Strato Fisico - Le Modulazioni Numeriche

Capitolo 6 

Strato Fisico- 

Le Modulazioni Numeriche 

Baccarelli, 

Cordeschi, Patriarca, Polli 

1

Modulazione e Demodulazione numerica 

segnale 

numerico 

...0010111001... 

segnale 

numerico 

...0010011001... 

affetto 

da errori 

modulatore 

numerico 

demodulatore 

numerico 

Baccarelli, 


segnale 

analogico 

affetto da 

distorsioni e 

rumore 

mezzo 

trasmissivo 

segnale 

analogico 

2

Modulazione numerica: banda base e 

banda base 

utilizza segnali analogici 

con trasformata di Fourier 

contenuta 

in un intervallo di frequenza 

contiguo all’origine 

X(f) 

Mezzi trasmissivi 

in banda base 

(es.: linea bifilare) 

banda traslata 

f 

Baccarelli, 



utilizza segnali analogici 

con trasformata di Fourier 

contenuta 

in un intervallo di frequenza 

non contiguo all’origine 

X(f) 

Mezzi trasmissivi 

in banda traslata 

(es.: trasmissioni radio) 

f 

3

Schema di modulazione in banda 

segnale numerico 

segnale numerico 

traslata 

modulatore 

numerico in 


demodulatore 

numerico 

(banda traslata) 

Baccarelli, 


segnale analogico 


mezzo 

trasmissivo 

segnale analogico 


4

Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico: 

+ 5 V 

Rappresentazione dei segnali numerici 

-5 V 

mediante segnali analogici (1/8) 

Tensione elettrica sul filo, 

dalla tastiera alla CPU 

0 1 0 0 0 1 0 1 … 

Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, 

impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo 

t 

Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE 

P 0 

0 

Baccarelli, 


Potenza luminosa entrante in una 

fibra ottica 

0 1 0 0 0 1 0 1 … 

5 

t


asse dei tempi → 

segnale numerico b(n) → 

(sequenza di simboli) 

sequenza di ampiezze a(n) → 

(valori associati ai simboli secondo una 

corrispondenza biunivoca: 

Es. +5 ⇔ 0 ; -5 ⇔ 1 ) 

impulsi 

di forma g(t) 

di ampiezza a(n) 

1 → 

t 

trasmessi negli istanti nT 

x 


+ ∞ 

= ∑ 

n= 

−∞ 

() t a( 

n) 

g( 

t − nT) 

+5 

-5 

Baccarelli, 


0 T 2T 5T 

... 0 1 0 0 0 1 0 1 … 

...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 … 

a(0)g(t) 

a(1)g(t-T) 

a(2)g(t-2T) 

a(3)g(t-3T) 

6 

t


Esempio: 


simboli: 0 1 

ampiezze: P 0 0 

forma di impulso: 

P 0 

segnale analogico: 

x(t) 

0 1 0 0 0 1 0 1 … 

0 t 

x 

g(t) 

0 T 

+ ∞ 

= ∑ 

n= 

−∞ 

1 

() t a( 

n) 

g( 

t − nT) 

Baccarelli, 


t 

7



Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente: 

alfabeto di ordine α, cioè costituito da α 

simboli arbitrari rappresentabili, 

senza perdita di generalità, con i numeri naturali 

{0, 1, 2, ..., a –1} 

intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T 

velocità di emissione dei simboli: f s =1/T 

Baccarelli, 


8



Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico 

dove 

x 

= ∑ ∞ + 

() t a( 

n) 

g( 

t − nT) 

n= 

−∞ 

g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato 

all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore 

i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze 

di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente 

associati agli α simboli dell’alfabeto 

[ a 0 , a 1 , a 2 , ... , a a-1 ] 

Baccarelli, 


9

Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche 

rispetto allo 0. 

Esempi: 

α = 2 α = 3 α = 4 

+1 +1 +1 

a 



Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di 

valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze 

{a(n)}. 

b(n) a(n) 

-1 

a 

0 

-1 

simboli ampiezze di impulso 

0 a 0 

1 a 1 

... ... 

a -1 a a-1 

a 

+1/3 

-1/3 

-1 

a i 

2i 

= 1− 

α −1 

Baccarelli, 


[ i = 0, 1, 2, ... , α -1 

] 

Senza perdita di generalità,nel caso di α=2 

assumeremo a0 =1, a1 =-1. 

