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Alla ricerca di pi greco
Introduzione
La determinazione della costante che esprime il rapporto tra la lunghezza di
una circonferenza e la lunghezza del suo diametro è un argomento che
attraversa il corso della storia umana intrecciando matematica, letteratura ed
arte. Alla risoluzione di questo problema si sono dedicati in ogni epoca molti
matematici di culture e paesi differenti, come illustrato nella seguente tabella
tratta da [1]:
periodo valore autore
2000 a. C. 3+1/8 Babilonesi
2000 a. C. 256/81 Egizi
1100 a. C. 3 Cinesi
550 a. C. 3 Antico Testamento
300 a. C. 3+10/71

Pi greco è costante?
Quando si comincia a parlare di π agli studenti conviene domandar loro per
quale motivo il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e la lunghezza del
diametro non dipenda dalla particolare circonferenza considerata. Agli studenti
la costanza di tale rapporto appare come una verità talmente ovvia da non
aver bisogno di essere dimostrata. Se poi si chiede loro di fornire una
motivazione della costanza di tale rapporto,
si ricevono due tipi di risposte: a)
che è costante perché tutte le grandezze
geometriche sono proporzionali; b) che è
costante perché la circonferenza è il luogo
dei punti equidistanti da un punto dato. Per
confutare queste credenze basta disegnare
su una superficie sferica la circonferenza
ABC, avente P come centro e come raggio
l’arco PA, osservando che, detto λ l’angolo
AOP, risulta circ/diam=πsinλ/λ.
In particolare, per la circonferenza
alla
latitudine di 30°, tale rapporto vale 3, mentre per la circonferenza equatoriale
tale rapporto vale 2.
Una argomentazione non rigorosa, adatta a studenti del biennio della scuola
superiore, per motivare la costanza del rapporto tra lunghezza della
circonferenza e la lunghezza del diametro è la seguente: la lunghezza del
perimetro di un poligono (non necessariamente regolare) inscritto nella
circonferenza è proporzionale alla lunghezza del diametro della circonferenza
(a ciò si perviene scomponendo il poligono in triangoli). Pertanto, se ciò è vero
per i perimetri di tutti i poligoni inscritti, é plausibile che sia vero anche per la
lunghezza della circonferenza. Considerando i numeri fissi relativi ai poligoni
regolari (ricordate le tabelle in fondo al quaderno a quadrettatura rossa dalla
pesante copertina nera, odoroso di inchiostro?) ci si aspetta che pi greco sia un
loro analogo relativamente alla circonferenza.

Inoltre, se la formula A=pa/2 vale per il calcolo dell'area A di un poligono
regolare di perimetro p ed apotema a avente qualsivoglia numero di lati, pare
plausibile che l'area del cerchio possa calcolarsi con la medesima formula ove
si sostituisca al perimetro la lunghezza della circonferenza e all'apotema il
raggio, ottenendo la nota formula A=πr 2 .
Il metodo di Archimede
Tra tutti i matematici dell’antichità Archimede fu l’unico ad elaborare un
metodo per il calcolo di π che si avvicina sia nel rigore argomentativo che nella
precisione del risultato a quelli moderni. Detto metodo, presentato in [2], può
essere illustrato anche a studenti del biennio e si presta ad uno sviluppo in
termini computazionali concreti da realizzare in laboratorio di informatica.
Siano ln, Ln le lunghezze dei lati dei poligoni regolari di n lati rispettivamente
inscritti e circoscritti alla circonferenza di raggio
unitario. Se AC rappresenta il lato del poligono
inscritto di n lati e AB il lato del poligono inscritto
di 2n lati, risulta l2n 2 =(ln/2) 2 +BH 2 ; BH=1–OH;
OH 2 =1–(ln/2) 2 da cui segue
l = 2 − 4 − l Per
facilitare il calcolo, definiamo la successione
2
ausiliaria cn= 1 − l / 4 che rappresenta l'apotema
n
del poligono regolare inscritto di n lati,
osservando che essa soddisfa la semplice legge di ricorrenza = ( 1 + c ) / 2
2n
2
n
c 2 n
n
che coincide con la formula di bisezione del coseno; se pn indica il
semiperimetro del poligono inscritto, risulta
p 2n =2pnl 2n /ln=pn/c 2n ; per quanto riguarda il
poligono circoscritto, dalla similitudine dei
triangoli AOB e COD segue Ln=ln/cn; allora il
semiperimetro del poligono circoscritto vale
q n =p n /c n .

