appunti di meccanica razionale - Metodi e Modelli matematici per le ...

APPUNTI
DI
MECCANICA RAZIONALE
A.A. 2010-11

Indice
1 Preliminari geometrici ed analitici 7
1.1 Vettori euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tensori euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Il tensore distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Decomposizione polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Interpretazione geometrica del teorema di decomposizione
polare. Quadrica indicatrice. . . . . . . . . . . . 26
1.5 Sistemi di equazioni nonlineari: teorema del Dini . . . . . . . 27
1.6 Superfici parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Curve parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Introduzione ai sistemi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9 Cenno alle equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Cinematica dei corpi rigidi 41
3 Moti relativi 47
4 Teorema di Aronhold-Kennedy 49
5 Calcolo delle reazioni vincolari 53
5.1 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Reazioni con le equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 Sistemi staticamente determinati, sistemi isostatici . . 57
5.2.2 Principio di sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . 61
5.2.3 Caso in cui un vincolo collega più di due corpi . . . . 62
6 Cerchi di Mohr 65
7 Facoltativo 71
7.1 Esempi elementari di biforcazione . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Cenni alla termodinamica dei continui . . . . . . . . . . . . . 80
7.3 Corpi termoelastici (omogenei) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4 Fluidi linearmente viscosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3

4 INDICE

Elenco delle figure
1.1 a) Decomposizione di un vettore nelle parti normale e parallela
a c. b) Un particolare tensore, §1.3 . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Come opera la decomposizione polare destra . . . . . . . . . . 27
1.4 Come opera la decomposizione polare sinistra . . . . . . . . . 28
1.5 Superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Curva parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1 Terne fissa e solidale in un moto rigido . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Costruzione della retta r contenente il centro istantaneo di
rotazione del corpo B2. Nei casi a) e c) B2 ruota rispetto a
B1 con centro in C12 (cerniera che collega i due corpi). Nel
caso b) B2 trasla rispetto a B1 con velocità relativa t, il centro
di rotazione relativa C12 è il punto all’infinito individuato
dalla direzione ortogonale a t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1 Struttura piana soggetta a forza o a coppia . . . . . . . . . . 55
5.2 Reazioni per la struttura di Fig. 5.1 b) . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Sistemi labili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 a) labile staticamente determinato; b) staticamente impossibile;
c) labile staticamente indeterminato . . . . . . . . . . . 60
5.5 Tre corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1 Il cerchio di Mohr per le tensioni relative al piano Oξη (con
l’asse ζ uscente perpendicolarmente alla figura) della terna
principale Oξηζ in figura 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 I cerchi di Mohr per le tensioni relative alla terna Oξηζ: (a)
σ1 > σ2 > σ3; (b) σ1 > σ2 = σ3; (c) σ1 = σ2 = σ3 . . . . . . . 68
6.3 Corrispondenza tra punti sul primo ottante della sfera unitaria
della terna principale Oξηζ e punti dell’arbelo di Mohr
nel caso σ1 > σ2 > σ3 mentre le corrispondenti direzioni
principali sono quelle degli assi ξ,η,ζ, rispettivamente. . . . . 70
5

6 ELENCO DELLE FIGURE
7.1 Primo esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2 Diagrammi di biforcazione per l’esempio 1 . . . . . . . . . . . 73
7.3 Secondo esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Secondo esempio: a) equilibri e biforcazioni; b) stabilità degli
equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5 Equilibri e stabilità per A = 1 e varie scelte del parametro ǫ . 77
7.6 Equilibri e stabilità per A = −1 e varie scelte del parametro ǫ 78
7.7 Grafico della funzione in (7.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.8 Curve di equilibrio per l’asta caricata quasi di punta . . . . . 80

Capitolo 1
Preliminari geometrici ed
analitici
1.1 Vettori euclidei
NB. Nelle sezioni 1.1 e 1.2 gli argomenti nuovi rispetto a quanto si suppone
noto dal corso di geometria sono connotati da titoli in carattere senza grazie
(in inglese sans serif).
E spazio euclideo tridimensionale
P,Q,... punti, elementi di E
V spazio vettoriale associato ad E
u,v,... vettori, elementi di V
Nota bene: punti e vettori sono enti introdotti senza l’ausilio di un sistema
di riferimento o di una base, rispettivamente. Idem per le operazioni di cui
sotto.
Relazione Grassmanniana tra punti e vettori
v = Q−P o, equivalentemente, v = PQ; inoltre Q = P +v. (1.1)
Angolo θ tra due vettori
È quello non superiore a π radianti, per convenzione.
Terna ordinata di vettori (u,v,w) linearmente indipendenti (non complanari)
levogira o destra.
In V , come parte della struttura vettoriale, sono definite la somma tra
due o più vettori e il prodotto di uno scalare per un vettore. Si possono
definire in modo diretto le seguenti operazioni (|u| oppure u indicano il
modulo o lunghezza del vettore u).
7

8 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
Il prodotto scalare: u·v = |u| |v| cosθ.
NB. L’annullarsi del prodotto scalare è la condizione di ortogonalità.
Il prodotto vettoriale: u×v = |u||v|sinθc, con c versore ortogonale a
u e v e tale che la terna (u,v,c) risulti levogira.
NB. La quantità |u×v| è l’area del parallelogramma costruito su u e v.
Inoltre l’annullarsi del prodotto vettoriale è la condizione di parallelismo.
Il prodotto misto: u×v ·w.
NB.Ilprodottomistorappresentailvolume, consegno, delparallelepipedo
costruito su u, v e w. Inoltre l’annullarsi del prodotto misto è la
condizione di complanarità.
Il doppio prodotto vettoriale u×(v ×w).
NB. Valgono le seguenti espansioni:
a×(b×c) = (a·c)b−(a·b)c e (a×b)×c = (a·c)b−(c·b)a. (1.2)
Sia T = Oc1c2c3 = Ox 1 x 2 x 3 il riferimento cartesiano ortogonale in E costituito
dalle tre rette orientate x 1 ,x 2 ,x 3 , mutuamente ortogonali, passanti
per O e parallele e concordi con c1, c2, c3 rispettivamente; questi costituiscano
una terna ortonormale levogira, base per lo spazio vettoriale V .
Un punto P è individuato, nel riferimento T, da una terna di co-ordinate
cartesiane,
x = (x 1 ,x 2 ,x 3 ). (1.3)
Analogamente, un vettore v è individuato da una terna di componenti
cartesiane relative alla base c1, c2, c3, definite da
v i = v ·ci
e organizzate nella seguente matrice colonna 1
v = (v 1 ,v 2 ,v 3 ) T =
⎛
v
⎝
1
⎞
⎠. (1.4)
Come è noto, un vettore v si può dare come combinazione lineare dei vettori
della base ortonormale scelta, mediante i coefficienti v 1 ,v 2 ,v 3 :
v = v 1 c1 +v 2 c2 +v 3 c3 =
v 2
v 3
3
i=1
v i ci = v i ci. (1.5)
1 Nel seguito per indicare un vettore o un tensore, si useranno lettere in grassetto (ad
es.v,A) mentre per la loro matrice rappresentativa si usa il medesimo simbolo, non in
grassetto e sottolineato (ad es. v, A). Una T posta in alto a destra di una matrice ne
indica la trasposta (ad es. A T è la matrice trasposta di A)

1.1. VETTORI EUCLIDEI 9
Convenzione di somma per indici ripetuti. Si osservi che in (1.5)3 non è importante
la lettera usata per l’indice ripetuto: le seguenti espressioni sono
tutte equivalenti
v = v i ci = v s cs = v j cj. (1.6)
Esempio 1.1 Riportiamo alcuni esempi dell’uso della convenzione di somma
per indici ripetuti:
Ahh =
∂vi =
∂xi Arsu s =
3
h=1
3
i=1
Ahh = A11 +A22 +A33 = trA,
∂vi ∂v1 ∂v2 ∂v3
= + + = divv,
∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 3
s=1
Arsu s = Ar1u 1 +Ar2u 2 +Ar3u 3 .
Il simbolo di Kronecker δij. Il simbolo di Kronecker o delta di Kronecker
è definito dalle seguenti relazioni:
δij = 1 se i = j, δij = 0 se i = j. (1.7)
Si ha, ad esempio, δ11 = δ33 = 1, δ12 = δ31 = 0.
Esercizio 1.2 Verificare che valgono le relazioni
v i δij = v j , Arjδji = Ari , δii = δ11 +δ22 +δ33 = 3,
Aijδij = Aii = Ajj = A11 +A22 +A33.
(per verificare, ad es., la prima: v i δij = v 1 δ1j + v 2 δ2j + v 3 δ3j che risulta
uguale a v 1 se j = 1, a v 2 se j = 2, a v 3 se j = 3).
I versori di una base ortonormale soddisfano le relazioni
ci ·cj = δij. (1.8)
Il prodotto scalare di due vettori u e v è espresso, in componenti, da
u·v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 , u·v = u i v i
(in forma compatta). (1.9)
Questa relazione si può scrivere anche in forma matriciale:
⎛
v
⎝
1
⎞
⎠. (1.10)
u·v = u T v = (u 1 ,u 2 ,u 3 )
v 2
v 3

10 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
Il prodotto vettoriale tra due vettori u, v, in componenti, si può scrivere
per esteso nella forma usuale:
u×v = (u 2 v 3 −u 3 v 2 )c1 +(u 3 v 1 −u 1 v 3 )c2 +(u 1 v 2 −u 2 v 1 )c3. (1.11)
La (1.11) si ricorda facilmente come espansione del determinante della
seguente matrice simbolica:
⎛ ⎞
u×v = Det⎝
c1 c2 c3
u1 u2 u3 v1 v2 v3 ⎠. (1.12)
Prodotto misto. Dati tre vettori u,v e w, è utile la seguente espressione,
facilmente deducibile dalla (1.12)
⎛ ⎞
u×v ·w = Det⎝
u 1 u 2 u 3
v 1 v 2 v 3
w 1 w 2 w 3
⎠. (1.13)
Il prodotto misto tra tre vettori non cambia se si opera sui vettori una
permutazione pari. Se invece si opera una permutazione dispari, il prodotto
misto cambia di segno:
u×v ·w = −v ×u·w. (1.14)
Infatti il determinante (1.13) non muta, o muta solo nel segno, se si opera
un numero pari, o dispari, di scambi tra le righe. Può essere utile ricordare
la precedente regola mediante la equivalente scrittura:
u×v ·w = u·v ×w; (1.15)
quanto a dire che non muta il prodotto misto di tre vettori se si scambiano
tra loro i simboli di prodotto scalare, · , e di prodotto vettoriale, × .
1.2 Tensori euclidei
Nel seguito useremo la parola tensore come sinonimo di operatore o trasformazione
lineare.
Definizione 1.3 Una funzione A definita in V e a valori in V :
A : V ↦→ V
si dice un operatore lineare o tensore se vale la seguente condizione (detta
di linearità)
A(αu+βv) = αA(u)+βA(v), (1.16)
per ogni u,v ∈ V e per ogni α,β ∈ R.

1.2. TENSORI EUCLIDEI 11
Esempio 1.4 Sono operatori lineari: l’operatore nullo O che associa ad
ogni vettore v il vettore nullo: Ov = 0; il tensore identità I che associa
ad ogni vettore v il vettore v stesso: I(v) = v; dato un vettore w, la
funzione vettoriale W che associa ad ogni vettore v il vettore w ×v, ossia
W(v) = w ×v.
Avvertenza. Per semplicità di notazione quando si tratta di operatori
lineari si usa omettere le parentesi scrivendo ad es. Av invece di A(v).
Prodotto tensoriale o Diade. Si dice prodotto tensoriale o diade o, ancora,
prodotto indefinito o diadico tra due vettori a e b e si indica con a⊗b, la
funzione vettoriale che ad ogni vettore v associa il vettore
(a⊗b)v = a(b·v). (1.17)
Si osservi che il secondo membro di (1.17) è un vettore ottenuto moltiplicando
il vettore a per lo scalare (b·v). Dunque a⊗b manda ogni vettore
v in un vettore parallelo ad a.
Proposizione 1.5 La diade a⊗b è un operatore lineare cioè un tensore.
Dimostrazione. (a⊗b)(αu+βv) = a[b·(αu+βv)] = a[αb·u+βb·v)] =
αa(b·u)+βa(b·v) = α(a⊗b)(u)+β(a⊗b)(v).
È bene tenere sempre presente nel seguito che: a) un tensore (o un vettore)
è un ente oggettivo e le sue proprietà sono intrinseche, cioè indipendenti
dalla sceltadellabase (un tensore (o un vettore) esiste ‘prima’ della base); b)
l’introduzione di una base è molto utile per gli sviluppi del calcolo tensoriale
(o vettoriale).
Somma di tensori: (A+B)v = Av +Bv. Valgono le uguaglianze
A+B = B +A.
(A+B)+C = A+(B +C) = A+B +C.
Prodotto di un tensore per uno scalare: (αA)v = αAv.
Prodotto di tensori: (AB)v = A(Bv). Valgono le seguenti
(AB)C = A(BC) = ABC, AB = BA.
Trasposto di un tensore: per ogni coppia di vettori u,v ∈ V
Valgono le relazioni
v ·A T u (= A T u·v) = u·Av. (1.18)
(A T ) T = A, (AB) T = B T A T . (1.19)

12 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
Tensori simmetrici o emisimmetrici (detti anche antisimmetrici): se
soddisfano le rispettive condizioni
A T = A o A T = −A. (1.20)
Rappresentazione dei tensori in basi ortonormali: sia A un tensore
e c1,c2,c3 una base ortonormale di V ; si dicono componenti del tensore A
nella base data gli scalari
(A)ij = Aij = ci·(Acj) (che equivale a Acj = Aijci),(i,j = 1,2,3). (1.21)
Le componenti Aij possono essere organizzate nella matrice A :
⎛ ⎞
A = ⎝
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
⎠. (1.22)
Si osservi che nella matrice (1.22) la colonna j-esima coincide con la colonna
delle componenti del vettore Acj immagine di cj.
Sia u = u 1 c1 + u 2 c2 + u 3 c3 un generico vettore e sia v = Au; allora
la matrice colonna v delle componenti del vettore v = Au nella base ci si
ottiene come prodotto (righe per colonne) della matrice quadrata A per la
matrice colonna u:
in componenti
v = Au,
⎛
v
⎝
1
⎞ ⎛
⎠ = ⎝
v 2
v 3
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
⎞⎛
u
⎠⎝
1
⎞
⎠; (1.23)
u 2
u 3
v i = Aiju j , (i,j = 1,2,3). (1.24)
Sia le (1.23) che le (1.24) sono equivalenti alle seguenti
v 1 = A11u 1 +A12u 2 +A13u 3
v 2 = A21u 1 +A22u 2 +A23u 3
v 3 = A31u 1 +A32u 2 +A33u 3 .
Notazione diretta, matriciale e in componenti: rispettivamente
Valgono le seguenti proprietà:
(1.25)
v = Au, v = Au, v i = Aiju j . (1.26)
(αA)ij = αAij, (A+B)ij = Aij +Bij, (AB)ij = AirBrj, (A T )ji = Aij.
(1.27)
Proposizione 1.6 Ogni tensore A si può esprimere come combinazione lineare
di prodotti tensoriali tra i vettori della base, nel seguente modo:

1.2. TENSORI EUCLIDEI 13
A = Aijci ⊗cj =
3
Aijci ⊗cj. (1.28)
i,j=1
Dimostrazione. Infatti si ha, per ogni vettore u, Au = Aiju j ci = Aijci(cj ·
u) = Aij(ci ⊗cj)u = (Aijci ⊗cj)u.
Tensori sferici (detti anche idrostatici) e tensori deviatorici: se soddisfano
le rispettive condizioni
A = αI o 0 = trA (=
3
Aii). (1.29)
Proposizione 1.7 Dato un qualsiasi tensore A siano S, E, Σ, D i tensori
S = 1
2 (A+AT ), E = 1
2 (A−AT ), Σ = 1 1
trAI, D = A−
3 3 (trA)I;
(1.30)
allora S è simmetrico, E emisimmetrico, Σ sferico, D deviatorico e risulta
i=1
A = S +E e A = Σ+D. (1.31)
(Facoltativo) Ciascuna delle due decomposizioni in (1.31) è unica.
Dimostrazione. Lasciata per esercizio.
Relazioni analoghe alle (1.30), (1.31) valgono per le corrispondenti matrici
A, S, E, Σ, D.
Esempio 1.8
⎛ ⎞
1 0 2
⎝0
1 0⎠
=
3 1 4
1
⎛ ⎞
2 0 5
⎝0
2 1⎠+
2
5 1 8
1
⎛ ⎞
0 0 −1
⎝0
0 −1⎠.
2
1 1 0
Proposizione 1.9 Se S è un tensore simmetrico ed E uno emisimmetrico
allora vale la seguente relazione
SijEji = 0 = SijEij. (1.32)
Dimostrazione. SijEji = 1
2 (SijEji +SjiEij) = 1
2 (SijEji −SijEji) = 0.
Prodotto tensoriale tra due vettori o diade. Il tensore a ⊗ b, prodotto
tensoriale dei due vettori a e b, definito dalla (1.17), ha le seguenti
componenti
(a⊗b)ij = a i b j . (1.33)

14 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
La (1.33) è d’immediata verifica , infatti
(a⊗b)ij = ((a⊗b)cj)·ci = a(b·cj)·ci = a·ci b·cj = a i b j .
Dunque il tensore (a⊗b) ammette la seguente rappresentazione matriciale
ab T ⎛
a
= ⎝
1
⎞
⎠(b1 b2 b3 ⎛
a
) = ⎝
1b1 a1b2 a1b3 ⎞
⎠.
a 2
a 3
a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3
a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3
Si osservi che il prodotto di una matrice riga per una matrice colonna (con lo
stesso numero di elementi) dà uno scalare mentre il prodotto di una matrice
colonna per matrice riga dà una matrice quadrata.
Tensore definito dal prodotto vettoriale. Nell’Esempio 1.4 si è visto che,
fissato un vettore w, il prodotto vettoriale w×v con un qualsiasi vettore v
si può interpretare come un’applicazione lineare: W : v ↦→ w×v. Talvolta
si usa la notazione W = w×. Il legame tra le componenti di w e la matrice
rappresentativa W del tensore W in una (qualunque) base ortonormale è:
⎛ ⎞
W = ⎝
0 −w 3 w 2
w 3 0 −w 1
−w 2 w 1 0
⎠. (1.34)
Per rendersene conto basta ricordare che, ad esempio, la prima colonna
della matrice W è data dalle componenti del vettore Wc1 e cioè del vettore
w × c1 = −w 2 c3 + w 3 c2. Analogamente si procede per le altre colonne.
Tenuto conto della (1.34) si verifica direttamente che per ogni vettore v
risulta
w ×v = Wv. (1.35)
Valgono anche le relazioni
e quindi la seguente
w 1 = −W23 = 1
2 (W32 −W23),
w 2 = W13 = 1
2 (W13 −W31), (1.36)
w 3 = −W12 = 1
2 (W21 −W12),
Proposizione 1.10 Esiste (in dimensione 3) una corrispondenza biunivoca
tra i vettori e i tensori emisimmetrici:
a) ad ogni tensore emisimmetrico W rimane associato un (unico) vettore
w tale che la (1.35) risulti valida per ogni vettore v; l’espressione di w in
funzione di W è data da (1.36);
b) ad ogni vettore w rimane associato un (unico) tensore emisimmetrico W
tale che valga la (1.35) per ogni vettore v. L’espressione di W in funzione
di w è data da (1.34).