10



x 

= ∑ ∞ + 

() t a( 

n) 

g( 

t − nT) 

n= 

−∞ 

onda PAM 

PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza 

di Impulso) 

simboli diversi ⇔ differenti valori della ampiezza degli impulsi 

larghezza di 

banda dell’onda 

PAM 

⇔ 

larghezza di 

banda del segnale 

g(t) 

Baccarelli, 


11


Esempi di segnali PAM 

Ordine 

dell’alfabeto 

α 

Ampiezze di 

impulso a i 

(i=0,1,...,α-1) 

2 [+1 , -1] 

3 

4 


[+1, 0, -1] 

[+1, +1/3, -1/3, -1] 

Forma di 

impulso g(t) 

-T/2 0 +T/2 

-T/2 0 +T/2 

Baccarelli, 


1 

1 

1 

-T/2 0 +T/2 

segnale PAM x(t) 

0 0 1 0 

0 T 2T 

0 0 1 2 

0 T 

2T 

0 1 0 3 

0 T 2T 

12

Prestazioni delle 

Modulazioni Numeriche 

PAM 

Baccarelli, 


13

Obiettivi: 

Modulazione numerica 

• trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale 

avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore 

massimo fm; • ottenere elevata efficienza di banda, definita come: 

velocità di simbolo 

= 

larghezza di banda del segnale modulato 

Baccarelli, 


f 

f 

s 

m 

[(simboli/sec)/Hz] 

Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo 

estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide 

transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti 

di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t). 

14

Segnale 

dalla sorgente 

(rappres. PAM ideale) 

Segnale PAM ideale 

u 

Schema di principio di un 

= ∑ ∞ + 

() t a( 

n) 

δ( 

t − nT) 

n= 

−∞ 

modulatore PAM 

0 0 1 0 

0 t 

Baccarelli, 


Filtro 

formatore di impulso 

con risposta 

impulsiva g(t) 

( t) 

g( 

t) 

x( t) 

= u ∗ 

Segnale PAM a banda limitata 

(in uscita dal modulatore) 

x 

= ∑ ∞ + 

() t a( 

n) 

g( 

t − nT) 

n= 

−∞ 

0 0 1 0 

0 T 2T 

t 

15

Modello di Canale lineare e permanente 

affetto da rumore additivo Gaussiano 

Canale 

lineare e permanente 

C(f) = FT [c(t)] 

passa-basso 

C(f) = 0 per |f | > f m 

Segnale PAM a banda limitata 

(in uscita dal modulatore) 

x 

= ∑ ∞ + 

() t a( 

n) 

g( 

t − nT) 

n= 

−∞ 

0 0 1 0 

0 T 2T 

y(t) = x(t) * c(t) 

Baccarelli, 


n(t) 

+ 

z(t) = y(t) + n(t) 

segnale in uscita 

dal canale 

rumore additivo gaussiano n(t) 

con spettro di densità di 

potenza 

uniforme W n(f) = N 0 (Watt/Hz) 

“rumore Gaussiano bianco” 

16

Filtro di ingresso 

al demodulatore 

G R(f) 

z(t) 

segnale in 

uscita 

dal canale 

Campionamento 

negli istanti 

t = kT 

w(t) = y(t) * g R(t) + η(t) 

componente 

utile 

Demodulatore PAM 

= r(t) + η(t) 

Esempio: 

w(kT) → +1,21 +0,66 -1,35 +1,17 

^a(k) 

→ +1 +1 -1 +1 

^b(k) 

→ 0 0 1 0 

rumore 

filtrato 

Baccarelli, 


w(kT) 

nt ()* gR() t 

Decisione 

criterio di decisione 

â(k) 

sequenza 

stimata delle 

ampiezze 

trasmesse 

Il criterio qui applicato è il seguente: 

w(kT) ≥ 0 → a(k) ^ 

= +1 ; 

w(kT) < 0 → a(k) ^ = -1 

Nel segnale numerico ricevuto possono 

comparire errori dovuti a decisione 

errata. 

