6. Misure Industriali con Strumenti Analogici - ingbeninato

6. Misure Industriali con 

Strumenti Analogici 

6.1. Generalità 

6.1. Generalità 

Le misure di tipo industriale sono quelle che si effettuano per il rilievo di grandezze su apparati, 

macchine e impianti al fine di verificarne le condizioni di funzionamento o la rispondenza a specifiche 

tecniche. 

Le misure di tipo industriale consentono in genere incertezze relativamente più elevate di quelle 

che si ammettono nelle misure di laboratorio. Alcune misure possono essere indirette in quanto 

la stima del misurando viene ottenuta dalla elaborazione delle indicazioni di due o più strumenti. 

Le misure industriali possono essere effettuate con strumenti elettromeccanici analogici o con 

strumenti elettronici analogici e digitali, con numerose possibili alternative. 

In quanto segue si fa specifico riferimento a misure effettuate con strumenti elettromeccanici 

analogici, tuttavia molte delle argomentazioni trattate valgono anche per strumenti digitali. 

6.2. Misure in Corrente Continua 

Le misure in continua possono riguardare tensioni, correnti, resistenze e potenze. Le misure di 

resistenza e potenza sono indirette in quanto ottenute dalla elaborazione delle indicazioni di 

voltmetro e amperometro. 

Nella trattazione seguente vengono considerate le misure di tensione, corrente, resistenza e 

potenza in regime permanente (corrente continua) eseguite utilizzando strumenti magnetoelettrici. 

Si presuppone che l’oggetto sottoposto a misura sia lineare (indipendente dal valore delle grandezze 

in gioco) e non sia polarizzabile (per cui sono escluse misure su semiconduttori e liquidi). 

A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 121

6 Misure Industriali con Strumenti Analogici 

6.2.1. Misura delle Tensioni 

Per la misura delle tensioni continue si può ricorrere all’uso di un voltmetro indicatore di tipo 

magnetoelettrico dotato di resistenze addizionali. 

Poiché l’indicazione di uno strumento magnetoelettrico è funzione del valore medio della corrente 

che attraversa la bobina mobile, la misura della tensione viene semplicemente ottenuta 

facendo in modo che la corrente risulti proporzionale alla tensione applicata. 

Essendo la bobina mobile realizzata con filo sottile di rame la cui resistività è funzione della 

temperatura, per rendere trascurabile questa dipendenza, in serie alla bobine viene sempre montato 

un resistore a filo di materiale avente coefficiente di temperatura trascurabile (manganina) 

e di valore più elevato di quello della bobina stessa, in modo che il di fondo scala venga raggiunto 

con ben definito valore intero della tensione (ad esempio, 50 mV). 

Il complesso sopra descritto presenta allora una resistenza globale r che viene chiamata resistenza 

interna ed è dell’ordine delle decine di ohm. 

Se lo strumento deve essere predisposto per misurare tensioni più elevate di quella sopra citata, 

si pone in serie ad esso una ulteriore resistenza R, detta resistenza addizionale, secondo lo 

schema indicato in Figura 6.1 (si ricorda che lo strumento fornisce una indicazione proporzionale 

alla corrente). 

Fig. 6.1 Voltmetro magnetoelettrico con resistenza addizionale 

Si possono allora scrivere le seguenti relazioni: 

V 

I R 

r V V0 

nella quale i simboli usati hanno significato ovvio. 

La tensione applicata V è legata alla tensione V0 dal coefficiente 

VR 

r + R 

V = V0+ V R = ( R+ r)I0= 

----------- V 0 

r 

k V 

r + R 

= 

----------r 

che è detto potere moltiplicatore della resistenza addizionale. 

Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso sono montate più resistenze 

addizionali in serie, commutabili in modo da poter disporre di più portate (più poteri moltiplicatori). 

Normalmente non si superano per ragioni di sicurezza i 600 V con 3 o 4 portate. 

(6.1) 




Ad ogni portata è associata la costate strumentale per la quale si deve moltiplicare la lettura per 

ottenere la grandezza cercata. Un voltmetro con più portate avrà quindi tante costanti quante 

sono le portate. Gli strumenti magnetoelettrici descritti possono appartenere a classi di precisione 

anche fino a 0.1. 

6.2.2. Misura delle Correnti 

Per la misura delle correnti continue si può ricorrere all’uso di uno strumento indicatore di tipo 

magnetoelettrico dotato di shunt. 

Per la misura di correnti continue si possono utilizzare strumenti magnetoelettrici, ma poiché la 

corrente che può essere sopportata dalla bobina mobile è molto piccola (qualche milliampere), 

è solitamente necessario ricorrere all’impiego di derivatori (shunt) secondo lo schema di principio 

di Figura 6.2. 

Fig. 6.2 Amperometro con derivatore (shunt) 

Si possono scrivere le relazioni seguenti: 

I 

IS 

⎧SI 

= rI0 ⎪ 

⎪I 

= Is+ I0 ⎨ 

⎪ S 

⎪I 

= ----------- I0 ⎩ r + S 

S r A 

per le quali il significato dei simboli può essere dedotto dalla Figura 6.2. 

La corrente da misurare I è legata alla corrente I0 che attraversa lo strumento dal coefficiente 

k A 

r + S 

= 

----------- 

S 

detto potere moltiplicatore dello shunt. 

Con l’artificio descritto, uno stesso strumento può essere impiegato per misurare correnti da 

pochi milliampere fino a diverse migliaia di ampere, precisando che esso deve essere tarato 

assieme ai propri shunt. La classe di precisione del sistema può essere elevata (classe 0.1 o 0.2). 

Bisogna porre attenzione agli effetti delle connessioni tra shunt e strumento che possono incidere 

sulla accuratezza della misura se la loro resistenza non è trascurabile rispetto a quella 

interna dello strumento (che è solitamente dell’ordine di qualche ohm). In tal caso, il risultato 



A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 123 

I0


risulta affetto da errore sistematico (di segno noto, si misura in meno) ma non definito in 

ampiezza. Di conseguenza risulta aumentata l’incertezza che grava sulla misura. 

6.2.3. Misura delle Resistenze 

Le misure di resistenza possono essere condotte ricorrendo a due strumenti magnetoelettrici, 

un voltmetro e un amperometro corredati dei loro apparati ausiliari. La resistenza incognita 

viene determinata indirettamente attraverso la elaborazione delle indicazioni dei due strumenti. 

La misura è affetta da errore sistematico. 

Un dei modi più semplici per effettuare misure di resistenza è quello di ricorrere al metodo voltamperometrico 

che prevede l’impiego di due strumenti magnetoelettrici un voltmetro e un 

amperometro. Si possono realizzare in alternativa i due schemi rappresentati in Figura 6.3. 

V 

A 

RA 

IA 

Fig. 6.3 Misura di resistenza con metodo voltamperometrico 

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperometro. 

Risulta immediato constatare che mentre il voltmetro è alimentato esattamente dalla tensione ai 

capi dell’oggetto RU del quale si vuole determinare il valore di resistenza, la corrente misurata 

dell’amperometro è la somma di quella che circola nell’utilizzatore e di quella assorbita dal 

voltmetro. Nella misura di corrente si commette quindi un errore di tipo sistematico dipendente 

dal metodo usato. 

Si possono infatti scrivere le relazioni 

Quello che interessa determinare è il valore 

V 

IV 

VV 

IU 

RU 

RV 

VU 




V 

⎧V 

V = V U 

⎨ 

⎩I 

A = IU + IV R U 

= 

V U 

------- 

IU V 

VV 

RV 

VA 

A 

RA 

IA 

RU 

VU

mentre invece si misura la resistenza R M data da 

Quindi, essendo 

R M 




appare evidente che si commette un errore sistematico di segno negativo (si misura in meno). 

L’errore è tanto minore quanto più elevato è il valore di IV . 

In pratica, invece di RU si misura il parallelo tra RV (resistenza interna del voltmetro, 

RV = V U ⁄ IV ) e RU , per cui il valore incognito risulta 


Si osservi che se si pone RV = ∞ , si ha RU = RM . 

In modo analogo si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Si 

possono scrivere le relazioni 

La resistenza misurata risulta quindi 

R M 

V U 

------- 

I A 

= = 

R U 

I A 

IU 



dove RA = V A ⁄ IU è la resistenza interna dell’amperometro. Si osservi che se si pone 

RA = 0 si ha RU = 

RM . 

L’errore sistematico che si commette in questo caso è positivo (si misura in più) a differenza di 

quanto trovato per lo schema con il voltmetro a valle. Esso è tanto minore quanto più piccolo è 

il valore di RA rispetto a quello della resistenza da misurare. 

La scelta dello schema non è arbitraria e ci si deve orientare verso quello con voltmetro a monte 

per la misura delle resistenze di basso valore (sotto i 10 Ω) e allo schema con amperometro a 

monte per la misura di resistenze elevate (oltre i 1000 Ω). Nel campo intermedio possono essere 

valide entrambe le alternative. 

Si osserva infine che se si effettua la misura senza correggere il risultato dell’errore sistematico 

è come se si operasse con strumenti di classe inferiore a quelle proprie in quanto l’errore sistematico 

viene in pratica inglobato in quello attribuito al caso aumentando quindi il grado di 

incertezza. 

In ogni occasione è necessario valutare l’opportunità o meno di effettuare la correzione 

dell’errore sistematico. 


