Lucidi Progettazione a Fatica - Ingegneria Meccanica

COSTRUZIONE DI MACCHINE 

LAUREA in INGEGNERIA MECCANICA 

3° ANNO PROFESSIONALIZZANTE 

2000 

F (N) 

-1300 

10 Time (s) 

Ing. Nicola Petrone 

Dipartimento di Ingegneria Meccanica - Università Universit di Padova 

Nicola Petrone COSTRUZIONE DI MACCHINE 

12 

Slide N°1

FATICA 

1. DESCRIZIONE DEL FENOMENO 

2. CURVA di WOHLER 

3. BANDE DI DISPERSIONE DEI RISULTATI A FATICA 

4. COEFFICIENTI DI SICUREZZA A FATICA 

5. PARAMETRI DI INFLUENZA SULLA VITA A FATICA 

6. METODI DI PROGETTAZIONE A FATICA AD AMP. COST. 

7. FATICA AD AMPIEZZA VARIABILE 

8. FATICA CON SOLLECITAZIONI MULTIASSIALI 

9. APPLICAZIONI 


Slide N°2

1.Richiami: coefficiente di sicurezza statico 

TENSIONE APPLICATA AL 

COMPONENTE 

σ 

σ 

= 

S 


N 

N 

1° modo: CALCOLO 

COEFFICIENTE DI 

SICUREZZA 

2° modo: TENSIONI 

AMMISSIBILI 

CONFRONTO TRA: 

S 

ν = σ s / σ 

σ amm = σ s / ν 

CARATTERISTICHE 

MECCANICHE DEL MATERIALE 

ν≥1,5 

σ≤σ amm 

σ amm 

Slide N°3

1.Il FENOMENO: cedimento a FATICA 

σ Rottura STATICA 

σ 

CURVA DI 

TRAZIONE STATICA 

σ R 

σ sn 

EVIDENZE 


Rottura a fatica OLIGOCICLICA 

Rottura a FATICA 

N cicli 

STORIE DI CARICO 

Limite di FATICA 

N cicli = ∞ 

Rottura per sollecitazioni cicliche anche inferiori al carico di snervamento 

NUMERO DI CICLI FINO ALLA ROTTURA = vita a fatica 

Rottura a FATICA è rottura statica dopo riduzione della sezione resistente 

IN ALCUNI CASI esiste un valore di tensione al di sotto del quale la vita a 

fatica è INFINITA = LIMITE DI FATICA 

t 

Slide N°4

1.Il Fenomeno: Esempi di Rotture a FATICA 


Slide N°5

1.FATICA: definizioni relative alla storia di carico 

DEFINIZIONI: 

σ max = tensione massima σ m = tensione media 

σ min = tensione minima σ a = ampiezza di tensione 

∆σ = range di tensione 

σ 

R = 

σ 

min 

max 

Rapporto di 

sollecitazione 


∆σ 

σa 

σ 

A 

B 

C 

Ciclo: ABC 

Alternanze: AB, BC 

t 

σ 

max 

σ 

σ 

m 

min 

Slide N°6

1.FATICA: tipi di storie di carico 

∆σ 

σa 

σ 

A 

B 

C 

Ciclo: ABC 

Alternanze: AB, BC 

FATICA AD 

AMPIEZZA 

VARIABILE A 

BLOCCHI 

σ 

σ 

σ 


t 

σ 

max 

m 

min 

FATICA AD AMPIEZZA 

VARIABILE RANDOM 

(STORIA DI CARICO 

REALE) 

FATICA AD AMPIEZZA 

COSTANTE 

tr) 

900 

-4 0 0 

t 

LO N G 2.SIF-C h5.Dm 1.steli forc 

262.13 Tim e (Secs) 262.59 

Slide N°7

2.ESPERIENZA DI WOHLER (1840): assale ferroviario 

A 

P/2 

Mf 

Le 

P/2 

B C 

Li 

P/2 P/2 

σ f 

ω 

P 

DR 


Le 

D 

P/2 

Mf Mf 

P/2 

P 

scarico 

σ f 

vagone 

carico 

moto 

R = -1 

scambio 

t 

t 

Slide N°8

2.CURVA DI WOHLER: comportamento del materiale 

WOHLER: prove a fatica con assali caricati in flessione rotante fino a 

rottura, a diversi livelli di ampiezza di tensione di flessione (σ f =σ a ) 

CURVE DI WOHLER: la vita a fatica (numero di cicli N) ad ampiezza 

costante diminuisce al crescere della ampiezza delle tensioni (σ a ) 

EVIDENZE SPERIMENTALI: 

Limite superiore: Tensione 

di Rottura σ R 

Limite inferiore: Limite di 

fatica per alcuni materiali 

σ a∞ 

Dispersione statistica dei 

risultati 

Tipologia di espressione 

matematica: 


N k 

a = σ 

σ 

σ 

σ a∞ 

a 

R 

R=-1 

Costante 

σ 

N 

t 

Slide N°9

2.CURVA DI WOHLER: rappresentazione 

Rappresentazione CONVENZIONALE in scala doppio logaritmica: Log 10 

σ a in funzione di Log 10 N. 

L’espressione 

N k a = σ 

Costante 

corrisponde ad una 

retta in scala doppio 

logaritmica. 

Esiste limite superiore 

S corrispondente alla 

resistenza statica. 

Può esistere limite 

inferiore al punto G 

Log 10 σ a 


σ 

R 

σa∞ (σ ) 

G 

(Per acciai) 

Andamento schematico 

3 6 

10 2·10 

(N ) 

G 

Andamento reale 

Log 10 N 

Tratto dopo G (ginocchio): 

– orizzontale (per acciai, fatica ampiezza costante) 

– inclinato, con pendenza minore (per leghe leggere, o acciai con fatica 

ad ampiezza variabile) 

S 

G 

Slide N°10

2.CURVA DI WOHLER : schematizzazione 

SCHEMATIZZAZIONE CURVA: 

Punto Superiore: punto S, resistenza statica σR a 103 cicli 

Presenza di un Ginocchio: Punto G: limite di fatica σa∞ , tipicamente a 2 • 106 cicli 

Tratto intermedio Lineare (in diagramma Log-Log) a pendenza costante k 

Punto di riferimento convenzionale: Punto A: NA , σA (grandezze note ) 

N Nσ = σ 

k 

a 

k 

k 

Log Nσ 

) = Log ( N σ ) 

Log 

A 

R 

10 

σ A 


k 

A 

10( 

a 

10 

10 

( X ) + k ( Y ) 

retta : Y 

N + k 

= 

Log 

mX 

10 

+ q 

A 

= cost' 

= cost' 

1 

Log10σ 

a = − Log10N 

+ cost'' 

k N A 

b 

Log10 

3 

k = = tgα 

k = 

10 

a 

σ 

Log 

a 

= cost 

A 

Log 10 σ a 

σ R 

σ a 

σ a 

σ A 

σ a∞ 

S 

α 

T 

A 

G 

103 2·106 N NA k 

= 

Log 

Log 

N 

A 

10 3 

10 

10 

σ R 

σ 

A 

Log 10 N 

I valori tipici della pendenza k per acciai o leghe 

leggere sono: 

– k = 8 ÷10 per provini lisci (provini lucidati) 

– k = 3 ÷ 4 per provini intagliati. (spallamenti, 

fori, saldature) 

b 

Slide N°11

2.CURVA DI WOHLER : punto A e ginocchio G 

NOTA BENE: 

Punto A , valore di resistenza a fatica σa∞ = σA-1 , tipicamente a 2 • 106 cicli per 

COMPONENTI INTAGLIATI. Ginocchio G = A . (Ginocchio solo per acciaio, ad 

ampiezza costante, altrimenti curva con pendenza 2k-1). 

Eccezione: COMPONENTI SALDATI: calcolo a fatica con ∆σa. Punto A valore di 

resistenza a fatica ∆σA a 2 • 106 cicli. Ginocchio a 5 • 106 o 107 cicli. Limite di fatica F a 

108 cicli 

Log 10 σ a 

σ R 

σ a 

σ A = σ a∞ 

COMPONENTI INTAGLIATI 

(ALBERI, ASSI, SUPPORTI,….) 

S 

T 

A=G 

103 =2·106 N NA Log 10 N 


k 

= 

Log 

Log 

A 

10 3 

10 

10 

N 

σ R 

σ 

A 

GIUNZIONI SALDATE (CNR UNI 10011) 

Log 10∆σ a 

∆σ a 

∆σA ∆σD ∆σF T 

N 

k = 3 

A 

N A 

2·10 6 

G=D 

N G 

k 

= 5 

F 

N F 

Log 10 N 

Slide N°12

2.CURVA DI WOHLER : CAMPI DI APPLICAZIONE 

ESISTONO TRE ZONE RICONOSCIBILI AL DI SOTTO DELLA CURVA DI 

WOHLER 

1. ZONA DI FATICA OLIGOCICLICA (N< 10 3 ) 

2. ZONA DI VITA A TERMINE (10 3 < N< 2 10 6 ) 

3. ZONA DI VITA “INFINITA” (N > 2 10 6 ) 

Log 10 σ a 

σ R 

σ a1 

σ ob 

σ A = σ a∞ 

FATICA OLIGOCICLICA 

Non si può applicare la 

tensione nominale: 

Occorrono curve ε-N 


S 

10 3 N A =2·10 6 

N 1 

N ob 

A=G 

VITA A TERMINE 

Log 10 N 

VERIFICA: Noto σ a1 si può calcolare N 1 

DIMENSIONAMENTO: Noto N ob si calcola σ a1 

VITA INFINITA (per acciaio ad 

Ampiezza Costante) o 

Vita a Termine per Leghe Leggere 

e Acciaio Amp. Variabile 

Slide N°13

2.CURVA DI WOHLER : esempio numerico 

Log 10 σ a 

σ R=590 

σ a1 =442,5 

σ a2=387,8 

σ A = σ a∞= 295 

Si richiede: 

Dati : σ R = 590 MPa σ a∞ = σ A-1 = 295 MPa R = -1 Tracciare la curva 

S 

10 3 2·10 6 

N 1 

A=G 

2. La tensione σ a2 corrispondente a 

N2 = 100’000 cicli 

σ 

σ 

a2 

a2 

⎛ 2⋅10 

= 295⋅ 

⎜ 5 

⎝ 10 

= 387, 

7MPa 


6 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

N 2 

1 

10, 

96 

Log 10 N 

N 

N 

1 

1 

k 

= 

Log 

Log 

10 

N ⋅σ a 

10 

10, 

96 

Si richiede: 

2⋅10 

3 

10 

σ R 

σ 

6 

A−1 

= 

= 

Log 

10 

Log 

6 

2⋅10 ⋅ 

10 

2⋅10 

3 

10 

590 

295 

295 

6 

= 

10, 

96 

10, 

96 

1. La vita per una σa intermedia tra σR e σa∞ σ R + σ A−1 

σ a1 

= = 442, 

5MPa 

2 

= 2⋅10 

6 

⎛ 295 ⎞ 

⋅ 

⎜ 

⎟ 

⎝ σ a ⎠ 

= 23595 cicli 

10, 

96 

= 2⋅10 

6 

⎛ 

⋅⎜ 

⎝ 

295 

442, 

5 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

10, 

96 

Slide N°14

2.FATICA: normative di riferimento 

Per avere dati da utilizzare nella progettazione si possono consultare 

le normative UNI e CNR riguardanti carpenteria metallica, strutture 

in acciaio, apparecchi di sollevamento in acciaio o leghe leggere e 

meccanismi per apparecchi di sollevamento. 

