, è collegato, tramite un<br />
giunto a <strong>di</strong>schi, ad una puleggia a gole per cinghie trapezoidali che trasmette il moto ad una puleggia<br />
<strong>di</strong> uguale <strong>di</strong>ametro calettata a sbalzo sull’albero interme<strong>di</strong>o .<br />
Detto albero interme<strong>di</strong>o, tramite un ingranaggio cilindrico a denti <strong>di</strong>ritti con rapporto <strong>di</strong> ingranaggio<br />
2.5, trasmette il moto all’utilizzatore.<br />
Il can<strong>di</strong>dato, scelto con giustificato criterio ogni eventuale dato mancante, deve:<br />
1. scegliere a catalogo il modello <strong>di</strong> giunto e verificarne le viti collegamento;<br />
2. scegliere il tipo e il numero <strong>di</strong> cinghie atte a realizzare la trasmissione, verificando<br />
opzionalmente se l’angolo <strong>di</strong> creep è inferiore all’angolo <strong>di</strong> avvolgimento;<br />
3. determinare il modulo minimo dell’ingranaggio tramite un calcolo <strong>di</strong> progetto secondo Lewis<br />
(semplificato) e una successiva verifica a pressione;<br />
4. determinare, in prima approssimazione, il <strong>di</strong>ametro minimo dell’albero interme<strong>di</strong>o e valutare<br />
l’angolo <strong>di</strong> torsione corrispondente.<br />
184
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Scelta e verifica del giunto<br />
Calcolo della cinghia (definizione del tipo)<br />
185
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Calcolo della cinghia (scelta del numero delle cinghie)<br />
Calcolo della cinghia (verifica)<br />
186
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Calcolo del modulo secondo Lewis<br />
Calcolo del modulo a pressione<br />
Momenti flettenti in due piani ortogonali<br />
187
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Momenti flettenti risultanti<br />
M M<br />
2 2 2 2<br />
frA = 298 + 79 ≅ 308 Nm frB = 340 + 125 ≅ 362 Nm<br />
Momento torcente<br />
N 24000 ⋅ 60<br />
M t = = ≅153<br />
Nm<br />
ω 2π ⋅1500<br />
Calcolo del <strong>di</strong>ametro minimo dell’albero<br />
Determinazione dell’angolo <strong>di</strong> torsione<br />
32⋅ M t ⋅ L 32⋅153000 ⋅ 450<br />
θ = = ≅ 0.0061 rad → 0.35°<br />
4 4<br />
π ⋅ d ⋅G π ⋅35 ⋅77000<br />
.<br />
188
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.3<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
Di un motore Diesel, quadri cilindrico a quattro tempi, sono noti i seguenti dati:<br />
1. Rapporto corsa <strong>di</strong>ametro C/D 1.6<br />
2. Velocità me<strong>di</strong>a degli stantuffi vm 4 m/s<br />
3. Velocità <strong>di</strong> rotazione n 320 rpm<br />
4. Pressione massima nel cilindro pmax 90 bar<br />
Assumendo con opportuno criterio ogni altro dato occorrente, si esegua il <strong>di</strong>mensionamento della<br />
biella, a sezione uniforme, a doppio T con lunghezza pari a 0.85 m.<br />
s = 0.35 h<br />
b = h<br />
c = 0.25 h<br />
Proporzionamento della sezione<br />
Il tempo impiegato a compire un giro vale:<br />
60 60<br />
t = = = 0.1875 s<br />
n 320<br />
In un giro il pistone percorre due corse complete, pertanto si ha:<br />
2C<br />
vm ⋅t<br />
vm = → C = ≅ 0.375 m<br />
t 2<br />
Il <strong>di</strong>ametro, noto il rapporto C/D, vale:<br />
C 0.375<br />
D = = ≅ 0.234 m<br />
C / D 1.6<br />
Il raggio <strong>di</strong> manovella è pari alla metà della corsa:<br />
C<br />
R = = 0.1875 m<br />
2<br />
L’area del pistone vale:<br />
2<br />
π D<br />
2<br />
Ap<br />
= ≅ 0.043 m<br />
4<br />
La forza max sul pistone vale:<br />
5<br />
Fmax = pmax ⋅ Ap<br />
= 90 ⋅10 ⋅ 0.0043 ≅<br />
387047 N<br />
189
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
RISOLUZIONE<br />
190
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.4<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
Una manovella <strong>di</strong> estremità, <strong>di</strong> raggio 280 mm e ruotante a 150 rpm, movimenta una pompa a<br />
stantuffo monocilindrica a semplice effetto che trasferisce all’acqua una energia H pari 300 J/kg .<br />
Nell’ipotesi che lo stantuffo della pompa abbia un <strong>di</strong>ametro Dp pari a 340 mm, scelti<br />
convenientemente gli eventuali dati mancanti, il Can<strong>di</strong>dato:<br />
1. determini la pressione <strong>di</strong> mandata;<br />
2. valuti la potenza assorbita dalla pompa nell’ipotesi che la stessa abbia un ren<strong>di</strong>mento<br />
dell’85%;<br />
3. progetti e verifichi la manovella <strong>di</strong> estremità.<br />
Determinazione della pressione e della potenza assorbita<br />
ha:<br />
