Ammortamento vitalizio in ambiente deterministico e stocastico

XXX Convegno AMASES
4-7 settembre 2006, Trieste
Elena Cardona (*) , Paolo De Angelis (°) , Andrea Fortunati, Ernesto Volpe di Prignano (°)
AMMORTAMENTO VITALIZIO
IN AMBIENTE DETERMINISTICO E STOCASTICO
Extended Abstract
L’oggetto di questa Comunicazione è un’indagine sugli aspetti operativi dell’ammortamento
vitalizio, considerando lo schema base e tre varianti in ordine di generalità crescente. Per
ragioni di spazio ci si limita qui alla sintesi degli aspetti formali con brevi commenti.
Schema base: l'ammortamento vitalizio a tasso costante
E’ noto che il rimborso di un prestito finanziario può essere effettuato con pagamento unico
finale ovvero graduale secondo diverse modalità. Una di esse, che ha natura attuariale e che
trova talvolta applicazione, è quella dell’ammortamento vitalizio, effettuato in modo
graduale e caratterizzato dalla clausola che il debito residuo risulta estinto in caso di morte
del mutuatario prima del termine naturale del rimborso.
Tale pattuizione può avere lo scopo di evitare agli eredi del mutuatario defunto
l’obbligazione delle residue rate al servizio del prestito. Questa esigenza potrebbe essere
anche soddisfatta aggiungendo al mutuo una assicurazione di annualità. Peraltro c’è una
differenza dal punto di vista giuridico: con l’assicurazione nulla cambia per il mutuante
creditore e il contratto perdura fino alla scadenza, salvo il subentro (o il rimborso)
dell’assicuratore agli aventi causa del mutuatario nel pagamento delle rate residue; invece
con l’ammortamento vitalizio per contratto ogni obbligazione si estingue anticipatamente al
decesso.
Lo sviluppo formale di questo tipo di ammortamento, qui assunto con rate annue anticipate,
mostra che ciascuna di tali rate è costituita da tre componenti:
1) una quota capitale destinata alla riduzione del debito residuo;
2) una quota di interesse finanziario per il pagamento degli interessi periodici anticipati
sul debito residuo esistente;
3) il premio periodico naturale anticipato di un'assicurazione temporanea in caso di morte
su un capitale dato dal debito residuo dopo il pagamento della quota capitale.
La somma delle componenti 2) e 3) è la quota di interesse attuariale (= costo periodico
complessivo per il debitore).
Si richiamano qui le note formule che esprimono per ogni periodo i vincoli fra le quote
capitale, le quote di interesse attuariale, le rate ed i debiti residui, facendo uso dei seguenti
simboli:
- n∈N = durata in anni dell’ammortamento in assenza di morte;
- i = tasso annuo, pattuito in 0;
- d = 1-(1+i) -1 = tasso annuo costante di sconto;
- S = D0 = debito iniziale di un mutuatario avente età (intera) x;
- Dz = debito residuo al tempo intero z;
- qx+z = probabilità di morte nell’intervallo (z,z+1), (z = 0,...,n-1)
(*) Dipartimento Matematico-Statistico; Università “Federico II”, Napoli
(°) Dipartimento di Matematica per le Decisioni Econ., Finanz., Ass.; Università “La Sapienza”, Roma
1

−z
- z E x = lx+
z ( 1+
i)
/ lx
= fattore di sconto attuariale per z anni ed età x.
- z α x,
n,
i,
S = rata annua ai tempi z = 0,...,n-1 per il debito S e il periodo (z, z+1);
- z c x,
n,
i,
S = quota capitale in z = 0,...,n-1 per il debito S e il periodo (z, z+1);
-
z j
x,
n,
i,
S = quota di interesse attuariale in z = 0,...,n-1 per il debito S e il periodo
(z, z+1).
Le quote capitali sono soggette per definizione al vincolo
(1)
n−1
∑ 0 zc z=
x, n, i, S = S .
Risulta per definizione, ∀ z : z α x,
n,
i,
S = z c x,
n,
i,
S +
z j
x,
n,
i,
S .
Il vincolo di equivalenza (o chiusura) attuariale è:
(2)
n−1
z=
0 z x, n, i, S zEx S
α =
∑ .
Il prospetto di ammortamento si ricava dal sistema ricorrente:
c
j
z = Dz
− Dz+
1
z = dDz+
1 + ( 1−
d)
qx+
z Dz+
1 = ( 1−1
Ex+
z ) Dz+
1
α = D − E D
z x, n, i, S z 1 x+ z z+
1
n−1
Dz = ∑ kα k= z x, n, i, S k-zEx+z risultando
La riserva retrospettiva Mz e quella prospettiva Wz in z ad un tasso qualsiasi sono espresse da
z
S ∑k k k Ex
M z
z Ex
−
= α −
1
0
=
n−1
, Wz = ∑ kα k z x, n, i, S k-zE =
x+z , z = 0,...,n-1
ovviamente Wz = Dz se in z non sono cambiate le basi tecniche fissate in 0.
1° variante: L'ammortamento vitalizio a due tassi costanti
Riguardo allo schema base si può osservare che le due componenti della quota di interesse
attuariale hanno natura antitetica quanto al tasso che in esse interviene. Infatti nell'interesse
finanziario il tasso riguarda la posizione debitoria del mutuatario e quindi è per lui un tasso
passivo, mentre il premio assicurativo pagato ad inizio di anno viene capitalizzato per avere
in contropartita a fine anno la prestazione in caso di morte, onde il tasso di capitalizzazione è
attivo per il mutuatario. Orbene per legge di mercato un tasso attivo è diverso, e solitamente
minore, di un contemporaneo tasso passivo. Ne consegue l'opportunità, per dare
un'impostazione del problema più aderente alla realtà, di considerare le due componenti delle
quote di interesse attuariale regolate da tassi distinti.
Formalizzando l’approccio, indichiamo con i’ il tasso annuo d’interesse passivo costante che
interviene nella quota d’interesse finanziario e con i” < i’ quello attivo che interviene nel
premio assicurativo. Con notazione abbreviata, la quota di interesse attuariale j
z al tempo z,
che concorre alla formazione della rata α z = c
z + j
z , è somma di due componenti, ciascuna
dipendente da uno dei due tassi, risultando
−1 −1
jz = { ⎡1 − (1+ i') ⎤+
(1 + i") qx+ z} D
⎣ ⎦
z+
1 , (z = 0,...,n-1)
E’ agevole verificare che il tasso i di costo per il mutuatario può ricavarsi implicitamente.
Risulta di norma: i > i’ > i”. Pertanto lo schema con tassi differenziati qui considerato trova
analogia con 1'ammortamento americano a due tassi distinti.
2° variante: L'ammortamento vitalizio nell’ambito di una struttura per scadenza
Piuttosto che operare a tasso fisso nel tempo, può essere preso in considerazione 1'approccio
2