In particolare si fa riferimento alle norme: 

UNI 3764 (principi generali sulla fatica) 

UNI 8634 (strutture in lega leggera) 

CNR UNI 10011 (strutture in acciaio) 

CNR UNI 10021 (strutture di apparecchi di sollevamento in 

acciaio) 

CNR UNI 10028 (strutture di apparecchi di sollevamento in 

lega leggera) 

UNI 7670 (meccanismi di apparecchi di sollevamento) 

Sono attualmente in fase di sviluppo le normative ISO (fondamenti 

sulla fatica e modalità di esecuzione delle prove sperimentali) e gli 

Eurocodici CEN (modalità di progettazione statica ed a fatica). 


Slide N°15

3 - Caratterizzazione a fatica dei materiali 

a - Metodi di Prova per la caratterizzazione a 

fatica 

b - Metodi di Analisi dei Dati a Fatica 

c - Prove a Fatica su Materiali 

d - Prove a Fatica su Componenti 


Slide N°16

3.Metodi di Prova: prove di fatica a trazione/flessione 


Macchine di TRAZIONE: 

– Controllo servoidraulico 

– 15 kN (biomeccanica) 

– 250 kN (meccanica pesante) 

– Controllo di FORZA 

– Controllo di SPOSTAMENTO 

– Controllo di DEFORMAZIONE con 

estensometro. 

– Rapporto sollecitazione R variabile 

Macchine di Flessione Rotante 

– Carico fisso applicato a provino che 

ruota in flessione 

– 200 Hz frequenza 

– Controllo di FORZA 

95 

– R = -1 fisso R 25 

φ 

7,5 

4 12 4 5 10 25 10 5 20 

Slide N°17 

φ 12

3.Metodi di Prova: prove di fatica in torsione 

Macchine di TORSIONE (100 - 2000 Nm) 

Controllo servoidraulico 

– Controllo di FORZA, SPOSTAMENTO, DEFORMAZIONE 

– Rapporto sollecitazione R variabile 

Meccaniche 

– Controllo di SPOSTAMENTO 

φ120 

R 98 

φ19 

φ12 

φ 10 

φ19 

19 

R 3 

(a) 

32 

120 

φ8 

R 98 

(b) 

φ12 


R 3 

19 

Smusso 2 x 2 

Albero mandrino 

Vite di regolazione 

lunghezza L3 

Estremità 

oscillante 

L3 L 

Perno di attacco 

con la biella L2 

LVDT LVDT 

A B 

Camme 

Cella di carico 

estensimetrica 

Supporti Provino 

Testa 

oscillante 

Estremità fissa Supporti 

Testa fissa 

Bancale orizzontale fisso 

Slide N°18

3.Metodi di Prova: prove di fatica multiassiale 

Macchine MULTIASSIALI: 

– Trazione + Torsione + Pressione Interna + Pressione esterna. 

– Provini tubolari 

p e 

γ 

pi 

N 

εz 

γ 

εz 

ε θ 

T 

ε1 

ε2 


α° 

φ = ε2 / ε1 

λ = ∆γ / ∆ε 

ψ = ∆ε / ∆ε 

Elevata complessità di 

funzionamento 

– Alto costo dei provini 

– Complessità di costruzione 

degli estensometri. 

– Bassa frequenza di 

applicazione del carico 

– Prove LOW cycle 

– Prove HIGH cycle 

Slide N°19

3.Metodi di Prova: prove a fatica su componenti 

Macchine di prova COMPONENTI: 

– Sistemi pneumatici a LOOP Aperto (controllo pressione) 

– Sistemi pneumatici a LOOP Chiuso (celle di carico) 

– Sistemi flessibili a cilindri idraulici servocontrollati. 

Macchina di prova 

manubri 

Macchina di prova 

telai ciclistici o 

motociclistici 


Slide N°20

3.DISPERSIONE DEI RISULTATI DI PROVE A FATICA 

Si eseguono prove a diversi valori 

prefissati di σ a 

Si rileva una distribuzione normale di 

Log 10 N a ciascun livello 

Log 10 σ a 

σa1 σa2 σa3 σa4 Ps=50% 

Ps=2,25% 


Distribuzione Gaussiana 

attorno ad un valore medio x: 

percentuali corrispondenti a 

intervalli individuati da diversi 

valori di deviazione standard 

SD 

2,25% 

2,25% 

x 

x 

 

Ps=97,75% 

Log10N E’ possibile tracciare delle curve 

corrispondenti alla stessa probabilità 

di sopravvivenza Ps. 

-1SD 1SD 

66% 

-2SD 

2SD 

95,5% 

2,25% 97,75% 

CURVA CARATTERISTICA: Ps = 97.75% corrisponde a Curva Media – 2 SD 

Slide N°21

3.DISPERSIONE DEI RISULTATI: Bande di Dispersione 

DISPERSIONE attorno a curva media. 

Curve a diversa probabilità di Sopravvivenza Ps o probabilità di 

Rottura (breakage) P B : spesso in campo automobilistico (vedi 

cuscinetti) si considera curva P B 10% (detta anche B10) 

EX: Curva P B = 10% è curva 

“al di sotto della quale” 

c’è una probabilità del 

10% di avere la rottura di un 

provino del campione 

utilizzato 

CURVA CARATTERISTICA: 

Ps = 97.75% 

(utilizzata per il progetto) 

Interpretazione: fatica come fenomeno statistico legato alla 

propagazione di difetti (inclusioni, porosità, cricche) preesistenti o 

all’innesco di cricche per scorrimento in cristalli più 

sfavorevolmente orientati. 


σ 

a 

P B = 10% 50% 90% 

PB=2,25% 

Ps=97,75% 

% Provini rotti 

PB=97,75% 

Ps=2,25% 

% Provini rotti 

N 

Slide N°22

Log 10 σ a 

3.DISPERSIONE DEI RISULTATI DI PROVE A FATICA 

Provini uguali testati a stessi 

valori di σ a hanno vite anche 

molto diverse: 

P B =50% 

P B =10% 

N 10% 

N 90% 

P B =90% 

N A 

T N 


N 

= 

N 

σ 

σ 

σ 

90% ≅ 

10% 

A 90 

A 50 

A10 

% 

% 

% 

Log 10 N 

4 

Si rileva una distribuzione 

normale anche di σ a per N dato 

I valori a 2 •10 6 cicli delle due 

curve P B 90% e P B 10% su provini 

stanno in rapporto: 

T 

σ 

σ 

σ 

≡ 

A 

σ 

σ 

A 90 % ≅ 

A10 

% 

1. 

5 

Valori anche maggiori di Tσ 

si hanno per prove su 

componenti. 

Vale anche: 

k 

TN = 

Tσ 

50 % ≅ 1. 

5 = 

A10 

% 

NOTA BENE: 

DISPERSIONE: si riferisce al campione (10-12 pezzi) testato. 

CONFIDENZA: si riferisce all’universo reale del quale il campione è solo una parte. 

1, 

224 

Slide N°23

3.DEFINIZIONE DELLA CURVA CARATTERISTICA 

PER LA PROGETTAZIONE SI UTILIZZA LA CURVA CARATTERISTICA 

CHE CORRISPONDE A P B 2,25 % (P S 97.75 % ) 

CURVE SPERIMENTALI 

NOTE 

CURVE NON 

NOTE 

1°modo: E’ nota completamente la dispersione (sia la CURVA P B 50% che 

la deviazione standard SD). Si ha la CURVA CARATTERISTICA dalla 

curva P B 50% con 2 scarti quadratici, pari al 97.75% di probabilità di 

sopravvivenza (P B 2,25 % ) 

2°modo: E’ nota la CURVA P B 10% (B10) sperimentale (da banche dati o 

letteratura). Si ha la CURVA CARATTERISTICA dividendo per un 

ulteriore coefficiente (in genere assunto paria 4/3). 

3° modo: E’ noto solo σ A50% , k, σ R . Per la CURVA CARATTERISTICA si 

traccia la curva P B 50% , si stima T σ = 1,5 e si ottiene la curva caratteristica 

dividendo la σ A50% per 1,6 


⎛ 4 

⎜≈ 

⋅ 

⎝ 3 

⎞ 

15 , ⎟ 

⎠ 

Slide N°24

3.DEFINIZIONE DELLA CURVA CARATTERISTICA: modo 1 e 2. 

1° modo: si hanno tutti i punti di prova. 

E’ nota la P B =50% e la deviazione 

standard SD. 

Log10σa PB =50% 

Sd 

PB=2,25% 

Ps=97,75% 

Gd 

N A =N G 

P B =90% 

P B =10% 

σ A 2. 

25 

Log 10 N 


% 

2° modo: si ha la curva B10 (σA10% , k) da 

database o pubblicazioni. 

Si assume un coefficiente 4/3 per 

stimare la curva P 

Log10σ B =2.25% 

a 

PB =50% 

Sd 

Curva 

caratteristica 

Gd 

N A =N G 

σ A10 

% 

σ A 2 , 25 % = ≅ 

4 / 3 

P B =10% 

4/3 

Log 10 N 

σ A10 

1, 

333 

% 

Slide N°25

3.DEFINIZIONE DELLA CURVA CARATTERISTICA: modo 3. 

3° modo (più frequente): si hanno solo σ A50% , k, σ R . 

Log 10 σ a 

σ R 

Sd 

S 

Pc = Curva 

Caratteristica 

Sd-Gd 

P B =50% 


Si assume σ per calcolare 

Si introduce un coefficiente 4/3 per calcolare 

Gd 

N A =N G 

T 

σ A 50 % 

σ A 2 , 25 % = 

≅ 

4 / 3 ⋅ 1, 

5 

Log 10 N 

≅ 1. 

5 

σ 

σ 

A10% 

A2. 

25% 

σ A 50 

1, 

6 

1,6 PB =10% Il valore 1,6 è il coefficiente di 

sicurezza a fatica minimo con 

riferimento alla curva PB 50% 

G 

σ A50% 

ν fσ 

= 1, 

6 

1 . 5 = 1, 

224 

4/3 

σ = 

A10 

% 

σ 

A 50 % 

1, 

5 

σ A10% 

% 

Slide N°26

3.ESECUZIONE DI PROVE A FATICA: INDICAZIONI 

POSSIBILI INDICAZIONI DI MASSIMA: 

Numero minimo provini (ASTM 739): 

– Prove esploratorie: 

– Prove di ricerca e sviluppo 

da 6 a 12 

su componenti e provini: da 6 a 12 

– Valori ammissibili di progetto da 12 a 24 

– Studi di affidabilità: da 12 a 24 

Numero livelli: da 3 a 5, a seconda della numerosità del campione, 

con ripetizioni concentrate ai valori alti e bassi di carico. 