La corsa C dello stantuffo è pari a due volte il raggio <strong>di</strong> manovella R:<br />
C = 2R = 560 mm<br />
In una pompa volumetrica la pressione si mantiene pressoché costante lungo tutta la corsa <strong>di</strong><br />
mandata.<br />
Il lavoro trasferito al fluido, in<strong>di</strong>cata con p tale pressione, vale:<br />
2<br />
π ⋅ DP<br />
L = p ⋅ C<br />
4<br />
Ad ogni giro <strong>di</strong> manovella, in<strong>di</strong>cata con δ la densità del fluido, viene elaborata una massa<br />
d’acqua pari a:<br />
2<br />
DP<br />
M C 51 kg<br />
4<br />
π ⋅<br />
= δ ⋅ ⋅ ≅<br />
Tenuto presente che la pompa trasferisce al fluido una quantità <strong>di</strong> energia H pari a 300J/kg, si<br />
L<br />
H = → L = M ⋅ H ≅ 15260 J<br />
M<br />
La pressione <strong>di</strong> mandata vale ovviamente:<br />
4⋅<br />
L<br />
p = ≅ 3 bar<br />
2<br />
π ⋅ DP ⋅C<br />
La forza F sul pistone, costante durante la corsa <strong>di</strong> mandata, vale:<br />
2<br />
π ⋅ DP<br />
F = p ≅ 27239 N<br />
4<br />
Lla potenza trasferita la fluido è pari al rapporto tra L e il tempo t impiegato a compiere un<br />
giro:<br />
L 15260 ⋅150<br />
Nu<br />
= ≅ ≅ 38 kW<br />
t 60<br />
La potenza assorbita dalla pompa, noto il suo ren<strong>di</strong>mento, vale:<br />
Nu<br />
Na<br />
= ≅<br />
45 kW<br />
η<br />
191
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Progetto e verifica della manovella<br />
Calcolo del bottone<br />
Il calcolo del bottone viene effettuato, per le pompe volumetriche, considerando un angolo <strong>di</strong><br />
manovella pari a 90°. In tale posizione, ipotizzando una lunghezza della biella pari a tre volte il<br />
raggio <strong>di</strong> manovella, la forza che si scarica sul perno vale:<br />
F<br />
27239<br />
FP<br />
= ≅ ≅ 28891 N<br />
⎛ −1 ⎛ R ⎞⎞ ⎛ −1<br />
⎛ 1 ⎞⎞<br />
cos⎜ sin ⎜ ⎟ cos sin ⎜ ⎟<br />
l<br />
⎟ ⎜<br />
3<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠<br />
Ritenuto <strong>di</strong> realizzare il perno in C40 bonificato, possiamo ipotizzare una tensione ammissibile<br />
a flessione pari a 70 MPa e una pressione ammissibile 1 perno-cuscinetto pari a 4 MPa.<br />
Fissato inoltre il rapporto caratteristico del perno pari a 1.1, si ha infine:<br />
Calcolo dell’albero<br />
Il calcolo dell’albero viene effettuato, nelle pompe volumetriche, considerando la biella<br />
perpen<strong>di</strong>colare alla manovella. In tale posizione, in<strong>di</strong>cato con γ l’angolo formato dalla biella<br />
con la congiungente il piede <strong>di</strong> biella con l’asse del perno <strong>di</strong> banco, le sollecitazioni <strong>di</strong><br />
momento flettente e torcente agenti sul perno <strong>di</strong> banco valgono:<br />
F F<br />
M f = ⋅ a M t = ⋅ R<br />
cosγ cosγ<br />
dove con a si è in<strong>di</strong>cata la <strong>di</strong>stanza (incognita) tra le mezzerie del perno <strong>di</strong> manovella e del<br />
perno <strong>di</strong> banco. In prima approssimazione tale <strong>di</strong>stanza a può essere posta pari a quattro volte<br />
il <strong>di</strong>ametro del bottone <strong>di</strong> manovella (calcolato al punto precedente).<br />
Si ha pertanto:<br />
F<br />
27239<br />
M f = ⋅ a ≅ ⋅ 4⋅ 81 ≅ 9303 Nm<br />
cosγ ⎛ -1 ⎛ 1 ⎞⎞<br />
cos⎜ tan ⎜ ⎟<br />
3<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠⎠<br />
F<br />
M t = ⋅ R ≅ 8039 Nm<br />
cosγ<br />
Componendo le tensioni secondo von Mises, il momento flettente ideale risulta pari a:<br />
M = M + 0.75M ≅ 11620 Nm<br />
2 2<br />
fi f t<br />
Ritenuto <strong>di</strong> realizzare l’albero in C40 bonificato possiamo ipotizzare una tensione ammissibile a<br />
trazione pari a circa 80 MPa.<br />
Il <strong>di</strong>ametro dell’albero risulta pertanto pari a:<br />
1 La pressione ammissibile della coppia perno cuscinetto <strong>di</strong>pende dai materiali formanti la coppia, dal grado <strong>di</strong><br />
finitura delle superficie e dalle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento<br />
192
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
d<br />
32 ⋅ M 32 ⋅11620 ⋅10<br />
π ⋅σ π ⋅80<br />
3<br />
≥ 3<br />
fi<br />
≅ 3<br />
≅<br />
amm<br />
Dimensionamento e verifica della manovella<br />
114 mm<br />
Proporzionamento della manovella (mm)<br />
d 81 s 65<br />
L 89 D2 217<br />
D1 182 L2 119<br />
L1 130 D 114<br />
b 194 c 204<br />
Verifica del braccio(tensioni ideali), MPa<br />
Sezione n-n Fibra 1 18<br />
Fibra 1 16<br />
Sezione m-m Fibra 2<br />
Fibra 3<br />
17<br />