1.2. TENSORI EUCLIDEI 15
c
(c⊗c)v
v
(I−c⊗c)v n
x1
a) b)
x
3
2 2 2
|PP'| = |OP| − (OP⋅n)
Figura 1.1: a) Decomposizione di un vettore nelle parti normale e parallela
a c. b) Un particolare tensore, §1.3
Tensore Pc proiezione nella direzione del versore c : Pc = c ⊗ c.
Infatti applicando Pc al generico vettore v, si ottiene il vettore (c⊗c)v =
c(c · v) che è appunto il vettore proiezione di v lungo la direzione c. In
componenti si ha (c⊗c) ij = c i c j (vedi (1.33)). La matrice rappresentativa
del tensore (c⊗c) è data dal prodotto
O
cc T . (1.37)
Tensore Pc ⊥ proiezione ortogonale alla direzione del versore c : è
il tensore P ⊥ c = (I −c⊗c). Applicando tale tensore al generico vettore v,
si ottiene il vettore:
(I −c⊗c)v = Iv −c(c·v) = v −c(c·v)
che rappresenta il vettore proiezione di v sul piano ortogonale a c (vedi
figura 1.1 (1)). In componenti si ha
(I −c⊗c) ij = δ ij −c i c j .
La matrice rappresentativa del tensore proiezione ortogonale a c, (I−c⊗c),
è dunque
I −cc T . (1.38)
Dato un vettore v e un versore c si può sempre decomporre v in modo unico
come somma di un vettore parallelo e di uno ortogonale a c. Tale decomposizione
risulta facile utilizzando i tensori (1.1) e (1.1) come è evidente dalla
seguente relazione:
v = (c⊗c)v +(I −c⊗c)v. (1.39)
Tensore definito dal doppio prodotto vettoriale (a×v)×b.
Dati due vettori a e b la funzione che associa ad ogni vettore v il vettore
P
P'
x
2
r

16 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
(a×v)×b è un tensore. Infatti dall’espansione (1.2)2 si ricava
(a×v)×b = (b·a)v −(b·v)a =
= (b·a)Iv −(a⊗b)v = ((b·a)I −a⊗b)v.
In notazione matriciale il tensore (b·a)I−a⊗b ammette la rappresentazione
(vedi 1.10):
b T aI −ab T . (1.40)
Esercizio 1.11 Scrivere per esteso la matrice b T aI −ab T .
Esercizio 1.12 Scrivere per esteso la matrice a T aI −aa T che rappresenta
il tensore (a×v)×a.
Determinante, DetA, di un tensore A: è il determinante, DetA, della
matrice che rappresenta il tensore in una base ortonormale qualsiasi:
DetA = DetA. (1.41)
La seguente proposizione ci assicura che la definizione data di determinante
di un tensore sia indipendente dalla rappresentazione matriciale relativa alla
particolare base scelta.
Proposizione 1.13 Per ogni terna di vettori u,v e w, non complanari,
vale la relazione
Au×Av ·Aw
DetA = .
u×v ·w
(1.42)
Dimostrazione. NellabasesceltalamatriceAdeterminaunatrasformazione
lineare di R3 in R3 della forma
⎛
y
y = ⎝
1
⎞ ⎛
x
⎠ ↦→ x = ⎝
1
⎞
⎠ = Ay, cioè x i = Aij y j . (1.43)
y 2
y 3
x 2
x 3
Sia D un aperto di R 3 e d il suo trasformato tramite A:
Per definizione di volume si ha
Vold = dx 1 dx 2 dx 3
=
d
d = {x : x = Ay, y ∈ D}. (1.44)
D
|DetA|dy 1 dy 2 dy 3 = |DetA|VolD, (1.45)
dove si sono usate successivamente la formula per il cambiamento di variabili
in un integrale triplo e il fatto che la matrice jacobiana in questo caso è A ed
è costante. Supponiamo ora che D sia il parallelepipedo costruito sui vettori
u,v,w costituenti una terna levogira. Allora d è il parallelepipedo costruito
sui vettori Au,Av,Aw e (1.42) segue tenendo conto che
VolD = u×v ·w e Vold = (sgnDetA)Au×Av ·Aw. (1.46)
Analoga dimostrazione si fa se la terna u,v,w è destrogira.

1.2. TENSORI EUCLIDEI 17
La relazione (1.42) comporta le seguenti osservazioni.
Osservazione 1.14 Perilsignificatogeometricodelprodottomistolaquantità
u×v ·w [oppure Au×Av ·Aw]
rappresenta il volume del parallelepipedo costruito sulla terna di vettori
(u,v, w), oppure (Au,Av,Aw)] preso con segno positivo se la terna è
levogira, negativo nel caso opposto. Dunque risulta: DetA > 0 se A trasforma
terne levogire, in terne levogire; DetA < 0 nel caso opposto, cioè se
trasforma terne levogire in terne destrogire. Vale la relazione DetA = 0 se e
solo se Au×Av·Aw = 0 cioè se A trasforma terne di vettori linearmente
indipendenti (non complanari), in terne di vettori linearmente dipendenti
(complanari).
Osservazione 1.15 Il determinante di una matrice, e quindi di un tensore,
è indipendente dalla base scelta per la rappresentazione (infatti tale è il
secondo membro della (1.42) ).
Osservazione 1.16 Il modulo del determinante di un tensore è pari al rapporto
tra il volume del parallelepipedo costruito su tre vettori Au,Av,Aw
e il volume del parallelepipedo costruito su tre vettori u,v,w. Tale rapporto
risulta indipendente dalla scelta dei vettori (infatti tale è il primo membro
della (1.42) ):
|DetA| = Vol(Au,Av,Aw)
. (1.47)
Vol(u,v,w)
Si può quindi affermare che un tensore A trasforma regioni di volume V in
regioni di volume V|DetA|.
Valgono per i determinanti le seguenti relazioni:
DetA = DetA T , Det(AB) = DetADetB. (1.48)
Tensore inverso di A: è il tensore A −1 che soddisfa le relazioni
AA −1 = A −1 A = I. (1.49)
Dalla precedente relazione (1.49) e dalla (1.48)2 segue DetADet(A−1 ) =
1, ossia
Det(A −1 ) = 1
. (1.50)
DetA
Per (1.50), l’esistenza del tensore inverso A −1 comporta DetA = 0. Vale
inoltre la relazione:
(A −1 ) T = (A T ) −1 . (1.51)

18 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
Si può dunque usare, senza possibilità di equivoco, la notazione
A −T
(1.52)
al posto di (A −1 ) T o di (A T ) −1 . Se S è un tensore simmetrico la precedente
relazione (1.51) assicura che anche il suo inverso S −1 è simmetrico:
S −T = S −1
Per il tensore inverso del tensore prodotto AB vale la relazione:
(1.53)
(AB) −1 = B −1 A −1 . (1.54)
Infatti (AB)(B −1 A −1 ) = ABB −1 A −1 = AIA −1 = AA −1 = I.
Tensori ortogonali e rotazioni: un tensore Q si dice ortogonale se soddisfa
le seguenti condizioni:
QQ T = Q T Q = I (ossia Q T = Q −1 ). (1.55)
In particolare, Q è una rotazione se è ortogonale e DetQ = 1. La condizione
(1.55) scritta in componenti diventa:
cioè
QirQjr = QriQrj = δij
(1.56)
QirQjr = QriQrj = 0 se i = j,
QirQjr = QriQrj = 1 se i = j. (1.57)
Un tensore ortogonale gode delle seguenti proprietà:
Proposizione 1.17 Per ogni vettore v risulta |v| = |Qv|, cioè Q trasforma
vettori in vettori dello stesso modulo, se e solo se Q è ortogonale.
Proposizione 1.18 Per ogni coppia di vettori u,v l’angolo da essi formato
è uguale all’angolo formato da Qu e Qv se (e non solo se) Q è ortogonale.
Un tensore ortogonale Q trasforma i vettori c1,c2,c3 di una base ortonormale
di V , nei vettori
u1 = Qc1, u2 = Qc2, u3 = Qc3, (1.58)
che, per le precedenti proprietà, costituiscono ancora una base ortonormale.
Le componenti di Q nella base c1,c2,c3 sono date da
Qij = Qcj ·ci = uj ·ci = cosujc i , (1.59)

1.2. TENSORI EUCLIDEI 19
ossia: la componente di posto i,j di una matrice di rotazione è data dal
coseno dell’angolo tra uj e ci . Si ha dunque
⎛
⎞ ⎛
cos u1c 1 cos u2c 1 cos u3c 1
Q = ⎝cos
u1c 2 cos u2c 2 cos u3c ⎠
2 = ⎝
cos u1c 3 cos u2c 3 cos u3c 3
u1 1 u1 2 u1 3
u2 1 u2 2 u2 3
u3 1 u3 2 u3 3
avendo indicato con u r s la componente lungo cr del versore us.
⎞
⎠, (1.60)
Osservazione 1.19 Si riconosce dalla (1.60) che la colonna j - esima di Q
è costituita dal vettore colonna delle componenti di uj nella base c1,c2,c3.
Quindi i primi membri delle relazioni (1.56) hanno significato di prodotto
scalare tra i due vettori ui e uj.
Osservazione 1.20 Le condizioni (1.55) e DetQ = 1 > 0 garantiscono (vedil’Osservazione1.14precedente)cheQc1,Qc2,Qc3èunaternaortonormale
levogira se tale è la terna c1,c2,c3. Per tale motivo le rotazioni si dicono
talora rotazioni proprie per distinguerle dalle rotazioni con riflessione, il cui
determinante è −1.
Osservazione 1.21 Il tensore ortogonale Q che trasforma la base ortonormale
ci nella base ortonormale ui : Qci = ui, ha la medesima matrice
rappresentativa nelle due basi suddette. Infatti
˜Qij = Quj ·ui = Q(Qcj)·(Qci) = Qcj ·Q T Qci = Qcj ·ci = Qij.
Dunque indicheremo con Qij sia le componenti nella base ci che quelle nella
base ui .
Esempio 1.22 Si scriva la matrice della rotazione Q che trasforma la terna
c1,c2,c3 nella terna u1,u2,u3 ruotata, in senso antiorario, attorno a c3 di
un angolo θ. Risulta
Q11= u1 ·c1 = cosθ, Q12 = u2 ·c1 = −sinθ, Q13 = u3 ·c1 = 0,
Q21= u1 ·c2 = sinθ, Q22 = u2 ·c2 = cosθ, Q23 = u3 ·c2 = 0, (1.61)
Q31= u1 ·c3 = 0, Q32 = u2 ·c3 = 0, Q33 = u3 ·c3 = 1,
e quindi
⎛ ⎞
cosθ −sinθ 0
Q = ⎝sinθ
cosθ 0⎠.
(1.62)
0 0 1
Formule di trasformazione per le componenti di un vettore.
Siano c1,c2,c3 e ˜c1,˜c2,˜c3 due basi ortonormali di V e sia Q il tensore
ortogonale che trasforma la prima base nella seconda:
Qci = ˜ci. (1.63)

20 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
c
c 2
2 v
c
Qc v 2
2 −θ
Qc T
1
Q v
v~ 2
θ
v~ 1
c 1 c 1 c 1
Figura 1.2: Rotazione
Il vettore v si può rappresentare nelle due diverse basi ci e ˜ci mediante le
relazioni
v = v i ci, v = ˜v i ˜ci (1.64)
dove v i e ˜v i sono le componenti del vettore v nella base ci e, rispettivamente,
nella base ˜ci.
Proposizione 1.23 Le componenti di un vettore rispetto a due diverse basi
ortonormali, ci e ˜ci = Qci soddisfano le seguenti relazioni matriciali
Le (1.65) scritte in componenti danno le seguenti
˜v = Q T v, v = Q˜v. (1.65)
˜v s = Qisv i , v s = Qsi˜v i . (1.66)
Osservazione 1.24 . Per favorire una corretta memorizzazione delle formule
(1.65) si ponga attenzione alle due relazioni
˜ci = Qci e ˜v = Q T v :
si opera con il tensore Q per trasformare la base ci nella base ˜ci, mentre
si opera con la matrice trasposta Q T per trasformare le componenti di un
vettorenellabaseci inquellenellabase ˜ci. Lafigura1.2illustralasituazione
di una rotazione nel caso piano: il vettore Q T v ha, rispetto alla base ci, le
stesse componenti che v ha nella base ruotata ˜ci = Qci.
Osservazione 1.25 . Poiché le coordinate cartesiane xi e ˜xi di un punto
P nei riferimenti Oc1c2c3 e O˜c1˜c2˜c3, rispettivamente, coincidono con le
componenti i-me in tali riferimenti del vettore posizionale OP, le (1.66)
implicano
˜x s = Qisx i , x s = Qsi˜x i . (1.67)

1.2. TENSORI EUCLIDEI 21
Formule di trasformazione per le componenti di un tensore.
Sia A un tensore e siano A e à le matrici che lo rappresentano rispetti-
vamente nelle basi ci e ˜ci. Le componenti delle due matrici sono date (per
definizione) da
Aij = Acj ·ci, Ãij = A˜cj · ˜ci. (1.68)
Proposizione 1.26 Le matrici che rappresentano un tensore rispetto a due
diverse basi ortonormali ci e ˜ci = Qci soddisfano le relazioni
che, espresse in componenti diventano:
à = Q T AQ, A = Q ÃQT , (1.69)
Ãij = QliAlsQsj, Aij = Qil ÃlsQjs. (1.70)
In particolare, per A = Q si riottiene l’Osservazione 1.21.
Esercizio 1.27 Si consideri un campo vettoriale u rappresentato nel riferimento
cartesiano Oc1c2c3 dalle funzioni di classe C 1
ui = ui(x1,x2,x3), i = 1,...,3, (1.71)
e la matrice 3×3 delle loro derivate parziali
ui,j(x1,x2,x3), ui,j := ∂ui
, i,j = 1,...,3. (1.72)
∂xj
Questa costituisce la rappresentazione cartesiana di un operatore lineare,
indicato come gradu o ∇u; infatti risulta
ũi,j := ∂ũi
∂˜xj
= Qliul,sQsj, ui,j = Qilũl,sQjs. (1.73)
Inoltre non è restrittiva l’ipotesi, adottata sopra, che i due sistemi di coordinate
abbiano la stessa origine O.
Esercizio 1.28 Sia ora W la parte emisimmetrica di ∇u : W = 1/2(∇u−
(∇u) T ). Si dimostri che il vettore w corrispondente a W tramite (1.34) è
w = 1/2rotu.
Invarianti principali di un tensore.
Le relazioni (1.69) mostrano come mutano le componenti di un tensore
al cambiare della base ortonormale. Come il modulo di un vettore risulta
indipendente dalla base cosìesistono degli scalari costruiti tramite le componenti
di un tensore che non mutano al mutare della base e diremo pertanto
che sono degli invarianti (ortogonali).

22 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
Definizione 1.29 Si dice traccia di un tensore A lo scalare:
tr(A) = A11 +A22 +A33 = Aii. (1.74)
Esempio 1.30 La traccia del tensore a⊗b è data da
tr(a⊗b) = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 = a·b. (1.75)
Proposizione 1.31 La traccia del prodotto di due tensori qualsiasi, A e
B, non dipende dall’ordine dei fattori:
tr(AB) = tr(BA). (1.76)
Dimostrazione. tr(AB) = AisBsi = BsiAis = tr(BA).
Dato un tensore A, si considerino i seguenti scalari: 2
I1(A) = tr(A) = A11 +A22 +A33 ( invariante primo o lineare),
I2(A) = 1
2 [(trA)2 −tr(A 2 )] ( invariante secondo o quadratico),
I3(A) = DetA ( invariante terzo o cubico). (1.77)
Proposizione 1.32 I tre scalari definiti dalle (1.77) sono invarianti per
cambiamenti di basi ortonormali.
Dimostrazione. Di (1.77)1: tr à = tr(QT AQ) = (per (1.76)) = tr(Q Q T A) =
trA.
Di (1.77)2: (trA) 2 è invariante; tr(A 2 ) = tr(A A) è invariante in quanto
traccia del tensore AA. Dunque anche I2(A) è invariante.
Di (1.77)3: DetA è invariante per la Osservazione 1.15. Volendo una dimostrazione
diretta: Det à = Det(QT AQ) = DetQ T DetADetQ = DetA.
Si osservi infine che la traccia del prodotto AB è espressa da
tr(AB) = AijBji. (1.78)
Ricordando che un generico tensore B si può decomporre in somma delle
sue parti, simmetrica ed emisimmetrica e ricordando la (1.32), è evidente
che la traccia del prodotto di un tensore simmetrico S per B equivale alla
traccia del prodotto di S per la parte simmetrica di B:
Autovalori, autovettori
tr(SB) = tr(S 1
2 (B +BT )) = 1
2 Sij(Bji +Bji). (1.79)
2 Talora si sceglie come invariante secondo −I2(A).