Partendo dall'esagono, si hanno le seguenti condizioni iniziali: c 6 =√3/2; p 6 =3.
Con l’uso di una calcolatrice o del foglio elettronico si arriva al risultato di
Archimede, illustrato nell’ultima riga della tabella seguente
n lati c(n) p(n) q(n)
1 6 0,866025404 3 3,464101615
2 12 0,965925826 3,105828541 3,215390309
3 24 0,991444861 3,132628613 3,159659942
4 48 0,997858923 3,139350203 3,146086215
5 96 0,999464587 3,141031951 3,142714600
I metodi moderni - Newton
Il metodo di Archimede permette di calcolare quante cifre decimali si vogliono
di π. Ma, nonostante un perfezionamento dovuto a Snell, (cfr. Archimede LII,
2/2000, 88 – 93) questo metodo risulta poco efficiente, nel senso che la
convergenza delle successioni p(n) e q(n) a π risulta essere assai lenta. La
stessa difficoltà grava sulla formula pubblicata da Viète nel 1593
2
=
π
1
2
1
2
+
1
2
1
2
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
1
2
K
che forse rappresenta il primo esempio di prodotto infinito, e da quella
pubblicata da Wallis nel 1655
π
2
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
⋅K
7
che ne rappresenta un esempio classico.
Le prime formule efficienti furono trovate da Newton nel 1666, come illustrato
in [3c]. Egli fece uso del calcolo integrale e degli sviluppi in serie per
dimostrare che
3 ⎛ 1 1 1 1 ⎞
π = 3 + 24⎜
− − − − K
5
7
9 ⎟
4 ⎝12
5 ⋅ 2 28 ⋅ 2 72 ⋅ 2 ⎠
La dimostrazione di questa formula può
essere proposta a studenti del triennio
della scuola superiore. Consideriamo la
circonferenza di centro O e raggio r
circoscritta ad un triangolo equilatero

ABC; risulta πr 2 =area(ABC)+6area(HBD) essendo area(ABC)=3√3r 2 /4. Per
determinare l’area della regione HBD si fissi un riferimento di origine D e asse
x coincidente con DA. Le coordinate del punto O sono (r; 0); quelle del punto H
sono (r/2; 0). L’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC
risulta essere x 2 +y 2 −2rx=0 onde segue
r / 2
area(HBD)= ∫
0
2rx
− x
2
dx
Con la sostituzione t=x/2r si ottiene
1/
4
2
2
area(HBD)= 4r ∫ t − t dt
onde risulta
π
=
3
4
1/
4
3 + 24 ∫ t − t
0
0
2
dt
L’integrale che compare in questa formula si riconduce all’integrale del
quadrato del coseno con la sostituzione t=(1+sinθ)/2; risulta
∫
2 1 2 1
t − t dt = ( 2t
−1)
t − t − arcsin( 1 − 2t)
4
8
Espandendo la funzione in serie intorno allo zero, otteniamo
∫
t − t
2
2
dt = t
3
3
2
1
− t
5
5
2
−
1
28
t
7
2
−
1
72
t
9
2
−
5
704
dalla quale, sostituendo ¼ al posto di t, risulta la formula di Newton.
Calcolando solo i primi quattro termini della serie si ottiene 3,1416... con tre
cifre decimali corrette. Ne risulta evidente la praticità ai fini del calcolo
t
11
2
− K
effettivo, rammentando che ai tempi di Newton non c’erano calcolatrici!
I metodi moderni – Gregory
Nel 1671 James Gregory determinò lo sviluppo in serie di potenze della
funzione arcotangente
3
x
arctan( x ) = x −
3
+
5 7
x x
−
5 7
+ K
e tre anni dopo Leibniz la applicò per ricavare una delle più belle formule
matematiche