Una volta noti il <strong>di</strong>ametro del perno e dell’albero si proporziona la manovella secondo quanto in<strong>di</strong>cato<br />
dai Manuali Tecnici.<br />
Una volta proporzionata la manovella si procede alla verifica delle sezioni più sollecitate: le sezioni n-n<br />
ed m-m rappresentate in figura.<br />
Verifica della sezione n-n<br />
193
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Tale sezione 1 viene verificata ponendo il manovellismo al punto morto superiore e considerando la<br />
flessione Mfn composta con l’unica compressione dovuta ad F. In<strong>di</strong>cata con l la lunghezza del perno si<br />
ha:<br />
⎛ l + s ⎞ ⎛ 89 + 65 ⎞<br />
M fn = F ⎜ ⎟ ≅ 27239 ⋅⎜ ⎟ ≅ 2097 Nm<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
6 ⋅ M fn<br />
σ fn = ≅ 15.3 MPa<br />
2<br />
b ⋅ s<br />
La tensione <strong>di</strong> compressione vale:<br />
F 27239<br />
σ cn = ≅ ≅ 2.16 MPa<br />
b ⋅ s 194 ⋅ 65<br />
La tensione totale vale pertanto:<br />
σ1c = σ fn + σ cn ≅ 18 MPa<br />
La sezione n-n, considerato <strong>di</strong> realizzare la manovella con un acciaio Fe490 con tensione ammissibile<br />
intorno ai 50 MPa risulta ampiamente verificata.<br />
Verifica della sezione m-m<br />
In una pompa volumetrica, la verifica va condotta in posizione <strong>di</strong> quadratura (biella perpen<strong>di</strong>colare alla<br />
manovella). In tale posizione si considerano agenti la torsione e la flessione dovute alla forza F cosγ<br />
⎛ l + s ⎞<br />
α ⋅ F ⋅⎜ ⎟<br />
2<br />
⎛ s ⎞<br />
τ max1 =<br />
⎝ ⎠<br />
≅ 9.1 MPa α ≅ 3 1.8<br />
2<br />
⎜ + ⎟<br />
cosγ<br />
⋅ c ⋅ s ⎝ c ⎠<br />
La tensione ideale sulla fibra 1 (punto me<strong>di</strong>o del lato lungo c) vale pertanto<br />
σ idm1<br />
= 3 ⋅τ max1 ≅ 16 MPa<br />
La fibra 2, la cui traccia coincide con il punto me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> s, è sottoposta ad una tensione <strong>di</strong> torsione e <strong>di</strong><br />
flessione.<br />
La tensione <strong>di</strong> torsione può calcolarsi, in prima approssimazione, in funzione <strong>di</strong> τ max1 :<br />
τ min 2 ≅ 0.8 ⋅τ max1 ≅ 7.3 MPa<br />
La tensione <strong>di</strong> flessione è generata dall’azione della forza F cosγ<br />
agente con un braccio<br />
R R D<br />
1 2 2 = −<br />
F<br />
6<br />
σ fm2<br />
= ( R − D2<br />
/ 2) ≅ 11 MPa<br />
2<br />
cosγ<br />
s ⋅ c<br />
La tensione ideale sulla fibra 2 vale:<br />
σ = σ + 3⋅τ ≅ 17 MPa<br />
2 2<br />
idm2 fm2<br />
min 2<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.5<br />
1 La sezione n-n ha <strong>di</strong>mensioni b s<br />
⋅ , con s nota dal proporzionamento scelto, e b ricavabile per via analitica o<br />
grafica.<br />
194
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
Un autoveicolo, il cui motore sviluppa una potenza <strong>di</strong> 55 kW al regime <strong>di</strong> 5100 rpm, deve essere<br />
munito <strong>di</strong> una frizione del tipo mono<strong>di</strong>sco a secco.<br />
Il Can<strong>di</strong>dato, fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, <strong>di</strong>mensioni l’innesto e le relative molle<br />
spingi<strong>di</strong>sco.<br />
Schema <strong>di</strong> una frizione automobilistica caricata con molle elicoidali<br />
195
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Dimensionamento dell’innesto<br />
Determinazione della coppia T in funzione della potenza N e della velocità angolare ω<br />
N 55⋅1000 ⋅60<br />
T = = ≅103<br />
Nm<br />
ω 2π ⋅5100<br />
La coppia <strong>di</strong> calcolo TC deve essere maggiorata per tenere conto <strong>di</strong> una quantità <strong>di</strong> eventualità<br />
concomitanti (variazione del coefficiente d’attrito dovuto al rialzo termico, ce<strong>di</strong>menti plastici delle<br />
molle, etc..)<br />
TC = k ⋅T ≅ 1.8 ⋅103 ≅ 185 Nm<br />
Nell’ipotesi <strong>di</strong> realizzare la frizione con superficie <strong>di</strong> contatto ferodo/acciaio e funzionamento a secco,<br />
si riportano il coefficiente d’attrito f e la pressione specifica ammissibile pmax su cui si può fare<br />
affidamento.<br />
f ≅ 0.35 pmax<br />
≅ 0.3 MPa<br />
In<strong>di</strong>cato con n il numero <strong>di</strong> superficie striscianti, il raggio esterno del <strong>di</strong>sco <strong>di</strong> frizione può essere<br />
determinato con la seguente relazione (ipotesi <strong>di</strong> Reye)<br />
1 3 1 3<br />
⎛ 3 3 ⋅T ⎞ ⎛ C 3 3 ⋅185 ⋅1000<br />
⎞<br />
re<br />
= ⎜ = ≅ 90 mm<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2n ⋅π ⋅ pamm ⋅ f ⎟ ⎜ 2⋅ 2⋅ π ⋅ 0.3⋅ 0.35 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