V U 

----------------- 

IU + IV RV RM = -------------------- 

RV – RM ⎧V 

V = V U + V A 

⎨ 

⎩ = 

V U 

------- 

I A 

I U 

V U + V A 

= = -------------------- = RU + RA I U


La stima dell’incertezza che grava sulla stima della resistenza del misurando deve essere valutata 

in base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente e determinando quindi l’incertezza 

composta e quella estesa con le regole indicate nel Capitolo 1. 

6.2.4. Misura delle Potenze 

La misura della potenza che transita nella sezione di un circuito in corrente continua può essere 

effettuata ricorrendo a due strumenti magnetoelettrici, un voltmetro e un amperometro corredati 

dei loro apparati ausiliari. La potenza incognita viene determinata indirettamente attraverso 

la elaborazione delle indicazioni dei due strumenti. La misura è affetta da errore sistematico. 

Uno dei metodi classici per effettuare misure di potenza nei circuiti a corrente continua è quello 

voltamperometrico che prevede l’impiego di un voltmetro e di un amperometro magnetoelettrici. 

Analogamente a quanto esposto per le misure di resistenza, si possono realizzare in alternativa 

i due schemi rappresentati in Figura 6.4. 

V 

A 

RA 

IA 

V 

IV 

VV 

Fig. 6.4 Misura di potenza con metodo voltamperometrico 

IU 

RU 

RV 

VU 

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperometro. 

Risulta immediato constatare che il voltmetro misura esattamente la tensione ai capi dell’utilizzatore 

RU del quale si vuole misurare la potenza assorbita, mentre la corrente misurata 

dell’amperometro è quella che circola nell’utilizzatore aumentata di quella assorbita dal voltmetro. 

Nella misura di corrente si commette dunque un errore di tipo sistematico. 

Si possono infatti scrivere le solite relazioni 



V 

⎧V 

V = V U 

⎨ 

⎩I 

A = IU + IV V 

VV 

RV 

VA 

A 

RA 

IA 

RU 

VU

Quello che interessa determinare è il valore 

mentre invece si misura la potenza P M data da 




nella quale RV è la resistenza interna del voltmetro. 

Appare evidente che l’errore sistematico è positivo (si misura in più) ed è tanto minore quanto 

più elevato è il valore di RV a parità di tensione (il voltmetro ideale è quello con RV = ∞ ). 

L’errore sistematico espresso in valore relativo percentuale risulta immediatamente pari a 

L’errore sistematico può essere corretto se è nota R V tramite la relazione 



In modo analogo si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Si 

possono scrivere le relazioni 

La potenza misurata è data da 

P U 

V U I U 



nella quale RA è la resistenza interna dell’amperometro (l’amperometro ideale è quello con 

RA = 0 ). 

L’errore sistematico che si commette è positivo (si misura in più) ed è tanto minore quanto più 

piccolo è il valore di RA a parità di corrente. 

L’errore sistematico espresso in valore relativo percentuale risulta 

ε % 100 

Il valore della potenza misurata può essere corretto se è nota RA tramite la relazione 

IU 2 RA = ------------ 

PU = 

PM = V UI A = V U( IU + IV ) = V UI U + V UI V = PU + ------- 

ε % 100 V U 2 ⁄ RV = ------------------ 

P U 

I A 

= 

P M 

I U 




P U 

V U 2 

– ------- 

R V 

⎧V 

V = V U + V A 

⎨ 

⎩ = 

PM = V VI U = ( V U + V A)IU= 

V UI U + V AI U = PU + I 2 

U 

RA 

PU = 

PM – I 2 

U RA 

V U 2 

R V


Si può concludere che in entrambi i casi considerati, la potenza misurata è più grande di quella 

da determinare. 

La scelta dello schema non è arbitraria e ci si deve orientare allo schema con voltmetro a monte 

per la misura su circuiti di bassa resistenza e allo schema con amperometro a monte per la 

misura su circuiti di resistenza elevata, analogamente a quanto visto per la misura delle resistenze. 

Anche per le misure di potenza è in ogni occasione necessario valutare l’opportunità o meno di 

effettuare la correzione dell’errore sistematico. 

La stima dell’incertezza che grava sulla stima del misurando (potenza assorbita) deve essere 

valutata partendo dalle incertezze tipo relative a tensione e corrente e determinando quindi 

l’incertezza composta e quella estesa con le regole indicate nel Capitolo 1. 

6.3. Misura di Tensioni Alternate 

Di una tensione alternata può essere richiesta la determinazione dei valori efficace, medio e di 

cresta. Per misurare il valore efficace si usano strumenti elettromagnetici. 

Di una grandezza alternata presentano significato tre valori: il valore efficace, il valore medio e 

il valore di cresta la cui importanza varia a seconda del fenomeno in esame. I rapporti tra i tre 

valori citati sono costanti e definiti solamente se l’onda della grandezza è sinusoidale nel qual 

caso valgono le relazioni 

V M 

2 2 

= 2V e V m = 

--------- V 


π 

essendo 

• V il valore efficace; 

• VM il valore di cresta; 

• Vm il valore medio sul semiperiodo. 

Per misurare il valore efficace di tensioni alternate (sinusoidali o meno) si può ricorrere a strumenti 

indicatori di tipo elettromagnetico. 

Analogamente a quanto esposto per le misure in continua, alla parte fondamentale dello strumento 

vengono aggiunte resistenze addizionali per ottenere più portate (e quindi più costanti). 

Lo schema che si impiega è lo stesso di Figura 6.1. 

Le portate classiche variano da alcune decine ad alcune centinaia di volt, mentre tipiche sono le 

classi di precisione 0.2 e 0.5. 


6.3. Misura di Tensioni Alternate 

Per misurare i valori medio e di cresta si possono usare strumenti magnetoelettrici con opportuni 

dispositivi ausiliari. 

Se della tensione di cui si desidera misurare il valore medio, si deve operare in modo diverso, 

tenendo presente quanto segue. 

Premesso che il valore medio di una grandezza alternata esteso ad un intero periodo è nullo per 

definizione, interessa a volte determinare il valore medio limitato ad un solo semiperiodo. Allo 

scopo si può ricorrere all’uso di uno strumento magnetoelettrico al quale è stato applicato un 

raddrizzatore. Lo schema di principio è quello di Figura 6.5. 

V 

Vi Vu 

Tensione 

Tempo 

Fig. 6.5 Voltmetro sensibile al valore medio sul semiperiodo di una tensione alternata 

V i 

Nella bobina mobile dello strumento passa quindi una corrente unidirezionale periodica per cui, 

se la frequenza meccanica propria dell’equipaggio mobile è notevolmente più bassa di quella 

del segnale da misurare, la deviazione dell’indice risulta proporzionale al valore medio della 

grandezza (Vm ). 

Vale la relazione 

V m 

∫ 

T ⁄ 2 

0 


dove VM è il valore massimo della tensione, ω la pulsazione, T il periodo e t il tempo. 

Sugli strumenti concepiti per misurare il valore medio, la scala è di solito tracciata moltiplicandola 

per π ⁄ ( 2 2) 

= 

1.11 che è il fattore di forma relativo ad un’onda sinusoidale. In tal modo 

la lettura dello strumento corrisponde al valore efficace della grandezza sinusoidale che ha 

valore medio uguale a quello della grandezza misurata (taratura in valore efficace). 

La presenza dei raddrizzatori fa si che questi strumenti abbiano classe di precisione non 

migliore di 0.5. 

La misura del valore di cresta di una tensione alternata, può essere ancora misurata, sotto certe 

condizioni, con uno strumento magnetoelettrico utilizzando lo schema di Figura 6.6. 

Il condensatore C, caricato attraverso i raddrizzatori, tende ad assumere il valore di cresta della 

tensione applicata. Se lo strumento magnetoelettrico presenta resistenza interna elevata, tanto 


Vu 

2 

= --- V M sin( ωt) 

dt 

T


Fig. 6.6 Voltmetro sensibile al valore di cresta di una tensione alternata 

che il prodotto R C risulti notevolmente superiore alla durata del semiperiodo dell’onda della 

tensione, il condensatore si scarica poco durante il tempo in cui la tensione non è al valore di 

cresta. Di conseguenza, l’indicazione dello strumento risulta praticamente proporzionale al 

valore di cresta. Per ottenere il risultato richiesto è quindi opportuno che la resistenza interna 

dello strumento sia molto elevata e il condensatore di capacità pure elevata. 

6.4. Misura di Correnti Alternate 

Per la misura delle correnti alternate è in generale richiesto il valore efficace per cui si può 

ricorrere all’impiego di strumenti elettromagnetici. 

Negli amperometri elettromagnetici, la bobina viene realizzata con poche spire di sezione relativamente 

elevata. Molte volte la bobina è suddivisa in due parti uguali che possono essere collegate 

in serie o in parallelo per ottenere così uno strumento con due portate, come schematicamente 

indicato in Figura 6.7. 

I 

Vi 

Vd 

Ii = Id 

Fig. 6.7 Amperometro elettromagnetico 

I 

I 

C V 

I 

I/2 

Connessione in Serie Connessione in Parallelo 

Gli amperometri elettromagnetici hanno normalmente portate non superiori a 10 A. Per misurare 

correnti più elevate si può ricorrere alla interposizione di trasformatori di corrente (descritti 

nel Capitolo 11) in quanto l’uso di shunt non è possibile per la presenza di parametri non puramente 

ohmici. 