Sequenza di prova: da prove statiche o da stime, si valutano il 

carico di rottura σR , il carico di snervamento σs ed il possibile limite 

di fatica a 2 • 106 σa∞. . 

Si eseguono dapprima prove ad alto e medio carico per evitare prove 

troppo lunghe o al di sotto del limite di fatica. 


Slide N°27

3.ANALISI DATI A FATICA: Normative di riferimento 

ASTM E 739 - 80 : fornisce indicazioni per l’analisi statistica di 

curve σ-N lineari 

Banda di dispersione calcolabile con ipotesi di 

– prove a fatica da campione random 

– legame lineare tra LogN e Log σa – distribuzione normale di LogN 

– costanza della varianza di LogN ai diversi livelli di carico 

– assenza di Run-out o di prove interrotte. 

Si forniscono raccomandazioni sul numero minimo di 

provini. 

Si forniscono indicazioni sul numero di livelli di carico. 

Si riportano le procedure per il calcolo della banda di 

CONFIDENZA al 95%. 


Slide N°28

3.ANALISI DATI A FATICA : procedimento 

PROCEDURE CONSIGLIATE: 

Schedatura provini rotti (omogeneità criterio) e non rotti. 

Analisi superfici di frattura: omogeneità del fenomeno 

Analisi della dispersione secondo procedure standard (ex: ASTM 

739): 

Verifica della verosimiglianza di: 

– pendenza curva 

– valore di resistenza statica 

– valore di resistenza a fatica 

– ampiezza della banda di dispersione. 

Analisi di confidenza secondo procedure standard (ex: ASTM 

739) 

Se il materiale o i provini non sono noti, non è possibile escludere 

differenze tra lotti di materiale o di trattamento tecnologico: occorre 

risalire alle diverse serie. 


Slide N°29

4.COEFFICIENTI DI SICUREZZA a FATICA (per Progettazione) 

IPOTESI: CURVA CARATTERISTICA DI PROGETTO Pc NOTA. 

IPOTESI: Punto di funzionamento di PROGETTO NOTO: ( σ aob , n ob ) 

σ R 

σ aL 

Variabilità 

carichi applicati 

Log 10 σ a 

σ aob 

S 

Sd 

10 3 

O 

n ob 

P B =50% 

P B =10% 

Pc =2,25% 

N L 

Gd 


PROBLEMA: Esiste INDETERMINAZIONE => 

occorre coefficiente di sicurezza γ = γm γc >1 

. 

N A =N G 

Dispersione RESISTENZA materiale: γ m >1 

VARIABILITA’ carichi applicati: γ c >1 

Dispersione 

resistenza del 

materiale 

σ A 2. 

25 

σ A50% 

Log 10 N 

% 

Della Dispersione del 

materiale si tiene conto 

passando dalla curva 

PB50% alla curva 

caratteristica Pc. γm≈ 1,6 

Per la VARIABILITA’ dei 

carichi applicati può 

calcolare un ulteriore 

coefficiente di sicurezza γ 

rispetto alla curva 

caratteristica: sarà perciò 

un γc Slide N°30

4.DEFINIZIONE Coefficienti di Sicurezza a FATICA (per Progettazione) 

Progettazione) 

Rispetto alla 

CURVA di 

PROGETTO 

Log 10 σ a 

σ R 

σ aL 

σ aob 

S 

Sd 

10 3 

γ σ 

Coefficiente di 

sicurezza in Vita 

O 

P B =50% 

N ob 

γ N 

σaL50% ν fσ 

Pc =2,25% 

N L 

Gd 


aL γ σ ≡ γ N 

σ ob 

N A =N G 

σ 

σ A50% 

ν fσ 

σ A 2. 

25 

= 1, 

6 

% 

Log 10 N 

≡ 

N 

N 

L 

ob 

Tra i due vale la 

relazione 

= γ 

m 

Coefficiente di 

sicurezza in σ 

k 

N γ σ 

γ = 

NOTA BENE: nella pratica si 

utilizzano anche i coefficienti di 

sicurezza a fatica riferiti alla curva 

P B 50%, indicati come : 

ν fσ 

σ 

= 

σ 

aL50% 

≥ 

aob 

1, 

6 

Si ha dunque che 

νfσ = γm γc = 1,6 γc Se νfσ >1,6 significa che 

γm γc > 1,6 perciò 

γc = γσ >1 

Slide N°31

5.PARAMETRI DI INFLUENZA SULLA RESISTENZA A FATICA 

Parametri INTERNI o ESTERNI al pezzo possono 

influenzare la resistenza a FATICA 

Parametri INTERNI 

1. MATERIALE (R fatica ) 

2. DIMENSIONI (K d ) 

3. FINITURA SUPERFICIALE 

(K l ) 

4. FORMA GEOMETRICA (K f ) 

5. TRATTAMENTI 

SUPERFICIALI 


Parametri ESTERNI 

1. TENSIONE MEDIA 

(Haigh/Goodman) 

2. TIPO DI SOLLECITAZIONE 

(Kv ) 

3. AMBIENTE E 

TEMPERATURA (Kc ) 

4. MODALITA’ DI VARIAZIONE 

DEL CARICO (ω, f) 

5. STORIA PRECEDENTE DEL 

PEZZO (Ip. Miner) 

Slide N°32

5.Parametri Interni: MATERIALE 

Prove a temperatura ambiente, provini lisci: 

diagrammi σ R (ascissa) - σ a∞ (ordinata) 

σ a∞ =σ A-1 

σ a∞ =σ A-1 

σ R 

σ R 

σ R 


Acciai 

N A = 2 10 6 

Leghe di 

Alluminio 

R fatica 

Rapporto di fatica 

( σ ) 

a∞ 

σ 

R= 

−1 

Acciai: σa∞ varia tra il 35% 

ed il 60% del σR , 

Ghise: σa∞ varia tra il 35% 

ed il 50% del σR , 

Leghe di Al e i getti di 

Cu: σa∞ varia tra il 35% ed 

il 50% del σR , 

Stima di σ a∞ = 0.35 - 0.5 σ R , a N A = 2 10 6 

= 

R 

Slide N°33

5.Parametri Interni: DIMENSIONI 

Prove a temperatura ambiente, su provini lisci di diametro 10 mm: 

norma UNI 7670 introduce coefficiente dimensionale K d peggiorativo 

del limite di fatica σ a∞ (1≤ K d ≤ 1.5) 

σ 

a∞ 

d 

= 

σ 

d 

a∞provino 

K 


d 

d 

Interpretazione fenomeno: 

minore omogeneità materiale; 

maggiore volume sollecitato alla 

tensione massima 

d=h 

∆ 

d=t 

∆ 

Slide N°34

5.Parametri Interni: FINITURA SUPERFICIALE 

Prove a fatica su provini lisci: la norma UNI 7670 introduce 

coefficiente di finitura superficiale K l peggiorativo del limite di fatica 

σ a∞ (1≤ K l ≤ 3) 

σ 

a∞ 

= 

σ 

a∞provino 

K 

Interpretazione fenomeno: 


l 

maggiore rugosità superficiale ⇒ maggiore profondità di solchi di 

lavorazione ⇒ maggiore probabilità di propagazione cricche. 

maggiore σ R materiale ⇒ maggiore sensibilità del materiale alla 

presenza di microintagli di lavorazione 

Slide N°35

5.Parametri Interni: FORMA DEL PEZZO 

Prove a fatica su provini lisci: componenti reali con variazioni di sezione, 

fori, cave, gole. Si introduce il 

Kf = Coefficiente di riduzione di vita a fatica: 

(fatigue notch factor) 

⎛ σ ⎞ 

⎜ a 

K 

liscio ⎟ 

f = ⎜ ⎟ 

⎜ σ 

a ⎟ 

⎝ int ⎠R 

= −1e 

N = 2⋅10 

6 

E' norma corrente derivare un valore stimato di K f dal valore di K t , 

introducendo un fattore q ≤ 1 di sensibilità all'intaglio, riportato nei 

manuali sotto varie forme, secondo la relazione: 

( K 1) 

K 

f 

= 1 + q t − 

q 

= 

1 

1 + 

a 

r 


Se σ R aumenta, a dinimuisce, perciò 

q aumenta. 

Per Materiali molto resistenti q ≈ 1, 

perciò sono molto sensibili all’intaglio, 

Kf ≈ Kt 

Per r ≥ 2mm si può assumere Kf ≈ Kt 

Slide N°36

5.FORMA DEL PEZZO: effetto sulla Curva di Wohler 

La curva di Wohler di materiali duttili cambia pendenza nel caso 

di un provino con concentrazione di tensione 

σ 

a 

σR 

≈ 

K 10 (Provini lisci) 

3 6 

10 2·10 


K f 

σ liscio 

a∞ 

σ intagliato 

a∞ 

N 

σ 

σ n 

g 

K ≈3 

(Provini intagliati) 

NB: la pendenza 

varia, solo se la 

tensione nominale 

della provetta 

intagliata, σ a int è 

quella netta. 

Effetto di intaglio: ALTA influenza nella zona a vita elevata, 

BASSA influenza nella zona a fatica oligociclica 

(a causa della ridistribuzione del carico che si ha per carichi elevati) 

Slide N°37

5.Parametri Interni: TRATTAMENTI SUPERFICIALI 

Influenzano la vita a fatica per due motivi: 

1) possono modificare lo stato di finitura superficiale: sono utili se 

migliorano la finitura superficiale, dannosi se la peggiorano (VEDI Kl); 

2) inducono uno stato di tensione residua: se è di trazione peggiora 

la resistenza a fatica se è di compressione la migliora. 

I trattamenti superficiali: 

meccanici: pallinatura e rullatura; in genere migliorano la resistenza a 

fatica per induzione meccanica di uno stato di compressione. 

termici: carbocementazione, tempra, nitrurazione; in genere 

migliorano la resistenza a fatica, per induzione metallurgica di uno 

stato di compressione. 

rivestimenti superficiali: non è possibile dare indicazioni di carattere 

generale; è opportuno fare delle prove specifiche con il 

rivestimento, che a volte può peggiorare e a volte migliorare la 

resistenza a fatica. 


σ+ 

Slide N°38

5.Trattamenti Superficiali: ANODIZZAZIONE 

ESEMPIO: ANODIZZAZIONE DURA, 30 µm, su Al 6082 T6 forgiato. 

σa 

[MPa] 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

σy 

= 245 MPa 

N = 2 . 6 

10 cicli 

R σ σ k 

A, 50% 

-1.0 134,7 122,6 7,55 

-1.0 65,7 58,5 2,97 

50 

1E3 1E4 1E5 

N.cicli 

1E6 1E7 


A, 90% 

6082-Base 

6082-An 

6082-Base 

6082-An 

Confronto tra le curve di Wöhler (P s = 50%) del materiale base e 

anodizzato. Lega Al 6082 T6, prove di flessione rotante. 