π 1
= 1 −
4 3
+
1
5
−
1
+ K
7
purtroppo inutile ai fini pratici del calcolo in quanto troppo lentamente
convergente. Una formula efficiente fu trovata nel 1706 dal matematico inglese
John Machin ed è la seguente, richiamata in [1] e [3a]
π
4
⎛ 1 ⎞ ⎛
= 4 arctan⎜
⎟ − arctan⎜
⎝ 5 ⎠ ⎝
1 ⎞
⎟
239 ⎠
Usando lo sviluppo in serie dell’arcotangente Machin arrivò a calcolare
correttamente le prime 100 cifre decimali di π. A metà del 1700 Eulero derivò
molte formule analoghe alla formula di Machin per calcolare π ed altri sviluppi
in serie; tra essi si evidenzia per la sua eleganza il seguente
π
6
2
1 1 1 1
= + + +
2 2 2 2
1 2 3 4
+ K
La più semplice formula di tipo Machin è
π
4
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
= arctan⎜
⎟ + arctan⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠
che può essere dimostrata guardando la figura
Tenendo presenti le relazioni che l’analisi complessa istituisce tra le funzioni
trigonometriche e le funzioni esponenziali, non sorprende che una serie
analoga alla serie di Gregory-Leibniz esprima il logaritmo Neperiano di due
1
ln( 2)
= 1 −
2
+
1
3
−
1
+ K
4
sebbene, a differenza di quanto accade con π, il calcolo numerico della costante
di Nepero non offre nessuna difficoltà, data la rapida convergenza della serie
che la esprime
1
e
= 1 +
2!
+
1
3!
+
1
4!
+ K

Una formula approssimata
Una dimostrazione relativamente semplice della irrazionalità di π si può trovare
nel testo Introduction to Number Theory di Hua Loo Keng, Springer-Verlag,
New York, 1982 e può essere presentata nell’ambito di un corso di eccellenza
anche a studenti di scuola secondaria superiore. La dimostrazione della
trascendenza di π risulta invece troppo difficile; si può comunque informare gli
studenti sull’impossibilità di rettificare la circonferenza usando riga e
compasso. Un utile esempio, presente in [3b], è la costruzione approssimata
elaborata dal matematico polacco Kochansky nel 1685, la cui analisi permette
di formulare la seguente equazione
9x 4 −240x 2 +1492=0
una soluzione della quale approssima π con un errore inferiore a 6⋅10 -5 .
La costruzione di Kochansky per rettificare in modo approssimato la
circonferenza è la seguente: sia data una circonferenza α di centro O e raggio
uno. Sia AB un suo diametro ed r la perpendicolare ad AB passante per B. Con
centro in B si tracci una circonferenza β con lo stesso raggio di α; sia C una
intersezione di β con α. Con centro in C si tracci una circonferenza γ, sempre
con lo stesso raggio, che intersechi β in D. Sia E il punto di intersezione tra il
segmento OD e la retta r; si riporti il raggio tre volte a partire da E verso B fino
a portarsi in H. Allora 2AH approssima la lunghezza della circonferenza α.

Analizzando la costruzione si trova facilmente che
40
AH= − 12 =3,141533...
3
Evidentemente, se fosse possibile rettificare la circonferenza usando riga e
compasso, allora π sarebbe la radice di una qualche equazione algebrica.
Qualche formula recente
Una svolta nel calcolo delle cifre di π si deve all’intuito di Ramanujan (1887-
1920) che, come la maggior parte dei matematici, non resistette alla
tentazione di esplorare π. Per avere un’idea delle formule di Ramanujan basta
considerarne una, tratta da [3c]:
1
π
∑ ∞
n=
= 0
⎛2
⎜
⎝
3
n⎞
⎟
n ⎠
42n
+ 5
2
12n+
4
Sommando i primi tre termini di questa serie
5
16
47
+ +
8192
2403
33554432
e prendendo il reciproco del risultato si ottiene un numero razionale che
differisce da π per meno di 10 -5 .
Infine, nel 1996 Simon Plouffe, Peter Borwein e Jonathan Borwein [3d]
derivarono una formula che sorprendentemente permette di calcolare
l’ennesima cifra esadecimale di π senza conoscere le precedenti. La formula è
la seguente
∑ ∞
⎛ 4 2 1 1 ⎞⎛
1 ⎞
π = ⎜ − − − ⎟⎜
⎟
n=
0 ⎝ 8n
+ 1 8n
+ 4 8n
+ 5 8n
+ 6 ⎠⎝16
⎠
Bibliografia
[1] DAVID BLATNER, Le gioie del π, Garzanti, Milano 1999
[2] COURANT E ROBBINS, Che cos’è la matematica, Boringhieri, Torino, 1974
[3] http://mathworld.wolfram.com/ alle voci:
[3a] Machin-Like Formulas
[3b] Pi Approximations
[3c] Pi Formulas
[3d] Bailey-Borwein-Plouffe Algorithm
n