Codifica di Canale - InfoCom - Sapienza

INFO-COM Dpt.
Dipartimento di Scienza e Tecnica
dell’Informazione e della Comunicazione
Università degli Studi di Roma Sapienza
Codifica di Canale
Codici a blocco
TELECOMUNICAZIONI
Profs. Roberto Cusani – Francesca Cuomo
R. Cusani, F. Cuomo – Telecomunicazioni – Codifica di Canale – Aprile 2010

Codici di canale
Contesto in cui si utilizzano i codici “di canale”: un sistema di
trasmissione (o di memorizzazione) soggetto ad errori di trasmissione
(o di recupero dell’informazione)
Obiettivo della codificazione: ridurre la probabilità di errore nella
trasmissione di un messaggio, tramite introduzione di ridondanza nel
messaggio trasmesso
Codici semplici e noti:
lingua parlata
codice a ripetizione
codice a controllo di parità
Si fa riferimento a messaggi e sistemi binari e quindi a codici binari
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Esempi pratici:
codice fiscale
codici a barre
numerazione assegni
biglietti aerei
Codici di canale
La ridondanza implica un allungamento del messaggio trasmesso,
con conseguenze indesiderate del tipo: aumento dello spazio di
memoria richiesto (“ storage”) aumento di tempi di trasmissione
(e/o memorizzazione) aumento della banda richiesta (es.
applicazioni real-time)
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Applicazioni della codifica di canale
L’importanza della codifica di canale cresce con le trasmissioni digitali
Primo impiego dei codici: trasmissioni con lo spazio profondo:
canale AWGN, banda illimitata, pochi ricevitori (costi trascurabili)
Memorie di massa:
compact disc, digital versatile disc, nastri magnetici
Comunicazioni digitali senza filo (“wireless”):
GSM, UMTS, wifi, wimax
Comunicazioni digitali su filo (“wired”):
Modem per linea telefonica
Broadcasting digitale:
DAB, DVB
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Prestazioni e complessità della codificazione
I primi sistemi di comunicazione numerici sono stati progettati
cercando di ottenere una bassa probabilità di errore con l’uso di
elevata potenza oppure bande più larghe
In trasmissione tale approccio è adeguato se la probabilità di errore
richiesta non è troppo bassa, ed è basato sul concetto di ottenere
buone prestazioni acquistandole con le risorse più preziose, cioè
potenza e banda
Grazie ai risultati ottenuti da C. E. Shannon si è visto che l’impiego
di complesse tecniche di co-decodifica, consentite dal progresso
tecnologico, si possono ottenere elevate prestazioni al prezzo di
aumentare la complessità del sistema
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Modello di Sistema di Trasmissione
Sequenza binaria (data stream) emessa dalla sorgente
Il data stream va in ingresso al codificatore di canale che
effettua l’operazione di codifica (introduzione di ridondanza)
Code stream in uscita dal codificatore.
In ricezione il decodificatore, rimuovendo la ridondanza, effettua
rivelazione o correzione di eventuali errori introdotti dal canale
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Errori sui bit
Il canale di comunicazione (attraverso la sua risposta impulsiva)
può introdurre distorsioni nel segnale ricevuto
– Condizioni di Nyquist non verificate in ricezione
Negli apparati in ricezione è presente una componente additiva di
rumore termico
– Disturbo sovrapposto al segnale ricevuto
Entrambi questi fenomeni possono portare ad errori sul flusso
binario in uscita al demodulatore numerico
Ex: Tx [001010001] Rx [000010001]
Errore sul terzo bit
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Effetto della codifica di canale
Mediante l’introduzione di ridondanza nel flusso binario trasmesso
l’operazione di codifica di canale mira a
– Rilevare la presenza di errori
• Ex: codice di parità
00-0 01-1 10-1 11-0
permette di rilevare la presenza di un errore
– Correggere un numero limitato di errori
• Ex: codice a ripetizione
0-000 1-111
Diminuzione della probabilità di errore sul bit SENZA AUMENTARE LA
POTENZA TRASMESSA
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Codici
lineari
Codici
ciclici
Classificazione dei codici di canale
Codici a
blocchi
Codici non
lineari
Codici di
canale
Codici lineari
(convoluzionali)
Codici ad
albero
Codici non
lineari
TCM Turbo
codici
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Codici a blocchi
Data stream (non codificato) e code stream (codificato) vengono
segmentati in blocchi di lunghezza prestabilita (dataword e codeword)
Per un codice a blocchi (n,k) le data word consistono in k bit e le
codeword in n bit (n

Esempi di codici elementari
Codice a ripetizione (3,1) ovvero n=3,
k=1
Nel codice si usano solo 2 delle 8
possibili sequenze di lunghezza 3
Codice a controllo di parità (3,2)
L’ultimo bit è un bit di parità rispetto
ai primi 2.