17

MODULATORE DEMODULATORE 

Segnale 

sequenza â(k) 

dalla sorgente 

Decisione 

u 

= ∑ ∞ + 

() t a( 

n) 

δ( 

t − nT) 

n= 

−∞ 

Filtro formatore di 

impulso G(f) 

() t g( 

t) 

x( t) 

= u ∗ 

CANALE 

Modulazione numerica 

Canale 

lineare e permanente 

C(f) 

y(t) 

n(t) 

+ 

Baccarelli, 


w(kT) 

Campionamento 

negli istanti t = kT 

w(t) = y(t) * g R (t) + η(t) 

Filtro di ingresso al 

demodulatore G R (f) 

z(t) = y(t) + n(t) = 

= x(t)*c(t) + n(t) 

18

con 

Componente di segnale utile all’ingresso 

del campionatore 

r 

w(t) = y(t)*g R(t) + n(t)*g R(t) = r(t) + η(t) 

( t) 

= y( 

t) 

∗ gR 

( t) 

= x() 

t ∗c() 

t ∗ gR 

() t 

= u() 

t ∗ g() 

t ∗c() 

t ∗ g () t 

+ ∞ 

= h() 

t ∗ ∑a( n) 

δ ( t − nT ) 

n= 

−∞ 

() t = g() 

t ∗c( 

t) 

∗g 

( t) 

h R 

risposta impulsiva della cascata di tre 

filtri: 

formatore di impulso, 

canale, 

filtro di ingresso al demodulatore 

Per le funzioni di trasferimento: 

H(f) = G(f) C(f) G R (f) 

R 

Baccarelli, 


segnale utile 

r 

= ∑ ∞ + 

() t a( 

n) 

h( 

t − nT) 

n= 

−∞ 

rumore 

(filtrato) 

Il segnale utile r(t) 

è 

ancora un segnale 

PAM 

con forma di impulso 

h(t) 

19

Demodulazione del 

segnale PAM 

in assenza di rumore 

Baccarelli, 


20

Demodulazione in assenza di rumore 

Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze 

trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione 

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} 

Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0⇒ η(t)=0 

+ ∞ 

w 

w 

() t = r() 

t + η() 

t = r() 

t = a( 

n) 

h( 

t − nT ) 

( kT ) 

= 

= 

+ ∞ 

∑ 

n= 

−∞ 

a( 

n) 

h( 

kT 

a( 

k) 

h( 

0) 

+ 

coincide con a(k) a 

meno della costante 

(guadagno) h(0) 

+ ∞ 

∑ 

n= 

−∞ 

− 

nT ) 

∑a( n) 

h( 

kT − nT ) 

n= 

−∞ , n ≠ k 

componente dipendente dalle ampiezze 

trasmesse prima e dopo l’ampiezza 

k-esima e dalla funzione h(t) (ISI) 

Baccarelli, 


Interferenza 

intersimbolica (ISI) 

21

( kT ) = a( 

k) 

h( 

0) 

+ ∑a( n) 

h( 

kT − 

Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist: 

si ha sempre 

Interferenza intersimbolo e 

condizioni di Nyquist 

+ ∞ 

w nT ) 

n= 

−∞ 

⎧1, 

per k = 0 

hkT ( ) = ⎨ 

⎩0, 

per k ≠ 0 

w(kT) = a(k) 

Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata 

coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore). 

Baccarelli, 


22

Condizioni di Nyquist e forme di impulso 

limitate nel tempo 

(1/2) 

Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, 

quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel 

tempo tra i valori ±T/2. 

Esempio: 

1 

h(t) 

-T -T/2 +T/2 +T +2T 

Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito 

da una sequenza di impulsi separati tra loro. 

Baccarelli, 


1 

w(t) 

-T -T/2 +T/2 +T +2T 

23

Condizioni di Nyquist e forme di impulso 

limitate nel tempo 

(2/2) 

PROBLEMA 

Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo 

ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in 

frequenza (banda infinita). 

Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in 

frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) G R (f) deve 

necessariamente essere limitata in frequenza 

ossia nulla per f>fm 

. 

