Capitolo A.4 Campionamento e Ricostruzione di Segnali - InfoCom

Capitolo A.4
Campionamento e Ricostruzione di Segnali
Contenuto
A.4.1 Campionamento Uniforme di Segnali Analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.4.2 Ricostruzione di Segnali Analogici da Sequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.4.3 Altre Interpolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.4.3.1 Interpolazione mediante tenuta (ordine zero) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.4.3.2 Interpolazione lineare (ordine uno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.4.3.3 Interpolazione di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.4.4 Conversioni C/D e D/C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.4.5 Analisi nel Dominio della Frequenza: Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
A.4.6 Analisi nel Dominio della Frequenza: Conversione Discreto/Continuo . . . . . . . . . . . 182
A.4.6.1 Effetto Moirè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.4.6.2 Ricostruzione mediante DAC e Filtraggio Passabasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.4.7 Considerazioni Finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.4.8 Appendice: Ricostruzione di Segnali Campionati per BTs

172 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.1 Campionamento Uniforme di Segnali Analogici
Da un segnale analogico, diciamo xa(t), èsempre possibile ottenere una sequenza, diciamo x[n], per mezzo dell’operazione di
campionamento uniforme al ritmo di Fs =1/Ts campioni per secondo, i.e.
x[n] def
= xa(t) = xa(nTs)
t=nTs
La conversione Continuo-Discreto così definita si rappresenta simbolicamente come in Fig.A.4.1.
x t
a( )
C / D
xn [ ] xa( nTs)
T s
Figura A.4.1: Generazione di sequenze per campionamento (Conversione C/D).
Si noti che nel passaggio da segnale analogico a sequenza si perde l’informazione sull’intervallo temporale tra campioni successivi,
non necessario alla definizione del dominio discreto della sequenza xs[n], nonostante quest’ultima sia stata ottenuta per
campionamento uniforme al ritmo di 1/Ts campioni al secondo.
A.4.2 Ricostruzione di Segnali Analogici da Sequenze
La ricostruzione di segnali analogici a partire da una sequenza si effettua mediante l’operazione di interpolazione con una generica
funzione interpolatrice φ(t), opportunamente normalizzata.
Preliminarmente, però, occorre restaurare una metrica per definire l’intervallo temporale che sussiste tra campioni consecutivi,
in modo da restaurare la continuità del dominio di definizione del segnale analogico che si vuole ottenere.
Sia allora Tr l’intervallo temporale che “riscala” l’asse dei tempi nel senso appena illustrato; l’operazione di interpolazione
della sequenza x[n] nel segnale ricostruito xr(t) è definita come segue
x (φ)
r (t) =
+∞
n=−∞
t − nTr
x[n] · φ
Tr
(A.4.1)
In parole povere, il segnale analogico è ottenuto sommando repliche, opportunamente traslate e scalate in ampiezza, della funzione
interpolatrice; per la generica replica traslata in t = nTr, il fattore d’ampiezza é pari proprio all’n-esimo campione x[n]. 4.1
Quando φ(t) =sinc(t) si parla di interpolazione cardinale, indicando più semplicemente
t
xr(t) =xs(t) ∗ sinc
Tr
=
+∞
n=−∞
Una rappresentazione grafica dell’interpolazione cardinale è riportata in Fig.A.4.2.
t − nTr
x[n] · sinc
Tr
(A.4.2)
4.1 Come meglio vedremo in seguito, la formula d’interpolazione (A.4.1) si può riscrivere utilizzando il seguente segnale costituito solo da impulsi
matematici
xs(t) =
+∞
x[n] · δ(t − nTr)
n=−∞
Il segnale analogico xs(t) si riferisce anche come segnale campionato. Pur essendo un segnale tempo-continuo, l’informazione in esso contenuta
appare solo nell’insieme discreto degli istanti nTs, contenuta nelle aree degli impulsi matematici.
Allora, posto φTr (t) def
= φ(t/Tr), possiamo scrivere:
x (φ)
r (t) = xs ∗ φTr (t)
Quindi, l’operazione di interpolazione sui campioni x[n] appare come filtraggio sul segnale xs(t), e potremo usare la potenza dell’analisi di
Fourier per comprendere meglio la relazione stabilita tra la sequenza dei campioni x[n] e il segnale interpolato x (φ)
r (t).

A.4.2. RICOSTRUZIONE DI SEGNALI ANALOGICI DA SEQUENZE 173
Figura A.4.2: Ricostruzione di segnali analogici per interpolazione cardinale di sequenze. Al tempo t, il valore del segnale x(t)
si ottiene sommando i contributi delle funzioni interpolatrici, ciascuna pertinente a un singolo campione della sequenza x[n].
Si noti che, nell’istante generico t = nTr, le varie componenti sinc(·) non interferiscono con quella centrata al tempo (t − nTr).
Quest’ultima replica è proprio quella scalata in ampiezza della quantità x[n], ed è facile rendersi conto dalla (A.4.2), così come
osservando la Fig.A.4.2, che si riottengono i campioni della sequenza mediante campionamento uniforme dal segnale ricostruito
xr(t0 allo stesso ritmo 1/Tr usato nella ricostruzione:
xr(nTr) =x[n]
Tra l’altro, la (A.4.2) esprime il segnale analogico xr(t) come somma di segnali ortonormali, 4.2 per cui l’energia del segnale
ricostruito si ottiene sommando le energie delle singole componenti, i.e. possiamo scrivere l’espressione del Teorema di Parseval
odiconservazione dell’energia. 4.3
Dim:
Exr
def
=
Conservazione dell’energia nell’Interpolazione Cardinale
(energia del segnale ricostruito) Exr = Ex (energia della sequenza)
+∞
|xr(t)|
−∞
2 +∞ +∞
+∞ +∞
t − nTr t − mTr
dt =
x[n] · x[m] · sinc
sinc
dt = |x[n]|
n=−∞ m=−∞
−∞ Tr
Tr
n=−∞
⎧
⎪⎨ Esinc=1 per n = m
=
⎪⎩ 0 per n = m
2 = Ex
La conversione Discreto-Continuo definita dalla interpolazione cardinale si indica simbolicamente come in Fig.A.4.3.
xn [ ]
t nT
D/ C
xr() t xn [ ] sinc
T
T r
n
Figura A.4.3: Conversione D/C.
4.2Infatti è nulla l’energia incrociata tra i segnali sinc((t − nTr)/Tr) e sinc((t − mTr)/Tr) disallineati di multipli del tempo Tr, i.e.
⎧
+∞
t − nTr t −
⎨
mTr 1 per n = m
sinc
sinc
dt =
−∞ Tr
Tr
⎩0
per n = m
4.3 E’ facile rendersi conto che la proprietà della conservazione dell’energia vale per qualsiasi sviluppo su componenti ortonormali.
F
HG
r
r
I
KJ