codificatore
Data words Code words
0 000
1 111
codificatore
Data words Code words
00 000
01 011
10 101
11 110
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Esempio di codice di controllo di parità (4,3)
Esempio di codice di parità (4, 3):
[0000], [0011], [0101], [0110]
[1001], [1010], [1100], [1111]
Il numero di 1 presenti in tutte le parole è sempre pari
La ricezione della parola: [0100]
è affetta da errore poiché contiene un numero dispari di 1
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Esempio di codice di controllo di parità (6,3)
Esempio di codice di parità (6, 3):
[000000], [001011], [010110], [011101]
[100101], [101110], [110011], [111000]
gli ultimi 3 bit sono calcolati sommando bit 1-2, 2-3 e 1-3 rispettivamente
Ricevendo la seguente parola:
[010111]
si rivela un errore dal momento che il bit 6 è diverso dalla somma del bit
1 e 3
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Codici a blocchi – (senza memoria)
Differenza tra “codice” e “codificatore” :
Codice: è una collezione di code word, indipendente dal modo nel
quale le code word stesse sono ottenute
Codificatore: si riferisce alla corrispondenza uno-a-uno tra data word e
code word, e si applica anche al dispositivo che realizza tale compito
Il codice (n,k) è a blocchi quando il codificatore è senza memoria, cioè
quando agli stessi k bit della data word corrispondono sempre gli stessi
n bit della code word
Il rapporto R c = k/n è la frequenza del codice (“rate”)
Ogni dataword (blocco) viene codificata indipendentemente senza
interazioni con le data word precedenti o successive
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Codici ad albero
La corrispondenza tra data word e code word ha memoria: gli n bit
della codeword dipendono anche da alcune data word precedenti
Riferimento a data stream infinitamente lunghi ed a code stream che
iniziano al tempo zero e continuano indefinitamente nel futuro
il data stream viene diviso in segmenti (data frame) di k 0 data bit, con
k 0 (generalmente) un intero piccolo
Codificatore: macchina a stati finiti che mantiene una certa memoria
delle data frame precedenti:
Nel caso più semplice memorizza le m data frame più recenti inviate
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Codice lineare
Codici lineari e non lineari
L’insieme delle code word (ovvero code stream per i codici ad
albero) è chiuso per la somma modulo 2, ovvero:
considerate due qualsiasi code word, la loro somma modulo 2 è
ancora una code word
ciò implica che la parola di tutti zeri è una code word
Codice non lineare
In caso di non validità della proprietà precedente
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Codificatori sistematici
Il Codificatore si dice sistematico quando i primi k bit di ogni code
word x coincidono con i k bit della data word u
A volte si parla di sistematicità del codice, anziché del codificatore:
tuttavia, dal momento che la proprietà riguarda il mapping delle data
word nelle code word, è propria del codificatore
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Rivelazione di errore e ritrasmissioni
In accordo a come il sistema fa uso delle capacità del codice, si
distingue tra: Codici a rivelazione d’errore e Codici a correzione
d’errore
Questa distinzione non riguarda i codici ma piuttosto le strategie
seguite dal sistema di co-decodificazione
Nella rivelazione d’errore il decodificatore osserva la sequenza