Per misure di laboratorio dalla continua a 500 Hz sono abbastanza diffusi amperometri elettromagnetici 

in classe 0.2 e 0.5. 


Vu 

I/2 

I I

6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale 

6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in 

Regime Sinusoidale 

Per la misura delle potenze attive in regime sinusoidale si può ricorrere all’uso di wattmetri 

elettrodinamici. In un sistema ad N fili, la misura di potenza può essere condotta con N – 1 

wattmetri. La misura è sempre affetta da errore sistematico di segno positivo. 

In un circuito monofase in regime sinusoidale, la potenza istantanea (p) è uguale al prodotto dei 

valori istantanei di tensione (v) e corrente (i) 

p = vi = VM sin( ωt) 

I M sin( 

ωt + ϕ) 


nella quale VM e IM sono i valori di cresta delle grandezze in gioco, ω la pulsazione, ϕ l’angolo 

di sfasamento esistente tra le due grandezze (ritardo della corrente sulla tensione) e t il tempo. 

Sviluppando il prodotto si ottiene la relazione 

p = VIcos( ϕ) 

+ VIsin( 2ωt + ϕ) 


nella quale V e I rappresentano i valori efficaci rispettivamente di tensione e corrente. 

Dalla equazione (6.24) si rileva che la potenza istantanea è formata da un termine costante 

VIcos( ϕ) 

e da un termine sinusoidale a frequenza doppia VIsin( 2ωt + ϕ) 

. 

Il valore che interessa, in quanto presiede agli scambi di energia, è il valore medio di p sul periodo 

(P) che si identifica con il primo termine 

P = 

VIcos( ϕ) 


in quanto il secondo termine ha valore medio nullo. Gli andamenti della potenza istantanea e 

della potenza media sono rappresentati Figura 6.8. 

Lo strumento analogico classico per la misura della potenza attiva è il wattmetro elettrodinamico 

che fornisce una indicazione proporzionale al valore medio della potenza istantanea (si 

veda anche quanto è già stato detto nel Capitolo 4). Alla bobina fissa viene inviata la corrente 

(amperometrica) mentre quella mobile è sottoposta alla tensione (voltmetrica). La Figura 6.9 

illustra le due possibili inserzioni. 

I wattmetri di laboratorio hanno solitamente la bobina amperometrica realizzata con poche spire 

di sezione relativamente elevata, suddivisa in due sezioni uguali che possono essere messe in 

serie o parallelo (due portate amperometriche). La bobina voltmetrica è invece costituita da 

molte spire di piccola sezione, associate alla quale sono più resistenze addizionali (più portate 

voltmetriche). 

Ad ogni combinazione tensione/corrente corrisponde una ben definita costante strumentale. La 

costante (kW ) dello strumento è determinata dal prodotto delle portate amperometrica e voltmetrica 

diviso per il numero delle divisioni della scala. 

La misura effettuata con il wattmetro è affetta da errore sistematico la cui entità dipende 

dall’autoconsumo dello strumento e il cui segno è sempre positivo (si misura sempre in più). 



Tensione, Corrente, Potenza 

Fig. 6.8 Andamenti della potenza istantanea e della potenza media in funzione del tempo 

V 

Fig. 6.9 Possibili inserzioni del wattmetro per misure di potenza attiva in sistemi monofase 

Con riferimento alla Figura 6.9, nel caso in cui la voltmetrica è derivata a valle dell’amperometrica, 

si può osservare, in analogia a quanto esposto a proposito delle misure in continua, che la 

tensione applicata allo strumento è esattamente quella esistente ai morsetti dell’utilizzatore, 

mentre la corrente nell’amperometrica comprende anche la quota parte assorbita dalla voltmetrica. 

Il wattmetro misura quindi una potenza (P M ) più grande di quella realmente assorbita dall’utilizzatore 

(P U ) secondo la relazione 

con un errore sistematico relativo dato da 

v 

T v = T i = 2 T p 

Tempo 

I IU 

I 

W 

RA 

RV 

U VU 

P M 

= 

P U 




i 

V 

2 

V U 

+ ------- 

R V 

ε % 100 V U 2 ⁄ RV = 

------------------ 

P U 

W 

p 

P 

RV 

RA 

IU 

U VU

6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale 

Il valore di P U si può trovare immediatamente se è noto il valore di R V (correzione dell’errore 

sistematico), utilizzando la relazione 

P U 


In analogia a quanto detto sopra, si può trattare ora lo schema che prevede l’amperometrica a 

valle della voltmetrica. Anche in questo caso il wattmetro misura in più 

con un errore sistematico relativo pari a 

= 

L’errore sistematico può essere corretto se si conosce il valore di R A , utilizzando la relazione 




Si noti che, a differenza di R V , la resistenza R A non è indipendente dalla temperatura in quanto 

la bobina amperometrica è di rame. Si deve infine osservare che le relazioni scritte sopra sono 

sempre valide, ad esempio, anche quando nel circuito sono in gioco potenze reattive. 

Il wattmetro è anche affetto da un altro errore sistematico attribuibile allo sfasamento tra la 

tensione applicata alla voltmetrica e la corrente che attraversa la bobina stessa. Poiché è di 

difficile valutazione, di esso si tiene implicitamente conto nella classe che caratterizza lo strumento. 

Un’altra causa di errore sistematico, che è però di difficile valutazione, è dovuta al fatto che il 

circuito voltmetrico non è puramente resistivo (prevale in genere l’effetto induttivo della bobina 

voltmetrica) per cui la corrente nello stesso non è perfettamente in fase con la tensione. Un altro 

parametro che può creare errori dello stesso tipo, è la mutua induttanza esistente tra le due 

bobine. Anche se nella costruzione degli strumenti si fa in modo di ridurre al minimo le cause 

di errore suddette, si deve considerare, in linea generale, la situazione rappresentata dal diagramma 

vettoriale di Figura 6.10. 

Prescindendo dagli autoconsumi, la potenza misurata risulta 

essendo ε l’angolo tra la tensione applicata alla voltmetrica e la relativa corrente. 

L’errore sistematico relativo che si commette è dato da 

P M 




2 

V U 

– ------- 

R V 

PM = PU + IU ε % 

2 RA 

2 RA 

100 IU = ------------ 

P U 

PU = PM – IU 2 RA 

PM = VIcos( ϕ– ε) 

ε % 100 PM P – U VIcos( ϕ) 

cos( ε) 

VIsin( ϕ) 

sin( ε) 

VI ( ϕ) 

-------------------- 100 cos – 

+ 

= = 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

VIcos( ϕ) 

P U


V 

ε 

IV 

ϕ 

Fig. 6.10 Diagramma vettoriale relativo a misure di potenza attiva in sistemi monofase 

Essendo l’angolo ε molto piccolo, si può assumere cos(ε) = 1 per cui semplificando, si ottiene 

VIcos( ϕ) 

VIsin( ϕ) 

sin( ε) 

VI ( ϕ) 

ε % 100 cos – 

+ 

≅ -------------------------------------------------------------------------------------------------- = 100tan( ϕ) 

sin( 

ε) 

VIcos( ϕ) 


Si conclude osservando che l’errore sistematico che si commette non dipende solo dallo strumento 

ma anche dalle caratteristiche del circuito (sarebbe nullo per ϕ = 0 e infinito per ϕ = 90°). 

Risulta pertanto che le misure a basso fattore di potenza possono risultare critiche per quanto 

riguarda l’accuratezza raggiungibile. Ad esempio, per cos(ϕ) = 0.05 si ha 

tan( 

ϕ) 

1 

≅ ---------------- = 

20 

cos( 

ϕ) 


Se l’errore proprio (di fase) del wattmetro fosse dello 0.2%, l’errore sistematico sulla misura di 

potenza sarebbe del 4% (di valore positivo se il misurando è induttivo, negativo se è capacitivo). 

Poiché il valore di ε non è noto e non è neppure costante, ne risulta che è impossibile procedere 

alla correzione dei risultati per cui il problema finisce per ricadere nella valutazione dell’incertezza 

di cui il risultato della misurazione risulta affetto. 

Si deve anche rilevare che in tali condizioni, la deviazione dell’indice dello strumento sarebbe 

molto ridotta (meno del 10% della scala) per cui diverrebbero rilevanti anche le incertezze di 

lettura. 

Per le misure di potenza a basso fattore di potenza conviene ricorrere a wattmetri detti a basso 

cos(ϕ). 

Per ovviare al problema sopra descritto, si può ricorrere all’uso di wattmetri per basso cos(ϕ) 

che sono strumenti più pregiati nei quali la molla antagonista è ridotta in modo che la portata 

dello strumento sia pure ridotta. Ad esempio, un wattmetro per cos(ϕ) = 0.2 va in fondo con una 


I

6.6. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale 

potenza attiva pari a 1/5 di quella corrispondente al prodotto V I, essendo V la portata voltmetrica 

e I quella amperometrica. 

La costante di uno strumento di questo tipo è data dal prodotto delle portate amperometrica e 

voltmetrica, a sua volta moltiplicato per il grado di alleggerimento applicato alla coppia resistente 

(sullo strumento è solitamente indicato il valore di questa secondo fattore). 

6.6. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in 


La misura della potenza apparente in un circuito monofase in regime sinusoidale si ottiene 

combinando le indicazioni del voltmetro e dell’amperometro. 