Baccarelli, 


24

Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo 

⎧1 

per k = 0 

hkT ( ) = ⎨ 

⎩0 

per k ≠ 0 

la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di 

Nyquist nel dominio della frequenza 

Esempio: 

Condizioni di Nyquist nel dominio della 

frequenza 

H(f) 

f 

+∞ 

∑ 

m=−∞ 

costante 

⎛ m ⎞ 

H⎜ f − ⎟= 

⎝ T ⎠ 

H(f+1/T) 

-1/2T 0 +1/2T -2/T -1/T 0 +1/T +2/T f 

Baccarelli, 


T 

T 

H(f) H(f-1/T) H(f-2/T) 

25

Banda minima per la trasmissione di 

segnali PAM senza ISI 

Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si 

deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza 

interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore 

di: 

La somma delle repliche traslate 

di una H(f) di frequenza massima 

minore di f N non può mai dare 

luogo a una costante. 

f 

N 

= 

1 

2T 

fs 

= 

2 

velocità di simbolo 

= 

2 

Banda di Nyquist 

Baccarelli, 


H(f) 

-1/2T 0 +1/2T 

f 

26

Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata - 

passa-basso di Nyquist 

Una particolare forma di impulso h 0(t) 

i. limitato in banda 

ii. che soddisfa le condizioni di Nyquist 

è quella la cui trasformata di Fourier H 0(f) è la funzione di 

trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il 

fattore costante T): 

h () t = 

0 

h 0(t) 

⎛ t ⎞ 

sin⎜π⎟ 

⎝ T ⎠ 

t 

π 

T 

( f ) = ⎨ 

⎪⎩ 

Baccarelli, 

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 


H 

t 

0 

⎧ 

T 

⎪ 

0 

per 

per 

H 0(f) 

T 

-1/2T 0 +1/2T 

f 

f 

≤ 

> 

1 

2T 

1 

2T 

f 

27

Esempio: 

Forma d’impulso di Nyquist a banda 

limitata 

Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h 0(t) 

+1 

+1 

-1 

0 

0 

h 0(t) 

r(t) 

T 

t 

Baccarelli, 


T 

H 0(f) 

-1/2T 0 +1/2T 

f 

28 

t

Forma d’impulso di Nyquist a coseno 

⎧ T, per 0 ≤ f ≤(1 −γ) 

fN 

⎪ 

⎪ 

⎪ T ⎡ πT 

⎤ 

H( f) 

= ⎨ 1 sin( ( f f )) , per ( 1 ) f f ( 1 ) f 

2 

⎢ − − ⎥ −γ ≤ < +γ 

⎪ ⎣ γ ⎦ 

⎪ 

⎪ 

⎪⎩ 0 per f > ( 1 +γ ) fN 

T 

H(f) 

0 f N 

rialzato 

n N N 

γ fattore di roll-off, 0 < γ ≤1 

γ = 1 

γ = 0.6 

γ = 0.3 

γ = 0 

Baccarelli, 


2f N 

29


All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso 

ideale) a 1 

Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano 

più rapidamente. 

-4T -3T -2T -T 

rialzato 

Minore criticità nel campionamento in ricezione. 

La banda occupata aumenta da f N a f N(1 + g) 

1 

h(t) 

Baccarelli, 


γ=1 

γ = 0.6 

γ= 0.3 

γ =0 

t 

0 T 2T 3T 4T 

30

Esempio: 


rialzato 

Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, 

( g = 0 e g = 1 ) 

+1 

h(t) 

γ = 0 

+1 

h(t) 

γ = 1 

+1 

-1 

0 

r(t) 

T 

0 t 

Valori di γ di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6 

t 

Baccarelli, 


+1 

-1 

0 

r(t) 

T 

0 t 

t 

31

Ricezione in presenza di interferenza 

Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni 

del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo 

(anche in assenza di rumori di canale). 