174 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.3 Altre Interpolazioni
A.4.3.1 Interpolazione mediante tenuta (ordine zero)
Si parla di interpolazione mediante tenuta quando il segnale analogico è ricostruito “tenendo” il valore x[n] per il tempo Tr.
L’andamento del segnale interpolato è quindi costante per tratti di durata Tr. La funzione interpolatrice si scrive come segue:
φ0(t) =rect(t)
Figura A.4.4: Ricostruzione di segnali analogici mediante tenuta (ordine zero).
Naturalmente, nella Fig.A.4.4, non riusciamo a distinguere l’andamento delle funzioni interpolatrici associate a ogni singolo
campione, come è possibile nella Fig.A.4.2.
Vale la pena sottolineare che la ricostruzione mediante tenuta è operata concretamente dai dispositivi cosiddetti Convertitori
Digitali-Analogici (DAC), dove la funzione interpolatrice è (idealmente):
φDAC(t) rect(t − 1/2)
è il tempo di ricostruzione Tr è fissato dal clock al quale si fa operare il DAC. Naturalmente, la precisione dei campioni x[n] è
limitata dal numero di cifre binarie (bit) del registro all’ingresso del DAC; inoltre, la forma d’onda rettangolare è realizzata solo
in modo approssimato, dovendo tener conto dei tempi di carica e di scarica delle capacità in uscita al DAC.
A.4.3.2 Interpolazione lineare (ordine uno)
Il segnale ricostruito mediante interpolazione lineare presenta un andamento rettilineo per tratti di durata Tr, ottenuto congiungendo
i punti x[n − 1] e x[n] con un segmento. La funzione interpolatrice si scrive come segue:
φ1(t) =tri(t)
Figura A.4.5: Ricostruzione di segnali analogici mediante interpolazione lineare (ordine uno).

A.4.3. ALTRE INTERPOLAZIONI 175
In questo caso si parla di interpolazione di ordine uno poichè la funzione interpolatrice si ottiene mediante una convoluzione da
quella di ordine zero, i.e.
tri(t) =(rect∗rect)(t) L’interpolazione lineare è spesso impiegata da pacchetti di software grafico per la visualizzazione a schermo dell’andamento di
funzioni i cui punti sono prelevati con campionamento abbastanza fitto, in modo da non rendere percebile all’osservatore i punti
angolosi evidenti nella Fig.A.4.5.
A.4.3.3 Interpolazione di ordine n
La funzione interpolatrice è ottenuta mediante n convoluzioni da quella di ordine zero, i.e.
La funzione φn(t) ènotacomeB-Spline di ordine n.
φn(t) def
=(φn−1 ∗ rect)(t)

176 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.4 Conversioni C/D e D/C
Abbiamo visto che, da un segnale ricostruito per interpolazione cardinale di una sequenza, è possibile riottenere i campioni della
sequenza stessa mediante campionamento opportuno del segnale ricostruito: basta che il ritmo di campionamento coincida con il
fattore di espansione temporale operato nella ricostruzione (cfr. Fig.A.4.6).
xn [ ]
D/ C
xr t ()
T
C / D
xn [ ]
si riottiene sempre
xn [ ] xn [ ]
Figura A.4.6: Campionamento in cascata alla ricostruzione.
Scambiando di posto le conversioni nella cascata di Fig.A.4.6, si ottiene la situazione di Fig.A.4.7, dove si evidenzia che, in
generale, la ricostruzione da una sequenza generata per campionamento non necessariamente coincide con il segnale analogico
originale. Quando questo accade diciamo che è possibile operare una perfetta ricostruzione.
x t
a( )
xn [ ]
C / D
D/ C
T
x t
r( )
non necessariamente
xr() t xa() t
Figura A.4.7: Ricostruzione in cascata al campionamento.
Poichè il segnale ottenuto per interpolazione cardinale si scrive come una serie di funzioni sinc(·), i.e.
+∞
t − nT
xr(t) = x[n] · sinc
(A.4.3)
T
n=−∞
per avere una perfetta ricostruzione, ossia xr(t) =xa(t), il segnale analogico xa(t) deve necessariamente potersi sviluppare in
serie di funzioni sinc(·).
E’ facile rendersi conto che questa condizione è anche sufficiente, e quindi possiamo enunciare la seguente
Proposizione 4.1 Sia xa(t) un segnale analogico sviluppabile in serie di funzioni seno cardinale, i.e. esistono coefficienti ξn
e un valore T con i quali sia possibile scrivere il seguente sviluppo
xa(t) =
+∞
t − nT
ξn · sinc
T
n=−∞
Allora la sequenza dei campioni x[n] =xa(nT) presi al ritmo di 1/T campioni per secondo coincide con i coefficienti di
sviluppo ξn. Infatti:
+∞
nT − mT
x[n] =xa(nT)= ξm · sinc
= ξn
T
m=−∞
⎧
⎪⎨ 1 per n = m
=
⎪⎩ 0 per n = m
La sequenza x[n] costituisce una rappresentazione del segnale analogico xa(t), nel senso che la ricostruzione mediante interpolazione
cardinale dei campioni xs[n], spaziati di T secondi, restituisce il segnale analogico xa(t) (ricostruzione perfetta).
Inoltre, vale la conservazione dell’energia, i.e. Exa = Exs .

