Capitolo A.4 Campionamento e Ricostruzione di Segnali - InfoCom

182 CAPITOLO A.4. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
A.4.6 Analisi nel Dominio della Frequenza: Conversione Discreto/Continuo
L’operazione di conversione Discreto/Continuo, ossia l’operazione di ricostruzione di un segnale analogico xr(t) mediante
interpolazione cardinale di una sequenza x[n] si scrive
xr(t) =
+∞
n=−∞
t − nTr
x[n]sinc
è rappresentata nella Fig.A.4.11, dove si evidenzia il ruolo giocato dal segnale
xs(t) def
=
+∞
n=−∞
Tr
(A.4.10)
x[n]δ (t − nTr) (A.4.11)
costituito da impulsi matematici spaziati Tr. 4.9 Esso è generato associando le ampiezze dei campioni x[n] alle aree degli impulsi
δ(t − nTr), la cui spaziatura è determinata dal parametro di ricostruzione Tr.
xn [ ]
Generatore d’Impulsi
(Ampiezze Impulsi Matematici)
xn [ ]
T r
xs() t xn [ ] (
t nTr)
T r
n
sincatTrf
t nT
D/ C
xr() t xn [ ] sinc
T
n
Figura A.4.11: Ricostruzione per Interpolazione.
Utilizzando il segnale xs(t), epostosinc Tr (t) def
=sinc(t/Tr), possiamo riscrivere la (A.4.10) come convoluzione di filtraggio:
xr(t) = xs ∗ sinc Tr
F
HG
r
r
I
KJ
xr t ()
(t) (A.4.12)
Lo spettro del segnale xs(t) è parente stretto dello spettro della sequenza x[n], esso si ottiene per semplice normalizzazione
dell’asse delle frequenze ω =ΩTr, i.e.
Xs(jΩ) = X(e jω
)
ω=ΩTr
Si noti che entrambi gli spettri sono periodici, X(e jω ) modulo 2π mentre Xs(jΩ) modulo 2π/Tr.
Con l’aiuto del segnale xs(t) possiamo comprendere l’effetto del filtro ricostruttore nel dominio della frequenza, in tutta
analogia a quanto già fatto nel paragrafo precedente. Posto Br =1/Tr la banda del filtro passabasso ricostruttore ideale, abbiamo
Xr(jΩ) = Xs(jΩ) · Tr H (Br)
LP (jΩ) = X(ejω
) · Tr H (Br)
LP (jΩ) (A.4.13)
ω=ΩTr
La (A.4.13) è illustrata nella Fig.A.4.12, dove abbiamo considerato anche un ulteriore filtro ricostruttore h ′ r(t) non ideale, i cui
effetti distorcenti sono discussi nel par.A.4.6.1.
4.9 Con un piccolo abuso di notazione, abbiamo usato lo stesso simbolo xs(t) per denotare il segnale analogico campionato al ritmo di 1/Ts
campioni/s (A.4.6) e il segnale analogico (A.4.11) che ripristina la spaziatura temporale Tr fra i campioni della sequenza x[n], pur essendo in
generale Ts = Tr .