1.2. TENSORI EUCLIDEI 23
Dato un tensore A, si vogliono determinare, se esistono, i vettori u di V
che vengono mutati da A in vettori paralleli a se stessi:
È evidente che la (1.80) equivale alla relazione
Au = λu con λ ∈ R. (1.80)
(A−λI)u = 0. (1.81)
L’equazione (1.81) si può esplicitare nella forma matriciale
(A−λI)u = 0,
⎛
A11 −λ
⎝
A12 A13
⎞⎛
u
⎠⎝
1
⎞
⎠ = 0. (1.82)
A21 A22 −λ A23
A31 A32 A33 −λ
Si tratta di un sistema lineare omogeneo nelle incognite u i con parametro
λ. Perchè esso ammetta soluzioni non banali è necessario che sia
u 2
u 3
Det(A−λI) = 0, (1.83)
eintalcasovisonoinfinitivettorisoluzione, u. Sviluppandoildeterminante
aprimomembro, la(1.83)daluogoallaseguenteequazionealgebricadigrado
3 nell’incognita λ, detta equazione caratteristica:
λ 3 −I1(A)λ 2 +I2(A)λ−I3(A) = 0. (1.84)
Le radici λ1, λ2, λ3 sono dette autovalori. In corrispondenza ad autovalori
λi il sistema (1.82) ammette delle soluzioni ui, non nulle, dette autovettori.
Se v è un autovettore, tale è anche il vettore αv. Non pone limitazioni,
quindi, scegliere un autovettore di modulo unitario che rappresenti la classe
di tutti gli autovettori ad esso paralleli.
Ci limiteremo a trattare il problema degli autovettori nel caso di tensori
simmetrici per il particolare interesse che essi presentano nella Meccanica
Razionale e, in generale, nella Fisica Matematica. Vale il seguente
Teorema 1.33 Sia S un tensore simmetrico; allora
a) le radici (autovalori) dell’equazione caratteristica (1.83) sono reali;
b) Il sistema (1.82) ammette almeno tre soluzoni (autovettori) u1,u2,u3,
mutuamente ortogonali.
Sia Q la rotazione che manda la base ortonormale c1,c2,c3 nella base
costituita dagli autovettori u1,u2,u3, del tensore S che, per quanto detto,
possiamoassumerecostituentiunaternaortonormalelevogira. LacolonnajesimadellamatriceQècostituitadallecomponentidiuj
nellabasec1,c2,c3:
⎛ ⎞
Q = ⎝
u 1 1 u 1 2 u 1 3
u 2 1 u 2 2 u 2 3
u 3 1 u 3 2 u 3 3
⎠, (1.85)

24 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
dove con u i j
s’intende la componente i-esima del vettore uj:
u i j = uj ·ci. (1.86)
Nella base ortonormale formata dagli autovettori u1,u2,u3, l’operatore S è
rappresentato dalla matrice ˆ S che è legata alla matrice S dalla relazione
ˆS = Q T SQ. (1.87)
Proposizione 1.34 In una base formata dai suoi autovettori il tensore
simmetrico S ammette la rappresentazione diagonale :
⎛ ⎞
ˆS = ⎝
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
⎠. (1.88)
Nel caso in cui sia λ1 = λ2 = λ3 = λ si ha che ogni vettore dello spazio
V è autovettore corrispondente all’autovalore λ e quindi S = λI.
Nel caso in cui solo due autovalori coincidano:
a = λ1 = λ2 = λ3 = b, (1.89)
il tensore assume la seguente rappresentazione rispetto alla terna di autovettori
u1,u2, u3 (essendo u3 l’autovettore relativo a b):
⎛ ⎞
a 0 0
ˆS = ⎝0
a 0⎠.
(1.90)
0 0 b
Proposizione 1.35 Nella notazione di sopra, ogni vettore ortogonale a u3
è un autovettore relativo all’autovalore a e il tensore S ha la stessa matrice
rappresentativa (1.90) rispetto a ogni base ortonormale di autovettori.
È evidente che la proposizione (1.35) si può adattare anche ai casi in cui
si scelga l’autovettore relativo all’autovalore distinto b coincidente con u1
oppure con u2.
1.3 Il tensore distanza
Si indichi con D il tensore trattato nell’Esercizio 1.12 nel caso in cui sia
a = OP, essendo O e P due punti di E, sia cioè:
D = (|OP| 2 I −OP ⊗OP) = (trL)I −L, L = OP ⊗OP. (1.91)
Proposizione 1.36 Sia r la retta per O di versore n; allora lo scalare
d 2 = n·Dn è il quadrato della distanza di P da r:
n·Dn = |P ′ P| 2 . (1.92)

1.4. DECOMPOSIZIONE POLARE 25
Infatti: n·Dn = n·[(OP 2 I −OP ⊗OP)n] = n·[OP 2 n−OP(OP ·n)] =
OP 2 −(OP ·n)(OP ·n) = |OP| 2 −(OP ·n) 2 = |P ′ P| 2 , avendo indicato con
P ′ la proiezione di P su r (vedi figura 1.1 (2)).
Sia O l’origine di un sistema di riferimento cartesiano; dette x 1 ,x 2 ,x 3
le co-ordinate di P, le matrici dei tensori che compaiono nella (1.91) sono
espresse dalle seguenti relazioni
⎛
OP 2 I = ⎝
(x 1 ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2 0 0
0 (x 1 ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2 0
0 0 (x 1 ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2
⎛
(x
(1.93)
[OP ⊗OP] = ⎝
1 ) 2 x1x2 x1x3 x2x1 (x2 ) 2 x2x3 x3x1 x3x2 (x3 ) 2
⎞
⎠. (1.94)
Quindi la matrice che rappresenta il tensore D = OP 2 I −OP ⊗OP è data
da
⎛
(x
D = ⎝
2 ) 2 +(x3 ) 2 −x1x2 −x1x3 −x2x1 (x1 ) 2 +(x3 ) 2 −x2x3 −x3x1 −x3x2 (x1 ) 2 +(x2 ) 2
⎞
⎠. (1.95)
1.4 Decomposizione polare
Definizione 1.37 Un tensore simmetrico S si dice definito positivo se
per ogni v ∈ V risulta
Sv ·v ≥ 0 o, in componenti, Sijv i v j ≥ 0 (1.96)
valendo l’uguaglianza solo per v = 0; ossia, se Sv forma angolo acuto con
v per ogni v = 0.
Proposizione 1.38 Se S è un tensore simmetrico definito positivo i suoi
autovalori sono tutti positivi.
Teorema 1.39 (di Decomposizione Polare) Per ogni tensore F invertibile
è sempre possibile determinare in modo unico un tensore ortogonale
R e due tensori simmetrici, definiti positivi, U e V , tali che risulti
F = RU e F = V R. (1.97)
Dimostrazione. Si consideri il tensore F T F; esso è simmetrico
e definito positivo
(infatti (F T F) T = F T (F T ) T = F T F),
(infatti F T Fv ·v = Fv ·Fv = (Fv) 2 ≥ 0).
⎞
⎠

26 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
Per la Proposizione (1.38) gli autovalori di FTF sono positivi: λj > 0,
(j = 1,2,3). Si assuma una terna di autovettori unitari come base di V ; il
tensore FTF è ivi rappresentato dalla matrice diagonale:
Si consideri la matrice
⎛
F T F = ⎝
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
⎞
⎠. (1.98)
⎛√
⎞
λ1 √0 0
U = ⎝ 0 λ2 0 ⎠; √ (1.99)
0 0 λ3
risulta evidentemente U U = F T F. Dunque esiste un tensore U tale che
UU = F T F. (1.100)
Il tensore U è simmetrico e definito positivo. Infatti la matrice (1.99) ha
tali caratteristiche e queste sono intrinseche del tensore, cioè indipendenti
dalla base. Il tensore R, definito da
R = FU −1 , (1.101)
èortogonale: R T R = (FU −1 ) T FU −1 = U −T F T FU −1 = U −1 F T FU −1 =
U −1 UUU −1 = I (si osservi che U −T = U −1 poichè l’inverso di un tensore
simmetrico è ancora simmetrico). Dunque risulta soddisfatta la (1.55).
Dalla (1.101) segue immediatamente la (1.97)1. Si omette per brevità la
dimostrazione dell’unicità dei tensori R e U. Per dimostrare la (1.97)2 si
procede in modo analogo ponendo V V = FF T , R = V −1 F.
Le relazione (1.97)1 e (1.97)2 rappresentano rispettivamente la decomposizione
polare destra e la decomposizione polare sinistra del tensore F.
1.4.1 Interpretazione geometrica del teorema di decomposizione
polare. Quadrica indicatrice.
Nello spazio euclideo E si consideri la sfera di raggio unitario avente centro
nell’origine O di un sistema di coordinate cartesiane. La superficie sferica
si può pensare come luogo degli estremi P dei vettori di modulo unitario
applicati in O ed è caratterizzata dalla relazione :
OP ·OP = 1 (in co-ordinate 3
i=1 (xi ) 2 = 1). (1.102)
Il vettore OP viene trasformato dal tensore F nel vettore OT = FOP e il
luogo dei punti T è caratterizzato dalla relazione:
F −T F −1 OT ·OT = 1 (1.103)

1.5. SISTEMI DI EQUAZIONI NONLINEARI: TEOREMA DEL DINI27
U R
Figura 1.3: Come opera la decomposizione polare destra
che si ottiene dalla (1.102) mediante la sostituzione OP = F −1 OT (infatti
da OP ·OP = 1 segue F −1 OT ·F −1 OT = 1, F −T F −1 OT ·OT = 1 e quindi
segue la (1.103)). In coordinate cartesiane la (1.103) diventa
RU
(F −T F −1 )ijx i x j = 1 (1.104)
La (1.104) rappresenta una quadrica, detta quadrica indicatrice e precisamente
un ellissoide, dato che il tensore (F −T F −1 ) è simmetrico e definito
positivo (si pensi di riferire l’equazione (1.104) a una terna che diagonalizza
la matrice del tensore F −T F −1 e si ricordi che gli elementi diagonali sono
positivi: si ottiene in tale modo l’equazione canonica di un ellissoide). Si può
quindi dire che i punti che stanno su una sfera di raggio unitario vengono
mandati in punti che stanno su un ellissoide, di equazione (1.104).
Le figure seguenti illustrano il modo di operare del tensore F tramite
i fattori che intervengono nella decomposizione polare destra e, rispettivamente,
sinistra.
Nella Figura 1.3 si pensa F = RU (decomposizione polare destra): la
sfera è prima deformata da U in un ellissoide che viene poi ruotato da R.
Nella Figura 1.4 si pensa F = V R (decomposizione polare sinistra): la
sfera è prima ruotata da R e poi deformata da U in un ellissoide.
1.5 Sistemi di equazioni nonlineari: teorema del
Dini
Consideriamo k funzioni reali f1,...,fk definite in R n , n > k, e ivi continue.
Per convenienza i punti P di R n saranno descritti nella forma
P = (x1,...,xk,y1,...,yN), N = n−k.

28 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
R V
Figura 1.4: Come opera la decomposizione polare sinistra
Diremo che le k equazioni nonlineari
definiscono implicitamente k funzioni
VR
f1(x1,...,xk, y1,...,yN) = 0
. (1.105)
fk(x1,...,xk, y1,...,yN) = 0
φ1(y1, ..., yN)
φk(y1, ..., yN),
. (1.106)
definite in un aperto A di R N , se valgono identicamente in A le uguaglianze
f1(φ1(y1,...,yN),...,φk(y1,...,yN),y1,...,yN) = 0
. (1.107)
fk(φ1(y1,...,yN),...,φk(y1,...,yN),y1,...,yN) = 0.
In questo caso diremo anche, semplificando, che il sistema (1.105) è equivalente
al sistema
x1 = φ1(y1,..., yN)
xk = φk(y1,..., yN),
. (1.108)
che esplicita le x1,...,xk come funzione delle (restanti) variabili y1,...,yN;
un’altra dizione è che (1.108) è la risoluzione del sistema (1.105) rispetto
alle x1,...,xk.

1.6. SUPERFICI PARAMETRICHE 29
Ricordiamo che la matrice jacobiana J delle fi rispetto alle xr è
⎛ ∂f1
∂x1
⎜ ∂f2 ⎜
J = ⎜ ∂x1
⎜
⎝ .
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
.
...
...
...
...
⎞ ∂f1
∂xk
∂f2 ⎟
∂xk ⎟
. ⎠
(1.109)
∂fk
∂x1
∂fk
∂x2
e che il determinante di J, detto determinante jacobiano o jacobiano delle
fi rispetto alle xr si indica con il simbolo
∂fk
∂xk
detJ = ∂(f1,...,fk)
. (1.110)
∂(x1,...,xk)
L’esistenza delle funzioni implicite è garantita dal seguente teorema (del
Dini) che costituisce una condizione solo sufficiente:
Teorema 1.40 Le funzioni f1,...,fk siano di classe C1 (Rn ); esse si annullino
tutte nel punto P0 = (x0 1 ,...,x0 k ,y0 1 ,...,y0 N ); e il loro jacobiano rispetto
alle x1,...,xk sia diverso da zero in P0. Allora esistono un opportuno intorno
A di y0 1 ,...,y0 N e k funzioni φ1,...,φk, definite in A e ivi di classe
C1 , che verificano in tutto A le (1.107) e le condizioni (iniziali)
φr(y 0 1,...,y 0 N) = x 0 r, r = 1,...,k. (1.111)
Esercizio 1.41 Si supponga che le fi siano funzioni lineari (anche non omogenee)esiconfrontiilrisultatoappenaenunciatoconteoreminotisuisistemi
di equazioni lineari.
1.6 Superfici parametriche
In quel che segue supporremo che le funzioni considerate abbiano tutte le
derivate che servono per il loro utilizzo.
Vi sono varie maniere di introdurre una superficie nello spazio euclideo
tridimensionale E. Ad esempio, se si è introdotto un sistema di coordinate
cartesiane Oxyz, una superficie S può essere definita (implicitamente) da
un’equazione, generalmente nonlineare, della forma
F(P) := F(x,y,z) = 0 con la condizione ∇F = 0; (1.112)
quest’ultima condizione serve a garantire che la superficie sia un oggetto
bidimensionale immerso nello spazio, in senso intuitivo. Ricordiamo che in
ogni punto di S il vettore ∇F è ortogonale ad S.
Un’altra possibilità è quella di introdurre una superficie cartesiana esprimendo
una delle coordinate come funzione, generalmente nonlineare, delle
rimanenti due; ad esempio
z = Z(x,y), oppure z −Z(x,y) = 0. (1.113)

30 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
S
q 2
P
e2
q 1
e1
Figura 1.5: Superficie parametrica
Quest’ultima relazione garantisce che ogni superficie cartesiana è una (particolare)
superficie implicita; la condizione (1.112) è infatti automaticamente
verificata. Inoltre la normale alla superficie si può rappresentare in questo
caso attraverso il vettore (− ∂Z
∂x ,−∂Z
∂y ,1).
Definizione 1.42 Una superficie (in forma) parametrica è definita mediante
una funzione (q1,q2) ↦→ P(q1,q2), che si può anche scrivere nella
forma
x = χ1(q1,q2), y = χ2(q1,q2), z = χ3(q1,q2), (1.114)
con (q1,q2) variabile in un aperto D di R2 , a valori in E. Inoltre la matrice
(rettangolare) jacobiana
∂(χ1,χ2,χ3)
(1.115)
∂(q1,q2)
abbia caratteristica (o rango) 2: ci sia sempre almeno un minore di ordine
2 non nullo.
In meccanica, quando la superficie parametrica rappresenta il luogo su
cui è costretto (da opportuni dispositivi) a muoversi un punto materiale, i
parametri q1,q2, si chiamanocoordinate lagrangiane o libere e il loronumero,
2, il numero di gradi di libertà del punto vincolato.
Ogni superficie cartesiana è una (particolare) superficie parametrica. Ad
esempio la (1.113) si può scrivere nella forma
∂(x, y)
x = q1, y = q2, z = Z(q1,q2), con Det = 1. (1.116)
∂(q1,q2)
Viceversa, per il teorema del Dini, ogni superficie parametrica è almeno
localmente una superficie cartesiana. Ad esempio, nell’ipotesi che sia
Det ∂(χ1, χ2)
∂(q1,q2)
= 0,

1.6. SUPERFICI PARAMETRICHE 31
possiamo invertire le (1.114)1,2 in
e riscrivere la (1.114)3 nella forma
q1 = q1(x,y), q2 = q2(x,y) (1.117)
z = z(q1(x,y), q2(x,y)) =: Z(x,y). (1.118)
Quindi, almeno localmente, si può rappresentare una superficie in una
qualunque delle tre forme descritte sopra e passare dall’una all’altra. In generale,
poiché il teorema del Dini non fornisce una formula risolutiva, questo
passaggio non si riesce a descrivere esplicitamente.
Osservazione 1.43 Una superficie parametrica ammette infinite rappresentazioni
parametriche. Se (1.114) è una di queste, tutte e sole le altre
si ottengono pensando la coppia (q1,q2) come funzione regolare, invertibile,
con inversa regolare, di una nuova coppia (Q1,Q2):
q1 = q1(Q1,Q2), q2 = q2(Q1,Q2), Det ∂(q1, q2)
= 0. (1.119)
∂(Q1,Q2)
Ad esempio, nel piano (q1,q2) di Fig. 1.5 al posto delle coordinate cartesiane
si possono usare le coordinate polari (se si può escludere l’origine).
Pur fornendo tutte le rappresentazioni parametriche di una superficie S
una corretta descrizione locale della S, alcune possono essere preferibili per
particolari ragioni, ad esempio legate all’espressione di quantità geometricocinematiche
associate ad S (velocità, energia cinetica, ...). Vedi gli esempi
più sotto.
Consideriamol’interpretazionemeccanicadellasuperficieS comevincolo
perunpuntomateriale. Èintuitivocheilvincologeometricodiappartenenza
alla superficie fornisce anche una limitazione sulle velocità che il punto può
assumere in un suo qualunque moto lungo la superficie (vincolo cinematico).
Per rendere esplicito questo nuovo vincolo consideriamo una curva parametrica
regolare orientata γ (che sia parametrica non è una reale restrizione,
vedi §12.2)
P = P(λ), oppure x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ), λ ∈ [λ0,λ1],
(1.120)
sulla quale vogliamo imporre la condizione che tutti i suoi punti stiano sulla
superficie S. Una tale curva si può interpretare come un moto compatibile
con il vincolo se pensiamo al parametro λ come tempo.
Se la superficie S è rappresentata in forma implicita come in (1.112)
allora la condizione che γ appartenga ad S si scrive
F(x(λ), y(λ), z(λ)) = 0 per ogni λ ∈ [λ0,λ1]; (1.121)

32 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
differenziandola rispetto a λ otteniamo
0 = ∂F dx ∂F dy ∂F dz dP
+ + = ∇F ·t, t = . (1.122)
∂x dλ ∂y dλ ∂z dλ dλ
Cioè il vettore tangente t (ricordiamo che è t = 0) alla curva nel punto genericoP
appartienealpianotangenteallasuperficieinP; l’equazionevettoriale
del piano è data da (1.122) in cui però t è guardato come incognita. Cioè
il piano tangente a S in P è il piano che contiene (tutti e soli) i vettori
tangenti, in P, alle curve che appartengono a S e passano per P.
Il piano tangente si può esaminare anche a partire dalla rappresentazione
parametrica(1.114). Comunquesiconsideriunacurvaregolare(q1(λ),q2(λ))
nel dominio D della (1.114), la curva γ definita da
x(λ) = χ1(q1(λ),q2(λ)), y(λ) = χ2(q1(λ),q2(λ)), z(λ) = χ3(q1(λ),q2(λ))
(1.123)
appartiene alla superficie ed è regolare per costruzione. In base al teorema
del Dini si può dimostrare che ogni curva regolare della superficie si può
ottenere in questo modo, mediante un’opportuna scelta della curva nel dominio
D della rappresentazione parametrica. Tra le curve di S passanti per
P ci interessa in particolare quella ‘coordinata’, γ1,[γ2,] ottenuta facendo
variare in (1.114) soltanto il parametro q1 [q2]. I vettori tangenti a γ1 e
γ2, diciamoli e1 ed e2, rispettivamente, non sono paralleli in base a (1.115),
quindi generano il piano tangente. Questo è costituito dai vettori tangenti
alle curve superficiali passanti per P. Infatti, indicando con t il vettore
tangente alla curva (1.123), si ottiene da questa per differenziazione
t = ∂P dq1 ∂P dq2
+
∂q1 dλ ∂q2 dλ
che giustifica l’affermazione in base all’arbitrarietà di dq1
dq1
= e1
dλ +e2
dq2
, (1.124)
dλ
dλ
, dq2
dλ .
Anche a partire dalla rappresentazione parametrica si può costruire la
normale a S. Conviene introdurre il vettore normale (non unitario)
m = m(q1,q2) = e1 ×e2, mi = eijke j
1 ek 2
(1.125)
che interviene nel calcolo delle aree e degli integrali superficiali. Infatti, per
ogni suttosuperficie S ′ di S ottenuta restringendo (1.114) a un dominio D ′
contenuto in D, l’area A ′ di S ′ è
A ′
=
S ′
dS :=
D ′
m(q1,q2)dq1dq2
(1.126)
e per ogni funzione continua f : E → R
f dS := f(P(q1,q2))m(q1,q2)dq1dq2. (1.127)
S ′
D ′
Le quantità introdotte hanno l’importante proprietà di essere indipendenti
dalla particolare rappresentazione parametrica adottata per la superficie.