A.4.4. CONVERSIONI C/D E D/C 177
Sulla sviluppabilità di un segnale analogico in serie di funzioni seno cardinale possiamo enunciare quest’altra proposizione
Proposizione 4.2 Condizione necessaria e sufficiente affinchè un segnale analogico xa(t) sia sviluppabile in serie di di
funzioni seno cardinale è che esso sia un segnale limitato nella banda B =1/T :
xa(t) =
+∞
n=−∞
t − nT
xa(nT) · sinc
T
⇐⇒ Xa(jΩ) = 0 per |Ω| >πB= π
T
Dim: necessarietà. Poichè le funzioni sinc(t/T − n) sono limitate nella banda B =1/T , anche il segnale xa(t), essendo somma di funzioni
limitate tutte nella stessa banda, risulta limitato nella banda B =1/T .
Dim: sufficienza. Preliminarmente notiamo che, essendo il segnale xa(t) limitato in banda, esso non risulta alterato a valle di un filtraggio
passabasso ideale (con banda maggiore o uguale di quella del segnale). Per semplicità, ma senza perdità di generalità, prendiamo B =1; allora:
xa(t) =(xa ∗ sinc)(t) =
+∞
xa(ϑ)sinc(t−ϑ) dϑ (A.4.4)
Nel seguito della dimostrazione, faremo uso della seguente proprietà delle funzioni seno cardinale: 4.4
Sviluppiamo la condizione (A.4.4):
−∞
−∞
sinc(t − ϑ) =
+∞
+∞
+∞
xa(t) = xa(ϑ)sinc(t−ϑ) dϑ = xa(ϑ) dϑ
=
+∞
xa(n) · sinc (t − n)
n=−∞
+∞
n=−∞
−∞
n=−∞
dove abbiamo ipotizzato che sia lecito invertire la sommatoria con l’integrale.
sinc(t − n) · sinc(n − ϑ)
sinc(t − n) sinc(n − ϑ) =
+∞
n=−∞
+∞
sinc(t − n) xa(ϑ)sinc(n−ϑ) dϑ
−∞
xa(n) (per la (A.4.4))
Le proposizioni 4.1 e 4.2 costituiscono il Teorema del Campionamento, che riportiamo in una forma più compatta.
Teorema del Campionamento
Teorema 4.1 L’interpolazione cardinale ricostruisce perfettamente un segnale dai suoi campioni se, e solo se, il segnale è
limitato in banda e, detta B la banda del segnale, e 1/T il ritmo al quale si effettua il campionamento e l’interpolazione, si
opera con BT ≤ 1.
Il Teorema del Campionamento sancisce delle condizioni ideali per effettuare campionamento e ricostruzione perfetta di segnali
limitati in banda.
La valutazione quantitativa delle distorsioni introdotte nel segnale ricostruito quando l’interpolazione differisce da quella
cardinale 4.5 si effettua convenientemente mediante l’analisi nel dominio della frequenza. In tale dominio, sarà anche possibile
comprendere e valutare gli effetti distorcenti dovuti a un campionamento lento, i.e. quando operiamo con BT > 1.
+1/2
4.4Ricordando che sinc(t) = e
−1/2
j2πft df , abbiamo
+∞
sinc(t − n) · sinc(n − ϑ) =
+∞ +1/2
e
n=−∞
n=−∞ −1/2
j2πf(t−n) +1/2
df e
−1/2
j2πς(n−ϑ) dς
+1/2
= e
−1/2
j2πft +1/2
df e
−1/2
−j2πςϑ dς
+∞
e
n=−∞
−j2π(f−ς)n +1/2
= e
−1/2
j2πft +1/2
df e
−1/2
−j2πςϑ
+∞
δ(f − ς − k) dς
k=−∞
=
+∞
+1/2
e
k=−∞
−1/2
j2πft rect(f) e−j2π(f−k)ϑ rect(f − k) df =
+1/2
e
(solo k=0) −1/2
j2πf(t−ϑ) df
=sinc(t − ϑ)
4.5 L’interpolazione cardinale non è realizzabile nella pratica.