ricevuta all’uscita del demodulatore/decisore, e rileva se sono
avvenuti errori o meno
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Rivelazione d’errore
Automatic Repeat reQuest - ARQ
La rivelazione d’errore è utilizzata per realizzare uno di due possibili
schemi:
Nel monitoraggio dell’errore (error monitoring), il decodificatore
fornisce all’utente una indicazione continua sulla qualità della
sequenza ricevuta, in modo che si possa scartare la sequenza se
l’affidabilità diviene troppo bassa
Nella richiesta di ripetizione (ARQ, Automatic Repeat reQuest) si
chiede al trasmettitore di ripetere le trasmissioni fallite e, dunque,
deve essere disponibile un canale di ritorno (feedback) dal ricevitore
al trasmettitore
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Correzione d’errore (Forward ( Forward Error Correction-FEC
Correction FEC)
Il decodificatore tenta di ripristinare la corretta sequenza trasmessa
quando vengono rilevati errori nella sequenza ricevuta
A parità di codice la Forward Error Correction (FEC) richiede
algoritmi di decodifica più complessi rispetto alla rivelazione d’errore
con ARQ
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Correzione d’errore (Forward Error Correction - FEC)
Il decodificatore tenta di ripristinare la corretta sequenza trasmessa
ESEMPIO: Codice ciclico (6, 3):
[000000], [001011], [010110], [011101],
[100101], [101110], [110011], [111000]
utilizzato su un sistema con correzione di errore
Sequenza di parole ricevute:
[000100] → [011101] → [101111] → [111000]
La prima e la terza parola non appartengono al codice e quindi se ne
può tentare una correzione, ad esempio limitando al minimo il
numero di bit da modificare nelle parole errate:
[000000] → [011101] → [101110] → [111000]
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Confronto tra ARQ e FEC
La scelta dipende dalla particolare applicazione e dalla complessità
del sistema di trasmissione considerato
Lo schema ARQ è usualmente impiegato nelle comunicazioni tra
computer, essendo disponibile un canale di trasmissione a due vie
insieme a dispositivi con grande memoria che memorizzano le
informazioni entranti mentre effettuano, su richiesta, la procedura di
trasmissione
Lo schema FEC si adotta quando si vuole proteggere l’informazione
in un canale a una via oppure quando è richiesto il tempo reale
oppure ritardi controllati (es. trasmissioni vocali digitali interattive,
deep-space communications)
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Codici a blocco lineari
Un codice a blocco è lineare se l’insieme delle codeword è chiuso per
la somma modulo 2, ovvero, considerate due qualsiasi codeword, la
loro somma modulo 2 è ancora una codeword
Le operazioni di somma nelle sequenze binarie sono trattate con
l’aritmetica modulo 2 ovvero definendo un Campo di Galois GF(2)
Nella pratica tale aritmetica è realizzata tramite operatori logici:
somma prodotto
0+0 = 0 0 x 0 = 0
0+1 = 1 0 x 1 = 0
1+0 = 1 1 x 0 = 0
1+1 = 0 1 x 1 = 1
Somma algebrica
modulo 2
EXOR
logico
0+0 = 0 0⊕0 = 0
0+1 = 1 0⊕1 = 1
1+0 = 1 1⊕0 = 1
1+1 = 2 0 1⊕1 = 0
Prodotto
algebrico
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AND
logico
0 x 0 = 0 0∧0 = 0
0 x 1 = 0 0∧1 = 0
1 x 0 = 0 1∧0 = 0
1 x 1 = 1 1∧1 = 1
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Codici a blocco lineari
Un codice lineare possiede le seguenti proprietà:
– La somma di due codeword è ancora una codeword.