ANODIZZAZIONE RIDUCE LA RESISTENZA A FATICA DI PIU’ DEL 

50% 

ANCHE CROMATURA RIDUCE LA RESISTENZA A FATICA 

Slide N°39

5.Parametri Esterni: TENSIONE MEDIA 

σmin 

R = 

σ 

Si è introdotto il Rapporto di 

sollecitazione 

σ σ m = 0 

R=-1 

"Ciclo alterno 

simmetrico" 

σ 


t 

R=0 

σ m varia con l'ampiezza 

"Ciclo oscillante dallo zero" 

t 

max 

Esiste anche un Rapporto di sollecitazione 

R* definito come: 

modulo = rapporto tra il valore minimo ed il 

valore massimo dei valori assoluti delle 

tensioni, 

segno = positivo se le tensioni sono dello 

stesso segno, negativo in caso contrario. 

σ +σR 

Definizione 

unica di R 0

5.TENSIONE MEDIA: diagramma di HAIGH 

Le curve di Woehler per σ m ≠ 0 vengono ricavate o a 

σ m = costante o ad R = costante. 

Se σ m = costante, al variare di σ a non può essere R = costante e viceversa, tranne 

che nel caso σ m = 0 per cui R = -1. 

σ 

σ a1 

N 1 

σ a2 

N 2 

σ a3 

Prove a σ m = costante 

DIAGRAMMA DI HAIGH (di sintesi) 

La coppia di valori σ mo ,σ A(σmo) 


viene a 

costituire il primo punto del Diagramma 

di Haigh nel piano σ m , σ a 

N3 σmo t 

σ a 

σ a1 

σ a2 

σ a3 

σ a 

σ A( σ mo) 

σ m=σ mo 

A 

σ A(σmo) 

N 

103 NA =2·106 N1 N2 N3 σ mo 

N=2·10 6 

DIAGRAMMA 

DI HAIGH 

σ m 

Slide N°41

5.DIAGRAMMA DI HAIGH del materiale: costruzione per punti 

Per altri valori di σ m si ricavano le curve di Wohler: le coppie di valori σ mi ,σ A(σmi) 

si distribuiscono secondo una parabola (Gerber) 

Punto notevole sull’asse delle ordinate: prova a R=-1 corrispondente a σ A-1 

Punto notevole sull’asse delle ascisse: prova a R =1 corrispondente a σ R 

Congiungendo con un segmento i due punti notevoli, si ha una stima di 

resistenza a fatica a vantaggio di sicurezza: luogo dei punti σ A (σ m ). 

Per σ m < 0, (compressione) è sperimentalmente giustificato assumere che la σ A 

di rottura sia la stessa che per σ m = 0, σ A-1 

Vale: max m a R sia per σm >0, che per σm

5.DIAGRAMMA DI HAIGH del Materiale : costruzione pratica 

COSTRUZIONE DEL DIAGRAMMA 

Noto σ R del materiale, si riporta su entrambi gli assi ottenendo una linea limite 

mai superabile ( sarebbe σ max > σ R ). 

Noto σ A-1 = 0.35÷0.60 σ R del materiale si riporta sull’asse delle ordinate 

ottenendo il punto Q. 

In genere viene imposta su provini lisci una ulteriore limitazione: nella maggior 

parte dei casi reali, interessa che il pezzo non si deformi, cioè che in esso non 

si superi la σ s . 

Il diagramma si modifica 

imponendo 

( σa 

+ σm 

) ≤ σs 

Anche per σ m < 0 si applica 

tale limitazione. 

La curva limite del 

diagramma di Haigh (in linea 

spessa) fornisce i valori di 

σ A (σ m ) per N A =2·10 6 

Punti interni a tale poligono 

hanno vita superiore a 2 10 6 


σ R 

K 

σa 

σ R 

D P 

σ 

σ S 

F 

σ S 

σ A-1 

Q 

S 

N A =2·10 6 

σ R 

σ m 

Slide N°43

5.DIAGRAMMA DI HAIGH del pezzo: costruzione pratica 

Dal diagramma di Haigh del materiale (provino) si può ricavare il 

diagramma di Haigh per il pezzo, introducendo i parametri di 

influenza interni 

Il diagramma si modifica imponendo sull’asse delle ordinate il 

σ * 

valore: 

A− 

1 

σ 

= 

K K 

d 

A−1 

l 

K 

Esiste metodo ancora più conservativo (normative americane): 

retta di Sodeberg, tra σ∗ A-1 e σ s 


f 

σ R 

σa 

σ R 

K 

σA-1 σ∗A-1 Q 

D 

Q* 

σ 

P 

σ S 

σ S 

S 

N A =2·10 6 

σ R 

σ m 

Slide N°44

5.TENSIONE MEDIA: diagramma di Goodman - Smith 

Diagramma di Goodman-Smith, come il diagramma di Haigh, è un 

diagramma di sintesi. 

Per N = cost. esprime il valore di σA in funzione della σm . In questo caso 

però tale relazione è rappresentata attraverso la σmax e la σmin . 

Costruzione analoga 

Area QPBHLICR è la area di sicurezza per N=2 106 e non superare lo 

snervamento 

F 

E 

L 

D 

G 

σmax σR 

σmin 

σS M 

H 

I 

σS σR Nicola Petrone COSTRUZIONE DI MACCHINE 

B 

σ a 

O 

σm C 

P 

R 

Q 

A 

N A =2·10 6 

σ A( σ m) 

σ m 

σ 

σ a 

Data una storia di carico è possibile 

quantificare il coefficiente di sicurezza 

per vita infinita (N A =2·10 6 ) 

ν 

fσ 

σ m 

t 

σ 

= 

σ 

A( 

σ ) 

a 

m 

Slide N°45

5.Parametri Esterni: TIPO DI SOLLECITAZIONE 

Effetto del volume di materiale soggetto alla sollecitazione 

massima 

( σa∞ 

) FL. 

R. 

K v = = 

σ 

0,8 Flessione piana 

FLESSIONE 

PIANA 

FLESSIONE 

ROTANTE 

TRAZIONE 


a) 

b) 

c) 

a∞ 

1 

1,1 

Flessione rotante 

Trazione assiale 

σ max 

Kv = 0.8 

Kv = 1 

Kv = 1.1 

Slide N°46

5.Parametri Esterni: AMBIENTE E TEMPERATURA 

L’ambiente corrosivo (acqua di mare, acidi, ecc.) peggiora la 

resistenza a fatica e causa in genere la scomparsa del limite di 

fatica negli acciai. 

La tensione σ e la corrosione si esaltano a vicenda peggiorando il 

comportamento del materiale molto di più della somma dei rispettivi 

effetti. (Tensocorrosione) 

Occorre fare prove in laboratorio simulando l'ambiente di lavoro. 

La resistenza a fatica peggiora alle alte temperature 

Per temperature basse la resistenza a fatica migliora, ma il 

materiale infragilisce. 

L'effetto della temperatura è più evidente in materiali di tipo plastico 

o nei materiali compositi a matrice polimerica. 


Slide N°47

5.Parametri Esterni: VARIAZIONE DEL CARICO 

FORMA DELLA ONDA DI SOLLECITAZIONE: non influisce sulla 

vita a fatica. 

PRESENZA DI SOSTE NELLA SOLLECITAZIONE: non influisce 

sulla vita a fatica. 

FREQUENZA DI SOLLECITAZIONE: non influisce sulla vita a 

fatica (entro certi limiti) 

Frequenza massima di prova su 

provini lisci: 200 Hz. 

Provini intagliati: riscaldamento 

locale ⇒ decadimento 

proprietà meccaniche ⇒ 

minore resistenza a fatica 

Possibilità di raffreddamento 


σ σ 

t 

t 

σ 

Slide N°48 

t

5.Parametri Esterni: STORIA PRECEDENTE DEL PEZZO 

SOLLECITAZIONI REALI: 

tensioni da lavorazioni tecnologiche 

precarichi di montaggio 

sollecitazioni di trasporto 

carichi variabili per manovre 

carichi variabili per vibrazioni 

sovraccarichi accidentali 

2000 

F (N) 

-1300 

10 Time (s) 

VEDI PARTE 7. PROGETTAZIONE A 

FATICA AD AMPIEZZA VARIABILE 


12 

Slide N°49

6. PROGETTAZIONE A FATICA AD AMPIEZZA COSTANTE 

a - Calcolo a Fatica con Curva di Wohler nota 

b - Calcolo a Fatica con Curva di Wohler non nota 


Slide N°50

6.a Calcolo a Fatica: curva nota 

E’ nota la curva di Wohler caratteristica (σ APB2,25% , k) 

Sono noti σaobiettivo (σa0 ) e nobiettivo (n0 ); 

Il coefficiente di sicurezza in tensione γσ risulta: 

σaL = ampiezza che porterebbe a rottura per no cicli 

σao = ampiezza applicata 

Il coefficiente di sicurezza 

σa 

in vita γΝ vale N L 

= 

Si dimostra che 

con k = 3 ÷ 10 

γ N 


n 

o 

( ) 

γ = 

γσ N 

k 

σ 

σ 

aL 

a0 

Ob B2,25 

α =arc tg k 

n0 NL 

γ σ = 

N 

σ 

σ 

a 

L 

ao 

Slide N°51

6.b Calcolo a Fatica: curva non nota 

PROCEDIMENTO PROPOSTO: 

1 - Costruzione del diagramma di Haigh per il materiale 

base, N A = 2 •10 6 cicli. 

2 - Modifica del diagramma di Haigh per la presenza dei 

fattori interni. 

3 - Introduzione dei fattori esterni. 

4 - Tracciamento della curva di Woehler stimata relativa al 

componente reale ed alle effettive condizioni di 

funzionamento. 

5 - Determinazione dei coefficienti di sicurezza. 


Slide N°52

6.b Costruzione del diagramma di Haigh del pezzo. 

PROCEDIMENTO PROPOSTO: 

Da σ R si stima σ A-1 = 0.35÷0.6 σ R , Ps = 50%, R = -1 (punto Q) 

Si traccia il diagramma di Haigh per il materiale base 

Si modifica il diagramma per effetto dei fattori interni 

– finitura superficiale Kl – dimensioni Kd – effetti di intaglio Kf 1 

* − 1 

−1 

= A 

d l f 

A 

K K K 

σa 

σ 

σ 

σS σΑ−1 Q 

Si traccia la curva di Haigh 

per il pezzo (punto Q*) 


σ S 

σ∗ Α 

{ 

σ∗Α−1 R = cost 

σm 

= cost 

Q* 

σm 

P S = 50% 

N=2·10 6 

σ 

S 

σ R 

σ m 

Slide N°53

6.b Introduzione dei parametri esterni: correzione di σ σ * A-1 

Si considerano i fattori σm o R esterni per determinare la resistenza a 

fatica σ∗A per N = 2 • 106 cicli e per le reali condizioni di funzionamento: si 

ottiene σ * A da σ * A-1 con σm = cost o R = cost 

CASO 1: σ m = costante (ex: veicolo con carico statico) rette verticali in Haigh 

⎛ σ 

σ * = ⋅ ⎜ 

A ( σ m ) σ * A−1 

1− 

⎝ σ 

CASO 2: R = 0 costante 

(Ex: gancio di sollevamento, 

recipiente in pressione) 

rette uscenti da O in Haigh 

A−1 

R 

A0 

σ * A−1 

+ σ R 

Si corregge eventualmente con Kv (tipo sollecitazione) 


m 

R 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

σ∗ A-1 

σa 

(R=-1) 

σ∗ A0 

(R=0) 

σ∗ A( σ m ) 

R=-1 

Q* 

R

6.b Costruzione della curva di Wohler: Wohler: 

calcolo a fatica. 