1.7. CURVE PARAMETRICHE 33
Esercizio 1.44 Si espliciti la teoria precedente nel caso in cui la superficie
sialasferadiraggio1ecentrol’originediunsistemadicoordinatecartesiane
Oxyz, di equazione implicita
x 2 +y 2 +z 2 −1 = 0. (1.128)
Si dica se le coordinate polari sferiche θ,φ possono essere usate come coordinate
lagrangiane e se siano preferibili ad altre (e perché).
1.7 Curve parametriche
Anche per una curva (regolare) nello spazio sono possibili varie definizioni.
Cominciamo da quella parametrica, già introdotta in §12.1. Una curva
parametrica è definita mediante una funzione
γ : λ ↦→ P(λ), λ ∈ [λ0,λ1], P(λ) = (x(λ),y(λ),z(λ)) (1.129)
soddisfacente, per ogni λ la condizione
t := dP
dλ
= 0. (1.130)
Si può convenire di orientarla nel verso crescente delle λ. Come per le
superfici, la rappresentazione parametrica è la più adatta per introdurre la
lunghezzad’arcoeilconcettodiintegralecurvilineodiunafunzione(scalare)
continua f(P). Per ogni tratto di curva γ ′ compreso tra λ ′ e λ ′′ la lunghezza
L ′ e l’integrale curvilineo sono dati da
L ′
=
γ ′
γ ′
ds :=
f ds :=
λ ′′
λ ′
λ ′′
λ ′
t(λ)dλ,
ds
= t, (1.131)
dλ
f(P(λ))t(λ)dλ. (1.132)
Le quantità qui introdotte hanno l’importante proprietà di essere indipendenti
dalla particolare rappresentazione parametrica adottata per la curva.
Per l’interpretazione meccanica è utile introdurre una curva in forma
implicita, come intersezione di due superfici (implicite), cioè come luogo
delle soluzioni del sistema
F1(x,y,z) = 0 = F2(x,y,z). (1.133)
Dal punto di vista meccanico, il punto costretto a muoversi sulla curva γ è
pensato sottoposto a due vincoli, ciascuno rappresentato da una superficie,
che devono essere indipendenti per produrre una curva. Dal punto di vista
geometrico l’indipendenza si descrive dicendo che le due superfici devono
tagliarsi trasversalmente (non devono avere in alcun punto dell’intersezione

34 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
x
z
y
P
λ λ
0 1
Figura 1.6: Curva parametrica
lo stesso piano tangente. Dal punto di vista analitico l’indipendenza delle
duecondizioniin(1.133)èdescrittaimponendocheilrango(ocaratteristica)
della matrice jacobiana sia massimo, cioè 2:
t
2 = rnk ∂(F1,F2)
. (1.134)
∂(x,y,z)
Questa condizione si interpreta geometricamente come non parallelismo dei
gradienti ∇F1,∇F2, cioè dei piani tangenti alle due superfici vincolari, che
è la condizione di trasversalità nominata sopra. La condizione sul rango
e il teorema del Dini garantiscono che ogni curva implicita è localmente
parametrica; se, ad esempio, è diverso da zero il determinante ∂(F1,F2)
∂(x,y) , allora
si possono esprimere x e y come funzioni di z che è il parametro λ in questo
caso.
Esercizio 1.45 Si dimostri in dettaglio l’affermazione precedente. Si dimostri
anche il viceversa: ogni curva parametrica è localmente una curva
implicita.
Esercizio 1.46 Si scrivano le condizioni che caratterizzano le velocità compatibili
col vincolo di appartenenza alla curva γ sia in termini della rappresentazione
parametrica che di quella implicita.
Esercizio 1.47 Al vincolo introdotto nell’Esercizio 12.3 si aggiunga l’ulteriore
vincolo z = 0. Si dimostri che i due vincoli sono indipendenti e
quindi definiscono una curva. Di questa si diano alcune rappresentazioni
(locali) parametriche e si caratterizzino le velocità compatibili con il vincolo
complessivo a partire sia dalla rappresentazione parametrica che da quella
implicita.
λ

1.8. INTRODUZIONE AI SISTEMI VINCOLATI 35
1.8 Cenni introduttivi alla meccanica dei sistemi
vincolati
La meccanica del punto materiale e, più in generale, dei sistemi di punti
materialistudiainizialmenteilproblemadelmotonell’ipotesicheognipunto
del sistema considerato sia libero, cioè in grado di occupare una qualunque
posizione nello spazio (magari dando luogo a fenomeni d’urto nel caso in cui
due o più punti finiscano per trovarsi nella stessa posizione dello spazio). Il
moto del sistema è allora retto dal sistema di equazioni vettoriali
miai = fi (non somme, i = 1,...,n), (1.135)
dove n è il numero di punti del sistema e fi è la forza totale sul punto
i-mo Mi, pensata come funzione delle posizioni e velocità di tutti i punti
(ed espressa attraverso la legge del parallelogramma come somma vettoriale
delle singole forze tra Mi e ciascun altro punto Mj,j = i).
D’altra parte l’esperienza quotidiana ci presenta sistemi le cui parti non
possono muoversi liberamente perché costrette da opportuni dispositivi che
legano le parti o tra loro (vincoli interni) oppure ad altre non appartenenti
al sistema (vincoli esterni).
I modelli più semplici di sistemi vincolati sono quelli di un singolo punto
vincolato ad appartenere a una superficie o a una curva; quest’ultimo, ad
esempio, può descrivere in modo approssimato la mobilità del baricentro di
un vagoncino dell’otto volante.
Su questi modelli semplici abbiamo risolto alcuni problemi geometricocinematici
di carattere generale per i sistemi vincolati:
• determinazione delle equazioni dei vincoli;
• determinazionediuninsiemediparametriessenziali(coordinate lagrangiane
o libere) che descrivano, almeno localmente, l’insieme delle configurazioni
permesse dai vincoli;
• determinazione delle restrizioni che i vincoli pongono alle velocità.
Ad esempio, per il punto vincolato su una superficie le risposte sono
contenute nel paragrafo 1.6:
• l’equazionedelvincoloèl’equazionedellasuperficieepuòesserescritta
in forma implicita, cartesiana, parametrica e queste sono localmente
equivalenti tra di loro;
• i parametri essenziali sono quelli che figurano in una qualunque rappresentazione
parametrica locale del vincolo; queste sono infinite, solo
il loro numero, due, è univocamente determinato, per cui si dice
che l’insieme delle configurazioni consentite dal vincolo è una varietà
bidimensionale o che il sistema vincolato ha due gradi di libertà;

36 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
• le velocità compatibili con il vincolo sono i vettori (localmente) tangenti
alla superficie; le restrizioni che le caratterizzano sono espresse
da (1.122) in termini dell’equazione implicita e da (1.124) in termini
della rappresentazione parametrica.
Esercizio 1.48 Nel piano cartesiano Oxy si consideri un punto P vincolato
su una guida rettilinea r a sua volta vincolata ad avere un punto fissato
nell’origine. Si diano: le equazioni dei vincoli; il numero di gradi di libertà;
una rappresentazione delle velocità permesse dai vincoli.
Si supponga ora che un dispositivo esterno faccia ruotare la guida r attornoadO
conunaleggeassegnata. Questoèunsempliceesempiodivincolo
mobile o dipendente dal tempo; per contro, i vincoli descritti in precedenza si
dicono fissi o indipendenti dal tempo. Vogliamo estendere a questa classe di
vincoli le considerazioni fatte sopra sui vincoli fissi. A questo scopo diamo
la seguente
Definizione 1.49 Diremo che un sistema le cui configurazioni sono descritte
da una n-pla di parametri (x1,...,xn) è un sistema olonomo a N
gradi di libertà se i vincoli, possibilmente mobili, si possono rappresentare
localmente nella forma parametrica
xi = χi(q1,...,qN,t), i = 1,...,n, (1.136)
ove le funzioni χi sono di classe almeno C 1 e il rango (o caratteristica) della
matrice n×N jacobiana
è costante ed uguale ad N.
⎛
⎜
⎝
∂χ1
∂q1
...
∂χ1
∂qN
. ...
...
.
∂χn
∂q1
∂χn
∂qN
⎞
⎟
⎠ (1.137)
Esercizio 1.50 Verificare che il punto vincolato sulla guida mobile è un
sistema lagrangiano a 1 grado di libertà.
Per i sistemi lagrangiani soggetti a vincoli mobili vi sono fondamentalmente
due tipi di mobilità, o tipi di velocità, che interessano: le velocità
effettivamente compatibili con i vincoli, chiamate generalmente velocità possibili;
e le velocità compatibili con i vincoli pensati istantaneamente congelati,
chiamate generalmente velocità virtuali. Le prime hanno significato
meccanico, le seconde solo geometrico ma sono essenziali per dare una forma
significativa alle equazioni di equilibrio (teorema dei lavori virtuali) e alle
equazioni del moto (equazioni di Lagrange).

1.8. INTRODUZIONE AI SISTEMI VINCOLATI 37
Esercizio 1.51 Si ricavino le condizioni caratteristiche delle velocità possibili
e virtuali nel caso del punto vincolato sulla guida mobile, utilizzando
da una parte l’equazione implicita del vincolo, dall’altra l’equazione
parametrica.
Come si vede negli esempi della superficie fissa e della curva fissa (in cui
le velocità possibili e virtuali coincidono), le velocità virtuali sono tangenti
alla varietà vincolare. Questo rimane vero, in senso generalizzato, per tutti
i sistemi olonomi. Le velocità possibili hanno invece una componente, ortogonale
alla varietà vincolare, che è legata alla mobilità del vincolo, come si
vede esplicitamente nell’esempio della guida mobile. Come in quel caso, si
può vedere che in generale la differenza fra due velocità possibili (a partire
dallastessaconfigurazione)èunavelocitàvirtuale; e, viceversa, ognivelocità
possibile si ottiene da una preassegnata velocità possibile aggiungendo una
opportuna velocità virtuale.
Nel caso in cui il sistema sia costituito da n punti materiali soggetti a
un sistema di vincoli che lasciano N gradi di libertà possiamo rappresentare
parametricamente i vincoli scrivendo le (1.136) nella forma vettoriale
OPi = OPi(q1,...,qN,t), i = 1,...,n; (1.138)
e le velocità virtuali si ottengono differenziando le (1.138) rispetto alle qh:
wi = N ∂OPi
h=i ∂qh
ove le ˙qh vanno pensate come incrementi arbitrari.
˙qh, i = 1,...,n, (1.139)
Spesso un sistema è sottoposto a vincoli espressi da disuguaglianze (vincoli
unilaterali) oltre che eventualmente da uguaglianze (vincoli bilaterali).
Ad esempio, nel caso di un punto vincolato ad appartenere al primo quadrante
(chiuso) di un riferimento cartesiano piano Oxy, si possono verificare
le seguenti affermazioni:
• Per descrivere le configurazioni consentite dal vincolo occorrono e bastano
2 parametri, ad esempio le coordinate cartesiane x e y; i vincoli
unilaterali non riducono il numero di gradi di libertà.
• Consideriamo una qualsiasi posizione, detta ordinaria, in cui tutte le
disuguaglianze eventualmente presenti siano verificate come disuguaglianzestrette(inparticolareogniposizioneèordinariasetuttiivincoli
sono bilaterali); a partire da questa le velocità virtuali sono arbitrarie.
• Consideriamo una posizione, detta di confine, in cui almeno un vincolo
unilaterale abbia la disuguaglianza relativa che valga come uguaglianza;
a partire da questa posizione, le velocità virtuali devono soddisfare,
per ognuna delle diseguaglianze che valgono come uguaglianze, una

38 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
disuguaglianza della stessa forma. Ad esempio, se la posizione appartiene
all’asse x ma non è l’origine, quindi la sola disuguaglianza y ≥ 0
vale come uguaglianza, allora le velocità virtuali devono soddisfare la
condizione ˙y ≥ 0. Se la posizione è l’origine allora le velocità virtuali
devono soddisfare entrambe le disuguaglianze ˙x ≥ 0 e ˙y ≥ 0.
• Diremo che una velocità virtuale è reversibile se anche la sua opposta
è virtuale. Allora: a partire da una posizione ordinaria ogni velocità
virtuale è reversibile, in particolare se i vincoli sono tutti bilaterali;
a partire da una posizione di confine sono reversibili le velocità le
disuguaglianze sulle quali valgono come uguaglianze. Nell’esempio di
sopra: nel primo caso sono reversibili le velocità parallele all’asse x:
˙y = 0; a partire dall’origine l’unica velocità reversibile è quella nulla.
Già alla fine del ’600 Jakob Bernoulli si rese conto che un vincolo, che
come abbiamo fatto sopra fornisce una restrizione geometrico-cinematica,
esercita necessariamente anche un’azione meccanica, cioè una forza. Quindi
l’equazione fondamentale della meccanica deve essere opportunamente
modificata; in particolare la (1.135) diviene
miai = fi +φ i (non somme, i = 1,...,n), (1.140)
ove fi è la forza attiva totale e φ i la reazione vincolare totale agenti su
Mi. Questa modifica è un problema perché, a differenza della forza attiva,
la reazione vincolare non è determinata dal moto del sistema. Si consideri
ad esempio un punto materiale pesante fermo in equilibrio su un piano
orizzontale. Qui la cinematica è completamente nota ma non possiamo dire
quanto vale la reazione vincolare se non conosciamo anche la forza attiva;
in questo caso basta conoscere la massa del punto e quindi la forza peso. È
dunque di fondamentale importanza avere informazioni aggiuntive sul comportamento
dei vincoli per rendere le equazioni (1.140) trattabili. Inoltre le
reazioni vincolari restano sostanzialmente determinate dalle stesse (1.140),
qualora queste consentano anche la determinazione del moto del sistema.
Come vedremo, questo è possibile, magari non in modo univoco, per una
classe speciale di vincoli, chiamati ideali o lisci o privi di attrito in senso
generalizzato.
1.9 Cenno alle equazioni cardinali
Consideriamo un sistema particellare soggetto a forze e a vincoli. Diremo
interne le forze, sia attive che vincolari, che agiscono tra punti del sistema
ed esterne le altre. Inoltre, se f è la forza che agisce sul punto materiale M
occupantelaposizioneP, eAèunpuntoarbitrariodellospazio, chiameremo
momento della forza f rispetto al polo A il vettore
MA = AP ×f. (1.141)

1.9. CENNO ALLE EQUAZIONI CARDINALI 39
Le forze interne attive hanno risultante R (i,a) (somma vettoriale delle forze)
e momento risultante M (i,a)
A (somma vettoriale dei momenti delle forze)
rispetto a qualunque polo A nulli, come conseguenza del principio di azione
ereazione; l’analogovaleancheperlereazionivincolariinterneper postulato:
R (i,v) = 0 = M (i,v)
A .
Le (1.140) valgono identicamente lungo un qualunque moto dinamicamente
possibile per il sistema; vale quindi nelle stesse circostanze anche la
prima equazione cardinale, ottenuta sommando le (1.140) sull’indice i:
dQ
dt = R(e,a) +R (e,v) , Q =
n
mivi, R (e,a) =
i=1
n
fi, R (e,v) =
i=1
n
φi; (1.142)
ilvettoreQ, definitoda(1.142)2, rappresentalaquantità di moto delsistema
e nelle (1.142)3,4 si è tenuto conto che le forze interne hanno risultante nullo.
SesimoltiplicavettorialmenteAPi perlai-madelle(1.140)esisommano
le equazioni ottenute sull’indice i, si ottiene la seconda equazione cardinale:
dKA
dt = −MvA ×vG +M (e,a)
A +M(e,v)
A , KA =
M (e,a)
A =
n
i=1
APi ×fi, M (e,v)
A =
i=1
n
miAPi ×vi, (1.143)
i=1
n
APi ×φi. Qui KA, definito da (1.143)2, è il momento della quantità di moto rispetto
al polo A; e vA,vG, sono le velocità del polo A e del baricentro G, rispettivamente.
La (1.143)1 si semplifica al massimo se le velocità di A e G sono
parallele, in particolare se il polo A è fisso o coincide col baricentro.
Per i sistemi particellari le equazioni cardinali sono teoremi e costituiscono
condizioni necessarie per la possibilità fisica di un moto. Una terza
condizione necessaria, scalare, si ottiene moltiplicando scalarmente la i-ma
delle (1.140) per la velocità vi, sommando le equazioni ottenute sull’indice
i e integrando rispetto al tempo su un qualunque intervallo [t1,t2] su cui il
moto è definito; il risultato è l’equazione dell’energia (o teorema delle forze
vive):
T2 −T1 = L (a)
t1t2 +L(v)
1
t1t2 , T =
2
L (a)
t1t2 =
t2
t1
n
i=1
i=1
n
mivi 2 , (1.144)
i=1
vi ·fidt, L (v)
t1t2 =
t2
t1
n
vi ·φidt. Qui la funzione scalare T è l’energia cinetica (o forza viva), T1,T2 sono
i valori di questa agli istanti t1,t2, rispettivamente, nel moto considerato;
L (a)
t1t2 è il lavoro effettivo fatto dalle forze attive nell’intervallo [t1,t2] lungo il
moto considerato e L (v)
t1t2 è l’analogo lavoro effettivo delle reazioni vincolari.
i=1

40 CAPITOLO 1. PRELIMINARI GEOMETRICI ED ANALITICI
Per lavoro virtuale del sistema di forze attive fi si intende la funzione, di
significato solo geometrico, che a ogni scelta di velocità virtuali wi, o meglio
a ogni scelta di spostamenti virtuali δPi = widt, associa la quantità scalare
δL (a) = n
i=1 fi ·δPi. (1.145)
Ovvio l’analogo per il lavoro virtuale δL (v) delle reazioni vincolari.
La relazione tra velocità e spostamenti appena introdotta permette di
riformulare le condizioni sulle velocità virtuali descritte sopra in termini di
spostamenti virtuali; ad esempio (1.139) è equivalente a
δPi = N ∂OPi
h=i δqh, i = 1,...,n. (1.146)
∂qh
Nel caso di un sistema di punti materiali a N gradi di libertà per il
quale rappresentiamo i vincoli nella forma parametrica (1.138) e le velocità
virtuali nella forma (1.146), la (1.145) diviene
δL (a) = N
h=1 Qhδqh, Qh = n
i=1 fi · ∂OPi
∂qh
, h = 1,...,N. (1.147)
Esercizio 1.52 Verificare che, nel caso di un punto M vincolato su una
superficie parametrica, Q1 e Q2 sono le componenti della forza attiva agente
su M lungo le linee coordinate della superficie passanti per la posizione P
di M lungo le quali variano q1 e q2, rispettivamente.
Esercizio 1.53 Verificare che, nel caso di un punto M libero, la cui posizione
sia rappresentata parametricamente nella forma cartesiana ortogonale
OP = q1c1 +q2c2 +q3c3, cr ·cs = δrs, (1.148)
Qh è la h-ma componente della forza attiva agente su M.