178 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.5 Analisi nel Dominio della Frequenza: Campionamento
In precedenza abbiamo discusso le operazioni di campionamento e di ricostruzione di segnali analogici nel dominio del tempo.
In questo capitolo, aumenteremo la comprensione di tali argomenti conducendo l’analisi nel dominio della frequenza mediante gli
strumenti analitici messi a disposizione dall’analisi di Fourier.
Per questi scopi, faremo uso della seguente notevole trasformata di Fourier. 4.6
sT (t) def
=
Trasformata di Fourier di un Treno Periodico d’Impulsi Matematici
+∞
n=−∞
δ(t − nT)
FT
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ST (jΩ) def
= 2π
T
+∞
k=−∞
ST (fT) def
= 1
+∞
T
k=−∞
δ Ω − 2π
T k
δ f − k
T
(pulsazione)
(frequenza)
(A.4.5)
Al treno d’impulsi matematici sT (t) diamo il nome di segnale campionatore ideale. Esso permette di definire il seguente segnale
analogico xs(t) campionato (idealmente) al ritmo di 1/Ts campioni al secondo:
xs(t) def
= xa(t) · sTs (t) =
+∞
n=−∞
xa(nTs)δ(t − nTs) (A.4.6)
FT
Non è difficile calcolare la trasformata di Fourier Xs(jΩ) ⇐⇒ xs(t): essa si ottiene come convoluzione, nel dominio della
frequenza, delle trasformate Xa(jΩ) e STs (jΩ): 4.7
Xs(jΩ) = 1
2π
= 1
Ts
+∞
−∞
+∞
k=−∞
Xa(jΥ)STs(jΩ − jΥ) dΥ = 1
2π
Xa
jΩ − j 2π
k
Ts
+∞
−∞
Xa(jΥ) · 2π
+∞
Ts
k=−∞
4.6 Ricordando che δ(t − nT ) FT
⇐⇒ e −jΩ nT , e che la trasformazione di Fourier è lineare, abbiamo:
δ
Ω − Υ − 2π
⎧
⎫
⎨ +∞
⎬
F δ(t − nT )
⎩
⎭
n=−∞
=
+∞
+∞
F {δ(t − nT )} = e
n=−∞
n=−∞
−jΩT ·n +∞
=2π δ (Ω T − 2πk)
k=−∞
4.7 La (A.4.7) si scrive anche in funzione di f [cicli/s]:
+∞
+∞
Xs(f) = Xa(ς)STs(f − ς) dς = Xa(ς) ·
−∞
−∞
1
+∞
δ f − ς −
Ts
k=−∞
k
dς
Ts
= 1
+∞
Xa f −
Ts
k=−∞
k
Ts
Ts
k dΥ
(A.4.7)

A.4.5. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CAMPIONAMENTO 179
Osserviamo, quindi, il seguente fatto notevole, fondamentale nella Teoria dei Segnali e spessissimo usato nelle sue applicazioni.
• La trasformata di Fourier Xs(jΩ)
Trasformata di Fourier di un Segnale Analogico Campionato Idealmente
FT
⇐⇒ xs(t) =
+∞
n=−∞
xa(NTs) · δ(t − nTs) di un segnale analogico campionato
idealmente è periodica modulo 2π/Ts;
• Essa si ottiene periodicizzando la versione scalata di 1/Ts della trasformata di Fourier del segnale originale.
Xs(jΩ) = 1
+∞
Xa(jΥ)STs(jΩ − jΥ) dΥ =
2π
1
+∞
Xa(jΥ) ·
2π
2π
+∞
δ Ω − Υ − 2π
k dΥ
= 1
Ts
−∞
+∞
k=−∞
Xa
jΩ − j 2π
k
Ts
−∞
Ts
k=−∞
Ts
(A.4.8)
L’operazione di periodicizzazione modulo 2π/Ts è illustrata in Fig.A.4.8, dove si configurano due situazioni diverse:
S-I. Il segnale xa(t) è limitato nella banda base B ≤ 1/Ts. In questo caso, le varie repliche spettrali Xa (jΩ+j2πk/Ts), per
k = −∞,...,+∞, non interferiscono, giacché risulta 2π/Ts − πB ≥ πB. Da notare il fattore di scala delle ampiezze
pari a 1/Ts. Pertanto, nella banda base B troviamo la sola replica spettrale per k =0.
S-II. Il segnale x(t) è limitato nella banda base B>1/Ts (eventualmente B =+∞). Le varie repliche spettrali Xa (jΩ+j2πk/Ts),
per k = −∞,,...,+∞, interferiscono. In particolare, nella banda base B si sovrappongono più repliche spettrali.
4 T s
4 T s
1 T s
2 T s
B
Hr( j)
Hr( j)
T s
1
Xs( j)
X ( j )
a
B
Xa( j)
T X ( j )
s s
T s
T s
2 T s
2 TsB 4 T s
4 T s
sovrapposizione
Figura A.4.8: Il campionamento visto nel dominio della frequenza: periodicizzazione modulo 2π/Ts degli spettri. In alto è
rispettata la condizione BTs ≤ 1, in basso osserviamo la sovrapposizione tra le repliche spettrali per BTs > 1.

180 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Il fenomeno di sovrapposizione delle repliche genera situazioni curiose quando si considera la ricostruzione del segnale mediante
interpolazione cardinale. Specificatemente, questo fenomeno è comunemente indicato con il termine anglo-latino aliasing, peri
motivi illustrati nell’Esempio A.4.1.
In ogni caso, alla luce di quanto già discusso nel par.A.4.4, nella situazione S-II non è possibile ricostruire perfettamente il
segnale xa(t) dai suoi campioni xa(nTs).
Concludiamo offrendo una descrizione grafica dell’operazione di conversione Continuo/Discreto, ora rappresentabile come in
Fig.A.4.9, 4.8 dove abbiamo evidenziato la formazione del segnale analogico campionato idealmente xs(t).
xa t ()
s () t (
t nT )
xs() t xa( nTs) ( tnTs) n
Ts n
s
b sg
s k
2
ST( j)
kT
s 2
T
xa t ()
Misuratore d’Area
(Impulsi Matematici Ampiezze)
T s
C / D
xn [ ] xa( nTs)
xn [ ] x( nT)
Figura A.4.9: Campionamento di un segnale analogico. Notare la formazione del segnale campionato idealmente xs(t).
Per descrivere, nel dominio della frequenza, il legame tra il segnale analogico xa(t) e i suoi campioni espressi come ampiezze
della sequenza x[n], occorre valutare la trasformata di Fourier della sequenza x[n] def
= xa(nTs):
X(e jω ) def
= F {x[n]} =
+∞
n=−∞
x[n]e −jωn =
+∞
n=−∞
xa(nTs)e −jωn
Andando a eseguire il confronto con la trasformata di Fourier del segnale campionato xs(t) =
Xs(jΩ) def
= F {xs(t)} =
+∞
n=−∞
xa(nTs)F {δ(t − nTs)} =
+∞
n=−∞
+∞
n=−∞
a s
xa(nTs)e −jΩTsn
xa(nTs)δ(t−nTs) otteniamo
Abbiamo, quindi, ottenuto la seguente relazione tra la trasformata di Fourier del segnale da campionare Xa(jΩ) ⇐⇒ xa(t), ela
trasformata di Fourier della sequenza dei campioni X(e jω FT
) ⇐⇒ x[n].
Le Trasformate di Fourier nel Campionamento
X(e jω
)=Xs(jΩ) =
Ω=ω/Ts
1
Ts
+∞
Xa jΩ − j 2π
k
Ts
k=−∞
FT
(A.4.9)
4.8La Fig.A.4.9 riporta una rappresentazione dell’operazione di campionamento particolarmente utile per gli scopi analitici di questo capitolo.
Si badi, però, che essa non costituisce la descrizione di un particolare dispositivo fisico, e.g. un convertitore Analogico-Digitale (Analog to Digital
Converter, ADC), che non può certamente far uso d’impulsi matematici.