Si riporta σ∗ A per N = 2 • 10 6 ottenendo il punto A=G 

Si calcola l’ampiezza di tensione a 10 3 (punto S) a seconda che: 

CASO 1: σm = costante σ aR = σ R − σ m 

( 

CASO 2: R = costante 

1− 

R) 

σaR = σR 

2 

Si calcola la pendenza della curva di Wohler k. 

Si applica il coefficiente 1.6 per ottenere la curva caratteristica S d –G d 

(si divide sia σ∗ A che σ aR per 1.6) 

Si calcolano i coefficienti di 

Sicurezza: 

Rispetto alla curva di progetto: 

γ σ 

( ) 

γ = γσ Rispetto alla curva Ps50%: 

ν fσ 

σ 

≡ 

aL97. 

7% 

σ 

σ 

≡ 

σ 

ao 

aL50% 

ao 


N 

ν = 

k 

( ) k 

ν 

fN fσ 

σ 

σ 

σ 

σ∗ A 

a 

aR 

σ aL50% 

σ aL97.7% 

a0 

S 

d 

S 

γ σ 

10 3 

o 

n0 

ν fσ 

k 

G 

= 

G 

d 

2·10 6 

Log 

Log 

10 

10 

N 

2⋅10 

3 

10 

σ aR 

σ * 

P s =50% 

A 

6 

P s =97.75% 

Slide N°55

7. Progettazione a fatica ad ampiezza variabile 

a - IPOTESI DI MINER 

b - CALCOLO DELL’AMPIEZZA EQUIVALENTE 

c - CURVE DI GASSNER 

d - FATICA con CARICHI di tipo RANDOM 

Fenomeni STAZIONARI ED ERGODICI 

Metodi Di CONTEGGIO DEI CICLI 


Slide N°56

7.a IPOTESI DI MINER 

EVIDENZA SPERIMENTALE 

– Se si ha un'ampiezza di sollecitazione σa1 , si arriva a rottura dopo 

N1 cicli. 

– Se invece di N1 cicli se ne fanno n1 < N1 si è danneggiato il pezzo a 

cui rimane il segmento AB di vita, N1 -n1 cicli. 

Definizione di “DANNO” 

n1 

D = D = 1 ⇒ Rottura 

N 

1 

Ipotesi di Miner : 

– Se dopo N 1 cicli a σ a1 si 

applica σ a2 > σ a1 , la rottura 

avviene non a N 2 ma a n 2 cicli 

tali che: 

n 

N 


1 

σ 

σ 

a 

a2 

σa1 

A B 

N N 

n 

n1 2 

1 

1r 

n 2 

ni 

+ 1 In generale: 

Σi 

= 1 

N 

N 

1 = 

2 

i 

N 

Slide N°57

7.a IPOTESI DI MINER MODIFICATA 

σ 

σ 

a 

σa1 

a0 

A 

b) 

a) 


B 

a) allenamento (per 

sollecitazioni inferiori 

alla σ ∞ , per es. σ 

a 

a0 ) 

b) acciaccamento (per 

sollecitazioni superiori 

alla ∞ , per es. σa1 ) 

IPOTESI DI MINER MODIFICATA 

– Per storie di carico reali con cicli 

a σa > σa∞ , scomparsa del limite 

di fatica. 

– Esiste dopo G un tratto a 

pendenza modificata rispetto alla 

pendenza k iniziale, pari a 2k-1. 

σ a 

N 

Ulteriori evidenze: 

– l'allenamento (molti cicli a 

tensioni inferiori a σ a∞ ): 

leggero miglioramento vita a 

fatica. 

– l'acciaccamento (vari cicli a 

tensioni superiori a σ a∞ ): 

scomparsa limite di fatica. 

σ R 

S 

G 

σ 

a∞ 

∞ 

σ a 

7 8 

N=10 N=10 

(ampiezza costante) 

(ampiezza variabile) 

N 

Slide N°58

7.a Fatica ad ampiezza variabile A BLOCCHI 

Caso: ampiezza variabile a blocchi: 

σ 

a 

σ 

Volte che un certo valore non è stato superato 

Volte che un certo valore è stato superato 

distribuzione di probabilità gaussiana 

n 

n1 

σa1 cumulativo gaussiano 

n2 

σa2 

n3 

Si verifica se la somma dei danni 

causa rottura: 

D = ∑ Di = 1 

ROTTURA PER FATICA 

E’ possibile usare pendenza k 

per tutta la curva (conservativo). 


σ 

a3 

t 

E’ nota la curva di Wohler 

Si verifica se ciascuno dei 

blocchi causa rottura 

logσ 

n1 

n 2 

D 1 = D2 

= D3 

= 

N N 

σ 

σ 

σ 

a 

a1 

a2 

a3 

1 

n1n2n3 n 1 < N1 

k 

2 

n 2 < N2 

N N N 

1 2 3 

logN 

n 

N 

3 

3 

σa∞ 3 3 

n < N 

N 3 = ∞ 

2k-1 

Slide N°59

7.a Ampiezza variabile: ISTOGRAMMI E CUMULATIVI 

Rappresentazione a ISTOGRAMMA CUMULATIVO: 

in ascissa la somma degli n i , in ordinata la σ a , blocchi ad 

ampiezza decrescente. 

σ 

σ 

σ 

σ 

σai 

ai 

a1 

a2 

a3 

n1 n2 

n3 

n1 n 1+n3 

n 1+n 

2+n3 

Σni 

ISTOGRAMMA 

di carico 

logΣni 


Numerosi blocchi di carico: 

si passa da ISTOGRAMMA 

⇒ a CUMULATIVO 

Cumulativi normalizzati 

(semilog) 

σ 

ai 

σ 

a 

-6 n 

= 10 

n 

CUMULATIVO 

di carico 

n 

logΣn 

i 

Slide N°60

7.b AMPIEZZA EQUIVALENTE: definizioni 

Due storie di carico sono equivalenti dal punto di vista della verifica a fatica 

quando danno luogo allo stesso danneggiamento D. 

log σ 

σ 

σ 

a 

ai 

a eq 

σ 

σ = σ 

ai 

a a eq 

ni 

N 

i neq Neq 

k σai Ni σ k 

a eq Neq 

log N 


P 

=cost.= 

n 

eq 

n 

eq 

= Σ n 

i 

Σni 

⎛ σ 

⋅⎜ 

⎜ 

⎝ σ 

ai 

a1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

k 

Si conosce la curva di Wohler 

Si impone: n n 

eq 

Con σaeq = σa1 si ottiene: 

Con n eq = Σ ni si ottiene 

σ 

σ 

ai 

a eq 

N 

eq 

= Σ 

σ a eq 

= 

N 

σ 

k 

i 

i 

neq ⎟ ⎛ σ 

⎞ ai = Σ n ⋅ ⎜ i 

⎝σ 

a1 ⎠ 

a eq 

Σni 

⋅σ 

Σn 

= 

n= 

n 

k 

eq 

i 

Σn 

k 

ai 

Σn i 

Slide N°61 

i 

⋅σ 

Σn 

i 

k 

k 

ai

7.c Curve di GASSNER 

Curva analoga a quella di Wohler (σa = cost), costruita con cumulativo di 

forma prefissata, applicato a vari livelli di σamax = σa 

σai a 

σ 1 

i 

Σn n 


1 

Cumulativo ad ampiezza costante Cumulativo considerato 

σa 

σa 

k 

Curva di Wöhler 

Curva di Gassner 

per il comulativo 

considerato 

N 

1 

n 

σai 

a 

σ 

1 

E’ tracciabile una curva di 

Gassner per ogni forma di 

cumulativo di carico. 

Si assume un 

prolungamento della curva a 

pendenza k costante 

1 

Σn n 

Slide N°62 

i

7.c Curve di GASSNER: determinazione sperimentale 

Rottura del pezzo con σa 

dopo 

applicazione di N cicli totali 

Almeno 10 sottoblocchi di carico 

a istogramma ciascuno di ni 

Altre prove con stessa forma di 

cumulativo e valori diversi di σ 

log 

σai 

σa 

log 

log σ 

Σni 

n 

σai σai 

log 

a 

σa 

Σ i 

log 

n 

n 

Esempi di cumulativi possibili 

Σni 

log 

n 


a 

σai 

σa 

1 

σa 

1 

Σni 

n 

σai 

ni 

N 

maggiore gravosità 

≥ 

N 

Rottura 

Σn 

i 

10 sottobolocchi 

Determinazione sperimentale della 

curva di Gassner 

Slide N°63

7.c Curve di GASSNER: determinazione analitica 

E’ nota la curva di Wohler ad ampiezza costante. 

Si applica l’ipotesi di Miner modificata con k costante. 

E’ noto l’istogramma ed i rapporti ni n e σai 

σa 

 

 

 

Si assume σa 

e si impone che Σni 

Ni 

= 1 

Si ottiene ni 

N 

ni 

1 

Σ ⋅ = 1 → N ⋅Σ 

⋅1/ 

Ni 

= 1 → N = 

N 

n 

i N 

N 

i 1 

Σ ⋅ 

Si ripete il procedimento per un altro σ 

ottenendo n N 

a 

i 

per punti la curva di Gassner per il cumulativo considerato 

σ 

ai 

σa2 

σ 

a3 

a = σa1 σ 

n 

n 

n1 2 3 

n 

logσ a 

Σni 

N1 N2 N3 logN 


σai 

σa 

σ 

σ 

σ 

1 

a2 

a 

a3 

σa 

n n n 

n n n 

1 2 3 

1 

Σni 

n 

Slide N°64

7.d FATICA con CARICHI di tipo RANDOM 

σ 

Complessità: 

Identificazione cicli di carico 

Conteggio cicli di carico 

Effetto valori medi di tensione 

Significatività della storia di 

carico a disposizione 


t 

Obiettivo: PREVISIONE DI VITA A 

FATICA: 

Passaggio da STORIA DI 

CARICO ad ampiezza 

variabile... 

...a CUMULATIVO DICARICO 

σai 

logΣni 

Slide N°65

7.d Fenomeni Stazionari ed Ergodici 

In un percorso lungo L, si eseguono più rilevazioni. 

Caratterizzazione fenomeno in punto s i con distribuzioni 1,2,3,4,.. 

Caratterizzazione fenomeno in ciascuna rilevazione con distribuzioni 

I,II,III,.. 

f(s) 

1 2 3 4 

f(s) f(s) f(s) f(s) 

STAZIONARIO: distribuzioni 1,2,3,4 sono simili 

STAZIONARIO ed ERGODICO: distribuzioni 1,2,3,4 e I,II,III simili 


s 

s 

s 

n i 

I 

II 

III 

f(s) 

f(s) 

f(s) 

Slide N°66

7.d Fenomeni non Stazionari o non Ergodici 

Fenomeni NON STAZIONARI: se interviene una variazione 

deterministica non casuale delle condizioni di prova in varie 

rilevazioni (EX: nel percorso, un tratto sterrato+un tratto asfaltato). 