A cui corrisponde un <strong>di</strong>ametro esterno <strong>di</strong> 180 mm.<br />
Si sceglie pertanto un <strong>di</strong>sco <strong>di</strong> frizione normalizzato avente <strong>di</strong>ametro esterno (De) <strong>di</strong> 184 mm e un<br />
<strong>di</strong>ametro interno (Di) pari a 127 mm.<br />
La forza minima P necessaria a garantire la trasmissione del momento <strong>di</strong> calcolo TC vale:<br />
4TC<br />
P = ≅ 3400 N<br />
f D + D ⋅ 2<br />
( )<br />
e i<br />
A cui corrisponde una “pressione me<strong>di</strong>a” pari a:<br />
4 ⋅ P<br />
pm<br />
= ≅ 0.25 MPa<br />
2 2<br />
π D − D<br />
( e i )<br />
valore coerente con i dati <strong>di</strong> letteratura.<br />
Dimensionamento delle molle spingi<strong>di</strong>sco<br />
Si ipotizza <strong>di</strong> dotare la frizione <strong>di</strong> sei molle spingi<strong>di</strong>sco. Ogni molla pertanto dovrà, a frizione inserita 1 ,<br />
garantire un carico F pari a:<br />
P<br />
F = ≅ 567 N<br />
6<br />
Si ipotizza <strong>di</strong> realizzare la molla in acciaio armonico C98, con un <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o D <strong>di</strong> 30 mm, in grado<br />
<strong>di</strong> esercitare una forza F <strong>di</strong> 567 N in corrispondenza <strong>di</strong> un’altezza <strong>di</strong> lavoro L pari a 30 mm.<br />
Si fissano il coefficiente <strong>di</strong> sicurezza η e il margine <strong>di</strong> sovraccarico ξ come <strong>di</strong> seguito riportato:<br />
η ≅ 1.2 ξ ≅ 0.15<br />
Il progetto del <strong>di</strong>ametro d del filo si conduce verificando la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> blocco senza fare uso dei<br />
fattori correttivi <strong>di</strong> Whal o Bergsträsser.<br />
0.56⋅ σ 8⋅ ( 1+<br />
ξ ) ⋅ F ⋅ D<br />
R ≥ 3<br />
η π ⋅ d<br />
→<br />
0.56 2211 49813<br />
≥ 0.145 3<br />
1.2 d d<br />
2.855<br />
→ d ≅ 56.3 → d ≅ 4<br />
Si calcola la freccia unitaria ossia la freccia per ogni spira:<br />
1 Si noti che il carico maggiore sulla molla si ha durante la manovra <strong>di</strong> <strong>di</strong>sinnesto. Nel <strong>di</strong>mensionamento <strong>di</strong><br />
massima qui presentato si fa riferimento invece al carico agente sulla molla a frizione inserita.<br />
196
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
3 3<br />
f 8⋅ F ⋅ D 8⋅ 567 ⋅30<br />
= ≅ ≅ 5.87 mm/spira<br />
4 4<br />
i G ⋅ d 81500 ⋅ 4<br />
a<br />
Il numero <strong>di</strong> spire attive e la freccia indotta dal carico F, considerando una molla avvolta a freddo,<br />
valgono:<br />
L − 2d<br />
ia = ≅ 4.5 → f ≅ 26.4 mm<br />
f i ⋅ ξ + d<br />
( )<br />
a<br />
Il numero <strong>di</strong> spire totali vale:<br />
i = i + 2 = 6.5<br />
t a<br />
La lunghezza libera della molla risulta:<br />
L = L + f = L + f i ⋅i ≅ 56.4 mm<br />
0<br />
( )<br />
a a<br />
La lunghezza a blocco vale:<br />
L = i ⋅ d = 26 mm<br />
b t<br />
La rigidezza della molla vale:<br />
F<br />
k = ≅ 21.5 N/mm<br />
L − L<br />
0<br />
Una volta <strong>di</strong>mensionata la molla si deve controllare che la somma dei vuoti interspira S sotto carico sia<br />
maggiore della somma minima Smin regolamentare (con riferimento sempre ad una molla avvolta a<br />
freddo)<br />
S = L − L = 30 − 26 = 4 mm<br />
b<br />
⎛<br />
2<br />
⎞<br />
D<br />
Smin = ia ⎜0.0015 + 0.1d ⎟ ≅ 3.31 mm<br />
⎝ d ⎠<br />
La somma dei vuoti interspira sod<strong>di</strong>sfa le con<strong>di</strong>zioni richieste.<br />
Infine si valuta l’instabilità laterale nell’ipotesi che entrambe le estremità siano guidate (ν=0.5)<br />
Poiché<br />
197
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
L0 f<br />
v ≅ 0.94 ≅ 0.88<br />
D D<br />
La verifica all’instabilità laterale è da ritenersi sod<strong>di</strong>sfatta.<br />
Dimensioni e caratteristica della molla<br />
Materiale C98 ia 4.5 F (N) 567<br />
d (mm) 4 it 6.5 Fb (N) 653<br />
De (mm) 34 L0 (mm) 56.4 Δ (mm) 4<br />
Di (mm) 26 Lb (mm) 26 k (N/mm) 21.5<br />
D (mm) 30 L (mm) 30 Avvolgim. dx<br />
198
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.6<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
Una macchina motrice a regime assoluto, sviluppante la potenza <strong>di</strong> 80 kW, è collegata, tramite un<br />
giunto a <strong>di</strong>schi, ad una macchina operatrice il cui momento resistente (comprensivo delle resistenze<br />
utili e passive) è pari, a regime, a 400 N m.<br />
Allorché si azzera il carico e viene contemporaneamente interrotta l’erogazione della potenza motrice<br />
