Capitolo A.4 Campionamento e Ricostruzione di Segnali - InfoCom

176 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.4 Conversioni C/D e D/C
Abbiamo visto che, da un segnale ricostruito per interpolazione cardinale di una sequenza, è possibile riottenere i campioni della
sequenza stessa mediante campionamento opportuno del segnale ricostruito: basta che il ritmo di campionamento coincida con il
fattore di espansione temporale operato nella ricostruzione (cfr. Fig.A.4.6).
xn [ ]
D/ C
xr t ()
T
C / D
xn [ ]
si riottiene sempre
xn [ ] xn [ ]
Figura A.4.6: Campionamento in cascata alla ricostruzione.
Scambiando di posto le conversioni nella cascata di Fig.A.4.6, si ottiene la situazione di Fig.A.4.7, dove si evidenzia che, in
generale, la ricostruzione da una sequenza generata per campionamento non necessariamente coincide con il segnale analogico
originale. Quando questo accade diciamo che è possibile operare una perfetta ricostruzione.
x t
a( )
xn [ ]
C / D
D/ C
T
x t
r( )
non necessariamente
xr() t xa() t
Figura A.4.7: Ricostruzione in cascata al campionamento.
Poichè il segnale ottenuto per interpolazione cardinale si scrive come una serie di funzioni sinc(·), i.e.
+∞
t − nT
xr(t) = x[n] · sinc
(A.4.3)
T
n=−∞
per avere una perfetta ricostruzione, ossia xr(t) =xa(t), il segnale analogico xa(t) deve necessariamente potersi sviluppare in
serie di funzioni sinc(·).
E’ facile rendersi conto che questa condizione è anche sufficiente, e quindi possiamo enunciare la seguente
Proposizione 4.1 Sia xa(t) un segnale analogico sviluppabile in serie di funzioni seno cardinale, i.e. esistono coefficienti ξn
e un valore T con i quali sia possibile scrivere il seguente sviluppo
xa(t) =
+∞
t − nT
ξn · sinc
T
n=−∞
Allora la sequenza dei campioni x[n] =xa(nT) presi al ritmo di 1/T campioni per secondo coincide con i coefficienti di
sviluppo ξn. Infatti:
+∞
nT − mT
x[n] =xa(nT)= ξm · sinc
= ξn
T
m=−∞
⎧
⎪⎨ 1 per n = m
=
⎪⎩ 0 per n = m
La sequenza x[n] costituisce una rappresentazione del segnale analogico xa(t), nel senso che la ricostruzione mediante interpolazione
cardinale dei campioni xs[n], spaziati di T secondi, restituisce il segnale analogico xa(t) (ricostruzione perfetta).
Inoltre, vale la conservazione dell’energia, i.e. Exa = Exs .