DALLA GEOMETRIA EUCLIDEA ALLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

DALLA GEOMETRIA
EUCLIDEA ALLE
GEOMETRIE NON EUCLIDEE
PROF. SILVIO ARCOLESSE
LICEO CLASSICO “ M. PAGANO “ CAMPOBASSO

LE TEORIE MATEMATICHE SONO
SISTEMI IPOTETICO-DEDUTTIVI
• Gli enti della teoria vengono definiti
attraverso altri enti
Alla base del processo definitorio vengono posti enti
primitivi indefiniti
• Le proposizioni vengono dimostrate
attraverso altre
Alla base del procedimento dimostrativo vengono
poste proposizioni primitive indimostrate (assiomi )

I TERMINI DI EUCLIDE

POSTULATI DI EUCLIDE

NOZIONI COMUNI

I CARATTERI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
I TERMINI
• GLI ENTI GEOMETRICI
HANNO CARATTERE REALE
• ESSI SONO SUGGERITI , SIA
PURE PER ASTRAZIONE , DA
OGGETTI REALI
I POSTULATI
• I PRIMI QUATTRO HANNO
CARATTERE COSTRUTTIVO :
POSTULANO LA POSSIBILITA’
DI COSTRUIRE LE FIGURE
PIU’ SEMPLICI
• IL QUINTO POSTULATO HA
UNO STATUTO A SE’ : DA UNA
PROPRIETA’ VERIFICABILE
AL FINITO SI DERIVA UNA
PROPRIETA’ CHE DOVREBBE
VERIFICARSI ALL’INFINITO (
IN UN PUNTO
COSTRUTTIVAMENTE
INDEFINITO )

LA SISTEMAZIONE MODERNA DELLE
PREMESSE EUCLIDEE

IL V° POSTULATO NELLA VERSIONE
MODERNA
• Enunciato : data una retta e un punto fuori di essa , per quel punto
passa una e una sola retta parallela alla retta data.
VEDIAMO L’EQUIVALENZA DEI DUE ENUNCIATI
• è ( un ¬ Tprincipio ⇒¬ H) ⇔( Hlogico ⇒T)
generale che l’implicazione contronominale
è logicamente equivalente all’implicazione diretta
• L’enunciato contronominale suona “ se due rette non si
intersecano , allora esse , tagliate da una trasversale , formano
angoli coniugati supplementari “: vedremo in seguito
l’equivalenza tra questo enunciato e la fomulazione moderna del
V° postulato

IL V° POSTULATO E L’OPERA DI
EUCLIDE
• Euclide stesso sembra mostrare scetticismo nei
confronti del suo V° postulato
• Infatti lo utilizza il più tardi possibile ( soltanto
nella proposizione 29 del primo libro ) e dimostra
tutto ciò che possibile dimostrare senza ricorrervi .
Seguiamo in parte la trama della
costruzione euclidea :

Enunciato : in un
triangolo ciascun angolo
esterno è maggioe di
ognuno degli angoli
interni ad esso non
adiacenti
La dimostrazione risulta
evidente dalla figura
posta qui a fianco
IMPORTANTE PER I
NOSTRI SCOPI LA
PROPOSIZIONE 16

DALLA 16 DERIVA
BANALMENTE LA
PROPOSIZIONE 17
Enunciato : in ogni triangolo la
somma di due angoli , comunque
presi è minore di due retti
La dimostrazione è banale
Tale proposizione può essere letta
nel modo seguente : se due rette
tagliate da una trasversale si
incontrano , allora la somma degli
angoli che formano con essa dalla
parte del punto di intersezione ,
essendo la somma di due angoli di
un triangolo , è minore di due retti
SI TRATTA DELL’INVERSO
DEL V° POSTULATO !
ALTRO FATTO INSOLITO :
CHE L’INVERSO DI UN
POSTULATO SIA UN
TEOREMA !

DALLE 16 E 17 SI
OTTIENE LA
PROPOSIZIONE 27
Enunciato :se due rette r ed s
formano con una trasversale
t angoli coniugati interni
supplementari , allora le due
rette sono parallele
DIMOSTRAZIONE : E’
SEMPLICEMENTE LA
CONTRONOMINALE
DELLA 16

Enunciato : se r ed s sono
parallele allora formano con
una trasversale t angoli
coniugati interni
supplementari e , quindi ,
alterni interni congruenti
DIMOSTRAZIONE : per
assurdo . Infatti , se fosse
falsa la tesi , per il V° postula
to , le due rette dovrebbero
incontrarsi da una delle due
parti della trasversale . Ma
esse , per ipotesi , sono
parallele
PER DIMOSTRARE
LA PROPOSIZIONE
29 , CHE L’INVERSA
DELLA 27 , BISOGNA
FAR RICORSO AL V°
POSTULATO

Enunciato : Condurre per un
punto dato una retta parallela a
una retta data
LA DIMOSTRAZIONE SI
BASA SOLO SULLA 27 E
QUINDI NON UTILIZZA IL
V° POSTULATO : SI TRATTA
DI COSTRUIRE LA
SEMIRETTA PB CHE FORMI
CON LA TRASVERSALE UN
ANGOLO UGUALE A PQA.
QUESTO E’ POSSIBILE PER
UN POSTULATO.
N.B. : QUESTO TEOREMA
DIMOSTRA L’ESISTENZA
DELLA PARALLELA AD UNA
RETTA PER UN PUNTO
ESTERNO
PROPOSIZIONE 31

PROPOSIZIONE 32
Enunciato : in ogni triangolo un
angolo esterno è uguale alla
somma degli angoli interni ad
esso non adiacenti e , quindi , la
somma degli angoli interni è
uguale a due retti
DIMOSTRAZIONE : banale,
utilizza la 29 e , quindi , il V°
postulato
N.B.: LA 32 ASSORBE LA 16 E
LA 17 CHE , PERTANTO ,
RISULTEREBBERO
SUPERFLUE . EPPURE
EUCLIDE LE LASCIA :
SEMBRA VOLER RESISTERE
ALL’USO DEL V°
POSTULATO !