Fenomeni NON ERGODICI: se distribuzioni I,II,III,.. diverse da 

1,2,3,4..(EX.: Lo stesso tratto di sterrato percorso a diverse velocità:) 

f(s) 

(uguali) 

f(s) f(s) f(s) 


n i 

s 

s 

s 

n i 

(diverse) 

f(s) 

f(s) 

f(s) 

Slide N°67

7.d Metodi di conteggio dei cicli 

Normativa UNI 10011: METODO DEL SERBATOIO 

Valido per storie di tipo periodico 

2σ 

a1 

2σ 


σ 

1 

2 

3 

4 

a3 

2σa4 

2σa2 

1 2 

3 4 

Risultato del conteggio: 

– istogramma delle ampiezze (o dei range) 

– valori corrispondenti di tensione media. 

t 

Slide N°68

7.d Metodi di conteggio dei cicli 

1) Metodologie monoparametriche 

Metodologie che valutano un solo parametro, l'ampiezza, di ogni 

ciclo contato o ricostruito. 

– Metodo del peak-valley counting (conteggio dei massimi e dei 

minimi) 

– Metodo del level-crossing (attraversamento di livello) 

2) Metodologie biparametriche 

Metodologie di conteggio che possono valutare sia l'ampiezza che il 

valor medio dei cicli contati. 

– Metodo del range-counting (conteggio delle alternanze) 

– Metodo del rain flow counting (metodo del serbatoio, metodo range pair 

counting, pagoda roof) 


Slide N°69

7.d Metodi di conteggio MONOPARAMETRICI 

Esempio: Peak-Valley e Level Crossing 

Tensione 

0 

-2 

4 

Tempo 

-3 

Storia di 

carico 

7 

Peak Valley 

No. cicli ampiezza 

1 7,5 

1 5 

1 3,5 

1 2,5 


1 

3 

-8 

0 

-6 

4 

0 

7,5 

6 

4,5 

3 

1,5 

0 

-1,5 

-3 

-4,5 

-6 

-7,5 

-9 

Level Crossing 

No. cicli ampiezza 

1 7,5 

1 5,25 

1 3,75 

1 3 

Conteggio 

Level 

Crossing 

Slide N°70

7.d Metodi di conteggio BIPARAMETRICI 

RAINFLOW: algoritmo per storie di carico non periodiche 

a) si considera il vertice di riferimento e i suoi tre precedenti; 

b) se non vi sono tre vertici precedenti al punto di riferimento corrente si considera come 

riferimento il vertice successivo e si torna al punto a): 

c) se i valori dei vertici centrali sono compresi tra i valori dei vertici esterni, i vertici centrali 

vengono contati come estremi di un ciclo ed eliminati dalla storia di carico; quindi mantenendo lo stesso 

vertice come riferimento si torna al punto a); 

d) se non è verificato il punto c) si considera come riferimento il vertice immediatamente 

successivo e si torna al punto a). 

I resti sono contati come alternanze 

Cicli ricostruiti: 

– se il primo vertice dei due 

eliminati è di valore superiore al 

secondo: cicli ”hanging" 

– viceversa: ”standing” 

Esempio: l'alternanza tra "A" e 

"B" si elimina e si conta come 

ciclo "standing"; l'alternanza tra 

"C" e "D" si elimina e si conta 

come ciclo "hanging". 


A 

B 

C 

D 

Slide N°71

7.d Metodi di conteggio BIPARAMETRICI 

RAINFLOW: algoritmo per storie di carico periodiche 

Si ritraccia la storia di carico partendo dal massimo più alto e si procede 

nella stessa maniera del caso precedente; in questo modo si ottengono 

solo cicli. 

Risultati analoghi al metodo del SERBATOIO. 

Risultati del conteggio 

Rainflow C. (s.c. period.) 

No. cicli ampiezza valor medio 

1 7,5 -0,5 

1 3,5 +0,5 

1 3 +1 

1 3 -3 

1 1 +2 


7 

1 

3 

-8 

0 

-6 

4 

0 

-2 

4 

-3 

7 

Slide N°72

7.d Esempi di rappresentazioni 

MOTOCICLETTA STRADALE: forcellone posteriore 

3500 

3000 

2500 

2000 

1500 

RN [N] 

1000 

500 

0 

-500 

1 10 10 

-1000 

Crossings 

2 

10 3 

10 4 

1000 

Measured Spectrum 

500 

0 

1 10 10 

2 

10 

3 

10 

4 

10 

5 

10 

6 

10 

7 

Cycles 

Level Crossing forza Verticale RN Cumulativo dopo conteggio 

rainflow della sola ampiezza: 

confronto con curva di resistenza. 


2500 

2000 

1500 

RNa [N] 

Virtual fatigue curve 

100000 km 

Slide N°73

7.d Esempi di rappresentazioni 

BICICLETTA MTB: forza PE alla pedivella 

92 

N° cicli 

Salita (UPoff1) 

0 

-900 

b 

0 

∆ PE [N] 1800 900 

PEmed [N] 

Diagramma Range-Mean di PE per 

pedalata in salita. 


40 

N° cicli 

Discesa (DWoff1) 

PE 

θ + 

c 

90° 

PR 

PP 

0 

0 

-900 

∆ PE [N] PEmed [N] 

c 

1800 900 

Diagramma Range-Mean di PE per 

pedalata in discesa 

Slide N°74

8 Cenni di Progettazione a Fatica con Sollecitazioni Multiassiali 

– a - Sollecitazioni Proporzionali e NonProporzionali 

– b - Analisi fisica del fenomeno 

– c -Principali Criteri di Verifica 


Slide N°75

8.a Sollecitazioni di Fatica Pluriassiale 

Sollecitazione biassiale proporzionale 

σ,τ 

τ a 

σa 

Sollecitazione biassiale non-proporzionale 

τ 

σ,τ 

δ 

σ 


τ 

t 

t 

τ 

τ a 

σ 

a 

σ 

δ=90° 

σ 

Slide N°76

8.a Sollecitazioni di Fatica Pluriassiale 

NATURA DEL PROBLEMA: 

• variazione temporale sia del valore che delle 

direzioni delle tensioni principali; 

• coinvolgimento di un maggior numero di sistemi di 

scorrimento o di preesistenti difetti nel materiale 

policristallino rispetto alla sollecitazione uniassiale; 

• risposta ciclica del materiale diversa da quella 

uniassiale. 


Slide N°77

8.a Fatica Pluriassiale: Pluriassiale: 

Notazioni e Terminologia 

Invarianti I2 

2 2 2 

1⎡ 

= σ xy + σ xz + σ yz −σ 

xxσ 

yy −σ 

xxσ 

zz −σ 

yyσ 

zz = ⎢∑ 

2⎣ 

i , j 

Pressione idrostatica 

Tensore deviatorico 

⎡ 

Invarianti del tensore deviatorico 

= ⎢∑ 

⎣ i j 

Caso biassiale:Componenti sincrone se hanno la stessa 

pulsazione ω. 

δ sfasamento. 

J 

1 

2 

2 , 

J1 = σ xx + σ yy + σ zz −3σ 

H = 0 

⎧σ 

⎨ 

⎩τ 

() t = σ m + σ asen( 

ωt 

) 

() t = τ + τ sen( 

ωt 

−δ 

) 

m 

τ ottaedrica 


a 

σ 

H 

= ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) / 3 = I1 

/ 3 

= σ −σ 

I 

S H 

⎤ 

2 ( σ ijσ 

ij ) −I1 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

( ij ij )⎥ 

⎦ 

S S 

1 

2 

2 

τott = ( σ1− σ2) + ( σ2 − σ3) + ( σ3 −σ1) 

3 

2 

Slide N°78

8.b Fatica Pluriassiale: Pluriassiale: 

analisi fisica del fenomeno 

γ 

γ 

Evidenze sperimentali: 

γ 

σ,ε 

γ 

σ,ε 


• il danneggiamento di σ e τ fuori fase è 

maggiore di quello in fase, a parità di altre 

condizioni. 

• In torsione, la presenza di una componente 

statica di trazione riduce la vita a fatica; 

• In flessione, l'influenza di una componente 

statica di torsione sembra trascurabile; 

• L'innesco della cricca avviene per scorrimento 

ed è legato all'individuazione di un piano critico, 

con le massime ampiezze di tensione 

tangenziale. 

• La tensione normale su tale piano ha influenza 

benefica se di compressione e riduce la vita a 

fatica se di trazione. 

Slide N°79


analisi fisica del fenomeno 

RESISTENZA STATICA MULTIASSIALE 

Rottura materiali fragili: distacco di piani cristallini. 

Rottura materiali duttili: scorrimento di piani cristallini e una 

crescita di vuoti. 

RESISTENZA A FATICA MULTIASSIALE 

Il fenomeno legato ad un danneggiamento locale, in termini 

di innesco e propagazione. 

Possono variare nel tempo sia il valore che la direzione delle 

tensioni principali: è maggiore sia il numero di piani cristallini 

con valori elevati di tensione tangenziale, sia il numero di 

difetti coinvolti, aumentando la probabilità di innesco di una 

cricca dominante 


Slide N°80


linee di analisi 

Per esprimere correttamente una procedura di calcolo a fatica 

con sollecitazioni pluriassiali, si devono considerare come 

propedeutiche le seguenti linee di indagine: 

Analisi microscopica del fenomeno di innesco e 

propagazione di cricche con sollecitazioni multiassiali. 

Comportamento plastico ciclico del materiale con 

sollecitazioni multiassiali. 

Corretta formulazione del criterio di resistenza a fatica per il 

tipo di materiale in esame e per il campo di vita obiettivo. 


Slide N°81


Analisi Microscopica 

Estrusione 

Intrusione 

PSB 

Meccanismo di formazione 

delle bande di scorrimento 

plastico. 


•Evidenze sperimentali: 

microcricca trans-granulare 

microcricca inter-granulare 

Presenza di microcricche su 

un tratto di provino liscio dopo 

10 7 cicli. 

Slide N°82


Innesco e propagazione 

Superficie 

del pezzo 

Prima fase Seconda fase 

Direzione del 

carico 

Crescita della cricca secondo il 

caso A (lungo la superficie del 

pezzo) e secondo il caso B (dentro 

lo spessore del pezzo). 


Fasi del processo di crescita 

secondo il Modo I. 

Piano Critico 

Caso A Caso B 

Superficie del pezzo 

Slide N°83


Analisi Microscopica 

Materiale policristallino 

ε 

ε 

Grano sfavorevolmente orientato. 

I piani di facile scorrimento sono 

inclinati rispetto alle 

deformazioni imposte. 


µγ 

Min 

Z 

D 

H 

N 

E 

µτ 

0 

I 

M 

µγ Max 

Evoluzione della curva ciclica 

elastoplastica per monocristallo in 

controllo in deformazione. Dopo un certo 

numero di cicli la deformazione viene 

assorbita tutta in regime elastico: 

ADATTAMENTO (shake-down). 