Capitolo 2
Cinematica dei corpi rigidi
Pensiamo all’arbitrario moto rigido M come ad una famiglia monoparametrica
di isometrie dello spazio euclideo n-dimensionale E in sè. Il parametro
t rappresenta il tempo. Come è noto dalla geometria, se O è un’origine
scelta ad arbitrio; P è la posizione all’istante t di un arbitrario punto P ∗
del sistema rigido, e Ω quella di un punto Ω ∗ prefissato delo stesso sistema,
allora risulta
OP(t) = OΩ(t)+Q(t)Ω ∗ P ∗
oppure ΩP(t) = Q(t)Ω ∗ P ∗ , (2.1)
dove, per ogni t, Q(t) è un tensore ortogonale; cioè risulta Q(t)Q T (t) =
I = Q T (t)Q(t). Differenziando (2.1)1 otteniamo direttamente la formula
fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
vP = vΩ +ω ×ΩP . (2.2)
Infatti, tenendo conto che (2.1)2 è equivalente a Ω ∗ P ∗ = Q T ΩP, si ha
vP = vΩ + ˙ Q(t)Ω ∗ P ∗ = vΩ + ˙ Q(t)Q T (t)ΩP = vΩ +A(t)ΩP , (2.3)
ove l’operatore lineare A(t) è definito come ˙ Q(t)Q T (t). Vogliamo dimostrare
che l’operatore A è emisimmetrico e coincide con l’operatore ω× per una
opportuna scelta di ω, cosicché (2.2) segue immediatamente. Per l’emisimmetria
osserviamo che, differenziando rispetto a t l’uguaglianza I =
Q(t)Q T (t) otteniamo
0 = ˙ Q(t)Q T (t)+Q(t) ˙ Q T (t) = A(t) + A T (t). (2.4)
La (2.2) ora segue in base alla Proposizione 1.10; vale la seguente espressione
della matrice che rappresenta A in una base ortonormale, in termini
delle componenti di ω nella stessa base:
⎛ ⎞
0 −ω3 ω2
A =
⎝
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
41
⎠ (2.5)

42 CAPITOLO 2. CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI
x
T
1
O=Ω
∗
c 1
x3
c 3
∗
P
c 2
x2
Figura 2.1: Terne fissa e solidale in un moto rigido
T'
Ω
j 3
———————
Vogliamo descrivere in forma parametrica la mutua orientazione di due
terne cartesiane ortonormali levogire che possiamo pensare aventi la stessa
origine. Siano Oxyz e Oξηζ tali terne, di versori c1,c2,c3 e j1,j2,j3,
rispettivamente. Poiché risulta necessariamente
ξ
3
j 1
ji = Rci, i = 1,...,3, (2.6)
per una (sola) scelta della rotazione R, avremo in tale modo anche dato una
parametrizzazione dell’insieme delle rotazioni.
Escludendo il caso banale in cui le due terne coincidano, possiamo senza
ledere la generalità supporre che gli assi z e ζ non siano paralleli. Allora
i piani Oxy e Oξη si intersecano lungo una linea n detta linea dei nodi.
Scegliamo come versore di n quello che vede antioraria la rotazione che
porta c3 a sovrapporsi a j3. L’angolo θ tra questi due versori si chiama
angolo di nutazione e soddisfa le restrizioni 0 < θ < π.
Siano ora ψ e φ gli angoli di cui bisogna ruotare l’asse x in verso positivo
rispetto a z per sovrapporlo alla semiretta positiva dei nodi e, rispettivamente,
quest’ultima in verso positivo rispetto a ζ per sovrapporla all’asse
ξ. Risulta 0 ≤ φ < 2π,0 ≤ ψ < 2π. Gli angoli φ e ψ si chiamano angolo
di rotazione propria e di precessione, rispettivamente, e, assieme a θ,
costituiscono gli angoli di Eulero.
Abbiamo fatto vedere in modo costruttivo che, date le due terne cartesiane,
ad esse possiamo associare univocamente la terna di angoli di Eulero.
j 2
ξ
1
ξ2
P

x
ζ
φ
θ
ξ
z
O
ψ
Figura 2.2: Angoli di Eulero
Dimostriamo ora che, data la terna Oxyz e una terna di angoli di Eulero,
possiamo univocamente ricostruire la terna Oξηζ. Anzitutto, ruotando l’asse
x in verso positivo dell’angolo ψ determiniamo la semiretta positiva n
della linea dei nodi. Questa determina il piano Ozζ, nel quale otteniamo
l’asse ζ ruotando l’asse z in verso positivo dell’angolo θ. Risulta così determinato
il piano Oξη nel quale si ottiene l’asse ξ ruotando la semiretta
positiva dei nodi, in verso positivo, dell’angolo φ. A questo punto anche il
semiasse η positivo risulta completamente determinato.
———————
Consideriamo un vettore u dipendente dal tempo e poniamo
u ∗ = Q T (t)u oppure u = Q(t)u ∗ . (2.7)
Siano cr, r = 1,2,3, i versori della terna fissa e jr i versori della terna
mobile solidale al corpo rigido (vedi figura 2.1). Quindi, rappresentando u
nella terna mobile,
jr = Qcr e u ∗ = Q T u = Q T (urjr) = Q T Qurcr = urcr . (2.8)
n
η
y
43

44 CAPITOLO 2. CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI
Quindi u ∗ è il vettore che ha rispetto alla terna fissa le stesse componenti
che u ha rispetto alla terna solidale. Deriviamo (2.7)2 rispetto al tempo:
D’altronde
du ∗
dt
du
dt
d
=
dt (Qu∗ ) = ˙ Qu ∗ +Q du∗
dt = ˙ QQ T u+Q du∗
. (2.9)
dt
d
=
dt (urcr) = dur
dt cr dacui Q du∗
dt
e dunque, ricordando (2.5) e ponendo
abbiamo la seguente uguaglianza:
du
dt
Se u è solidale al corpo rigido
dur
dt
˙u := Q du∗
dt
= dur
dt Qcr = dur
dt jr (2.10)
(2.11)
= ω × u + ˙u. (2.12)
= 0 quindi ˙u = 0 e du
dt
= ω × u (2.13)
come già noto. Piú in generale ˙u rappresenta la variazione per unità di
tempo di u rispetto allo spazio solidale al corpo rigido. Nel caso particolare
che sia u = λω risulta
du
= ˙u : (2.14)
dt
u ha la stessa derivata sia rispetto alla terna fissa che alla terna mobile.
———————
Siano x e x0 i vettori posizionali OP e OΩ all’istante t nel moto rigido
descritto da (2.1). Indichiamo con e(x) = vP e e0 = vΩ le velocità dei punti
del sistema rigido che transitano nelle posizioni x e x0, rispettivamente. La
(2.2) implicaallorache l’atto dimoto (o distribuzione spaziale delle velocità)
obbedisca alla legge
e(x) = e0 +ω × (x−x0), (2.15)
e che questa valga ad ogni istante lungo qualsiasi moto rigido, con x0 arbitrariamente
prefissato, x arbitrario e e0 e ω dipendenti possibilmente dal
solo tempo. Da questa formula per l’atto di moto rigido segue che
ω = 1
rote(x), (2.16)
2

dove nel rotore la derivazione deve essere fatta rispetto alle componenti
xi di x. Per dimostrarlo scriviamo (2.15) in componenti, preferendo per
semplificare i conti la forma analoga alla (2.3): in ovvia notazione
ek = e 0 k + Aks(xs −x 0 s) k = 1,2,3. (2.17)
Differenziando questa uguaglianza otteniamo
ek,j = ∂ek
∂xj
45
= Aksxs,j ; (2.18)
ma xs,j coincide con il simbolo di Kronecker e vale 1 se s = j e 0 se s = j.
Quindi ek,j = Akj e otteniamo (2.16) ricordando l’emisimmetria di A e i
risultati degli esercizi 1.27 e 1.28.

46 CAPITOLO 2. CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI

Capitolo 3
Moti relativi
Si considerino una terna (convenzionalmente) fissa T= Ω ∗ c1c2c3 ed una
T ′ = Ωj1j2j3 mobile rispetto alla prima (v. Fig. 2.1). Vogliamo calcolare
velocità ed accelerazione di un punto P rispetto alle due terne.
Chiameremo assolute la velocità e l’accelerazione di P rispetto alla terna
T e relative le analoghe rispetto alla terna T ′ . Differenziamo l’uguaglianza
vettoriale Ω ∗ P = Ω ∗ Ω+ΩP e, in accordo con (2.7), indichiamo con Ω ∗ P ∗ il
vettore Q T ΩP:
v (a)
P = vΩ + d
Q(t)Ω
dt
∗ P ∗
(t) = vΩ + ˙ QΩ ∗ P ∗ +Q d
dt (Ω∗P ∗ ). (3.1)
Identifichiamo ora il vettore u in (2.7) con ΩP, e quindi u∗ con Ω∗P∗ , e
indichiamo con ωτ la velocità angolare della terna T ′ rispetto alla T. In
base a (2.11), denotando con v (r)
P il vettore ˙u in questo caso, cioè l’ultimo
addendo in (3.1), possiamo scrivere
v (a)
P
= v(τ)
P +v(r)
P , dove v(τ)
P = vΩ +ωτ × ΩP . (3.2)
Il vettore v (τ)
P è chiamato velocità di trascinamento di P ed è la velocità
di quel punto della terna mobile che in quell’istante è sovrapposto a P. Il
vettore v (r)
P è chiamato velocità relativa di P. Infatti, in base a (2.9), è il
vettore le cui componenti rispetto alla terna mobile sono le derivate rispetto
a t delle componenti di ΩP rispetto alla stessa terna:
ΩP = y r jr , v (r)
P = ˙yr jr . (3.3)
Differenziando (3.2) e tenendo conto del fatto che
d
(ΩP) = v(a)
P dt − vΩ = v (r)
P + ωτ × ΩP (3.4)
otteniamo il teorema di Coriolis sulle accelerazioni in un moto relativo:
a (a)
P
= a(r)
P
+ a(τ)
P
47
+ a(c)
P
, (3.5)

48 CAPITOLO 3. MOTI RELATIVI
dove a (r)
P
namento, a (c)
è l’accelerazione relativa di P, a(τ)
P
P
è la sua accelerazione di trasci-
è la sua accelerazione complementare, o di Coriolis, e a(a)
P
è l’accelerazione assoluta di P. Infatti, usando anche la scomposizione
ΩP = ΩP ′ + P ′ P, con P ′ proiezione di P sulla retta per Ω parallela a
ωτ, si ha
a (a)
P = aΩ + ˙ωτ ×ΩP +ωτ × d d
(ΩP)+
dt dt (˙yr jr) (3.6)
= aΩ + ˙ωτ × ΩP +ωτ × (v (r)
P +ωτ × ΩP)+ ¨y r jr + ˙y rdjr
dt
= aΩ + ˙ωτ × ΩP +ωτ × v (r)
P −ω2 τ P ′ P + ¨y r jr + ˙y r ωτ × jr
= aΩ + ˙ωτ × ΩP +ωτ × v (r)
P −ω2 τ P ′ P + ¨y r jr +ωτ × v (r)
P .
Gli ultimi due termini in quest’ultima uguaglianza si possono anche ottenere
differenziando l’uguaglianza
v (r)
P
= Q d
dt (Ω∗ P ∗ ). (3.7)
Infatti, usando tra l’altro l’espressione di v (r)
P in (3.1)2, otteniamo
ove
d
dt v(r)
P
= Q d2
dt 2(Ω∗ P ∗ )+ ˙ Q d
dt (Ω∗ P ∗ )
= Q d2
dt 2(Ω∗ P ∗ )+ ˙ QQ T Q d
dt (Ω∗ P ∗ ) (3.8)
= Q d2
dt 2(Ω∗ P ∗ )+ωτ × v (r)
P ,
Q d2
dt 2(Ω∗ P ∗ ) = Q¨y r cr = ¨y r jr
è l’accelerazione relativa di P. Inoltre in (3.5)
e
(3.9)
a (τ)
P = aΩ + ˙ω × ΩP − ω 2 τ P ′ P (3.10)
a (c)
P = 2ωτ × v (r)
P
. (3.11)

Capitolo 4
Teorema di
Aronhold-Kennedy
Ricordiamo anzitutto il teorema (di Chasles) enunciato e dimostrato nel
libro di testo, Teorema 5.5, e illustrato nella Figura 4.1.
r
B
1
C
12
a)
C
B
1
2
C
1
B1
b)
r
Figura 4.1: Costruzione della retta r contenente il centro istantaneo di rotazione
del corpo B2. Nei casi a) e c) B2 ruota rispetto a B1 con centro in C12
(cerniera che collega i due corpi). Nel caso b) B2 trasla rispetto a B1 con
velocità relativa t, il centro di rotazione relativa C12 è il punto all’infinito
individuato dalla direzione ortogonale a t.
Teorema 4.1 Il centro istantaneo di rotazione, C2, del corpo B2 appartiene
alla retta passante per il centro istantaneo di rotazione, C1, del corpo B1 e
per il centro istantaneo di rotazione, C12, di B2 rispetto a B1.
Il teorema vale anche se uno o entrambi i centri istantanei di rotazione
sono punti impropri. Si possono allora enunciare esplicitamente questi casi,
C
12
t
49
=
∞
B2
B 2
C
B
1
=
2
∞
B
1
r
c)
C
12

50 CAPITOLO 4. TEOREMA DI ARONHOLD-KENNEDY
tenendo presente che se, ad esempio, C12 è improprio, passare per C12 vuol
dire essere parallelo alla direzione ortogonale a t.
b) Se l’atto di moto di B1 è rotatorio attorno al centro C1 e se l’atto di
moto di B2 relativo a B1 è traslatorio con direzione t (e quindi ha il centro
istantaneo di rotazione C12 all’infinito), allora (il centro istantaneo di rotazione)
C2 del corpo B2 appartiene alla retta r passante per C1 e ortogonale
a t (cioè passante per il punto all’infinito C12). Vedi la figura 4.1 b).
d) Se l’atto di moto di B1 è traslatorio con direzione t e se l’atto di moto di
B2 relativo a B1 è traslatorio con direzione t12 (e quindi ha il centro istantaneo
di rotazione C12 all’infinito), allora l’atto di moto di B2 è traslatorio
di direzione t+t12, genericamente una qualsiasi direzione nel piano.
Riprendiamo brevemente la dimostrazione dei casi a), b) illustrati in Fig.
1, e d); mostreremo poi che c) è equivalente a b). Osserviamo inoltre che il
teorema riguarda i centri istantanei di rotazione senza ipotesi sulla presenza
di eventuali legami vincolari su B1 e B2. I vincoli introdotti in Fig. 1
servono a garantire che l’atto di moto in a) e b) sia (in ogni caso) del tipo
ipotizzato.
Anzitutto la dimostrazione di d) è conseguenza immediata della formula
delle velocità nei moti relativi. Con il linguaggio della geometria proiettiva,
C1,C12,C2 sono tutti punti impropri e quindi appartengono alla retta
impropria del piano di moto; che è per definizione l’insieme di tutti i punti
impropri di tale piano ed è identificabile con la giacitura del piano stesso.
Dimostriamoorailteoremanelcasoa). L’ipotesichesiaC1 cheC12 siano
punti propri equivale a supporre che siano ω1 = αk, ω2 = βk, entrambe
non nulle e con β = α, ove k indica il versore normale al piano del moto.
La formula delle velocità nei moti relativi, riferita ad un punto generico P
di B2, fornisce
Da qui segue
v (a)
P = ω2 ×C2P = v (r)
P +v(τ)
P
= (ω2 −ω1)×C12P +ω1 ×C1P (4.1)
= ω2 ×C12P +ω1 ×C1C12.
k×(βC12C2 +αC1C12) = 0 ⇒ βC12C2 +αC1C12 = 0 (4.2)
e quest’ultima uguaglianza dice che C1,C12 e C2 sono allineati. Consideriamo
ora il caso b). Vale ancora (4.1)1 che ora diviene
ω2 ×C2P = t+ω1 ×C1P ⇒ t = ω1 ×C2C1, (4.3)
cioè il vettore C1C2 è ortogonale a t, come volevamo dimostrare.
Per affrontare il caso c) ed evidenziare la coincidenza del teorema 4.1 con
il classico teorema di Aronhold-Kennedy osserviamo che in tutti i casi illustrati
nella figura 4.1 è presente un terzo ‘corpo rigido’, cioè lo spazio solidale

al sistema di riferimento, lì rappresentato dal muro di mattoni. Chiamiamolo
B0. Quindi la cinematica descritta dal teorema 4.1 e’ quella di tre
sistemi rigidi in moto relativo arbitrario e descrive l’allineamento dei centri
istantanei relativi: quelli che abbiamo chiamato C1 e C2 si possono ben
chiamare C01 e C02, in analogia con C12. Quindi anzitutto il teorema 4.1 è
il teorema di Aronhold-Kennedy. Inoltre i tre sistemi rigidi hanno un ruolo
perfettamente simmetrico rispetto alla scelta di quale tra essi vada considerato
solidale al sistema di riferimento. Quindi il caso c) è indistinguibile da
b) con il ruolo di B0 e B2 scambiato. In definitiva i casi d), b), a) esauriscono
tutte le possibilità, corrispondendo, rispettivamente, ad atti di moto in
cui due (e quindi tre) velocità angolari si annullano; una velocità angolare
si annulla; nessuna velocità angolare si annulla.
51

52 CAPITOLO 4. TEOREMA DI ARONHOLD-KENNEDY

Capitolo 5
Calcolo delle reazioni
vincolari
In questo capitolo viene esposto un metodo utile alla determinazione delle
reazioni vincolari, dovute a vincoli ideali, nella statica dei sistemi di punti e
di corpi rigidi. Esso si basa sulle equazioni cardinali della statica.
Nel caso statico le equazioni cardinali (della dinamica) (1.142) e (1.143)
valgonocon i primi membri identicamente nulli; si riducono cioè alle equazioni
cardinali della statica:
R (e,a) +R (e,v) = 0, M (e,a)
Ω +M(e,v)
Ω = 0. (5.1)
Come le equazioni cardinali della dinamica, quelle della statica sono sempre
condizionenecessaria perl’equilibrio. Questopuòesserecaratterizzatocome
segue, sulla base delle equazioni (1.140): una configurazione è di equilibrio
se in essa i vincoli sono in grado di esplicare punto per punto una reazione
che equilibra la forza attiva ivi agente, valutata per velocità di tutti i punti
nulle. Quindi secondo questa definizione una configurazione di equilibrio è
una configurazione in cui il sistema può restare in quiete.
5.1 Il Principio dei Lavori Virtuali
La definizione di vincolo ideale, basata sulla disuguaglianza
δL (v) = n
i=1 φ i ·δPi ≥ 0. (5.2)
consente di formulare e dimostrare velocemente una condizione di equilibrio
che, a differenza delle equazioni cardinali, è non solo condizione necessaria
ma anche sufficiente.
Teorema 5.1 (dei lavori virtuali) Condizione necessaria e sufficiente affinché
una configurazione di un sistema soggetto a vincoli ideali sia di equilibrio
è che sia non positivo il lavoro virtuale della sollecitazione attiva, valutata
nella configurazione in oggetto e per velocità nulle, per ogni scelta di
53