A.4.5. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CAMPIONAMENTO 181
Vale la pena notare che la periodicizzazione modulo 2π/Ts nella variabile Ω dello spettro X(jΩ) del segnale campionato diventa
modulo 2π nella variabile ω quando si considera lo spettro X(e jω ) della sequenza; infatti, in quest’ultimo, ogni riferimento al
tempo di campionamento è andato perso nella normalizzazione ω =ΩTs, relazione che descrive il legame stabilito dall’operazione
di campionamento tra gli assi della pulsazione, per così dire, analogica Ω e quella discreta ω (cfr. Fig.A.4.10). Abbiamo così
ritrovato il fatto che gli spettri di segnali campionati sono intrinsecamente periodici, e questo fatto è sempre essenzialmente dovuto
al fenomeno dell’indistinguibilità di segnali sinusoidali sottoposti alla discretizzazione del loro dominio di definizione, fenomeno
già discusson nel parA.1.10.4.
Per finire, osserviamo che per BT ≤ 1 possiamo anche scrivere
Xs(jΩ) = 1
jΩ mod j 2π
Ω=ω/Ts
Xa
Ts
in quanto non si verifica alcuna sovrapposizione nella periodicizzazione dello spettro.
4 T s
4
2 T s
2
B
1
1 T s
1 T s
BT s
X ( j )
s
Xe j
( )
Ts
Xa( j)
B
BT s
2 T s
2
4 T s
Figura A.4.10: Normalizzazione dell’asse delle frequenze nel campionamento.
4
T s
Gli argomenti sopra esposti permettono di enunciare la cosiddetta condizione di Nyquist riguardo il rapporto tra ritmo di
campionamento 1/Ts e banda del segnale B.
Condizione di Nyquist
Per un segnale limitato nella banda base B e campionato al ritmo di 1/Ts campioni per secondo, non si verifica sovrapposizione
delle repliche spettrali quando risulta
B · Ts ≤ 1
Il segno uguale vale solo se il segnale non presenta componenti sinusoidali 1 alle pulsazioni Ω=±π/Ts.
1In questo caso, infatti, avremmo due impulsi matematici alle pulsazioni Ω=±π/Ts; nella periodicizzazione modulo 2π/Ts dello spettro,
questi impulsi interferiscono per BTs =1.
Come detto in precedenza, il fenomeno di sovrapposizione delle repliche spettrali, che si verifica quando si opera il campionamento
violando la condizione di Nyquist, si chiama anche con il termine aliasing, per i motivi illustrati nell’Esempio A.4.1,

182 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.6 Analisi nel Dominio della Frequenza: Conversione Discreto/Continuo
L’operazione di conversione Discreto/Continuo, ossia l’operazione di ricostruzione di un segnale analogico xr(t) mediante
interpolazione cardinale di una sequenza x[n] si scrive
xr(t) =
+∞
n=−∞
t − nTr
x[n]sinc
è rappresentata nella Fig.A.4.11, dove si evidenzia il ruolo giocato dal segnale
xs(t) def
=
+∞
n=−∞
Tr
(A.4.10)
x[n]δ (t − nTr) (A.4.11)
costituito da impulsi matematici spaziati Tr. 4.9 Esso è generato associando le ampiezze dei campioni x[n] alle aree degli impulsi
δ(t − nTr), la cui spaziatura è determinata dal parametro di ricostruzione Tr.
xn [ ]
Generatore d’Impulsi
(Ampiezze Impulsi Matematici)
xn [ ]
T r
xs() t xn [ ] (
t nTr)
T r
n
sincatTrf
t nT
D/ C
xr() t xn [ ] sinc
T
n
Figura A.4.11: Ricostruzione per Interpolazione.
Utilizzando il segnale xs(t), epostosinc Tr (t) def
=sinc(t/Tr), possiamo riscrivere la (A.4.10) come convoluzione di filtraggio:
xr(t) = xs ∗ sinc Tr
F
HG
r
r
I
KJ
xr t ()
(t) (A.4.12)
Lo spettro del segnale xs(t) è parente stretto dello spettro della sequenza x[n], esso si ottiene per semplice normalizzazione
dell’asse delle frequenze ω =ΩTr, i.e.
Xs(jΩ) = X(e jω
)
ω=ΩTr
Si noti che entrambi gli spettri sono periodici, X(e jω ) modulo 2π mentre Xs(jΩ) modulo 2π/Tr.
Con l’aiuto del segnale xs(t) possiamo comprendere l’effetto del filtro ricostruttore nel dominio della frequenza, in tutta
analogia a quanto già fatto nel paragrafo precedente. Posto Br =1/Tr la banda del filtro passabasso ricostruttore ideale, abbiamo
Xr(jΩ) = Xs(jΩ) · Tr H (Br)
LP (jΩ) = X(ejω
) · Tr H (Br)
LP (jΩ) (A.4.13)
ω=ΩTr
La (A.4.13) è illustrata nella Fig.A.4.12, dove abbiamo considerato anche un ulteriore filtro ricostruttore h ′ r(t) non ideale, i cui
effetti distorcenti sono discussi nel par.A.4.6.1.
4.9 Con un piccolo abuso di notazione, abbiamo usato lo stesso simbolo xs(t) per denotare il segnale analogico campionato al ritmo di 1/Ts
campioni/s (A.4.6) e il segnale analogico (A.4.11) che ripristina la spaziatura temporale Tr fra i campioni della sequenza x[n], pur essendo in
generale Ts = Tr .