il sistema ruotante, costituito dalla motrice e dall’operatrice, inizia la fase <strong>di</strong> decelerazione, fino al<br />
completo arresto, per effetto dell’inerzia delle masse ruotanti e delle resistenze passive.<br />
Nell’ipotesi che le suddette masse ruotanti realizzino, rispetto all’asse <strong>di</strong> rotazione, un momento <strong>di</strong><br />
inerzia I = 0,5 kgm 2 e che alle resistenze passive corrisponda un momento (costante) pari a 12 Nm, il<br />
can<strong>di</strong>dato determini il tempo che il sistema impiega ad arrestarsi completamente, dall’istante in cui<br />
inizia la fase <strong>di</strong> decelerazione, nonché l’energia <strong>di</strong>ssipata dalle resistenze passive in tale fase.<br />
Fissando, inoltre, con opportuno criterio i dati occorrenti, calcoli le <strong>di</strong>mensioni dei bulloni <strong>di</strong><br />
collegamento dei <strong>di</strong>schi del giunto e descriva, infine, il ciclo <strong>di</strong> lavorazione per la fabbricazione in<br />
me<strong>di</strong>a serie dei suddetti <strong>di</strong>schi.<br />
Schema della trasmissione<br />
199
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
MOTORE UTILIZZATORE<br />
In con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime (assenza <strong>di</strong> accelerazione) la coppia motrice Cm deve uguagliare la coppia<br />
resistente Cr, ovvero deve essere:<br />
Cm = Cr = 400 N m<br />
La velocità <strong>di</strong> rotazione ω i del sistema, a regime, vale:<br />
N 80000<br />
ω i = = = 200 rad / s<br />
Cm<br />
400<br />
dove con N si è in<strong>di</strong>cata la potenza motrice espressa in W.<br />
L’energia cinetica del sistema rotante vale:<br />
1 2<br />
EC = I ⋅ω<br />
= 10000 J<br />
2<br />
La decelerazione angolare ε del sistema vale:<br />
Cr<br />
' 12<br />
2<br />
ε = = = 24 rad / s<br />
I 0.5<br />
dove con Cr ’ si è in<strong>di</strong>cato il momento frenante corrispondente alle resistenze passive.<br />
Il tempo t che il sistema impiega a fermarsi completamente si ricava scrivendo l’espressione della<br />
velocità angolare istantanea:<br />
ω = ω − ε ⋅ t<br />
f<br />
i<br />
da cui, ponendo nulla la velocità finale, si ottiene:<br />
ωi 200<br />
t = = = 8.<br />
3 s<br />
ε 24<br />
L’energia <strong>di</strong>ssipata dalle resistenze passive durante la fase <strong>di</strong> decelerazione è pari all’energia cinetica<br />
iniziale EC ovvero 10000 J<br />
200
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Calcolo del giunto<br />
Il giunto viene scelto a catalogo e successivamente si verificheranno le viti <strong>di</strong> collegamento.<br />
Il giunto deve trasmettere a regime una coppia pari a 400 Nm.<br />
Per tener conto <strong>di</strong> eventuali sovraccarichi si aumenta la coppia massima trasmissibile Mt ad un valore<br />
pari a:<br />
M t<br />
m<br />
= 1 . 2 ⋅ C = 480Nm<br />
Il <strong>di</strong>ametro dell’albero d si calcola, in prima approssimazione, a torsione pura ipotizzando, nel caso<br />
dell’utilizzo <strong>di</strong> un acciaio C40, una tensione ammissibile <strong>di</strong> torsione 1 pari a 40 N/mm 2 .<br />
16 ⋅ M t 16⋅<br />
480000<br />
d = 3 = 3<br />
≅ 40 mm<br />
π ⋅τ<br />
π ⋅ 40<br />
max<br />
In base al momento da trasmettere Mt, al <strong>di</strong>ametro ipotizzato dell’albero d e al regime <strong>di</strong> rotazione si<br />
sceglie a catalogo il giunto adatto.<br />
Si è scelto il giunto con <strong>di</strong>ametro esterno D pari a 160 mm e dotato <strong>di</strong> 4 viti M12x1.25.<br />
Nel calcolo del giunto si ipotizza che i bulloni non siano sottoposti a taglio e che il momento torcente<br />
sia trasmesso esclusivamente per attrito tra le superficie a contatto delle flange.<br />
La relazione tra la forza assiale F esercitata dai bulloni <strong>di</strong> serraggio e il momento trasmissibile Mt,<br />
in<strong>di</strong>cato con f il coefficiente <strong>di</strong> attrito tra le superficie a contatto, con nv il numero dei bulloni e con Dm<br />
il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o delle superficie a contatto, vale:<br />
2 ⋅ M t F =<br />
f ⋅ n ⋅ D<br />
v<br />
m<br />
D + D1<br />
160 + 75<br />
Dm ≅ = = 117.5 mm<br />
2 2<br />
Posto il coefficiente d’attrito pari a 0.3, sostituendo gli altri valori numerici, si ottiene:<br />
2⋅<br />
480000<br />
F =<br />
≅ 6808 N<br />
4⋅<br />
0.<br />
3⋅117.<br />
5<br />
Il momento torcente Mv indotto sul fusto della vite per effetto del serraggio, atto a generare una forza<br />
assiale F, vale:<br />
dm<br />
M v = F ⋅ ⋅ tan(<br />
α + ϕ)<br />
2<br />