Poiché non esiste uno strumento analogico capace di fornire direttamente la potenza apparente, 

occorre utilizzare uno degli schemi indicati in Figura 6.11. 

V 

IA 

A 

V 

VV 

I 

RU 

VU 

Fig. 6.11 Schemi per la misura della potenza apparente in sistemi monofase in regime sinusoidale 

La grandezza da misurare viene ottenuta dal prodotto delle indicazioni di voltmetro (V V ) e 

amperometro (I A ), 

S = 

VVIA (6.36) 

In linea di principio, anche questa misurazione è affetta da errore sistematico per tenere conto 

del quale non è possibile operare se non si conosce l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente 

dell’oggetto sotto misura. 

In generale questa la correzione non viene applicata in quanto la potenza apparente presenta 

importanza notevolmente ridotta rispetto alla potenza attiva. Nella valutazione della incertezza 

con la quale la grandezza cercata viene determinata si può tenere conto dell’errore sistematico. 


V 

V 

VV 

IA 

A 

RA 

I 

RU 

VU


L’incertezza di misura composta e quella estesa vengono stimate applicando le regole indicate 

nel Capitolo 1. 

6.7. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Monofase in 


Per la misura della potenza reattiva non si dispone di strumenti analogici che consentano di 

rilevare direttamente la grandezza per cui si ricorre alla determinazione indiretta. Il procedimento 

più diffuso è quello di elaborare le indicazioni di wattmetro, voltmetro e amperometro. 

Quando le grandezze sono sinusoidali, la determinazione della potenza reattiva potrebbe essere, 

in linea di principio, effettuata ricorrendo ad un varmetro, che costruttivamente potrebbe essere 

derivato da un wattmetro facendo in modo che la corrente nella voltmetrica sia in quadratura 

con la tensione (Figura 6.12). 

Fig. 6.12 Schema di principio di un varmetro monofase 

Con uno strumento di questo tipo l’indicazione sarebbe data da 

V 

I 

var 

Q = VIcos( 90° – ϕ) 

= VIsin( ϕ) 


Per ottenere la condizione cercata si dovrebbe ricorrere ad artifici circuitali la cui validità 

sarebbe limitata ad una sola frequenza (presenza contemporanea di condensatori, induttori e 

resistori). Come si vedrà più avanti, il problema può essere affrontato in modo diverso nel caso 

dei circuiti trifase con tensioni e correnti sinusoidali. 

Generalmente, la determinazione della potenza reattiva Q viene perciò effettuata per via indiretta 

elaborando le indicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro (sono quindi necessari 

tre strumenti) 


dove P è la potenza attiva misurata con il wattmetro e S è la potenza apparente determinata dal 

prodotto V I. 


U 

Q S2P2 – ( VI) 

2 P2 = = 

–

6.8. Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale 

Questa misurazione include errori sistematici del tipo già discusso e dei quali, volendo si può 

tenere conto apportando le opportune correzioni. 

Per la stima della incertezza che grava sul risultato finale, si deve operare secondo quanto indicato 

al Capitolo 1. 

6.8. Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in 


Per la misura del fattore di potenza si potrebbe ricorrere a strumenti analogici logometrici ma 

si preferisce determinare la grandezza per via indiretta elaborando le indicazioni di wattmetro, 

voltmetro e amperometro. 

L’uso di strumenti logometrici del tipo descritto nel Capitolo 4 consentirebbe di effettuare la 

misura diretta del fattore di potenza. La scarsa diffusione di questi strumenti è legati alla modesta 

accuratezza conseguibile, per cui in laboratorio si preferisce procedere con la determinazione 

indiretta. 

Come per la potenza reattiva si parte dalle indicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro. 

Tra le diverse possibili elaborazioni quella che si preferisce è la seguente: 

cos( 

ϕ) 


nella quale P è la potenza attiva e S la potenza apparente. 

Degli errori sistematici si può tenere apportando, se necessario, le opportune correzioni. Per la 

stima della incertezza che grava sul risultato finale, si deve operare secondo quanto indicato al 

Capitolo 1. 

6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in 


= 

In un sistema qualsiasi a N fili, la potenza attiva si può misurare utilizzando N – 1 wattmetri. 

Le considerazioni sviluppate nel seguito sono state per semplicità riferite ai sistemi trifase ma 

esse possono essere ovviamente estese a qualunque sistema avente un numero di fasi qualunque. 

In un sistema trifase, l’oggetto sotto misura può essere collegato a triangolo o a stella, oppure 

essere costituito da più carichi misti in parallelo (anche monofase), mentre il sistema di alimentazione 

può essere a tre o quattro fili. 


P 

-- 

S


La misura della potenza attiva su sistemi trifase a quattro fili deve essere eseguita con tre wattmetri. 

Il sistema trifase è a quattro fili quando si è in presenza di neutro attivo (Figura 6.13). La 

potenza attiva si ottiene come somma delle potenze relative a ciascuna delle fasi. 

1 

2 

3 

N 

Fig. 6.13 Misura di potenza attiva in un sistema trifase a quattro fili 

W1 

W2 

W3 

R1 

R2 

R3 

Dette E 1 , E 2 ed E 3 le tensioni di fase e I 1 , I 2 e I 3 le rispettive correnti, sfasate rispetto alle prime 

degli angoli ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 la potenza è data da 


La misura della potenza attiva sui sistemi trifase a tre fili può essere eseguita con tre o due wattmetri. 

Per i collegamenti a stella e triangolo, la potenza attiva si può sempre ottenere come somma 

delle potenze relative a ciascuna delle fasi, come indicato per i sistemi a quattro fili 



I1 

I2 

I3 

Z1 

Z2 

Z3 

P = E1I1cos( ϕ1) + E2I 2cos( ϕ2) + E3I 3cos( ϕ3) P = 

E1I1cos( ϕ1) + E2I 2cos( ϕ2) + E3I 3cos( ϕ3) O

6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale 

Si tenga presente che nel caso in oggetto sono indicate con E1 , E2 ed E3 le tensioni di fase e con 

I1 , I2 e I3 le correnti di linea, mentre nel caso del triangolo le E1 , E2 ed E3 corrispondono alle 

tensioni concatenate e le I1 , I2 e I3 alle correnti di fase. 

Si vuole ora dimostrare che la potenza attiva sui sistemi trifase a tre fili può essere misurata con 

solo due wattmetri. In quanto segue si fa per semplicità riferimento ad un circuito collegato a 

stella, anche se le conclusioni hanno validità più generale. 

Se si modifica lo schema di Figura 6.14a in quello di Figura 6.14b, separando cioè il centro 

stella delle voltmetriche da quello del carico si ha, in generale, che i due centri stella non coincidono 

elettricamente. Ciò può essere dovuto a dissimmetrie nelle impedenze a valle della 

sezione di misura o nelle resistenze addizionali dei wattmetri. 

1 

2 

3 

W1 

W2 

W3 

R1 

R2 

R3 

I1 

I2 

I3 

(a) 

Fig. 6.14 Misura di potenza attiva in un sistema trifase a tre fili 

Z1 

Z2 

Z3 

O 

Con notazione vettoriale, la somma delle indicazioni dei tre wattmetri può essere scritta come 


avendo indicato con H il vettore di tensione esistente tra i due centri stella. Sviluppando si 

ottiene 



1 

2 

3 

W1 

W2 

W3 

P = ( E1– H) 

• I1 + ( E2 – H) 

• I2 + ( E3 – H) 

• I3 P = 

E1•I1+ E2 • I2 + E3 • I3 + H • ( I1+ I2 + I3) R1 

R2 

R3 

I1 

I2 

I3 

(b) 

O´ 

Z1 

Z2 

Z3 

O


Essendo il sistema a tre fili, la somma vettoriale delle correnti è per definizione nulla, ovvero 

I1 + I2 + I3 = 0 


per cui la potenza misurata coincide con quella assorbita dal carico. 

Un ulteriore passo può essere fatto ponendo in corto circuito una delle voltmetriche (ad esempio 

quella del wattmetro W3 ) la cui tensione diverrà nulla, mentre sulle due rimanenti voltmetriche 

la tensione passa da quella di fase alla concatenata, valgono allora lo schema e il diagramma 

vettoriale di Figura 6.15, che rappresentano l’inserzione di Aron (Figura 6.16). 

1 

Fig. 6.15 Diagramma vettoriale relativo all’inserzione di Aron per la misura della potenza 

attiva in un sistema trifase a tre fili 

1 

2 

3 

3 

E3´ 

O´ 

V31 

H 

I3 

E1´ 

E2´ 

ϕ3 

E3 

W1 

W2 

ϕ1 

E1 

I1 

Fig. 6.16 Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase a tre fili 


O 

V23 

R1 

R2 

I1 

I2 

E2 

I2 ϕ2 

V12 

Z1 

Z2 

I3 Z3 

2 

O

In questo caso si può scrivere 

6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale 

L’ultimo termine della equazione (6.45) è evidentemente nullo e per tanto si ottiene 

che, essendo 

diventa 

come volevasi dimostrare. 

P = ( E1– E3) • I1 + ( E2 – E3) • I2 + ( E3 – E3) • I3 P = E1•I1+ E2 • I2 + E3 • ( – I1 – I2) I 3 

= 

– I1 – I2 P = 

E1•I1+ E2 • I2 + E3 • I3 (6.45) 




Da quanto sopra esposto deriva un importante conclusione di validità generale: la potenza 

attiva in un circuito ad N fili può essere misurata con N – 1 wattmetri. 