54 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
velocità virtuali wi o di corrispondenti spostamenti virtuali δPi; in formula
δL (a) = n
i=1 fi ·δPi ≤ 0. (5.3)
Dimostrazione. Necessità. Supponiamo che la configurazione sia di equilibrio;
allora esiste un sistema di reazioni φi tali che fi = −φi, dove le fi
sono valutate per velocità nulle, e tali che valga (5.2). Queste due condizioni
assieme implicano (5.3).
Sufficienza. Supponiamo che nella configurazione considerata valga la (5.3)
e consideriamo il sistema di vettori ψi che, punto per punto, equilibrano le
forze attive: ψi = −fi. Questo sistema verifica la condizione
i ψi·δPi ≥ 0
perl’ipotesisulleforzeattiveeperlacostruzionedeiψ i. Quindiquestiultimi
costituiscono possibili reazioni vincolari perché, per definizione di vincolo liscio,
il vincolo è in grado di esplicare tutti i sistemi di vettori che soddisfano
la (5.2). Quindi i vincoli sono in grado di esplicare un sistema di reazioni che
equilibrano le forze attive valutate per velocità nulle; cioè la configurazione
è di equilibrio.
Il teorema ha una conseguenza interessante nel caso in cui i vincoli siano
bilaterali; la disuguaglianza in (5.3) deve allora valere come uguaglianza, in
quanto tutti gli spostamenti sono reversibili e quindi possono essere cambiati
di segno. Inoltre, utilizzando (1.147) e l’arbitrarietà delle δqh, la condizione
(5.3) risulta equivalente alle
Qh = 0, h = 1,...,N. (5.4)
Queste assumono poi una forma particolarmente significativa se le forze attive
sono conservative: esiste una funzione potenziale U = U(OP1,...,OPn)
tale che
Risulta in questo caso
fi = ∇iU, cioè cr ·fi = ∂U
∂xi , x
r
i r = OPi ·cr. (5.5)
Qh = ∂V(q1,...,qN,t)/∂qh, ove (5.6)
V(q1,...,qN,t) = U(OP1(q1,...,qN,t),...,OPn(q1,...,qN,t)); (5.7)
per la dimostrazione si derivi parzialmente quest’ultima uguaglianza. Allora,
nel caso di vincoli lisci e forze attive conservative le configurazioni di
equilibrio sono i punti critici della funzione potenziale V(q1,...,qN,t).
5.2 Calcolo delle reazioni vincolari tramite le equazioni
cardinali della statica
Si dimostra che sono anche sufficienti per l’equilibrio di un corpo rigido libero
o soggetto a vincoli esterni lisci. Si osservi che nelle equazioni (5.1)

5.2. REAZIONI CON LE EQUAZIONI CARDINALI 55
B
A
a/2
f
H
C
T S
a a
a)
D
E
a
C
B D
A
a a
Figura 5.1: Struttura piana soggetta a forza o a coppia
intervengono tutte le forze esterne al sistema (sia di natura attiva che vincolare)
ma non le forze interne. Se il sistema è formato da r corpi rigidi,
l’equilibrio è assicurato applicando le equazioni cardinali a ciascun corpo
Ci,i = 1,2,...,r. Particolare attenzione va posta nel calcolo del risultante
e del momento risultante delle forze (sia attive che vincolari) esterne al
corpo Ci: si devono considerare tutte le forze esterne al corpo Ci sia che
provengano dall’esterno del sistema sia che provengano dagli altri corpi del
sistema (forze interne al sistema ma esterne a Ci).
Esempio 5.2 Si consideri il sistema articolato piano costituito da due travi
rigide ABC e CDE a forma di L. Le travi siano disposte come illustrato
nella Figura 5.1b), siano vincolate all’esterno mediante cerniere in A e in
E e collegate tra loro con una cerniera in C. Il sistema sia sollecitato da
una coppia di momento M = Mk applicata alla trave CDE. Sia infine a la
lunghezza comune dei segmenti AB, BC, CD, DE. Si chiede di determinare
le reazioni vincolari (interne ed esterne).
Siano φ A e φ E le reazioni vincolari delle cerniere esterne e sia φ C, ad esempio,
la forza (interna) che la cerniera C esplica sulla trave ABC (−φ C è
dunque la forza che la cerniera C esplica sulla trave CDE). Le equazioni
cardinali della statica scritte per la trave ABC diventano
Analogamente per la trave CDE si ha
φ A +φ C = 0, AC ×φ C = 0. (5.8)
−φ C +φ E = 0, EC ×(−φ C)+Mk = 0. (5.9)
b)
M
E

56 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
B
A
C C
Figura 5.2: Reazioni per la struttura di Fig. 5.1 b)
Proiettando sugli assi x e y le equazioni dei risultanti e su z le equazioni dei
momenti si ottiene il seguente sistema di equazioni lineari
φAx +φCx = 0
φAy +φCy = 0
φEx −φCx = 0
φEy −φCy = 0
aφCy −aφCx = 0
aφCy +aφCx = −M. (5.10)
Ordinando le incognite secondo la sequenza φAx, φAy, φEx, φEy, φCx, φCy,
in notazione matriciale il sistema diventa:
⎛ ⎞⎛
1 0 0 0 1 0
⎜
0 1 0 0 0 1 ⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎜0
0 1 0 −1 0 ⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎜0
0 0 1 0 −1⎟
⎜
⎟⎜
⎝0
0 0 0 −a a ⎠⎝
0 0 0 0 a a
φAx
φAy
φEx
φEy
φCx
φCy
D
E
⎞ ⎛ ⎞
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜
0 ⎟
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜
⎟ ⎜ 0 ⎟.
⎟
⎠ ⎝ 0 ⎠
−M
(5.11)
Si vede facilmente che il sistema è determinato (è immediato verificarlo se
si procede col metodo di Gauss) e la sua soluzione è data da
φCy = φCx = φEy = φEx = −M/2a, φAy = φAx = M/2a.
I risultati così ottenuti sono rappresentati nella Figura 5.2).
Esempio 5.3 Si consideri il sistema articolato piano descritto nel precedente
Esempio 5.2 sollecitato, anzichè dalla coppia, da una forza F = −Fj,
F > 0, applicata nel punto Q, e da una forza elastica di rigidità h > 0 che
si esplica tra T e S (Q,T e S sono i punti medi rispettivamente di BC,AB
e DE).
Le equazioni cardinali per le due travi, proiettate sugli assi, danno il sistema
φAx +φCx = −2ha

5.2. REAZIONI CON LE EQUAZIONI CARDINALI 57
che, in notazione matriciale diventa:
⎛ ⎞⎛
1 0 0 0 1 0
⎜
0 1 0 0 0 1 ⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎜0
0 1 0 −1 0 ⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎜0
0 0 1 0 −1⎟
⎜
⎟⎜
⎝0
0 0 0 −a a ⎠⎝
0 0 0 0 a a
φAy +φCy = F
φEx −φCx = 2ha
φEy −φCy = 0
aφCy −aφCx = a/2F +ha 2
aφCy +aφCx = ha 2 , (5.12)
φAx
φAy
φEx
φEy
φCx
φCy
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
Il sistema è determinato e la soluzione è data da:
a
2
−2ah
F
2ah
0
F +ha2
−ha 2
⎞
⎟
⎟.
(5.13)
⎟
⎠
φAx = −ha+ F
4 , φAy = 3F
4 , φCx = −ha− F
4 , φCy = F
4 ,
φEx = ha− F
4 , φEy = F
4 .
5.2.1 Sistemi staticamente determinati, sistemi isostatici
Si danno le seguenti definizioni.
Definizione 5.4 Un sistema di corpi rigidi vincolati con vincoli ideali si
dice staticamente determinato se è in posizione di equilibrio e se le reazioni
vincolari sono determinate sulla base delle equazioni della statica.
Per ‘equazioni della statica’ s’intendono le equazioni cardinali o le (equivalenti)
equazioni che si ottengono applicando opportunamente il principio dei
lavori virtuali (metodo non trattato qui).
I sistemi materiali dei due precedenti Esempi (5.2), (5.3), sono dunque
staticamente determinati; inoltre, per essi, la matrice dei coefficienti del
sistema è quadrata e il suo determinante è diverso da zero. Questa circostanza
assicura che le soluzioni sono determinate qualunque sia la colonna
dei termini noti, cioè qualunque sia la sollecitazione attiva.
Definizione 5.5 Un sistema di corpi rigidi vincolati con vincoli ideali si
dice isostatico se, in una certa posizione, risulta staticamente determinato
qualunque sia la sollecitazione attiva.
Pertanto il sistema articolato degli Esempi (5.2) e (5.3) è isostatico. Per
quanto detto è evidente che la natura isostatica di un sistema dipende
esclusivamente dalla geometria del sistema e dai vincoli presenti.
Vale la seguente

58 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
y
A B C
α α
x
y
A B C
α α
a) b)
Figura 5.3: Sistemi labili
Proposizione 5.6 Un sistema isostatico non è suscettibile di spostamenti
virtuali.
Dimostrazione. Se per assurdo al punto P del sistema fosse consentito lo
spostamento virtuale δP = 0 allora, in corrispondenza alla sollecitazione
attiva costituita da un’unica forza F applicata in P e parallela e concorde
con δP, risulterebbe
δL (a) = F ·δP > 0.
Dunque, per il principio dei lavori virtuali, il sistema non sarebbe in posizione
di equilibrio in corrispondenza della particolare sollecitazione attiva.
Definizione 5.7 Un sistema di corpi rigidi vincolati con vincoli ideali si
dice labile se è suscettibile di spostamenti virtuali.
Esempio 5.8 Si consideri il sistema articolato piano costituito da due aste
rigide, AB e BC, di uguale lunghezza. Le aste, collegate tra loro con una
cerniera in B, siano allineate (v. Figura 5.3b) ) e vincolate all’esterno mediante
una cerniera in A e un appoggio orizzontale in C.
Il sistema ha un grado di libertà, ad esempio l’angolo θ che l’asta AB forma
conunassefissoèunparametrolagrangiano. Sonoconsentitiglispostamenti
virtuali ottenuti dando una variazione δθ al parametro.
Esempio 5.9 Si consideri il sistema articolato piano ottenuto da quello del
precedente Esempio sostituendo l’appoggio in C con una cerniera (v. Figura
5.3a)).
Il sistema descritto non può compiere movimenti finiti, tuttavia è labile in
quanto sono consentite rotazioni infinitesime (uguali ed in senso opposto)
delle due aste AB e BC attorno ad A e a C rispettivamente (si osservi che
lo spostamento virtuale di C pensato come estremo dell’asta AC è uguale a
x

5.2. REAZIONI CON LE EQUAZIONI CARDINALI 59
quello che compete a C come estremo dell’asta CB, quindi le due rotazioni
sono compatibili).
La labilità di un sistema dipende solamente dalla sua geometria e dai
vincoli, cioè riguarda un aspetto puramente cinematico.
I seguenti tre esempi mostrano come un sistema labile possa risultare
staticamente determinato, staticamente impossibile o staticamente indeterminato
(è evidente dalla Proposizione 5.6 che un sistema labile non può
essere isostatico).
Esempio 5.10 Si consideri il sistema dell’esempio (5.8), rappresentato in
Figura 5.4a), sollecitato da una forza F applicata in C, parallela alle aste;
queste si suppongono di massa trascurabile.
Il sistema è labile dato che ha un grado di libertà (sono consentiti spostamenti
virtuali caratterizzati da rotazioni di AB attorno a A e di BC attorno
a C). Sia φ B la forza che la cerniera B esplica sull’asta AB. Le equazioni
cardinali applicate alle due aste danno le seguenti equazioni scalari
φAx +φBx = 0
φAy +φBy = 0
φBx = F
φBy +φCy = 0
aφBy = 0
aφCy = 0. (5.14)
Si tratta di un sistema di 6 equazioni lineari in 5 incognite. La matrice
incompleta (dei coefficienti) e la matrice completa hanno lo stesso rango e
quindi per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema è determinato. Si osservi
infatti che una delle ultime tre equazioni (5.14) è una combinazione lineare
delle altre due e quindi si può eliminare; le 5 equazioni che rimangono sono
facilmente risolubili e danno
φBx = −φAx = F, φAy = φBy = φCy = 0,
quindi il sistema è staticamente determinato.
Esempio 5.11 Siconsideriilsistemadescrittonell’Esempio5.9esollecitato
da una forza F = −Fj, con F > 0 e j ortogonale alle aste e diretto verso
l’alto, applicata in H, punto medio di AB (v. Figura 5.4 b).
Le equazioni cardinali della statica applicate alle singole aste danno luogo
alle equazioni:
φ A +φ B +F = 0, −φ B +φ C = 0 (5.15)
AB ×φ B +AH ×F = 0, CB ×(−φ B) = 0.

60 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
y
A B C
F
y
A B C
a) b)
x
A B C
a a a/2 a/2 a a/2 a/2 a
Figura 5.4: a) labile staticamente determinato; b) staticamente impossibile;
c) labile staticamente indeterminato
Proiettando sugli assi x e y le equazioni dei risultanti e su z le equazioni dei
momenti si ottiene il seguente sistema di equazioni lineari
φAx +φBx = 0
φAy +φBy = F
−φBx +φCx = 0
−φBy +φCy = 0
aφBy = a
2 F
aφBy = 0. (5.16)
Il sistema (5.16) è impossibile dato che la matrice incompleta ha rango 5 e la
matrice completa ha rango 6, o, più semplicemente, osservando che le ultime
due equazioni sono incompatibili. Dunque nessuna assegnazione di reazioni
vincolari può soddisfare le condizioni di equilibrio: il sistema così sollecitato
non può stare in equilibrio. Si dice che è staticamente impossibile.
Esempio 5.12 Si consideri il sistema descritto nell’Esempio precedente ma
sollecitato da una forza F = Fi, con F > 0 e i = versAB , applicata in H
punto medio di AB.
Le equazioni della statica in questo caso diventano
φAx +φBx = −F
φAy +φBy = 0
−φBx +φCx = 0
−φBy +φCy = 0
aφBy = 0
aφBy = 0. (5.17)
Si vede che le due ultime equazioni in questo caso sono compatibili ma si
equivalgono e determinano la componente φBy = 0. Rimangono 4 equazioni
indipendenti (come si può facilmente verificare) nelle rimanenti 5 incognite.
Il sistema pertanto è indeterminato; in questo caso alcune delle incognite
y
c)
x

5.2. REAZIONI CON LE EQUAZIONI CARDINALI 61
risultano determinate: φAy = φBy = φCy = 0; delle altre risultano determinate
solo la somma φAx+φBx e la differenza −φBx+φCx. Si possono dunque
attribuire valori arbitrari a una delle tre incognite calcolando di conseguenza
le altre due. Vi sono quindi infinite possibilità di realizzare l’equilibrio del
sistema, non è però possibile determinare quale sia quella reale. Il sistema si
dice staticamente indeterminato. (Il sistema di 6 equazioni in 6 incognite è
possibile e indeterminato dato che la matrice incompleta e completa hanno
lo stesso rango: 5 < 6 .)
I comportamenti evidenziati in questi due ultimi esempi dipendono dal
fatto che la struttura per la particolare posizione dei vincoli risulta labile
nonostante siano presenti tre cerniere. Questo fa si che i vincoli non impedisconocertispostamenti(comeadesempiolerotazioniillustratenell’Esempio
5.9), mentre risultano eccessivi per impedire altri spostamenti come le traslazioni
orizzontali.
5.2.2 Principio di sovrapposizione degli effetti
Dai precedenti Esempi (5.2), (5.3) si possono trarre le seguenti osservazioni
che valgono in generale per sistemi di corpi rigidi soggetti a vincoli ideali.
• Le equazioni della statica danno luogo a dei sistemi che sono lineari
nelle componenti incognite delle reazioni vincolari. Indicando in generale
con C la matrice dei coefficienti, con φ la matrice colonna delle
incognite vincolari e con S (a) la matrice colonna dei termini noti dovuti
alla sollecitazione attiva, le equazioni cardinali della statica, per
sistemi di corpi rigidi, si possono scrivere nella forma
C φ = S (a) . (5.18)
• La matrice dei coefficienti dipende solamente dalla geometria del sistema
e dalle caratteristiche cinematiche e geometriche dei vincoli.
• La sollecitazione attiva compare solamente nella matrice colonna dei
termini noti.
• Nel caso di sistemi isostatici la matrice dei coefficienti è quadrata e ha
rango massimo dato che il sistema è determinato.
Per un sistema isostatico vale la seguente proposizione.
Proposizione 5.13 (Principio di sovrapposizione degli effetti.) Per un
sistema isostatico, le reazioni vincolari che equilibrano una sollecitazione
attiva S (a) , somma delle due sollecitazioni attive S ′(a) , S ′′(a) , si ottengono
sommando le reazioni vincolari che equilibrano separatamente le due
sollecitazioni S ′(a) e S ′′(a) .

62 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
Dimostrazione. Sia φ ′ la matrice delle reazioni vincolari che equilibrano la
sollecitazione di matrice S ′(a) e analogo significato abbiano le matrici φ ′′ e
S ′′(a) , allora valgono le relazioni
C φ ′ = S ′(a) , C φ ′′ = S ′′(a) . (5.19)
Sommando membro a membro le due equazioni (5.19) si ottiene:
C (φ ′ +φ ′′ ) = (S ′(a) +S ′′(a) ). (5.20)
Dunque la somma delle reazioni vincolari soddisfa le equazioni dell’equilibrio
del sistema sottoposto simultaneamente alle due sollecitazioni attive.
Il principio di sovrapposizione degli effetti si può applicare agli Esempi
5.2, 5.3. Se al sistema dell’Esempio5.3 si aggiunge la coppia di momento
−Mk applicata alla trave CDE, le reazioni vincolari che si realizzano sono
date dalla somma delle componenti omonime ottenute separatamente nei
due Esempi.
5.2.3 Caso in cui un vincolo collega più di due corpi
Si osservi che negli esempi proposti e in altri che seguono, i vincoli di collegamento
tra corpi sono delle cerniere ciascuna delle quali collega tra loro
(solo) due corpi, inoltre sulle cerniere non risultano applicate altre forze. Si
tratta di un caso particolarmente semplice che consente di rappresentare le
forze esplicate dal vincolo sui due corpi mediante un solo vettore incognito.
Infatti indicando con φ B1 la forza che la cerniera B esercita sull’asta n.1
(AB) dell’Esempio 5.2 e con φ B2 quella che la cerniera B esercita sull’asta
n. 2 (BC) risulta essere
φ B2 = −φ B1.
Se una forza F fosse applicata alla cerniera B la precedente relazione
verrebbe sostituita con la seguente:
−φ B1 −φ B2 +F = 0.
Infatti la cerniera B, sollecitata dalla forza F e dalle due forze esplicate
dalle aste, deve essere in equilibrio. Anche in questo caso viene introdotto
un solo vettore incognito dato che l’altro si ricava dalla precedente relazione:
φ B2 = F −φ B1.
In generale, quando i vincoli collegano più di due corpi rigidi , si devono
introdurre dei vettori incogniti che rappresentano la sollecitazione che il
vincolo esplica su ciascun corpo ad esso collegato. Occorre, per contro,
imporre delle equazioni che garantiscano l’equilibrio del vincolo.
Esempio 5.14 Nel sistema rappresentato in Figura 5.5, la cerniera B collega
tra loro le travi n.1, n. 2 e n.5.