α angolo <strong>di</strong> inclinazione dell’elica me<strong>di</strong>a del filetto<br />
ϕ angolo <strong>di</strong> semiapertura del cono d’attrito tra vite e madrevite<br />
<strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vite<br />
dm<br />
Il valore <strong>di</strong> tan(α +ϕ ) può essere approssimato a 0.2 e il <strong>di</strong>ametro me<strong>di</strong>o della vite può essere<br />
ritenuto pari al <strong>di</strong>ametro nominale <strong>di</strong> filettatura.<br />
1 La tensione ammissibile a torsione deve essere, in questa fase, scelta convenientemente bassa per tener conto <strong>di</strong><br />
eventuali sovraccarichi, degli effetti <strong>di</strong> intaglio e degli effetti flettenti.<br />
201
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
M<br />
v<br />
d m = F ⋅ ⋅ tan ϕ<br />
2<br />
12<br />
2<br />
( α + ) = 6808⋅<br />
⋅0.<br />
2 = 8170Nm<br />
Le tensioni <strong>di</strong> trazione σ e <strong>di</strong> torsione τ valgono:<br />
4⋅<br />
F<br />
σ =<br />
π ⋅d<br />
2<br />
m<br />
16⋅<br />
M<br />
τ =<br />
π ⋅d<br />
4⋅<br />
6808<br />
≅ = 60 N<br />
2<br />
π ⋅12<br />
16⋅<br />
8170<br />
v ≅ =<br />
3<br />
3<br />
m π ⋅12<br />
24 N<br />
mm<br />
2<br />
mm<br />
La tensione ideale σ i vale, secondo von Mises, vale:<br />
σ<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
i = σ + 3⋅τ = 60 + 3⋅<br />
24 = 73 N mm<br />
2<br />
Ipotizzando che i bulloni siano realizzati in acciaio 8.8, il valore della tensione ideale sopra determinata<br />
è ampiamente accettabile. In effetti il coefficiente <strong>di</strong> sicurezza ξ , nei confronti del carico <strong>di</strong><br />
snervamento, vale:<br />
σ sn 640<br />
ξ<br />
= = ≅ 9<br />
σ 73<br />
i<br />
202
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
203
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.7<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
La ruota motrice <strong>di</strong> un ingranaggio conico ad assi concorrenti ed ortogonali è ricavata <strong>di</strong>rettamente<br />
dall’albero motore che è montato su due cuscinetti volventi e riceve il moto dal motore tramite un<br />
giunto.<br />
L’albero con la ruota conica è realizzato in acciaio C40 UNI 7845 ed è costituito dalle seguenti parti in<br />
or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> successione:<br />
• tratto cilindrico avente un <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> 20 mm e lunghezza <strong>di</strong> 40 mm. Tale tronco presenta nel<br />
suo tratto iniziale scanalature longitu<strong>di</strong>nali per il calettamento del semigiunto <strong>di</strong> trasmissione.<br />
Il profilo delle scanalature è del tipo con appoggio me<strong>di</strong>o e centraggio interno UNI221;<br />
• tronco cilindrico avente <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> 25 mm e lunghezza <strong>di</strong> 15 mm, sede <strong>di</strong> un anello <strong>di</strong> tenuta;<br />
• gola <strong>di</strong> alloggiamento <strong>di</strong> un anello elastico <strong>di</strong> sicurezza. La gola ha la larghezza <strong>di</strong> 2.15 mm ed il<br />
<strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> fondo <strong>di</strong> 23.90 mm;<br />
• perno avente il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> 25 mm e la lunghezza <strong>di</strong> 22 mm, sede del primo cuscinetto<br />
volvente;<br />
• tronco cilindrico <strong>di</strong> raccordo tra le se<strong>di</strong> dei cuscinetti avente il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> 23 mm e la<br />
lunghezza <strong>di</strong> 40 mm;<br />
• perno avente il <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> 30 mm e la lunghezza <strong>di</strong> 20 mm, sede del secondo cuscinetto<br />
volvente;<br />
• tronco conico dentato.<br />
La ruota conica, con dentatura normale a denti <strong>di</strong>ritti, con profilo ad evolvente, ha le seguenti<br />
caratteristiche:<br />
modulo m=4 mm<br />
numero <strong>di</strong> denti z=18<br />
semiangolo del cono primitivo δ=26°34'<br />
larghezza della dentatura b=30 mm<br />
angolo <strong>di</strong> pressione α=20°<br />
Il can<strong>di</strong>dato, per una potenza trasmessa dal giunto <strong>di</strong> 4 kW a 900 giri/min, assunto con giustificato<br />
criterio ogni altro dato occorrente, esegua:<br />
a) la verifica a resistenza della sede del semigiunto ed il calcolo della lunghezza del tratto<br />
scanalato;<br />
b) la verifica del modulo della ruota dentata;<br />
c) il <strong>di</strong>segno <strong>di</strong> fabbricazione dell’albero con la ruota conica riportando le tolleranze<br />