La conclusione alla quale si è giunti è valida per qualsiasi sistema polifase (incluso il monofase 

che ha due fili e per il quale la misura di potenza si effettua con un wattmetro), anche se non 

simmetrico nelle tensioni e squilibrato nelle correnti. Come si vedrà più avanti, la regola è 

valida anche nel caso di grandezze non sinusoidali. 

La misura effettuata con l’inserzione di Aron può comportare che un wattmetro fornisca indicazione 

negativa per cui essa deve essere sottratta dall’altra indicazione. Sui sistemi simmetrici 

ed equilibrati, ciò avviene per fattori di potenza inferiori a 0.5. 

Si osservi infine che, come le precedenti, anche questa misura è affetta da errore sistematico che 

può essere corretto. Per la determinazione delle incertezze composta ed estesa si devono applicare 

le regole indicate nel Capitolo 1. 

Sotto l’aspetto delle incertezze, si fa presente che nel caso di circuito a fattore di potenza molto 

basso, l’inserzione di Aron può comportare incertezze molto elevate in quanto i due termini dei 

quali si deve effettuare la sottrazione hanno ampiezze poco diverse tra loro. Poiché l’uso di 

wattmetri a basso cos(ϕ) non è adatto per lo schema in oggetto, per la misura si deve ricorrere 

a tre wattmetri, misurando le potenze di ogni fase e sommandole (in questo caso l’uso di wattmetri 

a basso cos(ϕ) è possibile). 



6.10. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Polifase in 


La misura della potenza apparente viene ottenuta indirettamente dalla elaborazione di più strumenti. 

Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni ed equilibrati nelle correnti la determinazione 

delle potenza apparente può essere fatta seguendo i metodi già indicati per i sistemi monofase. 

Se il sistema in oggetto è simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti, le potenze 

apparente e reattiva possono essere determinate per via indiretta seguendo regole analoghe a 

quelle adottate per i sistemi monofase. 

Per la potenza apparente vale la relazione 

S = 3VI 

essendo S la potenza apparente trifase, V la tensione concatenata ed I la corrente di linea. 

6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in 



La misura della potenza reattiva viene ottenuta indirettamente dalla elaborazione di più strumenti. 

Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni ed equilibrati nelle correnti la determinazione 

delle potenza reattiva può essere fatta seguendo i metodi già indicati per i sistemi monofase. 

Per la potenza reattiva si opera in modo analogo a quanto fatto per la potenza apparente, ottenendo 

Q S2P2 = – 


nella quale P è la potenza attiva totale e S la potenza apparente determinata come sopra. 

Un metodo assai diffuso per la misura della potenza reattiva è quello che, verificate le condizioni 

di simmetria e equilibrio, si basa sull’uso di un wattmetro inserito come indicato in 

Figura 6.17. 

La potenza reattiva risulta infatti 

Q = 3VIcos( 90° – ϕ) 

= 3VIsin( ϕ) 


L’indicazione del wattmetro deve essere moltiplicata per 3 

al fine di ottenere il valore di Q. 

Questo metodo che, come già detto, presuppone le condizioni di simmetria ed equilibrio del 

sistema, può essere utilizzato solamente per misure indicative (ad esempio, sui quadri di cen- 


1 

2 

3 

Wc 

6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale 

Fig. 6.17 Inserzione di un wattmetro per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase 

simmetrici ed equilibrati 

trale). Per misure di precisione, non si può infatti presumere che le condizioni richieste siano 

verificate. 

Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni e non equilibrati nelle correnti la determinazione 

delle potenze suddette può essere fatta con l’inserzione Righi. 

Nel caso di carico squilibrato ma tensioni ancora simmetriche, si può ricorrere alla inserzione 

di Figura 6.18 (inserzione di Righi o dei tre wattmetri). 

Essa viene realizzata inserendo due strumenti secondo lo schema di Aron già discusso ed il terzo 

con la bobina amperometrica sulla fase rimasta libera e la voltmetrica derivata fra le due altre 

fasi. 

Indicando con Wa , Wb e Wc le indicazioni dei tre wattmetri e ricordando l’ipotesi di simmetria 

si ha 

Si procede quindi ottenendo 

Z1 

Z2 

Z3 

O 

3 




E3 

E1 

O 

⎧W 

a = VI1cos( ϕ1 – 30° ) 

⎪ 

⎨W 

b = VI2cos( ϕ2 + 30° ) 

⎪ 

⎩W 

c = VI3cos( ϕ3 – 90° ) 

1 

ϕ 

I 

90˚ – ϕ 

W a + W c = 

VI1cos( ϕ1 – 30° ) + VI3cos( ϕ3 – 90° ) 

E2 

V = V23 

2


Fig. 6.18 Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase simmetrici 

Utilizzando note formule trigonometriche del coseno della somma o differenza di angoli si 

ottiene per il primo termine 

e per il secondo termine 

da cui sostituendo si ottiene 

1 

2 

3 

Wa 

Wb 

cos( ϕ1 – 30° ) = cos [ ( ϕ1 + 30° ) – 60° ] = 

= 





Wc 

cos( ϕ1 + 30° ) cos( 60° ) + sin( ϕ1 + 30° ) sin( 

60° ) = 

1 

3 

= -- cos( 

ϕ1 + 30° ) + ------ sin( 

ϕ1 + 30° ) 

2 

2 

cos( ϕ3 – 90° ) = cos [ ( ϕ3 – 30° ) – 60° ] = 

= 

cos( ϕ3 – 30° ) cos( 60° ) + sin( ϕ3 – 30° ) sin( 

60° ) = 

1 

3 

= -- cos( 

ϕ3 – 30° ) + ------ sin( 

ϕ3 – 30° ) 

2 

2 

1 

3 

W a + W c = VI1 -- cos( 

ϕ1 + 30° ) + ------ sin( 

ϕ1 + 30° ) + 

2 

2 

+ VI 3 

Z1 

Z2 

Z3 

1 

3 

-- cos( 

ϕ3 – 30° ) + 

------ sin( 

ϕ3 – 30° ) 

2 

2 

O

6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale 

A questo punto è possibile mettere in evidenza la potenza reattiva Q cercata e la potenza attiva 

P, ottenendo 

Ricordando che, secondo l’inserzione Aron, la potenza attiva è espressa da 

si ha finalmente 

ossia 

W a + W c 

1 

= -- [ VI1cos( ϕ1 + 30° ) + VI3cos( ϕ3 – 30° ) ] + 

2 

+ 3 

------ [ VI1cos( ϕ3 – 30° ) + VI3sin( ϕ3 – 30° ) ] = 

2 

1 3 

= --P + ------Q 

2 2 

W a + W c 

P = Wa+ W b 

= 

1 

3 

-- ( W a + W b) 

+ ------Q 

2 

2 

Q W a W – b + 2W c 

= -------------------------------------- 

3 





Questa formula permette di determinare la potenza reattiva Q in base alle tre letture Wa , Wb e 

Wc dei tre wattmetri. 

La potenza apparente può allora essere determinata con la relazione 

S P2Q2 = + 


Nel caso di sistemi non simmetrici, si deve procedere diversamente. Per la potenza attiva vale 

quanto detto nel Capitolo 6.9., per cui le potenze si sommano aritmeticamente. Per la potenza 

reattiva si effettua la somma algebrica dei contributi delle singole fasi, tenendo presente i segni 

relativi (ci possono essere carichi induttivi e capacitivi). Per la potenza apparente si procede vettorialmente, 

o più comodamente applicando la relazione 

∑ 

S ( P) 

2 

= 

( ∑Q) 

2 

+ 


Se non è possibile effettuare misure sulle singole fasi, le potenze apparente e reattiva non possono 

essere determinate in modo univoco. 

Se il sistema può essere considerato simmetrico e gli squilibri sulle correnti non sono vistosi, si 

può operare facendo la media delle correnti rilevate sulle tre fasi e procedendo quindi come 

indicato per i sistemi simmetrici ed equilibrati. 



6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime 

Non-Sinusoidale 

Le definizioni di potenze reattiva ed apparente in regime non-sinusoidale possono essere date 

solo in forma convenzionale (senza significato fisico). 

6.12.1. Potenza Istantanea 

Si consideri per semplicità un circuito monofase in cui la tensione o la corrente, o entrambe le 

grandezze, non siano sinusoidali. Se ciascun segnale viene scomposto in serie di Fourier, si 

ottengono tanti termini di tipo sinusoidale di ampiezza e fase diversa. Non necessariamente tutte 

le armoniche sono presenti, anzi nella maggioranza dei casi avviene esattamente il contrario. 

La potenza istantanea (p) è sempre uguale al prodotto dei valori istantanei di tensione (v) e corrente 

(i), qualunque sia la forma dei segnali 


nella quale i simboli hanno significato ovvio. 

Se si sviluppa il prodotto, si ottiene un numero di termini molto elevato (a causa dei prodotti 

incrociati). A titolo d’esempio, in Figura 6.19 sono stati tracciati i diagrammi di tensione, corrente 

e potenza istantanee per casi di tensione sinusoidale e di corrente distorta. 