più generale a tassi variabili nel tempo, secondo una struttura per scadenza prefissata
all'inizio dell'ammortamento e valida per tutta la sua durata. Gli sviluppi formali possono
allora ottenersi introducendo per il calcolo delle quote j
z una struttura di tassi passivi
i 'r− 1, r , struttura fissata in 0 e valida per tutta la durata
forward uniperiodali, indicati con { }
dell’ammortamento, e da una analoga struttura di tassi attivi forward uniperiodali { " r 1, r}
i − .
Da essi in un mercato senza possibilità di arbitraggi si ricavano implicitamente i tassi spot e
quelli forward pluriperiodali.
In particolare si può schematizzare l’ipotesi che sussista una relazione additiva, del tipo
i" r−1, r = i' r−1, r − h , ∀ r; h>
0
o moltiplicativa, del tipo
(3) i" r−1, r = λ i' r−1, r , ∀ r;
0

Pertanto risulta
valore da porre in (4).
*
[ d + 1−
d ) q ] D = ( 1−
E ) D , ( z = 0,...,
n -1)
*
jz = z,
z+
1 ( z,
z+
1 x+
z z+
1 1 x+
z z+
1
* *
z Dz 1Ex+ zDz+ 1
α = −
3° variante: L'ammortamento vitalizio in ambiente stocastico
Va osservato, sul piano pratico, che può essere ritenuto poco affidabile ipotizzare una
struttura per scadenza al tempo iniziale che rimanga valida per la lunga durata di un
ammortamento. Può essere più realistico affrontare il problema in termini aleatori,
assumendo una struttura stocastica sia per il tasso (o intensità istantanea) rt dell’interesse
riguardante il processo di ammortamento e di investimento delle riserve, sia per l’intensità di
mortalità µ x+ t nel processo evolutivo demografico.
Una adeguata formulazione può ottenersi assumendo per entrambe le suddette intensità una
dinamica stocastica di tipo browniano geometrico, in condizioni di correlazione positiva. In
particolare, si possono considerare per esse i due processi di diffusione { rt}; t = 1,2,...., e
{ } ; t 1,2,...,
µ x+ t = r
per una testa di età x, mediante le rispettive filtrazioni F e
µ
F . Per un
generico contratto i due processi stocastici sono definiti sullo spazio di probabilità
r,µ
r,
µ r µ
( Ω , F , P)
tale che F = F ∪ F .
Il processo stocastico demografico { µ x+ t}; t = 1,2,..., può descriversi con un modello Mean-
Reverting Brownian Gompertz (MRBG) fondato sulla relazione differenziale
= −bY
dt + dW , Y = 0,
b ≥ 0
dYt t
t
dove b è il mean reversion coefficient e { W t } segue il moto Browniano standard.
Le intensità d’interesse per l’ammortamento e per l’investimento delle riserve vengono qui
per semplicità fatte coincidere nello “spot rate” { rt}; t = 1, 2,...., che può descriversi seguendo
il modello di Cox, Ingersoll e Ross, quindi sulla base dell’equazione differenziale stocastica:
t
r
( θ − r ) dt + r dZ
dr = k σ
t
dove k è il mean reversion coefficient, θ è il long term rate, σ r è il parametro di volatilità e
r
Z segue il moto Browniano standard.
{ }
t
Riferimento bibliografico
Gli argomenti qui trattati sono stati oggetto di un paper degli Autori di questa
Comunicazione, col titolo Life Amortization in Deterministic and Stochastic Environment,
pubblicato sulla rivista Studia Oeconomica Univ. Babes-Bolyai, Cluj-Napoca, anno L, 2,
2005, che sviluppa anche applicazioni ed esemplificazioni sulle diverse alternative
considerate.
4
r
0
t
t