A.4.6. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CONVERSIONE DISCRETO/CONTINUO 183
A.4.6.1 Effetto Moirè
Cconsiderato un filtro ricostruttore h ′ r(t) non ideale, i.e. H ′ r(jΩ) = H (Br)
LP (jΩ), le (A.4.12) e (A.4.13) diventano:4.10
x ′ r(t) def
+∞
= x[n]h
n=−∞
′
t − nTr
r
= xs(t) ∗ h
Tr
′ r(t/Tr)
Xr(jΩ) = Xs(jΩ) · Tr H ′ r(jΩ · Tr) =X(e jω
) · Tr H ′ r(jΩ · Tr)
ω=ΩTr
Come illustrato nella Fig.A.4.12, notiamo che le imperfezioni sul segnale ricostruito prodotte dall’andamento della risposta armonica
H ′ r(jΩ · Tr) sono dovute a due cause:
1. mancato rigetto delle componenti sinusoidali esterne alla banda Br =1/Tr, per questo dette spurie, causato della scarsa
selettività in frequenza del filtro ricostruttore;
2. imperfetta ricostruzione nella banda Br = 1/Tr, causata dal guadagno non costante nella banda passante del filtro
ricostruttore.
T r
4
4 T r
2
ricostruttore
passabasso ideale
effetto
moiré
2 T r
1
X ( j )
X ( j )
T r
s
r
Xe j
( )
Tr
r T
2B 2 T
r r
'
TH ( jT) r r r
'
X ( j)
r
2
2 T r
effetto
moiré
4
4 T r
T r
T r
Figura A.4.12: La ricostruzione nel dominio della frequenza: caso generale. In evidenza le componenti spurie (effetto moirè).
Dal punto di vista del legame stabilito dal convertitore D/C tra la sequenza in ingresso x[n] e il segnale ricostruito all’uscita x ′ r(t),
l’imperfetta ricostruzione nella banda Br =1/Tr èdaconsiderarsicausadidistorsione lineare, i.e. alla generica sinusoide discreta
a pulsazione ω in ingresso corrisponde una sinusoide continua in uscita con ampiezza complessa modificata dalla risposta del filtro
ricostruttore H ′ r(jΩ) alla pulsazione Ω=ωTr. Invece, la scarsa selettività in frequenza del filtro ricostruttore è da considerarsi
causa di distorsione nonlineare, i.e. alla generica sinusoide discreta a pulsazione ω in ingresso corrispondono più sinusoidi in
uscita; sostanzialmente, osserveremo un fenomeno d’interferenza tre le componenti sinusoidali spurie interne e quelle esterne alla
banda Br =1/Tr. Tale fenomeno d’interferenza è noto come effetto moirè, 4.11 e un esempio relativo al caso sinusoidale è riportato
nell’Esempio A.4.2.
4.10Nell’indicare l’operazione di convoluzione xs(t) ∗ h ′
r (t/Tr), usiamo la notazione xs(t) per intendere l’intera forma d’onda , e altrettanto
per h ′ r (t/Tr). Questo implica che non si può operare formalmente sulla variabile t, e.g. il valore del segnale ricostruito al tempo t =3non si
può scrivere come xr(3) = xs(3) ∗ h ′
3
r , non avendo significato l’operatore di convoluzione applicato su quantità scalari.
Tr
4.11Dalla parola francese moiré, un tipo di tessuto, tradizionalmente di seta ma ora anche in cotone o fibra sintetica, con un effetto che ricorda le
onde o l’acqua. L’intreccio tipico di tale tessuto si osserva sovrapponendo sinusoidi bidimensionali, i.e. ricostruendo imperfettamente un segnale
sinusoidale bidimensionale campionato, e spesso si osserva sui monitor televisivi quando si visualizzano strutture a righe verticali, e.g. una giacca.
Un generico fenomeno d’interferenza tra segnali anche non rigorosamente sinusoidali è ancora riferito come effetto moirè, anche nel caso di segnali
monodimensionali.