In Figura 6.19a la corrente ha un’armonica di terzo ordine, mentre in Figura 6.19b un’armonica 

di quinto ordine. In entrambi i casi il valore medio della potenza istantanea è nullo, stando a 

significare che nella sezione di misura non transita potenza attiva. Il fatto che siano però in gioco 

correnti e tensioni implica automaticamente che nel sistema è in gioco potenza reattiva. 

6.12.2. Potenza Attiva 

∞ 

∑ 

∞ 

∑ Ii sin iωt + ϕi i = 0 

i = 0 

p = vi = Visin( iωt ) 

La potenza attiva in regime non-sinusoidale è data dalla somma dei prodotti scalari tra tensione 

e corrente relativi alle singole armoniche. 

Si consideri un circuito monofase in cui sia la tensione che la corrente non siano sinusoidali. La 

potenza attiva viene definita come 

P = 

ViIicos( ϕi) dove con l’indice i sono state indicate le varie armoniche. 

∞ 

∑ 

i = 0 

( ) 





6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime Non-Sinusoidale 

v 

v 

i 

Tempo 

Fig. 6.19 Tensione, corrente e potenza istantanea in caso si forma d’onda di tensione sinusoidale 

e forma d’onda di corrente non sinusoidale 

Si presuppone quindi che le onde di tensione e corrente siano state scomposte in serie di Fourier 

nelle varie sinusoidi aventi ordine di armonicità da 1 a ∞. La potenza attiva è quindi costituita 

dalla sommatoria dei prodotti scalari (in senso vettoriale) di tutte le combinazioni di tensioni e 

correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativo angolo di sfasamento. 

Si noti che quanto esposto è valido anche se corrente e tensione contengono componenti costanti 

(in questo caso ϕ = 0). 


(a) 

i 

Tempo 

(b) 

p 

p 

P 

P


Per quanto riguarda il comportamento del wattmetro, è importante rilevare che ogni contributo 

V iI icos( 

ϕi) produce una coppia motrice Ci e che l’equipaggio mobile è globalmente sollecitato 

dalla somma delle singole coppie. Ne consegue che il wattmetro è sempre in grado di fornire 

l’indicazione corretta della potenza attiva che transita nella sezione del circuito in cui si effettua 

la misura (almeno nel campo delle frequenze industriali). 

Tale proprietà è valida anche per i sistemi polifase per cui resta confermato che le misure di 

potenza attiva su un sistema qualunque possono sempre essere effettuate con N – 1 wattmetri. 

6.12.3. Potenza Reattiva 

In presenza di tensioni e correnti non sinusoidali, la definizione di potenza reattiva non è univoca 

e può essere solamente convenzionale. 

Si consideri ancora per semplicità un circuito monofase in cui sia la tensione che la corrente non 

siano sinusoidali. Della potenza reattiva si possono definire tutti i contributi delle diverse coppie 

armoniche di tensioni e correnti analogamente a quanto fatto per la potenza attiva: 


dove con l’indice i sono state indicate le varie armoniche. 

Questa potenza reattiva Q è quindi costituita dalla sommatoria dei prodotti vettoriali di tutte le 

combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativo 

angolo di sfasamento. 

Si devono ora prendere in considerazione anche tutti i prodotti tra i termini non isofrequenziali 

(i ≠ k), 


Si osservi che il valore medio di questi termini è nullo (potenza attiva nulla). Ci si deve ora chiedere 

in quale modo mettere in conto tutti i contributi del tipo descritto. La risposta a questa 

domanda è discussa nei paragrafi seguenti. 

6.12.4. Potenza Apparente 

∞ 

∑ 

Q = ViIisin( ϕi) i = 0 

Dik = V isin( iωt ) Ik sin( 

kωt + ϕk) In regime non sinusoidale non è possibile dare una definizione univoca della potenza apparente 

poiché non si può ricorrere alla rappresentazione convenzionale (vettoriale). 

È generalmente accettato considerare convenzionalmente come potenza apparente in un circuito 

monofase il prodotto dei valori efficaci di tensione e corrente 

S = 

VI 



6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime Non-Sinusoidale 

Si osservi che tale definizione non ha un chiaro significato fisico. Analogamente si può dire 

della definizione del fattore di potenza mediante la relazione 


Si può ulteriormente notare che se si applica in regime non-sinusoidale la stessa formula che in 

regime sinusoidale si applica alle potenze si constata che 


6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime 

Non-Sinusoidale 

Sulle definizioni delle potenze in regime non sinusoidale numerosi sono stati i contributi da 

parte di studiosi della materia. Il fatto che esistano diverse interpretazioni per gli stessi fenomeni 

sta a dimostrare la convenzionalità dei procedimenti seguiti. 

6.13.1. Teoria di Budeanu 

cos( 

ϕ) 

Budeanu esprime la potenza apparente mediante le tre componenti P, Q e D, mutuamente ortogonali 

(rappresentazione nello spazio). Con P si intende la potenza attiva definita da 


nella quale V0 e I0 rappresentano le eventuali componenti continue di tensione e corrente (nel 

qual caso ϕ0 = 0). 

Con Q si rappresenta la potenza reattiva definita da 

Per il termine D Budeanu propone la definizione 

∞ 

∑ 

∞ 

∑ 

= 


con m ≠ k (6.72) 

che assume valore nullo quando tutte le armoniche di corrente sono proporzionali a quelle di 

tensione e quando tutti gli sfasamenti relativi ϕ i sono uguali. 


P 

-- 

S 

S2 P2 – ≥ Q 

∞ 

∑ 

P = ViIicos( ϕi) i = 0 

∞ 

∑ 

Q = ViIisin( ϕi) i = 0 

D2 = 

[ V 2 

k Im 

2 + V 2 

mIk 2 – 2V kV mI kI mcos( ϕk – ϕm) ] 

m = 0 k = 0


La formula sopra riportata che esprime D è una pura espressione matematica ricavata estrapolando 

ai sistemi con onde deformate le formule classiche del regime sinusoidale e si può dimostrare 

che 


Al termine D si da il nome di potenza reattiva deformante ma la grandezza non ha alcun significato 

fisico anche se associato a potenza reattiva. 

6.13.2. Teoria di Shepherd e Zakikhani 

Questi due ricercatori hanno proposto di scomporre la potenza apparente in tre termini detti 

rispettivamente potenza apparente attiva (A R ), potenza apparente reattiva (A X ) e potenza apparente 

deformante (A D ) che assumono le espressioni 

∑ 


in cui le armoniche comuni ai due segnali sono indicate con il pedice k, mentre i pedici j e p 

indicano, rispettivamente, le armoniche contenute solo nel segnale di tensione e solo in quello 

di corrente. 

6.13.3. Teoria di Sharon 

S2 P2 Q2 D2 = + + 

∑ 

A2 ⎛ 

R V 2⎞ 

⎝ k I 2 

⎠ k cos ( ϕk) k 

2 

= 

k 

A2 ⎛ 

X V 2⎞ 

⎝∑k I 2 

⎠ k sin ( ϕk) k 

2 

⎧ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎨ 

= ∑ 

⎪ 

k 

⎪ 

⎪A 

2 ⎛ 

D = V 2⎞⎛ 

⎝∑k I 2⎞ 

⎛ 

⎠⎝∑p+ 

V 2⎞⎛ 

⎠ ⎝∑j I 2 

⎠ ∑ k + I 2⎞ 

⎪ 

⎝ ∑ p⎠ ⎩ 

k p 

j k p 

Sharon propone di scomporre la potenza apparente in tre componenti ortogonali, costituiti dalla 

potenza attiva 

P = ViIicos( ϕi) i = 0 

dalla potenza reattiva in quadratura S 0 data da 

∞ 

∑ 

∞ 

∑ 

S 2 

0 V 2 I 2 

i cos ( ϕi) 2 

= 

i = 0 




e dalla potenza reattiva complementare S C data da 

S C 

6.14. Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo Induttivo 


dove V è il valore efficace della forma d’onda di tensione e con h e k si indicano le armoniche 

non comuni. 

6.13.4. Teoria di Czarnescki 

= 

⎛ V 2⎞ 

⎝∑j⎠ I 2 

k cos ( ϕk) j 

2 ∑ V 

k 

2 + I 2 ∑ p 

p 

∑∑ 

⎛ ⎞ + 

⎝ ⎠ 

+ 1 

-- [ V hI k cos( ϕk) + V kI hcos( ϕh) ] 

2 

2 

h 

k 

Nella teoria di Czarnescki il problema è affrontato dal punto di vista della compensazione delle 

componenti armoniche della corrente reattiva, definita dalla somma delle componenti armoniche 

della corrente, in quadratura rispetto alle corrispondenti armoniche di tensione. 

Nei sistemi con onde deformate non si riesce, mediante un condensatore o un induttore, ad 

annullare la totale potenza non attiva. Al fine di compensare le componenti armoniche della corrente 

reattiva è necessario un circuito rifasatore che presenti, per ciascuna armonica, una suscettanza 

pari all’opposto di quella del carico per la frequenza considerata o che richiuda la corrente 

armonica prodotta da quest’ultimo. 

La scomposizione della corrente in tre componenti ortogonali porta ad individuare una porzione 

della totale potenza apparente S che può essere compensata per mezzo di un circuito passivo 

(potenza reattiva Qr ) e della potenza diffusa Ds per la quale tale tipo di compensazione è inefficace. 