<strong>di</strong>mensionali, le rugosità, ed ogni altro particolare costruttivo non in<strong>di</strong>cato nella descrizione<br />
fornita (smussi, raccor<strong>di</strong>, ecc.);<br />
d) il ciclo <strong>di</strong> lavorazione, per una produzione <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a serie, dell’organo meccanico <strong>di</strong>segnato<br />
definendo il grezzo <strong>di</strong> partenza ed in<strong>di</strong>cando, per ogni operazione, la macchina utensile, le fasi,<br />
le attrezzature, gli utensili e gli strumenti <strong>di</strong> misura necessari.<br />
Verifica resistenza della sede del giunto<br />
Si considera un profilo scanalato UNI 221 a fianchi paralleli, a centraggio interno e appoggio me<strong>di</strong>o.<br />
Ad un <strong>di</strong>ametro esterno D = 20 mm corrisponde un <strong>di</strong>ametro interno d = 16 mm.<br />
204
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
La verifica si conduce pertanto, in via cautelativa, verificando a torsione un albero <strong>di</strong> sezione circolare<br />
piena <strong>di</strong> 16 mm e realizzato in acciaio C40 UNI 7845.<br />
Il momento torcente Mt, in<strong>di</strong>cata con N la potenza in watt e con ω la velocità angolare in rad/s, vale:<br />
N 1000⋅ 4 ⋅ 60<br />
M t = = ≅ 42.4 Nm<br />
ω 2π ⋅900<br />
Dalla equazione <strong>di</strong> stabilità alla torsione si ha:<br />
16 ⋅ M t τ = ≅ 53 MPa<br />
3<br />
π ⋅ d<br />
Per un acciaio C40 si può fare affidamento su <strong>di</strong> una tensione <strong>di</strong> snervamento a trazione intorno ai 420<br />
MPa, a cui corrisponde una tensione <strong>di</strong> snervamento a torsione intorno ai 237 MPa.<br />
σ sn 420<br />
τ sn ≅ ≅ ≅ 237 MPa<br />
3 3<br />
Pertanto, considerando esclusivamente la sollecitazione <strong>di</strong> torsione, l’albero lavora con un coefficiente<br />
<strong>di</strong> sicurezza pari a:<br />
τ sn ξ ≡ ≅ 4.5<br />
τ<br />
valore che può essere considerato accettabile.<br />
Verifica del profilo scanalato<br />
La verifica del profilo scanalato si conduce valutando se la lunghezza del profilo scanalato L è maggiore<br />
del valore minimo stabilito dalla seguente relazione:<br />
m ⋅ Ω<br />
lmin ≥ d<br />
k<br />
dove d è il <strong>di</strong>ametro interno dello scanalato e m e k sono coefficienti <strong>di</strong> seguito tabellati, mentre Ω è<br />
fornito <strong>di</strong>rettamente dalla tabella UNI 221. ( Ω = 0.37)<br />
Natura delle superficie<br />
Valori del coefficiente m<br />
Accoppiamenti fissi o<br />
scorrevoli non sotto carico<br />
Accoppiamenti<br />
scorrevoli sotto carico<br />
Ambedue cementate 2.85 2.42<br />
Una o nessuna cementate 2.10 1.75<br />
Valori del coefficiente k<br />
Tipo <strong>di</strong> accoppiamento<br />
Tipo <strong>di</strong> carico<br />
A B<br />
Accoppiamenti fissi 1.25 0.96<br />
Accoppiamenti scorrevoli non sotto carico 1.10 0.85<br />
Accoppiamenti scorrevoli sotto carico<br />
con superficie <strong>di</strong> contatto<br />
Ambedue cementate 0.32 0.25<br />
Una sola cementata o nessuna 0.25 0.20<br />
A carico costante e senza vibrazioni; con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento (lubrificazione etc..) ottime;<br />
lavorazioni molto precise.<br />
B carico variabile e con forti vibrazioni; con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento (lubrificazione etc..) precarie;<br />
lavorazione non molto precisa.<br />
Ritenuti<br />
m = 2.10 k = 1<br />
si ha pertanto:<br />
m ⋅Ω 2.10⋅ 0.37<br />
lmin ≥ d = 16 ≅<br />
12.5 mm<br />
k 1<br />
205
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
La lunghezza assegnata L = 20 mm è, sotto questo aspetto, del tutto sufficiente 1 .<br />
Verifica del modulo del pignone<br />
Rappresentazione <strong>di</strong> una ruota dentata conica<br />
Si determina il <strong>di</strong>ametro primitivo del pignone:<br />
d = z ⋅ m = 72 mm<br />
La generatrice R vale:<br />
d<br />
R = ≅ 80.494 mm<br />
2 ⋅sin<br />
δ<br />
1 Si tenga presente l’importanza <strong>di</strong> verificare sempre che il rapporto L/d non risulti superiore a 1.5 per appoggio<br />
stretto o me<strong>di</strong>o, e compreso fra 1.5 e 2. 5 per appoggio ampio. Queste limitazioni hanno lo scopo <strong>di</strong> assicurare una<br />
ripartizione abbastanza uniforme del carico sui vari denti in senso assiale (R. Giovannozzi Costruzione <strong>di</strong><br />
Macchine Vol.1 pag.344 Patron)<br />
206
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