184 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Pertanto, poichè nella pratica siamo costretti a operare interpolazioni diverse da quella cardinale, l’effetto moirè è sempre
potenzialmente osservabile, specialmente nell’interpolazione per tenuta (ordine 0), i.e.
e nell’interpolazione lineare
h (0)
r (t) =φ0(t) def
=rect(t)
h (1)
r (t) =φ1(t) def
=tri(t)
FT
⇐⇒ H (0) sin Ω/2
r (jΩ) =
Ω/2
FT
⇐⇒ H (1)
r (jΩ) =
A.4.6.2 Ricostruzione mediante DAC e Filtraggio Passabasso.
2 sin Ω/2
Ω/2
Come illustrato nella Fig.A.4.13, ponendo in cascata un convertitore digitale analogico (DAC, cfr. par.A.4.3.1), e un filtro analogico
passabasso si realizza un semplice ricostruttore, sufficientemente accurato in diverse situazioni di interesse applicativo.
xn [ ]
j
H ( e )
PC
prefiltraggio numerico
per la precompensazione
delle distorsioni introdotte
dal filtro passabasso analogico
nella sola banda di ricostruzione
DAC
Tr
HLP( j)
/ r T
/ r T
filtro passabasso analogico
Figura A.4.13: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso.
Infatti, l’effetto moirè introdotto dal DAC, che realizza l’interpolazione di ordine 0, è mitigato dal filtraggio passabasso. Tra l’altro,
poichè le attenuazioni di banda oscura del DAC e del filtro vanno a moltiplicarsi, anche una semplice rete RC (cfr. Fig.A.3.11)
può essere impiegata. Scegliendo RC = Tr/π, la risposta in frequenza del cascata DAC-filtro passabasso si scrive come segue:
H (DAC-RC) sin Ω/2 1
r (jΩ) = ·
Ω/2 1+jΩ/π
Nella Fig.A.4.14 abbiamo riportato l’andamento delle riposte in frequenza del DAC, del filtro RC e della loro cascata.
Figura A.4.14: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso RC: andamento delle risposte in frequenza per RC = Tr/π
Notiamo che l’effetto moirè è stato maggiormente attenuato rispetto a quello misurabile a valle del solo DAC (il primo
lobo laterale della 2sin(Ω/2)/Ω è stato portato sotto −50dB), a spese di una maggiore distorsione nella banda di ricostruzione
|ΩTr| ≤π.
xr t ()

A.4.6. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CONVERSIONE DISCRETO/CONTINUO 185
In ogni caso, comunque scelto il filtro analogico a valle del DAC, possiamo sempre supporre di conoscere l’attenuazione
nella banda di ricostruzione, 4.12 che può essere recuperata in maniera sufficientemente accurata mediante filtraggio numerico di
precompensazione HPC(e jω ) a monte del DAC, come illustrato anche in Fig.A.4.13. 4.13
L’andamento del segnale ricostruito è riportato in Fig.A.4.15; notiamo che le discontinuità introdotte dal meccanismo di tenuta
del DAC (Fig.A.4.15 in alto), sono state smussate, e l’andamento del segnale ricostruito si è avvicinato a quello ottenuto mediante
interpolazione cardinale (Fig.A.4.15 in basso), anche se, per la causalità dell’implementazione in tempo reale, nel generico istante
t sono presenti i contributi dei soli campioni convertiti dal DAC nei tempi precedenti.
Figura A.4.15: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso (al centro). In alto abbaimo riportato l’andamento del
segnale ricostruito mediante tenuta, e in basso l’andamento del segnale ricostruito mediante interpolazione cardinale.
Inoltre, nella Fig.A.4.15 notiamo anche il ritardo introdotto dalla cascata DAC-filtro passabasso, in accordo alla risposta impulsiva
che si scrive:
h (DAC-RC)
r (t) = 1 − e −t/RC
u(t) − 1 − e −(t−1)/RC
u(t − 1)
4.12Al di là della mera conoscenza analitica, la risposta in frequenza della catena DAC-filtro si ottiene molto semplicemente iniettando sequenze
sinusoidali e misurando ampiezza e fase del segnale sinusoidale ricostruito.
4.13Osservando l’andamento della risposta in frequenza nella banda di ricostruzione, ci accorgiamo che se la sequenza risulta limitata nella banda
2πB

186 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.7 Considerazioni Finali
• Il fenomeno dell’aliasing è dovuto alla violazione della condizione di Nyquist BTs ≤ 1 nel campionamento uniforme
di segnali analogici. In presenza di aliasing non é possibile ricostruire “perfettamente” il segnale analogico mediante
interpolazione cardinale dei suoi campioni.
Occorre sottolineare però che un segnale fisico non sarà mai perfettamente limitato in banda, anche prendendo la precauzione
di filtrare passabasso prima di effettuare il campionamento, 4.14 non fosse altro per le imperfezioni dell’implementazione
fisica del filtro passabasso (cfr. anche quanto discusso nel par.A.3.6.4).
Nella realtà delle cose, quindi, avremo sempre presenza di aliasing, i cui effetti siamo in grado di valutare mediante gli
strumenti acquisiti mediante l’analisi del campionamento nel dominio della frequenza. Ad esempio, se l’energia del segnale
def
contenuta nella banda di Nyquist BN =1/Ts, i.e.
E (B N )
x
differisce di qualche percento dall’energia totale, i.e.
def 1
=
2π
Ex − E (B N )
x
Ex
+πB N
−πB N
|X(jΩ)| 2 dΩ
[0.01 ÷ 0.05]
possiamo affermare che gli effetti distorcenti dovuti all’aliasing risultano trascurabili, i.e. il segnale può considerarsi praticamente
limitato nella banda BN e quindi praticamente ricostruibile senza imperfezioni apprezzabili dai suoi campioni
presi al ritmo 1/Ts.
• In caso di aliasing non trascurabile, possiamo calcolare la porzione di energia di segnale non distorto da aliasing. Detta B
la banda del segnale, dalla Fig.A.4.8 osserviamo che la banda non affetta da aliasing è
Bna
def 2
= − B
Ts
e quindi la porzione d’energia di segnale non distorto si calcola come segue:
E (Bna)
x
= 1
2π
Allora, la porzione d’energia di segnale distorto risulta:
E (Ba)
x
+πBna
−πBna
|X(jΩ)| 2 dΩ
= Ex − E (Bna)
x
Alternativamente, ove risultasse più semplice l’integrazione, possiamo anche scrivere
E (Ba)
x = 1
2π
e più semplicemente per segnali reali:
4.14 in questo caso si parla di filtraggio anti-aliasing.
−πBna
−πB
E (Ba)
x
|X(jΩ)| 2 dΩ+ 1
2π
= 1
π
+πB
+πBna
+πB
+πBna
|X(jΩ)| 2 dΩ
|X(jΩ)| 2 dΩ