Alla teoria di Czarnescki può essere data una formulazione matematica piuttosto complessa che 

presenta poco interesse pratico. Si deve poi tenere presente che nei sistemi in esame si è sovente 

in presenza di fenomeni armonici rappresentabili attraverso circuiti a corrente costante (di 

armonica) per cui è più semplice ragionare per via intuitiva e per singole armoniche. 

6.14. Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo 

Induttivo 

Per la misura della cifra di perdita in lamierini magnetici si può utilizzare l’apparecchio di 

Epstein. Occorre fare attenzione nella determinazione delle potenze perché il circuito è non 

lineare e pertanto occorre interpretare i risultati. 

Quando le misure di potenza devono essere effettuate su circuiti non lineari si deve porre particolare 

attenzione nella interpretazione dei risultati ottenuti. Per chiarire i concetti conviene fare 

riferimento ad una classica misurazione che viene effettuata per determinare la cifra di perdita 

dei lamierini magnetici utilizzati nelle macchine elettriche nelle quali essi sono sottoposti a 

magnetizzazione alternata. I suddetti lamierini presentano caratteristica B = f(H) non lineare e 



non indipendente dalle vicissitudini a cui gli stessi vengono sottoposti (cicli di isteresi), come 

si può notare nella Figura 6.20. 

Fig. 6.20 Ciclo di isteresi di un materiale magnetico 

Si deve anche tenere presente che essendo B e H interdipendenti, risulta che se B è sinusoidale 

non lo può essere H e viceversa. Il primo caso è il più comune e corrisponde, ad esempio, all’alimentazione 

del circuito elettrico con tensione sinusoidale impressa per cui anche il flusso e 

l’induzione nel circuito magnetico risultano sinusoidali. La forma del campo H (che è poi quella 

della forza elettromotrice e della corrente di eccitazione) è invece appuntita. Se è invece sinusoidale 

H (corrente sinusoidale impressa), B risulta appiattita (Figura 6.21). 

Fig. 6.21 Andamento dei campi B e H in presenza di isteresi e saturazione nel materiale 

magnetico 

La potenza magnetizzante (induttiva) perde allora significato preciso appunto perché B ed H 

non sono entrambe sinusoidali. In tal caso si può convenzionalmente fare riferimento al valore 

efficace H E ed assumere come potenza magnetizzante specifica per unità di volume 

Q V 

= 

2πfBH E 



e per unità di massa 


Q M 

= 

2π 

---------- fBHE γ 


dove γ è la densità di massa (o peso specifico). Un secondo importante problema riguarda le perdite 

che sono da attribuire a due fenomeni distinti: isteresi e correnti parassite. A causa del fenomeno 

di isteresi, durante la magnetizzazione viene fornita al materiale una energia che non è poi 

interamente restituita durante la smagnetizzazione. L’energia perduta che si trasforma in calore 

è rappresentata, in una certa scala e per unità di volume, della superficie del ciclo di isteresi. Si 

può perciò scrivere 

w = HdB (6.80) 

integrale esteso a tutto il ciclo. Poiché questa è l’energia dissipata per ogni ciclo, per passare 

alla potenza basta tenere conto della frequenza. Si è soliti esprimere le perdite per isteresi con 

una relazione del tipo 

P I 


dove k I è una costante e n un esponente che varia tra 2 e 3 con l’induzione stessa (esponente di 

Steimetz). Per limitare le perdite per isteresi il lamierino viene ottenuto da una lega ferro-silicio, 

con silicio intorno al 3.5%.Un’altra sorgente di perdite è dovuta al fatto che per la presenza di 

un flusso alternato, nello stesso materiale magnetico si inducono forze elettromotrici. Essendo 

poi il materiale buon conduttore, si ha anche la circolazione di correnti parassite. Le perdite per 

correnti parassite sono proporzionali ai quadrati di induzione, frequenza e spessore del lamierino 

e inversamente proporzionale alla resistività del materiale. Per limitare le perdite per correnti 

parassite, i circuiti magnetici vengono laminati e si fa ricorso a leghe che permettono di 

aumentare la resistività. L’isolamento superficiale dei lamierini è oggi ottenuto per ossidazione 

diretta durante il processo produttivo. Analogamente a quanto detto per le perdite per isteresi, 

si può usare per le perdite per correnti parassite una espressione del tipo 

P P 

= 

= 

∫ 

k I fB n 

k P f 2 B 2 


Le perdite totali nel circuito magnetico possono quindi essere espresse con la formula binomia 

PO kI fBn kP f 2B2 = 

+ 


A titolo indicativo si può ricordare che a 50 Hz e 1.5 T, la cifra di perdita può variare da 0.8 a 

2.0 W/kg, i valori più bassi sono quelli dei lamierini a cristalli orientati usati nei trasformatori 

di potenza. In definitiva, ci si trova ad operare su un sistema fortemente induttivo con corrente 

non sinusoidale (nell’ipotesi di tensione sinusoidale). 

Per quanto riguarda le potenze apparente e magnetizzante in gioco nel circuito, si rammenta 

quanto già discusso in merito a circuiti in cui le grandezze in gioco non sono sinusoidali (nel 

caso in oggetto la corrente). 

Per la potenza apparente si può assumere convenzionalmente il prodotto tra i valori efficaci di 

tensione e corrente. 



Per la potenza reattiva, se si segue l’interpretazione dalla al problema dal Budeanu, se ne 

devono considerare due tipi: convenzionale e distorcente. 

Si ricorda che in casi come quelli in oggetto non è possibile tracciare diagrammi vettoriali in 

quanto le grandezze non sono sinusoidali ed il fattore di potenza che perde il suo significato. 

6.14.1. Apparecchio di Epstein per la Determinazione della Cifra di Perdita 

di Lamierini Magnetici 

L’apparecchio di Epstein viene utilizzato per determinare la cifra di perdita dei lamierini 

magnetici che rappresenta la perdita dissipata dalla massa di un chilogrammo di materiale 

quando uniformemente eccitato a prefissati valori di induzione e di frequenza. 

L’apparecchio si presenta come indicato in Figura 6.22. Lungo i tubi esterni sono avvolti 

insieme ed uniformemente in modo da simulare un solenoide, due avvolgimenti detti rispettivamente 

primario e secondario. Ciascuno di detti avvolgimenti è costituito da un predeterminato 

numero di spire (normalmente 600 spire). 

Fig. 6.22 Apparecchio di Epstein 

Per la prova si sceglie una prefissata massa di lamierini (normalmente 10 kg) tagliati in strisce 

di lunghezza e larghezza pure prefissate (500 mm e 30 mm, rispettivamente). 

Le strisce così ottenute devono essere disposte nei tubi in modo che i giunti che si formano 

all’esterno siano alternati e stretti così da ridurre l’effetto dei traferri. 

Il circuito che si realizza per la misura è quello rappresentato in Figura 6.23. Esso presenta il 

particolare che il voltmetro e la voltmetrica del wattmetro sono eccitate dalla tensione fornita 

dall’avvolgimento secondario con il che si ottengono due grossi vantaggi: 



• si escludono dalla misura della potenza le perdite per resistenza che si verificano nell’avvolgimento 

alimentato (primario); 

• la forza elettromotrice indotta nel secondario è direttamente legata alla induzione nel circuito 

magnetico, che è ciò che interessa. 

A 

W 

~ V 

Fig. 6.23 Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein 

Si devono utilizzare strumenti di buona qualità che consentano di misurare la tensione, la 

potenza, la corrente e la frequenza, preferibilmente di tipo digitale in quanto caratterizzati da 

autoconsumo trascurabile. Si deve anche tenere conto che il circuito risulta fortemente induttivo 

per cui è necessario l’impiego d un wattmetro adatto per basso fattore di potenza. 

Per l’alimentazione del circuito occorre una sorgente che per il momento si considera in grado 

di fornire una tensione perfettamente sinusoidale. 

Per applicare il procedimento si deve determinazione della sezione S del pacco di lamierini, per 

cui detti M la massa dei lamierini (chilogrammi), γ il peso specifico del materiale magnetico ed 

L la lunghezza totale del circuito magnetico, si ottiene 

S 

= 

M 

----γL 


nella quale si può assumere γ = 7.6 kg/dm 3 e L = 2.00 m. 

Poiché lo scopo della misura è quello di determinare la cifra di perdita all’induzione B e alla 

frequenza f, si può determinare la tensione E che deve apparire ai terminali del secondario per 

dette induzione e frequenza, che risulta 

E = 

2πNfBS 


nella quale N è il numero delle spire dell’apparecchio. 

Le misure vengono quindi condotte rilevando un certo numero di valori di potenza assorbita in 

funzione della tensione a frequenza costante, ed effettuando l’interpolazione grafica dei punti 

risultanti, in modo da escludere eventuali letture affette da errori grossolani. 

Al valore di tensione determinato come sopra si determina quindi la potenza misurata PM . 



Se l’autoconsumo delle voltmetriche non è trascurabile, si deve apportate alla potenza misurata 

dedotta come sopra una correzione p data da 


essendo RT il valore della resistenza dell’arco doppio costituito dalle resistenze interne del voltmetro 

e della voltmetrica del wattmetro. 

Si ottiene infine il valore della potenza corretta PC Il valore della cifra di perdita cercato C è data infine dalla relazione 

6.14.2. Separazione delle Perdite 



Se si desidera effettuare la separazione delle perdite si può osservare che partendo dalla espressione 

che esprime la perdita misurata si può scrivere 


dove il termine al primo membro rappresenta la perdita per ciclo. 