5.2. REAZIONI CON LE EQUAZIONI CARDINALI 63
B
1 2
A C
5
4
D
−Fj
3
Figura 5.5: Tre corpi
Si possono indicare con φ B1, φ B2, φ B5, le forze (ciascuna dotata di due
componenti) che la cerniera in B esplica sulle travi n. 1, n. 2 e n. 5 rispettivamente.
Introdotte analoghe notazioni per le altre reazioni interne
e indicando con φ A e φ C le reazioni vincolari esterne che si esplicano nei
punti A e C, valgono per le travi le seguenti equazioni:
φ A1 +φ B1 +mg = 0, AB ×φ B1 +AG1 ×mg = 0, per la trave n.1
φ B2 +φ C2 +mg = 0, BC ×φ C2 +BG2 ×mg = 0, per la trave n.2
φ C3 +φ D3 = 0, CD ×φ D3 = 0, per la trave n. 3
φ D4 +φ A4 = 0, DA×φ A4 = 0, per la trave n. 4
φ B5 +φ D5 = 0, BD ×φ D5 = 0. per la trave n. 5
Valgono inoltre le seguenti equazioni ottenute imponendo l’equilibrio dei
risultanti in ciascun punto di vincolo:
Fi
−φ A1 −φ A4 +ψA = 0, per il vincolo in A,
−φ B1 −φ B2 −φ B5 +FB = 0, per il vincolo in B
−φ C2 −φ C3 +ψC = 0, per il vincolo in C
−φ D3 −φ D4 −φ D5 +FD = 0, per il vincolo in D .
Si dispone quindi di 3·5+2·4 = 23 equazioni scalari (tre per ciascuna
asta e 2 per ciascun vincolo, essendo il sistema piano) nelle 23 incognite
costituite dalle 20 componenti delle reazioni agenti agli estremi delle aste e
dalle tre componenti delle reazioni esterne (2 per la cerniera in A e 1 per
l’appoggio in C).

64 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

Capitolo 6
Cerchi di Mohr
La trattazione del cerchio di Mohr fatta nel testo, riservata agli stati piani
di tensione, si può immediatamente estendere agli stati triassiali di tensione
nel caso in cui si sia determinata una direzione principale. Allineando
lungo questa l’asse z del riferimento cartesiano Oxyz rispetto al quale si
suppongono note le tensioni, la matrice di stress assume la forma
⎛ ⎞
σ = ⎝
σx τxy 0
τxy σy 0
0 0 σz
⎠. (6.1)
Per questa valgono tutte le formule del testo relative al caso in cui σz = 0
in quanto la struttura (6.1) della matrice di stress non cambia per arbitrarie
rotazioni attorno all’asse z, con σz che resta invariato mentre le nuove componenti
di stress σ ′ x ′,σ ′ y ′,τ ′ x ′ y ′ rispetto alla terna Ox ′ y ′ z sono ancora date
dalle formule ricavate nel testo. 1 In quel che segue supponiamo, per fissare
le idee, che le tre tensioni principali ordinate σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 siano diverse e
che σ3 = σz.
La situazione è riassunta nella figura 6.1 (a) che riprende una figura analoga
nel testo. Sul cerchio, di centro C12, i due punti in nero rappresentano
le tensioni principali e le direzioni principali di tensione mentre i due punti
in grigio rappresentano gli stati in cui la tensione tangenziale è di massimo
modulo. Le coordinate di questi ultimi due, in termini della tensione
normale media σm e del raggio R del cerchio di Mohr sono, rispettivamente
σm = 1
2 (σx +σy) = 1
(σm,R) e (σm,−R), ove (6.2)
2 (σ1 +σ2), R = 1
2 (σ1 −σ2) =
1
4 (σx −σy) 2 +τ 2 xy.
(6.3)
1 Osserviamo che lo stesso vale per la matrice d’inerzia JO quando l’asse z sia principale
d’inerzia. Inquestocaso, ingenerale, l’elementoJ33 ditalematriceèstrettamentepositivo.
65

66 CAPITOLO 6. CERCHI DI MOHR
τ
Nɂ(σɂyɂ, τɂxɂyɂ)
(σ2, 0)
N(σɂyɂ, -τɂxɂyɂ)
Bɂ(σy, τxy)
2φ
2θ
C12
2θ
2φ
A(σx, τxy)
B(σy, -τxy) Aɂ(σx, -τxy)
(a)
(σ1, 0)
M(σɂxɂ, τɂxɂyɂ)
σ
Mɂ(σɂxɂ, -τɂxɂyɂ)
Figura 6.1: Il cerchio di Mohr per le tensioni relative al piano Oξη (con
l’asse ζ uscente perpendicolarmente alla figura) della terna principale Oξηζ
in figura 6.3
In questa figura al diametro AB e al suo ruotato di 2θ in senso orario,
MN, sono stati aggiunti il diametro B ′ A ′ e il suo ruotato di 2θ in senso
antiorario, N ′ M ′ , che rappresentano anch’essi evidentemente in forma grafica
le componenti della matrice di stress nel riferimento Ox ′ y ′ ruotato di θ
rispetto a quello Oxy in verso antiorario. Questa rappresentazione è spesso
usata al posto della precedente perché rende concordi anziché discordi le
rotazioni nel piano Oxy e nel piano delle tensioni.
Il segmento tratteggiato AM ′ nella figura 6.1 (b) fa riferimento ad un
altro tradizionale modo di utilizzare il cerchio di Mohr, costruito mediante
i dati B ′ e A ′ . In questo caso A è il cosiddetto polo (delle normali) che ha
la seguente proprietà: una qualunque retta passante per il polo interseca il
cerchio in un altro punto le cui coordinate sono la tensione normale e tangenziale,
rispettivamente, relative alla direzione ortogonale alla retta stessa
nel piano Oxy. Analogamente il punto B è chiamato polo (delle giaciture)
Non insisteremo ulteriormente su questi due modi di utilizzare il cerchio.
Supponiamo ora di conoscere tutte e tre le tensioni principali, supponiamo
che sia σ1 > σ2 > σ3 e riferiamoci, ove necessario, a una terna Oξηζ
principale di tensione. Consideriamo anche la figura 6.2, in cui è presente,
opportunamente scalato, anche il cerchio di Mohr della figura 6.1 (a).
Vogliamo mostrare che le tensioni normali e tangenziali possibili sono rappresentate
dai punti della zona ombreggiata in figura 6.2 (a); cioè dai punti
del piano non esterni al cerchio massimo e non interni ai due cerchi minori.
Per raggiungere questo scopo indichiamo con n1,n2,n3 i coseni direttori
di un arbitrario versore normale n rispetto alla terna principale. Poniamo
η
(b)
yɂ
2θ
y
A
Aɂ
θ
φ
ξ
θ
Mɂ
xɂ
x

inoltre
σ = n·σn e τ = ± σn 2 −σ 2 ; (6.4)
si tratta della tensione (scalare) normale e del modulo della tensione tangenziale,
amenodelsegno. Iquadratideicosenidirettoridindevonosoddisfare
le tre equazioni lineari
67
n 2 1 +n 2 2 +n 2 3 = 1
σ1n 2 1 +σ2n 2 2 +σ3n 2 3 = σ (6.5)
σ 2 1n 2 1 +σ 2 2n 2 2 +σ 2 3n 2 3 = σ 2 +τ 2
esprimenti, rispettivamente, la lunghezza unitaria di n e l’espressione di σ
e del modulo quadro della tensione in termini delle tensioni principali e dei
coseni direttori di n sulla terna principale. Il determinante del sistema è il
determinante di Vandermonde delle tensioni principali ed è diverso da zero
se e solo se queste sono tutte distinte, come stiamo supponendo dall’inizio.
La risoluzione del sistema porta alle seguenti condizioni:
n 2 1 = τ2 +(σ −σ2)(σ −σ3)
(σ1 −σ2)(σ1 −σ3)
n 2 2 = τ2 +(σ −σ3)(σ −σ1)
(σ2 −σ3)(σ2 −σ1)
n 2 3 = τ2 +(σ −σ1)(σ −σ2)
(σ3 −σ1)(σ3 −σ2)
≥ 0
≥ 0 (6.6)
≥ 0.
Nell’ipotesi fatta che σ1 > σ2 > σ3 il denominatore nella prima e nella terza
delle disequazioni in (6.6) è positivo mentre quello della seconda è negativo;
le conseguenti disequazioni sui numeratori si possono scrivere nella forma
τ 2 +(σ −C23) 2 ≥ R 2 23, con C23 = (σ2 +σ3)/2 e R23 = (σ2 −σ3)/2
τ 2 +(σ −C13) 2 ≤ R 2 13, con C13 = (σ1 +σ3)/2 e R23 = (σ1 −σ3)/2 (6.7)
τ 2 +(σ −C12) 2 ≥ R 2 12, con C12 = (σ1 +σ2)/2 e R12 = (σ1 −σ2)/2
rispettivamente. La seconda disequazione dice che la coppia (σ,τ) non deve
essere esterna al cerchio di centro C13 e raggio R13 mentre la prima e la terza
dicono che non può essere interna ai cerchi di centro C23 e raggio R23 e di
centro C12 e raggio R12, rispettivamente. Quindi (σ,τ) deve appartenere
alla regione in grigio della figura 6.2 (a).
Se due tensioni principali coincidono, ad esempio σ2 = σ3, il determinante
delle equazioni (6.5) si annulla e le equazioni stesse devono essere dipendenti
per avere soluzioni. Di fatto si possono vedere come equazioni nelle
variabili n2 1 e r2 := n2 2 +n23 . Le prime due equazioni restano indipendenti e
forniscono
n 2 σ −σ3
1 = e r
σ1 −σ3
2 = 1−n 2 1, (6.8)

68 CAPITOLO 6. CERCHI DI MOHR
σ3
τ
C23
(a)
σ2 C13 C12
σ1
Figura 6.2: I cerchi di Mohr per le tensioni relative alla terna Oξηζ: (a)
σ1 > σ2 > σ3; (b) σ1 > σ2 = σ3; (c) σ1 = σ2 = σ3
mentre la compatibilità della terza equazione con le prime due richiede
σ
τ
σ3 = σ2 = σ1
τ 2 = −(σ −σ1)(σ −σ3). (6.9)
La condizione che n 2 1 sia compreso tra zero e uno è equivalente a σ3 ≤ σ ≤ σ1
mentre (6.9) diviene, nella notazione di (6.7)
τ 2 +(σ −C13) 2 = R 2 13, (6.10)
che è l’equazione del cerchio in grigio di figura 6.2 (b). Se infine σ1 = σ2 =
σ3 il sistema (6.5) ha come unica soluzione σ = σ3,τ = 0, rappresentata
dal punto in grigio di figura 6.2 (c); come è pure ovvio, dato che lo stato
tensionale è idrostatico.
I risultati ottenuti direttamente per i due ultimi casi mostrano che l’insieme
delle tensioni possibili in questi si può ottenere come limite di quello
relativo a tensioni principali tutte diverse quando se ne fanno tendere due o
tutte e tre, rispettivamente, allo stesso valore.
A differenza delle tensioni normali, per le quali non vi sono ambiguità,
non sempre univoca è la scelta del segno delle tensioni tangenziali. Sia
per questo che per l’interesse per il modulo della tensione tangenziale, in
particolare per il massimo modulo, al posto dei cerchi di Mohr si restringe
l’attenzione sulla loro intersezione col semipiano τ ≥ 0. La zona in grigio di
figura 6.2 ristretta a tale semipiano si chiama arbelo 2 di Mohr. Ci proponiamo
di illustrare come le direzioni appartenenti al primo ottante della terna
principale di tensione si rappresentino nell’arbelo di Mohr.
2 Il termine greco antico indica uno strumento di taglio (trincetto) usato dai calzolai.
Come figura geometrica l’arbelo è studiato da Archimede.
σ3 = σ2
τ
(b)
(c)
C13
σ1
σ
σ

Facciamo riferimento alla figura 6.3; in essa al generico punto della terna
Oξηζ in (a) contrassegnato da una lettera viene associato nel semipiano di
Mohr in (b) o (c) un punto contrassegnato dalla stessa lettera seguita da un
apice. Nella figura 6.3 (a) consideriamo l’intersezione della superficie della
sfera unitaria con il primo ottante e un qualunque punto A appartenente a
tale intersezione, per cui il versore n = OA ha componenti (n1,n2,n3) tutte
positivecomesivedeinfigura. Lelineeatrattosottilesullasuperficiesferica
costituiscono l’intersezione di essa con i coni di vertice l’origine e rispettivi
assi ξ,η,ζ e aperture α,β,γ. Risulta
n1 = cosα, n2 = cosβ, n3 = cosγ. (6.11)
Gli archi principali Q ⌢
FR, R ⌢
HS e S ⌢
KQ sono rispettivamente rappresentati
nel semipiano di Mohr, figure 6.3 (b) e (c), dai semicerchi principali
di Mohr, a tratto continuo, ⌢
Q ′ R ′ , ⌢
R ′ S ′ e ⌢
S ′ Q ′ . I versi di percorrenza sono
corrispondentemente associati. Ad esempio, lo spostamento da S verso Q di
unangoloγ, che faraggiungere ilpuntoK, ha comecorrispondente nelsemipiano
di Mohr uno spostamento di 2γ da S ′ verso Q ′ lungo l’arco principale
⌢
S ′ Q ′ , raggiungendo così il punto K ′ . Analogamente si costruisce il punto F ′
corrispondente ad F, come indicato in figura 6.3 (c). La costruzione degli
archi paralleli a quelli principali è fatta come quella degli archi principali
corrispondenti, basata sulle (6.6). Ad esempio, su ciascuna delle curve parallele
alla Q ⌢
FR risulta costante n3. Allora, ricordando le definizioni nella
terza riga di (6.7), possiamo così riscrivere l’uguaglianza nella terza riga di
(6.6):
τ 2 +(σ −C12) 2 −R 2 12 = n3(σ3 −σ1)(σ3 −σ2). (6.12)
Per ogni scelta di 0 ≤ n3 ≤ 1 il secondo membro di (6.12) è non negativo,
quindi la (6.12) è l’equazione di un cerchio di centro C12 e raggio r ≥ R12.
Costruiamo in questo modo le curve ⌢
F ′ G ′ e ⌢
K ′ H ′ , corrispondenti alle
⌢
FG e ⌢
KH; esse si intersecano nel punto A ′ , corrispondente ad A.
69

70 CAPITOLO 6. CERCHI DI MOHR
ξ = 0
S′
σ3
S′
σ3
τ
Q
τ
K
ξ
C23
G′
2γ
C23
ζ
R′
H′
R′
γ
S
α
σ2 C13 C12
(c)
β
(a)
A
F
ξ = n1 ζ = n3
A′
η= n2
A′
η= 0
σ2 C13 C12
(b)
F′
G
H
K′
n = (n1, n2, n3)
R
ζ = 0
Q′
2γ 2β
Q′
η
σ1 σ
σ1 σ
Figura 6.3: Corrispondenza tra punti sul primo ottante della sfera unitaria
dellaternaprincipaleOξηζ epuntidell’arbelodiMohrnelcasoσ1 > σ2 > σ3
mentre le corrispondenti direzioni principali sono quelle degli assi ξ,η,ζ,
rispettivamente.

Capitolo 7
Facoltativo
7.1 Esempi elementari di biforcazione
Primo esempio elementare
In un piano cartesiano Oxy, con y verticale ascendente, si consideri un punto
materiale P di massa m, vincolato senza attrito sulla guida circolare di
centro O e raggio R = 1. P sia soggetto al peso e alla forza esercitata
da una molla ideale, di costante elastica h > 0 e lunghezza a riposo nulla,
tesa tra P e la sua proiezione P ′ sull’asse y. Inoltre il piano Oxy ruoti con
velocità angolare di intensità ω costante, rispetto agli spazi inerziali, attorno
all’asse y. Vogliamo determinare quali siano le posizioni di equilibrio e come
esse dipendano dai parametri costitutivi del sistema (m,g,h,ω).
Il potenziale della sollecitazione attiva è:
V = −mg(−cosθ)+ 1
2 (mω2 −h)sin 2 θ +c. (7.1)
Supponiamo di poter anche applicare una forza verticale costante, di intensità
e verso arbitrari, e indichiamo per convenienza con A la quantità
1/2(mω 2 −h). Allora possiamo scrivere il potenziale nella forma
V = λcosθ +Asin 2 θ +c. (7.2)
Useremo λ come parametro di controllo. Esso può assumere a priori valori
arbitrari, così come A; naturalmente se la forza aggiuntiva è nulla λ = mg.
Consideriamo ora la condizione di equilibrio:
0 = V ′ = −λsinθ +2Asinθcosθ. (7.3)
Includendo anche il caso A = 0 come limite, le posizioni di equilibrio sono
θ1 = 0, θ2 = π, θ3 = arccos λ
2A , θ4 = −θ3. (7.4)
71

72 CAPITOLO 7. FACOLTATIVO
S
S I I I
S
λ ≤ −2A
O
P'
y
θ
Figura 7.1: Primo esempio
A > 0
S
I I
S
P
S
I I
S
x
I S
−2A < λ < 0 λ = 0 0 < λ < 2A λ ≥ 2A
Naturalmente tutte le soluzioni sono determinate a meno di multipli di 2π
e le posizioni θ3,θ4 esistono se e solo se
|λ| ≤ 2|A|. (7.5)
Consideriamo ora il carattere degli equilibri rispetto alla stabilità usando
la derivata seconda del potenziale:
Risulta
V ′′ (θ3,4) = − λ2
2A +2A
V ′′ = −λcosθ +2A(2cos 2 θ −1). (7.6)
V ′′ (0) = −λ+2A, V ′′ (π) = λ+2A, (7.7)
2 λ2
−1
4A2
= λ2 −4A 2
2A , sgnV ′′ (θ3,4) = −sgnA;
(7.8)
l’ultima uguaglianza tiene conto della condizione (7.5) di esistenza delle
posizioni θ3,4.
La discussione complessiva della stabilità nel cerchio goniometrico e i
diagrammi (qualitativi) di biforcazione sono sintetizzati come segue.
Osserviamo che nel caso A > 0,λ = 2A la posizione θ = 0 è di equilibrio
stabile, con moti confinati in base al teorema di Lagrange-Dirichlet mentre
l’equazione linearizzata ( ¨ θ = 0) ha come soluzioni moti uniformi, quindi non
limitati comunque si fissino le condizioni iniziali.