A.4.7. CONSIDERAZIONI FINALI 187
• L’effetto moirè è dovuto alla non perfetta limitazione nella banda 1/Tr del filtro ricostruttore usato nella ricostruzione di
segnali analogici mediante interpolazione dei loro campioni. Poichè solo il filtro passabasso ideale è limitato in banda,
in realtà avremo sempre presenza di effetto moirè. Anche in questo caso, siamo in grado di eseguire delle valutazioni
quantitative operando nel dominio della frequenza. Detto H ′ r(jΩ) la risposta in frequenza del filtro interpolatore, l’energia
dovuta all’effetto moirè, i.e.
E (M)
x ′ r
=
−π/Tr
−∞
|H ′
r(jΩ) X(e jΩTr )| 2 dΩ+
si può confrontare con l’energia del segnale ricostruito, i.e.:
+∞
+π/Tr
Ex ′ r =
+∞
|H ′ r(jΩ) X(e jΩTr )| 2 dΩ
−∞
|H ′
r(jΩ) X(e jΩTr )| 2 dΩ

188 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.8 Appendice: Ricostruzione di Segnali Campionati per BTs

A.4.8. APPENDICE: RICOSTRUZIONE DI SEGNALI CAMPIONATI PER BTS

190 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Esempio A.4.1 - Violazione della Condizione di Nyquist e Aliasing: Esempio per Segnale Sinusoidale
Oltre al caso generale graficizzato nella Fig.A.4.8, per illustrare il fenomeno susseguente alla violazione della condizione di
Nyquist, consideriamo il campionamento e la ricostruzione cardinale del segnale sinusoidale, evidentemente limitato in banda,
xa(t) =e jΩ0t FT
⇐⇒ 2πδ(Ω − Ω0)
Per π/Ts < Ω0, si ha il fenomeno illustrato nella Fig.A.4.19, dove, per semplicità, abbiamo omesso il passaggio Xs(jΩ) →
X(e jω ) → Xs(jΩ) equivalente all’identità.
4 T s
4 T s
2 T s
aliasing
TX s s ( j )
Hr( j)
Xa( j)
0
'
0
0
2 T s
T s 0
4 T s
4 T s
Figura A.4.19: Aliasing nel campionamento di un segnale sinusoidale.
Infatti, nella trasformata di Fourier del segnale campionato
Xs(jΩ) = 2π
+∞
Ts
k=−∞
δ(Ω − Ω0 − 2πk/Ts)
la replica per k = −1 è costituita da un impulso matematico alla pulsazione Ω ′ 0 =Ω0− 2π/Ts, con|Ω ′ 0|

A.4.8. APPENDICE: RICOSTRUZIONE DI SEGNALI CAMPIONATI PER BTS 2π/Ts − Ω0. Allora, come si vede dalla Fig.A.4.20, il
filtro ricostruttore cattura sia la replica per k =0che quella per k = −1 risultando:
4 T s
4 T s
xr(t) =e jΩ0t + e −j(Ω0−2π/Ts)t
2 T s
H ( j )
r
effetto
moirè
2 Ts 0
X ( j )
a
0
X ( j )
s
0
Area 1
2 T s
T s 0
B 2 T
r s
0
4 T s
4 T s
Area 1 T s
Figura A.4.20: Effetto moirè nella ricostruzione: caso particolare di segnale sinusoidale.
Il segnale ricostruito, quindi, soffrirà del fenomeno d’interferenza tra le due sinusoidi, delle quali quella a pulsazione Ω0 − 2π/Ts
è da considerarsi spuria (indesiderata). 4.15
4.15Nel caso di sinusoidi reali nella banda audio, l’effetto moirè si presenta come quando si pizzicano due corde di chitarra che dovrebbero
emettere la stessa nota ma non lo fanno a causa di una non perfetta accordatura. In questo caso, si sente il battimento delle due note, i.e. si sente
la nota alla frequenza media tra le due, modulata in intensità dalla frequenza semi-differenza. Quando la modulazione scompare, l’accordatura è
perfetta. Infatti, per la nota formula di prostaferesi, abbiamo:
Ω1 +Ω2 Ω1 − Ω2
cos(Ω1t)+cos(Ω2t) =2cos
· cos
2
2

192 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.9 Esercizi
1. Si descriva il campionamento e la ricostruzione mediante interpolazione cardinale del segnale analogico
xa(t) =A0 cos(2πf0t)
anche illustrando in forma grafica i vari passaggi.
Si considerino i due casi Ts < 1/2f0, Ts > 1/2f0 econTr = Ts.
Si ripeta considerando la ricostruzione mediante interpolazione mediante tenuta (ordine zero), e mediante interpolazione
linare (ordine 1)
2. Ottenere la funzione di autocorrelazione della serie aleatoria x[n] ottenuta per campionamento uniforme del processo
aleatorio stazionario ed ergodico xa(t) avente la seguente funzione di autocorrelazione:
Rxa (τ) =Bσ 2 xa sinc(Bτ)+η2 xa
Si calcolino, inoltre, la componente continua e la potenza di x[n].
Discutere i due casi Ts Bnel dominio della frequenza.