A 

G 

P 

C 

Z 

Q 

L 

F 

B 

(Stato adattato) 

µγ 

Slide N°84


modelli di plasticità plasticit 

σ ⎛ σ ⎞ 

ε = + ⎜ ⎟ 

E ⎝ K' ⎠ 

Curva ciclica stabilizzata Monoassiale 

•Variazione della curva ciclica stabilizzata 

pluriassiale in termini equivalenti per 

sollecitazioni non proporzionali. 

γ 

3 

b 

K' np 

a 

ε 


= 

1 

n' 

K' 

( 1+ 

αF) 

(0 ≤ α ≤ 1) 

b 

F = (0 ≤ F ≤ 1) 

a 

ε 

eq 

σ 

= 

E 

eq 

⎛ σ eq ⎞ 

+ ⎜ 

K' 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Curva ciclica stabilizzata Pluriassiale 

σ eq 

1 

n' 

non 

proporzionale 

proporzionale 

ε eq 

Slide N°85

8.c CRITERI DI RESISTENZA A FATICA PLURIASSIALE 

PARAMETRI DI COMPARAZIONE dei criteri di verifica: 

– 1. Campo di applicazione: 

• progettazione a vita infinita (N>107 ), a vita a termine 

(104

8.c CRITERI DI RESISTENZA per fatica pluriassiale 

Primi approcci al problema: 

– estensioni dei criteri di resistenza statici (Tresca e Von Mises) 

a sollecitazioni di fatica; 

Successivi sviluppi: 

–"approccio empirico" 

• Ricerca di una relazione applicativa tra i parametri sperimentali di una 

serie di prove, in condizioni di carico generalmente biassiali 

(Formulazione in σ). 

– Gough, Pollard ('35), Nishihara e Kawamoto ('44), Son Book Lee ('85). 

–"approccio teorico". 

• L'aspetto teorico consiste nella individuazione della grandezza fisica 

la cui fluttuazione nel tempo è ritenuta causa del danneggiamento 

interno del materiale. (Formulazione in σ o in ε ). 


Slide N°87

8.c CRITERI DI RESISTENZA per fatica pluriassiale 

”Approccio teorico". Generalmente sviluppati per il triassiale e 

particolarizzati al biassiale. 

– criteri basati sugli invarianti delle tensioni [Sines ('55) - 

Crossland ('56)] (Formulazione in σ); 

– criteri basati sull'individuazione di un piano critico [Mc Diarmid 

('73) [σ] - Socie ('85) [ε]]; 

– criteri basati sull' approccio microscopico [Dang Van ('73) - 

Papadopulos ('93)] (Formulazione in σ); 

– criteri basati su grandezze di tipo energetico [Ellyin ('85)]. 


Slide N°88

8.c Criterio di Gough e Pollard [approccio in σ - vita infinita] 

Equazione della curva "a quarto di ellisse" per materiali DUTTILI 

⎛ σ 

⎜ 

⎝ σ 

Equazione della curva "ad arco di ellisse" per materiali FRAGILI. (o 

componenti intagliati) 

τ a 

τ At-1 

τ a 

⎛ τ 

⎜ 

⎝ τ 

a 

⎛ σ 

+ ⎜ 

⎝ σ 

At−1Af 

−1 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

quarto di ellisse(duttili) 

σ a 

σ Af-1 

a 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

a 

2 

⎞ τ 

⎟ + 

⎠ τ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a 

Af −1At−1 2 

arco 

di ellisse 

(fragili) 

⎛ σ 

⎜ 

⎝ τ 

σ a 

Af −1 

2 

⎞ 

⎟ ≤ 1 

⎠ 

⎞ ⎛ σ ⎞ ⎛ 

a σ ⎞ 

Af − 

− ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ 

⎜ ⎟ − ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝ τ ⎠ 

≤ 

1 

1 2 1 

At−1 

Af −1 

At−1 

DUTTILI ( mild ) FRAGILI ( hard ) 

σ Af −1 

H = ≥ 

τ 

H 

σ Af −1 

At−1 

3 12 . < = < 3 

τ 

At−1 

Slide N°89

8.c Criterio di Gough e Pollard: Pollard: 

applicazioni. 

σ Af σ Af 

σaeq , ( σa) 

τa 

τ 

= +⎛ 

APPLICAZIONI: Equazione della curva "a quarto di ellisse" anche per 

componenti intagliati 

2 

2 −1 

⎞ 2 −1 

⎜ ⎟ ≤ 

⎝ ⎠ 


At−1 

γ mσ 

Calcolo delle grandezze limite per componenti intagliati: 

pezzo o σ Af −1 

σAf −1 

≡ σ Af − = 

K K K 

( ) 

1 ( ) 

ff d l 

H 

2 

= ⎛ 

⎜ 

⎝ 

σ 

Af 

τ 

pezzo 

s 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

τ ≡ τ = 

2 

At−1 pezzo o 

At−1 

τ At−1 K K K 

ft d l 

Procedimento semplificato per componenti intagliati (UNI 7670): 

o 

2 2 2 σ Af 

aeq a a 

γ mσ 

σ , σ H τ 

= + ≤ 

Caso con τ costante (albero di trasmissione): 

Slide N°90

8.c Criterio di Crossland [approccio in σ - vita infinita] 

Stato di sollecitazione triassiale 

Il criterio vale per un verifica a vita infinita con sollecitazioni 

sincrone anche fuori fase. 

Relazione lineare tra l'ampiezza di fluttuazione della tensione 

tangenziale ottaedrica e il valore massimo della pressione 

idrostatica. 

τ + a σ ≤ b 

a 

ott, a H,max 

= 

⎛ 

2 ⎜ 

⎝ 

τ A −1 

⎞ 

3 −1⎟ 

σ A −1 

⎠ 

= 

6 

τ 

3 

−1 

b A 


τ ott,a 

b 

Campo di sicurezza 

retta limite 

τott,a = - a σ + b 

H,max 

σ H,max 

Slide N°91

8.c Criterio di Crossland 

Nel caso di uno stato di sollecitazione con direzioni 

principali fisse, le due grandezze risultano: 

1 

2 

2 

τott, a = ( σ1, a − σ2, a ) + ( σ2, a − σ3, a ) + ( σ3, a −σ1, 

a ) 

3 

σ 

H,max 

⎛ σ1( t) + σ2( t) + σ3( 

t) 

⎞ 

= max⎜ 

⎟ 

t ⎝ 3 ⎠ 

Nel caso di sollecitazione più generale, con componenti 

generiche e sfasate, il termine τ ott,a viene definito in maniera 

più complessa: 

τ ott a 

1 ⎡ 

, = max max − : − 

3 t1 ⎣⎢ t2 


[ St ( 1) St ( 2) ] St ( 1) St ( 2) 

[ ] 

con t1 e t2 generici istanti del ciclo di carico) 

⎤ 

⎦⎥ 

2 

Slide N°92

8.c Criterio di Dang Van [approccio in σ - vita infinita] 

Approccio microscopico 

Relazione lineare tra la tensione tangenziale risolta 

microscopica e la pressione idrostatica istantanee. 

Valido per storie di carico non periodiche con un percorso di 

carico qualsiasi. 

a 

= 

() 

µτ t < b−a⋅ σ () t 

τ 

At−1 

σ 

− 

2 

σ Af −1 

3 

Af −1 

H 

b = τ At−1 


µτ 

b 

Campo di sicurezza 

− b 

retta µτ = − a σ + b 

H 

σ H 

= b 

a 

retta µτ = aσ H 

− b 

Slide 7.c.93 

σ H 

Slide N°93

8.c Criterio di Papadoupoulos [approccio in σ - vita infinita] 

Approccio microscopico: espressione matematica in termini 

di grandezze microscopiche del valore della deformazione 

plastica cumulata che corrisponde all'adattamento. 

Si definisce: 

–Tσintegrale della deformazione plastica cumulata su un 

piano particolare - piano critico. 

–Mσ integrale della deformazione plastica cumulata 

sull'intero volumetto intorno a P 

Due formulazioni del criterio distinte per tipo di materiale,: 

– materiali duttili utilizzando l'integrale Tσ 

– materiali fragili l'integrale Mσ 


Slide N°94

8.c Criterio di Papadoupoulos 

Per materiali fragili, relazione particolarizzata al caso di 

sollecitazione biassiale di flessione e torsione, anche fuori 

fase: 

⎛ τ 

a 

⎜ 

⎝τ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛ 

⎜ 

σ a + 

⎜ 

⎝ σ 

Af −1 

Equazione molto simile all'equazione ad arco di ellisse di 

Gough e Pollard, che era stata ottenuta empiricamente e 

considerata valida solo per sollecitazioni in fase. 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 σ 

3 τ 

⎞ ⎛ 

1⎟ 

+ ⎜ 

σ a − 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ σ Af 

⎞⎛ 

⎟⎜ 

2 − 

⎟⎜ 

⎠⎝ 

At −1 Af −1 

At −1 

−1 

At −1 

2 

3 

σ 

τ 

Af −1 

⎞ 

⎟ = 1 

⎟ 

⎠ 

Slide N°95

8.c Criterio di Fatemi-Socie 

Fatemi Socie [approccio in ε - vita a termine] 

Studio di innesco e propagazione di cricche fino alla 

dimensione di 1 mm in provini tubolari sollecitati in trazione e 

torsione in controllo di deformazione. 

La direzione di propagazione è legata al piano di massima 

deformazione di taglio che sperimenta anche la massima 

tensione normale. 

La vita a fatica è influenzata dalla tensione normale massima 

presente su tale piano, con un effetto di riduzione della vita se il 

segno è di trazione. 

γ 

γ 

γ 

σ,ε 

γ 

σ,ε 

MODO II 


Slide N°96

8.c Criterio di Fatemi-Socie 

Fatemi Socie 

γ 

γ 

γ 

σ,ε 

γ 

σ,ε 

σ,ε 

σ,ε 

MODO II 

MODO I 


∆γ 

⎛ σ ⎞ 

max ⎜ n, max τ 'f 

1+ 

k ⎟ = 

2 ⎜ σ ⎟ 

⎝ 

y ⎠ G 

f N 

c 

σ ' f 

τ ' f = 

3 

γ ' f = 3ε 

' f 

σ 

n, max 

∆ε 

2 

max 

σ ' 

= 

E 

2 

f 

( ) ( ) γ 

γ b 

2N 

+ γ ' 2 

k/σ y = sensibilità del materiale alla tensione 

normale (si può assumere k=1 e σ y = σ ' f .) 

2b ( 2N) 

+ σ ' ε ' ( 2N) 

f 

f 

b+ 

c 

Slide N°97

8.c Criterio di Ellyin [approccio in ε - vita a termine] 

∆W t = ∆W p + ∆W e+ 

W t 

ρ 

− C = 

C, k e α costanti del materiale 

 

determinate da prove monoassiali. 

C = quota di energia non danneggiante, 

densità di energia elastica positiva al 

limite di fatica. 

ρ = fattore di costrizione multiassiale, 

funzione dello stato di sollecitazione. 