La funzione scritta rappresenta una retta in funzione della frequenza, per cui con una prova a 

induzione costante in funzione di f si può ottenere la ripartizione desiderata (Figura 6.24). Naturalmente 

le ordinate in corrispondenza della induzione di riferimento (ovvero della tensione di 

riferimento) devono essere moltiplicate per f per ottenere i valori desiderati che in genere si 

esprimono poi in frazione (o percentuale) delle perdite totali corrette. 

P/f 

Fig. 6.24 Ripartizione delle perdite in un materiale magnetico 

p 

= 

E2 ------ 

RT PC = PM – p 

C 

= 

PC ------ 

M 

PC ------ kI B 

f 

n kP fB2 = + 

k P fB 2 

k I B n 


f


6.14.3. Misura delle Perdite con Tensione Non Sinusoidale 

In laboratorio ci si trova a volte a dover effettuare la determinazione della cifra di perdita con 

una sorgente di tensione di onda non perfettamente non sinusoidale. La misura risulta così 

affetta da errore sistematico che può però essere corretto in base alle considerazioni seguenti. 

Si deve preliminarmente chiarire che le perdite per isteresi e per correnti parassite che si manifestano 

nel lamierino seguono leggi diverse: 

• le perdite per isteresi sono funzione del valore massimo dell’induzione BM in conseguenza 

del fatto che dipendono dal ciclo di isteresi. Si deve anche tenere presente che l’esponente di 

Steimetz è, come già precisato, variabile con l’induzione stessa; 

• le perdite per correnti parassite sono invece, per la legge di Joule, proporzionali al quadrato 

del valore efficace delle tensioni indotte nei lamierini e dipendono quindi dal valore efficace 

dell’induzione BE . 

Ne consegue che se l’onda di tensione non è sinusoidale si pone il problema di come elaborare 

i risultati delle misure condotte in funzione della tensione. 

Si può allora osservare che sarebbe necessario disporre di uno strumento che sia in grado di 

misurare il valore massimo dell’induzione (o una grandezza proporzionale a questa) e di un altro 

strumento in grado di misurare il valore efficace dell’induzione stessa (o una grandezza proporzionale 

a questa). 

Per la misura del valore efficace non vi sono problemi poiché basta utilizzare, per quanto detto 

sopra, un voltmetro a valore efficace. 

Per la misura del valore massimo dell’induzione sono necessarie alcune ulteriori considerazioni, 

che verranno descritte nel Capitolo 6.15.2. 

Per effettuare le misure è allora necessario inserire nel circuito anche un voltmetro a valore 

medio, come indicato in Figura 6.25. 

A 

W 

~ VE VM Fig. 6.25 Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein con tensione 

non sinusoidale 

Per l’esecuzione dei rilievi sperimentali si procede nello stesso modo precedentemente indicato 

prendendo come riferimento le indicazioni del voltmetro a valore medio (tarato in valore efficace). 

In questo modo, si misurano correttamente le perdite per isteresi e non quelle per correnti 



parassite che sono proporzionali al valore efficace della tensione. Il contrario avverrebbe se si 

prendessero come riferimento le indicazione del voltmetro a valore efficace. 

Per poter procedere alla correzione dei risultati e riportarli al caso di onda sinusoidale, è necessario 

procedere alla suddivisione delle perdite facendo rilievi in funzione della frequenza e ad 

induzione costante, come precedentemente illustrato. 

Conviene esprimere i risultati in funzione del voltmetro a valore medio in quanto l’esponente 

di Epstein non è costante (si opera ad induzione massima costante). 

Per l’induzione prescelta si determinano correttamente le perdite per isteresi per ciclo, per risalire 

alla potenza corrispondente si deve moltiplicare per la frequenza in modo da ottenere il termine 


Le perdite per correnti parassite cercate si ottengono moltiplicando l’ordinata corrispondente 

del grafico lineare per la frequenza e per il quadrato del rapporto tra il valore della tensione a 

cui le perdite devono essere riferite e l’indicazione del voltmetro a valore efficace, per ottenere 


nella quale V è indicazione del voltmetro a valore efficace e VN è tensione alla quale devono 

essere riportate le perdite. 

Le perdite riportate all’onda sinusoidale si ottengono poi sommando le quote dovute all’isteresi 

e alle correnti parassite (quest’ultima corretta come detto sopra) 

6.15. Alcune Misure Particolari 

P I 

k I fB n 


La misura di alcune grandezze caratteristiche, come il valore di cresta di tensioni alternate elevate 

o il valore massimo dell’induzione magnetica, richiede metodi specifici. 

6.15.1. Misura del Valore di Cresta di Tensioni Alternate Elevate 

= 

PPC kP f 2B 2 

E V ⎛ N 

------ ⎞ 

⎝ V ⎠ 

2 

= 

P = 

PI+ PPC In Figura 6.26 è rappresentato uno schema adatto per la misurazione del valore massimo (di cresta) 

di una grandezza alternata particolarmente adatto per alta tensione. 

Ad un condensatore per alta tensione, ad esempio in gas compresso, viene posto in serie un 

dispositivo costituito da due diodi in controfase, un milliamperometro magnetoelettrico (o altro 

strumento sensibile al valore medio) e un resistore di valore pari a quello della resistenza interna 

del milliamperometro. Poiché il condensatore è di bassa capacità (dell’ordine delle centinaia o 

migliaia di picofarad), la presenza del dispositivo aggiuntivo non influisce sul valore della cor- 


mA 

Fig. 6.26 Misura del valore di cresta di tensioni alternate elevate 

6.15. Alcune Misure Particolari 

rente e nemmeno sulla sua forma. In questo modo, la corrente istantanea di carica i del condensatore 

alimentato dalla tensione alternata v, che risulta 


viene raddrizzata dai due diodi che funzionano alternativamente. 

Poiché, qualunque sia la forma della tensione da misurare, la corrente di carica si annulla in corrispondenza 

dei massimi della tensione (Figura 6.27) è possibile scrivere 

L’integrale definito esteso per mezzo periodo della corrente dato da 

δ 

∫ 

T ⁄ 2 



risulta quindi proporzionale al valore massimo della tensione (VM ). 

Più esattamente, poiché il milliamperometro è percorso dalla corrente solamente per mezzo 

periodo, la corrente media (Im ) da esso indicata sarà data da 

Si noti che la corrente indicata dallo strumento è funzione della frequenza. 

6.15.2. Misura del Valore Massimo dell’Induzione Magnetica 

v 

i C v d 

= ---dt 

idt = Cdv (6.96) 

In diversi tipi di misure industriali che coinvolgono grandezze magnetiche, come per esempio 

nella misura della cifra di perdita di un materiale magnetico tramite il giogo di Epstein, si rende 

necessario determinare il valore massimo dell’induzione magnetica. 


C 

2 2 

= --- idt = --- Cdv = 

T T 

0 

I m 

∫ 

V M 

– V M 

2C 

= ------V M = 

2 fCVM T 

4C 

------V M 

T


I m 

Tensione, Corrente 

i 

T/2 

Tempo 

Fig. 6.27 Andamento di tensione e corrente nel circuito per la misura del valore di cresta di 

tensioni alternate elevate 

Si dimostra che tale valore massimo è proporzionale al valore medio della tensione indotta 

purché la forma d’onda della grandezza passi per lo zero due volte per periodo. Si considerino 

le forme d’onda riportate Figura 6.28 che rappresentano i valori istantanei dell’induzione 

magnetica b e la forza elettromotrice di autoinduzione o indotta e. Si può allora scrivere 

dove N è il numero di spire A la sezione dei circuito magnetico. 

B M 

E m 

Tensione, Corrente 

–B M 

b 

v 

e N φ d 

– ----- N 

dt 

b d 

= = – ----- A 

dt 

e T/2 

Tempo 


Fig. 6.28 Andamento di tensione e induzione magnetica nel circuito per la misura del valore 

massimo dell’induzione magnetica 


In forma diversa si può scrivere 

edt = – NAdb 6.15. Alcune Misure Particolari 


Il valore medio della tensione (E m ) riferito al semiperiodo, misurato ad esempio con un voltmetro 

magnetoelettrico collegato come indicato in Figura 6.5, è dato da 

E m 

∫ 

T ⁄ 2 

2 

2 

--- edt --- 

2NA 

= = – NAdb = – ---------- 2BM= – 4NAf 

BM T 

T 

T 

0 

B M 

– BM (6.99) 

avendo indicato con T il periodo, con f la frequenza e con BM il valore massimo dell’induzione. 

Questa relazione è valida in quanto la forza elettromotrice indotta è nulla quando è nulla la derivata 

dell’induzione, ovvero quando quest’ultima è massima. 

Si tenga presente che se il voltmetro a valore medio è tarato in valore efficace per onda sinusoidale, 

il fattore di forma sarà dato dal rapporto tra il vero valore efficace della tensione e l’indicazione 

del voltmetro sensibile al valore medio, moltiplicato per 1.11. 

Inoltre, si può osservare che per onda sinusoidale il valore efficace della forza elettromotrice 

(E) sarebbe dato da 

formula ben nota dall’elettrotecnica elementare. 

∫ 

E = 1.11Em = 

– 4.44NAf BM (6.100)

6. Misure Industriali con Strumenti Analogici - ingbeninato

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