Strutture Algebriche 1 Operazioni

1 Operazioni
Strutture Algebriche
Docente: Francesca Benanti
21 gennaio 2008
Definizione Sia A un insieme non vuoto, A = ∅. Una operazione ∗ (o
operazione binaria o legge di composizione interna) su A è un’applicazione
dal prodotto cartesiano A × A in A
A × A → A
(a, b) → a ∗ b
Quindi è un legge che associa ad ogni coppia a, b di elementi di A un e un
solo elemento di A, a ∗ b.
a e b sono detti operandi
a ∗ b è detto risultato
Definizione Un insieme non vuoto A = ∅ su cui è definita un’operazione ∗
è detto struttura algebrica, e si denota
Esempi
(A, ∗) oppure A(∗)
1. Sia A = N
a ∗ b = a + b è un’operazione
(N, +) è una struttura algebrica
Analogamente
a ∗ b = a · b è un’operazione
(N, ·) è una struttura algebrica
1

2. (Z, +), (Q, +), (R, +), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) sono strutture algebriche
3. Sia A = N, definiamo ∀a, b ∈ N
a ∗ b = a b
a b ∈ N, dunque ∗ è un’operazione in N
(N, ∗) è una struttura algebrica
4. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
∗ non è un’operazione, infatti
5. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = a b
2 ∗ (−3) = 2 −3 = 1
∈ Z
23 a ∗ b = a + b − 2
a + b − 2 ∈ Z, dunque ∗ è un’operazione in Z
(Z, ∗) è una struttura algebrica
6. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = a + b − ab
a + b − ab ∈ Z, dunque ∗ è un’operazione in Z
(Z, ∗) è una struttura algebrica
Osservazione: Se un’operazione ∗ è definita su un insieme finito avente n
elementi, allora può essere rappresentata mediante una tabella di tipo n × n,
detta tavola moltiplicativa di ∗, in cui il valore di a ∗ b viene scritto nella casella
all’incrocio della riga corrispondente ad a e della colonna corrispondente
a b.
Esempio: Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

Tavola moltiplicativa:
∗ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
2 Proprietà delle operazioni
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗. Si
dice che ∗ è un’operazione associativa se, ∀a, b, c ∈ A
Esempi:
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni associative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = a b .
L’operazione non è associativa, infatti
mentre
(a ∗ b) ∗ c = (a b ) ∗ c = (a b ) c = a bc
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b c ) = a bc
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
L’operazione è associativa, infatti
e
(a ∗ b) ∗ c = (a + b − 2) ∗ c = (a + b − 2) + c − 2 = a + b + c − 4
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c − 2) = a + (b + c − 2) − 2 = a + b + c − 4
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗. Si
dice che ∗ è un’operazione commutativa se, ∀a, b ∈ A
Esempi:
a ∗ b = b ∗ a
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni commutative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = a b .
L’operazione non è commutativa, infatti
mentre
a ∗ b = a b
b ∗ a = b a
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
L’operazione è commutativa
4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
L’operazione è commutativa
La tavola moltiplicativa è simmetrica rispetto alla diagonale principale
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗. Un
elemento e ∈ A è detto elemento neutro di A se, ∀a ∈ A
Esempi:
1. In (N, +), (Z, +) (Q, +), (R, +)
In (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
a ∗ e = e ∗ a = a
e = 0,
e = 1.
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = a b .
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
ma
Non esiste elemento neutro!
a ∗ e = a e = a ⇒ e = 1
1 ∗ a = 1 a = 1 = a
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
Esiste e ∈ Z tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
Risolviamo
Soluzione:
a + e − 2 = a
e + a − 2 = a
e = 2
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
Allora
e = 0
∗ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗ e sia
e ∈ A un elemento neutro di A. Si dice che a ∗ ∈ A è simmetrico di a ∈ A se
a ∗ a ∗ = a ∗ ∗ a = e
In notazione moltiplicativa: a ∗ = a −1 inverso
In notazione additiva: a ∗ = −a opposto
Esempi:
1. In (N, +)
In (N, ·)
2. In (Z, +)
In (Z, ·)
−0 = 0,
−n ∈ N ′ ∀n = 0
1 −1 = 1,
n −1 ∈ N, ∀n = 1
−n ∈ Z, ∀n ∈ Z
1 −1 = 1, −1 −1 = −1
n −1 ∈ Z, ∀n = 1, −1
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