– La n–pla di tutti zeri è sempre una codeword
Un codificatore a blocco (n, k) lineare è una corrispondenza tra:
dataword u = [u [u0,…, 0,…, u uk-1] k-1] di k digit e
codeword x = [x 0,…, x n-1] di n digit
È realizzabile tramite una coppia di registri a scorrimento connessi tra
di loro attraverso un banco di sommatori modulo 2 (EXOR logici)
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Codici sistematici
Codificatore (n, k) sistematico: i primi k bit delle codeword generate
corrispondono ai bit delle dataword che le generano
La sistematicità è una proprietà del CODIFICATORE, ovvero della regola di
associazione tra dataword e codeword (un codice può, al limite, essere
esprimibile in forma sistematica, i.e. contiene parole che iniziano come le
dataword)
Semplifica la struttura in decodifica
Si può dimostrare che, dato un codice lineare con date prestazioni
(probabilità di rilevare e/o correggere una parola errata) ne esiste sempre
uno equivalente esprimibile in forma sistematica
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Codice a ripetizione (4,1):
0 0000
1 1111
x0 = u0 x2 = u0 Esempi di codici a blocco lineari
x1 = u0 x3 = u0 Codice a parità doppia (4,2):
00 0000
01 0011
10 1101
11 1110
x 0 = u 0
x 2 = u 0+u 1
x 1 = u 1
x 3 = u 0+u 1
x 3
k = 1
u 0
x 2 x 1 x 0
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x 3
u 1
u 0
n = 4
x 2 x 1 x 0
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Codice di Hamming (7,4)
Il codice è sistematico ed utilizza solo 2 4 = 16
delle 2 7 = 128 possibili sequenze
Il codice è dato da:
x i = u i
x 5 = u 1+u 2+u 3
x 6 = u 2+u 3+u 4
x 7 = u 1+u 2+u 4
i=1,2,3,4
+ + +
k=4
u u4 u u3 u u2 u u1 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
n=7
Codice di Hamming (7,4)
Data words Code words
0000 0000 000
0001 0001 011
0010 0010 110
0011 0011 101
0100 0100 111
0101 0101 100
0110 0110 001
0111 0111 010
1000 1000 101
1001 1001 110
1010 1010 011
1011 1011 000
1100 1100 010
1101 1101 001
1110 1110 100
1111 1111 111
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Matrice generatrice del codice
Il codice viene specificato dalle connessioni tra gli stadi del registro di
ingresso ed i sommatori
Se il codice è sistematico, vanno assegnate solo le (n-k) equazioni
del controllo di parità
L’informazione che specifica la regola di codifica (ovvero, la
struttura del codificatore) è rappresentabile in modo sintetico da una
matrice binaria G di dimensioni k x n (matrice generatrice del codice)
L’elemento (i,j) di G vale 1 se l’i-esima cella del registro d’ingresso è
connessa al j-esimo sommatore, altrimenti vale 0
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Matrice generatrice del codice
Si può quindi scrivere: x = u G (1)
con x = [x 1,…,x n] vettore (1 x n) ed u = [u 1,…,u k] vettore (1 x k)
Dalla (1), x viene ottenuto sommando le righe di G che
corrispondono agli 1 nella u
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Esempio
Per il codice di Hamming (7,4), la matrice generatrice G può essere
ricavata per ispezione dal codificatore:
xi = ui i=1,2,3,4
⎡1 0 0 0 1 0 1⎤
x5 = u1+u2+u ⎢
3
0 1 0 0 1 1 1
⎥
G = ⎢ ⎥
x6 = u2+u3+u4 ⎢0 0 1 0 1 1 0⎥
x = u +u +u
⎢ ⎥
7 = u ⎢ ⎥
1+u2+u4 ⎣0 0 0 1 0 1 1⎦
Ad esempio, la code word che corrisponde alla data word u =
[1100] si calcola sommando (mod. 2) le prime due righe di G:
x = u G
1000101 +
0100111 =
1100010
code word
(coincide con risultato nella
