Capitolo A.4 Campionamento e Ricostruzione di Segnali - InfoCom

172 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.1 Campionamento Uniforme di Segnali Analogici
Da un segnale analogico, diciamo xa(t), èsempre possibile ottenere una sequenza, diciamo x[n], per mezzo dell’operazione di
campionamento uniforme al ritmo di Fs =1/Ts campioni per secondo, i.e.
x[n] def
= xa(t) = xa(nTs)
t=nTs
La conversione Continuo-Discreto così definita si rappresenta simbolicamente come in Fig.A.4.1.
x t
a( )
C / D
xn [ ] xa( nTs)
T s
Figura A.4.1: Generazione di sequenze per campionamento (Conversione C/D).
Si noti che nel passaggio da segnale analogico a sequenza si perde l’informazione sull’intervallo temporale tra campioni successivi,
non necessario alla definizione del dominio discreto della sequenza xs[n], nonostante quest’ultima sia stata ottenuta per
campionamento uniforme al ritmo di 1/Ts campioni al secondo.
A.4.2 Ricostruzione di Segnali Analogici da Sequenze
La ricostruzione di segnali analogici a partire da una sequenza si effettua mediante l’operazione di interpolazione con una generica
funzione interpolatrice φ(t), opportunamente normalizzata.
Preliminarmente, però, occorre restaurare una metrica per definire l’intervallo temporale che sussiste tra campioni consecutivi,
in modo da restaurare la continuità del dominio di definizione del segnale analogico che si vuole ottenere.
Sia allora Tr l’intervallo temporale che “riscala” l’asse dei tempi nel senso appena illustrato; l’operazione di interpolazione
della sequenza x[n] nel segnale ricostruito xr(t) è definita come segue
x (φ)
r (t) =
+∞
n=−∞
t − nTr
x[n] · φ
Tr
(A.4.1)
In parole povere, il segnale analogico è ottenuto sommando repliche, opportunamente traslate e scalate in ampiezza, della funzione
interpolatrice; per la generica replica traslata in t = nTr, il fattore d’ampiezza é pari proprio all’n-esimo campione x[n]. 4.1
Quando φ(t) =sinc(t) si parla di interpolazione cardinale, indicando più semplicemente
t
xr(t) =xs(t) ∗ sinc
Tr
=
+∞
n=−∞
Una rappresentazione grafica dell’interpolazione cardinale è riportata in Fig.A.4.2.
t − nTr
x[n] · sinc
Tr
(A.4.2)
4.1 Come meglio vedremo in seguito, la formula d’interpolazione (A.4.1) si può riscrivere utilizzando il seguente segnale costituito solo da impulsi
matematici
xs(t) =
+∞
x[n] · δ(t − nTr)
n=−∞
Il segnale analogico xs(t) si riferisce anche come segnale campionato. Pur essendo un segnale tempo-continuo, l’informazione in esso contenuta
appare solo nell’insieme discreto degli istanti nTs, contenuta nelle aree degli impulsi matematici.
Allora, posto φTr (t) def
= φ(t/Tr), possiamo scrivere:
x (φ)
r (t) = xs ∗ φTr (t)
Quindi, l’operazione di interpolazione sui campioni x[n] appare come filtraggio sul segnale xs(t), e potremo usare la potenza dell’analisi di
Fourier per comprendere meglio la relazione stabilita tra la sequenza dei campioni x[n] e il segnale interpolato x (φ)
r (t).