Esempio: 

Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non 

nulli di h(kT), per k ≠ 0] 

Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di 

ampiezza trasmessi ±1] 

+1 

-1 

intersimbolo 

T 

Baccarelli, 


T 

32

I simboli sono associati ad α ampiezze diverse 

(segnale PAM multilivello ad α livelli) 

sorgente 

binaria 

velocità 

di simbolo 

binario f b 

Segnale PAM multilivello 

conversione 

di alfabeto 

2 → α 

velocità di 

simbolo 

f 

f= b 

s 

log 

2 

α 

modulatore 

PAM ad α 

livelli 

Baccarelli, 


canale in 

banda base 

(freq. max. 

fm ) 

f 

≥ s fs 

f m = 

2 2log α 

Minima banda di canale per trasmissione priva di 

interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist). 

2 

33

Vantaggi e svantaggi del PAM 

multilivello 

All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM 

utilizzato abbiamo che: 

i. Aumento dell’efficienza spettrale 

Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a 

parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero 

riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a 

parità di frequenza di simbolo binario fb. 

ii. Aumento della probabilità di errore 

in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a 

causa della minore differenza tra valori adiacenti di 

ampiezza di impulso. 

Baccarelli, 


34

Demodulazione del 

segnale PAM 

in presenza di rumore 

gaussiano 

Baccarelli, 


35

Demodulazione PAM in presenza di 

w 

+ ∞ 

() t r() 

t + η() 

t = a( 

n) 

h( 

t − nT) 

+ η() 

t 

= ∑ 

rumore di canale 

Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze 

trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione 

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} 

Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco 

n= 

−∞ 

Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di 

interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si 

ha 

( kT ) = r( 

kT ) + η ( kT ) = a( 

k) 

+ ( kT ) 

w η 

Variabile con α valori possibili 

Baccarelli, 


(Segnale all’ingresso 

del campionatore di ricezione) 

Variabile aleatoria 

Gaussiana con valore 

atteso nullo e varianza σ 2 

-∞ 

η 

2 

2 

ση 

= N0 

G R ( f ) df 

∫ 

+ ∞ 

36

Decisione in presenza di rumore Gaussiano. 

Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3) 

w(kT)=a(k)+η(kT) 

Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di 

ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del 

≡ 

simbolo trasmesso sulla base di w* ? 

Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD) 

Misurato w(kT) ≡ w*, si decide a favore della più verosimile tra le 

ampiezze {a0 .. aa-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di 

∧ 

quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente 

insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aa-1]}. 

∧ 

In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita 

come segue: 

∧ 

a(k) ≡argmax{p[w* 

a(k)= ai]} 

0≤i≤α−1 Baccarelli, 


37

Decisione in presenza di rumore Gaussiano 

Decisore a minima distanza Euclidea (2/3) 

w(kT)=a(k)+η(kT), 

Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla, 

∧ 

si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita 

è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α 

valori {a0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) 

dal valore misurato w(kT) ≡w*. 

∧ 

Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: 

∧ 

a(k)=argmin{(w*- ai) } 

0≤i≤α−1 IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea 

Baccarelli, 


2 

38

Decisione in presenza di rumore 

Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3) 

w(kT)=a(k)+η(kT) 

Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di 

modulazione PAM binario). 

Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è 

equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando 

∧ 

∧ 

w(kT) ≥0 

e decide a(k)=-1 quando w(kT)

+1 

0 

-1 

a(k) 

Probabilità d’errore in presenza di rumore 

gaussiano 

Caso 2-PAM 

a(k) = -1 

η(kT) > +1 

w(kT) 

w(kT) = a(kT) + η(kT) > 0 

↓ 

â(kT) = +1 ≠ a(kT) w(k) > “errore” 0 

Densità di probabilità gaussiana 

Baccarelli, 


p [w(kT) | a(k) = +1]= 

p [w(kT) | a(k) = -1]= pη [η=w(kT)+1] 

+∞ 

∫ 

0 

p η [η=w(kT)-1] 

( ) 

Pe| −1 = p⎡ ⎣ 

w| a k =− 1 ⎤ 

⎦ 

dw= 

+ ∞ 

= ∫ p η 

1 

+ = 

( η) 

dη 

= Pe| 

1 Pe 

Probabilità di errore 

(area tratteggiata 

in figura) 

40

Strato Fisico - Le Modulazioni Numeriche

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