EQUIVALENZA TRA V° POSTULATO E
UNICITA’ DELLA PARALLELA
1. L’ESISTENZA DELLA PARALLELA DI SCENDE DALLA
PROPOSIZIONE 27 ,CHE NON UTILIZZA IL V°
POSTULATO
2. DAL V° POSTULATO DISCENDE L’UNICITA’ : DATA UNA
RETTA r E UN PUNTO P , COSTRUIAMO PER P LA UNA
PARALLELA A r , s . UNA SECONDA PARALLELA A r
FORMEREBBE CON UNA TRASVERSALE PER P UN
ANGOLO LA CUI SOMMA CON L’ALTRO NON DAREBBE UN
PIATTO(CONTRO IL V° POSTULATO)
3. DALL’UNICITA’ SEGUE IL V° POSTUATO ( VEDI FIGURA
ALLA DIAPOSITIVA SEGUENTE)

Il V° postulato suscita perplessità
nei matematici
I matematici si muovono , quindi , in questa
loro perplessità , all’interno della logica
euclidea (

In ogni caso , non viene messa in discussione la “
verità “ del V° postulato . L’intero corpo della
geometria euclidea è assunto come
indiscutibile , in quanto descrizione vera dello
spazio fisico
Lo spazio , nella sua caratterizzazione
euclidea , viene con Kant addirittura
elevato al rango di forma a priori della
conoscenza
Ciò che viene messo in dubbio non è , quindi , la verità del
V° postulato , ma la sua indipendenza

CARATTERISTICHE DI UN SISTEMA DI
ASSIOMI
• Coerenza : se il sistema degli assiomi fosse non
coerente si autodistruggerebbe e genererebbe una
teoria contraddittoria nella quale sarebbe
dimostrabile ogni proposizione e la sua negazione
(si tratta della legge di Duns Scoto , già nota alla
logica medievale : ex contradctione sequitur
quodlibet )
• Indipendenza : consiste nel che un assioma non sia
derivabile da altri come teorema

CARATTERISTICHE DI UN SISTEMA DI
ASSIOMI
• Completezza : un sistema di assiomi è completo
quando risulta sufficiente a dedurre tutte le
proposizioni ammesse entro quella data teoria
entrambi i problemi-della indipendenza e della
completezza-sono riconducibili a quello della non
contraddittorietà
un assioma è dipendente dagli altri se , aggiungendo
ad essi una sua negazione ciò che ne deriva è un sistema
contraddittorio
un sistema di enunciati è completo quando
aggiungendo ad esso un enunciato che non ne è logicamente
derivabile ne risulta un sistema contraddittorio

I tentativi di dimostrazione del V° postulato
A partire già dal periodo alessandrino , si susseguono i
tentativi di “ dimostrare “ il V° postulato .
Tali “ dimostrazioni “ , però , vengono condotte
intoducendo in modo esplicito o implicito enunciati
equivalenti al V° postulato . VEDIAMONE ALCUNI :
• Due rette parallele sono equidistanti ( Posidonio , I sec.
A.C. )
• Se una retta interseca una di due parallele , interseca
anche l’altra ( Proclo , 410-485, d.C.)
• Dato un triangolo possiamo costruirne uno simile di
lato assegnato ( Wallis, 1616-1703 )
• La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due
retti ( Legendre 1775-1856 )

PRENDIAMO PER ESEMPIO L’ENUNCIATO DI JOHN WALLIS . E’ BANALE
DERIVARNE IL V° POSTULATO . INFATTI , SUPPONIAMO DI AVERE DUE
RETTE r ED s CHE , CON UNA TRASVERSALE t FORMANO ANGOLI α E β LA
CUI SOMMA SIA MINORE DI DUE RETTI .
SPOSTIAMO s PARALLELAMENTE A SE STESSA FINO A PORTARE B SU A. C SI
PORTERA’ IN D , CHE SI TROVA ALLA SINISRA DELLA RETTA r . QUINDI ,
NELLO SPOSTAMENTO DI TALE RETTA , CI SARA’ UNA POSIZIONE IN CUI C
CADE SU r , DICIAMO IN F. MA PER IPOTESI POSSO COSTRUIRE DI LATO AB E
SIMILE AD AFE E , QUINDI IL V° POST. E’ DIMOSTRATO . PECCATO CHE SI
DIMOSTRA BANALMENTE ANCHE L’INVERSO E , QUINDI , L’ENUNCIATO DI
WALLIS E’ EQUIVALENTE AL POSTULATO EUCLIDEO !