3. In (Q, +)
In (Q, ·)
4. In (R, +)
In (R, ·)
−a ∈ Q, ∀a ∈ Q
a −1 ∈ Q, ∀a = 0
−a ∈ R, ∀a ∈ R
a −1 ∈ R, ∀a = 0
5. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
Allora
e = 0
1 ∗ = 4, 2 ∗ = 3, 3 ∗ = 2
∗ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

3 Strutture algebriche con una sola operazione
-
Definizione: Un insieme non vuoto (A, ∗) dotato di operazione ∗ associativa
è detto semigruppo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = a b .
(N, ∗) non è un semigruppo.
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
(N, ∗) è un semigruppo.
Definizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se ∗ gode della proprietà commutativa
allora (A, ∗) è detto semigruppo commutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
semigruppi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
(N, ∗) è un semigruppo commutativo.
Proposizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se in A esiste un elemento neutro
allora questo è unico.
Definizione: Un semigruppo (A, ∗) è detto monoide se possiede l’elemento
neutro.
Definizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se ∗ gode della proprietà commutativa
allora (A, ∗) è detto monoide commutativo.
Esempi:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
monoidi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
(N, ∗) è un monoide commutativo.
Proposizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se a ∈ A possiede simmetrico a ∗ ∈ A
allora questo è unico.
Definizione: Un monoide (G, ∗) è detto gruppo se ogni suo elemento
possiede simmetrico. Dunque (G, ∗) è gruppo se
1. l’operazione ∗ è associativa;
2. esiste l’elemento neutro e ∈ G;
3. ∀a ∈ G esiste il simmetrico a ∗ ∈ G.
Definizione: Sia (G, ∗) un gruppo. Se ∗ gode della proprietà commutativa
allora (G, ∗) è detto gruppo commutativo o abeliano.
Esempi:
1. (N, +) non è un gruppo;
(N, ·) non è un gruppo.
2. (Z, +) è un gruppo abeliano;
(Z, ·) non è un gruppo.
3. (Q, +) è un gruppo abeliano;
(Q ∗ , ·) è un gruppo abeliano.
4. (R, +) è un gruppo abeliano;
(R ∗ , ·) è un gruppo abeliano.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

4 Strutture algebriche con due operazioni
Definizione: Si definisce anello, e si indica (A; ∗, ◦) un insieme A in cui
sono definite due operazioni ∗ e ◦ tali che:
1. (A, ∗) è un gruppo abeliano;
2. (A, ◦) è un semigruppo;
3. Valgono le proprietà distributive:
a ∗ (b ◦ c) = (a ∗ b) ◦ (a ∗ c),
(a ◦ b) ∗ c = (a ∗ c) ◦ (b ∗ c).
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) è detto commutativo se (A, ◦) è un semigruppo
commutativo.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) è detto con unità se (A, ◦) è un monoide.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) è detto campo se (A − {e∗}, ◦) è un gruppo
commutativo.
Esempi:
1. (N; +, ·) non è un anello;
2. (Z; +, ·) è un anello commutativo con unità;
3. (Q; +, ·) è un campo;
4. (R; +, ·) è un campo.
5 Gruppo di Klein
Consideriamo un punto P=(x,y) del piano cartesiano e le quattro trasformazioni
geometriche
• L’identità id che al punto P=(x,y) fa corrispondere se stesso;
id : P = (x, y) → P = (x, y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

• la simmetria rispetto all’asse delle ascisse, Sx, che al punto P=(x,y) fa
corrispondere il punto P’=(x,-y)
Sx : P = (x, y) → P ′ = (x, −y)
• la simmetria rispetto all’asse delle ordinate, Sy, che al punto P=(x,y)
fa corrispondere il punto P”=(-x,y)
Sy : P = (x, y) → P ′′ = (−x, y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

• la simmetria rispetto all’origine, S0, che al punto P=(x,y) fa corrispondere
il punto P”’=(-x,-y)
S0 : P = (x, y) → P ′′′ = (−x, −y)
Consideriamo l’insieme costituito da queste quattro trasformazioni:
K = {id, Sx, Sy, S0}
Definiamo in esso l’operazione di composizione che indichiamo con ◦ nel modo
seguente:
comporre due trasformazioni vuol dire eseguire prima l’una e poi l’altra.
Ad esempio:
Sy ◦ Sx : P (x, y) → P ′ = (x, −y) → P ′′′ = (−x, −y)
Possiamo scrivere la tavola moltiplicativa:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra

◦ id Sx Sy S0
id id Sx Sy S0
Sx Sx id S0 Sy
Sy Sy S0 id Sx
S0 S0 Sy Sx id
(K, ◦) è un gruppo commutativo, detto Gruppo di Klein
Modulo Didattico: Complementi di Algebra