In<strong>di</strong>cato con ξ il rapporto b/R si ha:<br />
b<br />
ξ = ≅ 0.373<br />
R<br />
E’ facile riconoscere che il modulo me<strong>di</strong>o vale:<br />
m = m 1− ξ 2 ≅ 3.25 mm<br />
m<br />
( )<br />
Il <strong>di</strong>ametro primitivo me<strong>di</strong>o vale:<br />
dm = z ⋅ mm<br />
≅ 58.58 mm<br />
La velocità periferica in corrispondenza del <strong>di</strong>ametro primitivo me<strong>di</strong>o vale:<br />
2π<br />
⋅ n dm<br />
vp<br />
= ≅ 2.76 m/s<br />
60 2000<br />
Il fattore <strong>di</strong> riduzione <strong>di</strong>namica del carico può essere posto pari a:<br />
A 10<br />
ψ = = ≅ 0.784<br />
A + v 10 + 2.76<br />
p<br />
Il numero <strong>di</strong> denti immaginario del pignone vale:<br />
* z<br />
z = ≅ 20<br />
cosδ<br />
Il rapporto tra la larghezza del dente e il modulo me<strong>di</strong>o vale:<br />
* b<br />
λ = ≅ 9.23<br />
mm<br />
Il modulo me<strong>di</strong>o è verificato se è sod<strong>di</strong>sfatta la seguente <strong>di</strong>suguaglianza:<br />
m<br />
m<br />
1<br />
M t<br />
≥ 3 ⋅ 3<br />
*<br />
0.22⋅ z −1.15 ⋅ z z ψ ⋅λ ⋅σ<br />
* ( )<br />
amm<br />
Posta una σ amm ≅ 180 MPa , è facile verificare che la <strong>di</strong>suguaglianza è ampiamente sod<strong>di</strong>sfatta. Infatti:<br />
3.25 ><br />
2.23<br />
207
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Simulazione prova <strong>di</strong> Meccanica n.7<br />
Tempo <strong>di</strong> esecuzione 3h<br />
E’ consentito solamente l’uso <strong>di</strong> Manuali Tecnici<br />
Un motore <strong>di</strong>esel a quattro tempi, funzionante 2200 giri/min, aziona, me<strong>di</strong>ante cinghie trapezoidali,<br />
una pompa che a 3000 giri/min elabora 0.030 m 3 /s <strong>di</strong> acqua con una prevalenza <strong>di</strong> 55 m.<br />
Il can<strong>di</strong>dato, assumendo con opportuno criterio ogni altro dato occorrente, esegua il<br />
proporzionamento della trasmissione, determinando inoltre:<br />
• la potenza che deve fornire il motore;<br />
• lo sforzo esercitato dalle cinghie sugli alberi delle pulegge.<br />
208
ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Determinazione utile della pompa<br />
La potenza utile della pompa Nup, espressa in kW, vale:<br />
γ ⋅Q ⋅ H 9810 ⋅0.030 ⋅55<br />
Nup<br />
= ≅ ≅ 16.2 kW<br />
1000 1000<br />
dove:<br />
γ è il peso specifico del fluido espresso in N/m 3<br />
Q la portata volumetrica espressa in m 3 /s<br />
H la prevalenza espressa in m.<br />
Determinazione della potenza assorbita dalla pompa<br />
La potenza assorbita dalla pompa Nap, pari alla potenza fornita dal motore Num, si valuta ipotizzando un<br />
adeguato ren<strong>di</strong>mento della pompa stessa.<br />
Posto un ren<strong>di</strong>mento η pari a circa 0.7 si ha:<br />
Nup<br />
Num = Nap<br />
= ≅ 23 kW<br />
η<br />
Calcolo della trasmissione a cinghia (cinghie trapezoidali)<br />
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ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Calcolo degli alberi <strong>di</strong> calettamento delle pulegge<br />
Albero calettante la puleggia maggiore<br />
Il momento torcente Mt1, in<strong>di</strong>cata con ωm la velocità angolare del motore, vale:<br />
Num<br />
M t1<br />
= ≅ 100 Nm<br />
ωm<br />
Il momento flettente Mf1, considerato l’albero come una trave a sbalzo incastrata ad un<br />
estremo e caricata con una forza 2T0 applicata ad una <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> 100 mm dall’incastro vale:<br />
M ≅<br />
f 1 244 Nm<br />
Ipotizzando <strong>di</strong> realizzare l’albero in C40 bonificato, tenuto conto della presenza della cava per<br />
linguetta, in prima approssimazione, il <strong>di</strong>ametro dell’albero vale:<br />
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ITI OMAR Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica Elementi <strong>di</strong> Costruzione <strong>di</strong> Macchine<br />
Albero calettante la puleggia minore<br />
Il momento torcente vale:<br />
2200<br />
M t 2 = M t1<br />
⋅ ≅ 73.3 Nm<br />
3000<br />
Il momento flettente Mf2, considerato l’albero come una trave a sbalzo incastrata ad un<br />
estremo e caricata con una forza 2T0 applicata ad una <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> 100 mm dall’incastro vale:<br />
M ≅<br />
f 1 244 Nm<br />
Ipotizzando <strong>di</strong> realizzare l’albero in C40 bonificato, tenuto conto della presenza della cava per<br />
linguetta, in prima approssimazione, il <strong>di</strong>ametro dell’albero vale:<br />
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