Moto in campi elettrico e magnetico perpendicolari

Moto in campi elettrico e magnetico perpendicolari
a) Descrivere il moto di una particella di massa m e carica elettrica q in presenza di un campo
elettrico E ed un campo magnetico B uniformi e perpendicolari tra loro.
b) Utilizzare il risultato per risolvere il problema seguente. Della luce ultravioletta causa l’emissione
di elettroni, con velocità trascurabile, dall’armatura negativa di un condensatore piano
di separazione h. Il condensatore è situato in un campo magnetico uniforme B parallelo alle
armature, tra le quali è mantenuta una differenza di potenziale V . Quanto deve valere B perchè
gli elettroni non raggiungano l’armatura positiva del condensatore?
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Soluzione
a) Proiettiamo il moto sul piano perpendicolare a B. Lungo B, infatti, non agiscono forze e,
nel caso, possiamo avere solo un componente della velocità costante. La forza complessiva
agente sulla particella vale
f = q E + v ∧ B
, con v velocità della particella nel sistema del
laboratorio. Mettiamoci adesso in un sistema che trasli rispetto al laboratorio con velocità
costante v0. Avremo che la velocità della particella v rispetto al laboratorio vale v = v0 + v ′ ,
dove v ′ è la velocità della particella nel nuovo sistema di riferimento. La forza agente sulla
particella può essere scritta
f = q E + v0 + v ′
∧
B
Scegliendo la velocità di traslazione del nuovo sistema di riferimento in modo che E+ v0∧ B = 0,
cioè con v0 = E/B e con le direzioni e i versi B, v0 ed E formanti nell’ordine una terna cartesiana
sinistrorsa, la forza diventa
f = qv ′ ∧ B.
Nel sistema di riferimanto in moto, cioè, tutto avviene come se fosse presente solo il campo
magnetico, e la particella descriverà un moto circolare uniforme con raggio
r = mv′
qB
e frequenza di ciclotrone ω = qB
m .
Componendo questo moto circolare con la velocità di traslazione v0 del sistema di riferimento,
nel sistema del laboratorio si osserva una cicloide.
b) L’elettrone viene emesso da fermo, quindi, nel sistema in moto del punto a) ha velocità iniziale
v ′ = −v0, con v0 = E/B = V/(hB). Il raggio dell’orbita dell’elettrone nel sistema in moto vale
quindi
r = mv′
qB
= mV
qhB 2
Perchè l’elettrone non arrivi a toccare l’armatura positiva dovrà essere
.
2r < h, da cui 2 mV
< h ovvero B >
qhb2 2
2mV
qh 2