∆W 

t 

= ∆W 


∆ 

p 

+ ∆W 

e+ 

k 

N 

α 

⎛1 

− n' ⎞ b+ 

c 

= 4σ 

'f 

ε'f 

⎜ ⎟ ( 2N) 

+ 

⎝1 

+ n' ⎠ 

σ ' 

2 

f 

( 2N) 

2E 

2b 

Slide N°98

8.c Bibliografia 

Suresh S., “Fatigue of materials”. Cambridge University 

Press, Cambridge, 1991. 

Ellyin F., “Fatigue Damage, Crack Growth and Life 

Prediction”, Chapman & Hall, 1997. 

D.F. Socie, G.B. Marquis, “Multiaxial fatigue”, SAE 

International, 2000. 

Papadopoulos, I.V., 1998, “Critical Plane Approaches in High- 

Cycle Fatigue: on the Definition of the Amplitude and Mean 

Value of the Shear Stress Acting on the Critical Plane”. 

Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, No 

21, pp. 269-285. 


Slide N°99

9. APPLICAZIONI 


Il calcolo a fatica in σ : 

Esempi applicativi 

Slide N°100

9.1 Esempi di calcolo a fatica per vita infinita 

Sia dato l’assale ferroviario rappresentato in figura, con i due sopporti a cuscinetti di estremità 

collegati al carrello. Sulle due ruote agiscano le forze verticali simmetriche PV rappresentate in 

figura ed una forza laterale P L applicata alla sola ruota destra come in figura. 

Si calcoli il momento flettente presente sull’assale ai punti notevoli B e C. 

Noto il diametro dell’albero e la geometria del tratto di collegamento delle ruote, trascurando le 

tensioni dovute ai carichi assiali e l’effetto di un eventuale calettamento, si valuti il coefficiente di 

resistenza a fatica per vita infinita. 

A 

Le 

B C 

Li 

ω 

DR 

PV PV 


Le 

D 

PL 

SOLUZIONE: 1) νf = 1.723 

d 

r 

D 

r 

DATI: 

Li = 2000 mm Le = 250 m 

D R = 800 mm P V = 100 kN 

P L = 40 kN 

σsn = 390 Mpa τsn = 225 Mpa 

σA∞ = 315 Mpa τA∞ = 180 MPa 

Kd = 1,4 Kl = 1,15 

d = 180 mm D/d = 1.2 

r = 18 mm 

Slide N°101

9.1 Esempi di calcolo a fatica per vita infinita 

L'albero in figura è realizzato in acciaio 35CrMo4 e presenta un intaglio ad U circonferenziale. 

Si considerino le due condizioni di carico: 

I- albero rotante, F =costante, Mt variabile con rapporto di ciclo R=-1 

II-albero fermo, F variabile tra +F e 0 e Mt=costante. 

Si determini per il I caso di carico il valore del diametro D tale da garantire un coefficiente di 

sicurezza a fatica νf = 1.5 per vita infinita e si calcoli poi il relativo valore del coefficiente di 

sicurezza statico νs rispetto allo snervamento. 

Per il II caso di carico si calcoli invece il valore del coefficiente di sicurezza a fatica νf per una 

vita di 4·10 

r 

F 

d D 

M 

t 

l 

5 cicli, utilizzando il valore del diametro calcolato in precedenza. 

DATI: 

σR = 800 MPa σp,0.2 = 665 MPa 

σA,R=-1 = 440 MPa τA,R=-1 = 250 MPa 

Mt = 400 Nm F = 2000 N 

l = 150 mm D/d = 1,3 

r/d = 0,2 kl = kd = 1,1 


SOLUZIONI: 

D = 39,7 (mm) νs = 4,05 

νf(4·10 5 ) = 3,88 (solo flessione), 3,32 (flessione e torsione statica) 

Slide N°102

9.2 Esempi di calcolo a fatica per vita a termine 

Il gancio schematizzato in figura è realizzato in acciaio con forgiatura di precisione. Utilizzando 

i valori forniti dai diagrammi della UNI 7670, e sapendo che il gancio alza per 25 volte al 

giorno un carico pari a P, si determini la durata in giorni del gancio. Si esegua inoltre la verifica 

statica della sezione B-B. 

DATI: 

B 

P 

r g 

B 

A 

h 


A 

b 

d 

rg = 60 mm 

h = 30 mm 

b = 30 mm 

d = 30 mm 

Kl = 1.5 

Kd = 1.17 

P = 13 kN 

σR = 580 MPa 

σS = 450 MPa 

SOLUZIONE: Ngiorni = 2091 

Slide N°103


Il manubrio per bici mountain bike rappresentato in figura è realizzato con un tubo in acciaio 

35CrMo4. 

Nella prova a fatica esso è sollecitato dalle forze F 1 rappresentate in figura variabili con un ciclo 

alterno simmetrico. 

Si determini il valore del diametro esterno De del tubo alla sezione 1-1 in maniera tale da 

garantire un coefficiente di sicurezza a fatica γ σ= 1.5 per vita del componente pari a 10 5 cicli. 

F1 

a 

1 

1 

L 

F1 

-F1 

SOLUZIONE: Demin = 23,5 mm 


-F1 

F1 

DATI: 

σ R = 750 MPa 

σ p,0.2 = 665 MPa 

σ A,R=-1 = 440 MPa 

F 1 = 500 N 

L = 450 mm 

a = 210 mm 

Di/De=0,9 

Kl =1,2 Kd =1,1 Kf =1,5 

Slide N°104


1,0 

0,8 

0,6 

0 

Una piastra saldata è soggetta alla ripetizione ciclica della storia di carico riportata in figura. 

Dato il valore F, si determini il numero di ripetizioni "Nr" della storia riportata che il particolare 

può sopportare garantendo secondo la norma UNI 10011/88 una probabilità di sopravvivenza 

pari a 2 deviazioni standard. Il particolare è di categoria 90, e presenta uno spessore t e una 

larghezza "w". 

-0,2 

F 

Tempo 

F 

∆ 

SOLUZIONE: Nr = 3 10 6 ripetizioni 


w 

t 

F 

∆ 

Dati: 

F = 170,6 kN 

t = 30 mm 

w = 100 mm 

Slide N°105


Una mola con utensile abrasivo avente coefficiente di attrito µ , è realizzata come indicato in 

figura. L’utensile ruota ad una velocità di rotazione n ed è ripetutamente soggetto ad una 

lavorazione che genera dei carichi come indicato in figura. Tale lavorazione dura 6 secondi e 

genera una forza FN diretta come in figura, costante per tale intervallo di tempo. 

Considerando la resistenza a fatica della sezione di spallamento del cuscinetto, si calcoli quante 

lavorazioni può sopportare il sistema con un coefficiente di sicurezza a fatica γ σ. 

Z 

r 

D d 

Y 

X 

n 

100 

FT 

30° 

20 

FN 

Pezzo 


200 

SOLUZIONE: N° lavorazioni = 5714 

Z 

n 

FN 

Y 

FT 

X 

DATI: 

n=1500 giri FN = 230 N 

σR = 640 MPa, τR = 370 MPa 

σsn = 420 MPa, τsn = 242 MPa, 

σA∞ = 320 MPa, τA∞ = 184 MPa, 

Kl = 1,15 D = 19 mm d = 15 mm r = 0.6 mm 

Coefficiente di attrito µ = 0.8 

γσ = 1,5 

Slide N°106

Bande di Dispersione: esempio Saldature 

GIUNTI SALDATI: procedimenti tecnologici, geometrie locali e stati 

residui di tensione determinano un comportamento caratteristico: 

– 1) La pendenza del tratto inclinato della curva di Wöhler può essere 

assunta costante per classi di materiali: acciai k = 3.5 - leghe leggere k 

= 4. 

– 2) La dispersione dei risultati può ritenersi costante per classi di 

materiali acciai T σ = 1,35 - leghe leggere T σ = 1,55 . 

•Acciai 


•Leghe 

leggere 

Slide N°107

Bande di Dispersione: esempio Saldature 

I parametri che più influenzano la resistenza a fatica delle strutture 

saldate sono: 

• a) la forma del giunto 

(classi di normativa 10011) 

• b) le dimensioni assolute 

del giunto, (effetto scala). 

σ = σ 

4 

a ao 

to 

t 

– Altri parametri hanno una influenza molto inferiore sulla resistenza: 

• a) il tipo di materiale (all'interno di una stessa classe) 

• b) il rapporto di sollecitazione R (a causa delle elevate tensioni residue presenti). 


Slide N°108

Prove a fatica su componenti: criteri generali di carico 

IN GENERALE: considerare gli eventuali standard di prova 

ANALISI FISICA delle azioni di carico nel componente 

IDENTIFICAZIONE della criticità da evidenziare 

QUANTIFICAZIONE del numero corretto di CARICHI 


X 

H 

45° 

P 

45° 

Slide N°109

Prove a fatica su componenti: criteri di carico 

Riduzione del numero di CARICHI di prova indipendenti = canali 

di CONTROLLO della macchina 

Asse di sterzo 

Asse verticale 

HRFz 

HRFx 

Mtz 

HLFz 

HLFx 


F 

Mtx 

z 

y 

x 

EX: FLESSIONE + TORSIONE riprodotte correttamente; 

direzioni di carico CONVENZIONALI. 

Slide N°110

Prove a fatica su componenti: criteri di carico 

REALTA’: componenti di carico orizzontali e verticali ad 

ampiezza variabile 


40 

v = 25 km/h 

600 

720 

210 

FX 1200 

Load cell 

100 

[MPa] 

-60 

100 

[MPa] 

-60 

80.5 

Sample 

82.5 

DT-sigma 

TT-sigma 

Equivalenza 

tensioni locali 

PROVA: sistema 

semplice di carico 

e vincolo 

Slide N°111

Prove a fatica su componenti: Criteri di rottura 

Prove in controllo di Forza: 

ROTTURA = 

RIDUZIONE DELLA 

RIGIDEZZA DEL PROVINO 

K/Kini 

1.1 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

a=7.13mm 

a=9.83mm 

Asx 

a=14.23mm 

0.4 

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 

numero di cicli 

a=17.81mm 

a=20.28mm 

a=21.49mm 

a=21.58mm 

a=21.81mm 


Prove in controllo di 

spostamento: 

ROTTURA = 

RIDUZIONE DEL 

CARICO APPLICATO 

T/To 

1,1 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

Curve di cedimento provini T6 e T12 

a = 1 mm 

T12 Nf = 2333169 

T6 Nf = 440 

a > 8 mm 

0,5 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

N/Nf 

ROTTURA = Lunghezza di cricca tecnica (NB: misura!) 

Slide N°112

Prove a fatica su componenti: esempi 

R 25 

95 

φ 7,5 

4 12 4 5 10 25 10 5 20 

φ 12 


BRACCIO 

gruppo B 

GAMBO 

gruppo A 

Prove su COMPONENTE: 

Prove di rottura a fatica a diversi 

livelli di carico per tracciatura Curva a 

fatica P-N di forcelle 

Prove su Materiale tratto 

da COMPONENTE: 

Prove di fatica σ-N sul 

materiale per confronto tra 

diverse posizioni di 

estrazione provini. 

Slitta 

Cella di 

carico 

N 

T 

Forcella 

Slide N°113

Lucidi Progettazione a Fatica - Ingegneria Meccanica

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