tabella del codificatore)
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Matrice generatrice del codice
Per un codice sistematico le prime k colonne di G formano una
matrice identità k x k, ovvero I k ,e si ha: G = [ I k ¦ P ]
dove P è una matrice di dimensioni [k x (n-k)] contenente le
informazioni relative ai controlli di parità
Per un codice sistematico la conoscenza di P definisce in modo
completo la regola di codifica
ESEMPIO Per il codice di Hamming (7,4) si ha:
⎡1 ⎢
0
G = ⎢
⎢0 ⎢
⎣0 0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1⎤
1
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎡1 ⎢
0
I4
= ⎢
⎢0 ⎢
⎣0 0
1
0
0
0
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎡1 0 1⎤
⎢
1 1 1
⎥
P = ⎢ ⎥
⎢1 1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0 1 1⎦
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Proprietà dei codici a controllo di parità
Proprietà 1: Ogni code word è una somma di righe della matrice
generatrice
Proprietà 2: Il codice a blocchi è costituito da tutte le possibili
somme delle righe della matrice generatrice
Proprietà 3: La somma di due code word è ancora una code word
Proprietà 4: La n-pla di tutti zeri è sempre una code word
Dalle proprietà 1-4, i codici a controllo di parità sono anche detti
codici lineari
In effetti, la linearità viene espressa dalla: x = u G
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Equivalenza tra codici a blocchi e sistematici
Ogni codice a blocchi (n,k) non sistematico è equivalente a un codice
sistematico (n,k) a blocchi
Quindi si possono considerare solo codici sistematici
Infatti due codici con matrici generatrici ottenibili l’una dall’altra con
operazioni sulle righe e permutazioni sulle colonne hanno la stessa
probabilità di rilevare una parola errata codici “equivalenti”
la probabilità di errore sul bit può essere diversa: codici equivalenti
possono avere codificatori diversi e, cioè, diversi mapping tra le data
word e le code word
Se interessa la probabilità di rilevare una parola errata si possono
considerare solo codici sistematici
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Peso e distanza di Hamming Hamming, , e distanza minima
Peso di Hamming di una code word: numero di 1 contenuti
Distribuzione dei pesi del codice: insieme di tutti i pesi di un codice,
insieme al numero di code word di quel peso
Codici equivalenti hanno la stessa distribuzione dei pesi
Distanza di Hamming dij tra due code word xi e xj: numero di
posizioni in cui le due code word differiscono. Si ha : 0 ≤ d ij ≤ n
Distanza minima d min del codice: la più piccola tra le distanze di
Hamming di distinte code word (i≠j)
TEOREMA: la distanza minima di un codice a blocchi lineare è il
peso minimo della code word diversa da zero
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Peso e distanza di Hamming Hamming, , e distanza minima
TEOREMA: la distanza minima di un codice a blocchi lineare è il peso
minimo della code word diversa da zero
Dimostrazione
in un codice lineare: la somma di due parole è una parola di codice e
restituisce la parola nulla se e solo se le due parole sono uguali
la distanza di Hamming tra due parole è pari al peso della somma
le possibili distanze di Hamming tra coppie di parole diverse corri-
spondono ai pesi delle parole del codice diverse dalla parola nulla
La distanza minima di Hamming è il peso minimo tra i pesi delle
parole di codice diverse dalla parola nulla.