7.1. ESEMPI ELEMENTARI DI BIFORCAZIONE 73
S I S S S S
I
I
A < 0
I
I
I
S S
I
I S
λ ≤ 2A 2A < λ < 0 λ = 0 0 < λ < −2A λ ≥ −2A
λ
−π π
A > 0
A = 0
S I I I S
λ < 0 λ = 0 λ > 0
2A
θ
−2A
λ
−π π
A < 0
−2A
θ
λ
−π π
A = 0
Figura 7.2: Diagrammi di biforcazione per l’esempio 1
2A
θ

74 CAPITOLO 7. FACOLTATIVO
O=A
Secondo esempio elementare
y
θ
Figura 7.3: Secondo esempio
In un piano cartesiano inerziale orizzontale Oxy si consideri una sbarretta
rigida AB, di lunghezza l, vincolata ad appartenere al piano e ad avere
l’estremo A incernierato in O. Si supponga che i vincoli siano ideali e che
sulla sbarretta agiscano:
1. un sistema di forze a risultante nullo e momento risultante M = −kθc3,
con k costante positiva, θ angolo che AB forma con il semiasse x positivo
e c3 versore della normale positiva al piano Oxy;
2. una forza F = Nc1 agente su B, con N costante e c1 versore dell’asse x.
Vogliamo determinare quali siano le posizioni di equilibrio come esse
dipendano dal parametro costitutivo N, pensando l e k fissati.
Il potenziale della sollecitazione è
B
F
V(θ) = Nlcosθ − 1
2 kθ2
x
(7.9)
ed è simmetrico in θ, cosicché θ = 0 è necessariamente un punto critico
e per gli altri basta restringere l’attenzione alla semiretta θ-positiva.
Esplicitamente
V ′ = −Nlsinθ−kθ, V ′′ = −Nlcosθ−k, V ′′′ = N sinθ, V iv = N cosθ.
(7.10)
In particolare ritroviamo che θ = 0 è sempre un punto di equilibrio; inoltre
essoèstabileperN > −k/l edinstabileperN < −k/l mentreperN = −k/l
è un punto di biforcazione (a forca) ed è stabile in base al test delle derivate
terza e quarta.
Le ulteriori configurazioni di equilibrio devono soddisfare la condizione
λ := l θ
N = − . (7.11)
k sinθ
Il grafico del secondo membro di questa uguaglianza è rappresentato in figura
7.4 a). Lungo gli equilibri rappresentati da (7.11) la derivata seconda

7.1. ESEMPI ELEMENTARI DI BIFORCAZIONE 75
20
15
10
5
-5
-10
-15
-20
150
100
50
-50
-100
-150
λ
V''
2.5 5 7.5 10 12.5 15
2.5 5 7.5 10 12.5 15
Figura 7.4: Secondo esempio: a) equilibri e biforcazioni; b) stabilità degli
equilibri
ha l’espressione
a)
b)
V ′′
θ
= k
tanθ −1
θ
θ
(7.12)
ed è rappresentata nella figura 7.4 b). Il segno della derivata seconda determina
la stabilità degli equilibri, rappresentata graficamente nella figura
7.4 a): le branche stabili sono disegnate con tratto continuo mentre quelle
instabili sono tratteggiate.
Come risulta dalla figura 7.4, la biforcazione per λ = −1 è una forca
mentre le altre sono tutte punti di inversione (o punti limite).
Per studiare questi ultimi conviene riparametrizzare il potenziale in termini
degli incrementi di θ e λ dai valori corrispondenti al punto critico.
Indicando con θ0 e λ0 una qualunque coppia di tali valori, (7.11) e (7.12)

76 CAPITOLO 7. FACOLTATIVO
implicano
in aggiunta possiamo scrivere
θ0 = tanθ0, λ0 = − θ0
sinθ0
= − 1
; (7.13)
cosθ0
V = V(x,µ) = k((λ0 +µ)cos(θ0 +x)− 1
2 (θ0 +x) 2 ). (7.14)
Ritroviamo facilmente che (θ0,λ0) è un punto di equilibrio e di biforcazione:
Vx(0,0) = 0 = Vxx(0,0); inoltre Vxµ(0,0) = −ksinθ0 = 0. (7.15)
L’ultima disuguaglianza implica che la condizione di equilibrio, Vx(x,µ) = 0
ha, in un intorno di (0,0), un’unica soluzione della forma
Poiché risulta
µ = µ(x) = − θ0 +x
sin(θ0 +x) −λ0. (7.16)
Vxxx(0,0) = kλ0sinθ0 = 0 (7.17)
la derivata seconda in (0,0) cambia segno; quindi l’equilibrio da stabile
diviene instabile o viceversa, in accordo con il grafico in figura 7.4. 1
Il teorema del Dini ci fornisce anche le derivate in x = 0 della funzione
µ(x); ad esempio:
µ ′ (0) = − Vxx(0,0)
Vxµ(0,0) = 0, µ′′ (0) = − Vxxx(0,0)
Vxµ(0,0) = λ0 = 0. (7.18)
Esempi elementari di teoria delle imperfezioni
Occupiamoci dell’esempio 1 e supponiamo che la forza applicata, che in
quell’esempio è assunta verticale, possa avere una componente orizzontale,
magari molto piccola, che indicheremo con ǫ. Questo è un esempio di imperfezione
e il problema che ci poniamo è quello di analizzare se e in che
modo l’equilibrio del sistema sia sensibile alle imperfezioni. Il caso discusso
in precedenza corrisponderà ad assenza di imperfezioni, cioè ǫ = 0.
Il potenziale della sollecitazione diviene ora
V = λcosθ +Asin 2 θ +ǫsinθ +c (7.19)
e la condizione di equilibrio per ǫ = 0 (che esclude la possibilità che sia
sinθ = 0) si può scrivere nella forma
λ = 2Acosθ +ǫcotθ. (7.20)
1 Nel caso di un problema ridotto con queste caratteristiche la simmetria della
configurazione di equilibrio non cambia attraverso il punto limite, muta solo la stabilità.

7.1. ESEMPI ELEMENTARI DI BIFORCAZIONE 77
-3 -2 -1 ε=1 1 2 3
ε=−1
ε=−1
ε=1
ε=−1
λ
10
7.5
5
2.5
-2.5
-5
-7.5
-10
Figura 7.5: Equilibri e stabilità per A = 1 e varie scelte del parametro ǫ
Il grafico di λ in funzione di θ per A = 1 e per vari valori di ǫ è riportato
in figura 7.5. Come in figura 7.2 linee tratteggiate rappresentano branche
instabili e linee continue branche stabili. Inoltre le curve di equilibrio per
ǫ = 0 sono rappresentate con tratto più marcato e corrispondono (quantitativamente)
a due delle analoghe curve (qualitative) in figura 7.2. La curva
punteggiata verrà descritta più sotto.
Per non affollare troppo il grafico si sono indicati nella figura solo i valori
estremi di ǫ: −1 e 1. Gli altri valori sono −2/3,−2/5,−1/5,−1/12,−1/48,
1/48,1/12,1/5,2/5,2/3. Al tendere di ǫ a zero, sia per valori positivi che
per valori negativi, le curve si avvicinano a quelle con tratto più marcato,
corrispondenti a ǫ = 0.
Lo studio della stabilità è basato sull’analisi della derivata seconda:
ε=1
V ′′ = −λcosθ +2Acos2θ −ǫsinθ. (7.21)
In particolare cerchiamo i punti sulle curve di equilibrio ove tale derivata
si annulla, verificando a posteriori mediante il non annullarsi della derivata
terza che in essi la derivata seconda cambia segno. Sostituendo in (7.21)
l’espressione di λ data da (7.20) e uguagliando a zero otteniamo
ε=−1
ǫ = −2Asin 3 θ (7.22)
che, sostituita nella (7.20), dà la curva dei punti di equilibrio in cui V ′′ si
annulla e cambia segno:
λ = 2Acos 3 θ. (7.23)
ε=1
θ

78 CAPITOLO 7. FACOLTATIVO
ε=1
ε=−1
ε=−1
ε=1
λ
10
7.5
5
2.5
-3 -2 -1 1 2 3
-2.5
-5
-7.5
-10
Figura 7.6: Equilibri e stabilità per A = −1 e varie scelte del parametro ǫ
Nella figura 7.5 questa funzione è rappresentata dalla linea punteggiata che
dà il limite di stabilità sulle curve che tendono a θ = 0 per λ < 2.
Da osservare che se ci si muove vicino alle branche stabili nel caso non
ci siano imperfezioni (ǫ = 0 e θ = 0 per λ ≥ 2 oppure θ = π per λ ≤ −2),
una piccola imperfezione sposta leggermente la posizione di equilibrio senza
alterarne la stabilità. Per questo diciamo che il sistema è poco sensibile alle
imperfezioni.
-1.9825
-1.985
-1.9875
-1.99
-1.9925
-1.995
-1.9975
ε=1
ε=−1
-0.001 -0.0005 0.0005 0.001
Figura 7.7: Grafico della funzione in (7.24)
Consideriamo ora il caso A < 0. Il grafico delle posizioni di equilibrio
per A = −1 è ora dato dalla figura 7.6 per gli stessi valori di ǫ e con le stesse
convenzioni grafiche della figura 7.5. Ora però le curve inizialmente stabili
per ǫ piccolo e λ > −2A perdono a un certo punto la stabilità. Nell’ottica
ε=−1
ε=1
θ

7.1. ESEMPI ELEMENTARI DI BIFORCAZIONE 79
di determinare quale sia il massimo carico sostenibile in condizioni di stabilità,
e come questo dipenda dalle imperfezioni vogliamo esprimere i punti
sulla curva (7.23), rappresentata come punteggiata nella figura 7.6, dando il
massimo carico sostenibile, diciamo M, come funzione dell’imperfezione ǫ.
Questo si ottiene invertendo la (7.22) e sostituendo poi l’inversa in (7.23),
ottenendo
M = 2A
1−( ǫ
2A )23
3
2
, quindi M ′
= − 1−( ǫ
2A )2
1
2
3
ǫ
2A
− 1
3
. (7.24)
Come indica il grafico di M in figura 7.7, la curva ha pendenza infinita nello
zero; in particolare, per (7.24)2 la pendenza diverge come ǫ−1 3. Quindi una
piccola variazione di ǫ a partire dallo zero provoca una grande diminuzione
del valore assoluto del carico limite M e quindi l’instabilità si verifica ben
prima che il carico limite teorico, cioè in assenza di perturbazioni, venga
raggiunto. Per questo diciamo che questo sistema è molto sensibile alle
imperfezioni.
Consideriamo ora il caso di un punto limite, usando anche la notazione
della sezione precedente e ipotizzando 2 che l’imperfezione consista nell’avere
il carico anche una componente parallela all’asse y. Allora il potenziale
risulta
V = V(θ,λ,ǫ) = k(λcosθ +ǫsinθ −θ 2 /2) (7.25)
e le condizioni di equilibrio e di biforcazione sono, rispettivamente,
k(−λsinθ +ǫcosθ −θ) = 0, k(−λcosθ −ǫsinθ −1) = 0. (7.26)
Le curve di equilibrio, espresse in termini di λ come funzione di θ e ǫ, sono
rappresentate graficamente nella figura 7.8 per k = 1, per alcuni valori di
ǫ e per θ compreso tra π e 2π. La curva con tratto marcato corrisponde
a ǫ = 0. Come osservato nella nota 2, le curve perturbate hanno lo stesso
carattere di quella imperturbata.
Per analizzare come l’inizio dell’instabilità dipenda dalla imperfezione
consideriamo il sistema (lineare in λ e ǫ) costituito dalle due equazioni in
(7.26), chevogliamorisolvereperλeǫcomefunzionidiθ vicinoaθ0. Risulta
Poiché
λ = −θsinθ −cosθ, ǫ = θcosθ −sinθ. (7.27)
λ ′ (θ0) = −θ0cosθ0 = 0, ǫ ′ (θ0) = −θ0cosθ0 = 0, (7.28)
è diversa da zero anche la derivata nello zero per λ pensata come funzione
di ǫ: dλ/dǫ = cotθ0 = (θ0) −1 = 0. Quindi il sistema non è molto sensibile
alle imperfezioni.
2 Questa scelta non è troppo particolare; l’esempio suggerisce il risultato teorico generale,
cioè che un’arbitraria piccola perturbazione di un punto limite lo sposta di poco senza
mutarne il carattere.

80 CAPITOLO 7. FACOLTATIVO
10
ε=−2
9
8
7
6
5
4
ε=2
3.5 4.5 5 5.5 6
Figura 7.8: Curve di equilibrio per l’asta caricata quasi di punta
7.2 Cenni alla termodinamica dei mezzi continui
La notazione è (più o meno) la stessa del libro di testo. In aggiunta:
ǫ,η,r,q,θ e w denotano, rispettivamente, l’energia interna specifica (cioè
per unità di massa), l’entropia specifica, la produzione di calore specifica, il
vettore flusso termico (q ·n rappresenta il flusso di calore per unità d’area
attraverso un elemento superficiale orientato ortogonale a n, questa essento
la normale positiva), la temperatura assoluta e la densità (volumica) di
potenza delle forze interne (w = −σ ·∇v).
Il bilancio dell’energia in forma integrale (Primo Principio della Termodinamica),
postulato valido per una qualunque parte ∆b del continuo b, si
scrive come segue:
d
dt
∆b
ρǫdv =
∆b
ε=−2
ε=2
ρrdv + q ·nds− wdv. (7.29)
Σ ∆b
Come già fatto per il bilancio integrale della massa e della quantità di
moto, ad esempio, il bilancio energetico si può localizzare trasformando anzitutto
l’integrale superficiale in integrale di volume con il teorema della
divergenza e poi sfruttando la ipotizzata continuità degli integrandi e l’arbitrarietà
della parte (a frontiera regolare) ∆b. Si ottiene la forma locale del
bilancio energetico:
ρ˙ǫ = ρr+divq −w. (7.30)
La disuguaglianza dissipativa integrale (di Clausius-Duhem), che costituisce
il Secondo Principio della Termodinamica ed è postulata valida per

7.3. CORPI TERMOELASTICI (OMOGENEI) 81
una qualunque parte ∆b del continuo b, si scrive come segue:
d
dt
ρηdv ≥
ρr q ·n
dv + ds.
θ θ
(7.31)
∆b
∆b
Poiché, con il teorema della divergenza,
q ·n
divq
ds =
θ θ
Σ
∆b
Σ
1
− q ·∇θ dv, (7.32)
θ2 la localizzazione della disuguaglianza dissipativa risulta essere:
ρ˙η ≥ ρr
θ
+ divq
θ
1
− q ·∇θ. (7.33)
θ2 Utilizzando il bilancio energetico locale (7.30), la disuguaglianza dissipativa
locale diventa
ρ(˙ǫ−θ˙η)+w − 1
q ·∇θ ≤ 0. (7.34)
θ2 Da questa, mediante l’introduzione della energia libera specifica (di Helmoltz)
ψ = ǫ−θη, (7.35)
si ottiene la disuguaglianza dissipativa ridotta
ρ ˙ ψ +ρη˙ θ +w − 1
q ·∇θ ≤ 0 (7.36)
θ2 che fornisce tra l’altro le restrizioni poste dalla termodinamica sulle equazioni
costitutive, come vedremo in due casi significativi.
7.3 Corpi termoelastici (omogenei)
Supponiamo che la forza di massa e la produzione di calore specifiche, F e r
siano dati del problema dinamico, indipendenti dal moto del corpo; definiamo
inoltre z = ∇θ. Un corpo per il quale vale l’(ulteriore) ipotesi costitutiva
che ψ,η,σ,q siano funzioni di F,θ,z e che né su queste variabili né sui loro
incrementi siano presenti vincoli, è detto termoelastico (omogeneo). In
queste ipotesi la disuguaglianza (7.36) diviene
∂ψ
ρ
∂Frs
Frs
˙ + ∂ψ
∂θ ˙ θ + ∂ψ
˙zr +ρη
∂zr
˙ θ −σrs ˙
Frk(F −1 )ks − 1
θ2q ·z ≤ 0, (7.37)
e deve essere ritenuta valida per ogni scelta di F,θ,z, ˙
F, ˙ θ, ˙z.
Poiché c’è un solo termine che moltiplica ˙z esso deve essere nullo:
∂ψ
= 0 e quindi ψ = ψ(F,θ). (7.38)
∂zr

82 CAPITOLO 7. FACOLTATIVO
Poiché i termini che moltiplicano ˙
F e ˙ θ non dipendono da z e l’ultimo
termine si annulla per z = 0, la disuguaglianza (7.37) si spezza nelle due
disuguaglianze
1
θ2q ·z ≥ 0 e
∂ψ
−σrk(F
∂Frs
−1 )sk
Frs
˙
∂ψ
+ρ
∂θ +η
˙θ ≤ 0. (7.39)
La seconda vale se e solo se si annullano entrambe le parentesi. Quindi
η = η(F,θ) e η = − ∂ψ
; inoltre (7.40)
∂θ
∗ ∂ψ
σ = σ(F,θ) e ρ
∂Fr L
= P L r = Jσ s
r (F −1 ) L s. (7.41)
Il tensore P è il tensore degli sforzi di Piola, essenziale in elasticità nonlineare.
Le relazioni precedenti si riassumono dicendo che ψ è un potenziale
termodinamico per η e σ.
7.4 Fluidi linearmente viscosi
Ipotesi costitutive:
ψ = ψ(ρ,θ), η = η(ρ,θ), q = q(ρ,θ,∇θ), (7.42)
w = −σ·D = −D·I(−p+λtrD)−2µD·D = (−p+λtrD)(−trD)−2µD 2 .
(7.43)
Ponendo
G(ρ,θ,D, ˙
∂ψ
θ) = ρ
∂ρ
∂ψ
˙ρ+
∂θ
la disuguaglianza dissipativa ridotta (7.36) diviene
+ρη˙ θ +w, F(ρ,θ,∇θ) = 1
q ·∇θ, (7.44)
θ
G−F ≤ 0. (7.45)
Poiché F(ρ,θ,0) = 0 e G(ρ,θ,0,0) = 0, questa è equivalente alla validità
separata della disuguaglianza di Fourier F ≥ 0 (basta prendere D = 0, ˙ θ =
0) e della disuguaglianza della dissipazione interna, G ≤ 0 (basta prendere
∇θ = 0). Quest’ultima, tenendo conto dell’equazione di continuità ˙ρ +
ρtrD = 0, si scrive nella forma
∂ψ ∂ψ
ρ ˙ρ+(η +
∂ρ ∂θ )˙
θ +w = ρ
−ρ ∂ψ
∂ρ
∂ψ
trD +(η +
∂θ )˙
θ +w ≤ 0. (7.46)
Ponendo ad esempio D = 0 si vede che questa disuguaglianza è equivalente
alle relazioni
η = − ∂ψ
∂θ
e −ρ 2∂ψ
trD +w ≤ 0.
∂ρ
(7.47)

7.4. FLUIDI LINEARMENTE VISCOSI 83
Consideriamo ora la decomposizione di D nelle sue parti sferica e deviatorica:
D = 1
1
(trD)I +∆, ∆ := D − (trD)I, tr∆ = 0, (7.48)
3 3
e riscriviamo l’espressione di w:
w = ptrD−λ(trD) 2 −2µD·D, con D·D = 1
3 (trD)2 +∆ 2 . (7.49)
Poiché trD e ∆ sono indipendenti, la disuguaglianza della dissipazione
interna, cioè
−ρ 2∂ψ
∂ρ +p
trD −(λ+ 2
3 µ)(trD)2 −2µ∆ 2 ≤ 0 (7.50)
equivaleallerelazioni(nota: ilvolumespecificoυ è1/ρe ˜ ψ(υ,θ) := ψ(1/υ,θ))
p = ρ 2∂ψ
∂ρ
= −∂ψ
∂υ
2
, λ+ µ ≥ 0, µ ≥ 0. (7.51)
3
La prima uguaglianza si può esprimere dicendo che la pressione meccanica
p coincide con la pressione termodinamica − ∂ψ
∂υ .