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Esempio
Per il codice di Hamming (7,4) si ha la
seguente distribuzione dei pesi:
Peso Numero di code words
0 1
3 7
4 7
7 1
Dalla proprietà (5) si ottiene: d min = 3
Codice di Hamming (7,4)
Data words Code words
0000 0000 000
0001 0001 011
0010 0010 110
0011 0011 101
0100 0100 111
0101 0101 100
0110 0110 001
0111 0111 010
1000 1000 101
1001 1001 110
1010 1010 011
1011 1011 000
1100 1100 010
1101 1101 001
1110 1110 100
1111 1111 111
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Rivelazione d’errore
TEOREMA (SULLA RILEVAZIONE D’ERRORE):
Un codice lineare a blocchi (n,k) con distanza minima d min può rilevare
tutti i vettori errore di peso non maggiore di:
d min -1
ovvero si rivela un numero massimo di errori pari a (d min-1)
Una configurazione di errori tale da tramutare una parola di codice valida
in un’altra parola di codice valida non è rilevabile (i.e. un numero di
errori pari in un codice a parità)
La distanza minima tra due codeword valide è d min
Un numero di errori minore di d min è pertanto sempre rilevabile
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Correzione di Errori
Laddove si riceva una parola y si hanno due possibilità
– y è una parola di codice valida
• Non vi sono errori
• Vi sono errori tali da modificare la parola trasmessa in un’altra
parola di codice valida
– y non è una parola di codice valida
• Si richiede la ri-trasmissione avendo rilevato la presenza di
errori
• Si corregge la parola ricevuta
– y è data dalla parola trasmessa più il vettore di errore
– si assume sia stata trasmessa la parola di codice a
distanza minima da y (si ipotizza cioè che sia avvenuto il
numero minimo di errori possibili) DECODIFICA a
MASSIMA VEROSIMIGLIANZA (ML)
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Correzione di errori
L’algoritmo di decodifica basato sulla minima distanza ipotizza che e, il
vettore errore effettivamente occorso, sia quello a minimo peso
nell’insieme dei 2 k vettori errore che portano alla sindrome associata
alla sequenza ricevuta y
TEOREMA (SULLA CORREZIONE D’ERRORE):
un codice lineare a blocchi (n,k), con distanza minima d min , può
correggere tutti i vettori d’errore contenenti un numero di errori non
maggiore di:
t
⎢( d −1)
⎥
⎣ 2 ⎦
min =
⎢ ⎥
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Decodifica a massima verosimiglianza (ML)
Rappresentazione qualitativa delle
regioni di decisione assegnate alle
code words:
d min
Code words Sequenze
ricevute con
errori
Detected Errors Corrected Errors
dmin ( dmin −1) ⎢⎣ ( dmin
−1)/2
⎥⎦
2 1 0
3 2 1
4 3 1
5 4 2
6 5 2
7 6 3
8 7 3
9 8 4
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Decodifica a massima verosimiglianza (ML)
ESEMPIO: Il codice di Hamming (7,4) presenta d min = 3 e quindi può
t = ⎢⎣ (3 − 1) / 2⎥⎦ = 1
correggere errori, ovvero gli errori singoli
Un codice a blocchi (n,k) con distanza minima d min è un codice a
correzione di t errori (t-error correcting code), o codice (n,k,t)
L’obiettivo di un codice a blocchi (n,k) è di usare la propria ridondanza
per ottenere la maggiore d min possibile
R. Cusani, F. Cuomo – Telecomunicazioni – Codifica di Canale – Aprile 2010
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Probabilità di errore sul bit e sulla parola
Obiettivo generale della codifica: minimizzare la probabilità d’errore sul
bit P b(e)
Codici a blocchi: si cerca di minimizzare la probabilità d’errore sulla
parola codificata P w(e)
Nella correzione dell’errore, se il codice (n,k) corregge t errori:
si ha un errore sulla parola quando si hanno almeno t+1 bit errati su
n della parola di codice ricevuta
la parola di codice decisa, con errore, contiene almeno d min= 2t+1
bit errati su n
nella parola dati ci sono, in media, k(2t+1)/n bit errati
relazione tra probabilità d’errore sulla
parola e probabilità d’errore sul bit:
2t + 1
Pb ( e) ≈
Pw ( e)
n
R. Cusani, F. Cuomo – Telecomunicazioni – Codifica di Canale – Aprile 2010
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